Momentum är en av de mest grundläggande egenskaperna hos ett fysiskt system. Drivkraften i ett slutet system bevaras under alla processer som sker i det.
Låt oss börja bekanta oss med denna kvantitet med det enklaste fallet. Impuls materiell punkt massa som rör sig med hastighet kallas produkten
Lagen om momentumförändring. Utifrån denna definition, med hjälp av Newtons andra lag, kan vi hitta lagen om förändring i en partikels rörelsemängd som ett resultat av verkan av någon kraft på den. Genom att ändra hastigheten på en partikel ändrar kraften också dess rörelsemängd: . Vid en konstant verkande kraft alltså
Hastigheten för förändring av momentum för en materialpunkt är lika med resultanten av alla krafter som verkar på den. Med en konstant kraft kan tidsintervallet i (2) tas av vem som helst. Därför är det sant för förändringen i en partikels rörelsemängd under detta intervall
Vid en kraft som förändras över tiden bör hela tidsperioden delas upp i små intervall under vilka kraften kan anses vara konstant. Förändringen i partikelmomentum under en separat period beräknas med formel (3):
Den totala förändringen i momentum över hela den aktuella tidsperioden är lika med vektorsumman av förändringar i momentum över alla intervall
Om vi använder begreppet derivata, så skrivs uppenbarligen lagen om förändring i partikelmomentum istället för (2) som
Kraftimpuls. Förändringen i momentum över en begränsad tidsperiod från 0 till uttrycks av integralen
Storheten på höger sida av (3) eller (5) kallas kraftimpulsen. Således är förändringen i rörelsemängden Dr för en materiell punkt under en tidsperiod lika med impulsen av kraften som verkar på den under denna tidsperiod.
Likheterna (2) och (4) är i huvudsak en annan formulering av Newtons andra lag. Det var i denna form som denna lag formulerades av Newton själv.
Den fysiska innebörden av begreppet impuls är nära relaterad till den intuitiva idé som var och en av oss har, eller en som hämtas från vardagsupplevelsen, om huruvida det är lätt att stoppa en rörlig kropp. Det som spelar roll här är inte hastigheten eller massan hos kroppen som stoppas, utan båda tillsammans, det vill säga just dess rörelsemängd.
Systemimpuls. Begreppet momentum blir särskilt meningsfullt när det appliceras på ett system av interagerande materiella punkter. Den totala rörelsemängden P för ett system av partiklar är vektorsumman av rörelsemängden för enskilda partiklar vid samma tidpunkt:
Här görs summeringen över alla partiklar som ingår i systemet, så att antalet termer är lika med antalet partiklar i systemet.
Inre och yttre krafter. Det är lätt att komma till lagen om bevarande av momentum för ett system av interagerande partiklar direkt från Newtons andra och tredje lag. Vi kommer att dela upp krafterna som verkar på var och en av partiklarna som ingår i systemet i två grupper: inre och externa. Inre kraft är den kraft med vilken en partikel verkar på den yttre kraften är den kraft med vilken alla kroppar som inte är en del av systemet i fråga verkar på partikeln.
Lagen om förändring av partikelmomentet i enlighet med (2) eller (4) har formen
Låt oss lägga till ekvation (7) term för term för alla partiklar i systemet. Sedan på vänster sida, som följer från (6), får vi förändringshastigheten
systemets totala rörelsemängd Eftersom de interna krafterna för interaktion mellan partiklar uppfyller Newtons tredje lag:
då när ekvationerna (7) adderas på höger sida, där inre krafter endast förekommer i par, kommer deras summa att gå till noll. Som ett resultat får vi
Förändringshastigheten för det totala momentumet är lika med summan yttre krafter, som verkar på alla partiklar.
Låt oss uppmärksamma det faktum att likhet (9) har samma form som lagen om förändring i momentum för en materiell punkt, och i höger sida endast yttre krafter kommer in. I ett slutet system, där det inte finns några yttre krafter, förändras inte systemets totala rörelsemängd P oavsett vilka inre krafter som verkar mellan partiklarna.
Den totala rörelsemängden förändras inte ens i det fall då de yttre krafterna som verkar på systemet är lika med noll totalt. Det kan visa sig att summan av yttre krafter är noll endast längs en viss riktning. Även om det fysiska systemet i detta fall inte är stängt, förblir komponenten av det totala momentum längs denna riktning, enligt formel (9), oförändrad.
Ekvation (9) kännetecknar systemet av materiella punkter som helhet, men hänvisar till en viss tidpunkt. Av den är det lätt att få fram lagen om förändring i systemets rörelsemängd under en begränsad tidsperiod.Om de verkande yttre krafterna är konstanta under detta intervall, så följer det av (9)
Om yttre krafter förändras med tiden, kommer det på höger sida av (10) att finnas en summa av integraler över tiden från var och en av de yttre krafterna:
Således är förändringen i den totala rörelsemängden för ett system av interagerande partiklar under en viss tidsperiod lika med vektorsumman av impulserna av yttre krafter under denna period.
Jämförelse med det dynamiska tillvägagångssättet. Låt oss jämföra metoder för att lösa mekaniska problem baserat på dynamiska ekvationer och baserat på lagen om bevarande av momentum med hjälp av följande enkla exempel.
En järnvägsvagn med massa tagen från en puckel, som rör sig med konstant hastighet, kolliderar med en stationär massavagn och kopplas ihop med den. Med vilken hastighet rör sig de kopplade bilarna?
Vi vet ingenting om de krafter som bilarna samverkar med vid en kollision, förutom att de utifrån Newtons tredje lag är lika stora och motsatta i riktning i varje ögonblick. Med ett dynamiskt tillvägagångssätt är det nödvändigt att specificera någon form av modell för interaktion mellan bilar. Enklast möjliga antagande är att växelverkanskrafterna är konstanta under hela tiden kopplingen pågår. I det här fallet, med hjälp av Newtons andra lag för hastigheterna för var och en av bilarna, efter starten av kopplingen, kan vi skriva
Uppenbarligen slutar kopplingsprocessen när bilarnas hastigheter blir desamma. Om vi antar att detta händer efter tid x har vi
Härifrån kan vi uttrycka kraftimpulsen
Genom att ersätta detta värde i någon av formlerna (11), till exempel i den andra, hittar vi uttrycket för bilarnas sluthastighet:
Naturligtvis är antagandet som görs om konstansen i kraften av interaktion mellan bilarna under processen för deras koppling mycket konstlat. Användningen av mer realistiska modeller leder till krångligare beräkningar. Men i verkligheten beror resultatet för bilarnas sluthastighet inte på interaktionsmönstret (naturligtvis förutsatt att bilarna i slutet av processen kopplas ihop och rör sig med samma hastighet). Det enklaste sättet att verifiera detta är att använda lagen om bevarande av momentum.
Eftersom inga yttre krafter i horisontell riktning verkar på bilarna förblir systemets totala momentum oförändrat. Före kollisionen är den lika med den första bilens rörelsemängd. Efter kopplingen är rörelsemängden för bilarna lika. Genom att likställa dessa värden finner vi omedelbart
vilket naturligtvis sammanfaller med svaret som erhålls utifrån det dynamiska tillvägagångssättet. Användningen av lagen om bevarande av momentum gjorde det möjligt att hitta svaret på den ställda frågan med hjälp av mindre besvärliga matematiska beräkningar, och detta svar är mer generellt, eftersom det erhölls utan att använda någon specifik modell interaktioner.
Låt oss illustrera tillämpningen av lagen om bevarande av momentum i ett system med hjälp av exemplet på ett mer komplext problem, där det redan är svårt att välja en modell för en dynamisk lösning.
