Risolvere equazioni usando gli esempi del teorema di Vieta. Teorema di Viet, formula di viet inverso ed esempi con soluzione per manichini

François Vieta (1540-1603) - matematico, creatore delle famose formule Vieta

Il teorema di Vieta necessario per risolvere rapidamente equazioni quadratiche (in termini semplici).

Più in dettaglio, t Teorema di Vieta: questa è la somma delle radici di questa equazione quadratica è uguale al secondo coefficiente, che è preso con il segno opposto, e il prodotto è uguale al termine libero. Questa proprietà ha una data equazione quadratica che ha radici.

Usando il teorema di Vieta, puoi facilmente risolvere equazioni quadratiche per selezione, quindi diciamo "grazie" a questo matematico con una spada in mano per il nostro felice 7 ° grado.

Dimostrazione del teorema di Vieta

Per dimostrare il teorema, puoi utilizzare le note formule delle radici, grazie alle quali comporremo la somma e il prodotto delle radici dell'equazione quadratica. Solo dopo possiamo assicurarci che siano uguali e, di conseguenza, .

Diciamo che abbiamo un'equazione: . Questa equazione ha le seguenti radici: e . Proviamo che , .

Secondo le formule delle radici dell'equazione quadratica:

1. Trova la somma delle radici:

Analizziamo questa equazione, poiché l'abbiamo ottenuta esattamente in questo modo:

= .

Passo 1. Riduciamo le frazioni a un denominatore comune, risulta:

= = .

Passo 2. Abbiamo una frazione in cui è necessario aprire le parentesi:

Riduciamo la frazione di 2 e otteniamo:

Abbiamo dimostrato la relazione per la somma delle radici di un'equazione quadratica usando il teorema di Vieta.

2. Trova il prodotto delle radici:

= = = = = .

Dimostriamo questa equazione:

Passo 1. C'è una regola per moltiplicare le frazioni, secondo la quale moltiplichiamo questa equazione:

Ricordiamo ora la definizione di radice quadrata e consideriamo:

= .

Passaggio 3. Ricordiamo il discriminante dell'equazione quadratica: . Pertanto, al posto di D (discriminante), sostituiamo nell'ultima frazione, quindi otteniamo:

= .

Passaggio 4. Apri le parentesi e aggiungi termini simili alle frazioni:

Passaggio 5. Riduciamo "4a" e otteniamo.

Quindi abbiamo dimostrato la relazione per il prodotto delle radici secondo il teorema di Vieta.

IMPORTANTE!Se il discriminante è zero, l'equazione quadratica ha solo una radice.

Teorema inverso al teorema di Vieta

Secondo il teorema, l'inverso del teorema di Vieta, possiamo verificare se la nostra equazione è risolta correttamente. Per comprendere il teorema stesso, dobbiamo considerarlo più in dettaglio.

Se i numeri sono:

E poi sono le radici dell'equazione quadratica.

Dimostrazione del teorema inverso di Vieta

Passo 1.Sostituiamo espressioni per i suoi coefficienti nell'equazione:

Passo 2Trasformiamo il lato sinistro dell'equazione:

Passaggio 3. Troviamo le radici dell'equazione, e per questo usiamo la proprietà che il prodotto è uguale a zero:

O . Da dove viene: o.

Esempi con soluzioni per il teorema di Vieta

Esempio 1

L'obiettivo

Trova la somma, il prodotto e la somma dei quadrati delle radici di un'equazione quadratica senza trovare le radici dell'equazione.

Soluzione

Passo 1. Richiama la formula discriminante. Sostituiamo i nostri numeri sotto le lettere. Cioè, , è un sostituto di , e . Ciò implica:

Si scopre:

Title="(!LANG:Renderizzato da QuickLaTeX.com" height="13" width="170" style="vertical-align: -1px;">. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма , а произведение . !}

Esprimiamo la somma dei quadrati delle radici attraverso la loro somma e prodotto:

Risposta

7; 12; 25.

Esempio 2

L'obiettivo

Risolvi l'equazione. In questo caso, non utilizzare le formule dell'equazione quadratica.

Soluzione

Questa equazione ha radici maggiori di zero in termini di discriminante (D). Di conseguenza, secondo il teorema di Vieta, la somma delle radici di questa equazione è 4 e il prodotto è 5. Innanzitutto, determiniamo i divisori del numero, la cui somma è 4. Questi sono i numeri "5" e "-1". Il loro prodotto è uguale a - 5, e la somma - 4. Quindi, secondo il teorema, il contrario del teorema di Vieta, sono le radici di questa equazione.

