Dynamik:
Dynamik materiell punkt
§ 28. Sats om förändring i momentum för en materiell punkt. Sats om förändringen i rörelsemängd för en materiell punkt
Problem med lösningar
28.1 Ett järnvägståg rör sig längs ett horisontellt och rakt spåravsnitt. Vid inbromsning utvecklas en motståndskraft lika med 0,1 av tågets vikt. Vid inbromsning är tågets hastighet 20 m/s. Hitta bromstiden och bromssträckan.
LÖSNING
28.2 En tung kropp utan initial hastighet sjunker längs ett grovt lutande plan och bildar en vinkel α=30° med horisonten. Bestäm under vilken tid T kroppen kommer att gå vägen längd l=39,2 m, om friktionskoefficient f=0,2.
LÖSNING
28.3 Ett tåg med massan 4*10^5 kg går in i en uppstigning i=tg α=0,006 (där α är uppstigningsvinkeln) med en hastighet av 15 m/s. Friktionskoefficienten (total motståndskoefficient) när tåget rör sig är 0,005. 50 s efter att tåget går in i stigningen sjunker dess hastighet till 12,5 m/s. Hitta diesellokets dragkraft.
LÖSNING
28.4 En vikt M är fäst vid änden av en outtöjbar gänga MOA, varav en del OA förs genom ett vertikalt rör; vikten rör sig runt rörets axel längs en cirkel med radien MC=R, vilket gör 120 rpm. Dra långsamt in tråden OA i röret, förkorta den yttre delen av tråden till längden OM1, där vikten beskriver en cirkel med radien R/2. Hur många varv per minut gör vikten runt denna cirkel?
LÖSNING
28.5 För att bestämma massan på ett lastat tåg installerades en dynamometer mellan diesellokomotiv och bilar. Den genomsnittliga dynamometeravläsningen under 2 minuter visade sig vara 10^6 N. Under samma tid fick tåget en hastighet på 16 m/s (först stod tåget stilla). Hitta massan av kompositionen om friktionskoefficienten är f=0,02.
LÖSNING
28.6 Vad bör friktionskoefficienten f vara för hjulen på en bromsad bil på vägen, om den vid en körhastighet v=20 m/s stannar 6 s efter inbromsningens början?
LÖSNING
28.7 En kula med massan 20 g flyger ut ur en gevärspipa med en hastighet v=650 m/s och färdas genom pipan i tiden t=0,00095 s. Bestäm medeltrycket för gaser som skjuter ut en kula om kanalens tvärsnittsarea är σ=150 mm^2.
LÖSNING
28.8 Punkt M rör sig runt ett fast centrum under påverkan av attraktionskraften mot detta centrum. Hitta hastigheten v2 vid den punkt av banan som är längst från mitten om hastigheten för punkten på platsen närmast den är v1=30 cm/s och r2 är fem gånger större än r1.
LÖSNING
28.9 Hitta impulsen för resultanten av alla krafter som verkar på projektilen under den tid då projektilen rör sig från utgångsläget O till det högsta läget M. Givet: v0=500 m/s; aO=60°; v1=200 m/s; projektilmassa 100 kg.
LÖSNING
28.10 Två asteroider M1 och M2 beskriver samma ellips, vid vars fokus S är solen. Avståndet mellan dem är så litet att ellipsbågen M1M2 kan betraktas som ett rakt linjesegment. Det är känt att längden på bågen M1M2 var lika med a när dess mitt var vid perihelion P. Antag att asteroiderna rör sig med lika sektoriella hastigheter, bestäm längden på bågen M1M2 när dess mitt passerar genom aphelion A, om den är känt att SP = R1 och SA =R2.
LÖSNING
28.11 En pojke med vikten 40 kg står på löparna till en sportpulka, vars vikt är 20 kg, och trycker varje sekund med en impuls på 20 N*s. Hitta hastigheten som släden erhåller på 15 s om friktionskoefficienten är f=0,01.
LÖSNING
28.12 En punkt gör en jämn rörelse i en cirkel med en hastighet v=0,2 m/s, vilket gör ett helt varv i tiden T=4 s. Hitta impulsen S för krafterna som verkar på punkten under en halvcykel, om punktens massa är m=5 kg. Bestäm medelvärdet för kraften F.
LÖSNING
28.13 Två matematiska pendlar upphängda på trådar med längderna l1 och l2 (l1>l2) svänger med samma amplitud. Båda pendlarna började samtidigt röra sig i samma riktning från sina extrema avböjda positioner. Hitta det villkor som längderna l1 och l2 måste uppfylla för att pendeln samtidigt ska återgå till jämviktsläget efter en viss tid. Bestäm det kortaste tidsintervallet T.
