Ezhova Elena Sergeevna
Jobbtitel: matematiklärare
Läroanstalt: Kommunal läroanstalt "Grundskola nr 77"
Lokalitet: Saratov
Materialets namn: metodologisk utveckling
Ämne: Rationaliseringsmetod för att lösa ojämlikheter som förberedelse för Unified State Exam"
Publiceringsdatum: 16.05.2018
Kapitel: fullständig utbildning

Uppenbarligen kan samma ojämlikhet lösas på flera sätt. Framgångsrikt

på det valda sättet eller, som vi brukade säga, på ett rationellt sätt några

ojämlikhet kommer att lösas snabbt och enkelt, dess lösning kommer att vara vacker och intressant.

Jag vill närmare överväga den så kallade rationaliseringsmetoden när

lösa logaritmiska och exponentiella ojämlikheter, samt ojämlikheter innehållande

variabel under modultecknet.

Huvudtanken med metoden.

Metoden att ersätta faktorer löser ojämlikheter som kan reduceras till formen

Var är symbolen"

" betecknar ett av fyra möjliga ojämlikhetstecken:

När vi löser ojämlikhet (1) är vi bara intresserade av tecknet på någon faktor i täljaren

eller nämnare, och inte dess absoluta värde. Därför, om vi av någon anledning

det är obekvämt att arbeta med denna multiplikator, vi kan ersätta den med en annan

sammanfaller i tecken med den i definitionsdomänen för ojämlikhet och har inom denna domän

samma rötter.

Detta bestämmer huvudidén med multiplikatorersättningsmetoden. Det är viktigt att registrera det

det faktum att ersättningen av faktorer endast utförs under förutsättning att ojämlikheten medförs

att bilda (1), det vill säga när det är nödvändigt att jämföra produkten med noll.

Huvuddelen av ersättningen beror på följande två likvärdiga uttalanden.

Påstående 1. Funktionen f(x) ökar strikt om och endast om för

några värden på t

) sammanfaller med

tecken med skillnaden (f(t

)), det vill säga f<=>(t

(↔ betyder teckenslump)

Påstående 2. Funktionen f(x) är strikt avtagande om och endast om för

några värden på t

från definitionsdomänen för funktionsskillnaden (t

) sammanfaller med

tecken med skillnaden (f(t

)), det vill säga f ↓<=>(t

Motiveringen för dessa uttalanden följer direkt av definitionen av strikt

monoton funktion. Enligt dessa uttalanden kan det konstateras att

Skillnaden i grader för samma bas sammanfaller alltid i tecken med

produkten av skillnaden mellan dessa makters index och basens avvikelse från enhet,

Skillnaden mellan logaritmer till samma bas sammanfaller alltid i tecken med

produkten av skillnaden mellan talen för dessa logaritmer och basens avvikelse från enhet, då

Det faktum att skillnaden mellan icke-negativa kvantiteter sammanfaller i tecken med skillnaden

kvadrater av dessa kvantiteter tillåter följande substitutioner:

Lös ojämlikheten

Lösning.

Låt oss gå vidare till ett likvärdigt system:

Från den första ojämlikheten vi får

Den andra ojämlikheten gäller för alla

Från den tredje ojämlikheten vi får

Således är uppsättningen av lösningar på den ursprungliga ojämlikheten:

Lös ojämlikheten

Lösning.

Låt oss lösa ojämlikheten:

SVAR: (−4; −3)

Lös ojämlikhet

Låt oss reducera ojämlikheten till en form där skillnaden i logaritmiska värden

Låt oss ersätta skillnaden mellan värden logaritmisk funktion av skillnaden mellan argumentvärdena. I

täljaren är en ökande funktion, och nämnaren minskar, så olikhetstecknet

kommer att ändras till det motsatta. Det är viktigt att inte glömma att ta hänsyn till definitionsdomänen

logaritmisk funktion, därför är denna ojämlikhet ekvivalent med ett system av ojämlikheter.

Täljarrötter: 8; 8;

Rotnämnare: 1

Lös ojämlikhet

Låt oss i täljaren ersätta skillnaden mellan modulerna för två funktioner med skillnaden mellan deras kvadrater, och i

nämnaren är skillnaden mellan värdena för den logaritmiska funktionen och skillnaden i argumenten.

Nämnaren har en minskande funktion, vilket innebär att olikhetstecknet ändras till

motsatt.

