1.1. Lite information från kombinatorik
1.1.1. Placeringar
Låt oss överväga de enklaste koncepten i samband med valet och arrangemanget av en viss uppsättning objekt.
Att räkna antalet sätt på vilka dessa åtgärder kan utföras görs ofta när man löser probabilistiska problem.
Definition. Boende från n element av k (k ≤n) är en beställd delmängd av k delar av en uppsättning som består av n olika element.
Exempel. Följande nummersekvenser är placeringar av 2 element från 3 element i uppsättningen (1;2;3): 12, 13, 23, 21, 31, 32.
Observera att placeringarna skiljer sig åt i ordningen på elementen som ingår i dem och deras sammansättning. Placeringarna 12 och 21 innehåller samma nummer, men deras ordning är annorlunda. Därför anses dessa placeringar vara olika.
Antal olika placeringar från n element av k betecknas och beräknas med formeln:
,
Var n! = 1∙2∙...∙(n - 1)∙n(läser" n- faktoriell").
Antalet tvåsiffriga nummer som kan skapas av siffrorna 1, 2, 3, förutsatt att ingen siffra upprepas lika med: .
1.1.2. Omarrangemang
Definition. Permutationer från n element kallas sådana placeringar av n element som endast skiljer sig åt när det gäller elementens placering.
Antal permutationer från n element Pn beräknas med formeln: Pn=n!
Exempel. På hur många sätt kan 5 personer ställa upp? Antalet sätt är lika med antalet permutationer av 5 element, d.v.s.
P 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
Definition. Om bland n element k identiska, sedan omarrangemang av dessa n element kallas en permutation med upprepningar.
Exempel. Låt 2 av de 6 böckerna vara identiska. Varje arrangemang av alla böcker på en hylla är en omarrangering med upprepning.
Antal olika permutationer med upprepningar (från n element, inklusive k identisk) beräknas med formeln: .
I vårt exempel är antalet sätt som böcker kan placeras på en hylla: .
1.1.3. Kombinationer
Definition. Kombinationer av n element av k sådana placeringar kallas n element av k, som skiljer sig från varandra i åtminstone ett element.
Antal olika kombinationer av n element av k betecknas och beräknas med formeln: .
Per definition är 0!=1.
Följande egenskaper gäller för kombinationer:
1.
2.
3.
4.
Exempel. Det finns 5 blommor i olika färger. 3 blommor väljs ut till buketten. Antalet olika buketter med 3 blommor av 5 är lika med: .
1.2. Slumpmässiga händelser
1.2.1. evenemang
Kunskap om verkligheten i naturvetenskap uppstår som ett resultat av testning (experiment, observation, erfarenhet).
Testa
eller erfarenhet är implementeringen av en specifik uppsättning villkor som kan reproduceras ett godtyckligt stort antal gånger.
Slumpmässig
är en händelse som kan eller inte kan inträffa som ett resultat av något test (erfarenhet).
Händelsen betraktas således som resultatet av testet.
Exempel. Att kasta ett mynt är en utmaning. Att en örn dyker upp under ett kast är en händelse.
De händelser vi observerar skiljer sig åt i graden av möjlighet till att de inträffar och i naturen av deras inbördes samband.
Evenemanget kallas pålitlig
, om det är säkert att inträffa som ett resultat av detta test.
Exempel. En student som får ett positivt eller negativt betyg på en tentamen är en tillförlitlig händelse om tentamen fortgår enligt de vanliga reglerna.
Evenemanget kallas omöjlig
, om det inte kan inträffa som ett resultat av detta test.
Exempel. Att ta bort en vit kula från en urna som bara innehåller färgade (icke-vita) kulor är en omöjlig händelse. Observera att under andra experimentella förhållanden är uppkomsten av en vit boll inte utesluten; sålunda är denna händelse omöjlig endast under villkoren för vår erfarenhet.
I det följande kommer slumpmässiga händelser att betecknas med stora latinska bokstäver bokstäverna A,B,C... Vi betecknar en tillförlitlig händelse med bokstaven Ω, en omöjlig händelse med Ø.
Två eller flera evenemang kallas lika möjligt
i ett givet test om det finns anledning att tro att ingen av dessa händelser är mer eller mindre möjlig än de andra.
Exempel. Med ett kast av en tärning är uppkomsten av 1, 2, 3, 4, 5 och 6 poäng alla lika möjliga händelser. Det förutsätts naturligtvis att tärningar tillverkad av homogent material och har rätt form.
De två händelserna kallas oförenlig
i ett givet test, om förekomsten av en av dem utesluter förekomsten av den andra, och gemensam
annat.
Exempel. Boxen innehåller standard- och icke-standarddelar. Låt oss ta en detalj för tur. Utseendet på en standarddel eliminerar utseendet på en icke-standarddel. Dessa händelser är oförenliga.
Flera evenemang bildas hela gruppen av evenemang
i ett givet test, om åtminstone en av dem är säker på att inträffa som ett resultat av detta test.
Exempel. Händelserna från exemplet bildar en komplett grupp av lika möjliga och parvis inkompatibla händelser.
Två inkompatibla händelser som bildar en komplett grupp av händelser i en given rättegång kallas motsatta händelser.
Om någon av dem är utsedd av A, då den andra vanligtvis betecknas med (läs "not A»).
Exempel. En träff och en miss med ett skott mot ett mål är motsatta händelser.
1.2.2. Klassisk definition av sannolikhet
Sannolikhet för händelse
– ett numeriskt mått på möjligheten att det inträffar.
Händelse A kallad gynnsam
händelse I om närhelst en händelse inträffar A, kommer händelsen I.
evenemang A 1 , A 2 , ..., An form falldiagram
, om de:
1) lika möjligt;
2) parvis inkompatibel;
3) bilda en komplett grupp.
I schemat av fall (och endast i detta schema) äger den klassiska definitionen av sannolikhet rum P(A) evenemang A. Här är ett fall var och en av händelserna som tillhör en utvald komplett grupp av lika möjliga och parvis inkompatibla händelser.
Om när antalet av alla fall i systemet, och m– antal fall som gynnar evenemanget A, Den där sannolikheten för en händelse
A bestäms av jämlikheten:
Följande egenskaper följer av definitionen av sannolikhet:
1. Sannolikheten för en tillförlitlig händelse är lika med en.
I själva verket, om en händelse är säker, så gynnar varje fall i ordningen av fall händelsen. I detta fall m = n och därför 
2. Sannolikheten för en omöjlig händelse är noll.
Om en händelse är omöjlig, så gynnar inget fall i mönstret av fall händelsen. Det är därför m=0 och därför 
Det finns en sannolikhet för en slumpmässig händelse Positivt nummer, innesluten mellan noll och ett.
