Presentados hasta la fecha en el banco abierto de problemas de matemáticas del Examen Estatal Unificado (mathege.ru), cuya solución se basa en una sola fórmula, que es la definición clásica de probabilidad.
La forma más sencilla de entender la fórmula es con ejemplos.
Ejemplo 1. Hay 9 bolas rojas y 3 bolas azules en la canasta. Las bolas se diferencian sólo en el color. Sacamos uno de ellos al azar (sin mirar). ¿Cuál es la probabilidad de que la bola elegida de esta manera sea azul?
Un comentario. En los problemas de teoría de la probabilidad, sucede algo (en este caso, nuestra acción de sacar la pelota) que puede tener un resultado diferente: un desenlace. Cabe señalar que el resultado se puede considerar de diferentes maneras. “Sacamos una especie de pelota” también es un resultado. “Sacamos la bola azul”: el resultado. "Sacamos exactamente esta bola de todas las bolas posibles": esta visión menos generalizada del resultado se denomina resultado elemental. Son los resultados elementales los que se entienden en la fórmula para calcular la probabilidad.
Solución. Ahora calculemos la probabilidad de elegir la bola azul.
Evento A: “la bola seleccionada resultó ser azul”
Numero total de todos los resultados posibles: 9+3=12 (el número de todas las bolas que podríamos sacar)
Número de resultados favorables para el evento A: 3 (el número de resultados en los que ocurrió el evento A, es decir, el número de bolas azules)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Respuesta: 0,25
Para el mismo problema, calculemos la probabilidad de elegir una bola roja.
El número total de resultados posibles seguirá siendo el mismo, 12. Número de resultados favorables: 9. Probabilidad buscada: 9/12=3/4=0,75
La probabilidad de cualquier evento siempre está entre 0 y 1.
A veces, en el habla cotidiana (¡pero no en la teoría de la probabilidad!), la probabilidad de los eventos se estima como un porcentaje. La transición entre puntuaciones de matemáticas y conversación se logra multiplicando (o dividiendo) por 100%.
Entonces,
Además, la probabilidad es cero para eventos que no pueden suceder: increíble. Por ejemplo, en nuestro ejemplo esta sería la probabilidad de sacar una bola verde de la canasta. (El número de resultados favorables es 0, P(A)=0/12=0, si se calcula mediante la fórmula)
La probabilidad 1 tiene eventos que es absolutamente seguro que sucederán, sin opciones. Por ejemplo, la probabilidad de que "la bola seleccionada sea roja o azul" es para nuestra tarea. (Número de resultados favorables: 12, P(A)=12/12=1)
Analizamos un ejemplo clásico que ilustra la definición de probabilidad. Todos los problemas similares del Examen Estatal Unificado de teoría de la probabilidad se resuelven utilizando esta fórmula.
En lugar de bolas rojas y azules puede haber manzanas y peras, niños y niñas, billetes aprendidos y no aprendidos, billetes que contienen o no una pregunta sobre un tema determinado (prototipos), bolsas o bombas de jardín defectuosas y de alta calidad (prototipos). ,) - el principio sigue siendo el mismo.
Se diferencian ligeramente en la formulación del problema de la teoría de la probabilidad del Examen Estatal Unificado, donde es necesario calcular la probabilidad de que ocurra algún evento en un día determinado. ( , ) Como en problemas anteriores, es necesario determinar cuál es el resultado elemental y luego aplicar la misma fórmula.
Ejemplo 2. La conferencia dura tres días. En el primer y segundo día hay 15 oradores, en el tercer día, 20. ¿Cuál es la probabilidad de que el informe del profesor M. caiga en el tercer día si el orden de los informes se determina por sorteo?
¿Cuál es el resultado elemental aquí? – Asignar al informe del profesor uno de todos los números de serie posibles del discurso. En el sorteo participan 15+15+20=50 personas. Por tanto, el informe del profesor M. puede recibir uno de los 50 números. Esto significa que sólo hay 50 resultados elementales.
¿Cuáles son los resultados favorables? - Aquellas en las que resulta que el profesor hablará al tercer día. Es decir, los últimos 20 números.
Según la fórmula, probabilidad P(A)= 20/50=2/5=4/10=0.4
Respuesta: 0,4
El sorteo aquí representa el establecimiento de una correspondencia aleatoria entre personas y lugares ordenados. En el ejemplo 2, la coincidencia se consideró desde el punto de vista de cuál de los lugares podría ocupar una persona en particular. Puedes abordar la misma situación desde el otro lado: cuál de las personas con qué probabilidad podría llegar a un lugar específico (prototipos , , , ):
Ejemplo 3. En el sorteo participan 5 alemanes, 8 franceses y 3 estonios. ¿Cuál es la probabilidad de que el primero (/segundo/séptimo/último – no importa) sea un francés?
