Generaliserad kraft av ett system med en grad av frihet. Analytisk mekanik

Låt oss ha ett system materiella poäng, underställd s holding obligationer, vars ekvationer har den ovan angivna formen.

Om systemet vore fritt skulle alla kartesiska koordinater för dess punkter vara oberoende. För att indikera systemets position skulle det vara nödvändigt att specificera alla kartesiska koordinater för dess punkter. I ett icke-fritt mekaniskt system av kartesiska koordinater måste dess punkter uppfylla s begränsningsekvationer, så endast koordinaterna bland dem kommer att vara oberoende.

Antalet ömsesidigt oberoende skalära kvantiteter som unikt bestämmer positionen mekaniskt system i rymden kallas antalet frihetsgrader för systemet.

Följaktligen har ett mekaniskt system bestående av N fria materialpunkter frihetsgrader. Ett icke-fritt system av N materialpunkter med s begränsande anslutningar av frihetsgrader.

När vi bestämmer positionen för ett icke-fritt system kan vi självständigt specificera endast koordinaterna; de återstående s-koordinaterna bestäms från begränsningsekvationerna. Emellertid kan positionen för ett icke-fritt system specificeras på ett bekvämare sätt - istället för oberoende kartesiska koordinater kan man ange samma antal andra geometriska storheter genom vilka kartesiska koordinater (både beroende och oberoende) kan uttryckas unikt. Vinklar, linjära avstånd, ytor etc. kan väljas som sådana storheter, kallade generaliserade koordinater för systemet. Bekvämligheten är att generaliserade koordinater kan väljas med hänsyn till de pålagda kopplingarna, d.v.s. i enlighet med arten av rörelsen som tillåts för systemet av hela uppsättningen av överlagrade anslutningar. I det här fallet beaktas anslutningarna automatiskt, och det finns inget behov av att lösa anslutningsekvationerna med avseende på beroende koordinater.

Exempel 1. Positionen för en fysisk pendel, bestående av en tung stång O A som är gångjärnsförsedd vid punkt O, bestäms helt genom att ställa in vinkeln (fig. 78). Om vinkeln är given, kan dess kartesiska koordinater beräknas för varje punkt på staven med ett givet avstånd:

Exempel 2. För ett mekaniskt system som består av en matematisk pendel på en rörlig plattform (fig. 79), bestäms positionen i rymden helt av värdena s och (givna).

Plattformens position bestäms av avståndet s, koordinaterna för punktmassan M beräknas också lätt:

Storheterna (exempel 1) och s (exempel 2) är generaliserade koordinater för de angivna systemen. Detta koncept kan utvidgas till fallet med ett godtyckligt mekaniskt system.

Således är generaliserade koordinater för ett mekaniskt system alla geometriska storheter oberoende av varandra som unikt bestämmer systemets position i rymden. Antalet generaliserade koordinater är lika med antalet frihetsgrader i systemet.

Oavsett geometrisk betydelse och, följaktligen, dimensioner, generaliserade koordinater betecknas på ett enhetligt sätt, med bokstaven q med ett nummer: . Av det faktum att de generaliserade koordinaterna unikt bestämmer det mekaniska systemets position i det valda Oxyz-koordinatsystemet, följer att det finns funktioner

uttrycka de kartesiska koordinaterna för alla punkter i systemet genom generaliserade koordinater och, kanske, tid t. Den specifika typen av dessa funktioner ställs in olika för varje system (se exempel 1 och 2).

Om du anger radievektorerna för punkter (), kan dessa funktioner representeras i vektorform

Låt oss nu introducera begreppet generaliserad kraft. Låt oss fixa systemet vid ett godtyckligt ögonblick t och berätta för det möjliga rörelse från denna position.

Som ett resultat, låt de generaliserade koordinaterna ta emot steg (variationer). Vi kommer att hitta motsvarande elementära förskjutningar av punkter i systemet genom att beräkna differentialerna för funktioner vid en fast () tidpunkt:

När vi beräknar det möjliga arbetet för de applicerade krafterna finner vi:

Det kan ses att det möjliga arbetet uttrycks av en homogen funktion av första graden (linjär form) med avseende på variationer av generaliserade koordinater med koefficienter

dvs. ser ut som

Koefficienterna kallas generaliserade krafter.

Således har varje generaliserad koordinat sin egen generaliserade kraft. I detta fall kallas den generaliserade kraft som motsvarar den generaliserade koordinaten variationskoefficienten för denna generaliserade koordinat i uttrycket för det möjliga kraftarbetet som appliceras på punkter i systemet.

