Производная функции - одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.
В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна . Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное - понять смысл.
Запомним определение:
Производная - это скорость изменения функции.
На рисунке - графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?
Ответ очевиден - третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.
Вот другой пример.
Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:
На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная , - разная. Что касается Матвея - у его дохода производная вообще отрицательна.
Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?
На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами - насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной - то есть может меняться быстрее или медленнее.
Производная функции обозначается .
Покажем, как найти с помощью графика.
Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого - тангенс угла наклона касательной .
Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.
Обратите внимание - в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси .
Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.
Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника :
Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике под номером .
Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением
Величина в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой . Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси .
.
Мы получаем, что
Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.
Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.
Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.
Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.
Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других - убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.
В точке функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке , образует острый угол с положительным направлением оси . Значит, в точке производная положительна.
В точке наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол с положительным направлением оси . Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке производная отрицательна.
Вот что получается:
Если функция возрастает, ее производная положительна.
Если убывает, ее производная отрицательна.
А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках (точка максимума) и (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.
Точка - точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке с «плюса» на «минус».
В точке - точке минимума - производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».
Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.
Если производная положительна, то функция возрастает.
Если производная отрицательная, то функция убывает.
В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».
В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».
Запишем эти выводы в виде таблицы:
| возрастает | точка максимума | убывает | точка минимума | возрастает | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задач ЕГЭ. Другое - на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.
Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая :
В точке касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки функция возрастала - и после точки продолжает возрастать. Знак производной не меняется - она как была положительной, так и осталась.
Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.
А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется
Для начала попробуй найти область определения функции:
Справился? Сравним ответы:
Все верно? Молодец!
Теперь попробуем найти область значений функции:
Нашел? Сравниваем:
Сошлось? Молодец!
Еще раз поработаем с графиками, только теперь чуть-чуть посложнее - найти и область определения функции, и область значений функции.
Как найти и область определения и область значений функции (продвинутый вариант)
Вот что получилось:
С графиками, я думаю, ты разобрался. Теперь попробуем в соответствии с формулами найти область определения функции (если ты не знаешь как это сделать, прочитай раздел про ):
Справился? Сверим ответы :
- , так как подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю.
- , так как на ноль делить нельзя и подкоренное выражение не может быть отрицательным.
- , так как, соответственно при всех.
- , так как на ноль делить нельзя.
Однако, у нас остался еще один не разобранный момент…
Еще раз повторю определение и сделаю на нем акцент:
Заметил? Слово «единственный» - это очень-очень важный элемент нашего определения. Постараюсь объяснить тебе на пальцах.
Допустим, у нас есть функция, заданная прямой. . При, мы подставляем данное значение в наше «правило» и получаем, что. Одному значению соответствует одно значение. Мы даже можем составить таблицу различных значений и построить график данной функции, чтобы убедится в этом.
«Смотри! - скажешь ты, -« » встречается два раза!» Так быть может парабола не является функцией? Нет, является!
То, что « » встречается два раза далеко не повод обвинять параболу в неоднозначности!
Дело в том, что, при расчёте для, мы получили один игрек. И при расчёте с мы получили один игрек. Так что все верно, парабола является функцией. Посмотри на график:
Разобрался? Если нет, вот тебе жизненный пример сооовсем далекий от математики!
Допустим, у нас есть группа абитуриентов, познакомившихся при подаче документов, каждый из которых в разговоре рассказал, где он живет:
Согласись, вполне реально, что несколько ребят живут в одном городе, но невозможно, чтобы один человек жил в нескольких городах одновременно. Это как бы логичное представление нашей «параболы» - нескольким разным икс соответствует один и тот же игрек.
Теперь придумаем пример, когда зависимость не будет функцией. Допустим, эти же ребята рассказывали, на какие специальности они подали документы:
Здесь у нас совершенно другая ситуация: один человек может спокойно подать документы как на одно, так и на несколько направлений. То есть одному элементу множества ставится в соответствие несколько элементов множества. Соответственно, это не функция.
Проверим твои знания на практике.
Определи по рисункам, что является функцией, а что нет:
Разобрался? А вот и ответы :
- Функцией является - В,Е.