Faktum är att en slumpmässig händelse gynnas endast av några av de Totala numret fall i ärendediagrammet. Därför 0<m<n, vilket betyder 0<m/n<1 и, следовательно, 0 < P(A) < 1.
Så sannolikheten för en händelse uppfyller ojämlikheterna
0 ≤ P(A) ≤ 1.
För närvarande definieras sannolikhetsegenskaperna i form av axiom formulerade av A.N. Kolmogorov.
En av de främsta fördelarna med den klassiska definitionen av sannolikhet är möjligheten att direkt beräkna sannolikheten för en händelse, d.v.s. utan att tillgripa experiment, som ersätts av logiska resonemang.
Problem med direkt beräkning av sannolikheter
Problem 1.1. Vad är sannolikheten för ett jämnt antal poäng (händelse A) när man kastar en tärning?
Lösning. Tänk på händelserna Ai- hoppade av i glasögon, i= 1, 2, …,6. Det är uppenbart att dessa händelser utgör ett mönster av fall. Sedan antalet av alla fall n= 6. Fall favoriserar ett jämnt antal poäng A 2 , A 4 , A 6, dvs. m= 3. Sedan 
.
Problem 1.2. Det finns 5 vita och 10 svarta kulor i en urna. Kulorna blandas ordentligt och sedan tas 1 kula ut på måfå. Vad är sannolikheten att den dragna bollen blir vit?
Lösning. Det är totalt 15 ärenden som bildar ett ärendemönster. Dessutom den förväntade händelsen A– utseendet på en vit boll gynnas därför av 5 av dem 
.
Problem 1.3. Ett barn leker med sex bokstäver i alfabetet: A, A, E, K, R, T. Hitta sannolikheten att han slumpmässigt kommer att kunna bilda ordet CARRIAGE (händelse A).
Lösning. Lösningen kompliceras av det faktum att det bland bokstäverna finns identiska - två bokstäver "A". Därför är antalet av alla möjliga fall i ett givet test lika med antalet permutationer med upprepningar av 6 bokstäver:
.
Dessa fall är lika möjliga, parvis inkonsekventa och bildar en komplett grupp av händelser, d.v.s. bilda ett diagram över fall. Endast en chans gynnar evenemanget A. Det är därför
.
Problem 1.4. Tanya och Vanya kom överens om att fira det nya året i ett sällskap på 10 personer. De båda ville verkligen sitta bredvid varandra. Vad är sannolikheten för att deras önskan uppfylls om det är vanligt att fördela platser mellan sina vänner genom lottning?
Lösning. Låt oss beteckna med A evenemanget "uppfyllelse av Tanya och Vanyas önskemål." 10 personer kan sitta vid ett bord om 10! olika sätt. Hur många av dessa n= 10! lika möjliga sätt är gynnsamma för Tanya och Vanya? Tanya och Vanya, som sitter bredvid varandra, kan ta 20 olika positioner. Samtidigt kan åtta av deras vänner sitta vid ett bord med 8 personer! på olika sätt, alltså m= 20∙8!. Därav, 
.
Problem 1.5. En grupp på 5 kvinnor och 20 män väljer ut tre delegater. Anta att varje närvarande person kan väljas med lika stor sannolikhet, hitta sannolikheten att två kvinnor och en man kommer att väljas.
Lösning. Det totala antalet lika möjliga testresultat är lika med antalet sätt på vilka tre delegater kan väljas bland 25 personer, d.v.s. . Låt oss nu räkna antalet förmånliga fall, d.v.s. antalet fall där intressehändelsen inträffar. En manlig delegat kan väljas ut på tjugo sätt. Samtidigt ska de återstående två delegaterna vara kvinnor och man kan välja två kvinnor av fem. Därav, . Det är därför
.
Problem 1.6. Fyra bollar är slumpmässigt utspridda över fyra hål, varje boll faller i ett eller annat hål med lika stor sannolikhet och oberoende av de andra (det finns inga hinder för att flera bollar faller i samma hål). Hitta sannolikheten att det kommer att finnas tre bollar i ett av hålen, en i det andra och inga bollar i de andra två hålen.
Lösning. Totalt antal fall n=4 4 . Antalet sätt på vilka man kan välja ett hål där det kommer att finnas tre bollar, . Antalet sätt som du kan välja ett hål där det kommer att finnas en boll, . Antalet sätt på vilka tre av de fyra bollarna kan väljas att placeras i det första hålet är . Totalt antal gynnsamma fall. Sannolikhet för händelse: 
Problem 1.7. Det finns 10 likadana bollar i lådan, märkta med siffrorna 1, 2, ..., 10. Sex bollar dras för tur. Hitta sannolikheten för att det bland de extraherade kulorna kommer att finnas: a) kula nr 1; b) bollar nr 1 och nr 2.
Lösning. a) Det totala antalet möjliga elementära resultat av testet är lika med antalet sätt på vilka sex bollar kan extraheras från tio, dvs.
Låt oss hitta antalet utfall som gynnar händelsen vi är intresserade av: bland de utvalda sex bollarna finns boll nr 1 och därför har de återstående fem bollarna olika nummer. Antalet sådana utfall är uppenbarligen lika med antalet sätt på vilka fem bollar kan väljas från de återstående nio, dvs.
Den nödvändiga sannolikheten är lika med förhållandet mellan antalet utfall som är gynnsamma för händelsen i fråga och det totala antalet möjliga elementära utfall:
b) Antalet utfall som är gynnsamma för evenemanget vi är intresserade av (bland de utvalda bollarna finns bollar nr 1 och nr 2, därför har fyra bollar olika nummer) är lika med antalet sätt på vilka fyra bollar kan utvinnas från de återstående åtta, dvs. Obligatorisk sannolikhet 
1.2.3. Statistisk sannolikhet
Den statistiska definitionen av sannolikhet används när resultaten av ett experiment inte är lika möjliga.
Relativ händelsefrekvens
A bestäms av jämlikheten:
,
Var m– antal försök där evenemanget A den har kommit n– totalt antal utförda tester.
J. Bernoulli bevisade att med en obegränsad ökning av antalet experiment, kommer den relativa frekvensen av förekomsten av en händelse att skilja sig nästan godtyckligt lite från något konstant antal. Det visade sig att detta konstanta tal är sannolikheten för att händelsen ska inträffa. Därför är det naturligt att kalla den relativa frekvensen av att en händelse inträffar med ett tillräckligt stort antal försök för en statistisk sannolikhet, i motsats till den tidigare införda sannolikheten.
Exempel 1.8. Hur bestämmer man ungefär antalet fiskar i sjön?