El número de resultados elementales es el número de todas las personas posibles que podrían llegar a un lugar determinado mediante sorteo. 5+8+3=16 personas.
Resultados favorables: francés. 8 personas.
Probabilidad requerida: 8/16=1/2=0,5
Respuesta: 0,5
El prototipo es ligeramente diferente. Todavía hay problemas con las monedas () y los dados (), que son algo más creativos. La solución a estos problemas se puede encontrar en las páginas de prototipos.
A continuación se muestran algunos ejemplos de cómo lanzar una moneda o un dado.
Ejemplo 4. Cuando lanzamos una moneda, ¿cuál es la probabilidad de que salga cara?
Hay 2 resultados: cara o cruz. (se cree que la moneda nunca cae de canto) Un resultado favorable es cruz, 1.
Probabilidad 1/2=0,5
Respuesta: 0,5.
Ejemplo 5.¿Qué pasa si lanzamos una moneda dos veces? ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara en ambas ocasiones?
Lo principal es determinar qué resultados elementales consideraremos al lanzar dos monedas. Después de lanzar dos monedas, puede ocurrir uno de los siguientes resultados:
1) PP – las dos veces salió cara
2) PO – cara por primera vez, cara por segunda vez
3) OP – cara la primera vez, cruz la segunda vez
4) OO – salieron caras en ambas ocasiones
No hay otras opciones. Esto significa que hay 4 resultados elementales, sólo el primero, 1, es favorable.
Probabilidad: 1/4=0,25
Respuesta: 0,25
¿Cuál es la probabilidad de que dos lanzamientos de moneda resulten cruz?
El número de resultados elementales es el mismo, 4. Los resultados favorables son el segundo y el tercero, 2.
Probabilidad de obtener una cola: 2/4=0,5
En tales problemas, puede resultar útil otra fórmula.
Si con un lanzamiento de moneda tenemos 2 posibles opciones de resultado, entonces para dos lanzamientos los resultados serán 2 2 = 2 2 = 4 (como en el ejemplo 5), para tres lanzamientos 2 2 2 = 2 3 = 8, para cuatro : 2·2·2·2=2 4 =16, ... para N tiradas los resultados posibles serán 2·2·...·2=2 N .
Entonces, puedes encontrar la probabilidad de obtener 5 caras en 5 lanzamientos de moneda.
Número total de resultados elementales: 2 5 =32.
Resultados favorables: 1. (RRRRRR – cabeza las 5 veces)
Probabilidad: 1/32=0,03125
Lo mismo ocurre con los dados. Con un lanzamiento hay 6 resultados posibles, así, para dos lanzamientos: 6 6 = 36, para tres 6 6 6 = 216, etc.
Ejemplo 6. Tiramos los dados. ¿Cuál es la probabilidad de que aparezca? número par?
Resultados totales: 6, según el número de bandos.
Favorable: 3 resultados. (2, 4, 6)
Probabilidad: 3/6=0,5
Ejemplo 7. Lanzamos dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que el total sea 10? (redondear a la centésima más cercana)
Para un dado hay 6 resultados posibles. Esto significa que para dos, según la regla anterior, 6·6=36.
¿Qué resultados serán favorables para que el total obtenga 10?
10 se debe descomponer en la suma de dos números del 1 al 6. Esto se puede hacer de dos maneras: 10=6+4 y 10=5+5. Esto significa que son posibles las siguientes opciones para los cubos:
(6 en el primero y 4 en el segundo)
(4 en el primero y 6 en el segundo)
(5 en el primero y 5 en el segundo)
En total, 3 opciones. Probabilidad requerida: 3/36=1/12=0,08
Respuesta: 0,08
Otros tipos de problemas de B6 se analizarán en un artículo futuro sobre Cómo resolverlos.
Sabiendo que la probabilidad se puede medir, intentemos expresarla en números. Hay tres formas posibles.
Arroz. 1.1. Medición de probabilidad
PROBABILIDAD DETERMINADA POR LA SIMETRÍA
Hay situaciones en las que los posibles resultados son igualmente probables. Por ejemplo, al lanzar una moneda al aire una vez, si la moneda es estándar, la probabilidad de que salga “cara” o “cruz” es la misma, es decir P("cara") = P("cruz"). Dado que solo son posibles dos resultados, entonces P(“cara”) + P(“cruz”) = 1, por lo tanto, P(“cara”) = P(“cruz”) = 0,5.