LÖSNING
28.14 En boll med massan m, bunden till en outtöjbar tråd, glider längs ett jämnt horisontellt plan; den andra änden av tråden dras med konstant hastighet a in i ett hål som gjorts på planet. Bestäm kulans rörelse och spänningen hos tråden T, om det är känt att i det första ögonblicket tråden är placerad i en rak linje, är avståndet mellan kulan och hålet lika med R, och projektionen av kulans initiala hastighet vinkelrätt mot trådens riktning är lika med v0.
LÖSNING
28.15 Bestäm solens massa M, med följande data: jordens radie R=6,37*106 m, medeldensitet 5,5 t/m3, halvstor axel för jordens omloppsbana a=1,49*10^11 m, tid av jordens rotation runt solen T=365,25 dagar. Styrka universell gravitation mellan två massor lika med 1 kg på ett avstånd av 1 m anser vi lika med gR2/m H, där m är jordens massa; Av Keplers lagar följer att jordens attraktionskraft från solen är lika med 4π2a3m/(T2r2), där r är jordens avstånd från solen.
LÖSNING
28.16 En punkt med massa m, föremål för inverkan av en central kraft F, beskriver lemniscaten r2=a cos 2φ, där a är ett konstant värde, r är punktens avstånd från kraftcentrum; i det initiala ögonblicket r=r0 är punktens hastighet lika med v0 och bildar en vinkel α med den räta linjen som förbinder punkten med kraftcentrum. Bestäm storleken på kraften F, med vetskap om att den bara beror på avståndet r. Med Binets formel F =-(mc2/r2)(d2(1/r)/dφ2+1/r), där c är punktens dubbelsektorhastighet.
LÖSNING
28.17 En punkt M, vars massa är m, rör sig nära ett fast centrum O under inverkan av en kraft F som utgår från detta centrum och endast beroende av avståndet MO=r. Att veta att hastigheten för punkten v=a/r, där a är ett konstant värde, bestäm storleken på kraften F och punktens bana.
LÖSNING
28.18 Bestäm rörelsen för en punkt vars massa är 1 kg under inverkan av en central attraktionskraft, omvänt proportionell mot kuben för punktens avstånd från tyngdpunkten, givet följande data: på ett avstånd av 1 m , kraften är 1 N. I det initiala ögonblicket är punktens avstånd från tyngdpunkten 2 m, hastighet v0=0,5 m/s och bildar en vinkel på 45° med den räta linjens riktning från centrum till punkten.
LÖSNING
28.19 En partikel M med massan 1 kg attraheras till ett fast centrum O av en kraft som är omvänt proportionell mot avståndets femte potens. Denna kraft är lika med 8 N på ett avstånd av 1 m. I det initiala ögonblicket är partikeln på ett avstånd OM0 = 2 m och har en hastighet vinkelrät mot OM0 och lika med 0,5 m/s. Bestäm partikelns bana.
LÖSNING
28.20 En punkt med massa 0,2 kg, som rör sig under påverkan av en attraktionskraft till ett stationärt centrum enligt Newtons tyngdlag, beskriver en komplett ellips med halvaxlar 0,1 m och 0,08 m under 50 s. Bestäm de största och minsta värdena av attraktionskraften F under denna rörelse.
LÖSNING
28.21 En matematisk pendel, vars svängning varar en sekund, kallas en sekundpendel och används för att räkna tid. Hitta längden l för denna pendel, antag att accelerationen på grund av gravitationen är 981 cm/s2. Vilken tid kommer denna pendel att visa sig på månen, där tyngdaccelerationen är 6 gånger mindre än på jorden? Vilken längd l1 ska den andra månpendeln ha?
LÖSNING
28.22 Vid någon tidpunkt på jorden räknar sekundpendeln tiden korrekt. När den flyttas till en annan plats släpar den efter med T sekunder per dag. Bestäm accelerationen på grund av tyngdkraften i det nya läget för sekundpendeln.
Av de två huvudsakliga dynamiska egenskaperna är kvantiteten vektor. Ibland, när man studerar en punkts rörelse, istället för att ändra själva vektorn, visar det sig vara nödvändigt att överväga förändringen i dess ögonblick. Moment för en vektor i förhållande till ett givet centrum HANDLA OM eller yxor z betecknas med eller och kallas i enlighet därmed vinkelmoment eller kinetiskt ögonblick punkter i förhållande till denna centrum (axel). Momentet för en vektor beräknas på samma sätt som momentet för en kraft. I detta fall anses vektorn vara fäst vid den rörliga punkten. Modulo , Var h- längden av en vinkelrät fall från mitten HANDLA OM till vektorns riktning (fig. 15).