I det här fallet är det nödvändigt att ta hänsyn till definitionsdomänen för logaritmiken

Låt oss lösa den första ojämlikheten med intervallmetoden.

Täljarrötter:

Nämnarrötter:

Lös ojämlikhet

Låt oss ersätta skillnaden mellan värdena i täljaren och nämnaren monotona funktioner skillnad

argumentens värden, med hänsyn till definitionsdomänen för funktionerna och monotonitetens natur.

Täljarrötter:

Nämnarrötter:

De mest använda ersättningarna (exklusive O D Z).

a) Byte av konstanta teckenfaktorer.

b) Ersättning av icke-konstanta multiplikatorer med modul.

c) Att ersätta faktorer med okänt tecken med exponentiella och logaritmiska

uttryck.

Lösning. ODZ:

Ersätt multiplikatorer:

Vi har ett system:

I denna ojämlikhet är det inte längre möjligt att ta hänsyn till

betraktas som skillnader mellan icke-negativa kvantiteter, eftersom uttryck 1

ODZ kan anta både positiva och negativa värden.

Vi har ett system:

Ersätt multiplikatorer:

Vi har ett system:

Ersätt multiplikatorer:

Vi har ett system:

Ersätt multiplikatorer:

Vi har ett system:

Som ett resultat har vi: x

Rationaliseringsmetod(nedbrytningsmetod, multiplikatorersättningsmetod, ersättningsmetod

funktioner, teckenregel) ska ersättas komplext uttryck F(x) för mer

enkelt uttryck G(x), under vilket olikheten G(x)

0 är ekvivalent med olikheten F (x

0 i definitionsdomänen för uttrycket F(x).

Rationaliseringsmetoden låter dig gå från ojämlikheter som innehåller komplexa exponentiella, logaritmiska, etc. uttryck, till dess motsvarande enklare rationella ojämlikhet.

Därför, innan vi börjar prata om rationalisering i ojämlikheter, låt oss tala om likvärdighet.

Likvärdighet

Motsvarande eller motsvarande kallas ekvationer (ojämlikheter) vars uppsättningar av rötter sammanfaller. Ekvationer (olikheter) som inte har rötter anses också vara likvärdiga.

Exempel 1. Ekvationerna och är likvärdiga eftersom de har samma rötter.

Exempel 2. Ekvationerna och är också ekvivalenta, eftersom lösningen till var och en av dem är den tomma mängden.

Exempel 3. Ojämlikheterna och är likvärdiga, eftersom lösningen på båda är mängden .

Exempel 4. och – är ojämlika. Lösningen till den andra ekvationen är bara 4, och lösningen till den första är både 4 och 2.

Exempel 5. Ojämlikhet är ekvivalent med ojämlikhet, eftersom lösningen i båda ojämlikheterna är 6.

Det vill säga av utseende motsvarande ojämlikheter(ekvationer) kan vara mycket långt ifrån lika.

Faktum är att när vi löser komplexa, långa ekvationer (olikheter), som den här, och får svaret, är det vi har i våra händer inget annat än en ekvation (olikhet) som motsvarar den ursprungliga. Utseendet är annorlunda, men essensen är densamma!

Exempel 6. Låt oss komma ihåg hur vi löste ojämlikheten innan du bekantar dig med intervallmetoden. Vi ersatte den ursprungliga ojämlikheten med en uppsättning av två system:

Det vill säga, ojämlikhet och det sista aggregatet är likvärdiga med varandra.

Det skulle vi också kunna ha i våra händer

ersätt den med ojämlikhet, som kan lösas på nolltid med intervallmetoden.

Vi har kommit nära rationaliseringsmetoden i logaritmiska ojämlikheterÅh.

Rationaliseringsmetod vid logaritmiska ojämlikheter

Låt oss överväga ojämlikhet.

Vi representerar 4 som en logaritm:

Vi har att göra med en variabel bas av logaritmen, därför, beroende på om basen för logaritmen är större än 1 eller mindre än 1 (det vill säga vi har att göra med en ökande eller minskande funktion), kommer olikhetstecknet att förbli samma eller ändra till "". Därför uppstår en kombination (union) av två system:

Men OBSERVERA, detta system måste bestämmas med hänsyn till DL! Jag laddade inte medvetet ODZ-systemet så att huvudidén inte skulle gå vilse.

