Presenteras hittills i den öppna banken för Unified State Exam-problem i matematik (mathege.ru), vars lösning är baserad på endast en formel, vilket är den klassiska definitionen av sannolikhet.
Det enklaste sättet att förstå formeln är med exempel.
Exempel 1. Det finns 9 röda bollar och 3 blå bollar i korgen. Kulorna skiljer sig endast i färg. Vi tar ut en av dem på måfå (utan att titta). Vad är sannolikheten för att bollen som väljs på detta sätt blir blå?
En kommentar. I problem inom sannolikhetsteorin händer något (i det här fallet vår handling att dra ut bollen) som kan få ett annat resultat - ett utfall. Det bör noteras att resultatet kan ses på olika sätt. "Vi drog ut någon form av boll" är också ett resultat. "Vi drog ut den blå bollen" - resultatet. "Vi drog ut exakt den här bollen från alla möjliga bollar" - denna minst generaliserade syn på resultatet kallas ett elementärt resultat. Det är de elementära utfallen som avses i formeln för att beräkna sannolikheten.
Lösning. Låt oss nu beräkna sannolikheten för att välja den blå bollen.
Händelse A: "den valda bollen visade sig vara blå"
Totala numret av alla möjliga resultat: 9+3=12 (antalet av alla bollar som vi kunde dra)
Antal gynnsamma utfall för händelse A: 3 (antalet sådana utfall där händelse A inträffade - det vill säga antalet blå bollar)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Svar: 0,25
För samma problem, låt oss beräkna sannolikheten för att välja en röd boll.
Det totala antalet möjliga utfall förblir detsamma, 12. Antal gynnsamma utfall: 9. Sannolikhet sökt: 9/12=3/4=0,75
Sannolikheten för en händelse ligger alltid mellan 0 och 1.
Ibland i dagligt tal (men inte i sannolikhetsteorin!) uppskattas sannolikheten för händelser i procent. Övergången mellan matematiska och konversationspoäng uppnås genom att multiplicera (eller dividera) med 100 %.
Så,
Dessutom är sannolikheten noll för händelser som inte kan hända - otroligt. Till exempel, i vårt exempel skulle detta vara sannolikheten för att dra en grön boll från korgen. (Antalet gynnsamma utfall är 0, P(A)=0/12=0, om det beräknas med formeln)
Sannolikhet 1 har händelser som är absolut säkra att hända, utan alternativ. Till exempel är sannolikheten att "den valda bollen kommer att vara antingen röd eller blå" för vår uppgift. (Antal gynnsamma resultat: 12, P(A)=12/12=1)
Vi tittade på ett klassiskt exempel som illustrerar definitionen av sannolikhet. Alla liknande problem med Unified State Exam i sannolikhetsteori löses genom att använda denna formel.
I stället för de röda och blå bollarna kan det finnas äpplen och päron, pojkar och flickor, inlärda och olärda biljetter, biljetter som innehåller och inte innehåller en fråga om något ämne (prototyper,), defekta väskor av hög kvalitet eller trädgårdspumpar (prototyper) ,) - principen förblir densamma.
De skiljer sig något i formuleringen av problemet med sannolikhetsteorin för Unified State Examination, där du måste beräkna sannolikheten för att någon händelse inträffar en viss dag. ( , ) Som i tidigare problem måste du bestämma vad som är det elementära resultatet och sedan tillämpa samma formel.
Exempel 2. Konferensen pågår i tre dagar. Första och andra dagen är det 15 talare, tredje dagen - 20. Hur stor är sannolikheten att professor M:s rapport infaller på tredje dagen om rapporteringsordningen bestäms genom lottning?
Vad är det elementära resultatet här? – Att tilldela professorns rapport ett av alla möjliga serienummer för talet. 15+15+20=50 personer deltar i utlottningen. Därmed kan professor M:s betänkande erhålla ett av 50 nummer. Det betyder att det bara finns 50 elementära resultat.
Vilka är de gynnsamma resultaten? – De där det visar sig att professorn ska tala på tredje dagen. Det vill säga de sista 20 siffrorna.
Enligt formeln är sannolikheten P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Svar: 0,4
Lottdragningen här representerar upprättandet av en slumpmässig korrespondens mellan personer och beställda platser. I exempel 2 övervägdes matchning utifrån vilken av platserna en viss person kunde uppta. Du kan närma dig samma situation från andra sidan: vem av personerna med vilken sannolikhet skulle kunna ta sig till en specifik plats (prototyper , , , ):
Exempel 3. I dragningen ingår 5 tyskar, 8 fransmän och 3 estländare. Hur stor är sannolikheten att den första (/andra/sjunde/sista – det spelar ingen roll) blir en fransman.
Antalet elementära utfall är antalet av alla möjliga personer som skulle kunna komma in på en given plats genom lottning. 5+8+3=16 personer.
Gynnsamma resultat - franska. 8 personer.
