Come moltiplicare i numeri decimali. Come moltiplicare i decimali

Moltiplicazione decimale si svolge in tre fasi.

I decimali vengono scritti in una colonna e moltiplicati come numeri ordinari.

Contiamo il numero di cifre decimali per il primo decimale e il secondo. Aggiungiamo il loro numero.

Nel risultato ottenuto, contiamo da destra a sinistra tante cifre quante sono risultate nel paragrafo precedente e mettiamo una virgola.

Come moltiplicare i decimali

Scriviamo le frazioni decimali in una colonna e le moltiplichiamo come numeri naturali, ignorando le virgole. Cioè, consideriamo 3,11 come 311 e 0,01 come 1.

Ricevuto 311 . Ora contiamo il numero di segni (cifre) dopo il punto decimale per entrambe le frazioni. Il primo decimale ha due cifre e il secondo ne ha due. Numero totale di cifre dopo le virgole:

Contiamo da destra a sinistra 4 caratteri (numeri) del numero risultante. Ci sono meno cifre nel risultato di quelle che devi separare con una virgola. In tal caso, hai bisogno sinistra assegnare il numero mancante di zeri.

Ci manca una cifra, quindi attribuiamo uno zero a sinistra.

Quando si moltiplica qualsiasi frazione decimale il 10; cento; 1000 ecc. il punto decimale si sposta a destra di tante cifre quanti sono gli zeri dopo l'uno.

70.1 10 = 701

0,023 100 = 2,3

5.6 1000 = 5600

Per moltiplicare un decimale per 0,1; 0,01; 0.001, ecc., è necessario spostare la virgola a sinistra in questa frazione di tante cifre quanti sono gli zeri davanti all'unità.

Contiamo zero interi!

12 0,1 = 1,2
0,05 0,1 = 0,005
1,256 0,01 = 0,012 56

Per capire come moltiplicare i decimali, diamo un'occhiata a esempi specifici.

Regola della moltiplicazione decimale

1) Moltiplichiamo ignorando la virgola.

2) Di conseguenza, separiamo tante cifre dopo la virgola quante sono le virgole in entrambi i fattori insieme.

Trova il prodotto dei decimali:

Per moltiplicare i decimali, moltiplichiamo senza prestare attenzione alle virgole. Cioè, non moltiplichiamo 6,8 e 3,4, ma 68 e 34. Di conseguenza, separiamo tante cifre dopo la virgola quante sono le virgole in entrambi i fattori insieme. Nel primo moltiplicatore c'è una cifra dopo la virgola, nel secondo ce n'è anche una. In totale, separiamo due cifre dopo la virgola, ottenendo così la risposta finale: 6.8∙3.4=23.12.

Moltiplicare i decimali senza tenere conto della virgola. Cioè, infatti, invece di moltiplicare 36,85 per 1,14, moltiplichiamo 3685 per 14. Otteniamo 51590. Ora, in questo risultato, dobbiamo separare tante cifre con una virgola quante sono in entrambi i fattori insieme. Il primo numero ha due cifre dopo la virgola, il secondo ne ha una. In totale, separiamo tre cifre con una virgola. Poiché c'è uno zero alla fine della voce dopo la virgola, non lo scriviamo in risposta: 36.85∙1.4=51.59.

Per moltiplicare questi decimali, moltiplichiamo i numeri senza prestare attenzione alle virgole. Cioè, moltiplichiamo i numeri naturali 2315 e 7. Otteniamo 16205. In questo numero, quattro cifre devono essere separate dopo il punto decimale, tante quante sono in entrambi i fattori insieme (due in ciascuno). Risposta finale: 23.15∙0.07=1.6205.

La moltiplicazione di una frazione decimale per un numero naturale avviene allo stesso modo. Moltiplichiamo i numeri senza prestare attenzione alla virgola, cioè moltiplichiamo 75 per 16. Nel risultato ottenuto, dopo la virgola dovrebbero esserci tanti segni quanti sono in entrambi i fattori insieme: uno. Quindi, 75∙1.6=120.0=120.

Iniziamo la moltiplicazione delle frazioni decimali moltiplicando i numeri naturali, poiché non prestiamo attenzione alle virgole. Dopodiché, separiamo tante cifre dopo la virgola quante sono in entrambi i fattori insieme. Il primo numero ha due cifre decimali e il secondo ha due cifre decimali. In totale, di conseguenza, dovrebbero esserci quattro cifre dopo la virgola: 4,72∙5,04=23,7888.

E un altro paio di esempi per moltiplicare le frazioni decimali:

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Moltiplicazione di frazioni decimali, regole, esempi, soluzioni.

Passiamo allo studio della prossima azione con le frazioni decimali, ora considereremo in modo completo moltiplicando i decimali. Per prima cosa, discutiamo i principi generali della moltiplicazione delle frazioni decimali. Successivamente, passiamo alla moltiplicazione di una frazione decimale per una frazione decimale, mostriamo come viene eseguita la moltiplicazione delle frazioni decimali per una colonna, consideriamo le soluzioni degli esempi. Successivamente, analizzeremo la moltiplicazione delle frazioni decimali per numeri naturali, in particolare per 10, 100, ecc. In conclusione, parliamo di moltiplicare le frazioni decimali per frazioni ordinarie e numeri misti.

Diciamo subito che in questo articolo parleremo solo di moltiplicare le frazioni decimali positive (vedi numeri positivi e negativi). I restanti casi sono analizzati negli articoli Moltiplicazione dei numeri razionali e moltiplicazione di numeri reali.

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Principi generali per la moltiplicazione dei decimali

Discutiamo i principi generali che dovrebbero essere seguiti quando si esegue la moltiplicazione con le frazioni decimali.

Poiché i decimali finali e le frazioni periodiche infinite sono la forma decimale delle frazioni comuni, moltiplicare tali decimali significa essenzialmente moltiplicare le frazioni comuni. In altre parole, moltiplicazione dei decimali finali, moltiplicazione delle frazioni decimali finali e periodiche, così come moltiplicando i decimali periodici si riduce a moltiplicare le frazioni ordinarie dopo aver convertito le frazioni decimali in quelle ordinarie.

Consideriamo esempi dell'applicazione del principio espresso della moltiplicazione delle frazioni decimali.

