Idag kommer vi att lära oss hur man snabbt kvadrerar stora uttryck utan en miniräknare. I stort menar jag siffror från tio till hundra. Stora uttryck är extremt sällsynta i verkliga problem, och du vet redan hur man räknar värden som är mindre än tio, eftersom detta är en vanlig multiplikationstabell. Materialet i dagens lektion kommer att vara användbart för ganska erfarna studenter, eftersom nybörjarstudenter helt enkelt inte kommer att uppskatta hastigheten och effektiviteten av denna teknik.
Låt oss först ta reda på vad vi pratar om vi pratar om. Som ett exempel föreslår jag att konstruera ett godtyckligt numeriskt uttryck, som vi brukar göra. Låt oss säga 34. Vi höjer den genom att multiplicera den med sig själv med en kolumn:
\[((34)^(2))=\ gånger \frac(34)(\frac(34)(+\frac(136)(\frac(102)(1156)))))\]
1156 är kvadraten 34.
Problemet med denna metod kan beskrivas i två punkter:
1) det kräver skriftlig dokumentation;
2) det är mycket lätt att göra ett misstag under beräkningsprocessen.
Idag kommer vi att lära oss hur man snabbt multiplicerar utan en miniräknare, muntligt och praktiskt taget utan misstag.
Så låt oss börja. För att fungera behöver vi formeln för kvadraten av summan och skillnaden. Låt oss skriva ner dem:
\[(((a+b))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2)))\]
\[(((a-b))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))\]
Vad ger detta oss? Faktum är att vilket värde som helst i intervallet från 10 till 100 kan representeras som talet $a$, som är delbart med 10, och talet $b$, som är resten av divisionen med 10.
Till exempel kan 28 representeras enligt följande:
\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 20+8 \\& 30-2 \\\end(align)\]
Vi presenterar de återstående exemplen på samma sätt:
\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\& 60-9 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\& 50-8 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 70+7 \\& 80-3 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\& 30-9 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 20+6 \\& 30-4 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 30+9 \\& 40-1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\& 90-9 \\\end(align)\]
Vad säger denna idé oss? Faktum är att med en summa eller en skillnad kan vi tillämpa de ovan beskrivna beräkningarna. Naturligtvis, för att förkorta beräkningarna, bör du för varje element välja uttrycket med den minsta andra termen. Till exempel, från alternativen $20+8$ och $30-2$, bör du välja alternativet $30-2$.
Vi väljer på liknande sätt alternativ för de återstående exemplen:
\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 30-2 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 80-3 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 30-4 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 40-1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\\end(align)\]
Varför ska vi sträva efter att minska den andra termen när vi multiplicerar snabbt? Allt handlar om de initiala beräkningarna av kvadraten på summan och skillnaden. Faktum är att termen $2ab$ med plus eller minus är den svåraste att beräkna när man löser verkliga problem. Och om faktorn $a$, en multipel av 10, alltid multipliceras lätt, då med faktorn $b$, som är ett tal från ett till tio, har många elever regelbundet svårigheter.
\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]
\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]
\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]
\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]
\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]
\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]
\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]
\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]
Så på tre minuter gjorde vi multiplikationen av åtta exempel. Det är mindre än 25 sekunder per uttryck. I verkligheten, efter lite träning, kommer du att räkna ännu snabbare. Det tar inte mer än fem till sex sekunder att beräkna ett tvåsiffrigt uttryck.
Men det är inte allt. För dem för vilka den visade tekniken verkar otillräckligt snabb och cool nog föreslår jag ännu mer snabbt sätt multiplikation, som dock inte fungerar för alla uppgifter, utan bara för de som skiljer sig med en från multiplar av 10. I vår lektion finns fyra sådana värden: 51, 21, 81 och 39.
Det verkar mycket snabbare, vi räknar dem redan i bokstavligen ett par rader. Men i själva verket går det att snabba upp, och det görs på följande sätt. Vi skriver ner värdet som är en multipel av tio, vilket är närmast det vi behöver. Låt oss till exempel ta 51. Därför, till att börja med, låt oss bygga femtio:
\[{{50}^{2}}=2500\]
Multiplar av tio är mycket lättare att kvadrera. Och nu lägger vi helt enkelt till femtio och 51 till det ursprungliga uttrycket. Svaret blir detsamma:
\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]
Och så med alla siffror som skiljer sig med ett.
