Момент инерции тела относительно произвольной оси. Момент инерции тела относительно неподвижной оси

При изучении вращения твердых тел будем пользоваться понятием момента инерции.

Разобьем тело на такие малые части, что каждую из них можно считать материальной точкой. Пусть m i – масса i- й материальной точки, r i – ее расстояние до некоторой оси O .

Величина, равная произведению массы материальной точки на квадрат кратчайшего расстояния ее до данной оси, называется моментом инерции материальной точки относительно оси:

Сумма моментов инерции всех материальных точек тела называется моментом инерции тела относительно некоторой оси:

Момент инерции твердого тела зависит, как нетрудно видеть, от распределения масс относительно интересующей нас оси.

Если тело представляет собой обруч массы m , толщина которого мала по сравнению с радиусом R , то момент его инерции относительно оси, проходящей через центр и перпендикулярной к плоскости обруча, равен

Для тел более сложной формы суммирование выражения (5.2) производится методами интегрального исчисления согласно формуле

где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r
в этом случае есть функция положения точки с координатами x , y , z .

В качестве примера найдем момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр. Разобьем диск на кольцевые слои толщиной dr .

Все точки одного слоя будут находиться на одинаковом расстоянии от оси, равном r . Объем такого слоя равен:

,

где b – толщина диска. Поскольку диск однороден, плотность его во всех точках одинакова и

где dm – масса кольцевого слоя.

Теперь по формуле (5.4) находим момент инерции

,

где R – радиус диска;

.

Наконец, введя массу диска m равную произведению плотности на объем диска , получим

Моменты инерции некоторых однородных твердых тел относительно оси, проходящей через центр масс тела , приведены в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то можно найти момент инерции относительно любой другой параллельной оси. Для этого надо воспользоваться теоремой Гюйгенса – Штейнера :

момент инерции тела I относительно произвольной оси равен моменту его инерции I c относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс C тела, сложенному с произведением массы тела m на квадрат расстояния a между осями:

Найдем связь между моментами инерции тела относительно двух параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс. Найдем момент инерции тела относительно оси z параллельной оси z C . Ось z C проходит через центр масс тела. Разделим мысленно тело на частицы массой m i , где i – порядковый номер. Определим положение каждой частицы относительно осей z и z C . В соответствии с определением момента инерции , где – это кратчайшее расстояние до оси вращения (радиус окружности, которую описывает точка при своем движении вокруг оси вращения).

На рис. 5.3 видно, что , тогда момент инерции точки массой m i относительно оси z равен: , а для всего тела момент инерции относительно оси z равен сумме моментов инерции всех частиц тела относительно этой же оси:

(5.7)

По определению – момент инерции тела относительно оси z C , проходящей через центр масс тела; , тогда . Выражение можно преобразовать . Величина, равная определяет положение центра масс тела относительно оси z C . Из рисунка видно, что , т.к. центр масс лежит на оси z C .

Тогда получим

(5.8)

– момент инерции I z тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно параллельной ей оси z C , проходящей через центр масс, и величины ma 2 , где m – масса тела, a – расстояние между осями.

Пример. Момент инерции тонкого стержня (массы m и длины ) относительно оси, перпендикулярной стрежню и проходящей через его конец, равен.

Пусть имеется твердое тело. Выберем некоторую прямую ОО (рис.6.1), которую будем называть осью (прямая OO может быть и вне тела). Разобьем тело на элементарные участки (материальные точки) массами
, находящиеся от оси на расстоянии
соответственно.

Моментом инерции материальной точки относительно оси (OO) называется произведение массы материальной точки на квадрат ее расстояния до этой оси:

. (6.1)

Моментом инерции (МИ) тела относительно оси (OO) называется сумма произведений масс элементарных участков тела на квадрат их расстояния до оси:

. (6.2)

Как видно момент инерции тела есть величина аддитивная – момент инерции всего тела относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции отдельных его частей относительно той же оси.

В данном случае

.