Eseguire la moltiplicazione dei decimali 1,5 e 0,75.

Sostituiamo le frazioni decimali moltiplicate con le corrispondenti frazioni ordinarie. Dato che 1.5=15/10 e 0.75=75/100, quindi. È possibile ridurre la frazione, quindi selezionare l'intera parte dalla frazione impropria, ed è più conveniente scrivere la frazione ordinaria risultante 1 125/1 000 come frazione decimale 1.125.

Va notato che è conveniente moltiplicare le frazioni decimali finali in una colonna, parleremo di questo metodo di moltiplicazione delle frazioni decimali nel prossimo paragrafo.

Considera un esempio di moltiplicazione di frazioni decimali periodiche.

Calcola il prodotto dei decimali periodici 0,(3) e 2,(36) .

Convertiamo le frazioni decimali periodiche in frazioni ordinarie:

Quindi. Puoi convertire la frazione ordinaria risultante in una frazione decimale:

Se ci sono infinite frazioni non periodiche tra le frazioni decimali moltiplicate, allora tutte le frazioni moltiplicate, comprese quelle finite e periodiche, dovrebbero essere arrotondate a una determinata cifra (vedi numeri di arrotondamento), quindi eseguire la moltiplicazione delle ultime frazioni decimali ottenute dopo l'arrotondamento.

Moltiplica i decimali 5.382… e 0.2.

Innanzitutto, arrotondiamo una frazione decimale non periodica infinita, l'arrotondamento può essere effettuato ai centesimi, abbiamo 5.382 ... ≈5.38. La frazione decimale finale 0,2 non deve essere arrotondata ai centesimi. Quindi, 5,382… 0,2≈5,38 0,2. Resta da calcolare il prodotto delle frazioni decimali finali: 5,38 0,2 \u003d 538 / 100 2 / 10 \u003d 1.076/1.000 \u003d 1,076.

Moltiplicazione delle frazioni decimali per una colonna

La moltiplicazione di frazioni decimali finite può essere eseguita per una colonna, in modo simile alla moltiplicazione per una colonna di numeri naturali.

Formuliamo regola di moltiplicazione per le frazioni decimali. Per moltiplicare le frazioni decimali per una colonna, è necessario:

ignorando le virgole, esegui la moltiplicazione secondo tutte le regole della moltiplicazione per una colonna di numeri naturali;
nel numero risultante, separare tante cifre a destra con un punto decimale quante sono le cifre decimali in entrambi i fattori insieme e, se non ci sono abbastanza cifre nel prodotto, è necessario aggiungere il numero di zeri richiesto a sinistra.

Considera esempi di moltiplicazione di frazioni decimali per una colonna.

Moltiplica i decimali 63,37 e 0,12.

Eseguiamo la moltiplicazione delle frazioni decimali per una colonna. Per prima cosa moltiplichiamo i numeri, ignorando le virgole:

Resta da inserire una virgola nel prodotto risultante. Deve separare 4 cifre a destra, poiché ci sono quattro cifre decimali nei fattori (due nella frazione 3,37 e due nella frazione 0,12). Ci sono abbastanza numeri lì, quindi non devi aggiungere zeri a sinistra. Concludiamo il record:

Di conseguenza, abbiamo 3,37 0,12 = 7,6044.

Calcola il prodotto dei decimali 3.2601 e 0.0254 .

Dopo aver eseguito la moltiplicazione per una colonna senza tenere conto delle virgole, otteniamo la seguente immagine:

Ora nel prodotto devi separare 8 cifre a destra con una virgola, poiché il numero totale di cifre decimali delle frazioni moltiplicate è otto. Ma ci sono solo 7 cifre nel prodotto, quindi è necessario assegnare tanti zeri a sinistra in modo che 8 cifre possano essere separate da una virgola. Nel nostro caso, dobbiamo assegnare due zeri:

Questo completa la moltiplicazione delle frazioni decimali per una colonna.

Moltiplicando i decimali per 0,1, 0,01, ecc.

Molto spesso devi moltiplicare i decimali per 0,1, 0,01 e così via. Pertanto, è consigliabile formulare una regola per moltiplicare una frazione decimale per questi numeri, che deriva dai principi di moltiplicazione delle frazioni decimali discussi sopra.

Così, moltiplicando un dato decimale per 0,1, 0,01, 0,001 e così via dà una frazione che si ottiene dall'originale, se nella sua voce la virgola viene spostata a sinistra rispettivamente di 1, 2, 3 e così via, e se non ci sono abbastanza cifre per spostare la virgola, allora è necessario per aggiungere il numero di zeri richiesto a sinistra.

Ad esempio, per moltiplicare la frazione decimale 54,34 per 0,1, è necessario spostare il punto decimale a sinistra di 1 cifra nella frazione 54,34 e ottenere la frazione 5,434, ovvero 54,34 0,1 \u003d 5,434. Facciamo un altro esempio. Moltiplica la frazione decimale 9,3 per 0,0001. Per fare ciò, dobbiamo spostare la virgola di 4 cifre a sinistra nella frazione decimale moltiplicata 9.3, ma il record della frazione 9.3 non contiene un tale numero di caratteri. Pertanto, dobbiamo aggiungere tanti zeri nel record della frazione 9,3 a sinistra in modo da poter trasferire facilmente la virgola a 4 cifre, abbiamo 9,3 0,0001 \u003d 0,00093.

Si noti che la regola annunciata per moltiplicare una frazione decimale per 0,1, 0,01, ... è valida anche per infinite frazioni decimali. Ad esempio, 0,(18) 0,01=0,00(18) o 93,938… 0,1=9,3938… .

Moltiplicare un decimale per un numero naturale

Al suo interno moltiplicando i decimali per i numeri naturali non è diverso dal moltiplicare un decimale per un decimale.

È più conveniente moltiplicare una frazione decimale finita per un numero naturale per una colonna, mentre dovresti seguire le regole per la moltiplicazione per una colonna di frazioni decimali discusse in uno dei paragrafi precedenti.

Calcola il prodotto 15 2.27 .

Eseguiamo la moltiplicazione di un numero naturale per una frazione decimale in una colonna:

Quando si moltiplica una frazione decimale periodica per un numero naturale, la frazione periodica deve essere sostituita con una frazione ordinaria.