Om värdet vi letar efter är större än det vi räknar, adderar vi siffror till den resulterande kvadraten. Om det önskade antalet är mindre, som i fallet med 39, måste du subtrahera värdet från kvadraten när du utför åtgärden. Låt oss öva utan att använda en miniräknare:
\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]
\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]
\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]
Som du kan se är svaren desamma i alla fall. Dessutom är denna teknik tillämpbar på alla intilliggande värden. Till exempel:
\[\begin(align)& ((26)^(2))=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\end(align)\]
Samtidigt behöver vi inte komma ihåg beräkningarna av kvadraterna på summan och skillnaden och använda en miniräknare. Arbetshastigheten är bortom beröm. Kom därför ihåg, öva och använd i praktiken.
Nyckelord
Med denna teknik kan du enkelt multiplicera vilken som helst naturliga tal allt från 10 till 100. Dessutom utförs alla beräkningar muntligt, utan miniräknare och även utan papper!
Kom först ihåg kvadraterna av värden som är multiplar av 10:
\[\begin(align)& ((10)^(2))=100,((20)^(2))=400,((30)^(2))=900,..., \\ & ((80)^(2))=6400,((90)^(2))=8100. \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((34)^(2))=(((30+4))^(2))=((30)^(2))+2\cdot 30\cdot 4+ ((4)^(2))= \\& =900+240+16=1156; \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((27)^(2))=(((30-3))^(2))=((30)^(2))-2\cdot 30\cdot 3+ ((3)^(2))= \\& =900-180+9=729. \\\end(align)\]
Hur man räknar ännu snabbare
Men det är inte allt! Genom att använda dessa uttryck kan du omedelbart kvadratnummer "intill" referensnumren. Till exempel vet vi 152 (referensvärde), men vi måste hitta 142 (ett angränsande tal som är ett mindre än referensvärdet). Låt oss skriva ner det:
\[\begin(align)& ((14)^(2))=((15)^(2))-14-15= \\& =225-29=196. \\\end(align)\]
Observera: ingen mystik! Kvadrater av tal som skiljer sig med 1 erhålls faktiskt genom att multiplicera referenstalen med sig själva genom att subtrahera eller lägga till två värden:
\[\begin(align)& ((31)^(2))=((30)^(2))+30+31= \\& =900+61=961. \\\end(align)\]
Varför händer det här? Låt oss skriva ner formeln för kvadraten på summan (och skillnaden). Låt $n$ vara vårt referensvärde. Sedan beräknas de så här:
\[\begin(align)& (((n-1))^(2))=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1 )= \\& ==((n)^(2))-n-(n-1) \\\end(align)\]
- detta är formeln.
\[\begin(align)& (((n+1))^(2))=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1) = \\& =((n)^(2))+n+(n+1) \\\end(align)\]
- en liknande formel för siffror större än 1.
Jag hoppas att den här tekniken kommer att spara tid på alla dina matteprov och prov med hög insats. Och det var allt för mig. Vi ses!
Förkortade multiplikationsformler.
Studera förkortade multiplikationsformler: kvadraten på summan och kvadraten på skillnaden mellan två uttryck; skillnaden mellan kvadrater av två uttryck; kub av summan och kub av skillnaden mellan två uttryck; summor och skillnader av kuber av två uttryck.
Tillämpning av förkortade multiplikationsformler vid lösning av exempel.
För att förenkla uttryck, faktorpolynom och reducera polynom till standardform används förkortade multiplikationsformler. Förkortade multiplikationsformler måste vara kända utantill.