Risposta

E Esempio 4

L'obiettivo

Scrivi un'equazione in cui ogni radice è il doppio della radice corrispondente dell'equazione:

Soluzione

Per il teorema di Vieta, la somma delle radici di questa equazione è 12 e il prodotto = 7. Quindi, le due radici sono positive.

La somma delle radici della nuova equazione sarà uguale a:

E il lavoro.

Per un teorema opposto al teorema di Vieta, la nuova equazione ha la forma:

Risposta

Il risultato è stata un'equazione, ogni radice della quale è due volte più grande:

Quindi, abbiamo visto come risolvere un'equazione usando il teorema di Vieta. È molto conveniente utilizzare questo teorema se vengono risolti compiti associati ai segni delle radici delle equazioni quadratiche. Cioè, se il termine libero nella formula è un numero positivo e se ci sono radici reali nell'equazione quadratica, allora possono essere entrambi negativi o positivi.

E se il termine libero è un numero negativo e se ci sono radici reali nell'equazione quadratica, allora entrambi i segni saranno diversi. Cioè, se una radice è positiva, l'altra radice sarà solo negativa.

Fonti utili:

1. Dorofeev G. V., Suvorova S. B., Bunimovich E. A. Algebra Grade 8: Moscow “Enlightenment”, 2016 – 318 p.
2. Rubin A. G., Chulkov P. V. - libro di testo Algebra Grade 8: Moscow "Balass", 2015 - 237 p.
3. Nikolsky S. M., Potopav M. K., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. – Algebra Grade 8: Moscow “Enlightenment”, 2014 – 300

Teorema di Vieta, formula di Vieta inversa ed esempi con soluzione per manichini aggiornato: 22 novembre 2019 da: Articoli scientifici.Ru

Formulazione e dimostrazione del teorema di Vieta per equazioni quadratiche. Teorema di Vieta inversa. Teorema di Vieta per equazioni cubiche ed equazioni di ordine arbitrario.

Contenuto

Guarda anche: Le radici di un'equazione quadratica

Equazioni quadratiche

Il teorema di Vieta

Sia e indichiamo le radici dell'equazione quadratica ridotta
(1) .
Allora la somma delle radici è uguale al coefficiente preso con il segno opposto. Il prodotto delle radici è uguale al termine libero:
;
.

Una nota sulle radici multiple

Se il discriminante dell'equazione (1) è zero, allora questa equazione ha una radice. Ma, per evitare formulazioni ingombranti, è generalmente accettato che in questo caso l'equazione (1) abbia due radici multiple o uguali:
.

Prova uno

Troviamo le radici dell'equazione (1). Per fare ciò, applica la formula per le radici dell'equazione quadratica:
;
;
.

Trovare la somma delle radici:
.

Per trovare il prodotto, applichiamo la formula:
.
Quindi

.

Il teorema è stato dimostrato.

Prova due

Se i numeri e sono le radici dell'equazione quadratica (1), allora
.
Apriamo le parentesi.

.
Pertanto, l'equazione (1) assumerà la forma:
.
Confrontando con (1) troviamo:
;
.

Il teorema è stato dimostrato.

Teorema di Vieta inversa

Lascia che ci siano numeri arbitrari. Allora e sono le radici dell'equazione quadratica
,
dove
(2) ;
(3) .

Dimostrazione del teorema inverso di Vieta

Considera l'equazione quadratica
(1) .
Dobbiamo dimostrare che se e , allora e sono le radici dell'equazione (1).

Sostituisci (2) e (3) in (1):
.
Raggruppiamo i termini del lato sinistro dell'equazione:
;
;
(4) .

Sostituisci in (4):
;
.

Sostituisci in (4):
;
.
L'equazione è soddisfatta. Cioè, il numero è la radice dell'equazione (1).

Il teorema è stato dimostrato.

Teorema di Vieta per l'equazione quadratica completa

Consideriamo ora l'equazione quadratica completa
(5) ,
dove , e sono alcuni numeri. E .

Dividiamo l'equazione (5) per:
.
Cioè, abbiamo ottenuto l'equazione di cui sopra
,
dove ; .