Moltiplica la frazione decimale 0,(42) per il numero naturale 22.

Innanzitutto, convertiamo il decimale periodico in una frazione comune:

Ora facciamo la moltiplicazione: . Questo risultato decimale è 9,(3) .

E quando moltiplichi una frazione decimale non periodica infinita per un numero naturale, devi prima arrotondare.

Fai la moltiplicazione 4 2.145….

Arrotondando per eccesso ai centesimi la frazione decimale infinita originale, arriveremo alla moltiplicazione di un numero naturale e di una frazione decimale finale. Abbiamo 4 2.145…≈4 2.15=8.60.

Moltiplicando un decimale per 10, 100, ...

Abbastanza spesso devi moltiplicare le frazioni decimali per 10, 100, ... Pertanto, è consigliabile soffermarsi su questi casi in dettaglio.

Diamo voce regola per moltiplicare un decimale per 10, 100, 1.000, ecc. Quando si moltiplica una frazione decimale per 10, 100, ... nella sua voce, è necessario spostare la virgola a destra rispettivamente di 1, 2, 3, ... cifre, e scartare gli zeri extra a sinistra; se non ci sono abbastanza cifre nel record della frazione moltiplicata per trasferire la virgola, è necessario aggiungere il numero di zeri richiesto a destra.

Moltiplica il decimale 0,0783 per 100.

Trasferiamo la frazione 0,0783 di due cifre a destra nel record e otteniamo 007,83. Lasciando cadere due zeri a sinistra, otteniamo la frazione decimale 7,38. Quindi, 0,0783 100=7,83.

Moltiplica la frazione decimale 0,02 per 10.000.

Per moltiplicare 0,02 per 10.000 dobbiamo spostare la virgola di 4 cifre a destra. Ovviamente nel record della frazione 0.02 non ci sono cifre sufficienti per trasferire la virgola a 4 cifre, quindi aggiungeremo qualche zero a destra in modo che la virgola possa essere trasferita. Nel nostro esempio basta aggiungere tre zeri, abbiamo 0,02000. Dopo aver spostato la virgola, otteniamo la voce 00200.0 . Eliminando gli zeri a sinistra, abbiamo il numero 200.0, che è uguale al numero naturale 200, è il risultato della moltiplicazione della frazione decimale 0.02 per 10.000.

La regola indicata è valida anche per moltiplicare infinite frazioni decimali per 10, 100, ... Quando si moltiplicano frazioni decimali periodiche, è necessario prestare attenzione al periodo della frazione che è il risultato della moltiplicazione.

Moltiplica il decimale periodico 5.32(672) per 1000.

Prima della moltiplicazione, scriviamo la frazione decimale periodica come 5.32672672672 ..., questo ci permetterà di evitare errori. Ora spostiamo la virgola a destra di 3 cifre, abbiamo 5 326.726726 ... . Quindi, dopo la moltiplicazione, si ottiene una frazione decimale periodica 5 326, (726) .

5.32(672) 1000=5326,(726) .

Quando si moltiplicano infinite frazioni non periodiche per 10, 100, ..., è necessario prima arrotondare la frazione infinita a una determinata cifra, quindi eseguire la moltiplicazione.

Moltiplicando un decimale per una frazione comune o un numero misto

Per moltiplicare una frazione decimale finita o una frazione decimale periodica infinita per una frazione ordinaria o un numero misto, è necessario rappresentare la frazione decimale come frazione ordinaria, quindi eseguire la moltiplicazione.

Moltiplica la frazione decimale 0,4 per il numero misto.

Da 0.4=4/10=2/5 e poi. Il numero risultante può essere scritto come frazione decimale periodica 1.5(3) .

Quando si moltiplica una frazione decimale non periodica infinita per una frazione comune o un numero misto, la frazione comune o il numero misto deve essere sostituito da una frazione decimale, quindi arrotondare le frazioni moltiplicate e completare il calcolo.

Dal 2/3 \u003d 0,6666 ..., quindi. Dopo aver arrotondato le frazioni moltiplicate ai millesimi, arriviamo al prodotto delle due frazioni decimali finali 3,568 e 0,667. Facciamo la moltiplicazione in una colonna:

Il risultato ottenuto va arrotondato ai millesimi, poiché le frazioni moltiplicate sono state prese con una precisione di millesimi, abbiamo 2.379856≈2.380.

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29. Moltiplicazione delle frazioni decimali. regole

Trova l'area di un rettangolo con lati uguali
1,4 dm e 0,3 dm. Converti decimetri in centimetri:

1,4 mm = 14 cm; 0,3 mm = 3 cm.

Ora calcoliamo l'area in centimetri.

S \u003d 14 3 \u003d 42 cm 2.

Converti centimetri quadrati in quadrati
decimetri:

d m 2 \u003d 0,42 d m 2.

Quindi, S \u003d 1,4 dm 0,3 dm \u003d 0,42 dm 2.

La moltiplicazione di due decimali avviene in questo modo:
1) i numeri vengono moltiplicati senza tenere conto delle virgole.
2) la virgola nel prodotto è posta in modo da separare a destra
tanti segni quanti sono separati in entrambi i fattori
presi insieme. Per esempio:

1,1 0,2 = 0,22 ; 1,1 1,1 = 1,21 ; 2,2 0,1 = 0,22 .

Esempi di moltiplicazione di frazioni decimali in una colonna:

Invece di moltiplicare qualsiasi numero per 0,1; 0,01; 0,001
puoi dividere questo numero per 10; cento ; o 1000 rispettivamente.
Per esempio:

22 0,1 = 2,2 ; 22: 10 = 2,2 .

Quando moltiplichiamo una frazione decimale per un numero naturale, dobbiamo:

1) moltiplicare i numeri, ignorando la virgola;

2) nel prodotto risultante, inserisci una virgola in modo che sia a destra
da esso c'erano tante cifre quante in una frazione decimale.

Troviamo il prodotto 3.12 10 . Secondo la regola di cui sopra
prima moltiplica 312 per 10 . Otteniamo: 312 10 \u003d 3120.
E ora separiamo le due cifre a destra con una virgola e otteniamo:

3,12 10 = 31,20 = 31,2 .

