Olika prismor skiljer sig från varandra. Samtidigt har de mycket gemensamt. För att hitta området för basen av ett prisma måste du ta reda på vilken typ det ser ut.

Allmän teori

Ett prisma är vilken polyeder som helst vars sidor har formen av ett parallellogram. Dessutom kan vilken polyeder som helst vara vid sin bas - från en triangel till en n-gon. Dessutom är prismats baser alltid lika med varandra. Vad som inte gäller för sidoytorna - de kan variera kraftigt i storlek.

När man löser problem är det inte bara området för prismats bas som man stöter på. Det kan vara nödvändigt att känna till sidoytan, det vill säga alla ytor som inte är baser. Hela ytan kommer redan att vara föreningen av alla ansikten som utgör prismat.

Ibland dyker det upp höjder i uppgifter. Den är vinkelrät mot baserna. Diagonalen på en polyeder är ett segment som parvis förbinder två hörn som inte hör till samma yta.

Det bör noteras att arean av basen av ett rakt eller lutande prisma inte beror på vinkeln mellan dem och sidoytorna. Om de har samma siffror i de övre och nedre ytorna kommer deras ytor att vara lika.

trekantsprisma

Den har vid basen en figur med tre hörn, det vill säga en triangel. Det är känt att det är annorlunda. Om det då räcker att komma ihåg att dess område bestäms av hälften av benens produkt.

Matematisk notation ser ut så här: S = ½ av.

För att ta reda på området för basen i en allmän form är formlerna användbara: Heron och den där hälften av sidan tas till höjden som dras till den.

Den första formeln ska skrivas så här: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). Denna post innehåller en halvomkrets (p), det vill säga summan av tre sidor dividerat med två.

För det andra: S = ½ n a * a.

Om du vill veta området för basen trekantsprisma, vilket är korrekt, då är triangeln liksidig. Den har sin egen formel: S = ¼ a 2 * √3.

fyrkantigt prisma

Dess bas är någon av de kända fyrhörningarna. Det kan vara en rektangel eller en kvadrat, en parallellepiped eller en romb. I varje fall, för att beräkna arean av prismats bas, behöver du din egen formel.

Om basen är en rektangel, bestäms dess area enligt följande: S = av, där a, b är rektangelns sidor.

När det kommer till ett fyrkantigt prisma, då området för basen höger prisma beräknas med formeln för en kvadrat. För det är han som ligger vid basen. S \u003d en 2.

I fallet när basen är en parallellepiped kommer följande likhet att behövas: S \u003d a * n a. Det händer att en sida av en parallellepiped och en av vinklarna ges. Sedan, för att beräkna höjden, måste du använda en ytterligare formel: na \u003d b * sin A. Dessutom ligger vinkeln A intill sidan "b", och höjden är na motsatt denna vinkel.

Om en romb ligger vid basen av prismat, kommer samma formel att behövas för att bestämma dess area som för ett parallellogram (eftersom det är ett specialfall av det). Men du kan också använda den här: S = ½ d 1 d 2. Här är d 1 och d 2 två diagonaler av romben.

Vanligt femkantigt prisma

Detta fall innebär att polygonen delas upp i trianglar, vars områden är lättare att ta reda på. Även om det händer att figurerna kan vara med ett annat antal hörn.

Eftersom prismats bas är en vanlig femhörning kan den delas in i fem liksidiga trianglar. Då är arean av prismats bas lika med arean av en sådan triangel (formeln kan ses ovan), multiplicerad med fem.

Vanligt sexkantigt prisma

Enligt principen som beskrivs för ett femkantigt prisma är det möjligt att dela in bashexagonen i 6 liksidiga trianglar. Formeln för arean av basen av ett sådant prisma liknar den föregående. Endast i den ska multipliceras med sex.

Formeln kommer att se ut så här: S = 3/2 och 2 * √3.

Uppgifter

Nr 1. En vanlig rak linje ges. Dess diagonal är 22 cm, höjden på polyedern är 14 cm. Beräkna arean av prismats bas och hela ytan.

Beslut. Basen av ett prisma är en kvadrat, men dess sida är inte känd. Du kan hitta dess värde från diagonalen på kvadraten (x), som är relaterad till prismats diagonal (d) och dess höjd (h). x 2 \u003d d 2 - n 2. Å andra sidan är detta segment "x" hypotenusan i en triangel vars ben är lika med sidan av kvadraten. Det vill säga x 2 \u003d a 2 + a 2. Således visar det sig att en 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.