Momentsats om centrum. Låt oss hitta en materiell punkt som rör sig under inverkan av kraft F(Fig. 15), förhållandet mellan momenten av vektorer och relativt till något fixerat centrum HANDLA OM. Till slut visades det .
likaså 
I detta fall är vektorn riktad vinkelrätt mot planet som passerar genom centrum HANDLA OM och vektor och vektor - vinkelrätt mot planet som passerar genom centrum HANDLA OM och vektor .
Fig. 15
Genom att differentiera uttrycket med avseende på tid får vi:
Men som en vektorprodukt av två parallella vektorer, a . Därav,
Som ett resultat bevisade vi följande teorem om ögonblick om centrum: tidsderivatan av momentet för en punkt taget i förhållande till något fast centrum är lika med kraftmomentet som verkar på punkten relativt samma centrum
.
Ett liknande teorem gäller för vektorns moment
krafter kring någon axel z, vilket kan verifieras genom att projicera båda sidor av jämställdheten 
till denna axel. Det matematiska uttrycket för momentsatsen om en axel ges av formeln 
.
Självtestfrågor
Vilka är de två åtgärderna mekanisk rörelse och motsvarande kraftmätare?
Vilka krafter kallas drivkrafter?
Vilka krafter kallas motståndskrafter?
Skriv ner formlerna för att bestämma arbete i translationella och roterande rörelser?
Vad är den periferiska kraften? Vad är vridmoment?
Ange den resulterande arbetssatsen.
Hur bestäms arbetet av en konstant kraft i storlek och riktning under rätlinjig rörelse?
Vad gör den glidande friktionskraften för arbete om denna kraft är konstant i storlek och riktning?
Vad på ett enkelt sättÄr det möjligt att beräkna arbete som är konstant i storlek och kraftriktning på en kurvlinjär rörelse?
Vilket arbete utförs av den resulterande kraften?
Hur uttrycker man en krafts elementära arbete genom den elementära vägen för kraftens appliceringspunkt och hur - genom ökningen av bågkoordinaten för denna punkt?
Vad är vektoruttrycket för elementärt arbete?
Vad är uttrycket för det elementära kraftarbetet genom kraftprojektion på koordinataxlarna?
Skriva olika sorter en krökt integral som bestämmer arbetet för en variabel kraft på en ändlig krökt förskjutning.
Vilken är den grafiska metoden för att bestämma en variabel krafts arbete på en kurvlinjär förskjutning?
Hur beräknas tyngdkraftsarbetet och elastiskt kraftarbete?
Vid vilka förskjutningar är gravitationsarbetet: a) positivt, b) negativt, c) lika med noll.
I vilket fall är den elastiska kraftens arbete positivt och i vilket fall är det negativt?
Vilken kraft kallas: a) konservativ; b) icke-konservativ; c) avlösande?
Vad kallas de konservativa krafternas potential?
Vilket fält kallas potential?
Vad är kraftfunktionen?
Vad är ett kraftfält? Ge exempel på kraftfält.
Vilka är de matematiska sambanden mellan fältpotentialen och kraftfunktionen?
Hur bestämmer man det elementära arbetet för krafterna i ett potentiellt fält och dessa krafters arbete på den slutliga förskjutningen av systemet om fältets kraftfunktion är känd?
Vilket arbete utförs av krafterna som verkar på punkter i systemet i ett potentiellt fält under en sluten förskjutning?
Vad är den potentiella energin för systemet i någon position?
Vad är förändringen i potentiell energi för ett mekaniskt system när det rör sig från en position till en annan?
Vilket samband finns det mellan kraftfunktionen hos ett potentiellt fält och den potentiella energin hos ett system beläget i detta fält?
Beräkna förändringen i kinetisk energi för en punkt med massan 20 kg om dess hastighet ökar från 10 till 20 m/s?
Hur bestäms projektioner? koordinataxlar kraft som verkar i ett potentiellt fält på någon punkt i systemet?
Vilka ytor kallas ekvipotential och vilka är deras ekvationer?
Vilken riktning har kraften som verkar på en materialpunkt i ett potentialfält i förhållande till den ekvipotentialyta som passerar genom denna punkt?
Vad är den potentiella energin för en materialpunkt och ett mekaniskt system under påverkan av gravitationen?
Vilken form har gravitationsfältets ekvipotentiella ytor och den Newtonska gravitationskraften?
Vad är lagen om bevarande och omvandling av mekanisk energi?
Varför beskriver en materialpunkt en platt kurva under påverkan av en central kraft?