Generaliserade krafter kan anges för enskilda grupper av krafter, till exempel för aktiva krafter, för bindningsreaktioner, för potentiella krafter, etc. Då kommer den totala generaliserade kraften att uttryckas med summan av de generaliserade krafter som motsvarar dessa utvalda grupper. Så om aktiva krafter uppdelat i aktiva krafter och kopplingsreaktioner, så blir de totala generaliserade krafterna lika

där är generaliserade aktiva krafter, är generaliserade reaktioner av anslutningar.

De generaliserade reaktionerna för idealbindningar är alltid lika med noll. Av denna anledning kan reaktionerna av ideala bindningar ignoreras vid beräkning av generaliserade krafter.

Exempel 3. Beräkna den generaliserade kraften hos en fysisk pendel bestående av en stång OA med längd och massa (fig. 80).

Lösning. Fysisk pendelär ett system med en frihetsgrad. Följaktligen bestäms pendelns position av en generaliserad koordinat, för vilken vi väljer lutningsvinkeln mot vertikalen.

Vi avbildar en pendel i en godtycklig position och applicerar verkande krafter. Reaktionen i stöd A behöver inte visas, eftersom gångjärnet är en idealisk anslutning och dess bidrag till den generaliserade kraften är noll. Vi informerar systemet om möjlig rörelse - en elementär rotation av pendeln med en vinkel i riktning mot ökande vinkel. Arbetet utförs endast av pendelns vikt. Dess appliceringspunkt (stavens tyngdpunkt C) kommer att beskriva en längdbåge, och kommer att stiga längs vertikalen med en mängd, vilket gör grundläggande arbete

Låt oss överväga ett mekaniskt system med idealiska anslutningar. Låt vara de aktiva krafterna i systemet. Låt oss ge det mekaniska systemet en virtuell förskjutning och beräkna det elementära arbetet för systemkrafterna på denna förskjutning:

Med hjälp av likhet (17.2) uttrycker vi variationen
radie vektor poäng M k genom variationer
generaliserade koordinater:

därav,

. (17.6)

Låt oss ändra ordningen för summering i likhet (17.6):

. (17.7)

Låt oss beteckna i uttryck (17.7)

. (17.8)

Genom generaliserade krafter F j nämn koefficienterna för variationer av generaliserade koordinater i uttrycket av systemkrafternas elementära arbete.

Beroende på dimensionen av variationer av generaliserade koordinater
generaliserade krafter F j kan ha dimensioner av kraft, moment etc.

Metoder för att beräkna generaliserade krafter

Låt oss överväga tre sätt att beräkna generaliserade krafter.

1. Bestämning av generaliserade krafter med hjälp av grundformeln(17.8)

. (17.9)

Formel (17,9) används sällan i praktiken. Vid problemlösning används oftast den andra metoden.

2. En metod för att "frysa" generaliserade koordinater.

Låt oss ge det mekaniska systemet en virtuell förskjutning så att alla variationer av generaliserade koordinater utom
är lika med noll:

Låt oss beräkna arbetet för denna rörelse
alla aktiva krafter som appliceras på systemet

Per definition multiplikatorn för variation
lika med den första generaliserade kraften F 1 .

och definiera den andra generaliserade kraften F 2, efter att ha beräknat virtuellt arbete alla krafter i systemet

Låt oss på liknande sätt beräkna alla andra generaliserade krafter i systemet.

3. Fallet med ett potentiellt kraftfält.

Antag att det är känt potentiell energi mekaniskt system

Sedan
och enligt formel (32.8)

Principen för virtuella rörelser av statik i generaliserade koordinater

Enligt principen om virtuella förskjutningar av statik, för jämvikten i ett system med idealiska holonomiska, stationära anslutningar, är villkoret nödvändigt och tillräckligt:

vid noll initialhastigheter.

Om vi övergår till generaliserade koordinater får vi

. (17.11)

Eftersom variationer av generaliserade koordinater är oberoende, är likhet med noll i uttrycket (17.11) endast möjlig i fallet när alla koefficienter för variationer av generaliserade koordinater är lika med noll:

Således, För att ett mekaniskt system med idealiska, holonomiska, stationära och begränsande förbindelser ska vara i jämvikt är det nödvändigt och tillräckligt att alla generaliserade krafter i systemet är lika med noll (vid noll initialhastigheter i systemet).

Lagrangekvationer i generaliserade koordinater (Lagrangekvationer av det andra slaget)

Lagranges ekvationer härleds från den allmänna ekvationen för dynamik genom att ersätta virtuella förskjutningar med deras uttryck genom variationer av generaliserade koordinater. De är ett system differentialekvationer rörelse av ett mekaniskt system i generaliserade koordinater:

. (17.13)

Var
- generaliserade hastigheter,

T  rörelseenergi system presenterat som en funktion av generaliserade koordinater och generaliserade hastigheter

F j- generaliserade krafter.