En experimentos donde los resultados tienen las mismas posibilidades de ocurrir, la probabilidad del evento E, P (E) es igual a:
Ejemplo 1.1. La moneda se lanza tres veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan dos caras y una cruz?
Primero, busquemos todos los resultados posibles: para asegurarnos de haber encontrado todas las opciones posibles, usaremos un diagrama de árbol (consulte el Capítulo 1, Sección 1.3.1).
Entonces, hay 8 resultados igualmente posibles, por lo tanto, la probabilidad de que ocurran es 1/8. Evento E - dos caras y cruces - ocurrieron tres. Es por eso:
Ejemplo 1.2. Un dado estándar se lanza dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que la puntuación sea 9 o más?
Encontremos todos los resultados posibles.
Tabla 1.2. El número total de puntos obtenidos al lanzar un dado dos veces.
Entonces, en 10 de 36 resultados posibles la suma de puntos es 9 o por lo tanto:
PROBABILIDAD DETERMINADA EMPÍRICAMENTE
Ejemplo con una moneda de la mesa. 1.1 ilustra claramente el mecanismo para determinar la probabilidad.
Dado el número total de experimentos exitosos, la probabilidad del resultado requerido se calcula de la siguiente manera:
Una relación es la frecuencia relativa de aparición de un determinado resultado durante un experimento suficientemente largo. La probabilidad se calcula a partir de los datos del experimento realizado o de datos pasados.
Ejemplo 1.3. De las quinientas lámparas eléctricas analizadas, 415 funcionaron durante más de 1.000 horas. Con base en los datos de este experimento, podemos concluir que la probabilidad de funcionamiento normal de una lámpara de este tipo durante más de 1000 horas es:
Nota. Las pruebas son de naturaleza destructiva, por lo que no se pueden probar todas las lámparas. Si solo se probara una lámpara, la probabilidad sería 1 o 0 (es decir, si puede durar 1000 horas o no). De ahí la necesidad de repetir el experimento.
Ejemplo 1.4. En mesa 1.3 muestra datos sobre la antigüedad de los hombres que trabajan en la empresa:
Tabla 1.3. experiencia laboral de los hombres
¿Cuál es la probabilidad de que la próxima persona contratada por la empresa trabaje al menos dos años?
Solución.
La tabla muestra que 38 de cada 100 empleados llevan más de dos años trabajando en la empresa. La probabilidad empírica de que el próximo empleado permanezca en la empresa por más de dos años es:
Al mismo tiempo, asumimos que el nuevo empleado es “típico y las condiciones laborales no cambian.
EVALUACIÓN DE PROBABILIDAD SUBJETIVA
En los negocios, a menudo surgen situaciones en las que no hay simetría y tampoco hay datos experimentales. Por lo tanto, determinar la probabilidad de un resultado favorable bajo la influencia de las opiniones y la experiencia del investigador es subjetivo.
Ejemplo 1.5.
1. Un experto en inversiones estima que la probabilidad de obtener ganancias en los dos primeros años es 0,6.
2. Previsión del director de marketing: la probabilidad de vender 1000 unidades de un producto en el primer mes después de su aparición en el mercado es 0,4.
La probabilidad de un evento caracteriza cuantitativamente la posibilidad (oportunidad) de que este evento ocurra durante un experimento aleatorio. EN este párrafo comenzamos a explorar las posibilidades que ofrece la teoría de la probabilidad para análisis comparativo situaciones que surgen de varias combinaciones de eventos igualmente probables.
Imaginemos que estamos realizando un experimento con el espacio desde norte resultados elementales que igualmente probable. Los resultados elementales son incompatible eventos (recordemos que los eventos incompatibles son aquellos que no pueden ocurrir al mismo tiempo), por lo que la probabilidad de cada uno de ellos es 1/n. Digamos que estamos interesados en el evento A, que ocurre sólo cuando favorable resultados elementales, número de últimos metro(metro< n). Тогда, согласно классическому определению, вероятность такого события:
R( A)=m/n.
Para cualquier evento A se cumple la siguiente desigualdad: 0 < P(A) <1.
n>
Ejemplo 1.La lotería consta de 1.000 billetes, incluidos 200 ganadores. Se extrae al azar un boleto entre 1000. ¿Cuál es la probabilidad de que este boleto sea ganador?