Vad som kallas sektorhastighet och hur man uttrycker dess storlek i polära koordinater?
Vad är områdets lag?
Vilken typ har den? differentialekvation i Binet-form, bestämma banan för en punkt som rör sig under påverkan av en central kraft?
Vilken formel används för att bestämma modulen för Newtons gravitationskraft?
Vilken är den kanoniska formen av ekvationen för en konisk sektion och vid vilka excentricitetsvärden representerar banan för en kropp som rör sig i fältet av Newtons gravitationskraft en cirkel, ellips, parabel, hyperbel?
Formulera lagarna för planetrörelser upptäckta av Kepler.
Under vilka initiala förhållanden blir en kropp en satellit för jorden och under vilka förhållanden kan den övervinna gravitationen?
Vad är första och andra flykthastighet?
Skriv ner formlerna för att beräkna arbete under translations- och rotationsrörelser?
En bil som väger 1000 kg förflyttas längs ett horisontellt spår över 5 m, friktionskoefficienten är 0,15. Bestäm det arbete som utförs av gravitationen?
Skriv ner formlerna för att beräkna kraft för translationella och roterande rörelser?
Bestäm kraften som krävs för att lyfta en last som väger 0,5 kN till en höjd av 10 m på 1 minut?
Vilket arbete utförs av kraften som appliceras på en rätlinjigt rörlig kropp som väger 100 kg om kroppens hastighet ökar från 5 till 25 m/s?
Bestäm mekanismens totala effektivitet om, med en motoreffekt på 12,5 kW och en total rörelsemotståndskraft på 2 kN, rörelsehastigheten är 5 m/s.
Om en bil kör uppför ett berg med samma motoreffekt minskar den hastigheten. Varför?
Arbete med konstant kraft under linjär rörelse W=10 J. Vilken vinkel gör kraftriktningen med förskjutningsriktningen?
1) spetsig vinkel;
2) rät vinkel;
3) trubbig vinkel.
Hur kommer den kinetiska energin för en rätlinjigt rörlig punkt att förändras om dess hastighet fördubblas?
1) kommer att fördubblas;
2) kommer att fördubblas.
Vilket arbete utförs av gravitationen när en kropp rör sig horisontellt?
1) produkten av gravitation och förskjutning;
2) gravitationens arbete är noll.
Problem att lösa självständigt
Uppgift 1. En sten kastas horisontellt från ett 25 m högt torn med en hastighet av 15 m/s. Hitta kinetiken och potentiell energi sten en sekund efter rörelsens början. Stenvikt 0,2 kg.
Uppgift 2. En sten kastas i en vinkel på 60° mot horisontalplanet med en hastighet av 15 m/s. Hitta stenens kinetiska, potentiella och totala energi: 1) en sekund efter rörelsens början, 2) vid banans högsta punkt. Stenvikt 0,2 kg. Försumma luftmotståndet.
Uppgift 3.
Uppgift 4. Tanken, som väger 15 ton och har en effekt på 368 kW, bestiger ett berg med en lutning på 30°. Vilken är den maximala hastighet en tank kan nå?
Uppgift 5. En ljuskrona som väger 100 kg är upphängd i taket på en metallkedja 5 m lång. Till vilken höjd kan ljuskronan lutas så att kedjan inte går sönder vid efterföljande svängningar, om man vet att brott sker vid en spänning kraft på 2 kN?
Uppgift 6. Vind som blåser med en hastighet v 0 = 20 m/s verkar på ett segel med arean s = 25 m 2 med en kraft F = a sρ(vo-v)2/2, där A- dimensionslös koefficient, ρ - luftdensitet, v - fartygshastighet. Bestäm under vilka förhållanden vindkraften är maximal. Hitta det arbete som vindkraften utför.
Uppgift 7. En bil som väger 1 ton kör nedför med motorn avstängd med en konstant hastighet på 54 km/h. Bergets lutning är 4 m för varje 100 m färd. Hur mycket kraft måste motorn i denna bil utveckla för att bilen ska röra sig i samma hastighet uppför med samma lutning?
Uppgift 8. En hammare som väger 1,5 ton träffar ett glödhett ämne som ligger på ett städ och deformerar ämnet. Städets massa tillsammans med ämnet är 20 ton. Bestäm effektiviteten under en hammarstöt, förutsatt att stöten är oelastisk. Anse det arbete som utförs under deformation av ämnet som användbart.
Uppgift 9. Anslaget (slagdelen) på en pålhammare som väger 500 kg faller på en påle som väger 100 kg med en hastighet av 4 m/s. Bestäm: a) slagarens kinetiska energi vid stötögonblicket; b) energi som spenderas på att fördjupa pålen i marken, c) energi som spenderas på deformation av pålen, d) effektiviteten av anslagets inverkan på pålen. Anslagets inverkan på högen bör betraktas som oelastisk.