Allora il teorema di Vieta per l'equazione quadratica completa ha la forma seguente.

Sia e indichiamo le radici dell'equazione quadratica completa
.
Quindi la somma e il prodotto delle radici sono determinati dalle formule:
;
.

Teorema di Vieta per un'equazione cubica

Allo stesso modo, possiamo stabilire connessioni tra le radici di un'equazione cubica. Considera l'equazione cubica
(6) ,
dove , , , sono alcuni numeri. E .
Dividiamo questa equazione per:
(7) ,
dove , , .
Siano , , le radici dell'equazione (7) (e dell'equazione (6)). Quindi

.

Confrontando con l'equazione (7) troviamo:
;
;
.

Teorema di Vieta per un'equazione di ennesimo grado

Allo stesso modo, puoi trovare le connessioni tra le radici , , ... , , per l'equazione dell'ennesimo grado
.

Il teorema di Vieta per un'equazione di ennesimo grado ha la forma seguente:
;
;
;

.

Per ottenere queste formule, scriviamo l'equazione nella forma seguente:
.
Quindi uguagliamo i coefficienti a , , , ... e confrontiamo il termine libero.

Riferimenti:
IN. Bronstein, KA Semendyaev, Manuale di matematica per ingegneri e studenti di istituti di istruzione superiore, Lan, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov et al., Algebra: un libro di testo per l'ottavo grado delle istituzioni educative, Mosca, Istruzione, 2006.

Guarda anche:

In terza media, gli studenti vengono introdotti alle equazioni di secondo grado e a come risolverle. Allo stesso tempo, come mostra l'esperienza, la maggior parte degli studenti utilizza un solo metodo per risolvere equazioni quadratiche complete: la formula per le radici di un'equazione quadratica. Per gli studenti con buone capacità di conteggio orale, questo metodo è chiaramente irrazionale. Gli studenti spesso devono risolvere equazioni quadratiche al liceo, e lì è semplicemente un peccato perdere tempo a calcolare il discriminante. Secondo me, quando si studiano le equazioni quadratiche, è necessario dedicare più tempo e attenzione all'applicazione del teorema di Vieta (secondo il programma di AG Mordkovich Algebra-8, sono previste solo due ore per studiare l'argomento "Teorema di Vieta. Decomposizione di un trinomio quadrato in fattori lineari”).

Nella maggior parte dei libri di testo di algebra, questo teorema è formulato per un'equazione quadratica ridotta e lo dice se l'equazione ha radici e , allora soddisfano le uguaglianze , . Quindi viene formulata un'affermazione contraria al teorema di Vieta e vengono offerti numerosi esempi per lavorare su questo argomento.

Prendiamo esempi specifici e tracciamo su di essi la logica della soluzione utilizzando il teorema di Vieta.

Esempio 1. Risolvi l'equazione.

Supponiamo che questa equazione abbia radici, vale a dire, e . Poi, per il teorema di Vieta, le uguaglianze

Si noti che il prodotto delle radici è un numero positivo. Quindi, le radici dell'equazione hanno lo stesso segno. E poiché anche la somma delle radici è un numero positivo, concludiamo che entrambe le radici dell'equazione sono positive. Torniamo al prodotto delle radici. Si supponga che le radici dell'equazione siano interi positivi. Quindi la prima uguaglianza corretta può essere ottenuta solo in due modi (fino all'ordine dei fattori): o . Verifichiamo per le coppie di numeri proposte la fattibilità della seconda affermazione del teorema di Vieta: . Pertanto, i numeri 2 e 3 soddisfano entrambe le uguaglianze e quindi sono le radici dell'equazione data.

Risposta: 2; 3.

Individuiamo le fasi principali del ragionamento quando risolviamo l'equazione quadratica data usando il teorema di Vieta:

scrivi l'affermazione del teorema di Vieta

(*)

• determinare i segni delle radici dell'equazione (Se il prodotto e la somma delle radici sono positivi, allora entrambe le radici sono numeri positivi. Se il prodotto delle radici è un numero positivo e la somma delle radici è negativa, allora entrambe le radici sono numeri negativi.Se il prodotto delle radici è un numero negativo, allora le radici hanno segni diversi.Inoltre, se la somma delle radici è positiva, allora la radice con modulo maggiore è un numero positivo, e se il la somma delle radici è minore di zero, quindi la radice con modulo maggiore è un numero negativo);
• selezionare coppie di interi il cui prodotto dia la prima uguaglianza corretta nella notazione (*);
• dalle coppie di numeri trovate, scegli la coppia che, sostituita nella seconda uguaglianza nella notazione (*), darà l'uguaglianza corretta;
• indicare nella risposta le radici trovate dell'equazione.