- Функцией не является - А, Б, Г, Д.
Ты спросишь почему? Да вот почему:
На всех рисунках кроме В) и Е) на один приходится несколько!
Уверена, теперь, ты с легкостью отличишь функцию от не функции, скажешь, что такое аргумент и что такое зависимая переменная, а так же определишь область допустимых значений аргумента и область определения функции. Приступаем к следующему разделу - как задать функцию?
Способы задания функции
Как ты думаешь, что означают слова «задать функцию» ? Правильно, это значит объяснить всем желающим, о какой функции в данном случае идет речь. Причем объяснить так, чтобы каждый понял тебя правильно и нарисованные людьми по твоему объяснению графики функций были одинаковы.
Как это можно сделать? Как задать функцию? Самый простой способ, который уже не раз применялся в этой статье - с помощью формулы. Мы пишем формулу, и, подставляя в нее значение, высчитываем значение. А как ты помнишь, формула - это закон, правило, по которому нам и другому человеку становится ясно, как икс превращается в игрек.
Обычно, именно так и делают - в заданиях мы видим уже готовые функции, заданные формулами, однако, существуют и другие способы задать функцию, про которые все забывают, в связи с чем вопрос «как еще можно задать функцию?» ставит в тупик. Разберемся во всем по порядку, а начнем с аналитического способа.
Аналитический способ задания функции
Аналитический способ это и есть задание функции с помощью формулы. Это самый универсальный и исчерпывающий и однозначный способ. Если у тебя есть формула, то ты знаешь о функции абсолютно все - ты можешь составить по ней табличку значений, можешь построить график, определить, где функция возрастает, а где убывает, в общем, исследовать ее по полной программе.
Рассмотрим функцию. Чему равно?
«Что это значит?» - спросишь ты. Сейчас объясню.
Напомню, что в записи выражение в скобках называется аргументом. И этот аргумент может быть любым выражением, не обязательно просто. Соответственно, каким бы ни был аргумент (выражение в скобках), мы его запишем вместо в выражении.
В нашем примере получится так:
Рассмотрим еще задание, связанное с аналитическим способом задания функции, которое будет у тебя на экзамене.
Найдите значение выражения, при.
Уверена, что сначала, ты испугался, увидев такое выражение, но в нем нет абсолютно ничего страшного!
Все как и в прошлом примере: каким бы ни был аргумент (выражение в скобках), мы его запишем вместо в выражении. Например, для функции.
Что же нужно сделать в нашем примере? Вместо надо написать, а вместо - :
сократить получившееся выражение:
Вот и все!
Самостоятельная работа
Теперь попробуй самостоятельно найти значение следующих выражений:
- , если
- , если
Справился? Сравним наши ответы: Мы привыкли, что функция имеет вид
Даже в наших примерах мы задаем функцию именно таким образом, однако аналитически можно задать функцию в неявном виде, например.
Попробуй построить эту функцию самостоятельно.
Справился?
Вот как строила ее я.
Какое уравнение мы в итоге вывели?
Правильно! Линейное, а это значит, что графиком будет прямая линия. Сделаем табличку, чтобы определить, какие точки принадлежат нашей прямой:
Вот как раз то, о чем мы говорили… Одному соответствует несколько.
Попробуем нарисовать то, что получилось:
Является ли то, что у нас получилось функцией?
Правильно, нет! Почему? Попробуй ответить на этот вопрос с помощью рисунка. Что у тебя вышло?
«Потому что одному значению соответствует несколько значений!»
Какой вывод мы можем из этого сделать?
Правильно, функция не всегда может быть выражена явно, и не всегда то, что «замаскировано» под функцию является функцией!
Табличный способ задания функции
Как следует из названия, этот способ представляет собой простую табличку. Да, да. Наподобие той, которой мы с тобой уже составляли. Например:
Здесь ты сразу подметил закономерность - игрек в три раза больше чем икс. А теперь задание на «очень хорошо подумать»: как ты считаешь, равносильная ли функция, заданная в виде таблицы, функции?
Не будем долго рассуждать, а будем рисовать!