Obligatorisk sannolikhet: 8/16=1/2=0,5
Svar: 0,5
Prototypen är något annorlunda. Det finns fortfarande problem med mynt () och tärningar (), som är något mer kreativa. Lösningen på dessa problem finns på prototypsidorna.
Här är några exempel på att kasta ett mynt eller en tärning.
Exempel 4. När vi kastar ett mynt, vad är sannolikheten att landa på huvuden?
Det finns 2 resultat - huvud eller svans. (man tror att myntet aldrig landar på kanten) Ett gynnsamt resultat är svansar, 1.
Sannolikhet 1/2=0,5
Svar: 0,5.
Exempel 5. Vad händer om vi kastar ett mynt två gånger? Vad är sannolikheten att få huvuden båda gångerna?
Det viktigaste är att bestämma vilka elementära resultat vi kommer att överväga när vi kastar två mynt. Efter att ha kastat två mynt kan ett av följande resultat inträffa:
1) PP – båda gångerna kom det upp huvuden
2) PO – första gången huvuden, andra gången huvuden
3) OP – heads första gången, tails andra gången
4) OO – huvuden kom upp båda gångerna
Det finns inga andra alternativ. Det betyder att det finns 4 elementära resultat, endast det första, 1, är gynnsamt.
Sannolikhet: 1/4=0,25
Svar: 0,25
Vad är sannolikheten att två myntkast resulterar i svansar?
Antalet elementära utfall är detsamma, 4. Gynnsamma utfall är andra och tredje, 2.
Sannolikhet att få en svans: 2/4=0,5
I sådana problem kan en annan formel vara användbar.
Om vi med en kast av ett mynt har 2 möjliga utfallsalternativ, blir resultatet för två kast 2 2 = 2 2 = 4 (som i exempel 5), för tre kast 2 2 2 = 2 3 = 8, för fyra : 2·2·2·2=2 4 =16, ... för N rullar blir de möjliga resultaten 2·2·...·2=2 N .
Så du kan hitta sannolikheten att få 5 huvuden av 5 myntkast.
Totalt antal elementära resultat: 2 5 =32.
Gynnsamma utfall: 1. (RRRRRR – heads all 5 times)
Sannolikhet: 1/32=0,03125
Detsamma gäller för tärningar. Med ett kast finns det 6 möjliga resultat. Så för två kast: 6 6 = 36, för tre 6 6 6 = 216 osv.
Exempel 6. Vi kastar tärningarna. Vad är sannolikheten att det dyker upp jämnt nummer?
Totalt resultat: 6, beroende på antalet sidor.
Gynnsamt: 3 resultat. (2, 4, 6)
Sannolikhet: 3/6=0,5
Exempel 7. Vi kastar två tärningar. Vad är sannolikheten att summan blir 10? (runda till närmaste hundradel)
För en tärning finns det 6 möjliga utfall. Detta innebär att för två, enligt ovanstående regel, 6·6=36.
Vilka resultat kommer att vara gynnsamma för att totalen ska gå 10?
10 måste delas upp i summan av två tal från 1 till 6. Detta kan göras på två sätt: 10=6+4 och 10=5+5. Det betyder att följande alternativ är möjliga för kuberna:
(6 på den första och 4 på den andra)
(4 på den första och 6 på den andra)
(5 på den första och 5 på den andra)
Totalt 3 alternativ. Obligatorisk sannolikhet: 3/36=1/12=0,08
Svar: 0,08
Andra typer av B6-problem kommer att diskuteras i en framtida How to Solve-artikel.
När vi vet att sannolikhet kan mätas, låt oss försöka uttrycka det i siffror. Det finns tre möjliga sätt.
Ris. 1.1. Mätning av sannolikhet
SANNOLIKHET BESTÄMMS AV SYMMETRI
Det finns situationer där möjliga utfall är lika sannolika. Till exempel, när man kastar ett mynt en gång, om myntet är standard, är sannolikheten att "huvuden" eller "svansar" dyker upp densamma, dvs. P("huvuden") = P("svansar"). Eftersom endast två utfall är möjliga, är P(“huvuden”) + P(“svansar”) = 1, därför P(“huvuden”) = P(“svansar”) = 0,5.
I experiment där utfall har lika chanser att inträffa är sannolikheten för händelse E, P (E) lika med:
Exempel 1.1. Myntet kastas tre gånger. Vad är sannolikheten för två huvuden och en svans?
Låt oss först hitta alla möjliga resultat: För att vara säker på att vi har hittat alla möjliga alternativ kommer vi att använda ett träddiagram (se kapitel 1, avsnitt 1.3.1).
Så det finns 8 lika möjliga utfall, därför är sannolikheten för dem 1/8. Händelse E - två huvuden och svansar - tre inträffade. Det är därför:
Exempel 1.2. En standardtärning rullas två gånger. Vad är sannolikheten att poängen är 9 eller mer?
Låt oss hitta alla möjliga resultat.