Titta, nu kommer vi att skriva om vårt system så här (vi kommer att flytta allt i varje rad av ojämlikheten till vänster):

Påminner detta dig om något? I analogi med exempel 6 Vi kommer att ersätta denna uppsättning system med följande ojämlikhet:

Efter att ha löst denna ojämlikhet på ODZ får vi en lösning på ojämlikheten.

Låt oss först hitta ODZ för den ursprungliga ojämlikheten:

Låt oss nu bestämma oss

Lösning av den sista ojämlikheten med hänsyn till ODZ:

Så här är det, detta "magiska" bord:

Observera att bordet fungerar under villkoret

var finns funktioner av,

– funktion eller nummer,

- ett av tecknen

Observera också att den andra och tredje raden i tabellen är konsekvenser av den första. På den andra raden representeras 1 först som , och på den tredje raden representeras 0 som .

Och ytterligare ett par användbara konsekvenser (jag hoppas att det är lätt för dig att förstå var de kommer ifrån):

var finns funktioner av,

– funktion eller nummer,

- ett av tecknen

Rationaliseringsmetod vid exponentiella ojämlikheter

Låt oss lösa ojämlikheten.

Att lösa den ursprungliga ojämlikheten är likvärdigt med att lösa ojämlikheten

Svar: .

Tabell för rationalisering i exponentiella ojämlikheter:

– funktioner av , – funktion eller tal, – ett av tecknen Tabellen fungerar under villkoret . Även i tredje, fjärde rad – dessutom –

Återigen, i huvudsak måste du komma ihåg den första och tredje raden i tabellen. Andra linjen - specialfall den första och den fjärde raden är ett specialfall av den tredje.

Rationaliseringsmetod vid ojämlikheter som innehåller en modul

När vi arbetar med ojämlikheter av typen , där är funktioner av någon variabel, kan vi vägledas av följande ekvivalenta övergångar:

Låt oss lösa ojämlikheten."

A Här Jag föreslår också överväg flera exempel på ämnet "Rationalisering av ojämlikheter."

Avsnitt: Matematik

Praxis med att kontrollera tentamenshandlingar visar att den största svårigheten för skolbarn är att lösa transcendentala ojämlikheter, särskilt logaritmiska ojämlikheter med en variabel bas. Därför är lektionssammanfattningen som erbjuds din uppmärksamhet en presentation av rationaliseringsmetoden (andra namn - nedbrytningsmetoden (Modenov V.P.), metoden för att ersätta faktorer (Golubev V.I.)), som låter dig reducera komplex logaritmisk, exponentiell, kombinerad ojämlikheter till ett system av enklare rationella ojämlikheter Som regel är metoden för intervaller som tillämpas på rationella ojämlikheter väl förstådd och praktiserad när ämnet "Lösa logaritmiska ojämlikheter" studeras. Därför uppfattar eleverna med stort intresse och entusiasm de metoder som gör att de kan förenkla lösningen, göra den kortare och i slutändan spara tid på Unified State Exam för att lösa andra uppgifter.

Lektionens mål:

• Pedagogisk: uppdatera grundläggande kunskaper vid lösning av logaritmiska ojämlikheter; införande av ett nytt sätt att lösa ojämlikheter; förbättra lösningsförmågan
• Utvecklandet: utveckling av matematisk syn, matematiskt tal, analytiskt tänkande
• Pedagogisk: utbildning av noggrannhet och självkontroll.

UNDER KLASSERNA

1. Organisatoriskt ögonblick. Hälsningar. Att sätta lektionsmål.

2. Förberedande skede:

Lös ojämlikheter:

3. Kontrollera läxor(nr 11.81*a)

När man löser ojämlikheten

Du var tvungen att använda följande schema för att lösa logaritmiska olikheter med en variabel bas:

De där. Vi måste överväga två fall: basen är större än 1 eller basen är mindre än 1.

4. Förklaring av nytt material

Om du tittar på dessa formler noggrant, kommer du att märka att tecknet på skillnaden g(x) – h(x) sammanfaller med tecknet för skillnadsloggen f(x) g(x) – logga f(x) h(x) vid en ökande funktion ( f(x) > 1, dvs. f(x) – 1 > 0) och är motsatt tecknet för skillnadsloggen f(x) g(x) – logga f(x) h(x) i fallet med en minskande funktion (0< f(x) < 1, т.е. f(x) – 1 < 0)

Följaktligen kan denna uppsättning reduceras till ett system av rationella ojämlikheter:

Detta är kärnan i rationaliseringsmetoden - att ersätta det mer komplexa uttrycket A med ett enklare uttryck B, som är rationellt. I detta fall kommer olikhet B V 0 att vara ekvivalent med olikhet A V 0 på definitionsdomänen för uttryck A.