Измеряется момент инерции в кгм 2 . Так как

, (6.3)

где  – плотность вещества,
– объемi - го участка, то

,

или, переходя к бесконечно малым элементам,

. (6.4)

Формулу (6.4) удобно использовать для вычисления МИ однородных тел правильной формы относительно оси симметрии, проходящей через центр масс тела. Например, для МИ цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс параллельно образующей, эта формула дает

,

где т - масса; R - радиус цилиндра.

Большую помощь при вычислении МИ тел относительно некоторых осей оказывает теорема Штейнера: МИ тела I относительно любой оси равен сумме МИ этого тела I c относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния d между указанными осями:

. (6.5)

Момент силы относительно оси

Пусть на тело действует сила F . Примем для простоты, что сила F лежит в плоскости, перпендикулярной некоторой прямой ОО (рис.6.2,а ), которую назовем осью (например, это ось вращения тела). На рис. 6.2,а А - точка приложения силы F ,
- точка пересечения оси с плоскостью, в которой лежит сила;r - радиус-вектор, определяющий положение точки А относительно точки О "; O "B = b - плечо силы. Плечом силы относительно оси называется наименьшее расстояние от оси до прямой, на которой лежит вектор силы F (длина перпендикуляра, проведенного из точки к этой прямой).

Моментом силы относительно оси называется векторная величина, определяемая равенством

. (6.6)

Модуль этого вектора . Иногда, поэтому говорят, что момент силы относительно оси – это произведение силы на ее плечо.

Если сила F направлена произвольно, то ее можно разложить на две составляющие; и(рис.6.2,б ), т.е.
+, где- составляющая, направленная параллельно оси ОО, алежит в плоскости, перпендикулярной оси. В этом случае под моментом силыF относительно оси OO понимают вектор

. (6.7)

В соответствии с выражениями (6.6) и (6.7) вектор М направлен вдоль оси (см. рис.6.2, а ,б ).

Момент импульса тела относительно оси вращения

Пусть тело вращается вокруг некоторой оси ОО с угловой скоростью
. Разобьем это тело мысленно на элементарные участки с массами
, которые находятся от оси соответственно на расстояниях
и вращаются по окружностям, имея линейные скорости
Известно, что величина равная
- есть импульсi -участка. Моментом импульса i -участка (материальной точки) относительно оси вращения называется вектор (точнее псевдовектор)

, (6.8)

где r i – радиус-вектор, определяющий положение i - участка относительно оси.

Моментом импульса всего тела относительно оси вращения называют вектор

(6.9)

модуль которого
.

В соответствии с выражениями (6.8) и (6.9) векторы
инаправлены по оси вращения (рис.6.3). Легко показать, что момент импульса тела L относительно оси вращения и момент инерции I этого тела относительно той же оси связаны соотношением

. (6.10)

Моментом инерции тела (системы) относительно данной оси Oz (или осевым моментом инерции) называется скалярная величина, разная сумме произведений масс всех точек тела (системы) на квадраты их расстояний от этой оси:

Из определения следует, что момент инерции тела (или системы) относительно любой оси является величиной положительной и не равной нулю.

В дальнейшем будет показано, что осевой момент инерции играет при вращательном движении тела такую же роль, какую масса при поступательном, т. е. что осевой момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении.

Согласно формуле (2) момент инерции тела равен сумме моментов инерции всех его частей относительно той же оси. Для одной материальной точки, находящейся на расстоянии h от оси, . Единицей измерения момента инерции в СИ будет 1 кг (в системе МКГСС - ).

Для вычисления осевых моментов инерции можно расстояния точек от осей выражать через координаты этих точек (например, квадрат расстояния от оси Ох будет и т. д.).

Тогда моменты инерции относительно осей будут определяться формулами:

Часто в ходе расчетов пользуются понятием радиуса инерции. Радиусом инерции тела относительно оси называется линейная величина определяемая равенством

где М - масса тела. Из определения следует, что радиус инерцни геометрически равен расстоянию от оси той точки, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего тела.