Solución: Hay 1000 resultados diferentes en este ejemplo (n=1000). El evento A que nos interesa incluye 200 resultados (m=200). De este modo,
Ejemplo 2. Una caja contiene 200 bolas blancas, 100 rojas y 50 verdes. Se extrae una bola al azar. Por qué igual a la probabilidad de obtener¿La pelota es blanca, roja o verde?
Solución: Consideremos los eventos:
A = (sacaron una bola blanca),
B = (sacaron una bola roja),
C = (sacaron una bola verde).
N=350, entonces
Ejemplo 3. Se tiran los dados. ¿Cuáles son las probabilidades de los siguientes eventos?
A = (el equipo con 6 puntos cayó),
B = (cayó el lado con un número par de puntos),
C=(¿cayó el lado con el número de puntos divisible por 3)?
Solución: n = 6. El evento A se ve favorecido por un resultado, el evento B por tres resultados y el evento C por dos resultados. De este modo,
A veces, en los problemas el número de resultados elementales es tan grande que no es posible escribirlos todos. Por lo tanto, se utilizan fórmulas de combinatoria (ver §2).
Ejemplo 4. Se extraen tres de una baraja de 36 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya decenas entre las cartas extraídas?
Solución: En este ejemplo, el resultado elemental es un conjunto aleatorio de tres cartas. El número total de resultados elementales es N=C 36 3; consideramos que los resultados elementales son igualmente posibles. Resultados favorables (el número de posibles conjuntos de tres cartas de la misma baraja, pero sin decenas)
m=C323. Así, la probabilidad del evento A (se extraen 3 cartas de 36 y no hay decenas entre ellas):
Tareas de autoevaluación
1. Se lanzan dos dados al mismo tiempo. Encuentre las probabilidades de los siguientes eventos: La suma de los puntos extraídos es 8; El producto B de los puntos rodados es 8.
2. En el sobre, entre 100 fotografías, hay una buscada. Se extraen al azar 10 cartas del sobre. Calcula la probabilidad de que el buscado esté entre ellos.
3. Mientras marcaba un número de teléfono, el suscriptor olvidó los últimos tres dígitos y, recordando sólo que estos dígitos eran diferentes, los marcó al azar. Calcula la probabilidad de que el número se marque correctamente.
¿Qué es la probabilidad?
La primera vez que encontré este término, no habría entendido de qué se trataba. Por tanto, intentaré explicarlo claramente.
La probabilidad es la posibilidad de que suceda el evento que queremos.
Por ejemplo, decidiste ir a la casa de un amigo, recuerdas la entrada e incluso el piso en el que vive. Pero olvidé el número y la ubicación del apartamento. Y ahora estás parado en las escaleras y frente a ti hay puertas para elegir.
¿Cuál es la posibilidad (probabilidad) de que si tocas el primer timbre, tu amigo te abra la puerta? Solo hay apartamentos y un amigo vive solo detrás de uno de ellos. Con las mismas posibilidades podemos elegir cualquier puerta.
¿Pero cuál es esta oportunidad?
La puerta, la puerta correcta. Probabilidad de acertar llamando a la primera puerta: . Es decir, una de cada tres veces adivinarás con precisión.
Queremos saber, habiendo llamado una vez, ¿con qué frecuencia adivinaremos la puerta? Veamos todas las opciones:
- Usted llamó 1er puerta
- Usted llamó 2do puerta
- Usted llamó 3er puerta
Ahora veamos todas las opciones donde podría estar un amigo:
A. Detrás 1er la puerta
b. Detrás 2do la puerta
v. Detrás 3er la puerta
Comparemos todas las opciones en forma de tabla. Una marca de verificación indica opciones cuando su elección coincide con la ubicación de un amigo, una cruz, cuando no coincide.
¿Cómo ves todo? Tal vez opciones la ubicación de tu amigo y tu elección de a qué puerta llamar.
A resultados favorables de todos . Es decir, adivinarás una vez tocando el timbre una vez, es decir. .
Esto es probabilidad: la relación entre un resultado favorable (cuando su elección coincide con la ubicación de su amigo) y el número de eventos posibles.
La definición es la fórmula. La probabilidad generalmente se denota por p, por lo tanto:
No es muy conveniente escribir una fórmula de este tipo, por lo que tomaremos por el número de resultados favorables y por el número total de resultados.
La probabilidad se puede escribir como un porcentaje, para hacer esto es necesario multiplicar el resultado resultante por:
La palabra “resultados” probablemente le llamó la atención. Dado que los matemáticos llaman experimentos a varias acciones (en nuestro caso, tal acción es un timbre), el resultado de tales experimentos generalmente se denomina resultado.