Antalet ekvationer i systemet (17.13) bestäms av antalet frihetsgrader och är inte beroende av antalet kroppar som ingår i systemet. Med idealiska kopplingar kommer endast aktiva krafter att träda in i ekvationernas högra sida. Om kopplingarna inte är idealiska, bör deras reaktioner klassificeras som aktiva krafter.

I fallet med potentiella krafter som verkar på det mekaniska systemet tar ekvationerna (17.13) formen

Om vi introducerar Lagrange-funktionen L = T  P, med hänsyn till att den potentiella energin inte beror på de generaliserade hastigheterna, får vi Lagrangekvationerna av det andra slaget för fallet med potentiella krafter i följande form

När du komponerar Lagrange-ekvationer av det andra slaget måste du utföra följande steg:

Ställ in antalet frihetsgrader för det mekaniska systemet och välj dess generaliserade koordinater.

Komponera ett uttryck för systemets kinetiska energi och representera den som en funktion av generaliserade koordinater och generaliserade hastigheter.

Använd metoderna som beskrivs ovan, hitta de generaliserade aktiva krafterna i systemet.

Utför alla nödvändiga differentieringsoperationer i Lagrange-ekvationerna.

Exempel.

Var J z kroppens tröghetsmoment i förhållande till rotationsaxeln z,
- kroppens vinkelhastighet.

3. Låt oss definiera den generaliserade kraften. Låt oss ge kroppen en virtuell förskjutning  och beräkna det virtuella arbetet för alla aktiva krafter i systemet:

Därav, F = M z huvudmomentet för systemets aktiva krafter i förhållande till kroppens rotationsaxel.

4. Låt oss utföra differentieringsoperationer i Lagrangekvationen

: (17.14)

. (17.15)

Ersätter likheter (17.15) med ekvation (173

14) vi får differentialekvationen för kroppens rotationsrörelse

Låt oss skriva ner summan av de elementära kraftverken som verkar på punkter i systemet på den möjliga förskjutningen av systemet:

Låt det holonomiska systemet ha frihetsgrader och därför dess position i rymden bestäms generaliserade koordinater
.

Ersätter (225) i (226) och ändrar summeringsordningen med index Och , vi får

. (226")

var är den skalära kvantiteten

kallad generaliserad kraft relaterad till den generaliserade koordinaten . Använder sig av berömt uttryck för den skalära produkten av två vektorer kan den tilldelade kraften också representeras som

– kraftprojektioner på koordinataxlarna;
– koordinater för kraftanbringningspunkten.

Dimensionen av den generaliserade kraften i enlighet med (226") beror på dimensionen enligt följande , sammanfaller med dimensionen :

, (228)

det vill säga dimensionen av den generaliserade kraften är lika med dimensionen av kraftens arbete (energin) eller kraftmomentet, dividerat med dimensionen av den generaliserade koordinaten som den generaliserade kraften är tilldelad. Av detta följer att en generaliserad kraft kan ha dimensionen kraft eller kraftmoment.

Beräkning av generaliserad kraft

1. Den generaliserade kraften kan beräknas med formeln (227), som definierar den, d.v.s.

2. Generaliserade krafter kan beräknas som koefficienter för motsvarande variationer av generaliserade koordinater i uttrycket för elementärt arbete (226"), d.v.s.

3. Den lämpligaste metoden för att beräkna generaliserade krafter, som erhålls från (226 ""), är om systemet ges en sådan möjlig rörelse att endast en generaliserad koordinat ändras, medan de andra inte ändras. Så om
, och resten
, sedan från (179") vi har

Index indikerar att summan av elementära verk beräknas på en möjlig förskjutning, under vilken endast koordinaten ändras (varierar) . Om variabelkoordinaten är , Den där

. (227")

Jämviktsvillkor för ett kraftsystem i termer av generaliserade krafter

Systemjämviktsförhållanden härleds från principen om möjliga rörelser. De gäller för system för vilka denna princip är giltig: för jämvikten i ett mekaniskt system som är föremål för holonomiska, stationära, ideala och icke-frigörande begränsningar, i det ögonblick då hastigheterna för alla punkter i systemet är lika med noll, är det nödvändigt och tillräckligt att alla generaliserade krafter är lika med noll

. (228")

3.6.7. Generell ekvation för dynamik

Generell ekvation av dynamik för ett system med alla kopplingar (kombinerad d'Alembert-Lagrange-princip eller allmän mekaniks ekvation):

, (229)

Var – aktiv kraft applicerad på -:e punkten i systemet; – reaktionsstyrka för bindningar;
– punkttröghetskraft; – möjlig rörelse.