Итак. Рисуем функцию, заданную обоями способами:
Видишь разницу? Дело совсем не в отмеченных точках! Присмотрись внимательнее:
Теперь увидел? Когда мы задаем функцию табличным способом, мы на графике отражаем только те точки, которые есть у нас в таблице и линия (как в нашем случае) проходит только через них. Когда мы задаем функцию аналитическим способом, мы можем взять любые точки, и наша функция ими не ограничивается. Вот такая вот особенность. Запоминай!
Графический способ построения функции
Графический способ построения функции не менее удобен. Мы рисуем нашу функцию, а другой заинтересованный человек может найти чему равен игрек при определенном икс и так далее. Графический и аналитический способы одни из самых распространенных.
Однако, здесь нужно помнить о чем мы с тобой говорили в самом начале - не каждая «загогулина» нарисованная в системе координат является функцией! Вспомнил? На всякий случай скопирую тебе сюда определение, что функцией является:
Как правило, люди обычно называют именно те три способа задания функции, которые мы разобрали - аналитический (с помощью формулы), табличный и графический, напрочь забывая о том, что функцию можно словесно описать. Как это? Да очень просто!
Словесное описание функции
Как же описать функцию словесно? Возьмем наш недавний пример - . Данную функцию можно описать «каждому действительному значению икс соответствует его утроенное значение». Вот и все. Ничего сложного. Ты, конечно, возразишь - «есть настолько сложные функции, которые словесно задать просто невозможно!» Да, есть и такие, но есть функции, которые описать словесно легче, чем задать формулой. Например: «каждому натуральному значению икс соответствует разница между цифрами, из которых он состоит, при этом за уменьшаемое берется наибольшее цифра, содержащиеся в записи числа». Теперь рассмотрим, как наше словесное описание функции реализуется на практике:
Наибольшая цифра в данном числе - , соответственно, - уменьшаемое, тогда:
Основные виды функций
Теперь перейдем к самому интересному - рассмотрим основные виды функций, с которыми ты работал/работаешь и будешь работать в курсе школьной и институтской математики, то есть познакомимся с ними, так сказать и дадим им краткую характеристику. Более подробно про каждую функцию читай в соответствующем разделе.
Линейная функция
Функция вида, где, - действительные числа.
Графиком данной функции служит прямая, поэтому построение линейной функции сводится к нахождению координат двух точек.
Положение прямой на координатной плоскости зависит от углового коэффициента.
Область определения функции (aka область допустимых значений аргумента) - .
Область значений - .
Квадратичная функция
Функция вида, где
Графиком функции является парабола, при ветви параболы направлены вниз, при — вверх.
Многие свойства квадратичной функции зависят от значения дискриминанта. Дискриминант вычисляется по формуле
Положение параболы на координатной плоскости относительно значения и коэффициента показаны на рисунке:
Область определения
Область значений зависит от экстремума данной функции (точки вершины параболы) и коэффициента (направления ветвей параболы)
Обратная пропорциональность
Функция, задаваемая формулой, где
Число называется коэффициентом обратной пропорциональности. В зависимости от того, какое значение, ветви гиперболы находятся в разных квадратах:
Область определения - .
Область значений - .
КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
1. Функцией называется правило, по которому каждому элементу множества ставится в соответствие единственный элемент множества.
- - это формула, обозначающая функцию, то есть зависимость одной переменной от другой;
- - переменная величина, или, аргумент;
- - зависимая величина - изменяется при изменении аргумента, то есть согласно какой-либо определенной формуле, отражающей зависимость одной величины от другой.
2. Допустимые значения аргумента , или область определения функции - это то, что связано с возможными, при которых функция имеет смысл.
3. Область значений функции - это то, какие значения принимает, при допустимых значениях.
4. Существует 4 способа задания функции:
- аналитический (с помощью формул);
- табличный;
- графический
- словесное описание.
5. Основные виды функций:
- : , где, - действительные числа;
- : , где;
- : , где.
Производной функции $y = f(x)$ в данной точке $х_0$ называют предел отношения приращения функции к соответствующему приращению его аргумента при условии, что последнее стремится к нулю:
$f"(x_0)={lim}↙{△x→0}{△f(x_0)}/{△x}$
Дифференцированием называют операцию нахождения производной.