Släpp in sjön X fisk Vi kastar ett nät och, låt oss säga, hittar i det n fisk Vi markerar var och en av dem och släpper tillbaka dem. Några dagar senare, i samma väder och på samma plats, kastade vi samma nät. Låt oss anta att vi finner m fisk i den, bland vilka k taggade. Låt evenemanget A- "den fångade fisken är märkt." Då per definition av relativ frekvens .
Men om i sjön X fisk och vi släppte ut den i den n märkt alltså.
Därför att R * (A) » R(A), Den där .
1.2.4. Operationer på evenemang. Sannolikhetsadditionssats
Belopp, eller föreningen av flera händelser, är en händelse som består av förekomsten av minst en av dessa händelser (i samma rättegång).
Belopp A 1 + A 2 + … + An betecknas enligt följande: 
eller 
.
Exempel. Två tärningar kastas. Låt evenemanget A består av att kasta 4 poäng på 1 tärning, och händelsen I– när 5 poäng kastas på en annan tärning. evenemang A Och I gemensam. Därför händelsen A +I består av att rulla ut 4 poäng på den första tärningen, eller 5 poäng på den andra tärningen, eller 4 poäng på den första tärningen och 5 poäng på den andra samtidigt.
Exempel. Händelse A– vinster för 1 lån, event I– vinster på det 2:a lånet. Sedan händelsen A+B– vinna minst ett lån (eventuellt två på en gång).
Arbetet eller skärningspunkten mellan flera händelser är en händelse som består av den gemensamma förekomsten av alla dessa händelser (i samma rättegång).
Arbete I evenemang A 1 , A 2 , …, An betecknas enligt följande:
.
Exempel. evenemang A Och I bestå av att framgångsrikt klara första respektive andra omgången vid antagning till institutet. Sedan händelsen A×B består av att framgångsrikt genomföra båda omgångarna.
Begreppen summa och produkt av händelser har en tydlig geometrisk tolkning. Låt evenemanget A det finns en punkt som går in i området A och händelsen I– peka in på området I. Sedan händelsen A+B det finns en punkt att gå in i föreningen av dessa områden (Fig. 2.1), och händelsen AI det finns en punkt som träffar skärningspunkten mellan dessa områden (fig. 2.2).
Ris. 2.1 Fig. 2.2
Sats. Om händelser A i(i = 1, 2, …, n) är parvis inkonsekventa, då är sannolikheten för summan av händelser lika med summan av sannolikheterna för dessa händelser: 
.
Låta A Och Ā
– motsatta händelser, dvs. A + Â= Ω, där Ω är en tillförlitlig händelse. Av additionssatsen följer att
Р(Ω) = R(A) + R(Ā
) = 1, därför
R(Ā
) = 1 – R(A).
Om händelser A 1 och A 2 är kompatibla, då är sannolikheten för summan av två samtidiga händelser lika med:
R(A 1 + A 2) = R(A 1) + R(A 2) – P( A 1× A 2).
Sannolikhetsadditionssatser tillåter oss att gå från att direkt beräkna sannolikheter till att bestämma sannolikheterna för att komplexa händelser ska inträffa.
Problem 1.8. Skytten skjuter ett skott mot målet. Sannolikhet att få 10 poäng (händelse A), 9 poäng (händelse I) och 8 poäng (händelse MED) är lika med 0,11 respektive; 0,23; 0,17. Hitta sannolikheten för att skytten med ett skott kommer att få mindre än 8 poäng (händelse D).
Lösning. Låt oss gå vidare till den motsatta händelsen - med ett skott kommer skytten att få minst 8 poäng. En händelse inträffar om den inträffar A eller I, eller MED, dvs. . Sedan händelserna A, B, MEDär parvis inkonsekventa, då, genom additionssatsen,
, var .
Problem 1.9. Från brigadens lag, som består av 6 män och 4 kvinnor, väljs två personer ut till den fackliga konferensen. Vad är sannolikheten att bland de utvalda minst en kvinna (händelse A).
Lösning. Om en händelse inträffar A, kommer en av följande inkompatibla händelser definitivt att inträffa: I– "en man och en kvinna är utvalda"; MED- "två kvinnor valdes ut." Därför kan vi skriva: A=B+C. Låt oss ta reda på sannolikheten för händelser I Och MED. Två av 10 personer kan väljas på olika sätt. Två kvinnor av 4 kan väljas ut på olika sätt. En man och en kvinna kan väljas på 6 × 4 sätt. Sedan . Sedan händelserna I Och MEDär därför inkonsekventa genom additionssatsen,
P(A) = P(B + C) = P(B) + P(C) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
Problem 1.10. Det finns 15 läroböcker ordnade slumpmässigt på en bibliotekshylla, fem av dem inbundna. Bibliotekarien tar tre läroböcker på måfå. Hitta sannolikheten för att minst en av de tagna läroböckerna kommer att bindas (händelse A).
Lösning. Första sättet. Kravet - minst en av de tre inbundna läroböckerna som tagits - kommer att uppfyllas om någon av följande tre oförenliga händelser inträffar: I– en inbunden lärobok, MED– två inbundna läroböcker, D– tre inbundna läroböcker.
Händelse av intresse för oss A kan representeras som en summa av händelser: A=B+C+D. Enligt additionssatsen,
P(A) = P(B) + P(C) + P(D). (2.1)
Låt oss ta reda på sannolikheten för händelser FÖRE KRISTUS Och D(se kombinatoriska scheman): 
Genom att representera dessa sannolikheter i likhet (2.1) får vi slutligen
P(A)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
Andra sättet. Händelse A(minst en av de tre läroböckerna är inbunden) och Ā
(ingen av de tagna läroböckerna är bunden) - motsatsen alltså P(A) + P(Ā) = 1 (summan av sannolikheterna för två motsatta händelser är lika med 1). Härifrån P(A) = 1 – P(Â). Sannolikhet för att händelsen inträffar Ā
(ingen av läroböckerna är bundna)
Obligatorisk sannolikhet
P(A) = 1 – P(Ā) = 1 – 24/91 = 67/91.
1.2.5. Villkorlig sannolikhet. Sannolikhetsmultiplikationssats
Villkorlig sannolikhet P(B/A) är sannolikheten för händelse B, beräknad under antagandet att händelse A redan har inträffat.
Sats. Sannolikheten för den gemensamma förekomsten av två händelser är lika med produkten av sannolikheterna för en av dem och den villkorliga sannolikheten för den andra, beräknad under antagandet att den första händelsen redan har inträffat:
P(A∙B) = P(A)∙P( I/A). (2.2)
Två händelser kallas oberoende om förekomsten av någon av dem inte ändrar sannolikheten för att den andra inträffar, d.v.s.