Uppgift
Skalexplosion. Projektilen exploderar på toppen av banan, belägen på en höjd över jordytan, i två identiska fragment. En av dem faller till marken exakt under explosionspunkten efter en tid.Hur många gånger kommer det horisontella avståndet från denna punkt där det andra fragmentet kommer att flyga iväg att förändras, jämfört med avståndet som ett oexploderat granat skulle falla?
Lösning: Låt oss först och främst skriva ett uttryck för avståndet över vilket ett oexploderat skal skulle flyga. Eftersom projektilens hastighet vid topppunkten (vi betecknar den med är riktad horisontellt), är avståndet lika med produkten av tiden för fall från en höjd utan en initial hastighet, lika med vilken en oexploderad projektil skulle flyga iväg Eftersom projektilens hastighet vid topppunkten (vi betecknar den med är riktad horisontellt, är avståndet lika med produkten av tiden för fall från en höjd utan en initial hastighet, lika med kroppen som betraktas som ett system av materialpoäng:
Sprängningen av en projektil i fragment sker nästan omedelbart, det vill säga de inre krafterna som sliter isär den verkar inom en mycket kort tidsperiod. Det är uppenbart att förändringen i fragmentens hastighet under inverkan av gravitationen under en så kort tidsperiod kan försummas i jämförelse med förändringen i deras hastighet under inverkan av dessa inre krafter. Därför, även om det aktuella systemet strängt taget inte är stängt, kan vi anta att dess totala momentum när projektilen brister förblir oförändrat.
Från lagen om bevarande av momentum kan man omedelbart identifiera några drag av fragmentens rörelse. Momentum är en vektorstorhet. Innan explosionen låg den i plan för projektilbanan. Eftersom, som anges i villkoret, hastigheten för ett av fragmenten är vertikal, d.v.s. dess rörelsemängd förblev i samma plan, så ligger rörelsemängden för det andra fragmentet också i detta plan. Detta betyder att banan för det andra fragmentet kommer att förbli i samma plan.
Vidare, av lagen om bevarande av den horisontella komponenten av den totala impulsen, följer det att den horisontella komponenten av hastigheten för det andra fragmentet är lika eftersom dess massa är lika med halva massan av projektilen, och den horisontella komponenten av impulsen av det första fragmentet är lika med noll av villkoret. Därför är det horisontella flygområdet för det andra fragmentet från
platsen för brottet är lika med produkten av tiden för dess flygning. Hur hittar man den här tiden?
För att göra detta, kom ihåg att de vertikala komponenterna i impulserna (och därför hastigheterna) av fragmenten måste vara lika stora och riktade i motsatta riktningar. Flygtiden för det andra fragmentet av intresse för oss beror naturligtvis på om den vertikala komponenten av dess hastighet är riktad uppåt eller nedåt i det ögonblick då projektilen exploderar (fig. 108).
Ris. 108. Bana för fragment efter att ett granat brast
Detta är lätt att ta reda på genom att jämföra tiden som anges i villkoret för det första fragmentets vertikala fall med tiden fritt fall från höjd A. Om då den initiala hastigheten för det första fragmentet är riktad nedåt, och den vertikala komponenten av hastigheten för det andra fragmentet är riktad uppåt, och vice versa (fall a och i fig. 108).
Lagen om bevarande av rörelsemängd för ett system av matematiska punkter, den totala rörelsemängden för ett slutet system förblir konstant.
(i anteckningsboken!!)
19. Rörelselag för systemets masscentrum
Satsen om rörelsen av ett systems masscentrum (tröghetscentrum) säger att accelerationen av ett mekaniskt systems masscentrum inte beror på de inre krafter som verkar på systemets kroppar, och kopplar ihop denna acceleration med yttre krafter som verkar på systemet.
Objekten som diskuteras i satsen kan i synnerhet vara följande:
system av materialpunkter;
förlängd kropp eller system av förlängda kroppar;
någon alls mekaniskt system, bestående av alla kroppar.
20. Lag om bevarande av momentum
anger att vektorsumman av impulserna för alla systemets kroppar är ett konstant värde om vektorsumman av yttre krafter som verkar på kroppssystemet är lika med noll.
21. Lag om bevarande av rörelsemängd
vinkelmomentet för ett slutet system av kroppar i förhållande till någon fast punkt förändras inte över tiden.
22. Intern energi i ett system av materialpunkter
Den inre energin i ett system av kroppar är lika med summan av de inre energierna i var och en av kropparna separat och energin av interaktion mellan kropparna.
23. Icke-tröghetsreferenssystem
Överföringshastigheten är relaterad till arten av rörelsen hos den icke-tröghetsreferensramen i förhållande till trögheten
Tröghetskraften är inte relaterad till växelverkan mellan objekt, den beror bara på arten av verkan av ett referenssystem på ett annat.
24. Bärhastighet, bärbar acceleration- detta är hastigheten och accelerationen för den plats i det rörliga koordinatsystemet som den rörliga punkten för närvarande sammanfaller med.
Bärbar hastighet är hastigheten för en punkt på grund av rörelsen av en rörlig referensram i förhållande till den absoluta. Detta är med andra ord hastigheten för en punkt i ett rörligt referenssystem som vid ett givet ögonblick sammanfaller med en materialpunkt. ( bärbar rörelse- detta är rörelsen av den andra CO i förhållande till den första)
25. Coriolisacceleration
Corioliskraften är en av de tröghetskrafter som existerar i en icke-tröghetsreferensram på grund av rotation och tröghetslagarna, som manifesterar sig när den rör sig i en riktning i en vinkel mot rotationsaxeln.
Coriolisacceleration - rotationsacceleration, en del av den totala accelerationen av en punkt som uppträder vid den sk. komplex rörelse, när den bärbara rörelsen, dvs rörelsen av den rörliga referensramen, inte är translationell. K.u. uppträder på grund av en förändring i den relativa hastigheten för en punkt υ rel under bärbar rörelse (rörelse av en rörlig referensram) och bärbar hastighet under relativ rörelse av en punkt
Numeriskt K.u. är lika med:
26. Tröghetskrafter
Tröghetskraft är en vektorkvantitet numeriskt lika med produkten av massan m av en materialpunkt och dess acceleration w och riktad motsatt accelerationen
Med kurvlinjär rörelse av S. och. kan dekomponeras till en tangent, eller tangentiell, komponent riktad motsatt tangenten. acceleration, och den normala eller centrifugalkomponenten riktad längs kap. normaler för banan från krökningscentrum; numeriskt , , där v- punktens hastighet är krökningsradien för banan.
Och du kan använda Newtons lagar i ett icke-tröghetssystem om du introducerar tröghetskrafter. De är fiktiva. Det finns ingen kropp eller åker under vilken du började röra dig i trolleybussen. Tröghetskrafter introduceras specifikt för att dra fördel av Newtons ekvationer i ett icke-tröghetssystem. Tröghetskrafter orsakas inte av samverkan mellan kroppar, utan av egenskaperna hos de icke-tröghetsreferenssystem själva. Newtons lagar gäller inte tröghetskrafter.
(Tröghetskraft är en fiktiv kraft som kan introduceras i en icke-tröghetsreferensram så att mekanikens lagar i den sammanfaller med tröghetsramarnas lagar)
Bland tröghetskrafterna urskiljs följande:
enkel tröghetskraft;
centrifugalkraft, vilket förklarar kropparnas önskan att flyga bort från axeln i roterande referensramar;
Corioliskraften, som förklarar kropparnas tendens att lämna radien under radiell rörelse i roterande referensramar;
KROPPENS IMPULS
En kropps rörelsemängd är en fysisk vektorkvantitet lika med produkten av kroppens massa och dess hastighet.
Pulsvektor kropp är riktad på samma sätt som hastighet vektor denna kropp.