I fallet med systemets jämvikt, när alla tröghetskrafter i systemets punkter försvinner, förvandlas det till principen om möjliga förskjutningar. Det används vanligtvis för system med idealiska anslutningar, för vilka villkoret är uppfyllt

I det här fallet tar (229) en av formerna:

. (230)

Således, enligt den allmänna ekvationen för dynamik, vid varje rörelseögonblick av ett system med idealiska förbindelser, är summan av de elementära verken av alla aktiva krafter och tröghetskrafter för punkter i systemet lika med noll vid varje möjlig rörelse av systemet som tillåts av anslutningarna.

Den allmänna ekvationen för dynamik kan ges andra, ekvivalenta former. Expandera den skalära produkten av vektorer, kan den uttryckas som

Var
– koordinater -te punkten i systemet. Med tanke på att projektionerna av tröghetskrafter på koordinataxlarna genom projektionerna av accelerationer på dessa axlar uttrycks av relationerna

den allmänna ekvationen för dynamik kan ges formen

I denna form kallas det generell dynamikekvation i analytisk form.

När man använder den allmänna ekvationen för dynamik är det nödvändigt att kunna beräkna det elementära arbetet för systemets tröghetskrafter på möjliga förskjutningar. För att göra detta, tillämpa motsvarande formler för elementärt arbete som erhållits för vanliga krafter. Låt oss överväga deras tillämpning på tröghetskrafterna hos en stel kropp i särskilda fall av dess rörelse.

Under framåtrörelse. I det här fallet har kroppen tre frihetsgrader och kan, på grund av de pålagda begränsningarna, endast utföra translationell rörelse. Eventuella rörelser av kroppen som tillåter anslutningar är också translationella.

Tröghetskrafter under translationsrörelse reduceras till resultanten
. För summan av elementära verk av tröghetskrafter på en kropps möjliga translationsrörelse får vi

Var
– möjlig rörelse av massacentrum och vilken punkt som helst i kroppen, eftersom den translationella möjliga rörelsen av alla punkter i kroppen är densamma: accelerationerna är också desamma, dvs.
.

När en stel kropp roterar runt en fast axel. Kroppen har i detta fall en frihetsgrad. Den kan rotera runt en fast axel
. Möjlig rörelse, som tillåts av överlagrade anslutningar, är också en rotation av kroppen med en elementär vinkel
runt en fast axel.

Tröghetskrafter reducerade till en punkt på rotationsaxeln, reduceras till huvudvektorn och huvudpoängen
. Huvudvektor tröghetskrafter appliceras på en fast punkt, och dess elementära arbete på möjlig förskjutning är noll. För huvudmomentet av tröghetskrafter kommer elementärt arbete som inte är noll att utföras endast genom dess projektion på rotationsaxeln
. Sålunda, för summan av tröghetskrafternas arbete på den möjliga förskjutningen som vi överväger

om vinkeln
rapportera i bågpilens riktning vinkelacceleration.

I platt rörelse. Anslutningar påtvingade fast, tillåt i detta fall endast plan möjlig rörelse. I det allmänna fallet består den av en translationell möjlig rörelse tillsammans med polen, för vilken vi väljer masscentrum, och en rotation genom en elementär vinkel
runt axeln
, som passerar genom masscentrum och vinkelrätt mot planet parallellt med vilket kroppen kan utföra planrörelse.

Eftersom tröghetskrafterna i en styv kropps planrörelse kan reduceras till huvudvektorn och huvudpoängen
(om vi väljer masscentrum som reduktionscentrum), så kommer summan av det elementära arbetet av tröghetskrafter på ett plan möjlig förskjutning att reduceras till det elementära arbetet för tröghetskraftsvektorn
om masscentrums möjliga rörelse och det elementära arbetet av huvudtröghetsmomentkrafterna på en elementär rotationsrörelse runt en axel
, passerar genom massans centrum. I detta fall kan elementärt arbete som inte är noll endast utföras genom projicering av huvudtröghetsmomentet på axeln
, dvs.
. Sålunda har vi i det aktuella fallet

om rotationen sker med en elementär vinkel
direkt i en bågande pil till .

Naturligtvis, när man beräknar denna generaliserade kraft, bör den potentiella energin bestämmas som en funktion av de generaliserade koordinaterna

P = P( q 1 , q 2 , q 3 ,…,qs).

Anteckningar.

Först. Vid beräkning av de generaliserade reaktionskrafterna beaktas inte ideala samband.

Andra. Dimensionen av den generaliserade kraften beror på dimensionen av den generaliserade koordinaten. Så om dimensionen [ q] – meter, sedan dimensionen

[Q]= Nm/m = Newton, om [ q] – radian, då [Q] = Nm; Om [ q] = m 2, sedan [Q] = H/m, etc.