Problem 10. Projektilen flyger ut ur pistolen i en vinkel α mot horisontalplanet med en hastighet v 0 . I den övre delen av banan bryts projektilen i två lika delar, och delarnas hastigheter omedelbart efter explosionen är horisontella och ligger i banans plan. Ena halvan föll på avstånd s från pistolen i skottriktningen. Bestäm platsen där den andra halvan föll, om det är känt att den föll längre än den första. Antag att projektilens flygning sker i luftlöst utrymme.
Problem 11. Projektilen flyger i luftlöst utrymme längs en parabel och bryts i två lika delar vid banans översta punkt. Ena halvan av projektilen föll vertikalt nedåt, den andra på horisontellt avstånd s från explosionsplatsen. Bestäm projektilens hastighet före explosionen, om det är känt att explosionen inträffade på en höjd H och hälften av projektilen som faller vertikalt ned föll under tiden τ.
Se: den här artikeln har lästs 18009 gånger
Pdf Välj språk... Ryska Ukrainska engelska
Hela materialet laddas ner ovan, efter val av språk
Sats om förändringen i rörelsemängd för en materiell punkt
Momentum
Moment av momentum för punkt M i förhållande till centrum O är en vektor riktad vinkelrätt mot planet som passerar genom rörelsemängdsvektorn och centrum O i den riktning från vilken rörelsemängdsvektorns rotation relativt centrum O är synlig moturs.
Moment av momentum för punkt M relativt axel och är lika med produkten av projektionen av rörelsemängdsvektorn på ett plan vinkelrätt mot axeln på denna projektions skuldra relativt punkten O för axelns skärning med planet.
Sats om förändringen i rörelsemängd för en materialpunkt i förhållande till centrum
Tidsderivatan av momentet för en materiell punkt i förhållande till något fast centrum är lika med geometrisk summa kraftmoment som verkar på en punkt i förhållande till samma centrum.
Sats om förändringen i rörelsemängd för en materialpunkt i förhållande till en axel
Tidsderivata av momentet av momentum för en materiell punkt i förhållande till vissa fast axelär lika med den algebraiska summan av kraftmomenten som verkar på en punkt relativt samma axel.
Lagar för bevarande av rörelsemängd för en materiell punkt
- Om verkningslinjen för de resulterande krafterna som appliceras på en materialpunkt alltid passerar genom något fast centrum, så förblir materialpunktens rörelsemängd konstant.
- Om momentet för de resulterande krafterna som appliceras på en materialpunkt i förhållande till en viss axel alltid är lika med noll, förblir materialpunktens rörelsemängd i förhållande till samma axel konstant.
Sats om förändringen i ett systems huvudsakliga rörelsemängd
Kinetisk ögonblick
Kinetiskt moment eller huvudmoment av ett mekaniskt system i förhållande till centrum kallas en vektor lika med den geometriska summan av rörelsemängden för alla materialpunkter i systemet i förhållande till samma centrum.
Kinetiskt moment eller huvudmoment för ett mekaniskt system i förhållande till en axel kalla den algebraiska summan av momenten av rörelsekvantiteterna för alla materialpunkter relativt samma axel
Utsprång kinetiskt ögonblick mekaniskt system i förhållande till centrum O på axeln som passerar genom detta centrum är lika med systemets kinetiska moment i förhållande till denna axel.
Satsen om förändringen i systemets huvudsakliga momentum (i förhållande till centrum) - momentsatsen
Tidsderivatan av det kinetiska momentet för ett mekaniskt system i förhållande till något fast centrum är geometriskt lika med huvudmomentet för yttre krafter som verkar på detta system i förhållande till samma centrum
Sats om förändringen av rörelsemängden för ett mekaniskt system (relativt axeln)
Tidsderivatan av det kinetiska momentet för ett mekaniskt system i förhållande till en viss axel är lika med det huvudsakliga momentet för yttre krafter i förhållande till samma axel.
Lagar för bevarande av rörelsemängd för ett mekaniskt system
- Om huvudmomentet för yttre krafter i förhållande till något fast centrum alltid är lika med noll, så är det kinetiska momentet för det mekaniska systemet i förhållande till detta centrum ett konstant värde.
- Om huvudmomentet för yttre krafter i förhållande till en viss axel är noll, är det mekaniska systemets kinetiska moment i förhållande till samma axel ett konstant värde.