Bueno, hay resultados favorables y desfavorables.
Volvamos a nuestro ejemplo. Digamos que llamamos a una de las puertas, pero un extraño nos abrió. No acertamos. ¿Cuál es la probabilidad de que si tocamos una de las puertas restantes, nuestro amigo nos la abra?
Si pensabas eso, entonces esto es un error. Vamos a resolverlo.
Nos quedan dos puertas. Entonces tenemos posibles pasos:
1) Llamar 1er puerta
2) Llamar 2do puerta
El amigo, a pesar de todo esto, definitivamente está detrás de uno de ellos (al fin y al cabo, no estaba detrás del que llamamos):
a) Amigo por 1er la puerta
b) Amigo por 2do la puerta
Dibujemos la tabla nuevamente:
Como puede ver, sólo hay opciones que son favorables. Es decir, la probabilidad es igual.
¿Por qué no?
La situación que consideramos es ejemplo de eventos dependientes. El primer evento es el primer timbre, el segundo evento es el segundo timbre.
Y se les llama dependientes porque influyen en las siguientes acciones. Después de todo, si después del primer toque de timbre fue abierto un amigo, ¿cuál sería la probabilidad de que estuviera detrás de uno de los otros dos? Bien, .
Pero si hay eventos dependientes, entonces también debe haberlos. independiente? Así es, suceden.
Un ejemplo de libro de texto es lanzar una moneda.
- Lanza una moneda una vez. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara, por ejemplo? Así es, porque hay todas las opciones (ya sea cara o cruz, descuidaremos la probabilidad de que la moneda caiga en su borde), pero solo nos conviene.
- Pero salió cara. Bien, lancemos de nuevo. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara ahora? Nada ha cambiado, todo sigue igual. ¿Cuantas opciones? Dos. ¿Con cuántos estamos contentos? Uno.
Y que salga cara al menos mil veces seguidas. La probabilidad de obtener cara a la vez será la misma. Siempre hay opciones y favorables.
Es fácil distinguir eventos dependientes de independientes:
- Si el experimento se realiza una vez (lanzan una moneda una vez, tocan el timbre una vez, etc.), entonces los eventos son siempre independientes.
- Si un experimento se lleva a cabo varias veces (se lanza una moneda una vez, se toca el timbre varias veces), entonces el primer evento es siempre independiente. Y luego, si cambia el número de resultados favorables o el número de todos los resultados, entonces los eventos son dependientes, y si no, son independientes.
Practiquemos un poco la determinación de la probabilidad.
Ejemplo 1.
La moneda se lanza dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara dos veces seguidas?
Solución:
Consideremos todas las opciones posibles:
- águila-águila
- Cara y cruz
- Colas-Cabezas
- colas-colas
Como puedes ver, sólo hay opciones. De ellos sólo estamos satisfechos. Es decir, la probabilidad:
Si la condición pide simplemente encontrar la probabilidad, entonces la respuesta debe darse en la forma decimal. Si se especificara que la respuesta debe darse en porcentaje, entonces multiplicaríamos por.
Respuesta:
Ejemplo 2.
En una caja de bombones, todos los bombones están empaquetados en el mismo envoltorio. Sin embargo, de los dulces: con nueces, con coñac, con cerezas, con caramelo y con turrón.
¿Cuál es la probabilidad de tomar un caramelo y obtener un caramelo con nueces? Da tu respuesta como porcentaje.
Solución:
¿Cuántos resultados posibles hay? .
Es decir, si coges un caramelo, será uno de los disponibles en la caja.
¿Cuántos resultados favorables?
Porque la caja contiene sólo bombones con nueces.
Respuesta:
Ejemplo 3.
En una caja de globos. de los cuales son blancos y negros.
- ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola blanca?
- Agregamos más bolas negras a la caja. ¿Cuál es ahora la probabilidad de sacar una bola blanca?
Solución:
a) En la caja sólo hay bolas. De ellos son blancos.
La probabilidad es:
b) Ahora hay más bolas en la caja. Y quedan otros tantos blancos...
Respuesta:
Probabilidad total
| La probabilidad de todos los eventos posibles es igual a (). |
Digamos que hay bolas rojas y verdes en una caja. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola roja? ¿Bola verde? ¿Bola roja o verde?
Probabilidad de sacar una bola roja.
Bola verde:
Bola roja o verde:
Como puede ver, la suma de todos los eventos posibles es igual a (). Comprender este punto te ayudará a resolver muchos problemas.