Зная радиус инерции, можно по формуле (4) найти момент инерции тела и наоборот.

Формулы (2) и (3) справедливы как для твердого тела, так и для любой системы материальных точек. В случае сплошного тела, разбивая его на элементарные части, найдем, что в пределе сумма, стоящая в равенстве (2), обратится в интеграл. В результате, учитывая, что где - плотность, а V - объем, получим

Интеграл здесь распространяется на весь объем V тела, а плотность и расстояние h зависят от координат точек тела. Аналогично формулы (3) для сплошных тел примут вид

Формулами (5) и (5) удобно пользоваться при вычислении моментов инерции однородных тел правильной формы. При этом плотность будет постоянной и выйдет из-под знака интеграла.

Найдем моменты инерции некоторых однородных тел.

1. Тонкий однородный стержень длиной l и массой М. Вычислим его момент инерции относительно оси перпендикулярной стержню и проходящей через его конец А (рис. 275). Направим вдоль АВ координатную ось Тогда для любого элементарного отрезка длины d величина , а масса , где - масса единицы длины стержня. В результате формула (5) дает

Заменяя здесь его значением, найдем окончательно

2. Тонкое круглое однородное кольцо радиусом R и массой М. Найдем его момент инерции относительно оси перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр С (рис. 276).

Так как все точки кольца находятся от оси на расстоянии то формула (2) дает

Следовательно, для кольца

Очевидно, такой же результат получится для момента инерции тонкой цилиндрической оболочки массой М и радиусом R относительно ее оси.

3. Круглая однородная пластина или цилиндр радиусом R и массой М. Вычислим момент инерции круглой пластины относительно оси перпендикулярной пластине и проходящей через ее центр (см. рис. 276). Для этого выделим элементарное кольцо радиусом и шириной (рис. 277, а). Площадь этого кольца , а масса где - масса единицы площади пластины. Тогда по формуле (7) для выделенного элементарного кольца будет а для всей пластину

Как уже отмечалось выше, к числу простых плоских фигур относятся три фигуры: прямоугольник, треугольник и круг. Простыми эти фигуры считаются потому, что положение центра тяжести этих фигур заранее известно. Все остальные фигуры могут быть составлены из этих простых фигур и считаются сложными. Вычислим осевые моменты инерции простых фигур относительно их центральных осей.

1. Прямоугольник. Рассмотрим сечение прямоугольного профиля размерами(Рис.4.6). Выделим элемент сечения двумя бесконечно близко расположенными сечениями на расстоянииот центральной оси
.

Вычислим момент инерции прямоугольного сечения относительно оси:

. (4.10)

Момент инерции прямоугольного сечения относительно оси
найдем аналогично. Здесь вывод не приводится.

. (4.11)

и
равен нулю, так как оси
и
являются осями симметрии, а, следовательно, главными осями.

2. Равнобедренный треугольник. Рассмотрим сечение треугольного профиля размерами
(Рис.4.7). Выделим элемент сечения двумя бесконечно близко расположенными сечениями на расстоянииот центральной оси
. Центр тяжести треугольника находится на расстояни
от основания. Треугольник принимается равнобедренным, так что ось
сечения является осью симметрии.

Вычислим момент инерции сечения относительно оси
:

. (4.12)

Величину определим из подобия треугольников:

; откуда
.

Подставляя выражения для в (4.12) и интегрируя, получим:

. (4.13)

Момент инерции для равнобедренного треугольника относительно оси
находится аналогичным образом и равен:

(4.14)

Центробежный момент инерции относительно осей
и
равен нулю, так как ось
является осью симметрии сечения.

3. Круг . Рассмотрим сечение круглого профиля диаметром(Рис.4.8). Выделим элемент сечения двумя бесконечно близко расположенными концентрическими окружностями, расположенными на расстоянииот центра тяжести круга.