- Momentsatsen har stor betydelse när man studerar kroppars rotationsrörelse och tillåter att man inte tar hänsyn till uppenbart okända inre krafter.
- Inre krafter kan inte ändra systemets huvudsakliga rörelsemängd.
Momentum av ett roterande system
För ett system som roterar runt en fast axel (eller en axel som går genom masscentrum) är rörelsemängden kring rotationsaxeln lika med produkten av tröghetsmomentet kring denna axel och vinkelhastigheten.
Format: pdf
Språk: ryska, ukrainska
Räkneexempel på en cylindrisk växel
Ett exempel på beräkning av en cylindrisk växel. Materialval, beräkning av tillåtna spänningar, beräkning av kontakt och böjhållfasthet har utförts.
Ett exempel på att lösa ett balkböjningsproblem
I exemplet är diagram konstruerade skjuvkrafter och böjmoment, en farlig sektion hittades och en I-balk valdes. Problemet analyserade konstruktionen av diagram med hjälp av differentiella beroenden, utförs jämförande analys olika tvärsnitt av balken.
Ett exempel på att lösa ett axeltorsionsproblem
Uppgiften är att testa hållfastheten hos en stålaxel vid en given diameter, material och tillåten spänning. Under lösningen konstrueras diagram över vridmoment, skjuvspänningar och vridvinklar. Skaftets egenvikt tas inte med i beräkningen
Ett exempel på att lösa ett problem med spänningskompression av en stav
Uppgiften är att testa hållfastheten hos en stålstång vid specificerade tillåtna spänningar. Under lösningen konstrueras diagram över längsgående krafter, normalspänningar och förskjutningar. Spöets egenvikt tas inte med i beräkningen
Tillämpning av satsen om bevarande av kinetisk energi
Ett exempel på att lösa ett problem med hjälp av satsen om bevarande av kinetisk energi i ett mekaniskt system
Bestämma hastigheten och accelerationen för en punkt med hjälp av givna rörelseekvationer
Ett exempel på att lösa ett problem för att bestämma hastigheten och accelerationen för en punkt med hjälp av givna rörelseekvationer
Bestämning av hastigheter och accelerationer av punkter i en stel kropp under planparallell rörelse
Ett exempel på att lösa ett problem för att bestämma hastigheter och accelerationer för punkter i en stel kropp under planparallell rörelse
Bestämning av krafter i stängerna på ett plant fackverk
Ett exempel på att lösa problemet med att bestämma krafterna i stavarna på en platt fackverk med hjälp av Ritter-metoden och metoden för att skära noder
Systemets rörelsemängd, som vektorkvantitet, bestäms av formlerna (4.12) och (4.13).
Sats. Derivatan av systemets rörelsemängd med avseende på tid är lika med den geometriska summan av alla yttre krafter som verkar på det.
I projektioner av kartesiska axlar får vi skalära ekvationer.
Du kan skriva en vektor
(4.28)
och skalära ekvationer
Som uttrycker satsen om förändringen i systemets rörelsemängd i integralform: ändringen i systemets rörelsemängd under en viss tidsperiod är lika med summan av impulserna under samma tidsperiod. Vid problemlösning används oftare ekvationer (4.27).
Lagen om bevarande av momentum
Sats om förändringen i rörelsemängd
Sats om förändringen av rörelsemängden för en punkt i förhållande till centrum: tidsderivatan av rörelsemängden för en punkt i förhållande till ett fast centrum är lika med vektor ögonblick, som verkar på en kraftpunkt i förhållande till samma centrum.
Eller 
(4.30)
Genom att jämföra (4.23) och (4.30) ser vi att momenten för vektorerna och är relaterade med samma beroende som vektorerna och själva är relaterade (Fig. 4.1). Om vi projicerar jämlikhet på axeln som går genom centrum O får vi
(4.31)
Denna likhet uttrycker momentumsatsen för en punkt i förhållande till en axel.
|
(4.32)
Om vi projicerar uttrycket (4.32) på axeln som går genom centrum O, får vi en likhet som kännetecknar satsen om förändringen i rörelsemängd i förhållande till axeln.
(4.33)
Genom att ersätta (4.10) med likhet (4.33) kan vi skriva differentialekvationen för en roterande stel kropp (hjul, axlar, axlar, rotorer, etc.) i tre former.
(4.34)
(4.35)
(4.36)
Därför är det tillrådligt att använda satsen om förändringen i kinetiskt moment för att studera rörelsen hos en stel kropp, vilket är mycket vanligt inom teknik, dess rotation runt en fast axel.