Quindi, moltiplicando 3,12 per 10, abbiamo spostato la virgola di uno
numero a destra. Se moltiplichiamo 3,12 per 100, otteniamo 312, cioè
la virgola è stata spostata di due cifre a destra.

3,12 100 = 312,00 = 312 .

Quando si moltiplica una frazione decimale per 10, 100, 1000, ecc., è necessario
in questa frazione, sposta la virgola a destra di tanti caratteri quanti sono gli zeri
è nel moltiplicatore. Per esempio:

0,065 1000 = 0065, = 65 ;

2,9 1000 = 2,900 1000 = 2900, = 2900 .

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Addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni di decimali

L'aggiunta e la sottrazione di decimali è simile all'aggiunta e alla sottrazione di numeri naturali, ma con determinate condizioni.

Regola. è formato dalle cifre delle parti intere e frazionarie come numeri naturali.

Quando scritto addizione e sottrazione di decimali la virgola che separa la parte intera dalla parte frazionaria deve essere nei termini e nella somma o nel minuendo, sottraendo e differenza in una colonna (una virgola sotto la virgola dalla condizione alla fine del calcolo).

Somma e sottrazione di decimali alla linea:

243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651

843,217 - 700,628 = (800 - 700) + 40 + 3 + (0,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + (1,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + (0,11 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,09 + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + (0,017 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + 0,009 = 142,589

Somma e sottrazione di decimali in una colonna:

L'aggiunta di frazioni decimali richiede una riga aggiuntiva superiore per scrivere i numeri quando la somma della cifra passa per un dieci. La sottrazione dei decimali richiede la riga aggiuntiva superiore per contrassegnare la cifra in cui viene preso in prestito l'1.

Se non ci sono abbastanza cifre della parte frazionaria a destra del termine o ridotte, è possibile aggiungere tanti zeri a destra nella parte frazionaria (aumentare la profondità di bit della parte frazionaria) quante sono le cifre in un altro termine o ridotto.

Moltiplicazione decimale si esegue allo stesso modo della moltiplicazione dei numeri naturali, secondo le stesse regole, ma nel prodotto si pone una virgola secondo la somma delle cifre dei fattori nella parte frazionaria, contando da destra verso sinistra (la somma delle cifre dei fattori è il numero di cifre dopo il punto decimale per i fattori presi insieme).

In moltiplicando i decimali in una colonna, la prima cifra significativa a destra è firmata sotto la prima cifra significativa a destra, come nei numeri naturali:

Registrazione moltiplicando i decimali in una colonna:

Registrazione divisione decimale in una colonna:

I caratteri sottolineati sono caratteri di ritorno a capo della virgola perché il divisore deve essere un numero intero.

Regola. In divisione delle frazioni il divisore di una frazione decimale aumenta di tante cifre quante sono le cifre nella sua parte frazionaria. Affinché la frazione non cambi, il dividendo aumenta dello stesso numero di cifre (nel dividendo e nel divisore, la virgola viene trasferita allo stesso numero di caratteri). Una virgola si pone nel quoziente allo stadio di divisione quando si divide l'intera parte della frazione.

Per le frazioni decimali, così come per i numeri naturali, viene mantenuta la regola: Non puoi dividere un decimale per zero!

Nell'ultima lezione abbiamo imparato come aggiungere e sottrarre frazioni decimali (vedi la lezione "Somma e sottrazione di frazioni decimali"). Allo stesso tempo, hanno stimato quanto i calcoli siano semplificati rispetto alle solite frazioni "a due piani".

Sfortunatamente, con la moltiplicazione e la divisione delle frazioni decimali, questo effetto non si verifica. In alcuni casi, la notazione decimale complica anche queste operazioni.

Innanzitutto, introduciamo una nuova definizione. Lo incontreremo abbastanza spesso, e non solo in questa lezione.

La parte significativa di un numero è tutto ciò che si trova tra la prima e l'ultima cifra diversa da zero, inclusi i trailer. Parliamo solo di numeri, il punto decimale non viene preso in considerazione.

Le cifre incluse nella parte significativa del numero sono dette cifre significative. Possono essere ripetuti e persino essere uguali a zero.

Ad esempio, considera diverse frazioni decimali e scrivi le parti significative corrispondenti:

91,25 → 9125 (cifre significative: 9; 1; 2; 5);
0,008241 → 8241 (cifre significative: 8; 2; 4; 1);
15.0075 → 150075 (cifre significative: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
0,0304 → 304 (cifre significative: 3; 0; 4);
3000 → 3 (è presente una sola cifra significativa: 3).

Nota: gli zeri all'interno della parte significativa del numero non vanno da nessuna parte. Abbiamo già incontrato qualcosa di simile quando abbiamo imparato a convertire le frazioni decimali in quelle ordinarie (vedi la lezione " Frazioni decimali").

Questo punto è così importante e qui vengono commessi errori così spesso che pubblicherò un test su questo argomento nel prossimo futuro. Assicurati di esercitarti! E noi, armati del concetto di parte significativa, procederemo, infatti, all'argomento della lezione.

Moltiplicazione decimale

L'operazione di moltiplicazione consiste in tre passaggi consecutivi:

Per ogni frazione annotare la parte significativa. Otterrai due numeri interi ordinari - senza denominatori e punti decimali;
Moltiplica questi numeri in qualsiasi modo conveniente. Direttamente, se i numeri sono piccoli, o in una colonna. Otteniamo la parte significativa della frazione desiderata;
Scopri dove e di quante cifre viene spostato il punto decimale nelle frazioni originali per ottenere la parte significativa corrispondente. Eseguire i turni inversi sulla parte significativa ottenuta nel passaggio precedente.

Vi ricordo ancora una volta che gli zeri ai lati della parte significativa non vengono mai presi in considerazione. Ignorare questa regola porta a errori.

0,28 12,5;

6.3 1.08;

132,5 0,0034;

0,0108 1600,5;

5,25 10.000.

Lavoriamo con la prima espressione: 0.28 12.5.