Ejemplo 4.
Hay marcadores en el cuadro: verde, rojo, azul, amarillo, negro.
¿Cuál es la probabilidad de sacar NO un marcador rojo?
Solución:
contemos el numero resultados favorables.
NO es un marcador rojo, eso significa verde, azul, amarillo o negro.
| La probabilidad de que un evento no ocurra es igual a menos la probabilidad de que ocurra el evento. |
Regla para multiplicar las probabilidades de eventos independientes.
Ya sabes qué son los eventos independientes.
¿Qué pasa si necesitas encontrar la probabilidad de que ocurran dos (o más) eventos independientes seguidos?
Digamos que queremos saber cuál es la probabilidad de que si lanzamos una moneda una vez, veamos cara dos veces.
Ya hemos considerado - .
¿Qué pasa si lanzamos una moneda una vez? ¿Cuál es la probabilidad de ver un águila dos veces seguidas?
Total de opciones posibles:
- águila-águila-águila
- Cara-cara-cruz
- Cara-cruz-cara
- Cara-cruz-cruz
- Cruz-cara-cara
- Cruz-cara-cruz
- Cruz-cruz-cara
- Colas-colas-colas
No sé ustedes, pero yo cometí errores varias veces al compilar esta lista. ¡Guau! Y sólo nos conviene la opción (la primera).
Para 5 lanzamientos, usted mismo puede hacer una lista de posibles resultados. Pero los matemáticos no son tan trabajadores como tú.
Por lo tanto, primero notaron y luego demostraron que la probabilidad de una determinada secuencia de eventos independientes disminuye cada vez en la probabilidad de un evento.
En otras palabras,
Veamos el ejemplo de la misma moneda desafortunada.
¿Probabilidad de sacar cara en un desafío? . Ahora lanzamos la moneda una vez.
¿Cuál es la probabilidad de obtener cara seguida?
Esta regla no sólo funciona si se nos pide encontrar la probabilidad de que el mismo evento ocurra varias veces seguidas.
Si quisiéramos encontrar la secuencia CORAS-CARA-COLAS para lanzamientos consecutivos, haríamos lo mismo.
La probabilidad de obtener cruz es , cara - .
Probabilidad de obtener la secuencia COLAS-CABEZAS-COLAS-COLAS:
Puedes comprobarlo tú mismo haciendo una tabla.
La regla para sumar las probabilidades de eventos incompatibles.
¡Así que deja de! Nueva definición.
Vamos a resolverlo. Tomemos nuestra moneda gastada y lancemos una vez.
Posibles opciones:
- águila-águila-águila
- Cara-cara-cruz
- Cara-cruz-cara
- Cara-cruz-cruz
- Cruz-cara-cara
- Cruz-cara-cruz
- Cruz-cruz-cara
- Colas-colas-colas
Entonces, los eventos incompatibles son una secuencia determinada de eventos. - Estos son eventos incompatibles.
Si queremos determinar cuál es la probabilidad de dos (o más) eventos incompatibles, entonces sumamos las probabilidades de estos eventos.
Debes entender que cara o cruz son dos eventos independientes.
Si queremos determinar la probabilidad de que ocurra una secuencia (o cualquier otra), entonces usamos la regla de multiplicar probabilidades.
¿Cuál es la probabilidad de obtener cara en el primer lanzamiento y cruz en el segundo y tercer lanzamiento?
Pero si queremos saber cuál es la probabilidad de obtener una de varias secuencias, por ejemplo, cuando sale cara exactamente una vez, es decir opciones y, luego debemos sumar las probabilidades de estas secuencias.
Las opciones totales nos convienen.
Podemos obtener lo mismo sumando las probabilidades de ocurrencia de cada secuencia:
Por lo tanto, sumamos probabilidades cuando queremos determinar la probabilidad de ciertas secuencias de eventos inconsistentes.
Existe una gran regla que le ayudará a evitar confundirse cuándo multiplicar y cuándo sumar:
Volvamos al ejemplo en el que lanzamos una moneda una vez y queríamos saber la probabilidad de ver cara una vez.
Que es lo que va a pasar?
Debería caerse:
(cara Y cruz Y cruz) O (cruz Y cara Y cruz) O (cruz Y cruz Y cara).
Así resulta:
Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 5.
Hay lápices en la caja. rojo, verde, naranja y amarillo y negro. ¿Cuál es la probabilidad de sacar lápices rojos o verdes?
Solución:
Ejemplo 6.
Si se lanza un dado dos veces ¿cuál es la probabilidad de obtener un total de 8?