Exempel 1. Låt oss skriva om ojämlikheten i form av ett likvärdigt system av rationella ojämlikheter.

Observera att villkor (1)–(4) är villkor för definitionsdomänen för ojämlikheten, som jag rekommenderar att du hittar i början av lösningen.

Exempel 2. Lös ojämlikhet med hjälp av rationaliseringsmetoden:

Definitionsdomänen för ojämlikhet specificeras av villkoren:

Vi får:

Det återstår att skriva ojämlikhet (5)

Med hänsyn till definitionsdomänen

Svar: (3; 5)

5. Konsolidering av det studerade materialet

I. Skriv ojämlikheten som ett system av rationella ojämlikheter:

II. Tänka höger sida olikheter i form av en logaritm till önskad bas och gå till motsvarande system:

Läraren kallar till styrelsen de elever som skrivit ner systemen från grupp I och II, och uppmanar en av de starkaste eleverna att lösa hem ojämlikhet (nr 11.81 * a) med hjälp av rationaliseringsmetoden.

6. Testarbete

Alternativ 1

Alternativ 2

1. Skriv ner ett system av rationella ojämlikheter för att lösa ojämlikheterna:

2. Lös ojämlikhet med hjälp av rationaliseringsmetoden

Betygskriterier:

3-4 poäng – "tillfredsställande";
5-6 poäng - "bra";
7 poäng – "utmärkt".

7. Reflektion

Svara på frågan: vilken av metoderna du känner till för att lösa logaritmiska ojämlikheter med en variabel bas gör att du kan använda din tid mer effektivt under provet?

8. Läxa: nr 11,80* (a,b), 11,81*(a,b), 11,84*(a,b) lösa genom rationaliseringsmetod.

Bibliografi:

1. Algebra och analysens början: Lärobok. För 11:e klass. Allmän utbildning Institutioner /[S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin] – 5:e uppl. – M.: Education, OJSC "Moscow Textbooks", 2006.
2. A.G. Koryanov, A.A. Prokofiev. Material för kursen "Förbereda bra och utmärkta studenter för Unified State Exam": föreläsningar 1-4. – M.: Pedagogiska högskolan"Första september", 2012.

Avsnitt: Matematik

Ofta, när man löser logaritmiska olikheter, finns det problem med en variabel logaritmbas. Alltså en ojämlikhet i formen

är en vanlig skolojämlikhet. Som regel, för att lösa det, används en övergång till en likvärdig uppsättning system:

Nackdelen med denna metod är behovet av att lösa sju ojämlikheter, utan att räkna två system och en befolkning. Redan med dessa kvadratiska funktioner kan det ta mycket tid att lösa populationen.

Det är möjligt att föreslå ett alternativt, mindre tidskrävande sätt att lösa denna standardojämlikhet. För att göra detta tar vi hänsyn till följande teorem.

Sats 1. Låt det finnas en kontinuerligt ökande funktion på en mängd X. Då kommer på denna mängd tecknet för funktionens inkrement att sammanfalla med tecknet för argumentets ökning, d.v.s. , Var .

Obs: om en kontinuerligt minskande funktion på ett set X, då .

Låt oss återgå till ojämlikheten. Låt oss gå vidare till decimallogaritmen (du kan gå vidare till vilken som helst med en konstant bas större än en).

Nu kan du använda satsen och lägga märke till ökningen av funktioner i täljaren och i nämnaren. Så det är sant

Som ett resultat är antalet beräkningar som leder till svaret ungefär halverat, vilket inte bara sparar tid, utan också gör att du potentiellt kan göra färre aritmetiska och slarviga fel.

Exempel 1.

Jämför vi med (1) finner vi , , .

Om vi ​​går vidare till (2) kommer vi att ha:

Exempel 2.

Jämför vi med (1) finner vi , , .

Om vi ​​går vidare till (2) kommer vi att ha:

Exempel 3.

Eftersom den vänstra sidan av ojämlikheten är en ökande funktion som och , då blir svaret många.

De många exemplen där Tema 1 kan tillämpas kan enkelt utökas genom att ta hänsyn till Tema 2.