Таблица производных некоторых элементарных функций
| Функция | Производная |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n$ | $nx^{n-1}$ |
| ${1}/{x}$ | $-{1}/{x^2}$ |
| $√x$ | ${1}/{2√x}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $lnx$ | ${1}/{x}$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | ${1}/{cos^2x}$ |
| $ctgx$ | $-{1}/{sin^2x}$ |
Основные правила дифференцирования
1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных
$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$
Найти производную функции $f(x)=3x^5-cosx+{1}/{x}$
Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных.
$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ({1}/{x})" = 15x^4 + sinx - {1}/{x^2}$
2. Производная произведения
$(f(x) · g(x))"= f"(x) · g(x)+ f(x) · g(x)"$
Найти производную $f(x)=4x·cosx$
$f"(x)=(4x)"·cosx+4x·(cosx)"=4·cosx-4x·sinx$
3. Производная частного
$({f(x)}/{g(x)})"={f"(x)·g(x)-f(x)·g(x)"}/{g^2(x)}$
Найти производную $f(x)={5x^5}/{e^x}$
$f"(x)={(5x^5)"·e^x-5x^5·(e^x)"}/{(e^x)^2}={25x^4·e^x-5x^5·e^x}/{(e^x)^2}$
4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции
$f(g(x))"=f"(g(x))·g"(x)$
$f"(x)=cos"(5x)·(5x)"=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$
Физический смысл производной
Если материальная точка движется прямолинейно и ее координата изменяется в зависимости от времени по закону $x(t)$, то мгновенная скорость данной точки равна производной функции.
Точка движется по координатной прямой согласно закону $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$, где $x(t)$ - координата в момент времени $t$. В какой момент времени скорость точки будет равна $12$?
1. Скорость – это производная от $x(t)$, поэтому найдем производную заданной функции
$v(t) = x"(t) = 1,5·2t -3 = 3t -3$
2. Чтобы найти, в какой момент времени $t$ скорость была равна $12$, составим и решим уравнение:
Геометрический смысл производной
Напомним, что уравнение прямой, не параллельной осям координат, можно записать в виде $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент прямой. Коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси $Ох$.
Производная функции $f(x)$ в точке $х_0$ равна угловому коэффициенту $k$ касательной к графику в данной точке:
Следовательно, можем составить общее равенство:
$f"(x_0) = k = tgα$
На рисунке касательная к функции $f(x)$ возрастает, следовательно, коэффициент $k > 0$. Так как $k > 0$, то $f"(x_0) = tgα > 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением $Ох$ острый.
На рисунке касательная к функции $f(x)$ убывает, следовательно, коэффициент $k < 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.
На рисунке касательная к функции $f(x)$ параллельна оси $Ох$, следовательно, коэффициент $k = 0$, следовательно, $f"(x_0) = tg α = 0$. Точка $x_0$, в которой $f "(x_0) = 0$, называется экстремумом .
На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
Касательная к графику возрастает, следовательно, $f"(x_0) = tg α > 0$
Для того, чтобы найти $f"(x_0)$, найдем тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси $Ох$. Для этого достроим касательную до треугольника $АВС$.
Найдем тангенс угла $ВАС$. (Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.)
$tg BAC = {BC}/{AC} = {3}/{12}= {1}/{4}=0,25$
$f"(x_0) = tg ВАС = 0,25$
Ответ: $0,25$
Производная так же применяется для нахождения промежутков возрастания и убывания функции:
Если $f"(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.
Если $f"(x) < 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.
На рисунке изображен график функции $y = f(x)$. Найдите среди точек $х_1,х_2,х_3…х_7$ те точки, в которых производная функции отрицательна.
В ответ запишите количество данных точек.
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Салтыковская средняя общеобразовательная школа
Ртищевского района Саратовской области»
Мастер – класс по математике
в 11 классе
по теме
«ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
В ЗАДАНИЯХ ЕГЭ»
Провела учитель математики
Белоглазова Л.С.
2012-2013 учебный год
Цель мастер – класса : развивать у учащихся навыкиприменения теоретических знаний по теме «Производная функции» для решения задач единого государственного экзамена.