P(A) = P(A/B) eller P(B) = P(B/A). (2.3)
Om händelser A Och Iär oberoende, sedan följer det från formlerna (2.2) och (2.3).
P(A∙B) = P(A)∙P(B). (2.4)
Det motsatta påståendet är också sant, dvs. om likhet (2.4) gäller för två händelser, är dessa händelser oberoende. Det följer faktiskt av formlerna (2.4) och (2.2).
P(A∙B) = P(A)∙P(B) = P(A) × P(B/A), var P(A) = P(B/A).
Formel (2.2) kan generaliseras till fallet med ett ändligt antal händelser A 1 , A 2 ,…,En:
P(A 1 ∙A 2 ∙…∙En)=P(A 1)∙P(A 2 /A 1)∙P(A 3 /A 1 A 2)∙…∙P(A n/A 1 A 2 …En -1).
Problem 1.11. Från en urna som innehåller 5 vita och 10 svarta kulor dras två kulor i rad. Hitta sannolikheten att båda bollarna är vita (händelse A).
Lösning. Låt oss överväga händelserna: I– den första bollen som dras är vit; MED– den andra kulan som dras är vit. Sedan A = BC.
Experimentet kan utföras på två sätt:
1) med retur: den borttagna kulan, efter att ha fixerat färgen, återförs till urnan. I det här fallet händelserna I Och MED oberoende:
P(A) = P(B)∙R(S) = 5/15 x 5/15 = 1/9;
2) utan att gå tillbaka: den borttagna bollen läggs åt sidan. I det här fallet händelserna I Och MED beroende:
P(A) = P(B)∙R(S/I).
För ett evenemang I villkoren är desamma, och för MED situationen har förändrats. Hände I, därför finns det 14 bollar kvar i urnan, inklusive 4 vita.
Så, .
Problem 1.12. Bland de 50 glödlamporna är 3 icke-standardiserade. Hitta sannolikheten att två glödlampor tagna samtidigt är icke-standardiserade.
Lösning. Låt oss överväga händelserna: A– den första glödlampan är icke-standard, I– den andra glödlampan är icke-standard, MED– Båda glödlamporna är icke-standardiserade. Det är klart det C = A∙I. Händelse A 3 fall av 50 möjliga är gynnsamma, d.v.s. P(A) = 3/50. Om händelsen A har redan kommit, då händelsen I två fall av 49 möjliga är gynnsamma, d.v.s. P(B/A) = 2/49. Därav,
.
Problem 1.13. Två idrottare skjuter mot samma mål oberoende av varandra. Sannolikheten för att den första idrottaren träffar målet är 0,7 och den andra är 0,8. Vad är sannolikheten att målet kommer att träffas?
Lösning. Målet kommer att träffas om antingen den första skytten, eller den andra, eller båda, träffar den, dvs. en händelse kommer att hända A+B, var är evenemanget A består av den första idrottaren som träffar målet och tävlingen I– andra. Sedan
P(A+I)=P(A)+P(B)–P(A∙I)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
Problem 1.14. Lässalen har sex läroböcker om sannolikhetsteori, varav tre är inbundna. Bibliotekarien tog två läroböcker på måfå. Hitta sannolikheten att två läroböcker kommer att bindas.
Lösning. Låt oss presentera beteckningarna på händelser :A– den första läroboken som tas är inbunden, I– den andra läroboken är inbunden. Sannolikheten att den första läroboken är bunden är
P(A) = 3/6 = 1/2.
Sannolikheten att den andra läroboken är inbunden, förutsatt att den första läroboken som togs var inbunden, d.v.s. villkorad sannolikhet för en händelse I, är såhär: P(B/A) = 2/5.
Den önskade sannolikheten för att båda läroböckerna är bundna, enligt satsen om multiplikation av händelsesannolikheter, är lika med
P(AB) = P(A) ∙ P(B/A)= 1/2 · ∙ 2/5 = 0,2.
Problem 1.15. I verkstaden arbetar 7 män och 3 kvinnor. Tre personer valdes ut slumpmässigt med hjälp av deras personalnummer. Hitta sannolikheten att alla utvalda personer kommer att vara män.
Lösning. Låt oss introducera händelsebeteckningar: A– mannen väljs först, I– den andra utvalda är en man, MED - Den tredje utvalda var en man. Sannolikheten att en man kommer att väljas först är P(A) = 7/10.
Sannolikheten att en man väljs tvåa, förutsatt att en man redan har blivit utvald först, d.v.s. villkorad sannolikhet för en händelse I Nästa : P(B/A) = 6/9 = 2/3.
Sannolikheten att en man kommer att väljas trea, givet att två män redan har valts ut, d.v.s. villkorad sannolikhet för en händelse MEDär detta: P(C/AB) = 5/8.
Den önskade sannolikheten för att alla tre utvalda personer ska vara män är P(ABC) = P(A) P(B/A) P(C/AB) = 7/10 · 2/3 · 5/8 = 7/24.
1.2.6. Total sannolikhetsformel och Bayes formel
Låta B 1 , B 2 ,…, Bn– parvis inkompatibla händelser (hypoteser) och A– en händelse som bara kan ske tillsammans med en av dem.
Låt oss också veta P(B i) Och P(A/B i) (i = 1, 2, …, n).
Under dessa förhållanden är formlerna giltiga: 
(2.5)
(2.6)
Formel (2.5) kallas formel för total sannolikhet
. Den beräknar sannolikheten för en händelse A(total sannolikhet).
Formel (2.6) kallas Bayes formel
. Det låter dig räkna om sannolikheterna för hypoteser om händelsen A hände.
När man sammanställer exempel är det lämpligt att anta att hypoteserna bildar en komplett grupp.
Problem 1.16. Korgen innehåller äpplen från fyra träd av samma sort. Från den första - 15% av alla äpplen, från den andra - 35%, från den tredje - 20%, från den fjärde - 30%. Mogna äpplen är 99%, 97%, 98%, 95% respektive.
a) Vad är sannolikheten för att ett slumpmässigt äpple kommer att vara moget (händelse A).
b) Med tanke på att ett slumpmässigt äpple visar sig vara moget, beräkna sannolikheten att det är från det första trädet.
Lösning. a) Vi har fyra hypoteser:
B 1 – ett slumpmässigt äpple tas från det första trädet;
B 2 – ett slumpmässigt äpple tas från det andra trädet;
B 3 – ett slumpmässigt äpple tas från det tredje trädet;
B 4 – ett slumpmässigt äpple tas från det 4:e trädet.
Deras sannolikheter enligt tillståndet: P(B 1) = 0,15; P(B 2) = 0,35; P(B 3) = 0,2; P(B 4) = 0,3.