Tabell 1.2. Det totala antalet poäng som erhålls genom att kasta en tärning två gånger
Så, i 10 av 36 möjliga utfall är summan av poäng 9 eller därför:
EMPIRISKT BESTÄMDA SANNOLIKHET
Exempel med ett mynt från bordet. 1.1 illustrerar tydligt mekanismen för att bestämma sannolikhet.
Med tanke på det totala antalet experiment som är framgångsrika, beräknas sannolikheten för det önskade resultatet enligt följande:
Ett förhållande är den relativa frekvensen av förekomsten av ett visst resultat under ett tillräckligt långt experiment. Sannolikheten beräknas antingen baserat på data från det utförda experimentet, baserat på tidigare data.
Exempel 1.3. Av de femhundra elektriska lamporna som testades fungerade 415 i mer än 1 000 timmar. Baserat på data från detta experiment kan vi dra slutsatsen att sannolikheten för normal drift av en lampa av denna typ i mer än 1000 timmar är:
Notera. Testning är destruktiv till sin natur, så alla lampor kan inte testas. Om bara en lampa testades skulle sannolikheten vara 1 eller 0 (dvs om den kan hålla i 1000 timmar eller inte). Därav behovet av att upprepa experimentet.
Exempel 1.4. I tabell 1.3 visar uppgifter om anställningstiden för män som arbetar i företaget:
Tabell 1.3. Mäns arbetslivserfarenhet
Vad är sannolikheten att nästa person som anställs av företaget kommer att arbeta i minst två år:
Lösning.
Tabellen visar att 38 av 100 anställda har arbetat i företaget i mer än två år. Den empiriska sannolikheten att nästa anställd kommer att vara kvar i företaget i mer än två år är:
Samtidigt utgår vi från att den nyanställde är ”typisk och arbetsförhållandena är oförändrade.
SUBJEKTIV SANNOLIKHETSBEDÖMNING
I näringslivet uppstår ofta situationer där det inte finns någon symmetri, och det finns inga experimentella data heller. Därför är det subjektivt att bestämma sannolikheten för ett gynnsamt resultat under påverkan av forskarens åsikter och erfarenheter.
Exempel 1.5.
1. En investeringsexpert uppskattar att sannolikheten att göra vinst under de första två åren är 0,6.
2. Marknadschefens prognos: sannolikheten för att sälja 1000 enheter av en produkt under den första månaden efter att den kommit ut på marknaden är 0,4.
Sannolikheten för en händelse karakteriserar kvantitativt möjligheten (chansen) att denna händelse inträffar under ett slumpmässigt experiment. I denna paragraf vi börjar utforska de möjligheter som sannolikhetsteorin erbjuder för jämförande analys situationer som härrör från olika kombinationer av lika sannolika händelser.
Låt oss föreställa oss att vi genomför ett experiment med utrymme från n elementära resultat som lika troligt. De elementära resultaten är oförenlig händelser (kom ihåg att inkompatibla händelser är de som inte kan inträffa samtidigt), så sannolikheten för var och en av dem är 1/n. Låt oss säga att vi är intresserade av händelse A, som inträffar först när gynnsam elementära utfall, antal sista m(m< n). Тогда, согласно классическому определению, вероятность такого события:
R( A)=m/n.
För varje händelse A gäller följande ojämlikhet: 0 < P(A) <1.
n>
Exempel 1.Lotteriet består av 1000 lotter, inklusive 200 vinnande. En lott av 1000 dras slumpmässigt. Vad är sannolikheten att denna lott vinner?
Lösning: Det finns 1000 olika utfall i detta exempel (n=1000). Eventet A vi är intresserade av inkluderar 200 utfall (m=200). Således,
Exempel 2. En låda innehåller 200 vita, 100 röda och 50 gröna bollar. En boll dras slumpmässigt. Varför lika med sannolikheten att fåÄr bollen vit, röd eller grön?
Lösning: Låt oss överväga händelserna:
A = (de tog fram en vit boll),
B = (de tog ut en röd boll),
C = (de tog ut en grön boll).
N=350, då
Exempel 3. Tärningarna kastas. Vad är sannolikheten för följande händelser:
A = (sidan med 6 poäng föll ut),
B = (sidan med ett jämnt antal poäng föll),
C=(sidan med antalet poäng delbart med 3 föll)?
Lösning: n = 6. Händelse A gynnas av ett resultat, händelse B av tre resultat, händelse C av två utfall. Således,
Ibland i problem är antalet elementära utfall så stort att det inte går att skriva ner alla. Därför används formler från kombinatorik (se §2).
Exempel 4. Tre dras från en kortlek med 36 kort. Vad är sannolikheten att det inte finns några tior bland de kort som dras?
Lösning: I det här exemplet är det elementära resultatet en slumpmässig uppsättning av tre kort. Det totala antalet elementära utfall är N=C 36 3, vi anser att de elementära utfallen är lika möjliga. Gynnsamt resultat (antalet möjliga uppsättningar med tre kort från samma kortlek, men utan tiotal)
m=C323. Således är sannolikheten för händelse A (3 kort av 36 dras och det finns inga tior bland dem):
Självtestuppgifter
1. Två tärningar kastas samtidigt. Hitta sannolikheterna för följande händelser: A-summan av dragna poäng är 8; B-produkten av de rullade punkterna är 8.