Impulsen från ett system av kroppar förstås som summan av impulserna från alla kroppar i detta system: ∑p=p 1 +p 2 +... . Lagen om bevarande av momentum: i ett slutet system av kroppar, under alla processer, förblir dess momentum oförändrat, d.v.s. ∑p = konst.
(Ett slutet system är ett system av kroppar som endast interagerar med varandra och inte interagerar med andra kroppar.)
Fråga 2. Termodynamisk och statistisk definition av entropi. Termodynamikens andra lag.
Termodynamisk definition av entropi
Begreppet entropi introducerades först 1865 av Rudolf Clausius. Han bestämde sig entropiförändring termodynamiskt system kl reversibel process som förhållandet mellan förändringen i den totala mängden värme och den absoluta temperaturen:
Denna formel är endast tillämplig för en isoterm process (som sker vid en konstant temperatur). Dess generalisering till fallet med en godtycklig kvasistatisk process ser ut så här:
där är ökningen (differential) av entropi, och är en oändlig ökning av mängden värme.
Det är nödvändigt att uppmärksamma det faktum att den termodynamiska definitionen i fråga endast är tillämplig på kvasistatiska processer (bestående av kontinuerligt på varandra följande jämviktstillstånd).
Statistisk definition av entropi: Boltzmanns princip
År 1877 fann Ludwig Boltzmann att entropin i ett system kan hänvisa till antalet möjliga "mikrostater" (mikroskopiska tillstånd) som överensstämmer med deras termodynamiska egenskaper. Tänk till exempel en idealisk gas i ett kärl. Mikrotillståndet definieras som positionerna och impulserna (rörelsemoment) för varje atom som utgör systemet. Anslutningar kräver att vi endast beaktar de mikrotillstånd för vilka: (i) alla delars lägen är belägna i kärlet, (ii) för att erhålla gasens totala energi, atomernas kinetiska energier summeras. Boltzmann postulerade att:
där vi nu känner till konstanten 1,38 · 10 −23 J/K som Boltzmann-konstanten, och är antalet mikrotillstånd som är möjliga i det existerande makroskopiska tillståndet (tillståndets statistiska vikt).
Termodynamikens andra lag- en fysikalisk princip som sätter restriktioner på riktningen av värmeöverföringsprocesser mellan kroppar.
Termodynamikens andra lag säger att spontan överföring av värme från en mindre uppvärmd kropp till en mer uppvärmd kropp är omöjlig.
Biljett 6.
§ 2.5. Sats om masscentrums rörelse
Relation (16) är mycket lik rörelseekvationen för en materiell punkt. Låt oss försöka få det till en ännu enklare form F=m a. För att göra detta transformerar vi vänster sida med egenskaperna för differentieringsoperationen (y+z) =y +z, (ay) =ay, a=const:
(24)
Låt oss multiplicera och dividera (24) med massan av hela systemet och ersätta det med ekvation (16):
. (25)
Uttrycket inom parentes har dimensionen längd och bestämmer radievektorn för någon punkt, som kallas systemets masscentrum:
. (26)
I projektioner på koordinataxlarna (26) kommer att ta formen
(27)
Om (26) ersätts med (25), får vi satsen om masscentrums rörelse:
de där. systemets masscentrum rör sig, som en materiell punkt där hela systemets massa är koncentrerad, under verkan av summan av externa krafter som appliceras på systemet. Satsen om masscentrums rörelse säger att oavsett hur komplexa krafterna för interaktion mellan partiklarna i systemet med varandra och med yttre kroppar och oavsett hur komplexa dessa partiklar rör sig, är det alltid möjligt att hitta en punkt (massacentrum), vars rörelse beskrivs enkelt. Massans centrum är en viss geometrisk punkt, vars position bestäms av fördelningen av massor i systemet och som kanske inte sammanfaller med någon av dess materialpartiklar.
Produkt av systemmassa och hastighet v Masscentrum för dess masscentrum, som följer av dess definition (26), är lika med systemets rörelsemängd:
(29)
I synnerhet, om summan av yttre krafter är noll, så rör sig masscentrum likformigt och rätlinjigt eller är i vila.
|
|
Masscentrum kommer att "flyga" längs samma paraboliska bana längs vilken en oexploderad projektil skulle röra sig: dess acceleration, i enlighet med (28), bestäms av summan av alla gravitationskrafter som appliceras på fragmenten och deras totala massa, dvs. samma ekvation som hela projektilens rörelse. Men så fort det första fragmentet träffar jorden kommer jordens reaktionskraft att läggas till de yttre tyngdkrafterna och masscentrumets rörelse kommer att förvrängas.
|
|
Eftersom den geometriska summan av de yttre krafterna är noll, är accelerationen av masscentrum också noll och den kommer att förbli i vila. Kroppen kommer att rotera runt ett stationärt masscentrum.
Finns det några fördelar med lagen om bevarande av momentum jämfört med Newtons lagar? Vad är kraften i denna lag?
Dess främsta fördel är att den är integrerad i naturen, dvs. kopplar samman egenskaperna hos ett system (dess momentum) i två tillstånd åtskilda av en begränsad tidsperiod. Detta gör att du omedelbart kan få viktig information om systemets slutliga tillstånd, utan att beakta alla dess mellanliggande tillstånd och detaljerna om de interaktioner som inträffar under denna process.
2) Gasmolekylernas hastigheter har olika värden och riktningar, och på grund av det enorma antalet kollisioner som en molekyl upplever varje sekund, förändras dess hastighet ständigt. Därför är det omöjligt att bestämma antalet molekyler som har en exakt given hastighet v vid ett givet ögonblick, men det är möjligt att räkna antalet molekyler vars hastigheter har ett värde som ligger mellan vissa hastigheter v 1 och v 2 . Baserat på sannolikhetsteorin etablerade Maxwell ett mönster genom vilket det är möjligt att bestämma antalet gasmolekyler vars hastigheter vid en given temperatur ligger inom ett visst hastighetsområde. Enligt Maxwells fördelning, det sannolika antalet molekyler per volymenhet; vars hastighetskomponenter ligger i intervallet från till, från och från till, bestäms av Maxwell-fördelningsfunktionen
där m är molekylens massa, n är antalet molekyler per volymenhet. Det följer att antalet molekyler vars absoluta hastigheter ligger i intervallet från v till v + dv har formen
Maxwell-fördelningen når ett maximum vid hastighet, d.v.s. en sådan hastighet som hastigheterna för de flesta molekyler är nära. Arean av den skuggade remsan med basen dV kommer att visa vilken del av det totala antalet molekyler som har hastigheter som ligger i detta intervall. Den specifika formen av Maxwell-distributionsfunktionen beror på typen av gas (molekylmassa) och temperatur. Gasens tryck och volym påverkar inte molekylernas hastighetsfördelning.
Maxwell-fördelningskurvan låter dig hitta den aritmetiska medelhastigheten
Således,
Med ökande temperatur ökar den mest sannolika hastigheten, därför skiftar maximivärdet för fördelningen av molekyler med hastighet mot högre hastigheter, och dess absoluta värde minskar. Följaktligen, när en gas värms upp, minskar andelen molekyler med låga hastigheter, och andelen molekyler med höga hastigheter ökar.