Scriviamo le parti significative per i numeri di questa espressione: 28 e 125;
Il loro prodotto: 28 125 = 3500;
Nel primo moltiplicatore, il punto decimale viene spostato di 2 cifre a destra (0,28 → 28) e nel secondo di un'altra cifra 1. In totale, è necessario uno spostamento a sinistra di tre cifre: 3500 → 3.500 = 3,5.

Ora affrontiamo l'espressione 6.3 1.08.

Scriviamo le parti significative: 63 e 108;
Il loro prodotto: 63 108 = 6804;
Di nuovo, due spostamenti a destra: rispettivamente di 2 e 1 cifra. In totale - ancora 3 cifre a destra, quindi lo spostamento inverso sarà di 3 cifre a sinistra: 6804 → 6.804. Questa volta non ci sono zeri alla fine.

Siamo arrivati alla terza espressione: 132.5 0.0034.

Parti significative: 1325 e 34;
Il loro prodotto: 1325 34 = 45.050;
Nella prima frazione, il punto decimale va a destra di 1 cifra e nella seconda di ben 4. Totale: 5 a destra. Eseguiamo uno spostamento di 5 a sinistra: 45050 → .45050 = 0,4505. Zero è stato rimosso alla fine e aggiunto in primo piano per non lasciare un punto decimale "nudo".

La seguente espressione: 0,0108 1600,5.

Scriviamo parti significative: 108 e 16 005;
Moltiplichiamoli: 108 16 005 = 1 728 540;
Contiamo i numeri dopo la virgola: nel primo numero ci sono 4, nel secondo - 1. In totale - ancora 5. Abbiamo: 1.728.540 → 17.28540 = 17.2854. Alla fine, lo zero "extra" è stato rimosso.

Infine, l'ultima espressione: 5,25 10.000.

Parti significative: 525 e 1;
Moltiplichiamoli: 525 1 = 525;
La prima frazione viene spostata di 2 cifre a destra e la seconda frazione di 4 cifre a sinistra (10.000 → 1,0000 = 1). Totale 4 − 2 = 2 cifre a sinistra. Eseguiamo uno spostamento inverso di 2 cifre a destra: 525, → 52 500 (abbiamo dovuto aggiungere zeri).

Presta attenzione all'ultimo esempio: poiché il punto decimale si sposta in direzioni diverse, lo spostamento totale avviene attraverso la differenza. Questo è un punto molto importante! Ecco un altro esempio:

Considera i numeri 1,5 e 12500. Abbiamo: 1,5 → 15 (sposta di 1 a destra); 12 500 → 125 (sposta 2 a sinistra). Facciamo un "passo" di 1 cifra a destra, quindi 2 cifre a sinistra. Di conseguenza, abbiamo spostato 2 − 1 = 1 cifra a sinistra.

Divisione decimale

La divisione è forse l'operazione più difficile. Certo, qui puoi agire per analogia con la moltiplicazione: dividi le parti significative e quindi "sposta" il punto decimale. Ma in questo caso, ci sono molte sottigliezze che annullano i potenziali risparmi.

Diamo quindi un'occhiata a un algoritmo generico un po' più lungo, ma molto più affidabile:

Converti tutti i decimali in frazioni comuni. Con un po' di pratica, questo passaggio richiederà una manciata di secondi;
Dividi le frazioni risultanti in modo classico. In altre parole, moltiplicare la prima frazione per la seconda "invertita" (vedi lezione "Moltiplicazione e divisione di frazioni numeriche");
Se possibile, restituisci il risultato come decimale. Anche questo passaggio è veloce, perché spesso il denominatore ha già una potenza di dieci.

Un compito. Trova il valore dell'espressione:

3,51: 3,9;

1,47: 2,1;

6,4: 25,6:

0,0425: 2,5;

0,25: 0,002.

Consideriamo la prima espressione. Per prima cosa, convertiamo le frazioni obi in decimali:

Facciamo lo stesso con la seconda espressione. Il numeratore della prima frazione viene nuovamente scomposto in fattori:

C'è un punto importante nel terzo e nel quarto esempio: dopo aver eliminato la notazione decimale, appaiono le frazioni cancellabili. Tuttavia, non eseguiremo questa riduzione.

L'ultimo esempio è interessante perché il numeratore della seconda frazione è un numero primo. Semplicemente non c'è nulla da fattorizzare qui, quindi lo consideriamo "vuoto":

A volte la divisione risulta in un numero intero (sto parlando dell'ultimo esempio). In questo caso, il terzo passaggio non viene eseguito affatto.

Inoltre, durante la divisione, spesso compaiono frazioni "brutte" che non possono essere convertite in decimali. È qui che la divisione differisce dalla moltiplicazione, dove i risultati sono sempre espressi in forma decimale. Naturalmente, anche in questo caso, l'ultimo passaggio non viene eseguito.

Prestare attenzione anche al 3° e 4° esempio. In essi, non riduciamo deliberatamente le frazioni ordinarie ottenute dai decimali. Altrimenti, complicherà il problema inverso, rappresentando di nuovo la risposta finale in forma decimale.

Ricorda: la proprietà di base di una frazione (come qualsiasi altra regola in matematica) di per sé non significa che debba essere applicata ovunque e sempre, in ogni occasione.

Nel corso delle scuole medie e superiori, gli studenti hanno studiato l'argomento "Frazioni". Tuttavia, questo concetto è molto più ampio di quanto indicato nel processo di apprendimento. Oggi il concetto di frazione si incontra abbastanza spesso e non tutti possono calcolare alcuna espressione, ad esempio moltiplicando le frazioni.

Cos'è una frazione?

Storicamente è successo che i numeri frazionari apparissero a causa della necessità di misurare. Come mostra la pratica, ci sono spesso esempi per determinare la lunghezza di un segmento, il volume di un rettangolo rettangolare.

Inizialmente, gli studenti vengono introdotti a un concetto come una condivisione. Ad esempio, se dividi un'anguria in 8 parti, ciascuna riceverà un ottavo di anguria. Questa parte di otto è chiamata condivisione.

Una quota pari a ½ di qualsiasi valore si chiama metà; ⅓ - terzo; ¼ - un quarto. Voci come 5/8, 4/5, 2/4 sono chiamate frazioni comuni. Una frazione ordinaria si divide in numeratore e denominatore. Tra di loro c'è una linea frazionaria, o linea frazionaria. Una barra frazionaria può essere disegnata come una linea orizzontale o obliqua. In questo caso, sta per il segno di divisione.

