Konvertera decimaler till vanliga bråk. Vanliga bråk omvandlas inte till oändliga icke-periodiska decimaler

Decimaltal som 0,2; 1,05; 3.017 osv. som de hörs, så är de skrivna. Noll komma två, vi får en bråkdel. En komma fem hundradelar får vi en bråkdel. Tre komma sjutton tusendelar, vi får bråkdelen. Siffrorna före decimalkomma är hela delen av bråket. Siffran efter decimalkomma är täljaren för det framtida bråket. Om det finns ett ensiffrigt tal efter decimaltecknet blir nämnaren 10, om det finns ett tvåsiffrigt tal - 100, ett tresiffrigt tal - 1000 osv. Vissa resulterande fraktioner kan reduceras. I våra exempel

Konvertera ett bråk till en decimal

Detta är motsatsen till den tidigare omvandlingen. Vad kännetecknar ett decimalbråk? Dess nämnare är alltid 10, eller 100, eller 1000, eller 10000, och så vidare. Om din vanliga bråkdel har en sådan här nämnare är det inga problem. Till exempel eller

Om bråket är t.ex. I det här fallet är det nödvändigt att använda grundegenskapen för ett bråk och transformera nämnaren till 10 eller 100, eller 1000... I vårt exempel, om vi multiplicerar täljaren och nämnaren med 4, får vi ett bråktal som kan vara skrivet i formen decimal nummer 0,12.

Vissa bråk är lättare att dividera än att omvandla nämnaren. Till exempel,

Vissa bråk kan inte omvandlas till decimaler!
Till exempel,

Konvertera en blandad fraktion till en oegentlig fraktion

En blandad fraktion kan till exempel enkelt omvandlas till en oegentlig fraktion. För att göra detta måste du multiplicera hela delen med nämnaren (nederst) och lägga till den med täljaren (överst), lämna nämnaren (nederst) oförändrad. Det är

När du omvandlar en blandad fraktion till en oegentlig fraktion kan du komma ihåg att du kan använda fraktionsaddition

Konvertera en oegentlig fraktion till en blandad fraktion (markera hela delen)

En oegentlig fraktion kan omvandlas till en blandad fraktion genom att markera hela delen. Låt oss titta på ett exempel. Vi bestämmer hur många heltal gånger "3" passar in i "23". Eller dela 23 med 3 på en miniräknare, hela talet med decimalkomma är det önskade. Det här är "7". Därefter bestämmer vi täljaren för det framtida bråket: vi multiplicerar den resulterande "7" med nämnaren "3" och subtraherar resultatet från täljaren "23". Det är som om vi hittar det extra som finns kvar från täljaren "23" om vi tar bort det maximala antalet "3". Vi lämnar nämnaren oförändrad. Allt är klart, skriv ner resultatet

Om vi behöver dividera 497 med 4, så kommer vi när vi dividerar att se att 497 inte är jämnt delbart med 4, d.v.s. återstoden av divisionen återstår. I sådana fall sägs det att den är klar division med resten, och lösningen är skriven som följer:
497: 4 = 124 (1 återstod).

Divisionskomponenterna på vänster sida av jämlikheten kallas samma som i division utan rest: 497 - utdelning, 4 - delare. Resultatet av division när det delas med en rest kallas ofullständig privat. I vårt fall är detta siffran 124. Och slutligen är den sista komponenten, som inte är i vanlig division, återstoden. I de fall det inte finns någon rest, sägs ett tal delas med ett annat utan spår, eller helt. Man tror att med en sådan uppdelning är resten noll. I vårt fall är resten 1.

Resten är alltid mindre än divisorn.

Division kan kontrolleras genom multiplikation. Om det till exempel finns en likhet 64: 32 = 2, kan kontrollen göras så här: 64 = 32 * 2.

Ofta i de fall där division med en rest utförs är det lämpligt att använda jämställdheten
a = b * n + r,
där a är utdelningen, b är divisorn, n är partialkvoten, r är resten.

Dela kvoten naturliga tal kan skrivas som bråk.

Täljaren för ett bråk är utdelningen och nämnaren är divisorn.

Eftersom täljaren för ett bråk är utdelningen och nämnaren är divisor, tror att linjen i ett bråk betyder divisionens verkan. Ibland är det bekvämt att skriva division som ett bråk utan att använda tecknet ":".

Kvoten för divisionen av naturliga tal m och n kan skrivas som ett bråktal \(\frac(m)(n)\), där täljaren m är utdelningen och nämnaren n är divisor:
\(m:n = \frac(m)(n)\)

Följande regler är sanna:

För att få bråket \(\frac(m)(n)\), måste du dela upp enheten i n lika delar (andelar) och ta m sådana delar.

För att få bråket \(\frac(m)(n)\), måste du dividera talet m med talet n.

För att hitta en del av en helhet måste du dividera talet som motsvarar helheten med nämnaren och multiplicera resultatet med täljaren för bråket som uttrycker denna del.

För att hitta en helhet från dess del måste du dividera talet som motsvarar denna del med täljaren och multiplicera resultatet med nämnaren för bråket som uttrycker denna del.

Om både täljaren och nämnaren för ett bråk multipliceras med samma tal (förutom noll), kommer värdet på bråket inte att ändras:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Om både täljaren och nämnaren för ett bråk divideras med samma tal (förutom noll), kommer bråkets värde inte att ändras:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Denna egenskap kallas huvudegenskapen hos en bråkdel.

Två senaste förvandlingen kallad minska en bråkdel.

Om bråk behöver representeras som bråk med samma nämnare, anropas denna åtgärd reducera bråk till en gemensam nämnare.

Rätta och oegentliga bråk. Blandade siffror

Du vet redan att en bråkdel kan erhållas genom att dela en helhet i lika delar och ta flera sådana delar. Till exempel betyder bråket \(\frac(3)(4)\) tre fjärdedelar av ett. I många av problemen i föregående stycke användes bråk för att representera delar av en helhet. Sunt förnuft föreslår att delen alltid ska vara mindre än helheten, men hur är det då med bråk som till exempel \(\frac(5)(5)\) eller \(\frac(8)(5)\)? Det är tydligt att detta inte längre är en del av enheten. Det är förmodligen därför bråk vars täljare är större än eller lika med nämnaren kallas felaktiga fraktioner. De återstående bråken, det vill säga bråk vars täljare är mindre än nämnaren, kallas rätt bråk.

Som du vet kan vilket vanligt bråk som helst, både korrekt och oegent, ses som ett resultat av att dividera täljaren med nämnaren. Därför, i matematik, till skillnad från vanligt språk, betyder termen "oegentlig bråkdel" inte att vi gjorde något fel, utan bara att täljaren för detta bråktal är större än eller lika med nämnaren.