Boltzmann distribution
Detta är energifördelningen av partiklar (atomer, molekyler) idealisk gas under termodynamiska jämviktsförhållanden. Boltzmann-distributionen upptäcktes 1868 - 1871. australiensiska fysikern L. Boltzmann. Enligt fördelningen är antalet partiklar n i med total energi E i lika med:
n i =A ω i e E i /Kt (1)
där ω i är den statistiska vikten (antalet möjliga tillstånd för en partikel med energi e i). Konstant A hittas från villkoret att summan av n i över alla möjliga värden av i är lika med det givna totala antalet partiklar N i systemet (normaliseringstillstånd):
I det fall då partiklars rörelse följer klassisk mekanik, kan energin E i anses bestå av partikelns kinetiska energi E ikin (molekyl eller atom), dess inre energi E iin (till exempel excitationsenergin för elektroner ) och potentiell energi E i, svett i ett yttre fält, beroende på partikelns position i rymden:
E i = E i, kin + E i, int + E i, svett (2)
Hastighetsfördelningen av partiklar är ett specialfall av Boltzmann-fördelningen. Det uppstår när den interna excitationsenergin kan försummas
E i,ext och påverkan av yttre fält E i,pot. I enlighet med (2) kan formel (1) representeras som en produkt av tre exponentialer, som var och en ger fördelningen av partiklar enligt en typ av energi.
I ett konstant gravitationsfält som skapar acceleration g, för partiklar av atmosfäriska gaser nära jordens yta (eller andra planeter), är den potentiella energin proportionell mot deras massa m och höjden H över ytan, dvs. E i, svett = mgH. Efter att ha ersatt detta värde i Boltzmann-fördelningen och summerat alla möjliga värden för partiklarnas kinetiska och inre energier, erhålls en barometrisk formel som uttrycker lagen om minskad atmosfärsdensitet med höjden.
Inom astrofysik, särskilt i teorin om stjärnspektra, används Boltzmann-fördelningen ofta för att bestämma den relativa elektronpopulationen för olika atomenerginivåer. Om vi anger två energitillstånd för atomen med index 1 och 2, så följer fördelningen:
n2/ni = (ω2/ω1) e-(E2-Ei)/kT (3) (Boltzmann-formel).
Energiskillnaden E 2 - E 1 för de två lägre energinivåerna av väteatomen är >10 eV, och kT-värdet som kännetecknar energin termisk rörelse partiklar för atmosfären av stjärnor som solen är bara 0,3-1 eV. Därför är väte i sådana stjärnatmosfärer i ett oexciterat tillstånd. I atmosfären av stjärnor med en effektiv temperatur Te > 5700 K (solen och andra stjärnor), är förhållandet mellan antalet väteatomer i andra och grundtillstånd 4,2 10 -9.
Boltzmannfördelningen erhölls inom ramen för klassisk statistik. Åren 1924-26. Kvantstatistik skapades. Det ledde till upptäckten av Bose - Einstein (för partiklar med heltalsspinn) och Fermi - Dirac-distributionerna (för partiklar med halvheltalsspinn). Båda dessa fördelningar blir en fördelning när det genomsnittliga antalet kvanttillstånd som är tillgängliga för systemet avsevärt överstiger antalet partiklar i systemet, d.v.s. när det finns många kvanttillstånd per partikel eller, med andra ord, när fyllnadsgraden av kvanttillstånd är liten. Villkoret för tillämpligheten av Boltzmann-fördelningen kan skrivas som ojämlikheten:
där N är antalet partiklar, V är systemets volym. Denna ojämlikhet uppfylls vid höga temperaturer och ett litet antal partiklar per enhet. volym (N/V). Det följer av detta att ju större massan av partiklar är, desto bredare intervall av förändringar i T och N/V är Boltzmann-fördelningen giltig.
biljett 7.
Arbetet som utförs av alla applicerade krafter är lika med arbetet som utförs av den resulterande kraften(se fig. 1.19.1).
Det finns ett samband mellan förändringen i en kropps hastighet och det arbete som utförs av krafter som appliceras på kroppen. Detta samband etableras enklast genom att betrakta en kropps rörelse längs en rät linje under inverkan av en konstant kraft. I detta fall är kraftvektorerna för förskjutning, hastighet och acceleration riktade längs en rät linje, och kroppen utför rätlinjig jämnt accelererad rörelse. Genom att rikta koordinataxeln längs den raka rörelselinjen kan vi överväga F, s, υ och a som algebraiska storheter (positiva eller negativa beroende på riktningen för motsvarande vektor). Då kan kraftverket skrivas som A = Fs. Med jämnt accelererad rörelse, förskjutningen s uttrycks med formeln
Detta uttryck visar att arbetet som utförs av en kraft (eller resultatet av alla krafter) är associerat med en förändring i kvadraten på hastigheten (och inte hastigheten i sig).
En fysisk storhet som är lika med halva produkten av en kropps massa och kvadraten på dess hastighet kallas rörelseenergi kropp:
Detta uttalande kallas kinetisk energisats . Teoremet om kinetisk energi är också giltigt i det allmänna fallet, när en kropp rör sig under påverkan av en föränderlig kraft, vars riktning inte sammanfaller med rörelseriktningen.
Kinetisk energi är rörelseenergin. Kinetisk energi för en massakropp m, röra sig med en hastighet lika med det arbete som måste utföras av en kraft som appliceras på en kropp i vila för att ge den denna hastighet:
I fysiken, tillsammans med kinetisk energi eller rörelseenergi viktig roll spelar koncept potentiell energi eller energi av interaktion mellan kroppar.
Potentiell energi bestäms av kropparnas relativa position (till exempel kroppens position i förhållande till jordens yta). Begreppet potentiell energi kan endast introduceras för krafter vars arbete inte beror på rörelsebanan och endast bestäms av kroppens initiala och slutliga positioner. Sådana krafter kallas konservativ .
Arbetet som utförs av konservativa krafter på en sluten bana är noll. Detta uttalande illustreras av fig. 1.19.2.
Tyngdkraft och elasticitet har egenskapen konservatism. För dessa krafter kan vi introducera begreppet potentiell energi.
Om en kropp rör sig nära jordens yta, påverkas den av en tyngdkraft som är konstant i storlek och riktning. Denna krafts arbete beror endast på kroppens vertikala rörelse. På vilken del av banan som helst kan gravitationsarbetet skrivas i projektioner av förskjutningsvektorn på axeln OY, riktad vertikalt uppåt:
Detta arbete är lika med förändringen i någon fysisk kvantitet mgh, taget med motsatt tecken. Denna fysiska kvantitet kallas potentiell energi kroppar i ett gravitationsfält
Potentiell energi E p beror på valet av nollnivå, d.v.s. på valet av utgångspunkten för axeln OY. Det som har en fysisk betydelse är inte den potentiella energin i sig, utan dess förändring Δ E p = Eр2 – E p1 när du flyttar en kropp från en position till en annan. Denna förändring är oberoende av valet av nollnivå.
Om vi överväger rörelsen av kroppar i jordens gravitationsfält på betydande avstånd från den, då när man bestämmer den potentiella energin är det nödvändigt att ta hänsyn till gravitationskraftens beroende av avståndet till jordens centrum ( lag universell gravitation ). För universell gravitationskrafter är det lämpligt att räkna potentiell energi från en punkt i oändligheten, det vill säga att anta att den potentiella energin hos en kropp vid en oändligt avlägsen punkt är lika med noll. Formel som uttrycker den potentiella energin hos en massakropp m på distans r från jordens centrum, har formen ( se §1.24):
|
|
Var M- jordens massa, G– gravitationskonstant.
Begreppet potentiell energi kan också introduceras för den elastiska kraften. Denna kraft har också egenskapen att vara konservativ. När vi sträcker (eller trycker ihop) en fjäder kan vi göra detta på olika sätt.
Du kan helt enkelt förlänga fjädern med ett belopp x, eller först förlänga den med 2 x, och minska sedan förlängningen till värdet x etc. I alla dessa fall gör den elastiska kraften samma arbete, vilket endast beror på fjäderns förlängning x i sluttillståndet om fjädern från början var odeformerad. Detta arbete är lika med den yttre kraftens arbete A, tagen med motsatt tecken ( se §1.18):
Potentiell energi hos en elastiskt deformerad kropp är lika med det arbete som utförs av den elastiska kraften under övergången från ett givet tillstånd till ett tillstånd med noll deformation.