Вычислим полярный момент инерции круга, воспользовавшись выражением (4.5):

. (4.15)

Используя условие инвариантности для суммы осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей (4.6) и учитывая, что для круга в силу симметрии
, определяем величину осевых моментов инерции:

. (4.16)

. (4.17)

Центробежный момент инерции относительно осей иравен нулю, так как оси
и
являются осями симметрии сечения.

4.4. Зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей

При вычислении моментов инерции для сложных фигур следует запомнить одно правило: значения для моментов инерции можно складывать, если они вычислены относительно одной и той же оси . Для сложных фигур чаще всего центры тяжести отдельных простых фигур и всей фигуры не совпадают. Не совпадают, соответственно, и центральные оси для отдельных простых фигур и всей фигуры. В связи с этим существуют приемы приведения моментов инерции к одной оси, например, центральной оси всей фигуры. Это может быть связано с параллельным переносом осей инерции и дополнительными вычислениями.

Рассмотрим определение моментов инерции относительно параллельных осей инерции, изображенных на рис.4.9.

Пусть осевые и центробежный моменты инерции изображенной на рис.4.9. фигуры относительно произвольно выбранных осей
и
с началом координат в точкеизвестны. Требуется вычислить осевые и центробежный моменты инерции фигуры относительно произвольных параллельных осей
и
с началом координат в точке. Оси
и
проведены на расстоянияхисоответственно от осей
и
.

Воспользуемся выражениями для осевых моментов инерции (4.4) и для центробежного момента инерции (4.7). Подставим в эти выражения вместо текущих координат
и
элемента с бесконечно малой площадью координаты
и
в новой системе координат. Получим:

Анализируя полученные выражения, приходим к выводу, что при вычислении моментов инерции относительно параллельных осей к моментам инерции, вычисленных относительно исходных осей инерции, следует призводить добавки в виде дополнительных членов, которые могут оказаться намного больше значений для моментов инерции относительно исходных осей. Поэтому пренебрегать этими дополнительными членами ни в коем случае нельзя.

Рассмотренный случай представляет собой самый общий случай параллельного переноса осей, когда в качестве исходных были взяты произвольные оси инерции. В большинстве расчетов встречаются частные случаи определения моментов инерции.

Первый частный случай . Исходные оси являются центральными осями инерции фигуры. Тогда, используя основное свойство для статического момента площади, можно исключить из уравнений (4.18)(4.20) члены уравнений, в которые входит статический момент площади фигуры. В результате получим:

. (4.21)

. (4.22)

. (4.23)

Здесь оси
и
центральные оси инерции.

Второй частный случай . Исходные оси являются главными осями инерции. Тогда, учитывая, что относительно главных осей инерции центробежный момент инерции равен нулю, получим:

. (4.24)

. (4.25)

. (4.26)

Здесь оси
и
главные оси инерции.

Воспользуемся полученными выражениями и рассмотрим несколько примеров вычисления моментов инерции для плоских фигур.

Пример 4.2. Определить осевые моменты инерции фигуры, приведенной на рис. 4.10, относительно центральных осейи.

В предыдущем примере 4.1 для изображенной на рис.4.10 фигуры было определено положение центра тяжести С. Координата центра тяжести откладывалась от оси и составила
. Вычислим расстоянияимежду осямиии осямии. Эти расстояния составили соответственно
и
. Так как исходные осииявляются центральными осями для простых фигур в виде прямоугольников, для определения момента инерции фигуры относительно осивоспользуемся выводами для первого частного случая, в частности, формулой (4.21).

Момент инерции относительно оси получим путем сложения моментов инерции простых фигур относительно этой же оси, так как осьявляется общей центральной осью для простых фигур и для всей фигуры.

см 4 .

Центробежный момент инерции относительно осей иравен нулю, так как ось инерцииявляется главной осью (осью симметрии фигуры).

Пример 4.3. Чему равен размер b (в см) фигуры, изображенной на рис. 4.11, если момент инерции фигуры относительно оси равен 1000 см 4 ?