Villkorliga sannolikheter för en händelse A:
P(A/B 1) = 0,99; P(A/B 2) = 0,97; P(A/B 3) = 0,98; P(A/B 4) = 0,95.
Sannolikheten för att ett slumpmässigt äpple kommer att vara moget hittas med hjälp av den totala sannolikhetsformeln:
P(A)=P(B 1)∙P(A/B 1)+P(B 2)∙P(A/B 2)+P(B 3)∙P(A/B 3)+P(B 4)∙P(A/B 4)=0,969.
b) Bayes formel för vårt fall ser ut så här: 
.
Problem 1.17. En vit kula släpps i en urna som innehåller två kulor, varefter en kula dras slumpmässigt. Hitta sannolikheten att den extraherade bollen kommer att vara vit om alla möjliga antaganden om kulornas initiala sammansättning (baserat på färg) är lika möjliga.
Lösning. Låt oss beteckna med A händelse – en vit boll dras. Följande antaganden (hypoteser) om den initiala sammansättningen av bollarna är möjliga: B 1– det finns inga vita bollar, AT 2– en vit boll, VID 3- två vita bollar.
Eftersom det finns tre hypoteser totalt, och summan av hypotesernas sannolikheter är 1 (eftersom de utgör en komplett grupp av händelser), så är sannolikheten för var och en av hypoteserna 1/3, d.v.s.
P(B 1) = P(B 2)= P(B 3) = 1/3.
Den villkorade sannolikheten att en vit boll kommer att dras, givet att det inte fanns några vita bollar i urnan initialt, P(A/B 1)=1/3. Den villkorade sannolikheten att en vit boll kommer att dras, givet att det från början fanns en vit boll i urnan, P(A/B 2)=2/3. Villkorlig sannolikhet att en vit boll kommer att dras givet att det från början fanns två vita bollar i urnan P(A/B 3)=3/ 3=1.
Vi hittar den nödvändiga sannolikheten att en vit boll kommer att dras med hjälp av formeln för total sannolikhet:
R(A)=P(B 1)∙P(A/B 1)+P(B 2)∙P(A/B 2)+P(B 3)∙P(A/B 3)=1/3 1/3+1/3 2/3+1/3 1=2/3 .
Problem 1.18. Två maskiner producerar identiska delar som går på en gemensam transportör. Den första maskinens produktivitet är dubbelt så stor som den andra. Den första maskinen producerar i genomsnitt 60% av delar av utmärkt kvalitet, och den andra - 84%. Den del som togs slumpmässigt från löpande band visade sig vara av utmärkt kvalitet. Hitta sannolikheten att denna del tillverkades av den första maskinen.
Lösning. Låt oss beteckna med A evenemang - en detalj av utmärkt kvalitet. Två antaganden kan göras: B 1– delen tillverkades av den första maskinen, och (eftersom den första maskinen producerar dubbelt så många delar som den andra) P(A/B 1) = 2/3; B 2 – delen tillverkades av den andra maskinen, och P(B 2) = 1/3.
Den villkorade sannolikheten att delen kommer att vara av utmärkt kvalitet om den produceras av den första maskinen, P(A/B 1)=0,6.
Den villkorade sannolikheten att delen kommer att vara av utmärkt kvalitet om den produceras av den andra maskinen är P(A/B 1)=0,84.
Sannolikheten att en del som tas slumpmässigt kommer att vara av utmärkt kvalitet, enligt totalsannolikhetsformeln, är lika med
P(A)=P(B 1) ∙P(A/B 1)+P(B 2) ∙P(A/B 2)=2/3·0,6+1/3·0,84 = 0,68.
Den erforderliga sannolikheten för att den valda utmärkta delen producerades av den första maskinen, enligt Bayes formel, är lika med
Problem 1.19. Det finns tre partier med delar, var och en innehåller 20 delar. Antalet standarddelar i den första, andra och tredje satsen är 20, 15 respektive 10. En del som visade sig vara standard togs slumpmässigt bort från den valda satsen. Delarna återförs till partiet och en del tas slumpmässigt bort från samma sats, vilket också visar sig vara standard. Hitta sannolikheten att delarna togs bort från den tredje satsen.
Lösning. Låt oss beteckna med A händelse - i var och en av de två försöken (med retur) hämtades en standarddel. Tre antaganden (hypoteser) kan göras: B 1 – delar tas bort från den första satsen, I 2
– delar tas bort från den andra satsen, I 3 – delar tas bort från den tredje satsen.
Delarna extraherades slumpmässigt från en given batch, så sannolikheterna för hypoteserna är desamma: P(B 1) = P(B 2) = P(B 3) = 1/3.
Låt oss hitta den villkorade sannolikheten P(A/B 1), dvs. sannolikheten att två standarddelar kommer att tas bort sekventiellt från den första batchen. Denna händelse är tillförlitlig, eftersom i den första satsen är alla delar standard, så P(A/B 1) = 1.
Låt oss hitta den villkorade sannolikheten P(A/B 2), dvs. sannolikheten att två standarddelar kommer att tas bort (och returneras) sekventiellt från den andra batchen: P(A/B 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
Låt oss hitta den villkorade sannolikheten P(A/B 3), dvs. sannolikheten att två standarddelar kommer att tas bort (och returneras) sekventiellt från den tredje batchen: P(A/B 3) = 10/20 · 10/20 = 1/4.
Den önskade sannolikheten att båda extraherade standarddelarna tas från den tredje satsen, enligt Bayes formel, är lika med 
1.2.7. Upprepade tester
Om flera tester utförs, och sannolikheten för händelsen A i varje test beror inte på resultatet av andra tester, då kallas sådana tester oberoende med avseende på händelse A. I olika oberoende försök händelsen A kan ha antingen olika sannolikheter eller samma sannolikhet. Vi kommer vidare att överväga endast sådana oberoende tester där händelsen A har samma sannolikhet.
Låt det produceras P oberoende prövningar, i varje evenemang A kan eller kanske inte visas. Låt oss komma överens om att anta att sannolikheten för en händelse A i varje försök är densamma, nämligen lika R. Därför är sannolikheten att händelsen inte inträffar A i varje försök är också konstant och lika med 1– R. Detta probabilistiska schema kallas Bernoullis plan. Låt oss sätta oss i uppgift att beräkna sannolikheten för att när P Bernoulli testevenemang A ska bli sann k en gång ( k– antal framgångar) och kommer därför inte att bli verklighet P- en gång. Det är viktigt att understryka att det inte krävs att evenemanget A upprepas exakt k gånger i en viss sekvens. Vi betecknar den önskade sannolikheten Rp (k).