Släpp på uppsättningen X funktionerna , , , definieras, och på denna uppsättning sammanfaller tecknen och, d.v.s. , då blir det rättvist.

Exempel 4.

Exempel 5.

Med standardmetoden löses exemplet enligt följande schema: produkten är mindre än noll när faktorerna har olika tecken. De där. en uppsättning av två system av ojämlikheter betraktas, där varje ojämlikhet, som anges i början, delas upp i ytterligare sju.

Om vi ​​tar hänsyn till sats 2, kan var och en av faktorerna, med hänsyn till (2), ersättas av en annan funktion som har samma tecken i detta exempel O.D.Z.

Metoden att ersätta ökningen av en funktion med en ökning av argument, med hänsyn till sats 2, visar sig vara mycket bekväm när man löser typiska uppgifter C3 Unified State Exam.

Exempel 6.

Exempel 7.

. Låt oss beteckna . Vi får

. Observera att ersättningen innebär: . Återgå till ekvationen, vi får .

Exempel 8.

I de satser vi använder finns inga begränsningar för klasser av funktioner. I den här artikeln, som ett exempel, användes satserna för att lösa logaritmiska olikheter. Följande flera exempel kommer att visa löftet om metoden för att lösa andra typer av ojämlikheter.

Kommunal Autonom Allmän läroanstalt"Yarkovskaya gymnasieskola"

Utbildningsprojekt

Lösa logaritmiska ojämlikheter med hjälp av rationaliseringsmetoden

MAOU "Yarkovskaya Secondary School"

Shanskikh Daria

Chef: matematiklärare

MAOU "Yarkovskaya Secondary School"

Yarkovo 2013

1) Inledning……………………………………………………………….2

2) Huvuddelen………………………………………………………………………………………..3

3) Slutsats………………………………………………………………..9

4) Lista över referenser………………….10

5) Ansökningar…………………………………………………………………………11-12

1. Introduktion

När man löser USE-uppgifter från del "C", och särskilt i uppgifter C3, stöter man ofta på olikheter som innehåller logaritmiska uttryck med en okänd i basen av logaritmen. Till exempel, här är en standardojämlikhet:

För att lösa sådana problem används som regel den klassiska metoden, det vill säga en övergång till en likvärdig uppsättning system används

Med standardmetoden löses exemplet enligt följande schema: produkten är mindre än noll när faktorerna har olika tecken. Det vill säga en uppsättning av två system av ojämlikheter betraktas, där varje ojämlikhet är uppdelad i ytterligare sju. Därför kan vi föreslå en mindre tidskrävande metod för att lösa denna standardojämlikhet. Detta är en rationaliseringsmetod som i matematisk litteratur kallas nedbrytning.

När jag avslutade projektet satte jag upp följande mål :

1) Bemästra denna beslutsteknik

2) Öva på att lösa färdigheter på uppgifter C3 från utbildning och diagnostikarbete 2013.

Projektmålär att studera den teoretiska grunden för rationaliseringsmetoden.

Relevansarbete är det den här metoden låter dig framgångsrikt lösa logaritmiska ojämlikheter i del C3 i Unified State Exam i matematik.

2. Huvudsak

Betrakta en logaritmisk olikhet i formen

font-size:14.0pt; line-height:150%">, (1)

där font-size:14.0pt;line-height:150%"> Standardmetoden för att lösa en sådan ojämlikhet innebär att två fall analyseras i ett område acceptabla värden ojämlikheter.

I det första fallet, när logaritmernas baser uppfyller villkoret

font-size:14.0pt; line-height:150%">, är olikhetstecknet ritat: font-size:14.0pt;line-height:150%">I det andra fallet , när basen uppfyller villkoret, olikhetstecknet bevaras: .

Vid första anblicken är allt logiskt, låt oss överväga två fall och sedan kombinera svaren. Det är sant att när man överväger det andra fallet uppstår ett visst obehag - du måste upprepa 90 procent av beräkningarna från det första fallet (omvandla, hitta rötterna till hjälpekvationer, bestäm intervallen för tecknets monotonitet). En naturlig fråga uppstår: är det möjligt att på något sätt kombinera allt detta?

Svaret på denna fråga finns i följande sats.

Sats 1. Logaritmisk ojämlikhet

font-size:14.0pt;line-height:150%">motsvarar följande system av ojämlikheter :

font-size:14.0pt; line-height:150%"> (2)

Bevis.