2. I kuvertet, bland 100 fotografier, finns en önskad. 10 kort dras slumpmässigt från kuvertet. Hitta sannolikheten att den önskade kommer att finnas bland dem.
3. När abonnenten slog ett telefonnummer glömde abonnenten de tre sista siffrorna och kom bara ihåg att dessa siffror var olika och slog dem slumpmässigt. Hitta sannolikheten för att numret är korrekt uppringt.
Vad är sannolikhet?
Första gången jag stötte på den här termen skulle jag inte ha förstått vad det var. Därför ska jag försöka förklara tydligt.
Sannolikhet är chansen att den händelse vi vill ska hända.
Till exempel bestämde du dig för att gå till en väns hus, du kommer ihåg ingången och till och med våningen där han bor. Men jag glömde lägenhetens nummer och läge. Och nu står du på trappan, och framför dig finns det dörrar att välja mellan.
Vad är chansen (sannolikheten) att om du ringer på första dörrklockan så kommer din vän att svara på dörren åt dig? Det finns bara lägenheter, och en vän bor bara bakom en av dem. Med lika stor chans kan vi välja vilken dörr som helst.
Men vad är denna chans?
Dörren, den högra dörren. Sannolikhet att gissa genom att ringa på första dörrklockan: . Det vill säga en gång av tre kommer du att gissa exakt.
Vi vill veta, efter att ha ringt en gång, hur ofta kommer vi gissa dörren? Låt oss titta på alla alternativ:
- Du ringde 1:a dörr
- Du ringde 2:a dörr
- Du ringde 3:a dörr
Låt oss nu titta på alla alternativ där en vän kan vara:
A. Bakom 1:a dörren
b. Bakom 2:a dörren
V. Bakom 3:a dörren
Låt oss jämföra alla alternativ i tabellform. En bock anger alternativ när ditt val sammanfaller med en väns plats, ett kryss - när det inte sammanfaller.
Hur ser du på allt Kanske alternativ din väns plats och ditt val av vilken dörr du vill ringa.
A gynnsamma resultat av alla . Det vill säga, du kommer att gissa en gång genom att ringa på dörren en gång, d.v.s. .
Detta är sannolikhet - förhållandet mellan ett gynnsamt resultat (när ditt val sammanfaller med din väns plats) och antalet möjliga händelser.
Definitionen är formeln. Sannolikhet betecknas vanligtvis med p, därför:
Det är inte särskilt bekvämt att skriva en sådan formel, så vi tar för - antalet gynnsamma utfall och för - det totala antalet utfall.
Sannolikheten kan skrivas som en procentsats; för att göra detta måste du multiplicera resultatet med:
Ordet "resultat" fångade dig förmodligen. Eftersom matematiker kallar olika handlingar (i vårt fall är en sådan åtgärd en dörrklocka) experiment, brukar resultatet av sådana experiment kallas för resultatet.
Tja, det finns gynnsamma och ogynnsamma resultat.
Låt oss gå tillbaka till vårt exempel. Låt oss säga att vi ringde på en av dörrarna, men en främling öppnade den för oss. Vi gissade inte rätt. Vad är sannolikheten att om vi ringer på en av de återstående dörrarna, kommer vår vän att öppna den för oss?
Om du trodde det, så är detta ett misstag. Låt oss ta reda på det.
Vi har två dörrar kvar. Så vi har möjliga steg:
1) Ring 1:a dörr
2) Ring 2:a dörr
Vännen, trots allt detta, står definitivt bakom en av dem (han stod trots allt inte bakom den vi kallade):
a) Vän för 1:a dörren
b) Vän för 2:a dörren
Låt oss rita tabellen igen:
Som du kan se finns det bara alternativ, av vilka är gynnsamma. Det vill säga att sannolikheten är lika stor.
Varför inte?
Situationen vi övervägde är exempel på beroende händelser. Den första händelsen är den första dörrklockan, den andra händelsen är den andra dörrklockan.
Och de kallas beroende eftersom de påverkar följande handlingar. När allt kommer omkring, om efter den första ringningen dörrklockan besvarades av en vän, vad skulle sannolikheten vara att han låg bakom en av de andra två? Höger, .
Men om det finns beroende händelser så måste det också finnas oberoende? Det stämmer, de händer.
Ett läroboksexempel är att kasta ett mynt.
- Kasta ett mynt en gång. Hur stor är sannolikheten att få huvuden till exempel? Det stämmer - eftersom det finns alla alternativ (antingen huvuden eller svansar, vi kommer att försumma sannolikheten för att myntet landar på kanten), men det passar bara oss.
- Men det kom upp i huvudet. Okej, låt oss kasta det igen. Vad är sannolikheten att få huvuden nu? Ingenting har förändrats, allt är sig likt. Hur många alternativ? Två. Hur många är vi nöjda med? Ett.