Diamo qualche altro esempio.

Esempio 2: Risolvi l'equazione .

Soluzione.

Siano e siano le radici dell'equazione data. Quindi per il teorema di Vieta Si noti che il prodotto è positivo e la somma è negativa. Quindi entrambe le radici sono numeri negativi. Selezioniamo coppie di fattori che danno il prodotto di 10 (-1 e -10; -2 e -5). La seconda coppia di numeri somma fino a -7. Quindi i numeri -2 e -5 sono le radici di questa equazione.

Risposta: -2; -5.

Esempio 3. Risolvi l'equazione .

Soluzione.

Siano e siano le radici dell'equazione data. Quindi per il teorema di Vieta Si noti che il prodotto è negativo. Quindi le radici hanno segni diversi. Anche la somma delle radici è un numero negativo. Quindi la radice con il modulo maggiore è negativa. Selezioniamo coppie di fattori che danno al prodotto -10 (1 e -10; 2 e -5). La seconda coppia di numeri somma fino a -3. Quindi i numeri 2 e -5 sono le radici di questa equazione.

Risposta: 2; -5.

Si noti che il teorema di Vieta può in linea di principio essere formulato per l'equazione quadratica completa: se l'equazione quadratica ha radici e , quindi soddisfano le uguaglianze , . Tuttavia, l'applicazione di questo teorema è piuttosto problematica, poiché nell'equazione quadratica completa almeno una delle radici (se presente, ovviamente) è un numero frazionario. E lavorare con la selezione delle frazioni è lungo e difficile. Ma c'è ancora una via d'uscita.

Considera l'equazione quadratica completa . Moltiplica entrambi i membri dell'equazione per il primo coefficiente ma e scrivi l'equazione nella forma . Introduciamo una nuova variabile e otteniamo un'equazione quadratica ridotta, le cui radici e (se presenti) possono essere trovate usando il teorema di Vieta. Quindi le radici dell'equazione originale saranno . Si noti che è molto facile scrivere l'equazione ridotta ausiliaria: il secondo coefficiente viene preservato e il terzo coefficiente è uguale al prodotto asso. Con una certa abilità, gli studenti compongono immediatamente un'equazione ausiliaria, trovano le sue radici usando il teorema di Vieta e indicano le radici dell'equazione completa data. Diamo esempi.

Esempio 4. Risolvi l'equazione .

Facciamo un'equazione ausiliaria e dal teorema di Vieta troviamo le sue radici. Quindi le radici dell'equazione originale .

Risposta: .

Esempio 5. Risolvi l'equazione .

L'equazione ausiliaria ha la forma . Per il teorema di Vieta, le sue radici sono . Troviamo le radici dell'equazione originale .

Risposta: .

E un altro caso in cui l'applicazione del teorema di Vieta consente di trovare verbalmente le radici di un'equazione quadratica completa. È facile dimostrarlo il numero 1 è la radice dell'equazione , se e solo se. La seconda radice dell'equazione è trovata dal teorema di Vieta ed è uguale a . Un'altra affermazione: in modo che il numero -1 sia la radice dell'equazione necessario e sufficiente per. Allora la seconda radice dell'equazione secondo il teorema di Vieta è uguale a . Affermazioni simili possono essere formulate per l'equazione quadratica ridotta.

Esempio 6. Risolvi l'equazione.

Si noti che la somma dei coefficienti dell'equazione è zero. Quindi le radici dell'equazione .

Risposta: .

Esempio 7. Risolvi l'equazione.

I coefficienti di questa equazione soddisfano la proprietà (anzi, 1-(-999)+(-1000)=0). Quindi le radici dell'equazione .

Risposta: ..

Esempi per l'applicazione del teorema di Vieta

Compito 1. Risolvi l'equazione quadratica data usando il teorema di Vieta.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Compito 2. Risolvi l'equazione quadratica completa utilizzando la transizione all'equazione quadratica ridotta ausiliaria.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Attività 3. Risolvi un'equazione quadratica usando la proprietà.

