Lös logaritmisk olikhet USE uppgift 15. Manovs arbete "logaritmiska olikheter i USE"

Resonemanget som förs är enkelt, men förenklar lösningen av logaritmiska ojämlikheter avsevärt.

Exempel 4.

log x (x 2 -3)<0

Lösning:

Exempel 5.

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x )

Lösning:

Svar. (0; 0,5)U.

Exempel 6.

För att lösa denna olikhet skriver vi istället för nämnaren (x-1-1)(x-1), och istället för täljaren skriver vi produkten (x-1)(x-3-9 + x).

Svar : (3;6)

Exempel 7.

Exempel 8.

2.3. Icke-standardiserad substitution.

Exempel 1.

Exempel 2.

Exempel 3.

Exempel 4.

Exempel 5.

Exempel 6.

Exempel 7.

log 4 (3 x -1) log 0,25

Låt oss ersätta y=3 x -1; då kommer denna ojämlikhet att ta formen

Logg 4 log 0,25
.

Därför att log 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , sedan skriver vi om den sista olikheten som 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Låt oss ersätta t =log 4 y och erhålla olikheten t 2 -2t +≥0, vars lösning är intervallen - .

För att hitta värdena för y har vi alltså en uppsättning av två enkla olikheter
Lösningen på denna uppsättning är intervallen 0<у≤2 и 8≤у<+.

Därför är den ursprungliga ojämlikheten ekvivalent med mängden av två exponentiella olikheter,
det vill säga aggregat

Lösningen på den första olikheten i denna uppsättning är intervallet 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Således är den ursprungliga olikheten uppfylld för alla värden på x från intervallen 0<х≤1 и 2≤х<+.

Exempel 8.

Lösning:

Ojämlikhet är lika med system

Lösningen på den andra ojämlikheten som definierar ODZ kommer att vara uppsättningen av dessa x,

för vilka x > 0.

För att lösa den första ojämlikheten gör vi substitutionen

Då får vi ojämlikheten

eller

Uppsättningen av lösningar på den sista ojämlikheten hittas av metoden

intervaller: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, vi får

eller

Många av dem x, som tillfredsställer den sista ojämlikheten

tillhör ODZ ( x> 0), är därför en lösning på systemet,

och därav den ursprungliga ojämlikheten.

Svar:

2.4. Uppgifter med fällor.

Exempel 1.

.

Lösning. Olikhetens ODZ är alla x som uppfyller villkoret 0 . Därför är alla x från intervallet 0

Exempel 2.

log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.. ? Poängen är att den andra siffran uppenbarligen är större än

Slutsats

Det var inte lätt att hitta specifika metoder för att lösa C3-problem från ett stort överflöd av olika utbildningskällor. Under arbetets gång kunde jag studera icke-standardiserade metoder för att lösa komplexa logaritmiska ojämlikheter. Dessa är: ekvivalenta övergångar och den generaliserade metoden för intervaller, metoden för rationalisering , icke-standardiserad substitution , uppgifter med fällor på ODZ. Dessa metoder ingår inte i skolans läroplan.

Med olika metoder löste jag 27 ojämlikheter som föreslagits på Unified State Exam i del C, nämligen C3. Dessa ojämlikheter med lösningar genom metoder utgjorde grunden för samlingen "C3 Logaritmiska olikheter med lösningar", som blev en projektprodukt av min verksamhet. Hypotesen jag ställde upp i början av projektet bekräftades: C3-problem kan effektivt lösas om du känner till dessa metoder.

Dessutom upptäckte jag intressanta fakta om logaritmer. Det var intressant för mig att göra det här. Mina projektprodukter kommer att vara användbara för både elever och lärare.

Slutsatser:

Därmed har projektmålet uppnåtts och problemet är löst. Och jag fick den mest kompletta och varierande erfarenheten av projektverksamhet i alla skeden av arbetet. Under arbetet med projektet var min huvudsakliga utvecklingsinverkan på mental kompetens, aktiviteter relaterade till logiska mentala operationer, utveckling av kreativ kompetens, personligt initiativ, ansvar, uthållighet och aktivitet.

En garanti för framgång när man skapar ett forskningsprojekt för Jag fick: betydande skolerfarenhet, förmågan att få information från olika källor, kontrollera dess tillförlitlighet och rangordna den efter betydelse.