Och låt det komma upp huvuden minst tusen gånger i rad. Sannolikheten att få huvuden på en gång kommer att vara densamma. Det finns alltid alternativ, och gynnsamma.
Det är lätt att skilja beroende händelser från oberoende:
- Om experimentet utförs en gång (de kastar ett mynt en gång, ringer på dörren en gång, etc.), så är händelserna alltid oberoende.
- Om ett experiment utförs flera gånger (ett mynt kastas en gång, dörrklockan rings flera gånger), är den första händelsen alltid oberoende. Och sedan, om antalet gynnsamma eller antalet av alla utfall ändras, är händelserna beroende, och om inte, är de oberoende.
Låt oss öva på att bestämma sannolikhet lite.
Exempel 1.
Myntet kastas två gånger. Vad är sannolikheten att få huvuden två gånger i rad?
Lösning:
Låt oss överväga alla möjliga alternativ:
- Örn-örn
- Huvud-svansar
- Svanshuvuden
- Svansar-svansar
Som du kan se finns det bara alternativ. Av dessa är vi bara nöjda. Det vill säga sannolikheten:
Om villkoret frågar bara för att hitta sannolikheten, bör svaret ges i formuläret decimal. Om det var specificerat att svaret skulle anges i procent så skulle vi multiplicera med.
Svar:
Exempel 2.
I en chokladask är all choklad förpackad i samma omslag. Men från godis - med nötter, med konjak, med körsbär, med kola och med nougat.
Vad är sannolikheten att ta en godis och få en godis med nötter? Ge ditt svar i procent.
Lösning:
Hur många möjliga utfall finns det? .
Det vill säga om du tar ett godis så blir det ett av de som finns i kartongen.
Hur många gynnsamma resultat?
Eftersom lådan bara innehåller choklad med nötter.
Svar:
Exempel 3.
I en låda med ballonger. varav vita och svarta.
- Vad är sannolikheten att dra en vit boll?
- Vi lade till fler svarta bollar i lådan. Vad är nu sannolikheten att dra en vit boll?
Lösning:
a) Det finns bara bollar i lådan. Av dem är vita.
Sannolikheten är:
b) Nu finns det fler bollar i boxen. Och det finns lika många vita kvar - .
Svar:
Total sannolikhet
| Sannolikheten för alla möjliga händelser är lika med (). |
Låt oss säga att det finns röda och gröna bollar i en låda. Vad är sannolikheten att dra en röd boll? Grön boll? Röd eller grön boll?
Sannolikhet att dra en röd boll
Grön boll:
Röd eller grön boll:
Som du kan se är summan av alla möjliga händelser lika med (). Att förstå denna punkt hjälper dig att lösa många problem.
Exempel 4.
Det finns markörer i rutan: grön, röd, blå, gul, svart.
Vad är sannolikheten för att INTE rita en röd markör?
Lösning:
Låt oss räkna antalet gynnsamma resultat.
INTE en röd markör, det betyder grön, blå, gul eller svart.
| Sannolikheten att en händelse inte inträffar är lika med minus sannolikheten att händelsen inträffar. |
Regel för att multiplicera sannolikheterna för oberoende händelser
Du vet redan vad oberoende evenemang är.
Vad händer om du behöver hitta sannolikheten att två (eller flera) oberoende händelser inträffar i rad?
Låt oss säga att vi vill veta vad är sannolikheten att om vi slår ett mynt en gång, kommer vi att se huvuden två gånger?
Vi har redan övervägt - .
Tänk om vi kastar ett mynt en gång? Vad är sannolikheten att se en örn två gånger i rad?
Totalt möjliga alternativ:
- Örn-örn-örn
- Huvuden-huvuden-svansar
- Huvud-svans-huvuden
- Huvud-svans-svansar
- Svans-huvuden-huvuden
- Svans-huvuden-svansar
- Svans-svans-huvuden
- Svans-svans-svansar
Jag vet inte om dig, men jag gjorde misstag flera gånger när jag sammanställde den här listan. Wow! Och enda alternativet (det första) passar oss.
För 5 kast kan du själv göra en lista över möjliga utfall. Men matematiker är inte lika hårt arbetande som du.
Därför märkte de först och bevisade sedan att sannolikheten för en viss sekvens av oberoende händelser varje gång minskar med sannolikheten för en händelse.
Med andra ord,
Låt oss titta på exemplet med samma olyckliga mynt.
Sannolikhet att få huvuden i en utmaning? . Nu slår vi myntet en gång.
Vad är sannolikheten att få huvuden i rad?
Den här regeln fungerar inte bara om vi ombeds hitta sannolikheten för att samma händelse inträffar flera gånger i rad.
Om vi ville hitta sekvensen TAILS-HEADS-TAILS för på varandra följande kast, skulle vi göra detsamma.
Sannolikheten att få svansar är , huvuden - .