Byt ut talet 22 istället för d och ersätt "n" med dess värde - 14, det visar sig att sidan av kvadraten är 12 cm. Nu är det lätt att ta reda på basarean: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .

För att ta reda på arean på hela ytan måste du lägga till två gånger värdet på basytan och fyrdubbla sidan. Det senare är lätt att hitta med formeln för en rektangel: multiplicera höjden på polyedern och sidan av basen. Det vill säga 14 och 12, detta nummer kommer att vara lika med 168 cm 2. Prismats totala yta visar sig vara 960 cm 2 .

Svar. Prismats basarea är 144 cm2. Hela ytan - 960 cm 2 .

Nr 2. Dana Vid basen ligger en triangel med en sida på 6 cm. I detta fall är diagonalen på sidoytan 10 cm. Beräkna ytorna: basen och sidoytan.

Beslut. Eftersom prismat är regelbundet är dess bas en liksidig triangel. Därför visar sig dess area vara lika med 6 i kvadrat gånger ¼ och kvadratroten av 3. En enkel beräkning leder till resultatet: 9√3 cm 2. Detta är arean av en bas av prismat.

Alla sidoytor är likadana och är rektanglar med sidorna 6 och 10 cm. För att beräkna deras ytor räcker det att multiplicera dessa tal. Multiplicera dem sedan med tre, eftersom prismat har exakt så många sidoytor. Därefter lindas området på sidoytan 180 cm 2 .

Svar. Ytor: bas - 9√3 cm 2, sidoyta på prismat - 180 cm 2.

Definition.

Detta är en hexagon, vars baser är två lika kvadrater och sidoytorna är lika stora rektanglar.

Sido revbenär den gemensamma sidan av två intilliggande sidoytor

Prisma höjdär ett linjesegment vinkelrätt mot prismats baser

Prisma diagonal- ett segment som förbinder två hörn av baserna som inte hör till samma yta

Diagonalplan- ett plan som passerar genom prismats diagonal och dess sidokanter

Diagonal sektion- gränserna för skärningspunkten mellan prismat och diagonalplanet. Den diagonala sektionen av ett regelbundet fyrkantigt prisma är en rektangel

Vinkelrät sektion (ortogonal sektion)- detta är skärningspunkten mellan ett prisma och ett plan ritat vinkelrätt mot dess sidokanter

Element i ett vanligt fyrkantigt prisma

Figuren visar två regelbundna fyrkantiga prismor, som är markerade med motsvarande bokstäver:

• Baserna ABCD och A 1 B 1 C 1 D 1 är lika och parallella med varandra
• Sidoytorna AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C och CC 1 D 1 D, som var och en är en rektangel
• Sidoyta - summan av ytorna på prismats alla sidoytor
• Total yta - summan av areorna för alla baser och sidoytor (summan av arean av sidoytan och baserna)
• Sidoribbor AA 1 , BB 1 , CC 1 och DD 1 .
• Diagonal B 1 D
• Basdiagonal BD
• Diagonal sektion BB 1 D 1 D
• Vinkelrät sektion A 2 B 2 C 2 D 2 .

Egenskaper för ett vanligt fyrkantigt prisma

• Baserna är två lika stora kvadrater
• Baserna är parallella med varandra
• Sidorna är rektanglar.
• Sidoytorna är lika med varandra
• Sidoytorna är vinkelräta mot baserna
• Laterala revben är parallella med varandra och lika
• Vinkelrät snitt vinkelrätt mot alla sidoribbor och parallellt med baserna
• Vinklar i vinkelrät snitt - höger
• Den diagonala sektionen av ett regelbundet fyrkantigt prisma är en rektangel
• Vinkelrät (ortogonalt tvärsnitt) parallellt med baserna

Formler för ett vanligt fyrkantigt prisma

Instruktioner för att lösa problem

När du löser problem i ämnet " regelbundet fyrkantigt prisma" innebär att:

Rätt prisma- ett prisma vid vars bas ligger en regelbunden polygon och sidokanterna är vinkelräta mot basens plan. Det vill säga ett vanligt fyrkantigt prisma innehåller vid sin bas fyrkant. (se ovan egenskaperna hos ett vanligt fyrkantigt prisma) Notera. Detta är en del av lektionen med uppgifter i geometri (avsnitt solid geometri - prisma). Här är de uppgifter som orsakar svårigheter att lösa. Om du behöver lösa ett problem inom geometri, som inte finns här - skriv om det i forumet. För att indikera åtgärden att extrahera roten ur symbol används vid problemlösning√ .