Il denominatore rappresenta in quante parti uguali il valore in cui è diviso l'oggetto; e il numeratore è quante parti uguali vengono prese. Il numeratore è scritto sopra la barra frazionaria, il denominatore sotto di essa.

È più conveniente mostrare le frazioni ordinarie su un raggio di coordinate. Se un singolo segmento è diviso in 4 parti uguali, ogni parte è designata con una lettera latina, quindi puoi ottenere un eccellente aiuto visivo. Quindi, il punto A mostra una quota pari a 1/4 dell'intero segmento unitario e il punto B segna 2/8 di questo segmento.

Varietà di frazioni

Le frazioni sono numeri comuni, decimali e misti. Inoltre, le frazioni possono essere suddivise in proprie e improprie. Questa classificazione è più adatta per le frazioni ordinarie.

Una frazione propria è un numero il cui numeratore è minore del denominatore. Di conseguenza, una frazione impropria è un numero il cui numeratore è maggiore del denominatore. Il secondo tipo è solitamente scritto come un numero misto. Tale espressione consiste in una parte intera e una parte frazionaria. Ad esempio, 1½. 1 - parte intera, ½ - frazionario. Tuttavia, se è necessario eseguire alcune manipolazioni con l'espressione (dividere o moltiplicare frazioni, ridurle o convertirle), il numero misto viene convertito in una frazione impropria.

Un'espressione frazionaria corretta è sempre minore di uno e un'espressione errata è sempre maggiore o uguale a 1.

Quanto a questa espressione, intendono un record in cui è rappresentato un numero qualsiasi, il cui denominatore dell'espressione frazionaria può essere espresso attraverso uno con più zeri. Se la frazione è corretta, la parte intera nella notazione decimale sarà zero.

Per scrivere un decimale, devi prima scrivere la parte intera, separarla dal frazionario con una virgola, quindi scrivere l'espressione frazionaria. Va ricordato che dopo la virgola il numeratore deve contenere tanti caratteri numerici quanti sono gli zeri al denominatore.

Esempio. Rappresenta la frazione 7 21 / 1000 in notazione decimale.

Algoritmo per convertire una frazione impropria in un numero misto e viceversa

Non è corretto annotare una frazione impropria nella risposta del problema, quindi deve essere convertito in un numero misto:

dividere il numeratore per il denominatore esistente;
in un esempio specifico, un quoziente incompleto è un intero;
e il resto è il numeratore della parte frazionaria, con il denominatore che rimane invariato.

Esempio. Converti la frazione impropria in numero misto: 47 / 5 .

Soluzione. 47: 5. Il quoziente incompleto è 9, il resto = 2. Quindi, 47 / 5 = 9 2 / 5.

A volte è necessario rappresentare un numero misto come una frazione impropria. Quindi è necessario utilizzare il seguente algoritmo:

la parte intera viene moltiplicata per il denominatore dell'espressione frazionaria;
il prodotto risultante viene aggiunto al numeratore;
il risultato si scrive al numeratore, il denominatore rimane invariato.

Esempio. Esprimi il numero in forma mista come frazione impropria: 9 8 / 10 .

Soluzione. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 è il numeratore.

Risposta: 98 / 10.

Moltiplicazione delle frazioni ordinarie

È possibile eseguire varie operazioni algebriche su frazioni ordinarie. Per moltiplicare due numeri, devi moltiplicare il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore. Inoltre, la moltiplicazione di frazioni con denominatori diversi non differisce dal prodotto di numeri frazionari con denominatori uguali.

Succede che dopo aver trovato il risultato, devi ridurre la frazione. È imperativo semplificare il più possibile l'espressione risultante. Naturalmente, non si può dire che una frazione impropria nella risposta sia un errore, ma è anche difficile chiamarla risposta corretta.

Esempio. Trova il prodotto di due frazioni ordinarie: ½ e 20/18.

Come si può vedere dall'esempio, dopo aver trovato il prodotto, si ottiene una notazione frazionaria riducibile. Sia il numeratore che il denominatore in questo caso sono divisibili per 4 e il risultato è la risposta 5 / 9.

Moltiplicazione delle frazioni decimali

Il prodotto delle frazioni decimali è abbastanza diverso dal prodotto delle frazioni ordinarie nel suo principio. Quindi, moltiplicare le frazioni è il seguente:

due frazioni decimali devono essere scritte una sotto l'altra in modo che le cifre più a destra siano una sotto l'altra;
devi moltiplicare i numeri scritti, nonostante le virgole, cioè come numeri naturali;
contare il numero di cifre dopo la virgola in ciascuno dei numeri;
nel risultato ottenuto dopo la moltiplicazione bisogna contare tanti caratteri digitali a destra quanti sono contenuti nella somma in entrambi i fattori dopo la virgola, e mettere un segno di separazione;
se ci sono meno cifre nel prodotto, allora bisogna scrivere tanti zeri davanti a loro per coprire questo numero, mettere una virgola e assegnare una parte intera uguale a zero.

Esempio. Calcola il prodotto di due decimali: 2,25 e 3,6.

Soluzione.

Moltiplicazione di frazioni miste

Per calcolare il prodotto di due frazioni miste, devi usare la regola per moltiplicare le frazioni:

convertire i numeri misti in frazioni improprie;
trova il prodotto dei numeratori;
trova il prodotto dei denominatori;
annotare il risultato;
semplificare il più possibile l'espressione.

Esempio. Trova il prodotto di 4½ e 6 2 / 5.

Moltiplicare un numero per una frazione (frazioni per un numero)

Oltre a trovare il prodotto di due frazioni, numeri misti, ci sono attività in cui è necessario moltiplicare per una frazione.

Quindi, per trovare il prodotto di una frazione decimale e di un numero naturale, devi:

scrivi il numero sotto la frazione in modo che le cifre più a destra siano una sopra l'altra;
trova il lavoro, nonostante la virgola;
nel risultato ottenuto separare con una virgola la parte intera dalla parte frazionaria, contando a destra il numero di caratteri che si trova dopo il punto decimale della frazione.