Задачи
Образовательные: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме
«Производная функции», рассмотреть прототипы задач ЕГЭ по данной теме, предоставить обучающимся возможность проверить свои знания при самостоятельном решении задач.
Развивающие: способствовать развитию памяти, внимания, навыков самооценки и самоконтроля; формированию основных ключевых компетенций (сравнение, сопоставление, классификация объектов, определение адекватных способов решения учебной задачи на основе заданных алгоритмов, способность самостоятельно действовать в ситуации неопределённости, контролировать и оценивать свою деятельность, находить и устранять причины возникших трудностей).
Воспитательные: способствовать:
формированию у учащихся ответственного отношения к учению;
развитию устойчивого интереса к математике;
созданию положительной внутренней мотивации к изучению математики.
Технологии : индивидуально–дифференцированного обучения, ИКТ.
Методы обучения : словесный, наглядный, практический, проблемный.
Формы работы: индивидуальная, фронтальная, в парах.
Оборудование и материалы для урока: проектор, экран, ПК для каждого ученика, тренажёр (Приложение №1), презентация к уроку (Приложение №2), индивидуально – дифференцированные карточки для самостоятельной работы в парах (Приложение №3), список сайтов сети Интернет, индивидуально-дифференцированное домашнее задание (Приложение №4).
Пояснение к мастер - классу. Данный мастер – класс проводится в 11 классе с целью подготовки к ЕГЭ. Нацелен на применение теоретического материала по теме «Производная функции» при решении экзаменационных задач.
Продолжительность мастер – класса – 30 мин.
Структура мастер - класса
I .Организационный момент -1 мин.
II .Сообщение темы, цели мастер - класса, мотивация учебной деятельности-1 мин.
III . Фронтальная работа. Тренинг «Задания В8 ЕГЭ». Анализ работы с тренажёром - 6 мин.
IV .Индивидуально - дифференцированная работа в парах. Самостоятельное решение задач В14. Взаимопроверка - 7 мин.
V . Проверка индивидуального домашнего задания. Задача с параметром С5 ЕГЭ
3 мин.
VI .Оn – line тестирование. Анализ результатов тестирования - 9 мин.
VII . Индивидуально – дифференцированное домашнее задание -1 мин.
VIII .Оценки за урок - 1 мин.
IX .Итог урока. Рефлексия -1 мин.
Ход мастер - класса
I.Организационный момент.
II.Сообщение темы, цели мастер - класса, мотивация учебной деятельности.
(Слайды 1-2,пр иложение №2)
Тема нашего занятия «Производная функции в заданиях ЕГЭ». Всем известно высказывание «Мал золотник да дорог». Одним из таких «золотников» в математике является производная. Производная применяется при решении многих практических задач математики, физики, химии, экономики и других дисциплин. Она позволяет решать задачи просто, красиво, интересно.
Тема «Производная» представлена в заданиях части В (В8, В14) единого государственного экзамена. Некоторые задания С5 также можно решить с применением производной. Но для решения этих задач требуется хорошая математическая подготовка и нестандартное мышление.
Вы работали с документами, регламентирующими структуру и содержание контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена по математике 2013. Сделайте вывод о том, какие знания и умения вам нужны для успешного решения задач ЕГЭ по теме «Производная» .
(Слайды 3-4, п риложение №2)
Мы изучили «Кодификатор элементов содержания по МАТЕМАТИКЕ для составления контрольных измерительных материалов для проведения единого государственного экзамена»,
«Кодификатор требований к уровню подготовки выпускников», «Спецификацию контрольных измерительных материалов», «Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2013» и выяснили, какие знания и умения о функции и её производной нужны для успешного решения задач по теме «Производная».
Необходимо
ЗНАТЬ
п равила вычисления производных;
производные основных элементарных функций;
геометрический и физический смысл производной;
уравнение касательной к графику функции;
исследование функции с помощью производной.
УМЕТЬ
выполнять действия с функциями (описывать по графику поведение и свойства функции, находить её наибольшее и наименьшее значения).
ИСПОЛЬЗОВАТЬ
приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.