Förutom direkta ämneskunskaper i matematik utökade jag mina praktiska färdigheter inom datavetenskap, fick nya kunskaper och erfarenheter inom psykologiområdet, knöt kontakter med klasskamrater och lärde mig att samarbeta med vuxna. Under projektverksamheten utvecklades organisatoriska, intellektuella och kommunikativa allmänpedagogiska färdigheter.

Litteratur

1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. System av ojämlikheter med en variabel (standarduppgifter C3).

2. Malkova A. G. Förberedelse för Unified State Examen i matematik.

3. Samarova S. S. Lösa logaritmiska ojämlikheter.

4. Matematik. Samling av träningsverk redigerade av A.L. Semenov och I.V. Jasjtjenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 s.-

Artikeln ägnas åt analysen av uppgifter 15 från profilen Unified State Examination i matematik för 2017. I denna uppgift uppmanas skolbarn att lösa ojämlikheter, oftast logaritmiska. Även om det kan finnas vägledande sådana. Den här artikeln ger en analys av exempel på logaritmiska olikheter, inklusive de som innehåller en variabel i basen av logaritmen. Alla exempel är hämtade från den öppna banken av Unified State Examination-uppgifter i matematik (profil), så sådana ojämlikheter kommer sannolikt att uppstå i provet som uppgift 15. Perfekt för dem som vill lära sig att lösa uppgift 15 från den andra delen av profilen Unified State Exam på kort tid i matematik för att få fler betyg på provet.

Analys av uppgifter 15 från profilen Unified State Examination i matematik

I uppgifter 15 i Unified State Exam i matematik (profil) stöter man ofta på logaritmiska ojämlikheter. Att lösa logaritmiska olikheter börjar med att bestämma intervallet för acceptabla värden. I det här fallet finns det ingen variabel i basen för båda logaritmerna, det finns bara talet 11, vilket avsevärt förenklar problemet. Så den enda begränsningen vi har här är att båda uttrycken under logaritmtecknet är positiva:

Title="Renderd av QuickLaTeX.com">!}

Den första ojämlikheten i systemet är den kvadratiska ojämlikheten. För att lösa det skulle vi verkligen vilja faktorisera vänster sida. Jag tror att du vet att någon kvadratisk trinomial av formen faktoriseras enligt följande:

var och är rötterna till ekvationen. I det här fallet är koefficienten 1 (detta är den numeriska koefficienten framför ). Koefficienten är också lika med 1, och koefficienten är blindtermen, den är lika med -20. Rötterna till ett trinomial bestäms lättast med hjälp av Vietas sats. Ekvationen vi har gett betyder att summan av rötterna blir lika med koefficienten med motsatt tecken, det vill säga -1, och produkten av dessa rötter kommer att vara lika med koefficienten, det vill säga -20. Det är lätt att gissa att rötterna blir -5 och 4.

Nu kan den vänstra sidan av ojämlikheten faktoriseras: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X vid punkterna -5 och 4. Detta betyder att den nödvändiga lösningen på ojämlikheten är intervallet . För de som inte förstår vad som står här kan ni se detaljerna i videon, från och med nu. Där hittar du också en detaljerad förklaring av hur den andra ojämlikheten i systemet löses. Det håller på att lösas. Dessutom är svaret exakt detsamma som för den första ojämlikheten i systemet. Det vill säga uppsättningen som skrivits ovan är regionen med tillåtna värden för ojämlikheten.

Så, med hänsyn till faktorisering, tar den ursprungliga ojämlikheten formen:

Med hjälp av formeln lägger vi till 11 till styrkan av uttrycket under tecknet för den första logaritmen, och flyttar den andra logaritmen till vänster sida av olikheten och ändrar dess tecken till motsatt:

Efter reduktion får vi:

Den sista ojämlikheten, på grund av ökningen av funktionen, är likvärdig med ojämlikheten , vars lösning är intervallet . Allt som återstår är att skära den med regionen med acceptabla värden för ojämlikheten, och detta kommer att vara svaret på hela uppgiften.

Så det nödvändiga svaret på uppgiften ser ut så här:

Vi har tagit itu med denna uppgift, nu går vi vidare till nästa exempel på uppgift 15 i Unified State Exam i matematik (profil).