Solución.
¿Cómo podemos conseguir puntos?
(y) o (y) o (y) o (y) o (y).
La probabilidad de obtener una (cualquier) cara es .
Calculamos la probabilidad:
Capacitación.
Creo que ahora entiendes cuándo necesitas calcular probabilidades, cuándo sumarlas y cuándo multiplicarlas. ¿No es? Practiquemos un poco.
Tareas:
Tomemos una baraja de cartas que contenga cartas que incluyan espadas, corazones, 13 tréboles y 13 diamantes. Del al As de cada palo.
- ¿Cuál es la probabilidad de sacar tréboles seguidos (devolvemos a la baraja la primera carta extraída y la barajamos)?
- ¿Cuál es la probabilidad de sacar una carta negra (picas o tréboles)?
- ¿Cuál es la probabilidad de sacar un dibujo (sota, reina, rey o as)?
- ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos dibujos seguidos (quitamos la primera carta extraída de la baraja)?
- ¿Cuál es la probabilidad de obtener una combinación (sota, reina o rey) y un as al tomar dos cartas? No importa el orden en que se extraigan las cartas.
Respuestas:
Si pudiste resolver todos los problemas tú mismo, ¡eres genial! ¡Ahora resolverás como loco los problemas de teoría de la probabilidad en el Examen Estatal Unificado!
TEORÍA DE PROBABILIDAD. NIVEL PROMEDIO
Veamos un ejemplo. Digamos que lanzamos un dado. ¿Qué clase de hueso es este? ¿Lo sabes? Así llaman a un cubo con números en sus caras. Cuántas caras, tantos números: ¿de hasta cuántos? Antes.
Entonces tiramos los dados y queremos que salga o. Y lo entendemos.
En la teoría de la probabilidad dicen lo que pasó. evento auspicioso(no confundir con próspero).
Si sucediera, el evento también sería favorable. En total, sólo pueden ocurrir dos eventos favorables.
¿Cuantos son desfavorables? Como hay totales de eventos posibles, significa que los desfavorables son eventos (esto es si o cae).
Definición:
La probabilidad es la relación entre el número de eventos favorables y el número de todos los eventos posibles.. Es decir, la probabilidad muestra qué proporción de todos los eventos posibles son favorables.
La probabilidad se denota con una letra latina (aparentemente de palabra inglesa probabilidad - probabilidad).
Es costumbre medir la probabilidad como porcentaje (ver temas y). Para hacer esto, el valor de probabilidad debe multiplicarse por. En el ejemplo con dado probabilidad.
Y en porcentaje: .
Ejemplos (decide por ti mismo):
- ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda? ¿Cuál es la probabilidad de que caiga cara?
- ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par al lanzar un dado? ¿Cuál es extraño?
- En una caja de lápices sencillos, azules y rojos. Dibujamos un lápiz al azar. ¿Cuál es la probabilidad de obtener uno simple?
Soluciones:
- ¿Cuántas opciones hay? Cara y cruz, solo dos. ¿Cuantos de ellos son favorables? Sólo uno es un águila. Entonces la probabilidad
Lo mismo ocurre con las colas: .
- Opciones totales: (cuántas caras tiene el cubo, tantas opciones diferentes). Favorables: (todos estos son números pares :).
Probabilidad. Por supuesto, ocurre lo mismo con los números impares. - Total: . Favorable: . Probabilidad: .
Probabilidad total
Todos los lápices de la caja son verdes. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un lápiz rojo? No hay posibilidades: probabilidad (después de todo, eventos favorables -).
Tal evento se llama imposible.
¿Cuál es la probabilidad de sacar un lápiz verde? Hay exactamente el mismo número de eventos favorables que eventos totales (todos los eventos son favorables). Entonces la probabilidad es igual a o.
Un evento así se llama confiable.
Si una caja contiene lápices verdes y rojos, ¿cuál es la probabilidad de sacar lápices verdes o rojos? Una vez más. Tengamos en cuenta esto: la probabilidad de sacar el verde es igual y la roja es igual.
En resumen, estas probabilidades son exactamente iguales. Eso es, la suma de las probabilidades de todos los eventos posibles es igual a o.
Ejemplo:
En una caja de lápices, entre ellos están los azules, rojos, verdes, lisos, amarillos y el resto son naranjas. ¿Cuál es la probabilidad de no sacar verde?
Solución:
Recordamos que todas las probabilidades suman. Y la probabilidad de salir verde es igual. Esto significa que la probabilidad de no sacar el verde es igual.