Till exempel symbolen R 5(3) betyder sannolikheten att i fem försök kommer händelsen att dyka upp exakt 3 gånger och därför inte inträffa 2 gånger.
Problemet som ställs kan lösas med hjälp av den sk Bernoullis formler, som ser ut som: 
.
Problem 1.20. Sannolikheten att elförbrukningen under en dag inte överstiger den fastställda normen är lika med R=0,75. Hitta sannolikheten att elförbrukningen under de kommande 6 dagarna inte kommer att överstiga normen under 4 dagar.
Lösning. Sannolikheten för normal energiförbrukning under var och en av 6 dagar är konstant och lika med R=0,75. Följaktligen är sannolikheten för överdriven energiförbrukning varje dag också konstant och lika med q= 1–R=1–0,75=0,25.
Den nödvändiga sannolikheten enligt Bernoullis formel är lika med
.
Problem 1.21. Två jämbördiga schackspelare spelar schack. Vad är mer troligt: vinna två matcher av fyra eller tre matcher av sex (oavgjorda matcher beaktas inte)?
Lösning. Lika schackspelare spelar, så sannolikheten att vinna R= 1/2, alltså sannolikheten att förlora qär också lika med 1/2. Därför att i alla spel är sannolikheten att vinna konstant och det spelar ingen roll i vilken sekvens spelen vinner, då är Bernoullis formel tillämplig.
Låt oss ta reda på sannolikheten för att två matcher av fyra kommer att vinnas:
Låt oss ta reda på sannolikheten för att tre matcher av sex kommer att vinnas:
Därför att P 4 (2) > P 6 (3), då är det mer sannolikt att vinna två matcher av fyra än tre av sex.
Det kan dock ses att använda Bernoullis formel för stora värden n ganska svårt, eftersom formeln kräver operationer på stora siffror och därför ackumuleras fel under beräkningsprocessen; Som ett resultat kan det slutliga resultatet skilja sig betydligt från det sanna.
För att lösa detta problem finns det flera gränssatser som används för ett stort antal tester.
1. Poissons sats
När du utför ett stort antal tester med Bernoulli-schemat (med n=> ∞) och med ett litet antal gynnsamma resultat k(det antas att sannolikheten för framgång sid liten), närmar sig Bernoullis formel Poissons formel 
.
Exempel 1.22. Sannolikheten för defekter när ett företag producerar en produktenhet är lika med sid=0,001. Vad är sannolikheten att när man producerar 5000 enheter av produkten kommer mindre än 4 av dem att vara defekta (händelse A Lösning. Därför att när stor använder vi Laplaces lokala teorem: 
Låt oss räkna x:
Fungera 
– jämnt, så φ(–1,67) = φ(1,67).
Med hjälp av tabellen i Appendix A.1 finner vi φ(1,67) = 0,0989.
Obligatorisk sannolikhet P 2400 (1400) = 0,0989.
3. Laplaces integralsats
Om sannolikheten R inträffande av en händelse A i varje försök enligt Bernoulli-schemat är konstant och skiljer sig från noll och ett, sedan med ett stort antal försök n, sannolikhet Rp (k 1 , k 2) händelsen A i dessa tester från k 1 till k 2 gånger ungefär lika
R sid(k 1 , k 2) = Φ ( x"") – Φ ( x"), Var 
– Laplace funktion,
Den definitiva integralen i Laplace-funktionen kan inte beräknas på klassen av analytiska funktioner, så tabellen används för att beräkna den. Punkt 2, som anges i bilagan.
Exempel 1.24. Sannolikheten för att en händelse inträffar i var och en av hundra oberoende försök är konstant och lika med sid= 0,8. Hitta sannolikheten för att händelsen kommer att dyka upp: a) minst 75 gånger och inte mer än 90 gånger; b) minst 75 gånger; c) högst 74 gånger.
Lösning. Låt oss använda Laplaces integralsats:
R sid(k 1 , k 2) = Φ ( x"") – Φ( x"), där Ф( x) – Laplace-funktion,
a) Enligt villkoret, n = 100, sid = 0,8, q = 0,2, k 1 = 75, k 2 = 90. Låt oss räkna x"" Och x" :
Med tanke på att Laplace-funktionen är udda, d.v.s. F(- x) = – Ф( x), vi får
P 100 (75;90) = Ф (2,5) – Ф(–1,25) = Ф(2,5) + Ф(1,25).
Enligt tabellen P.2. vi hittar applikationer:
F(2,5) = 0,4938; F(1,25) = 0,3944.
Obligatorisk sannolikhet
P 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
b) Kravet på att en händelse ska förekomma minst 75 gånger innebär att antalet händelser av händelsen kan vara 75, eller 76, ... eller 100. I det aktuella fallet bör det således accepteras k 1 = 75, k 2 = 100. Sedan 
.
Enligt tabellen P.2. applikation finner vi Ф(1,25) = 0,3944; Ф(5) = 0,5.
Obligatorisk sannolikhet
P 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
c) Händelse -" A dykt upp minst 75 gånger" och " A dök inte mer än 74 gånger" är motsatta, så summan av sannolikheterna för dessa händelser är lika med 1. Därför är den önskade sannolikheten
P 100 (0;74) = 1 – P 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.
Sannolikhetsteori, som alla grenar inom matematiken, arbetar med ett visst antal begrepp. De flesta begrepp inom sannolikhetsteori ges en definition, men vissa tas som primära, inte definierade, som en punkt, en rät linje, ett plan i geometrin. Det primära begreppet sannolikhetsteori är en händelse. En händelse förstås som något om vilket efter en viss tidpunkt en och endast en av två saker kan sägas:
- · Ja, det hände.
- · Nej, det hände inte.
Jag har till exempel en lott. Efter att resultaten av lotteriet har publicerats, händer eller inte inträffar händelsen som intresserar mig - att vinna tusen rubel. Varje händelse inträffar som ett resultat av ett test (eller erfarenhet). Ett test (eller erfarenhet) hänvisar till de tillstånd som ett resultat av vilka en händelse inträffar. Att kasta ett mynt är till exempel ett test, och utseendet av ett "vapen" på det är en händelse. En händelse betecknas vanligtvis med stora latinska bokstäver: A,B,C,…. Händelser i den materiella världen kan delas in i tre kategorier - tillförlitliga, omöjliga och slumpmässiga.
En viss händelse är en händelse som är känd på förhand inträffar. Det betecknas med bokstaven W. Således är det tillförlitligt att inte mer än sex poäng visas när man kastar en vanlig tärning, utseendet på en vit boll när den tas bort från en urna som bara innehåller vita kulor, etc.