Om ett tal består av en heltalsdel och en bråkdel, då en sådan fraktioner kallas blandade.

Till exempel:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 är heltalsdelen och \(\frac(2)(3) \) är bråkdelen.

Om täljaren för bråket \(\frac(a)(b)\) är delbart med ett naturligt tal n, måste dess täljare divideras med detta tal för att dividera bråket med n:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Om täljaren för bråket \(\frac(a)(b)\) inte är delbart med ett naturligt tal n, så för att dividera detta bråktal med n, måste du multiplicera dess nämnare med detta tal:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Observera att den andra regeln också är sann när täljaren är delbar med n. Därför kan vi använda det när det är svårt att vid första anblicken avgöra om täljaren för ett bråk är delbart med n eller inte.

Åtgärder med bråk. Lägga till bråk.

Du kan utföra aritmetiska operationer med bråktal, precis som med naturliga tal. Låt oss titta på att lägga till bråk först. Det är lätt att lägga till bråk med liknande nämnare. Låt oss till exempel hitta summan av \(\frac(2)(7)\) och \(\frac(3)(7)\). Det är lätt att förstå att \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

För att lägga till bråk med samma nämnare måste du lägga till deras täljare och låta nämnaren vara densamma.

Med hjälp av bokstäver kan regeln för att lägga till bråk med liknande nämnare skrivas på följande sätt:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Om du behöver lägga till bråk med olika nämnare måste de först reduceras till en gemensam nämnare. Till exempel:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3) ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

För bråk, liksom för naturliga tal, är de kommutativa och associativa egenskaperna för addition giltiga.

Tillsätt blandade fraktioner

Notationer som \(2\frac(2)(3)\) anropas blandade fraktioner. I det här fallet anropas numret 2 hela delen blandad bråkdel, och talet \(\frac(2)(3)\) är dess bråkdel. Posten \(2\frac(2)(3)\) läses enligt följande: "två och två tredjedelar."

När du dividerar talet 8 med talet 3 kan du få två svar: \(\frac(8)(3)\) och \(2\frac(2)(3)\). De uttrycker samma bråktal, dvs \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Således representeras det oegentliga bråket \(\frac(8)(3)\) som ett blandat bråktal \(2\frac(2)(3)\). I sådana fall sägs det så felaktig bråkdel lyfte fram hela delen.

Subtrahera bråktal (bråktal)

Subtraktion av bråktal, precis som naturliga tal, bestäms utifrån verkan av addition: att subtrahera ett annat från ett tal innebär att hitta ett tal som, när det läggs till det andra, ger det första. Till exempel:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) sedan \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) = \frac(8)(9)\)

Regeln för att subtrahera bråk med liknande nämnare liknar regeln för att addera sådana bråk:
För att hitta skillnaden mellan bråk med samma nämnare måste du subtrahera täljaren för den andra från täljaren för det första bråket och lämna nämnaren densamma.

Med hjälp av bokstäver skrivs denna regel så här:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Multiplicera bråk

För att multiplicera ett bråk med ett bråk, måste du multiplicera deras täljare och nämnare och skriva den första produkten som täljare och den andra som nämnare.

Med hjälp av bokstäver kan regeln för att multiplicera bråk skrivas på följande sätt:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Med hjälp av den formulerade regeln kan du multiplicera ett bråktal med ett naturligt tal, med ett blandat bråktal och även multiplicera blandade bråk. För att göra detta måste du skriva ett naturligt tal som ett bråk med nämnaren 1, ett blandat bråk - som ett oegentligt bråk.

Resultatet av multiplikationen bör förenklas (om möjligt) genom att reducera fraktionen och isolera hela delen av den felaktiga fraktionen.

För bråk, som för naturliga tal, gäller de kommutativa och kombinativa egenskaperna för multiplikation, såväl som den fördelande egenskapen för multiplikation i förhållande till addition.

Division av bråk

Låt oss ta bråket \(\frac(2)(3)\) och "vända" det och byta täljare och nämnare. Vi får bråket \(\frac(3)(2)\). Denna fraktion kallas omvänd bråk \(\frac(2)(3)\).

Om vi nu "vänder" bråket \(\frac(3)(2)\), får vi det ursprungliga bråket \(\frac(2)(3)\). Därför kallas bråk som \(\frac(2)(3)\) och \(\frac(3)(2)\) ömsesidigt omvänt.

Till exempel, bråken \(\frac(6)(5) \) och \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) och \(\frac (18) )(7)\).

Med hjälp av bokstäver kan ömsesidiga bråk skrivas enligt följande: \(\frac(a)(b) \) och \(\frac(b)(a) \)

Det är tydligt att produkten av ömsesidiga fraktioner är lika med 1. Till exempel: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Genom att använda ömsesidiga bråktal kan du reducera division av bråk till multiplikation.

Regeln för att dividera ett bråk med ett bråk är:
För att dividera en bråkdel med en annan, måste du multiplicera utdelningen med den reciproka av divisorn.

Med hjälp av bokstäver kan regeln för att dividera bråk skrivas på följande sätt:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Om utdelningen eller divisorn är ett naturligt tal eller ett blandat bråk, måste det först representeras som ett oegentligt bråk för att kunna använda regeln för att dividera bråk.

Det händer att för bekvämligheten med beräkningar måste du konvertera en vanlig bråkdel till en decimal och vice versa. Vi kommer att prata om hur man gör detta i den här artikeln. Låt oss titta på reglerna för att konvertera vanliga bråk till decimaler och vice versa, och även ge exempel.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Vi kommer att överväga att konvertera vanliga bråk till decimaler, efter en viss sekvens. Låt oss först titta på hur vanliga bråk med en nämnare som är en multipel av 10 omvandlas till decimaler: 10, 100, 1000, etc. Bråk med sådana nämnare är i själva verket en mer besvärlig notering av decimalbråk.

Därefter ska vi titta på hur man omvandlar vanliga bråk med valfri nämnare, inte bara multiplar av 10, till decimalbråk. Observera att när du konverterar vanliga bråk till decimaler erhålls inte bara ändliga decimaler, utan även oändliga periodiska decimaler.

Låt oss börja!

Översättning av vanliga bråk med nämnare 10, 100, 1000, etc. till decimaler

Först av allt, låt oss säga att vissa bråk kräver en del förberedelser innan de konverteras till decimalform. Vad är det? Innan talet i täljaren behöver du lägga till så många nollor så att antalet siffror i täljaren blir lika med antalet nollor i nämnaren. Till exempel, för bråket 3100, måste talet 0 läggas till en gång till vänster om 3:an i täljaren. Fraktion 610, enligt regeln som anges ovan, behöver inte modifieras.