Вы владеете теоретическими знаниями по теме «Производная». Сегодня мы будем УЧИТЬСЯ ПРИМЕНЯТЬ ЗНАНИЯ О ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЕГЭ. ( Слайд 4, приложение №2)
Ведь недаром Аристотель говорил, что “УМ ЗАКЛЮЧАЕТСЯ НЕ ТОЛЬКО В ЗНАНИИ, НО И В УМЕНИИ ПРИМЕНЯТЬ ЗНАНИЯ НА ПРАКТИКЕ” ( Слайд 5, приложение №2)
В конце урока мы вернёмся к цели нашего занятия и выясним, достигли ли её?
III . Фронтальная работа. Тренинг «Задания В8 ЕГЭ» (Приложение №1) . Анализ работы с тренажёром.
Выберите правильный ответ из четырёх предложенных.
В чём, по вашему мнению, заключается сложность выполнения задания В8?
Как вы думаете, какие типичные ошибки допускают выпускники на экзамене при решении этой задачи?
При ответах на вопросы задания В8 вы должны уметь описывать по графику производной поведение и свойства функции, а по графику функции – поведение и свойства производной функции. А для этого нужны хорошие теоретические знания по следующим темам: «Геометрический и механический смысл производной. Касательная к графику функции. Применение производной к исследованию функций».
Проанализируйте, какие задания вызвали у вас затруднения?
Какие теоретические вопросы вам необходимо знать?
IV . Индивидуально - дифференцированная работа в парах. Самостоятельное решение задач В14. Взаимопроверка. (Приложение №3)
Вспомните алгоритм решения задач (В14 ЕГЭ) на нахождение точек экстремума, экстремумов функции, наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке с помощью производной.
Решите задачи с помощью производной.
Перед учащимися поставлена проблема:
«Подумайте, можно ли решить некоторые задачи В14 другим способом, без применения производной?»
1 пара (Лукьянова Д., Гаврюшина Д.)
1)В14. Найдите точку минимума функции у =10х-ln (х+9)+6
2)В14. Найдите наибольшее значение функции y =
- Попытайтесь решить вторую задачу двумя способами.
2 пара (Санинская Т., Сазанов А.)
1)В14. Найдите наименьшее значение функции у=(х-10) на отрезке
2)В14. Найти точку максимума функции у= -
(Учащиеся защищают своё решение, записывая основные этапы решения задач на доске. Учащиеся 1 пары (Лукьянова Д., Гаврюшина Д.) предоставляют два способа решения задачи №2).
Разрешение проблемы. Вывод, который должны сделать учащиеся:
«Некоторые задачи В14 ЕГЭ на нахождение наименьшего и наибольшего значения функции можно решить без применения производной, опираясь на свойства функций».
Проанализируйте, какая ошибка была допущена вами в задаче?
Какие теоретические вопросы вам необходимо повторить?
V . Проверка индивидуального домашнего задания. Задача с параметром С5(ЕГЭ) (Слайды 7-8, приложение №2 )
Лукьяновой К. было дано индивидуальное домашнее задание: из пособий по подготовке к ЕГЭ выбрать задачу с параметром (С5) и решить её с помощью производной.
(Учащаяся приводит решение задачи, опираясь на функционально - графический метод, как один из методов решения задач С5 ЕГЭ и даёт краткое объяснение данного метода).
Какие знания о функции и её производной необходимы при решении задач С5 ЕГЭ?
V I. Оn – line тестирование по заданиям В8, В14. Анализ результатов тестирования.
Сайт для тестирования на уроке:
Кто не допустил ошибок?
Кто испытывал трудность при тестировании? Почему?
В каких заданиях допущены ошибки?
Сделайте вывод, какие теоретические вопросы вам необходимо знать?
VI I. Индивидуально – дифференцированное домашнее задание
(Слайд 9, приложение №2 ), (Приложение №4).
Я подготовила список сайтов сети интернет для подготовки к ЕГЭ. Вы можете также проходить на этих сайтах О n – line тестирование. К следующему уроку вам нужно: 1) повторить теоретический материал по теме «Производная функции»;
2) на сайте «Открытый банк заданий по математике» ( ) найти прототипы заданий В8 и В14 и решить не менее 10 задач;
3) Лукьяновой К., Гаврюшиной Д. решить задачи с параметрами. Остальным учащимся решить задачи 1-8 (вариант 1).