Выразим момент инерции относительно оси через неизвестный размер сечения, воспользовавшись формулой (4.21), учитывая, что расстояние между осямииравно 7см:

см 4 . (а)

Решая выражение (а) относительно размера сечения , получим:

см.

Пример.4.4. Какая из фигур, изображенных на рис.4.12 , имеет больший момент инерции относительно оси , если обе фигуры имеют одинаковую площадь
см 2 ?

1. Выразим площади фигур через их размеры и определим:

а) диаметр сечения для круглого сечения:

см 2 ; Откуда
см.

б) размер стороны квадрата:

; Откуда
см.

2. Вычисляем момент инерции для круглого сечения:

см 4 .

3. Вычисляем момент инерции для сечения квадратной формы:

см 4 .

Сравнивая полученные результаты, приходим к выводу, что наибольшим моментом инерции будет обладать сечение квадратной формы по сравнению с сечение круглой формы при одинаковой у них площади.

Пример 4.5. Определить полярный момент инерции (в см 4) сечения прямоугольной формы относительно его центра тяжести, если ширина сечения
см, высота сечения
см.

1. Найдем моменты инерции сечения относительно горизонтальной и вертикальнойцентральных осей инерции:

см 4 ;
см 4 .

2. Определяем полярный момент инерции сечения как сумму осевых моментов инерции:

см 4 .

Пример 4.6. Определить момент инерции фигуры треугольной формы изображенной на рис.4.13, относительно центральной оси , если момент инерции фигуры относительно осиравен 2400 см 4 .

Момент инерции сечения треугольной формы относительно главной оси инерции будет меньше по сравнению с моментом инерции относительно осина величину
. Поэтому при
см момент инерции сечения относительно осинайдем следующим образом.

Моменты инерции тела относительно параллельных осей. Теорема Гюйгенса.

Моменты инерции данного тела относи­тельно разных осей будут, вообще говоря, разными. Покажем, как зная момент инерции относительно какой-нибудь одной оси, проведен­ной в теле, найти момент инерции от­носительно любой другой оси, ей па­раллельной.

Рис.35

Проведем через центр масс С тела произвольные оси Cx"y"z", а через лю­бую точку О на оси Сх" - оси Oxyz, такие, что Оy ½½Сy", Oz ½½Cz" (рис. 35). Расстояние между осями Cz" и Оz обозначим черезd. Тогда

но, как видно из рисунка, для любой точки тела или, а. Подставляя эти значения , в выражение для и вынося общие множители d 2 и 2d за скобки, получим

В правой части равенства первая сумма равна I cz " , а вторая - массе тела М. Найдем значение третьей суммы. На основании фор­мул для координат центра масс.Так как в на­шем случае точка С является началом координат, то x C = 0 и, сле­довательно, . Окончательно получаем:

Формула выражает следующую теорему Гюйгенса :

Момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции относительно оси, ей параллельной, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы всего тела на квадрат расстояния между осями.

Найдем момент инерции тела относительно оси u , проходящей через некоторую точку О (рис. 36).

Рис.36

По определению момент инерции.

Поместим в точку О начало координатных осей x, y, z . Из прямоугольного треугольника ОАМ i следует, где. И так как радиус-вектор точки, то, проектируя это равенство на ось u , получим (, - углы между осью u и осями x, y, z ).

Рис. 14.3.

Как известно из тригономет­рии

И, группируя подобные члены, содержащие косинусы одинаковых углов, получим:

Но - расстояния от точки М i до осей x, y, z, соответственно. Поэтому

где I x , I y , I z – моменты инерции тела относительно осей координат; I xy , J yz , J xz - центробежные моменты инерции относительно осей отмеченных в индексах.

Если два центробежных момента инерции, оба содержащих в индексах названия какой-нибудь одной оси, равны нулю, то эта ось называется главной осью инерции . Например, если J yz = 0 и J xz = 0, то ось z – главная ось инерции.