Lagen om bevarande av rörelsemängd för ett system
1. Låt uttrycka sig (4.32) .
Sedan följer av ekvation (4.32) att, dvs. om summan av momenten av alla yttre krafter som appliceras på systemet i förhållande till ett givet centrum är lika med noll, så kommer det kinetiska momentet för systemet i förhållande till detta centrum att vara numeriskt och riktningsmässigt konstant.
2. Om , då . Således, om summan av momenten av yttre krafter som verkar på systemet i förhållande till en viss axel är noll, kommer systemets kinetiska moment i förhållande till denna axel att vara ett konstant värde.
Dessa resultat uttrycker lagen om bevarande av rörelsemängd.
När det gäller en roterande stel kropp följer det av jämlikhet (4.34) att, om , då . Härifrån kommer vi till följande slutsatser:
Om systemet är oföränderligt (absolut fast), och därför roterar den stela kroppen runt en fixerad axel med en konstant vinkelhastighet.
Om systemet är ändringsbart, då . Vid ökning (då enskilda element system rör sig bort från rotationsaxeln) minskar vinkelhastigheten, eftersom , och när den minskar ökar den, sålunda, i fallet med ett variabelt system, med hjälp av inre krafter är det möjligt att ändra vinkelhastigheten.
Andra uppgiften D2 provarbeteägnas åt satsen om förändringen i ett systems rörelsemängd i förhållande till en axel.
Problem D2
En homogen horisontell plattform (cirkulär med radien R eller rektangulär med sidorna R och 2R, där R = 1,2 m) med en massa på kg roterar med vinkelhastighet runt den vertikala axeln z, på avstånd från plattformens masscentrum C vid en avstånd OC = b (Fig. E2.0 – D2.9, tabell D2); Mått för alla rektangulära plattformar visas i fig. D2.0a (vy ovanifrån).
Vid tidpunkten börjar en last D med en massa på kg att röra sig längs plattformsrännan (under påverkan av inre krafter) enligt lagen, där s uttrycks i meter, t - i sekunder. Samtidigt, ett kraftpar med ett moment M (specificerat i newtonometer; vid M< 0 его направление противоположно показанному на рисунках).
Bestäm, om man försummar axelns massa, beroendet d.v.s. plattformens vinkelhastighet som en funktion av tiden.
I alla figurer visas lasten D i ett läge där s > 0 (när s< 0, груз находится по другую сторону от точки А). Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном расстоянии OC = b от центра C.
Vägbeskrivning. Uppgift D2 – att tillämpa satsen om förändringen i systemets rörelsemängd. När man tillämpar satsen på ett system som består av en plattform och en last, bestäms systemets rörelsemängd i förhållande till z-axeln som summan av plattformens och lastens moment. Det bör beaktas att lastens absoluta hastighet består av den relativa och bärbara hastigheter, dvs. . Därför mängden rörelse av denna last 
. Sedan kan du använda Varignons teorem (statik), enligt vilken ; dessa moment beräknas på samma sätt som kraftmoment. Lösningen förklaras mer i detalj i exempel D2.
När du löser ett problem är det användbart att i en hjälpritning avbilda en vy av plattformen ovanifrån (från z-änden), som görs i fig. D2.0, a – D2.9, a.
Tröghetsmomentet för en platta med massan m i förhållande till axeln Cz, vinkelrät mot plattan och som går genom dess massacentrum, är lika med: för en rektangulär platta med sidor och
;
För en rund platta med radie R
| Villkorsnummer | b | s = F(t) | M |
| R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 | -0,4 0,6 0,8 10 t 0,4 -0,5t -0,6t 0,8t 0,4 0,5 | 4t -6 -8t -9 6 -10 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Exempel D2. En homogen horisontell plattform (rektangulär med sidorna 2l och l), med en massa, är stelt fäst vid en vertikal axel och roterar med den runt en axel z med vinkelhastighet (Fig. E2a ). Vid tidpunkten börjar ett vridmoment M verka på axeln, riktat motsatt ; samtidigt last D massa som ligger i diket AB vid punkten MED, börjar röra sig längs rännan (under påverkan av inre krafter) enligt lagen s = CD = Med).
Givet: m 1 = 16 kg, t 2= 10 kg, l= 0,5 m, = 2, s = 0,4t 2 (s - i meter, t - i sekunder), M= kt, Var k=6 Nm/s. Bestäm: - lagen för förändring av plattformens vinkelhastighet.
Lösning. Låt oss överväga mekaniskt system, bestående av en plattform och last D. För att bestämma w tillämpar vi satsen om förändringen i systemets rörelsemängd i förhållande till axeln z:
(1)
Låt oss skildra de yttre krafterna som verkar på systemet: reaktionens gravitationskraft och vridmomentet M. Eftersom krafterna och är parallella med z-axeln, och reaktionerna skär denna axel, är deras moment i förhållande till z-axeln lika med noll. Sedan, med tanke på att riktningen för ögonblicket är positiv (d.v.s. moturs), får vi 
och ekvation (1) kommer att ha denna form.