Låt oss titta på ytterligare ett exempel, varefter vi kommer att formulera en regel som är särskilt bekväm att använda till en början, medan det inte finns mycket erfarenhet av att konvertera bråk. Så, bråket 1610000 efter att ha lagt till nollor i täljaren kommer att se ut som 001510000.

Hur man konverterar ett gemensamt bråk med en nämnare på 10, 100, 1000, etc. till decimal?

Regel för omvandling av vanliga egenbråk till decimaler

Skriv ner 0 och sätt ett kommatecken efter.
Vi skriver ner talet från täljaren som erhölls efter att ha lagt till nollor.

Låt oss nu gå vidare till exempel.

Exempel 1: Konvertera bråk till decimaler

Låt oss omvandla bråktalet 39 100 till en decimal.

Först tittar vi på bråket och ser att det inte finns något behov av att utföra några förberedande åtgärder - antalet siffror i täljaren sammanfaller med antalet nollor i nämnaren.

Efter regeln skriver vi 0, sätter en decimal efter den och skriver talet från täljaren. Vi får decimal 0 , 39 .

Låt oss titta på lösningen på ett annat exempel på detta ämne.

Exempel 2. Konvertera bråk till decimaler

Låt oss skriva bråket 105 10000000 som en decimal.

Antalet nollor i nämnaren är 7, och täljaren har bara tre siffror. Låt oss lägga till ytterligare fyra nollor före siffran i täljaren:

0000105 10000000

Nu skriver vi ner 0, sätter en decimal efter den och skriver ner talet från täljaren. Vi får decimalbråket 0,0000105.

De fraktioner som betraktas i alla exempel är vanliga egenfraktioner. Men hur konverterar man ett oegentligt bråk till en decimal? Låt oss säga direkt att det inte finns något behov av förberedelser med att lägga till nollor för sådana fraktioner. Låt oss formulera en regel.

Regel för omvandling av vanliga oegentliga bråk till decimaler

Skriv ner talet som finns i täljaren.
Vi använder en decimal för att separera lika många siffror till höger som det finns nollor i originalets nämnare vanlig bråkdel.

Nedan är ett exempel på hur man använder denna regel.

Exempel 3. Konvertera bråk till decimaler

Låt oss konvertera bråket 56888038009 100000 från ett vanligt oregelbundet bråk till en decimal.

Låt oss först skriva ner numret från täljaren:

Nu, till höger, separerar vi fem siffror med en decimalkomma (antalet nollor i nämnaren är fem). Vi får:

Nästa fråga som naturligt uppstår är: hur man omvandlar ett blandat tal till ett decimalbråk om nämnaren för dess bråkdel är talet 10, 100, 1000, etc. För att konvertera ett sådant tal till ett decimaltal kan du använda följande regel.

Regel för omvandling av blandade tal till decimaler

Vi förbereder bråkdelen av numret, om det behövs.
Vi skriver ner hela delen av originalnumret och sätter ett kommatecken efter det.
Vi skriver ner talet från täljaren för bråkdelen tillsammans med de adderade nollorna.

Låt oss titta på ett exempel.

Exempel 4: Konvertera blandade tal till decimaler

Låt oss omvandla det blandade talet 23 17 10000 till ett decimaltal.

I bråkdelen har vi uttrycket 17 10000. Låt oss förbereda det och lägga till ytterligare två nollor till vänster om täljaren. Vi får: 0017 10000.

Nu skriver vi ner hela delen av talet och sätter ett kommatecken efter det: 23, . .

Efter decimaltecknet, skriv ner talet från täljaren tillsammans med nollor. Vi får resultatet:

23 17 10000 = 23 , 0017

Konvertera vanliga bråk till finita och oändliga periodiska bråk

Naturligtvis kan du konvertera till decimaler och vanliga bråk med en nämnare som inte är lika med 10, 100, 1000, etc.

Ofta kan ett bråk lätt reduceras till en ny nämnare, och använd sedan regeln som anges i första stycket i denna artikel. Till exempel räcker det att multiplicera täljaren och nämnaren för bråket 25 med 2, så får vi bråket 410, som enkelt omvandlas till decimalformen 0,4.

Denna metod att omvandla ett bråktal till en decimal kan dock inte alltid användas. Nedan kommer vi att överväga vad vi ska göra om det är omöjligt att tillämpa den övervägda metoden.

Ett i grunden nytt sätt att omvandla ett bråk till en decimal är att dividera täljaren med nämnaren med en kolumn. Denna operation är mycket lik att dividera naturliga tal med en kolumn, men har sina egna egenskaper.

Vid division representeras täljaren som ett decimaltal - ett kommatecken placeras till höger om den sista siffran i täljaren och nollor läggs till. I den resulterande kvoten placeras en decimalpunkt när divisionen av heltalsdelen av täljaren slutar. Hur exakt denna metod fungerar kommer att bli tydligt efter att ha tittat på exemplen.

Exempel 5. Konvertera bråk till decimaler

Låt oss konvertera det vanliga bråket 621 4 till decimalform.

Låt oss representera talet 621 från täljaren som ett decimaltal, och lägg till några nollor efter decimalkomma. 621 = 621,00

Låt oss nu dividera 621,00 med 4 med hjälp av en kolumn. De tre första stegen i division kommer att vara desamma som när man dividerar naturliga tal, och vi kommer att få.

När vi når decimalpunkten i utdelningen, och resten skiljer sig från noll, sätter vi en decimalkomma i kvoten och fortsätter att dividera, utan att längre uppmärksamma kommatecken i utdelningen.

Som ett resultat får vi decimalbråket 155, 25, vilket är resultatet av att vända det vanliga bråket 621 4

621 4 = 155 , 25

Låt oss titta på ett annat exempel för att förstärka materialet.

Exempel 6. Konvertera bråk till decimaler

Låt oss vända den vanliga bråkdelen 21 800.

För att göra detta delar du bråkdelen 21 000 i en kolumn med 800. Uppdelningen av hela delen kommer att sluta vid det första steget, så omedelbart efter det sätter vi en decimalkomma i kvoten och fortsätter divisionen, utan att uppmärksamma kommatecken i utdelningen förrän vi får en rest lika med noll.

Som ett resultat fick vi: 21 800 = 0,02625.

Men tänk om vi, vid division, fortfarande inte får en rest av 0. I sådana fall kan divisionen fortsätta på obestämd tid. Från ett visst steg kommer dock resterna att upprepas med jämna mellanrum. Följaktligen kommer siffrorna i kvoten att upprepas. Det betyder att ett vanligt bråk omvandlas till ett oändligt periodiskt bråktal. Låt oss illustrera detta med ett exempel.