En omöjlig händelse är en händelse som är känd i förväg och som inte kommer att hända. Det betecknas med bokstaven E. Exempel på omöjliga händelser är att dra fler än fyra ess från en vanlig kortlek, dra en röd kula från en urna som bara innehåller vita och svarta kulor osv.
En slumpmässig händelse är en händelse som kan eller inte kan inträffa som ett resultat av ett test. Händelser A och B kallas inkompatibla om förekomsten av en av dem utesluter möjligheten att den andra inträffar. Sålunda är uppkomsten av ett eventuellt antal poäng när man kastar en tärning (händelse A) oförenligt med utseendet på ett annat nummer (händelse B). Att rulla ett jämnt antal poäng är inte förenligt med att rulla ett udda nummer. Tvärtom, att kasta ett jämnt antal poäng (händelse A) och ett antal poäng som är en multipel av tre (händelse B) kommer inte att vara oförenliga, eftersom att kasta sex poäng innebär förekomsten av både händelse A och händelse B, så förekomsten av en av dem utesluter inte förekomsten av den andra. Du kan utföra operationer på händelser. Unionen av två händelser C=AUB är en händelse C som inträffar om och endast om åtminstone en av dessa händelser A och B inträffar. Skärningen av två händelser D=A?? B är en händelse som inträffar om och endast om händelser A och B båda inträffar.
De händelser (fenomen) vi observerar kan delas in i följande tre typer: tillförlitliga, omöjliga och slumpmässiga.
Pålitlig de kallar en händelse som definitivt kommer att inträffa om en viss uppsättning villkor är uppfyllda. Till exempel, om ett kärl innehåller vatten vid normalt atmosfärstryck och en temperatur på 20°, då händelsen ”vattnet i kärlet är i en vätska stat” är tillförlitlig. I detta exempel utgör det givna atmosfärstrycket och vattentemperaturen uppsättningen villkor S.
Omöjlig de kallar en händelse som säkerligen inte kommer att inträffa om uppsättningen villkor S är uppfylld. Till exempel kommer händelsen "vatten i kärlet är i fast tillstånd" säkerligen inte att inträffa om uppsättningen av villkor i föregående exempel är uppfyllda.
Slumpmässig anropa en händelse som, när en uppsättning villkor S är uppfylld, antingen kan inträffa eller inte inträffa. Till exempel, om ett mynt kastas kan det falla så att det antingen finns ett vapen eller en inskription ovanpå. Därför är händelsen "när man kastar ett mynt, "vapenskölden" slumpmässigt ut. Varje slumpmässig händelse, i synnerhet utseendet på ett "vapen", är en konsekvens av verkan av många slumpmässiga orsaker (i vårt exempel: kraften med vilken myntet kastades, formen på myntet och många andra) . Det är omöjligt att ta hänsyn till inverkan av alla dessa skäl på resultatet, eftersom deras antal är mycket stort och lagarna för deras agerande är okända. Sannolikhetsteorin ger sig därför inte uppgiften att förutsäga om en enskild händelse kommer att inträffa eller inte – den kan helt enkelt inte göra detta.
Situationen är annorlunda om vi tar hänsyn till slumpmässiga händelser som kan observeras upprepade gånger när samma villkor S är uppfyllda, d.v.s. om vi talar om massiva homogena slumpmässiga händelser. Det visar sig att ett tillräckligt stort antal homogena slumpmässiga händelser, oavsett deras specifika karaktär, är föremål för vissa mönster, nämligen probabilistiska mönster. Sannolikhetsteorin handlar om att fastställa dessa regelbundenheter.
Ämnet för sannolikhetsteori är således studiet av probabilistiska mönster av masshomogena slumpmässiga händelser.
Metoder för sannolikhetsteorin används i stor utsträckning inom olika grenar av naturvetenskap och teknologi. Sannolikhetsteori tjänar också till att underbygga matematisk och tillämpad statistik.
Typer av slumpmässiga händelser. Evenemang kallas oförenlig, om förekomsten av en av dem utesluter förekomsten av andra händelser i samma rättegång.
Exempel. Ett mynt kastas. Utseendet på "vapenskölden" utesluter utseendet på inskriptionen. Händelserna "ett vapen dök upp" och "en inskription dök upp" är oförenliga.
Flera evenemang bildas hela gruppen, om minst en av dem dyker upp som ett resultat av testet. I synnerhet om händelserna som bildar en komplett grupp är parvis inkonsekventa, kommer en och endast en av dessa händelser att dyka upp som ett resultat av rättegången. Just det här fallet är av största intresse för oss, eftersom det kommer att användas vidare.
Exempel 2. Två kontant- och klädlotter köptes. En och endast en av följande händelser kommer definitivt att hända: "vinsterna föll på den första lotten och föll inte på den andra", "vinsterna föll inte på den första lotten och föll på den andra", "vinsterna föll på båda lotterna", "det fanns inga vinster på båda lotterna" föll ut." Dessa händelser bildar en komplett grupp av parvis inkompatibla händelser.
Exempel 3. Skytten sköt mot målet. En av följande två händelser kommer definitivt att hända: hit, miss. Dessa två oförenliga händelser bildar en komplett grupp.
Evenemang kallas lika möjligt, om det finns anledning att tro att ingen av dem är mer möjlig än den andra.
Exempel 4. Uppkomsten av ett "vapen" och utseendet av en inskription när man kastar ett mynt är lika möjliga händelser. Det antas faktiskt att myntet är tillverkat av ett homogent material, har en regelbunden cylindrisk form, och närvaron av prägling påverkar inte förlusten av en eller annan sida av myntet.
Jag betecknas med versaler i det latinska alfabetet: A, B, C,.. A 1, A 2..
Motsatser är två unikt möjliga myterityper som bildar en komplett grupp. Om en av de två är av motsatt kön. händelser betecknas av A, sedan är en annan beteckning A`.
Exempel 5. Träffa och missa när du skjuter mot ett mål - motsatt fält. personlig
Syftet med lektionen:
- Introducera begreppet pålitliga, omöjliga och slumpmässiga händelser.
- Utveckla kunskaper och färdigheter för att bestämma typen av händelser.
- Utveckla: datorvana; uppmärksamhet; förmåga att analysera, resonera, dra slutsatser; färdigheter i grupparbete.
Under lektionerna
1) Organisatoriskt ögonblick.
Interaktiv övning: barn måste lösa exempel och dechiffrera ord; baserat på resultaten delas de in i grupper (pålitliga, omöjliga och slumpmässiga) och bestämmer ämnet för lektionen.