1. Låt oss börja med det faktum att de fyra första olikheterna i systemet (2) definierar uppsättningen av tillåtna värden för den ursprungliga logaritmiska olikheten. Låt oss nu rikta vår uppmärksamhet mot den femte ojämlikheten. Om font-size:14.0pt; line-height:150%"> kommer den första faktorn för denna ojämlikhet att vara negativ. När du minskar med det måste du ändra olikhetstecknet till det motsatta, då får du ojämlikheten .

Om , Den där den första faktorn för den femte ojämlikheten är positiv, vi minskar den utan att förändras ojämlikhetstecken, vi får ojämlikheten font-size:14.0pt;line-height: 150%"> Således inkluderar den femte olikheten i systemet båda fallen av den tidigare metoden.

Ämnet har bevisats.

Grundläggande bestämmelser i teorin om rationaliseringsmetoden.

Rationaliseringsmetoden är att ersätta ett komplext uttryck F(x ) till ett enklare uttryck G(x ), där ojämlikheten G(x )EN-US" style="font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:Calibri">F(x )0 i uttrycksdefinitionsområdet F(x).

Låt oss lyfta fram några uttryck F och deras motsvarande rationaliserande uttryck G, där u, v, , p, q - uttryck med två variabler ( u > 0; u ≠ 1; v > 0, > 0), a - fast nummer (a > 0, a ≠ 1).

	Uttryck F	Uttryck G
		(a –1)( v – φ)
1 b
		)
2 b

Bevis

1. Låt logav - logaφ > 0, det är logav > logaφ, och a > 0, a ≠ 1, v > 0,

φ > 0.

Om 0< a < 1, то по свойству убывающей логарифмической функции имеем v < φ . Det betyder att ojämlikhetssystemet håller

a -1<0

v – φ < 0

Varifrån följer ojämlikheten (a – 1)( v – φ ) > 0 sant i uttryckets domänF = logav - logaφ.

Om a > 1, Den där v > φ . Därför finns det en ojämlikhet ( a – 1)( v – φ )> 0. Omvänt, om ojämlikheten håller ( a – 1)( v – φ )> 0 på intervallet för acceptabla värden ( a > 0, a ≠ 1, v> 0, φ > 0),då i denna region är det likvärdigt med kombinationen av två system.

a – 1<0 a – 1 > 0

v – φ < 0 v – φ > 0

Varje system innebär ojämlikhetlogav > logaφ, det är logav - logaφ > 0.

På samma sätt tar vi hänsyn till ojämlikheterna F< 0, F ≤ 0, F ≥ 0.

2. Låt någon siffra A> 0 och A≠ 1, då har vi

logu v- loguφ = EN-US" style="font-size:14.0pt;line-height:150%">v - 1)( u- 1)(φ –u).

4.Från ojämlikhet uv- uφ > 0 skall uv > uφ. Låt siffran vara > 1, dåloga uv > logauφ eller

( u – φ) loga u > 0.

Därför, med hänsyn till ersättning 1b och villkoreta > 1 vi får

( v – φ)( a – 1)( u – 1) > 0, ( v – φ)( u – 1) > 0. På samma sätt är ojämlikheterna bevisade F< 0,

F ≤ 0, F ≥ 0.

5. Beviset liknar Proof 4.

6. Beviset för substitution 6 följer av likvärdigheten mellan ojämlikheterna | p | > | q | och p 2 > q 2

(|p|< | q | и p 2 < q 2 ).

Låt oss jämföra volymen av lösningar med ojämlikheter som innehåller en variabel i basen av logaritmen med den klassiska metoden och rationaliseringsmetoden

3. Slutsats

Jag tror att de mål som jag satte upp för mig själv när jag avslutade arbetet har uppnåtts. Projektet har praktisk betydelse, eftersom den metod som föreslås i arbetet avsevärt kan förenkla lösningen av logaritmiska ojämlikheter. Som ett resultat reduceras antalet beräkningar som leder till svaret med ungefär hälften, vilket inte bara sparar tid, utan också gör att du potentiellt kan göra färre aritmetiska och slarviga fel. Nu när jag löser C3-problem använder jag den här metoden.

4. Lista över begagnad litteratur

1. , – Metoder för att lösa ojämlikheter med en variabel. – 2011.

2. – Matematikhandbok. – 1972.

3. - Matematik för sökande. Moskva: MTsNMO, 2008.