Om i det initiala tillståndet var fjädern redan deformerad, och dess förlängning var lika med x 1, sedan vid övergång till ett nytt tillstånd med förlängning x 2, kommer den elastiska kraften att arbeta lika med förändringen i potentiell energi taget med motsatt tecken:
I många fall är det bekvämt att använda den molära värmekapaciteten C:
där M är ämnets molära massa.
Värmekapaciteten bestäms på detta sätt är inte entydig egenskap hos ett ämne. Enligt termodynamikens första lag beror förändringen i en kropps inre energi inte bara på mängden värme som tas emot utan också på det arbete som kroppen utför. Beroende på de förhållanden under vilka värmeöverföringsprocessen utfördes, kunde kroppen utföra olika arbeten. Därför kan samma mängd värme som överförs till en kropp orsaka olika förändringar i dess inre energi och, följaktligen, temperatur.
Denna tvetydighet vid bestämning av värmekapacitet är typisk endast för gasformiga ämnen. När vätskor och fasta ämnen värms upp förändras deras volym praktiskt taget inte, och expansionsarbetet visar sig vara noll. Därför går hela mängden värme som tas emot av kroppen till att förändra dess inre energi. Till skillnad från vätskor och fasta ämnen, gas i processen för värmeöverföring kan avsevärt ändra sin volym och göra arbete. Därför beror värmekapaciteten hos ett gasformigt ämne på den termodynamiska processens natur. Vanligtvis beaktas två värden på gasernas värmekapacitet: C V – molär värmekapacitet i en isokorisk process (V = const) och C p – molär värmekapacitet i isobarisk process(p = konst).
I processen vid konstant volym gör gasen inget arbete: A = 0. Från termodynamikens första lag för 1 mol gas följer den
där ΔV är förändringen i volym av 1 mol av en idealgas när dess temperatur ändras med ΔT. Detta innebär:
där R är den universella gaskonstanten. För p = konst
Således har förhållandet som uttrycker förhållandet mellan de molära värmekapaciteterna C p och C V formen (Mayers formel):
Den molära värmekapaciteten C p för en gas i en process med konstant tryck är alltid större än den molära värmekapaciteten C V i en process med konstant volym (Fig. 3.10.1).
I synnerhet ingår denna relation i formeln för den adiabatiska processen (se §3.9).
Mellan två isotermer med temperaturerna T 1 och T 2 i diagrammet (p, V) är olika övergångsvägar möjliga. Eftersom för alla sådana övergångar är förändringen i temperatur ΔT = T 2 – T 1 densamma, därför är förändringen ΔU för intern energi densamma. Arbetet A som utförs i detta fall och mängden värme Q som erhålls till följd av värmeväxling kommer dock att visa sig vara olika för olika övergångsvägar. Av detta följer att gas har ett oändligt antal värmekapaciteter. C p och C V är endast partiella (och mycket viktiga för teorin om gaser) värden för värmekapacitet.
Biljett 8.
1 Givetvis beskriver inte positionen för en, till och med en "särskild" punkt, rörelsen av hela det aktuella kroppssystemet, men det är ändå bättre att känna till positionen för åtminstone en punkt än att inte veta någonting. Icke desto mindre, låt oss överväga tillämpningen av Newtons lagar på beskrivningen av rotationen av en stel kropp runt en fast yxor 1 . Låt oss börja med det enklaste fallet: låt materialet peka på massan m fäst med en viktlös stel stånglängd r till den fasta axeln OO / (Fig. 106).
En materialpunkt kan röra sig runt en axel, förbli på ett konstant avstånd från den, därför kommer dess bana att vara en cirkel med ett centrum på rotationsaxeln. Naturligtvis följer en punkts rörelse ekvationen för Newtons andra lag
Den direkta tillämpningen av denna ekvation är dock inte motiverad: för det första har punkten en frihetsgrad, därför är det lämpligt att använda rotationsvinkeln som den enda koordinaten, snarare än två kartesiska koordinater; för det andra påverkas det aktuella systemet av reaktionskrafter i rotationsaxeln och direkt på materialpunkten av stångens dragkraft. Att hitta dessa krafter är ett separat problem, vars lösning är onödig för att beskriva rotation. Därför är det vettigt att, baserat på Newtons lagar, få en speciell ekvation som direkt beskriver rotationsrörelse. Låt vid något ögonblick en viss kraft verka på en materiell punkt F, liggande i ett plan vinkelrätt mot rotationsaxeln (fig. 107).
I den kinematiska beskrivningen av krökt rörelse är det lämpligt att sönderdela den totala accelerationsvektorn a i två komponenter - normal A n, riktad mot rotationsaxeln och tangentiell A τ , riktad parallellt med hastighetsvektorn. Vi behöver inte värdet av normal acceleration för att bestämma rörelselagen. Naturligtvis beror denna acceleration också aktiva krafter, varav en är stavens okända spänningskraft. Låt oss skriva ekvationen för den andra lagen i projektion på tangentiell riktning:
Observera att stavens reaktionskraft inte ingår i denna ekvation, eftersom den är riktad längs staven och vinkelrätt mot den valda projektionen. Ändra rotationsvinkeln φ bestäms direkt av vinkelhastigheten
ω = Δφ/Δt,
vars förändring i sin tur beskrivs av vinkelaccelerationen
ε = Δω/Δt.
Vinkelacceleration är relaterad till den tangentiella komponenten av acceleration genom relationen
A τ = rε.
Om vi ersätter detta uttryck i ekvation (1), får vi en ekvation som är lämplig för att bestämma vinkelacceleration. Det är bekvämt att introducera en ny fysisk kvantitet som bestämmer kropparnas interaktion när de roterar. För att göra detta, multiplicera båda sidorna av ekvation (1) med r:
herr 2 ε = F τ r. (2)
Betrakta uttrycket på dess högra sida F τ r, vilket har betydelsen av att multiplicera den tangentiella komponenten av kraften med avståndet från rotationsaxeln till punkten för anbringande av kraften. Samma verk kan presenteras i en något annorlunda form (bild 108):
M=F τ r = Frcosa = Fd,
Här d− avståndet från rotationsaxeln till kraftens verkningslinje, som också kallas kraftens skuldra. Denna fysiska storhet är produkten av kraftmodulen och avståndet från kraftens verkningslinje till rotationsaxeln (kraftarm) M = Fd− kallas kraftmomentet. Kraftverkan kan leda till rotation antingen medurs eller moturs. I enlighet med den valda positiva rotationsriktningen bör tecknet på kraftmomentet bestämmas. Observera att kraftmomentet bestäms av den komponent av kraften som är vinkelrät mot radievektorn för appliceringspunkten. Komponenten i kraftvektorn riktad längs segmentet som förbinder appliceringspunkten och rotationsaxeln leder inte till att kroppen lossnar. När axeln är fixerad kompenseras denna komponent av reaktionskraften i axeln och påverkar därför inte kroppens rotation. Låt oss skriva ner ett annat användbart uttryck för kraftens ögonblick. Må kraften F tillämpas på en punkt A, vars kartesiska koordinater är lika X, på(Fig. 109).
Låt oss bryta ner kraften F i två komponenter F X , F på, parallellt med motsvarande koordinataxlar. Kraftmomentet F i förhållande till axeln som går genom koordinaternas ursprung är uppenbarligen lika med summan av momenten för komponenterna F X , F på, det är
M = xF på − уF X .