Exempel 4. En ring glider längs en stång som svänger i ett vertikalt plan. M vikt R(Fig. 10). Vi anser att spöet är viktlöst. Låt oss definiera generaliserade krafter.

Fig. 10

Lösning. Systemet har två frihetsgrader. Vi tilldelar två generaliserade koordinater s Och .

Låt oss hitta den generaliserade kraft som motsvarar koordinaten s. Vi ger en ökning till denna koordinat, lämnar koordinaten oförändrad och beräknar arbetet för den enda aktiva kraften R, får vi den generaliserade kraften

Sedan ökar vi koordinaten, förutsatt s= konst. När stången roteras genom en vinkel, punkten för applicering av kraft R, ring M, kommer att flytta till . Den generaliserade kraften kommer att vara

Eftersom systemet är konservativt kan generaliserade krafter också hittas med hjälp av potentiell energi. Vi får Och . Det visar sig mycket enklare.

Lagrangejämviktsekvationer

Per definition (7) generaliserade krafter , k = 1,2,3,…,s, Var s– antal frihetsgrader.

Om systemet är i jämvikt, enligt principen om möjliga förskjutningar (1) . Här är de rörelser som anslutningarna tillåter, de möjliga rörelserna. Därför, när ett materialsystem är i jämvikt, är alla dess generaliserade krafter lika med noll:

Q k= 0, (k=1,2,3,…, s). (10)

Dessa ekvationer jämviktsekvationer i generaliserade koordinater eller Lagrangejämviktsekvationer , tillåta ytterligare en metod för att lösa statiska problem.

Om systemet är konservativt, då . Det betyder att den är i en jämviktsposition. Det vill säga, i ett sådant materialsystems jämviktsposition är dess potentiella energi antingen maximal eller minimum, dvs. funktionen П(q) har ett extremum.

Detta framgår av analysen av det enklaste exemplet (fig. 11). Potentiell energi för bollen i position M 1 har ett minimum i position M 2 – max. Det kan märkas att i position M 1 jämvikt kommer att vara stabil; gravid M 2 – instabil.

Fig. 11

Jämvikten anses vara stabil om kroppen i denna position ges en låg hastighet eller förskjuts en liten sträcka och dessa avvikelser inte ökar i framtiden.

Det kan bevisas (Lagrange-Dirichlets teorem) att om i jämviktspositionen för ett konservativt system dess potentiella energi har ett minimum, så är denna jämviktsposition stabil.

För ett konservativt system med en frihetsgrad, bestäms villkoret för den minimala potentiella energin, och därför stabiliteten för jämviktspositionen, av andraderivatan, dess värde i jämviktspositionen,

Exempel 5. Kärna OA vikt R kan rotera i ett vertikalt plan runt en axel HANDLA OM(Fig. 12). Låt oss hitta och studera stabiliteten i jämviktspositioner.

Fig. 12

Lösning. Spön har en frihetsgrad. Generaliserad koordinat – vinkel.

I förhållande till det nedre nollläget, potentiell energi P = Ph eller

I jämviktsläget bör det finnas . Därför har vi två jämviktspositioner som motsvarar vinklarna och (positioner OA 1 och OA 2). Låt oss utforska deras stabilitet. Hitta den andra derivatan. Naturligtvis med , . Jämviktsläget är stabilt. vid , . Den andra jämviktspositionen är instabil. Resultaten är uppenbara.

Generaliserade tröghetskrafter.

Med samma metod (8) som de generaliserade krafterna beräknades Q k, motsvarande aktiva, specificerade krafter, bestäms också generaliserade krafter S k, motsvarande tröghetskrafterna för systemets punkter:

Och sedan Den där

Några matematiska transformationer.

Självklart,

Eftersom a qk = qk(t), (k = 1,2,3,…, s), så

Detta innebär att den partiella derivatan av hastighet med avseende på

Dessutom kan du under den sista termen (14) ändra differentieringsordningen:

Genom att ersätta (15) och (16) i (14) och sedan (14) i (13), får vi

Om vi dividerar den sista summan med två och tänker på att summan av derivator är lika med derivatan av summan, får vi

var är systemets kinetiska energi, och är den generaliserade hastigheten.

Lagrange-ekvationer.

Per definition (7) och (12) generaliserade krafter

Men baserat på den allmänna dynamikekvationen (3), höger del jämställdheten är noll. Och eftersom allt ( k = 1,2,3,…,s) skiljer sig från noll, då . Genom att ersätta värdet på den generaliserade tröghetskraften (17) får vi ekvationen

Dessa ekvationer kallas differentialekvationer för rörelse i generaliserade koordinater, Lagrangekvationer av det andra slaget eller bara – Lagrange-ekvationer.