Exempel 7. Konvertera bråk till decimaler

Låt oss konvertera det vanliga bråket 19 44 till en decimal. För att göra detta utför vi division efter kolumn.

Vi ser att under delning upprepas resterna 8 och 36. I detta fall upprepas siffrorna 1 och 8 i kvoten. Detta är perioden i decimalbråk. Vid inspelning placeras dessa nummer inom parentes.

Således omvandlas det ursprungliga ordinarie bråket till ett oändligt periodiskt decimalbråk.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Låt oss se en irreducerbar vanlig bråkdel. Vilken form kommer det att ha? Vilka vanliga bråk omvandlas till ändliga decimaler, och vilka konverteras till oändliga periodiska?

Låt oss först säga att om ett bråk kan reduceras till en av nämnarna 10, 100, 1000... så kommer det att ha formen av ett sista decimalbråk. För att ett bråk ska reduceras till en av dessa nämnare måste dess nämnare vara en divisor av minst ett av talen 10, 100, 1000 osv. Av reglerna för att faktorisera tal till primtalsfaktorer följer att talens divisor är 10, 100, 1000 osv. måste, när de räknas in i primtalsfaktorer, endast innehålla talen 2 och 5.

Låt oss sammanfatta vad som har sagts:

En vanlig bråkdel kan reduceras till en sista decimal om dess nämnare kan faktoriseras i primtalsfaktorerna 2 och 5.
Om det förutom talen 2 och 5 finns andra primtal i nämnarens expansion, reduceras bråket till formen av ett oändligt periodiskt decimalbråk.

Låt oss ge ett exempel.

Exempel 8. Konvertera bråk till decimaler

Vilken av dessa bråk 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 omvandlas till en sista decimalbråkdel, och vilken - bara till en periodisk. Låt oss svara på den här frågan utan att direkt omvandla ett bråk till en decimal.

Bråket 47 20, som är lätt att se, reduceras genom att multiplicera täljaren och nämnaren med 5 till en ny nämnare 100.

47 20 = 235 100. Av detta drar vi slutsatsen att detta bråktal omvandlas till ett sista decimalbråk.

Att faktorisera nämnaren för bråket 7 12 ger 12 = 2 · 2 · 3. Eftersom primtalsfaktorn 3 skiljer sig från 2 och 5, kan detta bråk inte representeras som ett ändligt decimalbråk, utan kommer att ha formen av ett oändligt periodiskt bråktal.

Fraktionen 21 56 måste för det första minskas. Efter reduktion med 7 får vi det irreducerbara bråket 3 8, vars nämnare faktoriseras för att ge 8 = 2 · 2 · 2. Därför är det en sista decimalbråkdel.

I fallet med bråket 31 17, faktorisering av nämnaren är själva primtalet 17. Följaktligen kan denna bråkdel omvandlas till en oändlig periodisk decimalbråkdel.

Ett vanligt bråk kan inte omvandlas till ett oändligt och icke-periodiskt decimalbråk

Ovan talade vi bara om ändliga och oändliga periodiska bråk. Men kan vilket vanligt bråk som helst omvandlas till ett oändligt icke-periodiskt bråk?

Vi svarar: nej!

Viktig!

När man konverterar en oändlig bråkdel till en decimal blir resultatet antingen en finit decimal eller en oändlig periodisk decimal.

Resten av en division är alltid mindre än divisorn. Med andra ord, enligt delbarhetssatsen, om vi dividerar något naturligt tal med talet q, så kan resten av divisionen i alla fall inte vara större än q-1. Efter att uppdelningen är klar är en av följande situationer möjliga:

Vi får en återstod av 0, och det är här divisionen slutar.
Vi får en rest, som upprepas vid efterföljande division, vilket resulterar i en oändlig periodisk bråkdel.

Det kan inte finnas några andra alternativ när du konverterar ett bråktal till en decimal. Låt oss också säga att längden på perioden (antal siffror) i ett oändligt periodiskt bråk alltid är mindre än antalet siffror i nämnaren för motsvarande ordinarie bråk.

Konvertera decimaler till bråk

Nu är det dags att titta på den omvända processen att omvandla ett decimalbråk till ett vanligt bråktal. Låt oss formulera en översättningsregel som inkluderar tre steg. Hur konverterar man ett decimalbråk till ett vanligt bråktal?

Regel för omvandling av decimalbråk till vanliga bråk

I täljaren skriver vi talet från det ursprungliga decimalbråket, och kasserar kommatecken och alla nollor till vänster, om några.
I nämnaren skriver vi en följt av lika många nollor som det finns siffror efter decimalkomma i det ursprungliga decimalbråket.
Om det behövs, reducera den resulterande vanliga fraktionen.

Låt oss överväga ansökan av denna regel med exempel.

Exempel 8. Konvertera decimalbråk till vanliga bråk

Låt oss föreställa oss talet 3,025 som ett vanligt bråk.

Vi skriver in själva decimalbråket i täljaren och kasserar kommatecken: 3025.
I nämnaren skriver vi en, och efter den tre nollor - det här är exakt hur många siffror som finns i det ursprungliga bråket efter decimalkomma: 3025 1000.
Den resulterande fraktionen 3025 1000 kan reduceras med 25, vilket resulterar i: 3025 1000 = 121 40.

Exempel 9. Omvandling av decimalbråk till vanliga bråk

Låt oss konvertera bråket 0,0017 från decimal till ordinär.

I täljaren skriver vi bråket 0, 0017, utan kommatecken och nollorna till vänster. Det blir 17.
Vi skriver en i nämnaren och efter den skriver vi fyra nollor: 17 10000. Denna fraktion är irreducerbar.

Om ett decimalbråk har en heltalsdel, kan ett sådant bråk omedelbart omvandlas till ett blandat tal. Hur man gör det?

Låt oss formulera ytterligare en regel.

Regel för att konvertera decimaler till blandade tal.

Talet före decimaltecknet i bråket skrivs som heltalsdelen av det blandade talet.
I täljaren skriver vi talet efter decimalkomma i bråket, och kasserar nollorna till vänster om det finns några.
I bråkdelens nämnare lägger vi till en och lika många nollor som det finns siffror efter decimalkomma i bråkdelen.

Låt oss ta ett exempel

Exempel 10. Konvertera en decimal till ett blandat tal

Låt oss föreställa oss bråket 155, 06005 som ett blandat tal.

Vi skriver talet 155 som en heltalsdel.
I täljaren skriver vi siffrorna efter decimalkomma, utan att nollan ignoreras.
Vi skriver en och fem nollor i nämnaren

Låt oss lära oss ett blandat nummer: 155 6005 100000

Bråkdelen kan minskas med 5. Vi förkortar den och får det slutliga resultatet:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Konvertera oändliga periodiska decimaler till bråk

Låt oss titta på exempel på hur man omvandlar periodiska decimalbråk till vanliga bråk. Innan vi börjar, låt oss förtydliga: vilket periodiskt decimalbråk som helst kan omvandlas till ett vanligt bråk.