Tra le radici e i coefficienti dell'equazione quadratica, oltre alle formule delle radici, esistono altre utili relazioni che sono date da Il teorema di Vieta. In questo articolo daremo una formulazione e una dimostrazione del teorema di Vieta per un'equazione quadratica. Successivamente, consideriamo un teorema opposto al teorema di Vieta. Successivamente, analizzeremo le soluzioni degli esempi più caratteristici. Infine, scriviamo le formule Vieta che definiscono la connessione tra le vere radici equazione algebrica grado n e suoi coefficienti.

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Teorema di Vieta, formulazione, dimostrazione

Dalle formule delle radici dell'equazione quadratica a x 2 +b x+c=0 della forma , dove D=b 2 −4 a c , le relazioni x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = circa . Questi risultati sono confermati Il teorema di Vieta:

Teorema.

Se x 1 e x 2 sono le radici dell'equazione quadratica ax 2 +b x+c=0, quindi la somma delle radici è uguale al rapporto dei coefficienti b e a, preso con il segno opposto, e il prodotto di la radice è uguale al rapporto tra i coefficienti c e a, cioè .

Prova.

Dimostreremo il teorema di Vieta secondo il seguente schema: componiamo la somma e il prodotto delle radici dell'equazione quadratica utilizzando le formule delle radici note, dopodiché trasformiamo le espressioni risultanti e ci assicuriamo che siano uguali a −b rispettivamente /a e c/a.

Iniziamo con la somma delle radici, componiamola. Ora portiamo le frazioni a un denominatore comune, abbiamo. Al numeratore della frazione risultante , dopo di che : . Infine, dopo 2, otteniamo. Ciò dimostra la prima relazione del teorema di Vieta per la somma delle radici di un'equazione quadratica. Passiamo al secondo.

Componiamo il prodotto delle radici dell'equazione quadratica:. Secondo la regola della moltiplicazione delle frazioni, l'ultimo prodotto può essere scritto come. Ora eseguiamo la moltiplicazione della parentesi per la parentesi nel numeratore, ma è più veloce comprimere questo prodotto di formula della differenza di quadrati, Così . Quindi, ricordando, eseguiamo la transizione successiva. E poiché la formula D=b 2 −4 a·c corrisponde al discriminante dell'equazione quadratica, allora b 2 −4·a·c può essere sostituito nell'ultima frazione invece di D, otteniamo . Dopo aver aperto le parentesi e aver ridotto termini simili, arriviamo alla frazione , e la sua riduzione di 4·a dà . Ciò dimostra la seconda relazione del teorema di Vieta per il prodotto delle radici.

Se omettiamo le spiegazioni, la dimostrazione del teorema di Vieta assumerà una forma concisa:
,
.

Resta solo da notare che quando il discriminante è uguale a zero, l'equazione quadratica ha una radice. Tuttavia, se assumiamo che l'equazione in questo caso abbia due radici identiche, valgono anche le uguaglianze del teorema di Vieta. Infatti, per D=0 la radice dell'equazione quadratica è , allora e , e poiché D=0 , cioè b 2 −4 a c=0 , donde b 2 =4 a c , allora .

In pratica, il teorema di Vieta è usato più spesso in relazione all'equazione quadratica ridotta (con il coefficiente più alto a uguale a 1 ) della forma x 2 +p·x+q=0 . A volte è formulato per equazioni quadratiche proprio di questo tipo, il che non limita la generalità, poiché qualsiasi equazione quadratica può essere sostituita da un'equazione equivalente dividendo entrambe le sue parti per un numero diverso da zero a. Ecco la corrispondente formulazione del teorema di Vieta:

Teorema.

La somma delle radici dell'equazione quadratica ridotta x 2 + px + q \u003d 0 è uguale al coefficiente in x, preso con il segno opposto, e il prodotto delle radici è il termine libero, ovvero x 1 + x 2 \u003d -p, x 1 x 2 \u003d q .

Teorema inverso al teorema di Vieta

La seconda formulazione del teorema di Vieta, data nel paragrafo precedente, indica che se x 1 e x 2 sono le radici dell'equazione quadratica ridotta x 2 +p x+q=0, allora le relazioni x 1 +x 2 = − p , x 1 x 2=q. D'altra parte, dalle relazioni scritte x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q, segue che x 1 e x 2 sono le radici dell'equazione quadratica x 2 +p x+q=0. In altre parole, l'affermazione contraria al teorema di Vieta è vera. Lo formuliamo sotto forma di teorema e lo dimostriamo.