Vi börjar lösningen med att bestämma intervallet av acceptabla värden för denna ojämlikhet. I basen av varje logaritm måste det finnas ett positivt tal som inte är lika med 1. Alla uttryck under logaritmens tecken måste vara positiva. Bråkets nämnare får inte innehålla noll. Det sista villkoret motsvarar det faktum att eftersom bara annars båda logaritmerna i nämnaren försvinner. Alla dessa villkor bestämmer intervallet av tillåtna värden för denna ojämlikhet, givet av följande system av ojämlikheter:

Title="Renderd av QuickLaTeX.com">!}

Inom intervallet av acceptabla värden kan vi använda logaritmkonverteringsformler för att förenkla den vänstra sidan av ojämlikheten. Använder formel vi blir av med nämnaren:

Nu har vi bara logaritmer med en bas. Detta är redan mer bekvämt. Därefter använder vi formeln, och även formeln för att få uttrycket värt ära till följande form:

I beräkningarna använde vi det som låg inom intervallet för acceptabla värden. Med hjälp av substitutionen kommer vi fram till uttrycket:

Låt oss använda ytterligare en ersättare: . Som ett resultat kommer vi fram till följande resultat:

Så vi återgår gradvis till de ursprungliga variablerna. Först till variabeln:

Avsnitt: Matematik

Ofta, när man löser logaritmiska olikheter, finns det problem med en variabel logaritmbas. Alltså en ojämlikhet i formen

är en vanlig skolojämlikhet. Som regel, för att lösa det, används en övergång till en likvärdig uppsättning system:

Nackdelen med denna metod är behovet av att lösa sju ojämlikheter, utan att räkna två system och en population. Redan med dessa kvadratiska funktioner kan det ta mycket tid att lösa populationen.

Det är möjligt att föreslå ett alternativt, mindre tidskrävande sätt att lösa denna standardojämlikhet. För att göra detta tar vi hänsyn till följande teorem.

Sats 1. Låt det finnas en kontinuerligt ökande funktion på en mängd X. Då kommer på denna mängd tecknet för funktionens inkrement att sammanfalla med tecknet för argumentets ökning, d.v.s. , Var .

Obs: om en kontinuerligt minskande funktion på ett set X, då .

Låt oss återgå till ojämlikheten. Låt oss gå vidare till decimallogaritmen (du kan gå vidare till vilken som helst med en konstant bas större än en).

Nu kan du använda satsen och lägga märke till ökningen av funktioner i täljaren och i nämnaren. Så det är sant

Som ett resultat är antalet beräkningar som leder till svaret ungefär halverat, vilket inte bara sparar tid, utan också gör att du potentiellt kan göra färre aritmetiska och slarviga fel.

Exempel 1.

Jämför vi med (1) finner vi , , .

Om vi ​​går vidare till (2) kommer vi att ha:

Exempel 2.

Jämför vi med (1) finner vi , , .

Om vi ​​går vidare till (2) kommer vi att ha:

Exempel 3.

Eftersom den vänstra sidan av ojämlikheten är en ökande funktion som och , då blir svaret många.

De många exemplen där Tema 1 kan tillämpas kan enkelt utökas genom att ta hänsyn till Tema 2.

Släpp på uppsättningen X funktionerna , , , definieras, och på denna uppsättning sammanfaller tecknen och, d.v.s. , då blir det rättvist.

Exempel 4.

Exempel 5.

Med standardmetoden löses exemplet enligt följande schema: produkten är mindre än noll när faktorerna har olika tecken. De där. en uppsättning av två system av ojämlikheter betraktas, där, som indikeras i början, varje ojämlikhet delas upp i ytterligare sju.

Om vi ​​tar hänsyn till sats 2, kan var och en av faktorerna, med hänsyn till (2), ersättas av en annan funktion som har samma tecken i detta exempel O.D.Z.

Metoden att ersätta ökningen av en funktion med en ökning av argument, med hänsyn till sats 2, visar sig vara mycket bekväm när man löser typiska C3 Unified State Examination-problem.

Exempel 6.

Exempel 7.

. Låt oss beteckna . Vi får

. Observera att ersättningen innebär: . Återgå till ekvationen, vi får .

Exempel 8.

I de satser vi använder finns inga begränsningar för klasser av funktioner. I den här artikeln, som ett exempel, användes satserna för att lösa logaritmiska olikheter. Följande flera exempel kommer att visa löftet om metoden för att lösa andra typer av ojämlikheter.