Det enklaste fallet är när perioden för bråket är noll. En periodisk bråkdel med en nollperiod ersätts med en sista decimalbråkdel, och processen att vända ett sådant bråktal reduceras till att vända det sista decimalbråket.

Exempel 11. Konvertering av ett periodiskt decimaltal till ett vanligt bråktal

Låt oss invertera det periodiska bråket 3, 75 (0).

Om vi eliminerar nollorna till höger får vi den sista decimalbråket 3,75.

Om vi konverterar denna bråkdel till en vanlig bråkdel med hjälp av algoritmen som diskuterades i föregående stycken får vi:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Vad händer om perioden för bråket skiljer sig från noll? Den periodiska delen bör betraktas som summan av termerna för en geometrisk progression, som minskar. Låt oss förklara detta med ett exempel:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

För summan av termer av en oändlig avtagande geometrisk progression det finns en formel. Om den första termen i progressionen är b och nämnaren q är sådan att 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Låt oss titta på några exempel med denna formel.

Exempel 12. Konvertering av ett periodiskt decimaltal till ett vanligt bråktal

Låt oss ha en periodisk bråkdel 0, (8) och vi måste omvandla den till en vanlig.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Här har vi en oändligt avtagande geometrisk progression med den första termen 0, 8 och nämnaren 0, 1.

Låt oss tillämpa formeln:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

Detta är den nödvändiga ordinarie bråkdelen.

För att konsolidera materialet, överväg ett annat exempel.

Exempel 13. Konvertering av ett periodiskt decimaltal till ett vanligt bråktal

Låt oss vända bråket 0, 43 (18).

Först skriver vi bråket som en oändlig summa:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Låt oss titta på termerna inom parentes. Denna geometriska progression kan representeras enligt följande:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Vi adderar resultatet till den sista bråkdelen 0, 43 = 43 100 och får resultatet:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

Efter att ha lagt till dessa bråk och reducerat får vi det slutliga svaret:

0 , 43 (18) = 19 44

För att avsluta denna artikel kommer vi att säga att icke-periodiska oändliga decimalbråk inte kan omvandlas till vanliga bråk.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Ett bråk kan omvandlas till ett heltal eller till en decimal. Ett oegentligt bråk, vars täljare är större än nämnaren och är delbart med den utan rest, omvandlas till ett heltal, till exempel: 20/5. Dividera 20 med 5 och få talet 4. Om bråket är korrekt, det vill säga täljaren är mindre än nämnaren, konvertera det sedan till ett tal (decimalbråk). Du kan få mer information om bråk från vår sektion -.

Sätt att omvandla ett bråk till ett tal

Det första sättet att omvandla ett bråk till ett tal är lämpligt för ett bråk som kan omvandlas till ett tal som är ett decimalbråk. Låt oss först ta reda på om det är möjligt att omvandla det givna bråket till ett decimaltal. För att göra detta, låt oss vara uppmärksamma på nämnaren (talet som är under linjen eller till höger om den lutande linjen). Om nämnaren kan faktoriseras (i vårt exempel - 2 och 5), vilket kan upprepas, så kan detta bråk faktiskt omvandlas till ett sista decimalbråk. Till exempel: 11/40 =11/(2∙2∙2∙5). Denna vanliga bråkdel kommer att omvandlas till ett tal (decimal) med ett ändligt antal decimaler. Men bråket 17/60 =17/(5∙2∙2∙3) kommer att omvandlas till ett tal med ett oändligt antal decimaler. Det vill säga, när man exakt beräknar ett numeriskt värde, är det ganska svårt att bestämma den slutliga decimalen, eftersom det finns ett oändligt antal sådana tecken. Därför kräver att lösa problem vanligtvis avrundning av värdet till hundradelar eller tusendelar. Därefter måste du multiplicera både täljaren och nämnaren med ett sådant tal så att nämnaren ger talen 10, 100, 1000, etc. Till exempel: 11/40 = (11∙25)/(40∙25) = 275/1000 = 0,275
Det andra sättet att omvandla ett bråk till ett tal är enklare: du måste dividera täljaren med nämnaren. För att tillämpa den här metoden utför vi helt enkelt division, och det resulterande talet kommer att vara den önskade decimalfraktionen. Till exempel måste du konvertera bråket 2/15 till ett tal. Dividera 2 med 15. Vi får 0,1333... - en oändlig bråkdel. Vi skriver det så här: 0,13(3). Om bråket är ett oegentligt bråk, det vill säga täljaren är större än nämnaren (till exempel 345/100), kommer omvandling av det till ett tal att resultera i ett heltalsvärde eller ett decimalbråk med en hel bråkdel. I vårt exempel blir det 3,45. För att konvertera ett blandat bråk som 3 2 / 7 till ett tal, måste du först konvertera det till ett oegentligt bråk: (3∙7+2)/7 = 23/7. Dela sedan 23 med 7 och få talet 3,2857143, som vi reducerar till 3,29.

Det enklaste sättet att omvandla ett bråk till ett tal är att använda en miniräknare eller annan datorenhet. Först anger vi täljaren för bråket, tryck sedan på knappen med "dela"-ikonen och skriv in nämnaren. Efter att ha tryckt på "="-tangenten får vi det önskade numret.

I den här artikeln ska vi titta på hur omvandla bråk till decimaler, och överväg också den omvända processen - omvandling av decimalbråk till vanliga bråk. Här kommer vi att beskriva reglerna för att konvertera bråk och ge detaljerade lösningar typiska exempel.

Sidnavigering.

Konvertera bråk till decimaler

Låt oss beteckna i vilken ordning vi kommer att behandla omvandla bråk till decimaler.

Först ska vi titta på hur man representerar bråk med nämnare 10, 100, 1 000, ... som decimaler. Detta förklaras av det faktum att decimalbråk i huvudsak är en kompakt form av att skriva vanliga bråk med nämnare 10, 100, ....

Efter det kommer vi att gå vidare och visa hur man skriver vilket vanligt bråk som helst (inte bara de med nämnare 10, 100, ...) som ett decimalbråk. När vanliga bråk behandlas på detta sätt erhålls både finita decimalbråk och oändliga periodiska decimalbråk.

Låt oss nu prata om allt i ordning.

Konvertera vanliga bråk med nämnare 10, 100, ... till decimaler

Vissa korrekta fraktioner kräver "preliminär förberedelse" innan de omvandlas till decimaler. Detta gäller för vanliga bråk, vars antal siffror i täljaren är mindre än antalet nollor i nämnaren. Till exempel måste det vanliga bråket 2/100 först förberedas för omvandling till ett decimalbråk, men bråket 9/10 behöver ingen förberedelse.