1 kort.
| 0,5 | 1,6 | 12,6 | 5,2 | 7,5 | 8 | 5,2 | 2,08 | 0,5 | 9,54 | 1,6 |
2 kort
| 0,5 | 2,1 | 14,5 | 1,9 | 2,1 | 20,4 | 14 | 1,6 | 5,08 | 8,94 | 14 |
3 kort
| 5 | 2,4 | 6,7 | 4,7 | 8,1 | 18 | 40 | 9,54 | 0,78 |
2) Uppdatering av den inlärda kunskapen.
Spel "Clap": jämnt nummer - klapp, udda nummer - stå upp.
Uppgift: från den givna nummerserien 42, 35, 8, 9, 7, 10, 543, 88, 56, 13, 31, 77, ... bestäm jämna och udda.
3) Studera ett nytt ämne.
Det finns kuber på dina bord. Låt oss ta en närmare titt på dem. Vad ser du?
Var används tärningar? Hur?
Jobba i grupper.
Genomför ett experiment.
Vilka förutsägelser kan du göra när du kastar en tärning?
Första förutsägelsen: ett av siffrorna 1,2,3,4,5 eller 6 visas.
En händelse som säkert kommer att inträffa i en given upplevelse kallas pålitlig.
Andra förutsägelsen: siffran 7 visas.
Tror du att den förutsedda händelsen kommer att hända eller inte?
Detta är omöjligt!
En händelse som inte kan inträffa i en given upplevelse kallas omöjlig.
Tredje förutsägelsen: siffran 1 visas.
Kommer denna händelse att hända?
En händelse som kan eller inte kan inträffa i en given upplevelse kallas slumpmässig.
4) Konsolidering av det studerade materialet.
I. Bestäm typen av händelse
-Imorgon kommer det snörött.
Det kommer snöa rejält imorgon.
Imorgon, trots att det är juli, kommer det att snöa.
Imorgon, trots att det är juli, kommer det ingen snö.
Imorgon kommer det att snöa och det blir snöstorm.
II. Lägg till ett ord i den här meningen på ett sådant sätt att händelsen blir omöjlig.
Kolya fick ett A i historia.
Sasha slutförde inte en enda uppgift på testet.
Oksana Mikhailovna (historielärare) kommer att förklara ett nytt ämne.
III. Ge exempel på omöjliga, slumpmässiga och pålitliga händelser.
IV. Arbeta utifrån läroboken (i grupp).
Beskriv händelserna som diskuteras i uppgifterna nedan som tillförlitliga, omöjliga eller slumpmässiga.
Nr 959. Petya kom på ett naturligt tal. Evenemanget är som följer:
a) ett jämnt tal är avsett;
b) ett udda tal är avsett;
c) ett tal är tänkt som varken är jämnt eller udda;
d) ett tal skapas som är jämnt eller udda.
Nr 960. Du öppnade den här läroboken på valfri sida och valde det första substantivet som kom upp. Evenemanget är som följer:
a) det finns en vokal i stavningen av det valda ordet;
b) stavningen av det valda ordet innehåller bokstaven "o";
c) det finns inga vokaler i stavningen av det valda ordet;
d) det finns ett mjukt tecken i stavningen av det valda ordet.
Lös nr 961, nr 964.
Diskussion av lösta uppgifter.
5) Reflektion.
1. Vilka händelser lärde du dig om under lektionen?
2. Ange vilken av följande händelser som är säker, vilken som är omöjlig och vilken som är slumpmässig:
a) det blir inga sommarlov;
b) smörgåsen faller med smörsidan nedåt;
c) läsåret kommer att sluta någon gång.
6) Läxor:
Kom på två pålitliga, slumpmässiga och omöjliga händelser.
Gör en ritning för en av dem.
En händelse är resultatet av ett test. Vad är en händelse? En boll tas slumpmässigt från urnan. Att hämta en boll från en urna är ett test. Utseendet på en boll av en viss färg är en händelse. I sannolikhetsteorin förstås en händelse som något som man efter en viss tidpunkt kan säga en och bara en av två saker om. Ja, det hände. Nej, det hände inte. Ett möjligt utfall av ett experiment kallas en elementär händelse, och en uppsättning sådana utfall kallas helt enkelt en händelse.
Oförutsägbara händelser kallas slumpmässiga. En händelse kallas slumpmässig om den under samma förhållanden kan inträffa eller inte. När man kastar tärningen blir resultatet en sexa. Jag har en lott. Efter att resultaten av lotteriet har publicerats, händer eller inte inträffar händelsen som intresserar mig - att vinna tusen rubel. Exempel.
Två händelser som under givna förhållanden kan inträffa samtidigt kallas gemensamma och de som inte kan inträffa samtidigt kallas inkompatibla. Ett mynt kastas. Utseendet på "vapenskölden" utesluter utseendet på inskriptionen. Händelserna "ett vapen dök upp" och "en inskription dök upp" är oförenliga. Exempel.
En händelse som alltid inträffar kallas pålitlig. En händelse som inte kan hända kallas omöjlig. Anta till exempel att en kula dras från en urna som bara innehåller svarta kulor. Då är utseendet på den svarta bollen en pålitlig händelse; utseendet på en vit boll är en omöjlig händelse. Exempel. Det kommer ingen snö nästa år. När man kastar tärningen blir resultatet en sjua. Det är omöjliga händelser. Nästa år kommer det snö. När du slår tärningen får du ett nummer mindre än sju. Daglig soluppgång. Det här är pålitliga händelser.
Problemlösning För var och en av de beskrivna händelserna, bestäm vad det är: omöjligt, pålitligt eller slumpmässigt. 1. Av de 25 eleverna i klassen firar två sin födelsedag den a) 30 januari; b) 30 februari. 2. Litteraturboken öppnas slumpmässigt och det andra ordet finns på vänster sida. Detta ord börjar: a) med bokstaven "K"; b) börjar med bokstaven "Ъ".
3. Idag i Sochi visar barometern normalt atmosfärstryck. I detta fall: a) vattnet i pannan kokat vid en temperatur av 80º C; b) när temperaturen sjönk till -5º C frös vattnet i pölen. 4. Två tärningar kastas: a) den första tärningen visar 3 poäng, och den andra - 5 poäng; b) summan av poängen som kastas på de två tärningarna är 1; c) summan av poängen som kastas på de två tärningarna är 13; d) båda tärningarna fick 3 poäng; e) summan av poäng på två tärningar är mindre än 15. Problemlösning
5. Du öppnade boken på valfri sida och läste det första substantivet du stötte på. Det visade sig att: a) stavningen av det valda ordet innehåller en vokal; b) stavningen av det valda ordet innehåller bokstaven "O"; c) det finns inga vokaler i stavningen av det valda ordet; d) det finns ett mjukt tecken i stavningen av det valda ordet. Problemlösning
- I kontakt med 0
- Google+ 0
- OK 0
- Facebook 0