Per moltiplicare una frazione ordinaria per un numero, dovresti trovare il prodotto del numeratore e del fattore naturale. Se la risposta è una frazione riducibile, dovrebbe essere convertita.

Esempio. Calcola il prodotto di 5 / 8 e 12.

Soluzione. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Risposta: 7 1 / 2.

Come puoi vedere dall'esempio precedente, era necessario ridurre il risultato risultante e convertire l'espressione frazionaria errata in un numero misto.

Inoltre, la moltiplicazione delle frazioni vale anche per trovare il prodotto di un numero in forma mista e un fattore naturale. Per moltiplicare questi due numeri, devi moltiplicare la parte intera del fattore misto per il numero, moltiplicare il numeratore per lo stesso valore e lasciare invariato il denominatore. Se necessario, è necessario semplificare il più possibile il risultato.

Esempio. Trova il prodotto di 9 5 / 6 e 9.

Soluzione. 9 5 / 6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45 / 6 \u003d 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1 / 2.

Risposta: 88 1 / 2.

Moltiplicazione per fattori 10, 100, 1000 o 0,1; 0,01; 0,001

La seguente regola deriva dal paragrafo precedente. Per moltiplicare una frazione decimale per 10, 100, 1000, 10000, ecc., devi spostare la virgola a destra di tanti caratteri numerici quanti sono gli zeri nel moltiplicatore dopo uno.

Esempio 1. Trova il prodotto di 0,065 e 1000.

Soluzione. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Risposta: 65.

Esempio 2. Trova il prodotto di 3,9 e 1000.

Soluzione. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Risposta: 3900.

Se devi moltiplicare un numero naturale e 0,1; 0,01; 0,001; 0.0001, ecc., dovresti spostare la virgola a sinistra nel prodotto risultante di tante cifre quanti sono gli zeri prima di uno. Se necessario, un numero sufficiente di zeri viene scritto davanti a un numero naturale.

Esempio 1. Trova il prodotto di 56 e 0,01.

Soluzione. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Risposta: 0,56.

Esempio 2. Trova il prodotto di 4 e 0,001.

Soluzione. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Risposta: 0,004.

Quindi, trovare il prodotto di varie frazioni non dovrebbe causare difficoltà, tranne forse il calcolo del risultato; In questo caso, semplicemente non puoi fare a meno di una calcolatrice.

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Principi generali per la moltiplicazione dei decimali

Discutiamo i principi generali che dovrebbero essere seguiti quando si esegue la moltiplicazione con le frazioni decimali.

Poiché i decimali finiti e le frazioni periodiche infinite sono la forma decimale delle frazioni ordinarie, la moltiplicazione di tali frazioni decimali è essenzialmente la moltiplicazione delle frazioni ordinarie. In altre parole, moltiplicazione dei decimali finali, moltiplicazione delle frazioni decimali finali e periodiche, così come moltiplicando i decimali periodici si riduce a moltiplicare le frazioni ordinarie dopo aver convertito le frazioni decimali in ordinarie.

Consideriamo esempi dell'applicazione del principio espresso della moltiplicazione delle frazioni decimali.

Esempio.

Eseguire la moltiplicazione dei decimali 1,5 e 0,75.

Soluzione.

Sostituiamo le frazioni decimali moltiplicate con le corrispondenti frazioni ordinarie. Poiché 1.5=15/10 e 0.75=75/100, allora . È possibile ridurre la frazione, quindi selezionare l'intera parte dalla frazione impropria, ed è più conveniente scrivere la frazione ordinaria risultante 1 125/1 000 come frazione decimale 1.125.

Risposta:

1,5 0,75=1,125.

Va notato che è conveniente moltiplicare le frazioni decimali finali in una colonna; parleremo di questo metodo di moltiplicazione delle frazioni decimali in.

Considera un esempio di moltiplicazione di frazioni decimali periodiche.

Esempio.

Calcola il prodotto dei decimali periodici 0,(3) e 2,(36) .

Soluzione.

Convertiamo le frazioni decimali periodiche in frazioni ordinarie:

Quindi . Puoi convertire la frazione ordinaria risultante in una frazione decimale:

Risposta:

0,(3) 2,(36)=0,(78) .

Esempio.

Moltiplica i decimali 5.382… e 0.2.

Soluzione.

Risposta:

5.382… 0.2≈1.076.

Moltiplicazione delle frazioni decimali per una colonna

La moltiplicazione dei decimali finali può essere eseguita per colonna, in modo simile alla moltiplicazione per colonna dei numeri naturali.

Formuliamo regola di moltiplicazione per le frazioni decimali. Per moltiplicare le frazioni decimali per una colonna, è necessario:

ignorando le virgole, esegui la moltiplicazione secondo tutte le regole della moltiplicazione per una colonna di numeri naturali;
nel numero risultante, separare tante cifre a destra con un punto decimale quante sono le cifre decimali in entrambi i fattori insieme e, se non ci sono abbastanza cifre nel prodotto, è necessario aggiungere il numero di zeri richiesto a sinistra.

Considera esempi di moltiplicazione di frazioni decimali per una colonna.

Esempio.

Moltiplica i decimali 63,37 e 0,12.

Soluzione.

Eseguiamo la moltiplicazione delle frazioni decimali per una colonna. Per prima cosa moltiplichiamo i numeri, ignorando le virgole:

Di conseguenza, abbiamo 3,37 0,12 = 7,6044.

Risposta:

3,37 0,12=7,6044.

Esempio.

Calcola il prodotto dei decimali 3.2601 e 0.0254 .

Soluzione.

Dopo aver eseguito la moltiplicazione per una colonna senza tenere conto delle virgole, otteniamo la seguente immagine:

Questo completa la moltiplicazione delle frazioni decimali per una colonna.

Risposta:

3,2601 0,0254=0,08280654 .

Moltiplicando i decimali per 0,1, 0,01, ecc.

Così, moltiplicando un dato decimale per 0,1, 0,01, 0,001 e così via dà una frazione, che si ottiene dall'originale, se nella sua voce la virgola viene spostata a sinistra rispettivamente di 1, 2, 3 e così via, e se non ci sono abbastanza cifre per spostare la virgola, allora è necessario aggiungere il numero richiesto di zeri a sinistra.