”Preliminär förberedelse” av riktiga ordinarie bråk för omvandling till decimalbråk består av att lägga till så många nollor till vänster i täljaren att det totala antalet siffror där blir lika med antalet nollor i nämnaren. Till exempel kommer en bråkdel efter att ha lagt till nollor se ut som .

När du har förberett en korrekt bråkdel kan du börja konvertera den till en decimal.

Låt oss ge regel för att omvandla ett rätt gemensamt bråk med nämnaren 10, eller 100, eller 1 000, ... till ett decimalbråk. Den består av tre steg:

skriv 0;
efter det sätter vi en decimalkomma;
Vi skriver ner talet från täljaren (tillsammans med tillagda nollor, om vi lagt till dem).

Låt oss överväga tillämpningen av denna regel när vi löser exempel.

Exempel.

Konvertera den riktiga bråkdelen 37/100 till en decimal.

Lösning.

Nämnaren innehåller talet 100, som har två nollor. Täljaren innehåller talet 37, dess notation har två siffror, därför behöver detta bråktal inte förberedas för konvertering till ett decimalbråk.

Nu skriver vi 0, sätter en decimalkomma och skriver talet 37 från täljaren, och vi får decimalbråket 0,37.

Svar:

0,37 .

För att stärka färdigheterna att omvandla riktiga vanliga bråk med täljare 10, 100, ... till decimalbråk, kommer vi att analysera lösningen till ett annat exempel.

Exempel.

Skriv det rätta bråket 107/10 000 000 som en decimal.

Lösning.

Antalet siffror i täljaren är 3 och antalet nollor i nämnaren är 7, så detta vanliga bråk måste förberedas för omvandling till en decimal. Vi behöver lägga till 7-3=4 nollor till vänster i täljaren så att det totala antalet siffror där blir lika med antalet nollor i nämnaren. Vi får.

Allt som återstår är att skapa den nödvändiga decimalbråken. För att göra detta skriver vi för det första 0, för det andra sätter vi ett kommatecken, för det tredje skriver vi talet från täljaren tillsammans med nollor 0000107, som ett resultat har vi ett decimaltal 0,0000107.

Svar:

0,0000107 .

Oegentliga bråk kräver ingen förberedelse vid konvertering till decimaler. Följande bör följas regler för omvandling av oegentliga bråk med nämnare 10, 100, ... till decimaler:

skriv ner numret från täljaren;
Vi använder en decimalkomma för att separera lika många siffror till höger som det finns nollor i nämnaren för det ursprungliga bråket.

Låt oss titta på tillämpningen av denna regel när vi löser ett exempel.

Exempel.

Konvertera det oegentliga bråket 56 888 038 009/100 000 till en decimal.

Lösning.

För det första skriver vi ner numret från täljaren 56888038009, och för det andra separerar vi de 5 siffrorna till höger med en decimalpunkt, eftersom nämnaren för det ursprungliga bråket har 5 nollor. Som ett resultat har vi decimalbråket 568880.38009.

Svar:

568 880,38009 .

För att omvandla ett blandat tal till ett decimalbråk, vars nämnare är talet 10, eller 100, eller 1 000, ..., kan du konvertera det blandade talet till ett oegentligt vanligt bråktal och sedan konvertera det resulterande talet. bråk till ett decimalbråk. Men du kan också använda följande regeln för att konvertera blandade tal med en bråkdelsnämnare på 10, eller 100, eller 1 000, ... till decimalbråk:

vid behov utför vi "preliminär förberedelse" av bråkdelen av det ursprungliga blandade numret genom att lägga till det nödvändiga antalet nollor till vänster i täljaren;
skriv ner heltalsdelen av det ursprungliga blandade talet;
sätt en decimalkomma;
Vi skriver ner talet från täljaren tillsammans med de tillagda nollorna.

Låt oss titta på ett exempel där vi slutför alla nödvändiga steg för att representera ett blandat tal som ett decimaltal.

Exempel.

Konvertera det blandade talet till en decimal.

Lösning.

Bråkdelens nämnare har 4 nollor, men täljaren innehåller talet 17, bestående av 2 siffror, därför måste vi lägga till två nollor till vänster i täljaren så att antalet siffror där blir lika med antalet nollor i nämnaren. Efter att ha gjort detta kommer täljaren att vara 0017.

Nu skriver vi ner heltalsdelen av det ursprungliga talet, det vill säga talet 23, sätt en decimalpunkt, varefter vi skriver talet från täljaren tillsammans med de tillagda nollorna, det vill säga 0017, och vi får den önskade decimalen bråkdel 23,0017.

Låt oss kortfattat skriva ner hela lösningen: .

Naturligtvis var det möjligt att först representera det blandade talet som ett oegentligt bråk och sedan omvandla det till ett decimalbråk. Med detta tillvägagångssätt ser lösningen ut så här: .

Svar:

23,0017 .

Konvertera bråk till finita och oändliga periodiska decimaler

Du kan konvertera inte bara vanliga bråk med nämnare 10, 100, ... till ett decimalbråk, utan även vanliga bråk med andra nämnare. Nu ska vi ta reda på hur detta går till.

I vissa fall reduceras det ursprungliga ordinarie bråket lätt till en av nämnarna 10, eller 100, eller 1 000, ... (se föra ett ordinärt bråk till en ny nämnare), varefter det inte är svårt att representera det resulterande bråket som ett decimaltal. Till exempel är det uppenbart att bråket 2/5 kan reduceras till ett bråk med nämnaren 10, för detta måste du multiplicera täljaren och nämnaren med 2, vilket ger bråket 4/10, vilket enligt regler som diskuterades i föregående stycke, konverteras enkelt till decimalbråket 0, 4 .

I andra fall måste du använda en annan metod för att omvandla ett vanligt bråk till en decimal, som vi nu går vidare med att överväga.

För att omvandla ett vanligt bråk till ett decimalbråk divideras bråkets täljare med nämnaren, täljaren ersätts först med ett lika stort decimalbråk med valfritt antal nollor efter decimalkomma (vi pratade om detta i avsnittet lika och ojämna decimalbråk). I det här fallet utförs division på samma sätt som division med en kolumn med naturliga tal, och i kvoten placeras en decimal när divisionen av hela delen av utdelningen slutar. Allt detta kommer att framgå av lösningarna till exemplen nedan.

Exempel.

Konvertera bråket 621/4 till en decimal.

Lösning.