På samma sätt som vi introducerade begreppet vinkelhastighetsvektor kan vi också definiera begreppet vridmomentvektor. Modulen för denna vektor motsvarar definitionen ovan, och den är riktad vinkelrätt mot planet som innehåller kraftvektorn och segmentet som förbinder kraftens appliceringspunkt med rotationsaxeln (fig. 110).
Kraftmomentvektorn kan också definieras som vektorprodukten av radievektorn för kraftens appliceringspunkt och kraftvektorn
Observera att när kraftens appliceringspunkt förskjuts längs linjen för dess verkan, ändras inte kraftmomentet. Låt oss beteckna produkten av massan av en materialpunkt med kvadraten på avståndet till rotationsaxeln
herr 2 =Jag
(denna mängd kallas tröghetsmoment materialpunkt i förhållande till axeln). Med hjälp av dessa notationer antar ekvation (2) en form som formellt sammanfaller med ekvationen för Newtons andra lag för translationell rörelse:
Iε = M. (3)
Denna ekvation kallas den grundläggande ekvationen för rotationsrörelsedynamik. Så kraftmomentet i rotationsrörelse spelar samma roll som kraften i translationsrörelse - det är det som bestämmer förändringen vinkelhastighet. Det visar sig (och detta bekräftas av vår vardagliga erfarenhet), kraftens inverkan på rotationshastigheten bestäms inte bara av kraftens storlek, utan också av punkten för dess tillämpning. Tröghetsmomentet bestämmer tröghetsegenskaperna hos en kropp med avseende på rotation (säg på ett enkelt språk− visar om det är lätt att snurra kroppen): ju längre en materialpunkt är från rotationsaxeln, desto svårare är det att få den att rotera. Ekvation (3) kan generaliseras till fallet med rotation av en godtycklig kropp. När en kropp roterar runt en fast axel är vinkelaccelerationerna för alla punkter i kroppen desamma. Därför, på samma sätt som vi gjorde när vi härledde Newtons ekvation för en kropps translationella rörelse, kan vi skriva ekvationer (3) för alla punkter i en roterande kropp och sedan summera dem. Som ett resultat får vi en ekvation som externt sammanfaller med (3), i vilken jag− hela kroppens tröghetsmoment, lika med summan av momenten av dess ingående materialpunkter, M− summan av momenten av yttre krafter som verkar på kroppen. Låt oss visa hur tröghetsmomentet för en kropp beräknas. Det är viktigt att betona att en kropps tröghetsmoment beror inte bara på kroppens massa, form och storlek, utan också på rotationsaxelns position och orientering. Formellt går beräkningsproceduren ut på att dela kroppen i små delar, som kan betraktas som materiella punkter (bild 111),
och summeringen av tröghetsmomenten för dessa materialpunkter, som är lika med produkten av massan med kvadraten på avståndet till rotationsaxeln:
För kroppar med enkel form har sådana mängder länge beräknats, så det räcker ofta att komma ihåg (eller hitta i en referensbok) motsvarande formel för det nödvändiga tröghetsmomentet. Som ett exempel: tröghetsmomentet för en cirkulär homogen cylinder, massa m och radie R, för rotationsaxeln som sammanfaller med cylinderns axel är lika med:
I = (1/2)mR 2 (Fig. 112).
I det här fallet begränsar vi oss till att överväga rotation runt en fast axel, eftersom att beskriva en kropps godtyckliga rotationsrörelse är ett komplext matematiskt problem som går långt utanför ramarna för en gymnasiekurs i matematik. Denna beskrivning kräver inte kunskap om andra fysiska lagar än de som vi anser.
2 Inre energi kropp (betecknad som E eller U) - den totala energin för denna kropp minus den kinetiska energin för kroppen som helhet och den potentiella energin hos kroppen i det yttre kraftfältet. Följaktligen består den inre energin av den kinetiska energin från den kaotiska rörelsen av molekyler, den potentiella energin för interaktion mellan dem och intramolekylär energi.
Den inre energin i en kropp är energin av rörelse och interaktion mellan de partiklar som utgör kroppen.
Den inre energin i en kropp är den totala kinetiska energin för rörelse av kroppens molekyler och den potentiella energin för deras interaktion.
Intern energi är en unik funktion av systemets tillstånd. Detta innebär att närhelst systemet hamnar i detta tillstånd, tar dess inre energi det värde som är inneboende i detta tillstånd, oavsett systemets förhistoria. Följaktligen kommer förändringen i intern energi under övergången från ett tillstånd till ett annat alltid att vara lika med skillnaden i värden i dessa tillstånd, oavsett vägen längs vilken övergången ägde rum.
En kropps inre energi kan inte mätas direkt. Du kan bara bestämma förändringen i intern energi:
För kvasistatiska processer gäller följande relation:
1. Allmän information Mängden värme som krävs för att värma en enhetsmängd gas med 1° kallas värmekapacitet och betecknas med bokstaven Med. I tekniska beräkningar mäts värmekapaciteten i kilojoule. När man använder det gamla systemet med enheter uttrycks värmekapaciteten i kilokalorier (GOST 8550-61) *. Beroende på enheterna i vilka mängden gas mäts, skiljer de: molär värmekapacitet \xc till kJ/(kmol x X hagel); massa värmekapacitet c in kJ/(kg-grader); volymetrisk värmekapacitet Med V kJ/(m 3 hagel). Vid bestämning av den volymetriska värmekapaciteten är det nödvändigt att ange vilka värden av temperatur och tryck den hänför sig till. Det är vanligt att bestämma den volymetriska värmekapaciteten under normala fysiska förhållanden. Värmekapaciteten hos gaser som följer de idealiska gaslagarna beror endast på temperaturen. Man skiljer mellan gasernas genomsnittliga och sanna värmekapacitet. Sann värmekapacitet är förhållandet mellan den oändliga mängden värme som tillförs Dd när temperaturen ökar med en oändlig mängd På: Genomsnittlig värmekapacitet bestämmer den genomsnittliga mängden värme som tillförs vid uppvärmning av en enhetsmängd gas med 1° i temperaturområdet från t x innan t%: Var q- mängden värme som tillförs en enhetsmassa av gas när den värms upp från temperatur t t upp till temperatur t%. Beroende på arten av den process i vilken värme tillförs eller avlägsnas, kommer gasens värmekapacitet att vara olika.Om gasen värms upp i ett kärl med konstant volym (V=" = const), förbrukas värme endast för att öka dess temperatur. Om gasen finns i en cylinder med en rörlig kolv, förblir gastrycket konstant när värme tillförs (p == konst). Samtidigt, vid uppvärmning, expanderar gasen och producerar arbete mot yttre krafter samtidigt som den ökar dess temperatur. För skillnaden mellan den slutliga och initiala temperaturen under gasuppvärmning i processen R= const skulle vara samma som vid uppvärmning vid V= = const, mängden förbrukad värme måste vara större med en mängd som är lika med det arbete som utförs av gasen i processen p = = konst. Av detta följer att värmekapaciteten hos en gas vid konstant tryck Med R kommer att vara större än värmekapaciteten vid en konstant volym. Den andra termen i ekvationerna kännetecknar mängden värme som förbrukas av gasen i processen R= = konst när temperaturen ändras med 1°. Vid ungefärliga beräkningar kan man anta att arbetskroppens värmekapacitet är konstant och inte beror på temperaturen. I detta fall kan värdena för de molära värmekapaciteterna vid konstant volym tas för mono-, di- respektive polyatomära gaser lika 12,6; 20.9 och 29.3 kJ/(kmol-grad) eller 3; 5 och 7 kcal/(kmol-grad).
Goldfarb N., Novikov V. Impuls av en kropp och system av kroppar // Quantum. - 1977. - Nr 12. - S. 52-58.