Teorema.

Se i numeri x 1 e x 2 sono tali che x 1 +x 2 =−p e x 1 x 2 =q, allora x 1 e x 2 sono le radici dell'equazione quadratica ridotta x 2 +p x+q=0 .

Prova.

Dopo aver sostituito i coefficienti p e q nell'equazione x 2 +p x+q=0 della loro espressione attraverso x 1 e x 2, viene convertito in un'equazione equivalente.

Sostituiamo il numero x 1 invece di x nell'equazione risultante, abbiamo l'uguaglianza x 1 2 -(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, che per ogni x 1 e x 2 è l'uguaglianza numerica corretta 0=0, poiché x 1 2 -(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 -x 1 2 -x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Pertanto, x 1 è la radice dell'equazione x 2 -(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, il che significa che x 1 è la radice dell'equazione equivalente x 2 +p x+q=0 .

Se nell'equazione x 2 -(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 sostituisci il numero x 2 invece di x, quindi otteniamo l'uguaglianza x 2 2 -(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Questa è l'equazione corretta perché x 2 2 -(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 -x 1 x 2 -x 2 2 +x 1 x 2 =0. Pertanto, x 2 è anche la radice dell'equazione x 2 -(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, e quindi le equazioni x 2 +p x+q=0 .

Questo completa la dimostrazione del teorema opposto al teorema di Vieta.

Esempi di utilizzo del teorema di Vieta

È tempo di parlare dell'applicazione pratica del teorema di Vieta e del suo teorema inverso. In questa sottosezione analizzeremo le soluzioni di alcuni degli esempi più tipici.

Iniziamo applicando un teorema inverso al teorema di Vieta. È conveniente usarlo per verificare se i due numeri dati sono le radici di una data equazione quadratica. In questo caso viene calcolata la loro somma e differenza, dopodiché viene verificata la validità delle relazioni. Se entrambe queste relazioni sono soddisfatte, allora, in virtù del teorema opposto al teorema di Vieta, si conclude che questi numeri sono le radici dell'equazione. Se almeno una delle relazioni non è soddisfatta, allora questi numeri non sono le radici dell'equazione quadratica. Questo approccio può essere utilizzato quando si risolvono equazioni quadratiche per verificare le radici trovate.

Esempio.

Quale delle coppie di numeri 1) x 1 =−5, x 2 =3 o 2), o 3) è una coppia di radici dell'equazione quadratica 4 x 2 −16 x+9=0?

Soluzione.

I coefficienti dell'equazione quadratica data 4 x 2 −16 x+9=0 sono a=4 , b=−16 , c=9 . Secondo il teorema di Vieta, la somma delle radici dell'equazione quadratica deve essere uguale a −b/a, cioè 16/4=4, e il prodotto delle radici deve essere uguale a c/a, cioè 9 /4.

Ora calcoliamo la somma e il prodotto dei numeri in ciascuna delle tre coppie date, e confrontiamoli con i valori appena ottenuti.

Nel primo caso, abbiamo x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Il valore risultante è diverso da 4, quindi non è possibile effettuare ulteriori verifiche, ma per il teorema, l'inverso del teorema di Vieta, possiamo immediatamente concludere che la prima coppia di numeri non è una coppia di radici di una data equazione quadratica .

Passiamo al secondo caso. Qui, cioè, la prima condizione è soddisfatta. Verifichiamo la seconda condizione: , il valore risultante è diverso da 9/4 . Pertanto, la seconda coppia di numeri non è una coppia di radici di un'equazione quadratica.

Rimane l'ultimo caso. Qui e . Entrambe le condizioni sono soddisfatte, quindi questi numeri x 1 e x 2 sono le radici dell'equazione quadratica data.

Risposta:

Il teorema, l'inverso del teorema di Vieta, può essere utilizzato in pratica per selezionare le radici di un'equazione quadratica. Di solito, vengono selezionate le radici intere delle date equazioni quadratiche con coefficienti interi, poiché in altri casi ciò è abbastanza difficile da fare. Allo stesso tempo, usano il fatto che se la somma di due numeri è uguale al secondo coefficiente dell'equazione quadratica, preso con un segno meno, e il prodotto di questi numeri è uguale al termine libero, allora questi numeri sono le radici di questa equazione quadratica. Affrontiamo questo con un esempio.