Si noti che la regola annunciata per moltiplicare una frazione decimale per 0,1, 0,01, ... è valida anche per infinite frazioni decimali. Ad esempio, 0,(18) 0,01=0,00(18) o 93,938… 0,1=9,3938… .

Moltiplicare un decimale per un numero naturale

Al suo interno moltiplicando i decimali per i numeri naturali non è diverso dal moltiplicare un decimale per un decimale.

Esempio.

Calcola il prodotto 15 2.27 .

Soluzione.

Eseguiamo la moltiplicazione di un numero naturale per una frazione decimale in una colonna:

Risposta:

15 2.27=34.05.

Quando si moltiplica una frazione decimale periodica per un numero naturale, la frazione periodica deve essere sostituita con una frazione ordinaria.

Esempio.

Moltiplica la frazione decimale 0,(42) per il numero naturale 22.

Soluzione.

Innanzitutto, convertiamo il decimale periodico in una frazione comune:

Ora facciamo la moltiplicazione: . Questo risultato decimale è 9,(3) .

Risposta:

0,(42) 22=9,(3) .

E quando moltiplichi una frazione decimale non periodica infinita per un numero naturale, devi prima arrotondare.

Esempio.

Fai la moltiplicazione 4 2.145….

Soluzione.

Risposta:

4 2.145…≈8.60.

Moltiplicando un decimale per 10, 100, ...

Abbastanza spesso devi moltiplicare le frazioni decimali per 10, 100, ... Pertanto, è consigliabile soffermarsi su questi casi in dettaglio.

Esempio.

Moltiplica il decimale 0,0783 per 100.

Soluzione.

Trasferiamo la frazione 0,0783 di due cifre a destra nel record e otteniamo 007,83. Lasciando cadere due zeri a sinistra, otteniamo la frazione decimale 7,38. Quindi, 0,0783 100=7,83.

Risposta:

0,0783 100=7,83.

Esempio.

Moltiplica la frazione decimale 0,02 per 10.000.

Soluzione.

Sai già che un * 10 = a + a + a + a + a + a + a + a + a + a. Ad esempio, 0,2 * 10 = 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 . È facile intuire che questa somma è uguale a 2, cioè 0,2 * 10 = 2.

Allo stesso modo si può verificare che:

5,2 * 10 = 52 ;

0,27 * 10 = 2,7 ;

1,253 * 10 = 12,53 ;

64,95 * 10 = 649,5 .

Probabilmente hai indovinato che quando si moltiplica una frazione decimale per 10, è necessario spostare la virgola decimale a destra di una cifra in questa frazione.

Come moltiplichi un decimale per 100?

Abbiamo: a * 100 = a * 10 * 10 . Quindi:

2,375 * 100 = 2,375 * 10 * 10 = 23,75 * 10 = 237,5 .

Discutendo in modo simile, otteniamo che:

3,2 * 100 = 320 ;

28,431 * 100 = 2843,1 ;

0,57964 * 100 = 57,964 .

Moltiplica la frazione 7,1212 per il numero 1000.

Abbiamo: 7.1212 * 1000 = 7.1212 * 100 * 10 = 712.12 * 10 = 7121.2.

Questi esempi illustrano la seguente regola.

Per moltiplicare una frazione decimale per 10, 100, 1.000, ecc., è necessario spostare il punto decimale a destra in questa frazione, rispettivamente, per 1, 2, 3, ecc. numeri.

Quindi, se sposti la virgola a destra di 1, 2, 3, ecc. numeri, quindi la frazione aumenterà rispettivamente di 10, 100, 1.000, ecc. una volta.

Di conseguenza, se sposti la virgola a sinistra di 1, 2, 3, ecc. numeri, quindi la frazione diminuirà rispettivamente di 10, 100, 1.000, ecc. una volta .

Mostriamo che la forma decimale della notazione delle frazioni permette di moltiplicarle, guidati dalla regola della moltiplicazione dei numeri naturali.

Troviamo, ad esempio, il prodotto 3.4*1.23. Aumentiamo il primo moltiplicatore di 10 volte e il secondo di 100 volte. Ciò significa che abbiamo aumentato il prodotto di 1.000 volte.

Pertanto, il prodotto dei numeri naturali 34 e 123 è 1.000 volte maggiore del prodotto desiderato.

Abbiamo: 34 * 123 = 4182. Quindi, per ottenere una risposta, il numero 4.182 deve essere ridotto di 1.000 volte. Scriviamo: 4 182 \u003d 4 182,0. Spostando la virgola in 4182.0 di tre cifre a sinistra, otteniamo il numero 4.182, che è 1000 volte inferiore al numero 4182. Quindi 3,4 * 1,23 = 4,182 .

Lo stesso risultato può essere ottenuto utilizzando la seguente regola.

Per moltiplicare due decimali:

1) moltiplicali come numeri naturali, ignorando le virgole;

2) nel prodotto risultante, separare con una virgola a destra tante cifre quante sono le virgole in entrambi i fattori insieme.

Nei casi in cui il prodotto contiene meno cifre di quelle necessarie per essere separato da una virgola, il numero di zeri richiesto viene aggiunto a sinistra prima di questo prodotto, quindi la virgola viene spostata a sinistra del numero di cifre richiesto.

Ad esempio, 2 * 3 = 6, quindi 0,2 * 3 = 0,006; 25 * 33 = 825, quindi 0,025 * 0,33 = 0,00825.

Nei casi in cui uno dei fattori è pari a 0,1; 0,01; 0,001, ecc., è conveniente utilizzare la seguente regola.

Per moltiplicare un decimale per 0,1; 0,01; 0.001, ecc., è necessario spostare la virgola a sinistra in questa frazione, rispettivamente, di 1, 2, 3, ecc. numeri.

Ad esempio, 1,58 * 0,1 = 0,158; 324,7 * 0,01 = 3,247.

Le proprietà della moltiplicazione dei numeri naturali sono valide anche per i numeri frazionari:

ab = ba − proprietà commutativa della moltiplicazione,

(ab) c = a(b c) − la proprietà associativa della moltiplicazione,

a(b + c) = ab + ac è la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione.

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