VI II. Оценки за урок.
Какую оценку за урок ты бы себе поставил?
Как ты думаешь, можно было бы тебе работать на уроке лучше?
IХ. Итог урока. Рефлексия
Подведем итог нашей работы. Какова была цель урока? Как вы считаете, достигнута ли она?
Посмотрите на доску и одним предложением, выбирая начало фразы, продолжите предложение, которое вам больше всего подходит.
Я почувствовал…
Я научился…
У меня получилось …
Я смог…
Я попробую …
Меня удивило, что …
Мне захотелось…
Можете ли вы сказать, что в ходе урока произошло обогащение запаса ваших знаний?
Итак, вы повторили теоретические вопросы о производной функции, применили свои знания при решении прототипов заданий ЕГЭ (В8, В14), а Лукьянова К. выполнила задачу С5 с параметром, которая является задачей повышенной степени сложности.
Мне приятно было с вами работать, и надеюсь, что знания, полученные на уроках математики, вы сможете успешно применить не только при сдаче ЕГЭ, но и в дальнейшей своей учёбе.
Закончить урок мне хотелось бы словами итальянского философа Фомы Аквинского «Знание – столь драгоценная вещь, что его не зазорно добывать из любого источника» (Слайд 10, приложение №2).
Желаю успехов в подготовке к ЕГЭ!
ВНЕАУДИТОРНАЯ ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 2
Преобразование графиков функций.
Цель
Постройте графики функций, используя различные преобразования, ответьте на вопрос задачи.
Выполнение работы
Работа рассчитана на 10 вариантов, номер варианта совпадает с последней цифрой порядкового номере в списке. Например, 1, 11, 21, 31 …выполняют 1 вариант, 2,12, 22 … - 2 вариант, и т.д.
Работа состоит из двух частей: первая часть задания 1 – 5, это задания которые обязательно нужно выполнить, чтобы получить зачет, если эти задания выполнены с ошибкой, необходимо их исправить и снова сдать работу на проверку. Вторая часть, содержит задания, выполнив которые, вы можете заработать дополнительную оценку: основная часть +2 задания – «4», основная часть +3 задания – «5».
Задание 1. Графиком линейной функции является прямая, для ее построения достаточно двух точек. (значения аргумента х берем произвольно, а значение функции у, считаем подставляя в формулу).
Чтобы проверить проходит ли график функции через указанную точку нужно координаты точки подставить вместо х и у, если получили верное равенство, то прямая проходит через указанную точку, в противном случае – не проходит.
Задание 2, 3, 4. Графики указанных функций получаются из графиков функций , используя сдвиг вдоль оси х или у.
, сначала строим график функции
или
, затем сдвигаем его на «а» единиц вправо или влево (+а – влево, - а вправо), затем сдвигаем на «в» единиц вверх или вниз (+в – вверх, -в – вниз)
Аналогично с другими функциями:
Задание 5 Чтобы построить график функции: , нужно: 1) построить график функции , 2) часть графика которая находится выше оси х оставить без изменения, 3) часть графика, которая находится ниже оси х зеркально отобразить.
Задачи для самостоятельного решения.
Задание 1. Постройте график линейной функции, определите, проходит ли график функции через указанную точку:
Задание 2. Постройте график квадратичной функции, укажите множество значений данной функции.
Задание 3. Постройте график функции, определите, возрастает или убывает указанная функция.
Задание 4. Постройте график функции, ответьте на вопрос задачи.
Задание 5. Постройте график функции, содержащей знак модуля.
Задачи на дополнительную оценку.
Задание 6. Постройте график функции, заданной кусочно, определите, есть ли точка разрыва у данной функции:
Задание 7. Определите, сколько решений имеет система уравнений, отвеет обоснуйте. Сделайте выводы, ответив на вопросы.
Графики каких функций вы строили в данной работе?
Как называется график линейной функции?
Как называется график квадратичной функции?
Какие преобразования графиков вы знаете?
Как в системе координат располагается график четной функции? График нечетной функции?