Sannolikhet att få sekvensen TAILS-HEADS-TAILS-TAILS:
Du kan kontrollera det själv genom att göra en tabell.
Regeln för att lägga till sannolikheterna för inkompatibla händelser.
Så sluta! Ny definition.
Låt oss ta reda på det. Låt oss ta vårt slitna mynt och kasta det en gång.
Möjliga alternativ:
- Örn-örn-örn
- Huvuden-huvuden-svansar
- Huvud-svans-huvuden
- Huvud-svans-svansar
- Svans-huvuden-huvuden
- Svans-huvuden-svansar
- Svans-svans-huvuden
- Svans-svans-svansar
Så inkompatibla händelser är ett visst, givet händelseförlopp. - Detta är oförenliga händelser.
Om vi vill bestämma vad sannolikheten för två (eller flera) inkompatibla händelser är, så lägger vi till sannolikheterna för dessa händelser.
Du måste förstå att huvuden eller svansarna är två oberoende händelser.
Om vi vill bestämma sannolikheten för att en sekvens (eller någon annan) ska inträffa, använder vi regeln om att multiplicera sannolikheter.
Vad är sannolikheten att få huvuden vid första kast och svans vid andra och tredje kast?
Men om vi vill veta vad är sannolikheten att få en av flera sekvenser, till exempel när huvuden kommer upp exakt en gång, d.v.s. alternativ och sedan måste vi lägga ihop sannolikheterna för dessa sekvenser.
Totala alternativ passar oss.
Vi kan få samma sak genom att lägga ihop sannolikheterna för att varje sekvens inträffar:
Sålunda lägger vi till sannolikheter när vi vill bestämma sannolikheten för vissa, inkonsekventa händelseförlopp.
Det finns en bra regel som hjälper dig att undvika att bli förvirrad när du ska multiplicera och när du ska lägga till:
Låt oss gå tillbaka till exemplet där vi kastade ett mynt en gång och ville veta sannolikheten att se huvuden en gång.
Vad kommer att hända?
Borde falla ut:
(huvuden OCH svansar OCH svansar) ELLER (svansar OCH huvuden OCH svansar) ELLER (svansar OCH svansar OCH huvuden).
Så här blir det:
Låt oss titta på några exempel.
Exempel 5.
Det finns pennor i lådan. röd, grön, orange och gul och svart. Vad är sannolikheten att rita röda eller gröna pennor?
Lösning:
Exempel 6.
Om en tärning kastas två gånger, vad är sannolikheten att få totalt 8?
Lösning.
Hur kan vi få poäng?
(och) eller (och) eller (och) eller (och) eller (och).
Sannolikheten att få ett (valfritt) ansikte är .
Vi beräknar sannolikheten:
Träning.
Jag tror att du nu förstår när du behöver beräkna sannolikheter, när du ska addera dem och när du ska multiplicera dem. Är det inte? Låt oss öva lite.
Uppgifter:
Låt oss ta en kortlek som innehåller kort inklusive spader, hjärter, 13 klöver och 13 ruter. Från till ess i varje färg.
- Vad är sannolikheten för att dra klubbor i rad (vi lägger det första kortet utdraget tillbaka i leken och blandar det)?
- Vad är sannolikheten att dra ett svart kort (spader eller klöver)?
- Vad är sannolikheten att rita en bild (knekt, dam, kung eller ess)?
- Vad är sannolikheten att dra två bilder i rad (vi tar bort det första kortet som dras från leken)?
- Hur stor är sannolikheten om du tar två kort för att få en kombination - (knekt, dam eller kung) och ett ess? I vilken ordning korten dras spelar ingen roll.
Svar:
Om du kunde lösa alla problem själv, då är du jättebra! Nu kommer du att knäcka sannolikhetsteoretiska problem i Unified State Exam som nötter!
SANNOLIKHETSTEORI. GENOMSNITTLIG NIVÅ
Låt oss titta på ett exempel. Låt oss säga att vi kastar en tärning. Vad är det här för ben, vet du? Detta är vad de kallar en kub med siffror på dess ytor. Hur många ansikten, så många siffror: från till hur många? Innan.
Så vi slår tärningen och vi vill att den ska komma upp eller. Och vi förstår det.
I sannolikhetsteorin säger de vad som hände gynnsam händelse(inte att förväxla med välmående).
Om det hände skulle även händelsen vara gynnsam. Totalt kan bara två gynnsamma händelser inträffa.
Hur många är ogynnsamma? Eftersom det finns totalt möjliga händelser betyder det att de ogynnsamma är händelser (detta är om eller faller ut).
Definition:
Sannolikhet är förhållandet mellan antalet gynnsamma händelser och antalet av alla möjliga händelser. Det vill säga sannolikheten visar hur stor andel av alla möjliga händelser som är gynnsamma.
Sannolikhet betecknas med en latinsk bokstav (uppenbarligen från engelskt ord sannolikhet - sannolikhet).