Låt oss representera talet i täljaren 621 som ett decimaltal, och lägg till en decimalkomma och flera nollor efter den. Låt oss först lägga till 2 siffror 0, senare, om det behövs, kan vi alltid lägga till fler nollor. Så vi har 621,00.

Låt oss nu dividera talet 621 000 med 4 med en kolumn. De tre första stegen skiljer sig inte från att dividera naturliga tal med en kolumn, varefter vi kommer fram till följande bild:

Så här kommer vi till decimalkomma i utdelningen, och resten skiljer sig från noll. I det här fallet sätter vi en decimalkomma i kvoten och fortsätter att dividera i en kolumn, utan att vara uppmärksam på kommatecken:

Detta fullbordar divisionen, och som ett resultat får vi decimalbråket 155,25, vilket motsvarar det ursprungliga ordinarie bråket.

Svar:

155,25 .

För att konsolidera materialet, överväg lösningen till ett annat exempel.

Exempel.

Konvertera bråket 21/800 till en decimal.

Lösning.

För att omvandla denna vanliga bråkdel till en decimal dividerar vi med en kolumn med decimalbråket 21 000... med 800. Efter det första steget måste vi sätta en decimalkomma i kvoten och sedan fortsätta divisionen:

Slutligen fick vi resten 0, detta slutför omvandlingen av det vanliga bråket 21/400 till ett decimalbråk, och vi kom fram till decimalbråket 0,02625.

Svar:

0,02625 .

Det kan hända att när vi dividerar täljaren med nämnaren för ett vanligt bråk, får vi fortfarande inte en återstod av 0. I dessa fall kan delning fortsätta på obestämd tid. Men med början från ett visst steg börjar resten upprepas med jämna mellanrum, och siffrorna i kvoten upprepas också. Detta innebär att det ursprungliga bråket omvandlas till ett oändligt periodiskt decimalbråk. Låt oss visa detta med ett exempel.

Exempel.

Skriv bråket 19/44 som en decimal.

Lösning.

För att konvertera ett vanligt bråk till en decimal, gör division efter kolumn:

Det är redan klart att under delning började resterna 8 och 36 att upprepas, medan i kvoten siffrorna 1 och 8 upprepas. Således omvandlas det ursprungliga gemensamma bråket 19/44 till ett periodiskt decimalbråk 0,43181818...=0,43(18).

Svar:

0,43(18) .

För att avsluta denna punkt kommer vi att ta reda på vilka vanliga bråk som kan omvandlas till ändliga decimalbråk, och vilka som bara kan omvandlas till periodiska.

Låt oss ha ett irreducerbart vanligt bråktal framför oss (om bråket är reducerbart, så minskar vi först bråket), och vi måste ta reda på vilket decimalbråk det kan omvandlas till - ändligt eller periodiskt.

Det är tydligt att om ett vanligt bråk kan reduceras till en av nämnarna 10, 100, 1 000, ..., så kan det resulterande bråket enkelt omvandlas till ett sista decimalbråk enligt reglerna som diskuterades i föregående stycke. Men till nämnarna 10, 100, 1 000 osv. Alla vanliga bråk är inte givna. Endast bråk vars nämnare är minst ett av talen 10, 100, ... kan reduceras till sådana nämnare. Och vilka tal kan vara delare av 10, 100, ...? Siffrorna 10, 100, ... låter oss svara på denna fråga, och de är följande: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1 000 = 2 2 2 5 5 5, .... Av detta följer att divisorerna är 10, 100, 1 000 osv. Det kan bara finnas tal vars dekompositioner till primtalsfaktorer endast innehåller talen 2 och (eller) 5.

Nu kan vi göra allmän slutsats om att konvertera bråk till decimaler:

om vid nedbrytningen av nämnaren till primtalsfaktorer endast talen 2 och (eller) 5 är närvarande, kan detta bråk omvandlas till ett slutligt decimalbråk;
om det förutom tvåor och femmor finns andra primtal i nämnarens expansion, så omvandlas detta bråktal till ett oändligt decimalt periodiskt bråktal.

Exempel.

Utan att omvandla vanliga bråk till decimaler, säg mig vilka av bråken 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 som kan omvandlas till ett sista decimalbråk, och vilka som bara kan omvandlas till ett periodiskt bråk.

Lösning.

Nämnaren för bråket 47/20 faktoriseras till primtalsfaktorer som 20=2·2·5. I denna expansion finns det bara tvåor och femmor, så detta bråk kan reduceras till en av nämnarna 10, 100, 1 000, ... (i det här exemplet till nämnaren 100), kan därför omvandlas till en sista decimal. fraktion.

Nedbrytningen av nämnaren för fraktionen 7/12 i primtal har formen 12=2·2·3. Eftersom den innehåller en primtalsfaktor på 3, som skiljer sig från 2 och 5, kan detta bråk inte representeras som en ändlig decimal, utan kan omvandlas till en periodisk decimal.

Fraktion 21/56 – kontraktil, efter sammandragning tar den formen 3/8. Att faktorisera nämnaren till primtalsfaktorer innehåller tre faktorer lika med 2, därför kan det vanliga bråket 3/8, och därför det lika bråket 21/56, omvandlas till ett sista decimalbråk.

Slutligen är expansionen av nämnaren för bråket 31/17 17 själv, därför kan detta bråk inte omvandlas till ett ändligt decimalbråk, utan kan omvandlas till ett oändligt periodiskt bråktal.

Svar:

47/20 och 21/56 kan omvandlas till ett ändligt decimalbråk, men 7/12 och 31/17 kan endast omvandlas till ett periodiskt bråk.

Vanliga bråk omvandlas inte till oändliga icke-periodiska decimaler

Informationen i föregående stycke ger upphov till frågan: "Kan dividering av täljaren för ett bråk med nämnaren resultera i ett oändligt icke-periodiskt bråktal?"

Svar: nej. Vid omvandling av ett gemensamt bråktal kan resultatet vara antingen en ändlig decimalbråkdel eller en oändlig periodisk decimalbråkdel. Låt oss förklara varför det är så.

Från satsen om delbarhet med en rest är det tydligt att resten alltid är mindre än divisorn, det vill säga om vi dividerar något heltal med ett heltal q, så kan resten bara vara ett av talen 0, 1, 2 , ..., q−1. Det följer att efter att kolumnen har dividerat heltalsdelen av täljaren för ett vanligt bråk med nämnaren q, i högst q steg kommer en av följande två situationer att uppstå:

eller vi kommer att få en återstod av 0, detta kommer att avsluta divisionen, och vi kommer att få den sista decimalbråket;
eller så får vi en rest som redan har dykt upp tidigare, varefter resterna kommer att börja upprepas som i föregående exempel (eftersom när man dividerar lika tal med q erhålls lika rester, vilket följer av den redan nämnda delbarhetssatsen), detta kommer att resultera i ett oändligt periodiskt decimaltal.