Antalet av dessa ekvationer är lika med antalet frihetsgrader för materialsystemet.

Om systemet är konservativt och rör sig under påverkan av potentiella fältkrafter, när de generaliserade krafterna är , kan Lagrangekvationerna sammanställas i formen

Var L = T– P kallas Lagrange funktion (det antas att den potentiella energin P inte beror på de generaliserade hastigheterna).

När man studerar materialsystemens rörelse visar det sig ofta att vissa generaliserade koordinater q j ingår inte uttryckligen i Lagrange-funktionen (eller i T och P). Sådana koordinater kallas cyklisk. Lagrangekvationerna som motsvarar dessa koordinater erhålls enklare.

Den första integralen av sådana ekvationer kan hittas omedelbart. Det kallas en cyklisk integral:

Ytterligare studier och transformationer av Lagrange-ekvationerna är föremål för ett särskilt avsnitt teoretisk mekanik- "Analytisk mekanik".

Lagranges ekvationer har ett antal fördelar i jämförelse med andra metoder för att studera systemens rörelse. Huvudfördelar: metoden för att komponera ekvationer är densamma i alla problem, reaktionerna av idealiska anslutningar beaktas inte när problem löses.

Och en sak till - dessa ekvationer kan användas för att studera inte bara mekaniska utan också andra fysiska system (elektriska, elektromagnetiska, optiska, etc.).

Exempel 6. Låt oss fortsätta vår studie av ringens rörelse M på ett svängande spö (exempel 4).

Generaliserade koordinater tilldelas – och s (fig. 13). Generaliserade krafter definieras: och .

Fig. 13

Lösning. Ringens kinetiska energi Där a och .

Vi komponerar två Lagrange-ekvationer

då ser ekvationerna ut så här:

Vi har erhållit två icke-linjära differentialekvationer av andra ordningen, vars lösning kräver speciella metoder.

Exempel 7. Låt oss skapa en differentialekvation för strålens rörelse AB, som rullar utan att glida längs en cylindrisk yta (fig. 14). Strållängd AB = l, vikt - R.

I jämviktsläget var strålen horisontell och tyngdpunkten MED den var placerad på cylinderns topppunkt. Balken har en frihetsgrad. Dess position bestäms av en generaliserad koordinat - en vinkel (Fig. 76).

Fig. 14

Lösning. Systemet är konservativt. Därför kommer vi att komponera Lagrangekvationen med hjälp av den potentiella energin P=mgh, beräknad i förhållande till den horisontella positionen. Vid kontaktpunkten finns ett momentant centrum av hastigheter och (lika med längden på cirkelbågen med vinkel).

Därför (se fig. 76) och .

Kinetisk energi (strålen genomgår planparallell rörelse)

Vi hittar de nödvändiga derivatorna för ekvationen och

Låt oss göra en ekvation

eller, slutligen,

Självtestfrågor

Vad kallas den möjliga rörelsen av ett begränsat mekaniskt system?

Hur är möjliga och faktiska rörelser av systemet relaterade?

Vilka anslutningar kallas: a) stationära; b) idealiskt?

Formulera principen för möjliga rörelser. Skriv ner dess formeluttryck.

Är det möjligt att tillämpa principen om virtuella rörelser på system med icke-idealiska anslutningar?

Vilka är de generaliserade koordinaterna för ett mekaniskt system?

Hur många frihetsgrader har ett mekaniskt system?

I vilket fall beror de kartesiska koordinaterna för punkter i systemet inte bara på generaliserade koordinater, utan också på tid?

Vad kallas de möjliga rörelserna i ett mekaniskt system?

Beror möjliga rörelser på de krafter som verkar på systemet?

Vilka anslutningar av ett mekaniskt system kallas ideal?

Varför är en bindning gjord med friktion inte en idealisk bindning?

Hur formuleras principen om möjliga rörelser?

Vilka typer kan arbetsekvationen ha?

Varför förenklar principen om möjliga förskjutningar härledningen av jämviktsvillkor för krafter som appliceras på proprietära system, bestående av stort antal tel?

Hur konstrueras arbetsekvationer för krafter som verkar på ett mekaniskt system med flera frihetsgrader?

Vad är förhållandet mellan drivkraft och motståndskraften i de enklaste maskinerna?

Hur är det formulerat? gyllene regel mekanik?

Hur bestäms reaktionerna av anslutningar med hjälp av principen om möjliga rörelser?

Vilka samband kallas holonomiska?

Hur många frihetsgrader har ett mekaniskt system?

Vilka är de generaliserade koordinaterna för systemet?

Hur många generaliserade koordinater har ett icke-fritt mekaniskt system?