Prendiamo l'equazione quadratica x 2 −5 x+6=0 . Affinché i numeri x 1 e x 2 siano le radici di questa equazione, devono essere soddisfatte due uguaglianze x 1 + x 2 \u003d 5 e x 1 x 2 \u003d 6. Resta da scegliere tali numeri. In questo caso, questo è abbastanza semplice da fare: tali numeri sono 2 e 3, poiché 2+3=5 e 2 3=6 . Quindi, 2 e 3 sono le radici di questa equazione quadratica.

Il teorema, il contrario del teorema di Vieta, è particolarmente conveniente da applicare per trovare la seconda radice dell'equazione quadratica ridotta, quando una delle radici è già nota o ovvia. In questo caso, la seconda radice si trova da una qualsiasi delle relazioni.

Ad esempio, prendiamo l'equazione quadratica 512 x 2 −509 x−3=0 . Qui è facile vedere che l'unità è la radice dell'equazione, poiché la somma dei coefficienti di questa equazione quadratica è zero. Quindi x 1 = 1 . La seconda radice x 2 può essere trovata, ad esempio, dalla relazione x 1 x 2 =c/a. Abbiamo 1 x 2 =−3/512 , da cui x 2 =−3/512 . Quindi abbiamo definito entrambe le radici dell'equazione quadratica: 1 e −3/512.

È chiaro che la selezione delle radici è utile solo nei casi più semplici. In altri casi, per trovare le radici, si possono applicare le formule delle radici dell'equazione quadratica tramite il discriminante.

Un'altra applicazione pratica del teorema, l'inverso del teorema di Vieta, è la compilazione di equazioni quadratiche per date radici x 1 e x 2. Per fare ciò basta calcolare la somma delle radici, che dà il coefficiente di x con segno opposto dell'equazione quadratica data, e il prodotto delle radici, che dà il termine libero.

Esempio.

Scrivi un'equazione quadratica le cui radici sono i numeri −11 e 23.

Soluzione.

Denota x 1 =−11 e x 2 =23 . Calcoliamo la somma e il prodotto di questi numeri: x 1 + x 2 \u003d 12 e x 1 x 2 \u003d −253. Pertanto, questi numeri sono le radici dell'equazione quadratica data con il secondo coefficiente -12 e il termine libero -253. Cioè, x 2 −12·x−253=0 è l'equazione desiderata.

Risposta:

x 2 −12 x −253=0 .

Il teorema di Vieta è molto spesso usato per risolvere compiti relativi ai segni delle radici delle equazioni quadratiche. In che modo il teorema di Vieta è correlato ai segni delle radici dell'equazione quadratica ridotta x 2 +p x+q=0 ? Ecco due affermazioni rilevanti:

• Se l'intercetta q è un numero positivo e se l'equazione quadratica ha radici reali, allora o sono entrambi positivi o entrambi sono negativi.
• Se il termine libero q è un numero negativo e se l'equazione quadratica ha radici reali, allora i loro segni sono diversi, in altre parole, una radice è positiva e l'altra è negativa.

Queste affermazioni seguono dalla formula x 1 x 2 =q, nonché dalle regole per moltiplicare numeri positivi, negativi e numeri con segni diversi. Considera esempi della loro applicazione.

Esempio.

R è positivo. Secondo la formula discriminante, troviamo D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , il valore dell'espressione r 2 +8 è positivo per ogni r reale, quindi D>0 per ogni r reale. Pertanto, l'equazione quadratica originale ha due radici per qualsiasi valore reale del parametro r.

Ora scopriamo quando le radici hanno segni diversi. Se i segni delle radici sono diversi, il loro prodotto è negativo e, per il teorema di Vieta, il prodotto delle radici dell'equazione quadratica data è uguale al termine libero. Pertanto, siamo interessati a quei valori di r per i quali il termine libero r−1 è negativo. Quindi, per trovare i valori di r che ci interessano, dobbiamo farlo risolvere una disuguaglianza lineare r-1<0 , откуда находим r<1 .

Risposta:

a r<1 .

Formule Vieta

Sopra, abbiamo parlato del teorema di Vieta per un'equazione quadratica e abbiamo analizzato le relazioni che asserisce. Ma ci sono formule che collegano le radici reali e i coefficienti non solo delle equazioni quadratiche, ma anche delle equazioni cubiche, delle equazioni quadruple e, in generale, equazioni algebriche laurea n. Sono chiamati Formule Vieta.