Uppgift.

I ett vanligt fyrkantigt prisma är basarean 144 cm 2 och höjden 14 cm. Hitta prismats diagonal och den totala ytan.

Beslut.
En vanlig fyrhörning är en kvadrat.
Följaktligen kommer sidan av basen att vara lika med

√144 = 12 cm.
Därifrån kommer diagonalen för basen av ett regelbundet rektangulärt prisma att vara lika med
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Diagonalen för ett vanligt prisma bildas med basens diagonal och prismats höjd rät triangel. Följaktligen, enligt Pythagoras sats, kommer diagonalen för ett givet regelbundet fyrkantigt prisma att vara lika med:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Svar: 22 cm

Uppgift

Hitta den totala ytan av ett vanligt fyrkantigt prisma om dess diagonal är 5 cm och diagonalen på sidoytan är 4 cm.

Beslut.
Eftersom basen av ett regelbundet fyrkantigt prisma är en kvadrat, så hittas sidan av basen (betecknad som a) av Pythagoras sats:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Höjden på sidoytan (betecknad som h) blir då lika med:

H 2 + 12,5 \u003d 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3,5
h = √3,5

Den totala ytan kommer att vara lika med summan av den laterala ytan och två gånger basarean

S = 2a2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Svar: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Stereometri är en viktig del allmän kurs geometri, som beaktar egenskaperna hos rumsliga figurer. En sådan figur är ett fyrkantigt prisma. I den här artikeln kommer vi att avslöja mer i detalj frågan om hur man beräknar volymen av ett fyrkantigt prisma.

Vad är ett fyrkantigt prisma?

Uppenbarligen, innan man ger formeln för volymen av ett fyrkantigt prisma, är det nödvändigt att ge en tydlig definition av detta geometrisk figur. Ett sådant prisma förstås som en tredimensionell polyeder, som är begränsad av två godtyckliga identiska fyrkanter som ligger i parallella plan och fyra parallellogram.

De fyrkanter som är markerade parallellt med varandra kallas figurens baser, och de fyra parallellogrammen är sidorna. Det bör här förtydligas att parallellogram också är fyrhörningar, dock är baserna inte alltid parallellogram. Ett exempel på en oregelbunden fyrhörning, som mycket väl kan vara basen av ett prisma, visas nedan i figuren.

Varje fyrkantigt prisma består av 6 sidor, 8 hörn och 12 kanter. Det finns olika typer av fyrkantiga prismor. Till exempel kan en figur vara sned eller rak, oregelbunden och korrekt. Vidare i artikeln kommer vi att visa hur du kan beräkna volymen av ett fyrkantigt prisma, med hänsyn till dess typ.

Lutande prisma med oregelbunden bas

Detta är den mest asymmetriska typen av fyrkantigt prisma, så att beräkna dess volym kommer att vara relativt svårt. Följande uttryck låter dig bestämma volymen av en figur:

Symbolen Så här betecknar arean av basen. Om denna bas är en romb, parallellogram eller rektangel, är det inte svårt att beräkna värdet på So. Så för en romb och ett parallellogram är formeln giltig:

där a är sidan av basen, ha är längden på höjden sänkt till denna sida från toppen av basen.

Om basen är en oregelbunden polygon (se ovan), bör dess area delas upp i enklare former (till exempel trianglar), beräkna deras area och hitta deras summa.

I formeln för volym anger symbolen h prismats höjd. Den representerar längden vinkelrät segment mellan två baser. Eftersom prismat lutar, bör beräkningen av höjden h utföras med längden på sidokanten b och de dihedrala vinklarna mellan sidoytorna och basen.

Rätt figur och dess volym

Om basen av ett fyrkantigt prisma är en kvadrat, och själva figuren är rak, kallas den regelbunden. Det bör förtydligas att ett rakt prisma kallas när alla dess sidor är rektanglar och var och en av dem är vinkelrät mot baserna. Rätt figur visas nedan.