Efter särskild överenskommelse med redaktionen och redaktörerna för tidskriften "Kvant"
Begreppet momentum (rörelsekvantitet) introducerades först i mekaniken av Newton. Låt oss komma ihåg att rörelsemängden för en materiell punkt (kropp) förstås som en vektorkvantitet lika med produkten av kroppens massa och dess hastighet:
Tillsammans med begreppet kroppsimpuls används begreppet kraftimpuls. Kraftimpulsen har ingen speciell beteckning. I det speciella fallet när kraften som verkar på kroppen är konstant, är kraftens impuls per definition lika med produkten av kraften och tiden för dess verkan: . I allmänhet, när en kraft förändras med tiden, definieras kraftens rörelsemängd som .
Med hjälp av begreppet kroppsrörelsemängd och kraftimpuls kan Newtons första och andra lag formuleras enligt följande.
Newtons första lag: det finns referenssystem där en kropps rörelsemängd förblir oförändrad om andra kroppar inte agerar på den eller om andra kroppars handlingar kompenseras.
Newtons andra lag: i tröghetsreferenssystem är förändringen i en kropps rörelsemängd lika med rörelsemängden för den kraft som appliceras på kroppen, dvs.
Till skillnad från den vanliga galileiska formen av den andra lagen: tillåter "impulsformen" av denna lag att den kan tillämpas på problem som är förknippade med rörelsen av kroppar med variabel massa (till exempel raketer) och med rörelser i området nära- ljushastigheter (när en kropps massa beror på dess hastighet).
Vi betonar att den impuls som en kropp förvärvar beror inte bara på kraften som verkar på kroppen, utan också på varaktigheten av dess verkan. Detta kan till exempel illustreras genom ett experiment med att dra ut ett pappersark under en flaska - vi låter det stå nästan orörligt om vi rycker till det (fig. 1). Den glidande friktionskraften som verkar på flaskan under en mycket kort tidsperiod, det vill säga en liten kraftimpuls, orsakar en motsvarande liten förändring i flaskans rörelsemängd.
Newtons andra lag (i "impuls"-form) gör det möjligt att bestämma impulsen av kraften som verkar på kroppen genom att förändra kroppens rörelsemängd. given kropp, och medelvärdet av kraften under dess verkan. Som ett exempel, överväg följande problem.
Problem 1. En boll med en massa på 50 g träffar en slät vertikal vägg i en vinkel på 30° mot den, med en hastighet på 20 m/s i slagögonblicket, och reflekteras elastiskt. Bestäm medelkraften som verkar på bollen under kollisionen om bollens kollision med väggen varar 0,02 s.
Under stöten verkar två krafter på bollen - väggens reaktionskraft (den är vinkelrät mot väggen, eftersom det inte finns någon friktion) och tyngdkraften. Låt oss försumma gravitationsimpulsen och anta att den i absolut värde är mycket mindre än kraftimpulsen (vi kommer att bekräfta detta antagande senare). Sedan, när en boll kolliderar med en vägg, är projektionen av dess rörelsemängd på den vertikala axeln Y kommer inte att ändras, utan till den horisontella axeln X- kommer att förbli detsamma i absoluta värde, men kommer att ändra tecken till motsatt. Som ett resultat, som kan ses i figur 2, kommer bollens rörelsemängd att ändras med mängden , och
Följaktligen verkar en kraft på bollen från sidan av väggen så att
Enligt Newtons tredje lag verkar bollen på väggen med samma absoluta kraft.
Låt oss nu jämföra de absoluta värdena för kraftimpulserna och:
1 N·s, = 0,01 N·s.
Vi ser det, och gravitationsimpulsen kan verkligen försummas.
Impulsen är anmärkningsvärd i det att den under inverkan av samma kraft förändras lika i alla kroppar, oavsett deras massa, om bara kraftens verkanstid är densamma. Låt oss titta på följande problem.
Problem 2. Två partiklar med massor m och 2 m rör sig i ömsesidigt vinkelräta riktningar med hastigheterna 2 respektive (Fig. 3). Partiklarna börjar uppleva lika krafter. Bestäm storleken och riktningen för hastigheten för en partikel med massa 2 m vid den tidpunkt då hastigheten för en massapartikel m blev som visas med den streckade linjen: a) i figur 3, a; b) i figur 3, b.
Förändringen i rörelsemängden för båda partiklarna är densamma: samma krafter verkade på dem under samma tid. I fallet a) är förändringsmodulen i den första partikelns rörelsemängd lika med
Vektorn är riktad horisontellt (fig. 4, a). Den andra partikelns rörelsemängd förändras också. Därför kommer den andra partikelns rörelsemängdsmodul att vara lika med
hastighetsmodulen är lika med , och vinkeln 
.
På liknande sätt finner vi att i fall b) är förändringsmodulen i den första partikelns rörelsemängd lika med (Fig. 4, b). Modulen för den andra partikelns rörelsemängd blir lika stor (detta är lätt att hitta med cosinussatsen), modulen för denna partikels hastighet blir lika och vinkeln (enligt sinussatsen).
När vi går vidare till ett system av samverkande kroppar (partiklar) visar det sig att systemets totala rörelsemängd - den geometriska summan av rörelsemängden hos de samverkande kropparna - har den anmärkningsvärda egenskapen att bevaras över tid. Denna lag om bevarande av momentum är en direkt följd av Newtons andra och tredje lag. I läroboken "Fysik 8" härleddes denna lag för fallet med två interagerande kroppar som bildar ett slutet system (dessa kroppar interagerar inte med några andra kroppar). Det är lätt att generalisera denna slutsats till ett slutet system som består av ett godtyckligt tal n tel. Låt oss visa det.
Enligt Newtons andra lag, förändringen i momentum i systemets kropp under en kort tidsperiod Δ t lika med summan av impulserna från krafterna av dess interaktion med alla andra kroppar i systemet:
Förändringen i den totala impulsen av ett system är summan av förändringarna i de impulser som utgör systemet av kroppar: enligt Newtons andra lag är det lika med summan av impulserna av alla inre krafter i systemet:
I enlighet med Newtons tredje lag är krafterna för växelverkan mellan systemets kroppar parvis identiska i absolut värde och motsatta i riktning: . Därför är summan av alla inre krafter noll, vilket betyder
Men om en förändring av ett visst värde under en godtycklig kort tidsperiod Δ tär lika med noll, då är denna kvantitet i sig konstant över tiden:
Således kompenseras en förändring i rörelsemängden hos någon av de kroppar som utgör ett slutet system av den motsatta förändringen i andra delar av systemet. Med andra ord kan impulserna från kropparna i ett slutet system ändras efter önskemål, men deras summa förblir konstant i tiden. Om systemet inte är stängt, det vill säga inte bara interna utan även externa krafter verkar på systemets kroppar, kommer vi, resonerande på liknande sätt, komma till slutsatsen att ökningen av systemets totala momentum över en tidsperiod Δ t kommer att vara lika med summan av impulserna av yttre krafter under samma tidsperiod:
Systemets rörelsemängd kan endast ändras av yttre krafter.
Om , då beter sig det öppna systemet som ett slutet, och lagen om bevarande av momentum gäller för det.
Låt oss nu överväga flera specifika problem.
Problem 3. Massvapen m glider nedför ett jämnt lutande plan och bildar en vinkel α med horisontalplanet. I det ögonblick då pistolens hastighet är lika med , avfyras ett skott, vilket resulterar i att pistolen stannar, och projektilen som kastas ut i horisontell riktning "bär bort" impulsen (fig. 5). Varaktigheten av skottet är τ. Vilket är medelvärdet av reaktionskraften på sidan av det lutande planet över tiden τ?