Hur många frihetsgrader har en bils ratt?

Vad är generaliserad kraft?

Skriv ner en formel som uttrycker det totala elementära arbetet av alla krafter som appliceras på systemet i generaliserade koordinater.

Hur bestäms dimensionen av den generaliserade kraften?

Hur beräknas generaliserade krafter i konservativa system?

Skriv ner en av formlerna som uttrycker den allmänna ekvationen för dynamiken i ett system med idealiska samband. Vad fysisk mening denna ekvation?

Vilken är den generaliserade kraften hos aktiva krafter som appliceras på ett system?

Vad är den generaliserade tröghetskraften?

Formulera d'Alemberts princip i generaliserade krafter.

Vad är den allmänna ekvationen för dynamik?

Vad kallas den generaliserade kraften som motsvarar någon generaliserad koordinat av systemet, och vilken dimension har den?

Vilka är de generaliserade reaktionerna av ideala bindningar?

Härled den allmänna ekvationen för dynamik i generaliserade krafter.

Vilken form är jämviktsvillkoren för krafter som appliceras på ett mekaniskt system erhållna från den allmänna ekvationen för dynamik i generaliserade krafter?

Vilka formler uttrycker generaliserade krafter genom projektioner av krafter på de fasta axlarna för kartesiska koordinater?

Hur bestäms generaliserade krafter i fallet med konservativa och i fallet med icke-konservativa krafter?

Vilka kopplingar kallas geometriska?

Ge en vektorrepresentation av principen för möjliga förskjutningar.

Nämn vad du behöver och tillräckligt skick jämvikt hos ett mekaniskt system med idealiska stationära geometriska anslutningar.

Vilken egenskap har kraftfunktionen hos ett konservativt system i ett jämviktstillstånd?

Skriv ner ett system av Lagrange differentialekvationer av det andra slaget.

Hur många Lagrange-ekvationer av det andra slaget kan konstrueras för ett begränsat mekaniskt system?

Beror antalet Lagrange-ekvationer i ett mekaniskt system på antalet kroppar som ingår i systemet?

Vad är den kinetiska potentialen för ett system?

För vilka mekaniska system finns Lagrange-funktionen?

Vilka argument är funktionen av hastighetsvektorn för en punkt som tillhör ett mekaniskt system med s grader av frihet?

Vad är den partiella derivatan av hastighetsvektorn för en punkt i systemet med avseende på någon generaliserad hastighet?

Vilka arguments funktion är den kinetiska energin i ett system som är föremål för holonomiska icke-stationära begränsningar?

Vilken form har Lagrangekvationer av det andra slaget? Vad är antalet av dessa ekvationer för varje mekaniskt system?

Vilken form tar Lagrangekvationer av det andra slaget i fallet när systemet samtidigt påverkas av konservativa och icke-konservativa krafter?

Vad är Lagrange-funktionen eller kinetisk potential?

Vilken form har Lagrangekvationerna av det andra slaget för ett konservativt system?

Beroende på vad variabler ska den kinetiska energin för ett mekaniskt system uttryckas när man komponerar Lagrangekvationerna?

Hur bestäms den potentiella energin för ett mekaniskt system under inverkan av elastiska krafter?

Problem att lösa självständigt

Uppgift 1. Med hjälp av principen om möjliga förskjutningar, bestäm reaktionerna av anslutningar av sammansatta strukturer. Strukturdiagram visas i fig. 15, och de data som behövs för lösningen ges i tabellen. 1. På bilderna är alla mått i meter.

bord 1

R 1, kN R 2, kN q, kN/m M, kNm R 1, kN R 2, kN q, kN/m M, kNm

Alternativ 1 Alternativ 2

Alternativ 3 Alternativ 4

Alternativ 5 Alternativ 6

Alternativ 7 Alternativ 8

Fig.16 Fig.17

Lösning. Det är lätt att verifiera att i detta problem är alla villkor för att tillämpa Lagrange-principen uppfyllda (systemet är i jämvikt, anslutningarna är stationära, holonomiska, begränsande och idealiska).

Låt oss befria oss från kopplingen som motsvarar reaktionen X A (fig. 17). För att göra detta, vid punkt A, bör det fasta gångjärnet bytas ut till exempel med ett stångstöd, i vilket fall systemet får en frihetsgrad. Som redan nämnts bestäms den möjliga rörelsen av systemet av de begränsningar som åläggs det och beror inte på de applicerade krafterna. Att fastställa möjliga förskjutningar är därför ett kinematiskt problem. Eftersom ramen i detta exempel endast kan röra sig i bildens plan, är dess möjliga rörelser också plana. I plan rörelse kan kroppens rörelse betraktas som en rotation runt det momentana hastighetscentrumet. Om det momentana centrumet av hastigheter ligger i oändligheten, så motsvarar detta fallet med momentana translationsrörelser, när förskjutningarna av alla punkter i kroppen är desamma.