Recuerda este truco: La probabilidad de que un evento no ocurra es igual a menos la probabilidad de que ocurra el evento.
Eventos independientes y la regla de la multiplicación.
Lanzas una moneda una vez y quieres que salga cara las dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que esto ocurra?
Repasemos todas las opciones posibles y determinemos cuántas hay:
Cara-cara, cruz-cara, cara-cruz, cruz-cruz. ¿Qué otra cosa?
Opciones totales. De ellos, sólo uno nos conviene: Eagle-Eagle. En total, la probabilidad es igual.
Bien. Ahora lancemos una moneda una vez. Haz los cálculos tú mismo. ¿Sucedió? (respuesta).
Es posible que hayas notado que con la adición de cada lanzamiento posterior, la probabilidad se reduce a la mitad. Regla general llamado regla de multiplicación:
Las probabilidades de eventos independientes cambian.
¿Qué son los eventos independientes? Todo es lógico: son los que no dependen unos de otros. Por ejemplo, cuando lanzamos una moneda varias veces, cada vez se realiza un nuevo lanzamiento, cuyo resultado no depende de todos los lanzamientos anteriores. Con la misma facilidad podemos lanzar dos monedas diferentes al mismo tiempo.
Más ejemplos:
- Los dados se lanzan dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtenerlo ambas veces?
- La moneda se lanza una vez. ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara la primera vez y luego cruz dos veces?
- El jugador tira dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números que aparecen en ellos sea igual?
Respuestas:
- Los eventos son independientes, lo que significa que la regla de la multiplicación funciona: .
- La probabilidad de que salga cara es igual. La probabilidad de que salga cruz es la misma. Multiplicar:
- 12 sólo se puede obtener si se lanzan dos -ki: .
Eventos incompatibles y la regla de la suma
Los eventos que se complementan hasta el punto de tener total probabilidad se denominan incompatibles. Como sugiere el nombre, no pueden ocurrir simultáneamente. Por ejemplo, si lanzamos una moneda al aire, puede salir cara o cruz.
Ejemplo.
En una caja de lápices, entre ellos están los azules, rojos, verdes, lisos, amarillos y el resto son naranjas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar verde o rojo?
Solución .
La probabilidad de sacar un lápiz verde es igual. Rojo - .
Eventos favorables en todos: verde + rojo. Esto significa que la probabilidad de sacar verde o rojo es igual.
La misma probabilidad se puede representar de esta forma: .
Esta es la regla de la suma: las probabilidades de eventos incompatibles se acumulan.
Problemas de tipo mixto
Ejemplo.
La moneda se lanza dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que los resultados de las tiradas sean diferentes?
Solución .
Esto significa que si el primer resultado es cara, el segundo debe ser cruz, y viceversa. Resulta que hay dos pares de eventos independientes y estos pares son incompatibles entre sí. Cómo no confundirse acerca de dónde multiplicar y dónde sumar.
Existe una regla simple para tales situaciones. Intenta describir lo que va a pasar usando las conjunciones “Y” u “O”. Por ejemplo, en este caso:
Debería salir (cara y cruz) o (cruz y cara).
Donde hay conjunción “y” habrá multiplicación, y donde hay “o” habrá suma:
Inténtalo tú mismo:
- ¿Cuál es la probabilidad de que si se lanza una moneda dos veces, la moneda caiga en el mismo lado ambas veces?
- Los dados se lanzan dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un total de puntos?
Soluciones:
Otro ejemplo:
Lanza una moneda una vez. ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara al menos una vez?
Solución:
TEORÍA DE PROBABILIDAD. BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES
La probabilidad es la relación entre el número de eventos favorables y el número de todos los eventos posibles.
Eventos independientes
Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no cambia la probabilidad de que ocurra el otro.
Probabilidad total
La probabilidad de todos los eventos posibles es igual a ().
La probabilidad de que un evento no ocurra es igual a menos la probabilidad de que ocurra el evento.
Regla para multiplicar las probabilidades de eventos independientes.
La probabilidad de una determinada secuencia de eventos independientes es igual al producto de las probabilidades de cada evento.
Eventos incompatibles
Los eventos incompatibles son aquellos que no pueden ocurrir simultáneamente como resultado de un experimento. Varios eventos incompatibles forman un grupo completo de eventos.
Las probabilidades de eventos incompatibles se acumulan.
Habiendo descrito lo que debería suceder, usando las conjunciones “Y” u “O”, en lugar de “Y” ponemos un signo de multiplicación, y en lugar de “O” ponemos un signo de suma.
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