Det är vanligt att mäta sannolikhet i procent (se ämnen och). För att göra detta måste sannolikhetsvärdet multipliceras med. I exemplet med tärningar sannolikhet.
Och i procent: .
Exempel (bestäm själv):
- Vad är sannolikheten att få huvuden när du kastar ett mynt? Vad är sannolikheten att landa huvuden?
- Vad är sannolikheten att få ett jämnt tal när man kastar en tärning? Vilken är udda?
- I en låda med enkla, blå och röda pennor. Vi ritar en penna slumpmässigt. Vad är sannolikheten att få en enkel?
Lösningar:
- Hur många alternativ finns det? Huvud och svans - bara två. Hur många av dem är gynnsamma? Endast en är en örn. Sannolikheten alltså
Det är samma sak med svansar: .
- Totalt antal alternativ: (hur många sidor kuben har, så många olika alternativ). Gynnsamma: (detta är alla jämna tal:).
Sannolikhet. Naturligtvis är det samma sak med udda siffror. - Totalt: . Gynnsamt: . Sannolikhet: .
Total sannolikhet
Alla pennor i lådan är gröna. Vad är sannolikheten att rita en röd penna? Det finns inga chanser: sannolikhet (trots allt gynnsamma händelser -).
En sådan händelse kallas omöjlig.
Vad är sannolikheten att rita en grön penna? Det finns exakt samma antal gynnsamma evenemang som det finns totalt evenemang (alla evenemang är gynnsamma). Så sannolikheten är lika med eller.
En sådan händelse kallas pålitlig.
Om en ruta innehåller gröna och röda pennor, vad är sannolikheten för att rita grönt eller rött? Återigen. Låt oss notera detta: sannolikheten för att dra ut grönt är lika och rött är lika.
Sammanfattningsvis är dessa sannolikheter exakt lika. Det är, summan av sannolikheterna för alla möjliga händelser är lika med eller.
Exempel:
I en låda med pennor, bland dem är blå, röd, grön, vanlig, gul och resten är orange. Vad är sannolikheten att inte dra grönt?
Lösning:
Vi kommer ihåg att alla sannolikheter går ihop. Och sannolikheten att bli grön är lika stor. Det betyder att sannolikheten för att inte dra grönt är lika stor.
Kom ihåg detta trick: Sannolikheten att en händelse inte inträffar är lika med minus sannolikheten att händelsen inträffar.
Oberoende händelser och multiplikationsregeln
Du slår ett mynt en gång och vill att det ska komma upp båda gångerna. Vad är sannolikheten för detta?
Låt oss gå igenom alla möjliga alternativ och bestämma hur många det finns:
Huvud-huvud, svans-huvud, huvud-svans, svans-svans. Vad annars?
Totalt antal alternativ. Av dessa är det bara en som passar oss: Eagle-Eagle. Totalt är sannolikheten lika stor.
Bra. Låt oss nu slå ett mynt en gång. Gör matten själv. Hände? (svar).
Du kanske har märkt att med tillägg av varje efterföljande kast, minskar sannolikheten med hälften. Allmän regel kallad multiplikationsregeln:
Sannolikheterna för oberoende händelser förändras.
Vad är oberoende händelser? Allt är logiskt: det här är de som inte är beroende av varandra. Till exempel när vi kastar ett mynt flera gånger, varje gång ett nytt kast görs, vars resultat inte beror på alla tidigare kast. Vi kan lika gärna kasta två olika mynt samtidigt.
Fler exempel:
- Tärningarna kastas två gånger. Vad är sannolikheten att få det båda gångerna?
- Myntet kastas en gång. Vad är sannolikheten att den kommer upp med huvuden första gången och sedan svansar två gånger?
- Spelaren kastar två tärningar. Vad är sannolikheten att summan av talen på dem blir lika?
Svar:
- Händelserna är oberoende, vilket innebär att multiplikationsregeln fungerar: .
- Sannolikheten för huvuden är lika stor. Sannolikheten för svansar är densamma. Multiplicera:
- 12 kan endast erhållas om två -ki rullas: .
Inkompatibla händelser och tilläggsregeln
Händelser som kompletterar varandra till den grad av sannolikhet kallas inkompatibla. Som namnet antyder kan de inte ske samtidigt. Till exempel, om vi vänder ett mynt, kan det komma upp antingen huvuden eller svansar.
Exempel.
I en låda med pennor, bland dem är blå, röd, grön, vanlig, gul och resten är orange. Vad är sannolikheten att rita grönt eller rött?
Lösning.
Sannolikheten för att rita en grön penna är lika stor. Röd - .
Fördelaktiga händelser totalt: grönt + rött. Det betyder att sannolikheten för att rita grönt eller rött är lika.
Samma sannolikhet kan representeras i denna form: .
Detta är tilläggsregeln: sannolikheterna för oförenliga händelser går ihop.
Problem av blandad typ
Exempel.
Myntet kastas två gånger. Vad är sannolikheten att resultatet av rullningarna blir annorlunda?
Lösning.