Volymen av ett vanligt fyrkantigt prisma kan beräknas med samma formel som volymen av en oregelbunden figur. Eftersom basen är en kvadrat, beräknas dess yta enkelt:

Höjden på prismat h är lika med längden på sidokanten b (sidan av rektangeln). Sedan kan volymen av ett vanligt fyrkantigt prisma beräknas med hjälp av följande formel:

Ett vanligt prisma med kvadratisk bas kallas kubisk. Denna parallellepiped, i fallet med lika sidor a och b, blir en kub. Volymen av den senare beräknas enligt följande:

De skrivna formlerna för volymen V indikerar att ju högre symmetri figuren har, desto färre linjära parametrar krävs för att beräkna detta värde. Så, i fallet med ett vanligt prisma, är det nödvändiga antalet parametrar två, och i fallet med en kub, en.

Problem med rätt figur

Efter att ha övervägt frågan om att hitta volymen av ett fyrkantigt prisma ur teoretisk synvinkel, kommer vi att tillämpa den kunskap som vunnits i praktiken.

Det är känt att en vanlig parallellepiped har en basdiagonallängd på 12 cm. Den diagonala längden på dess laterala sida är 20 cm. Det är nödvändigt att beräkna parallellepipedens volym.

Låt oss beteckna basens diagonal med symbolen da och diagonalen för sidoytan med symbolen db. För diagonalen da är uttrycken sanna:

När det gäller värdet db är det diagonalen för en rektangel med sidorna a och b. Följande likheter kan skrivas för det:

db2 = a2 + b2 =>

b = √(db2 - a2)

Genom att ersätta det funna uttrycket med a i den sista likheten får vi:

b = √(db2 - da2/2)

Nu kan du ersätta de resulterande formlerna i uttrycket för volymen av den korrekta figuren:

V = a2*b = da2/2*√(db2 - da2/2)

Genom att ersätta da och db med siffror från problemets tillstånd kommer vi fram till svaret: V ≈ 1304 cm3.

Din integritet är viktig för oss. Av denna anledning har vi tagit fram en integritetspolicy som beskriver hur vi använder och lagrar din information. Läs vår integritetspolicy och låt oss veta om du har några frågor.

Insamling och användning av personlig information

Med personuppgifter avses uppgifter som kan användas för att identifiera eller kontakta en specifik person.

Du kan bli ombedd att tillhandahålla din personlig information när som helst när du kontaktar oss.

Följande är några exempel på de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan använda sådan information.

Vilken personlig information vi samlar in:

• När du skickar in en ansökan på webbplatsen kan vi samla in olika information, inklusive ditt namn, telefonnummer, e-postadress, etc.

Hur vi använder din personliga information:

• De personuppgifter vi samlar in gör att vi kan kontakta dig och informera dig om unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
• Från tid till annan kan vi använda din personliga information för att skicka viktiga meddelanden och meddelanden till dig.
• Vi kan också komma att använda personuppgifter för interna ändamål, såsom att genomföra revisioner, dataanalyser och olika undersökningar för att förbättra de tjänster vi tillhandahåller och ge dig rekommendationer angående våra tjänster.
• Om du deltar i en prisdragning, tävling eller liknande incitament kan vi använda informationen du tillhandahåller för att administrera sådana program.

Avslöjande till tredje part

Vi lämnar inte ut information från dig till tredje part.

Undantag:

• I händelse av att det är nödvändigt - i enlighet med lag, rättsordning, i rättsliga förfaranden och / eller baserat på offentliga förfrågningar eller förfrågningar från statliga organ på Ryska federationens territorium - avslöja din personliga information. Vi kan också avslöja information om dig om vi fastställer att ett sådant avslöjande är nödvändigt eller lämpligt för säkerhet, brottsbekämpning eller andra ändamål av allmänt intresse.
• I händelse av en omorganisation, sammanslagning eller försäljning kan vi komma att överföra de personuppgifter vi samlar in till den relevanta tredje partens efterträdare.

Skydd av personlig information

Vi vidtar försiktighetsåtgärder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - för att skydda din personliga information från förlust, stöld och missbruk, såväl som från obehörig åtkomst, avslöjande, ändring och förstörelse.

Upprätthålla din integritet på företagsnivå

För att säkerställa att din personliga information är säker, kommunicerar vi sekretess- och säkerhetspraxis till våra anställda och tillämpar strikt sekretesspraxis.