Det kan inte finnas några andra alternativ, därför, när man konverterar ett vanligt bråk till ett decimalbråk, kan ett oändligt icke-periodiskt decimalbråk erhållas.

Av resonemanget i denna paragraf följer också att längden på perioden för ett decimalbråk alltid är mindre än värdet av nämnaren för motsvarande ordinarie bråk.

Konvertera decimaler till bråk

Låt oss nu ta reda på hur man omvandlar ett decimalbråk till ett vanligt bråktal. Låt oss börja med att konvertera slutliga decimalbråk till vanliga bråk. Efter detta kommer vi att överväga en metod för att invertera oändliga periodiska decimalbråk. Avslutningsvis, låt oss säga om omöjligheten att omvandla oändliga icke-periodiska decimalbråk till vanliga bråk.

Konvertera efterföljande decimaler till bråk

Att få ett bråktal som skrivs som en sista decimal är ganska enkelt. Regeln för att konvertera ett sista decimalbråk till ett vanligt bråktal består av tre steg:

först, skriv in det givna decimaltalet i täljaren, efter att tidigare ha kasserat decimaltecknet och alla nollor till vänster, om några;
för det andra, skriv en i nämnaren och lägg till lika många nollor till den som det finns siffror efter decimalkomma i det ursprungliga decimalbråket;
för det tredje, om nödvändigt, reducera den resulterande fraktionen.

Låt oss titta på lösningarna på exemplen.

Exempel.

Konvertera decimaltalet 3,025 till ett bråktal.

Lösning.

Om vi tar bort decimaltecknet från det ursprungliga decimaltalet får vi talet 3 025. Det finns inga nollor till vänster som vi skulle slänga. Så vi skriver 3 025 i täljaren för det önskade bråket.

Vi skriver in talet 1 i nämnaren och lägger till 3 nollor till höger om det, eftersom det i det ursprungliga decimalbråket finns 3 siffror efter decimalkomma.

Så vi fick den vanliga bråkdelen 3 025/1 000. Denna bråkdel kan minskas med 25, får vi .

Svar:

Exempel.

Konvertera decimalbråket 0,0017 till ett bråktal.

Lösning.

Utan ett decimalkomma ser det ursprungliga decimalbråket ut som 00017, om vi kasserar nollorna till vänster får vi talet 17, som är täljaren för det önskade ordinarie bråket.

Vi skriver en med fyra nollor i nämnaren, eftersom det ursprungliga decimalbråket har 4 siffror efter decimalkomma.

Som ett resultat har vi en vanlig bråkdel 17/10 000. Denna bråkdel är irreducerbar, och omvandlingen av en decimalbråkdel till en vanlig bråkdel är fullständig.

Svar:

När heltalsdelen av det ursprungliga slutliga decimalbråket inte är noll, kan det omedelbart omvandlas till ett blandat tal, utan att det vanliga bråket går förbi. Låt oss ge regel för att omvandla ett sista decimaltal till ett blandat tal:

talet före decimaltecknet måste skrivas som en heltalsdel av det önskade blandade talet;
i täljaren för bråkdelen måste du skriva talet som erhålls från bråkdelen av det ursprungliga decimalbråket efter att ha kasserat alla nollor till vänster;
i bråkdelens nämnare måste du skriva ner siffran 1, som lägger till lika många nollor till höger som det finns siffror efter decimalkomma i det ursprungliga decimalbråket;
vid behov, reducera bråkdelen av det resulterande blandade antalet.

Låt oss titta på ett exempel på att konvertera ett decimaltal till ett blandat tal.

Exempel.

Uttryck decimalbråket 152,06005 som ett blandat tal

Lösning.

siffra 152 med decimalkomma är heltalsdelen av det önskade blandade talet.

Efter decimalkomma finns 06005, efter att ha kastat nollan till vänster får vi talet 6 005 - detta är täljaren för bråkdelen.

Och i nämnaren för bråkdelen kommer vi att skriva 1 och lägga till 5 nollor, eftersom det finns 6 siffror efter decimalkomma, det vill säga nämnaren blir 100 000.

Så vi fick ett blandat nummer. Bråkdelen av detta antal kan minskas med 5, varefter vi har.

Detta slutför omvandlingen av det sista decimalbråket 152,06005 till ett blandat tal.

Svar:

3,75(0) till dess lika slutliga decimalbråk 3,75. Och hur ändliga decimalbråk omvandlas till vanliga bråk, diskuterade vi i föregående stycke: . Således, 3,75(0)=15/4.

Svar:

3,75(0)=15/4 .

Låt oss gå vidare till att konvertera oändliga periodiska decimalbråk med en period som skiljer sig från 0 till vanliga bråk. Denna översättning är baserad på det faktum att den periodiska delen av ett periodiskt decimalbråk kan betraktas som summan av termerna för en oändligt minskande geometrisk progression. Till exempel, 0,(73)=0,73+0,0073+0,000073+… eller 4,07(254)=4,07+ (0,00254+0,00000254+0,00000000254+…) .

Kom ihåg att summan av termerna av en oändligt minskande geometrisk progression med den första termen b 8/9 (0,0018+0,000018+0,00000018+…)= 43/100+18/9900 .

Efter att ha lagt till bråk med olika nämnare och reducerat det resulterande bråket kommer vi fram till det gemensamma bråket 19/44. Detta slutför omvandlingen av en periodisk bråkdel till en vanlig bråkdel.

Svar:

0,43(18)=19/44 .

Oändliga icke-periodiska decimaler omvandlas inte till bråk

Vi fick reda på ovan att vilket vanligt bråk som helst omvandlas antingen till ett sista decimalbråk eller till ett periodiskt decimalbråk. Det följer att inget oändligt icke-periodiskt decimalbråk kan omvandlas till ett gemensamt bråktal, eftersom det resulterande gemensamma bråket inte kan omvandlas tillbaka till detta oändliga icke-periodiska bråktal.

Bibliografi.

Matematik: lärobok för 5:e klass. Allmän utbildning institutioner / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21:a uppl., raderad. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
Matematik. 6:e klass: pedagogiskt. för allmänbildning institutioner / [N. Ya. Vilenkin och andra]. - 22:a uppl., rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
Algebra: lärobok för 8:e klass. Allmän utbildning institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigerad av S. A. Teljakovskij. - 16:e upplagan. - M.: Utbildning, 2008. - 271 sid. : sjuk. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematik (en manual för dem som går in på tekniska skolor): Proc. ersättning.- M.; Högre skola, 1984.-351 s., ill.

Total:0
I kontakt med 0
Google+ 0
OK 0
Facebook 0