Den initiala impulsen för vapen-projektilsystemet av kroppar är lika med , den slutliga impulsen är lika med . Systemet i fråga är inte stängt: under tiden τ får det en ökning i momentum. Förändringen i systemets rörelsemängd beror på verkan av två yttre krafter: reaktionskraften (vinkelrätt mot det lutande planet) och gravitationen, så vi kan skriva
Låt oss presentera detta förhållande grafiskt (fig. 6). Från figuren är det omedelbart tydligt att det önskade värdet bestäms av formeln
Momentum är en vektorkvantitet, så lagen om bevarande av momentum kan tillämpas på var och en av dess projektioner på koordinataxlarna. Med andra ord, om , då bevaras de oberoende av varandra p x, p y Och p z(om problemet är tredimensionellt).
I det fall då summan av externa krafter inte är lika med noll, men projektionen av denna summa i en viss riktning är noll, förblir projektionen av den totala impulsen i samma riktning oförändrad. Till exempel, när ett system rör sig i ett gravitationsfält, bevaras projiceringen av dess rörelsemängd i vilken horisontell riktning som helst.
problem 4. En horisontellt flygande kula träffar ett träblock upphängt i en mycket lång lina och fastnar i blocket, vilket ger den fart u= 0,5 m/s. Bestäm kulans hastighet före nedslaget. Kulvikt m= 15 g, stavens massa M= 6 kg.
Att bromsa en kula i ett block är en komplex process, men för att lösa problemet finns det inget behov av att fördjupa sig i detaljerna. Eftersom det inte finns några yttre krafter som verkar i riktning mot kulans hastighet före stöten och blockets hastighet efter att kulan fastnat (upphängningen är mycket lång, så blockets hastighet är horisontell), är bevarandelagen momentum kan appliceras:
Därav kulhastigheten
υ » 200 m/s.
Under verkliga förhållanden - under gravitationsförhållanden - finns det inga slutna system om inte jorden ingår i dem. Men om interaktionen mellan systemets kroppar är mycket starkare än deras interaktion med jorden, kan lagen om bevarande av momentum tillämpas med stor noggrannhet. Detta kan till exempel göras i alla kortsiktiga processer: explosioner, kollisioner etc. (se t.ex. uppgift 1).
Problem 5. Det tredje steget av raketen består av en bärraket som väger m p = 500 kg och en huvudkon vägande m k = 10 kg. En komprimerad fjäder är placerad mellan dem. Under tester på jorden gav fjädern konen en hastighet på υ = 5,1 m/s i förhållande till bärraketen. Vad blir hastigheten för konen υ k och bärraketen υ p om deras separation sker i omloppsbana medan de rör sig med en hastighet υ = 8000 m/s?
Enligt lagen om bevarande av momentum
Förutom,
Från dessa två relationer får vi
Detta problem kan också lösas i en referensram som rör sig med hastighet i flygriktningen. Låt oss notera i detta avseende att om momentum bevaras i en tröghetsram, så bevaras det i vilken annan tröghetsram som helst.
Lagen om bevarande av momentum ligger till grund för jetframdrivning. En gasstråle som strömmar ut från raketen för bort farten. Denna impuls måste kompenseras av samma modulförändring i impulsen för den återstående delen av raket-gassystemet.
Problem 6. Från en raketvägning M Förbränningsprodukter släpps ut i delar av samma massa m med en hastighet i förhållande till raketen. Försumma effekten av gravitationen, bestäm hastigheten på raketen som den kommer att nå efter avgång n-te delen.
Låt vara hastigheten på raketen i förhållande till jorden efter utsläppet av den första delen av gasen. Enligt lagen om bevarande av momentum
var är hastigheten för den första delen av gasen i förhållande till jorden i ögonblicket för separation av raket-gassystemet, när raketen redan har uppnått hastighet . Härifrån
Låt oss nu hitta hastigheten på raketen efter den andra delens avgång. I en referensram som rör sig i hastighet är raketen orörlig innan den andra delen släpps, och efter släppningen får den fart . Genom att använda den föregående formeln och göra en substitution i den får vi
Då blir det lika
Lagen om bevarande av momentum kan ges en annan form, som förenklar lösningen av många problem, om vi introducerar begreppet systemets massacentrum (tröghetscentrum). Koordinater för masscentrum (punkter Med) per definition är relaterade till massorna och koordinaterna för de partiklar som utgör systemet genom följande relationer:
Det bör noteras att systemets masscentrum i ett enhetligt tyngdfält sammanfaller med tyngdpunkten.
Att få reda på fysisk mening masscentrum, beräknar vi dess hastighet, eller snarare, projektionen av denna hastighet. A-priory
I denna formel
Och 
På exakt samma sätt finner vi det
Det följer att
Systemets totala rörelsemängd är lika med produkten av systemets massa och hastigheten för dess masscentrum.
Systemets masscentrum (tröghetscentrum) får alltså betydelsen av en punkt vars hastighet är lika med rörelsehastigheten för systemet som helhet. Om , då är systemet som helhet i vila, även om i detta fall systemets kroppar i förhållande till tröghetscentrum kan röra sig på ett godtyckligt sätt.
Med hjälp av formeln kan lagen om bevarande av rörelsemängd formuleras enligt följande: masscentrum i ett slutet system rör sig antingen rätlinjigt och likformigt eller förblir orörligt. Om systemet inte är stängt kan det visas att
Tröghetscentrumets acceleration bestäms av resultanten av alla yttre krafter som appliceras på systemet.
Låt oss överväga sådana problem.
3 uppgift 7. I ändarna av en homogen plattform av längd l det finns två personer vars massor är och (Fig. 7). Den första gick till mitten av perrongen. På vilket avstånd X Behöver en andra person röra sig längs plattformen så att vagnen återgår till sin ursprungliga plats? Hitta det villkor under vilket problemet har en lösning.
Låt oss hitta koordinaterna för systemets massacentrum vid de inledande och sista ögonblicken och likställa dem (eftersom masscentrumet förblev på samma plats). Låt oss ta som ursprung för koordinaterna den punkt där det i det första ögonblicket fanns en massperson m 1 . Sedan
(Här M- plattformens massa). Härifrån
Uppenbarligen, om m 1 > 2m 2, då x > l- uppgiften förlorar sin mening.
Problem 8. På en tråd som kastas över ett viktlöst block är två vikter upphängda, vars massor m 1 och m 2 (fig. 8). Hitta accelerationen för detta systems masscentrum om m 1 > m 2 .
En kula med 22 kaliber har en massa på endast 2 g. Om du kastar en sådan kula till någon kan han lätt fånga den även utan handskar. Om du försöker fånga en sådan kula som flyger ut ur nospartiet med en hastighet av 300 m/s, hjälper inte ens handskar.
Om en leksaksvagn rullar mot dig kan du stoppa den med tån. Om en lastbil rullar mot dig bör du flytta fötterna ur dess väg.
Låt oss överväga ett problem som visar sambandet mellan en kraftimpuls och en förändring i en kropps rörelsemängd.
Exempel. Bollens massa är 400 g, hastigheten som bollen fick efter stöten är 30 m/s. Kraften med vilken foten verkade på bollen var 1500 N, och slagtiden var 8 ms. Hitta kraftimpulsen och förändringen i kroppens momentum för bollen.
Förändring i kroppens momentum
Exempel. Uppskatta medelkraften från golvet som verkar på bollen under stöten.
1) Under ett slag verkar två krafter på bollen: markreaktionskraft, gravitation.
Reaktionskraften ändras under slagtiden, så det är möjligt att hitta golvets genomsnittliga reaktionskraft.
- I kontakt med 0
- Google+ 0
- OK 0
- Facebook 0