I vissa problem, istället för själva momentumet, betraktas dess moment i förhållande till någon centrum eller axel som en dynamisk egenskap hos en rörlig punkt. Dessa moment definieras på samma sätt som kraftmoment.
Momentum kvantitet av rörelse materialpunkt i förhållande till något centrum O kallas en vektor definierad av likheten
Vinkelmomentet för en punkt kallas också kinetiskt ögonblick .
Momentum i förhållande till vilken axel som helst, som passerar genom centrum O, är lika med projektionen av momentumvektorn på denna axel.
Om mängden rörelse ges av dess projektioner 
på koordinataxeln och koordinaterna för punkten i rymden är givna, då beräknas rörelsemängden i förhållande till origo enligt följande:
Projektionerna av rörelsemängden på koordinataxlarna är lika med:
SI-enheten för momentum är – .
Sats om förändringen i rörelsemängd för en punkt.
Sats. Tidsderivatan av momentet för en punkt tagen i förhållande till något centrum är lika med kraftmomentet som verkar på punkten i förhållande till samma centrum.
Bevis: Låt oss särskilja vinkelmomentet med avseende på tid
, 
, därav , (*)
Q.E.D.
Sats. Tidsderivatan av momentet för en punkts rörelsemängd i förhållande till vilken axel som helst är lika med kraftmomentet som verkar på punkten i förhållande till samma axel.
För att bevisa det räcker det att projicera vektorekvationen (*) på denna axel. För axeln kommer det att se ut så här:
Följder från satserna:
1. Om kraftmomentet relativt en punkt är noll, så är momentet i förhållande till denna punkt ett konstant värde.
2. Om kraftmomentet relativt en axel är noll, så är momentet i förhållande till denna axel ett konstant värde.
Kraftarbete. Kraft.
En av de viktigaste egenskaperna hos kraft som utvärderar effekten av kraft på en kropp under någon rörelse.
Elementärt kraftarbete en skalär kvantitet lika med produkten av en elementär förskjutning och projektionen av en kraft på denna förskjutning.
SI-arbetsenheten är -
När när 
Speciella fall:
Den elementära förskjutningen är lika med skillnaden mellan radien för vektorn för kraftens appliceringspunkt.
Elementärt kraftarbete lika med skalär produkt krafter på elementär förskjutning eller på differentialen av radien för vektorn för kraftens appliceringspunkt.
Elementärt kraftarbete är lika med skalärprodukten av den elementära kraftimpulsen och punktens hastighet.
Om kraften ges av dess projektioner () på koordinataxlarna och den elementära förskjutningen ges av dess projektioner () på koordinataxlarna, då grundläggande arbete styrkan är lika med:
(analytiskt uttryck för elementärt arbete).
Arbetet som utförs av en kraft på varje ändlig förskjutning är lika med integralen av det elementära arbetet som tas längs denna förskjutning.
Kraftkraft är en storhet som bestämmer det arbete som utförs av en kraft per tidsenhet. Generellt sett är makt lika med förstagångsderivatet av arbete.
, 
Kraft lika med skalärprodukten av kraft och hastighet.
SI-enheten för effekt är - 
Inom tekniken anses kraftenheten vara .
Exempel 1. Tyngdarbete.
Låt punkten M, som påverkas av tyngdkraften P, flytta sig från positionen 
att positionera Låt oss välja koordinataxlarna så att axeln är riktad vertikalt uppåt.
Sedan, , , och
Arbetet som utförs av gravitationen är lika med produkten av storleken på kraften som tas med ett plus- eller minustecken och den vertikala förskjutningen av punkten för dess applicering. Arbetet är positivt om startpunkt ovanför slutpunkten och negativ om startpunkten ligger under slutpunkten.
Exempel 2. Arbete med elastisk kraft.
Låt oss betrakta en materialpunkt fäst vid en elastisk förstyvning c, som svänger längs x-axeln. Elastisk kraft (eller återställande kraft). Låt punkten M, som endast påverkas av den elastiska kraften, röra sig från position till position. ( , ).
Kraften hos ett kraftpar är lika med
Kinetisk energi för en punkt
Rörelseenergi materiell punkt (eller dess levande kraft) kallas halva produkten av en punkts massa och kvadraten av dess hastighet.
- I kontakt med 0
- Google+ 0
- OK 0
- Facebook 0