För att hitta det momentana hastighetscentrumet är det nödvändigt att känna till hastighetsriktningarna för två punkter på kroppen. Därför bör bestämning av de möjliga förskjutningarna av en sammansatt struktur börja med att hitta de möjliga förskjutningarna av elementet för vilka sådana hastigheter är kända. I det här fallet bör du börja med ramen CDB, sedan dess poäng Iär orörlig och därför är den möjliga rörelsen av denna ram dess rotation genom en vinkel runt en axel som går genom gångjärn B. Nu vet du den möjliga rörelsen av spetsen MED(det tillhör samtidigt systemets båda ramar) och eventuell rörelse av punkten A(en möjlig rörelse av punkt A är dess rörelse längs axeln X), hitta det momentana hastighetscentrumet C 1 för ramen AES. Således möjlig rörelse av ramen AESär dess rotation runt punkt C 1 med en vinkel . Sambandet mellan vinklarna och bestäms genom rörelsen av punkt C (se fig. 17)

Från likheten mellan trianglar EC 1 C och BCD har vi

Som ett resultat får vi beroenden:

Enligt principen om möjliga rörelser

Låt oss sekventiellt beräkna de möjliga jobben som ingår här:

Q=2q – resultant fördelad belastning, vars appliceringspunkt visas i fig. 79; det möjliga arbetet som utförs av den är lika.

1. Den generaliserade kraften kan beräknas med formeln (227), som definierar den, d.v.s.

2. Generaliserade krafter kan beräknas som koefficienter för motsvarande variationer av generaliserade koordinater i uttrycket för elementärt arbete (226"), d.v.s.

Indexet anger att summan av elementära verk beräknas på en möjlig förskjutning, under vilken endast koordinaten ändras (varierar). Om variabelkoordinaten är , då

. (227")

Jämviktsvillkor för ett kraftsystem i termer av generaliserade krafter

. (228")

Generell ekvation för dynamik

Den allmänna ekvationen för dynamik för ett system med alla kopplingar (den kombinerade D'Alembert-Lagrange-principen eller allmän mekaniks ekvation):

, (229)

var är den aktiva kraften som appliceras på systemets:e punkt; – reaktionsstyrka för bindningar; – punkttröghetskraft; – möjlig rörelse.

I det här fallet tar (229) en av formerna:

. (230)

Den allmänna ekvationen för dynamik kan ges andra, ekvivalenta former. Avslöjande skalär produkt vektorer, kan det uttryckas som

var är koordinaterna för den e punkten i systemet. Med tanke på att projektionerna av tröghetskrafter på koordinataxlarna genom projektionerna av accelerationer på dessa axlar uttrycks av relationerna

den allmänna ekvationen för dynamik kan ges formen

I denna form kallas det generell dynamikekvation i analytisk form.

Tröghetskrafter under translationsrörelse reduceras till resultanten . För summan av elementära verk av tröghetskrafter på en kropps möjliga translationsrörelse får vi

var är den möjliga förskjutningen av massacentrum och vilken punkt som helst på kroppen, eftersom den translationella möjliga förskjutningen av alla punkter på kroppen är densamma: accelerationerna är också desamma, dvs.

När en stel kropp roterar runt en fast axel. Kroppen har i detta fall en frihetsgrad. Den kan rotera runt en fast axel. Den möjliga rörelse som tillåts av de överlagrade anslutningarna är också en rotation av kroppen med en elementär vinkel runt en fast axel.

Tröghetskrafterna reducerade till en punkt på rotationsaxeln reduceras till huvudvektorn och huvudmomentet. Huvudvektorn för tröghetskrafter appliceras på en fast punkt, och dess elementära arbete med möjlig förskjutning är noll. För huvudmomentet av tröghetskrafter kommer elementärt arbete som inte är noll att utföras endast genom dess projektion på rotationsaxeln. Sålunda, för summan av tröghetskrafternas arbete på den möjliga förskjutningen som vi överväger

om vinkeln rapporteras i riktningen för bågpilen för vinkelacceleration.

I platt rörelse. I detta fall tillåter de begränsningar som ställs på den stela kroppen endast möjlig planrörelse. I det allmänna fallet består den av en translationell möjlig rörelse tillsammans med en pol, för vilken vi väljer masscentrum, och en rotation genom en elementär vinkel runt axeln som går genom masscentrum och vinkelrätt mot planet parallellt med vilket kroppen kan utföra planrörelse.

Total:0
I kontakt med 0
Google+ 0
OK 0
Facebook 0