Так как все моменты инерции зависят от того, где находится точка О , от выбора начала координат, то обязательно надо указать для какой точки определены эти моменты инерции. Если начало координат взято в центре масс С , то все главные оси инерции называются главными центральными осями инерции.

Если в данной точке координатные оси являются главными осями инерции (центробежные моменты инерции относительно их равны нулю), то формула (2) упрощается:

Иногда по некоторым признакам нетрудно найти главные оси инерции тела.

1. Если у однородного тела имеется ось симметрии, то эта ось является главной центральной осью инерции.

Действительно. Направим координатную ось z по оси симметрии. Тогда для каждой точки тела с координатами (x i , y i , z i ) можно отыскать точку с координатами (-x i , -y i , -z i ) и поэтому центробежные моменты инерции и. Значит ось z – главная ось инерции, и центральная ось, т.к. центр масс, как известно, находится на оси симметрии. Причём, эта ось будет главной для любой точки расположенной на оси симметрии.

2. Если у однородного тела имеется плоскость симметрии, то любая ось перпендикулярная ей будет главной осью инерции для всех точек этой плоскости.

Направим ось z перпендикулярно плоскости симметрии из любой её точки О , назначив там начало координат. Тогда для каждой точки тела с координатами (x i , y i , z i ) можно найти симметричную ей точку с координатами (x i , y i , - z i ). Поэтому центробежные моменты инерции I xz и I yz будут равны нулю. Значит ось z – главная ось инерции.

Пример 9. Определим момент инерции диска относительно оси u , расположенной под углом к оси симметрии диска z (рис.37).

Рис.37

Оси x, y и z – главные центральные оси инерции, т.к. они являются осями симметрии.

Тогда, где - угол между осями u и z ; угол - угол между осями u и y , равный; угол - угол между осями u и x , равный 90°. Поэтому

Дифференциальные уравнения движения системы.

Рас­смотрим систему, состоящую из п материальных точек. Выделим какую-нибудь точку системы с массой. Обозначим равнодейству­ющую всех приложенных к точке внешних сил (и активных и реак­ций связей) через , а равнодействующую всех внутренних сил - через . Если точка имеет при этом ускорение , то по основному закону динамики

Аналогичный результат получим для любой точки. Следовательно, для всей системы будет:

Эти уравнения, из которых можно определить закон движения каждой точки системы, называются дифференциальными уравнениями движения системы в векторной форме. Уравнения являются дифференциальными, так как; входящие в правые части уравнений силы будут в общем случае зависеть от времени, координат точек системы и их скоростей.

Проектируя на какие-нибудь координатные оси, мы можем получить дифференциальные уравнения движения системы в проекциях на эти оси.

Полное решение основной задачи динамики для системы состояло бы в том, чтобы, зная заданные силы, проинтегрировать соответ­ствующие дифференциальные уравнения и определить таким путем закон движения каждой из точек системы в отдельности.

Однако такой путь решения обычно не применяется по двум причинам. Во-первых, этот путь слишком сложен и почти всегда связан с непреодолимыми математическими трудностями. Во-вторых, в большинстве случаев при решении задач механики бывает доста­точно знать некоторые суммарные характеристики движения системы в целом, а не движение каждой из ее точек в отдельности. Эти суммарные характеристики определяются с помощью общих теорем динамики системы, к изучению которых мы и перейдем.

Основная роль уравнений состоит в том, что они, или след­ствия из них, являются исходными для получения соответствующих общих теорем.

Общие теоремы динамики механической системы: теоремы о движении центра масс механической системы и об изменении количества движения, теоремы об изменении кинетического момента и кинетической энергии, -являются следствием основного уравнения динамики. Данные теоремы рассматривают не движение отдельных точек и тел, входящих в механическую систему, а некоторые интегральные характеристики, такие как движение центра масс механической системы, ее количество движения, кинетический момент и кинетическую энергию. В результате из рассмотрения исключаются неизвестные внутренние силы, а в ряде случаев и реакции связей, что существенно упрощает решения задачи.