Det betyder att om det första resultatet är huvuden måste det andra vara svansar och vice versa. Det visar sig att det finns två par oberoende händelser, och dessa par är inkompatibla med varandra. Hur man inte blir förvirrad över var man ska multiplicera och var man ska addera.
Det finns en enkel regel för sådana situationer. Försök att beskriva vad som kommer att hända med hjälp av konjunktionerna "OCH" eller "ELLER". Till exempel, i det här fallet:
Det ska komma upp (huvuden och svansar) eller (svansar och huvuden).
Där det finns en konjunktion "och" kommer det att finnas multiplikation, och där det finns "eller" kommer det att finnas addition:
Prova själv:
- Vad är sannolikheten att om ett mynt kastas två gånger, kommer myntet att landa på samma sida båda gångerna?
- Tärningarna kastas två gånger. Vad är sannolikheten att få totalt poäng?
Lösningar:
Ett annat exempel:
Kasta ett mynt en gång. Hur stor är sannolikheten att huvuden dyker upp minst en gång?
Lösning:
SANNOLIKHETSTEORI. KORT OM DE VIKTIGASTE SAKERNA
Sannolikhet är förhållandet mellan antalet gynnsamma händelser och antalet av alla möjliga händelser.
Oberoende evenemang
Två händelser är oberoende om förekomsten av den ena inte ändrar sannolikheten för att den andra inträffar.
Total sannolikhet
Sannolikheten för alla möjliga händelser är lika med ().
Sannolikheten att en händelse inte inträffar är lika med minus sannolikheten att händelsen inträffar.
Regel för att multiplicera sannolikheterna för oberoende händelser
Sannolikheten för en viss sekvens av oberoende händelser är lika med produkten av sannolikheterna för varje händelse
Inkompatibla händelser
Inkompatibla händelser är sådana som omöjligt kan inträffa samtidigt som ett resultat av ett experiment. Ett antal inkompatibla händelser bildar en komplett grupp av händelser.
Sannolikheterna för inkompatibla händelser går ihop.
Efter att ha beskrivit vad som skulle hända, med hjälp av konjunktionerna "OCH" eller "ELLER", istället för "OCH" sätter vi ett multiplikationstecken, och istället för "ELLER" sätter vi ett additionstecken.
Nåväl, ämnet är över. Om du läser dessa rader betyder det att du är väldigt cool.
Eftersom bara 5% av människor kan bemästra något på egen hand. Och om du läser till slutet, då är du i dessa 5%!
Nu det viktigaste.
Du har förstått teorin om detta ämne. Och, jag upprepar, det här... det här är bara super! Du är redan bättre än de allra flesta av dina kamrater.
Problemet är att det kanske inte räcker...
För vad?
För framgångsrikt slutförande Unified State Exam, för antagning till college på en budget och, VIKTIGAST, för livet.
Jag ska inte övertyga dig om någonting, jag säger bara en sak...
Människor som tagit emot en bra utbildning, tjänar mycket mer än de som inte fick det. Det här är statistik.
Men detta är inte huvudsaken.
Huvudsaken är att de är GLADARE (det finns sådana studier). Kanske för att många fler möjligheter öppnar sig framför dem och livet blir ljusare? Vet inte...
Men tänk själv...
Vad krävs för att vara säker på att vara bättre än andra på Unified State Exam och i slutändan vara... lyckligare?
FÅ DIN HAND GENOM ATT LÖSA PROBLEM OM DETTA ÄMNET.
Du kommer inte att bli tillfrågad om teori under tentamen.
Du kommer behöva lösa problem mot tiden.
Och om du inte har löst dem (MYCKET!), kommer du definitivt att göra ett dumt misstag någonstans eller helt enkelt inte ha tid.
Det är som i sport - du behöver upprepa det många gånger för att vinna säkert.
Hitta samlingen var du vill, nödvändigtvis med lösningar, detaljerad analys och bestäm, bestäm, bestäm!
Du kan använda våra uppgifter (valfritt) och vi rekommenderar dem naturligtvis.
För att bli bättre på att använda våra uppgifter behöver du hjälpa till att förlänga livslängden på den YouClever-lärobok du just nu läser.
Hur? Det finns två alternativ:
- Lås upp alla dolda uppgifter i den här artikeln -
- Lås upp åtkomst till alla dolda uppgifter i alla 99 artiklar i läroboken - Köp en lärobok - 899 RUR
Ja, vi har 99 sådana artiklar i vår lärobok och tillgång till alla uppgifter och alla dolda texter i dem kan öppnas direkt.
Tillgång till alla dolda uppgifter tillhandahålls under HELA webbplatsens liv.
Sammanfattningsvis...
Om du inte gillar våra uppgifter, hitta andra. Sluta bara inte vid teorin.
”Förstå” och ”Jag kan lösa” är helt olika färdigheter. Du behöver båda.
Hitta problem och lös dem!
- I kontakt med 0
- Google+ 0
- OK 0
- Facebook 0