Låt a, b R. Sedan:
1. Kvadraten på summan av två uttryck är lika med kvadraten på det första uttrycket plus två gånger produkten av det första uttrycket och det andra plus kvadraten på det andra uttrycket.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Kvadraten på skillnaden mellan två uttryck är lika med kvadraten på det första uttrycket minus två gånger produkten av det första uttrycket och det andra plus kvadraten på det andra uttrycket.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Skillnad mellan rutor två uttryck är lika med produkten av skillnaden mellan dessa uttryck och deras summa.
a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)
4. Kub av summa två uttryck är lika med kuben av det första uttrycket plus tredubbla produkten av kvadraten av det första uttrycket och det andra plus tredubbla produkten av det första uttrycket och kvadraten av det andra plus kuben av det andra uttrycket.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. Skillnadskub två uttryck är lika med kuben av det första uttrycket minus trippel produkten av kvadraten av det första uttrycket och det andra plus trippel produkten av det första uttrycket och kvadraten av det andra minus kuben av det andra uttrycket.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Summan av kuber två uttryck är lika med produkten av summan av de första och andra uttrycken och den ofullständiga kvadraten på skillnaden mellan dessa uttryck.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Skillnad på kuber två uttryck är lika med produkten av skillnaden mellan det första och det andra uttrycket med den ofullständiga kvadraten på summan av dessa uttryck.
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Tillämpning av förkortade multiplikationsformler vid lösning av exempel.
Exempel 1.
Beräkna
a) Med hjälp av formeln för kvadraten av summan av två uttryck har vi
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Med hjälp av formeln för kvadraten på skillnaden mellan två uttryck får vi
98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604
Exempel 2.
Beräkna
Med hjälp av formeln för skillnaden mellan kvadraterna av två uttryck får vi
Exempel 3.
Förenkla ett uttryck
(x - y) 2 + (x + y) 2
Låt oss använda formlerna för kvadraten på summan och kvadraten på skillnaden mellan två uttryck
(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2
Förkortade multiplikationsformler i en tabell:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Kvadraten på ett tal är resultatet av en matematisk operation som höjer detta tal till andra potens, det vill säga multiplicerar detta tal med sig själv en gång. Det är vanligt att beteckna en sådan operation enligt följande: Z2, där Z är vårt tal, 2 är graden av "kvadrat". Vår artikel kommer att berätta hur man beräknar kvadraten på ett tal.
Beräkna kvadraten
Om talet är enkelt och litet, så är det lätt att göra detta antingen i huvudet eller med hjälp av multiplikationstabellen, som vi alla känner väl till. Till exempel:
42 = 4x4 = 16; 72 = 7x7 = 49; 92 = 9x9 = 81.
Om antalet är stort eller "stort" kan du använda antingen tabellen med kvadrater som alla lärde sig i skolan eller en miniräknare. Till exempel:
122 = 12x12 = 144; 172 = 17x17 = 289; 1392 = 139x139 = 19321.
För att få det önskade resultatet för de två exemplen ovan kan du multiplicera dessa siffror i en kolumn.
För att få kvadraten av ett bråk, måste du:
- Konvertera ett bråk (om bråket har en heltalsdel eller är en decimal) till felaktig bråkdel. Om bråktalet stämmer behöver du inte konvertera något.
- Multiplicera nämnaren med nämnaren och täljaren med täljaren för bråket.
Till exempel:
(3/2)2 = (3/2)x(3/2) = (3x3)/(2x2) = 9/4; (5/7)2 = (5/7)x(5/7) = (5x5)/(7x7) = 25/49; (14/17)2 = (14x14)/(17x17) = 196/289.
I något av dessa alternativ är det enklaste sättet att använda en miniräknare. För att göra detta behöver du:
- Skriv ett nummer på tangentbordet
- Klicka på knappen med "multiplikationstecknet".
- Tryck på knappen med likhetstecknet
Du kan också alltid använda sökmotorer på Internet, som Google. För att göra detta behöver du bara ange motsvarande fråga i sökmotorfältet och få ett färdigt resultat.
Till exempel: för att beräkna kvadraten på talet 9,17 måste du skriva 9,17*9,17, eller 9,17^2, eller "9,17 kvadrat" i sökmotorn. I något av dessa alternativ söksystem ger dig rätt resultat - 84.0889.
Nu vet du hur du beräknar kvadraten på alla tal du är intresserad av, vare sig det är ett heltal eller en bråkdel, oavsett om det är stort eller litet!
- I kontakt med 0
- Google+ 0
- OK 0
- Facebook 0