Scriviamo le formule di Vieta per un'equazione algebrica di grado n della forma, mentre assumiamo che abbia n radici reali x 1, x 2, ..., x n (tra queste potrebbero esserci le stesse):

Ottieni formule Vieta consente teorema di fattorizzazione polinomiale, così come la definizione di polinomi uguali attraverso l'uguaglianza di tutti i loro coefficienti corrispondenti. Quindi il polinomio e la sua espansione in fattori lineari della forma sono uguali. Aprendo le parentesi nell'ultimo prodotto ed eguagliando i coefficienti corrispondenti, otteniamo le formule di Vieta.

In particolare, per n=2 abbiamo già familiari formule Vieta per l'equazione quadratica.

Per un'equazione cubica, le formule di Vieta hanno la forma

Resta solo da notare che sul lato sinistro delle formule Vieta ci sono le cosiddette elementari polinomi simmetrici.

Bibliografia.

• Algebra: manuale per 8 celle. educazione generale istituzioni / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. SA Telyakovsky. - 16a ed. - M.: Istruzione, 2008. - 271 p. : malato. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8 ° grado. Alle 14 Parte 1. Un libro di testo per gli studenti delle istituzioni educative / A. G. Mordkovich. - 11a ed., cancellato. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra e l'inizio dell'analisi matematica. Grado 10: libro di testo. per l'istruzione generale istituzioni: base e profilo. livelli / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. AB Zhizhchenko. - 3a ed. - M.: Illuminismo, 2010.- 368 p. : malato. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Il teorema di Vieta è spesso usato per verificare le radici già trovate. Se hai trovato le radici, puoi usare le formule \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) per calcolare i valori \(p\ ) e \(q\ ). E se risultano essere gli stessi dell'equazione originale, le radici vengono trovate correttamente.

Ad esempio, usiamo , risolviamo l'equazione \(x^2+x-56=0\) e otteniamo le radici: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Controlliamo se abbiamo commesso un errore nel processo di risoluzione. Nel nostro caso, \(p=1\) e \(q=-56\). Per il teorema di Vieta abbiamo:

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

Entrambe le affermazioni convergevano, il che significa che abbiamo risolto l'equazione correttamente.

Questo test può essere fatto per via orale. Ci vorranno 5 secondi e ti salverà da errori stupidi.

Teorema di Vieta inversa

Se \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), allora \(x_1\) e \(x_2\) sono le radici dell'equazione quadratica \ (x^ 2+px+q=0\).

O in modo semplice: se hai un'equazione della forma \(x^2+px+q=0\), allora risolvendo il sistema \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \ cdot x_2=q\ end(cases)\) troverai le sue radici.

Grazie a questo teorema, puoi trovare rapidamente le radici di un'equazione quadratica, soprattutto se queste radici lo sono. Questa abilità è importante in quanto consente di risparmiare molto tempo.

Esempio . Risolvi l'equazione \(x^2-5x+6=0\).

Soluzione : Usando il teorema di Vieta inverso, otteniamo che le radici soddisfano le condizioni: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Osserva la seconda equazione del sistema \(x_1 \cdot x_2=6\). In quali due può essere scomposto il numero \(6\)? Su \(2\) e \(3\), \(6\) e \(1\) o \(-2\) e \(-3\), e \(-6\) e \(- uno\). E quale coppia scegliere, la prima equazione del sistema dirà: \(x_1+x_2=5\). \(2\) e \(3\) sono simili, perché \(2+3=5\).
Risposta : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Esempi . Usando l'inverso del teorema di Vieta, trova le radici dell'equazione quadratica:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

Soluzione :
a) \(x^2-15x+14=0\) - in quali fattori si scompone \(14\)? \(2\) e \(7\), \(-2\) e \(-7\), \(-1\) e \(-14\), \(1\) e \(14\ ). Quali coppie di numeri sommano a \(15\)? Risposta: \(1\) e \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) - in quali fattori si scompone \(-4\)? \(-2\) e \(2\), \(4\) e \(-1\), \(1\) e \(-4\). Quali coppie di numeri si sommano a \(-3\)? Risposta: \(1\) e \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – in quali fattori si scompone \(20\)? \(4\) e \(5\), \(-4\) e \(-5\), \(2\) e \(10\), \(-2\) e \(-10\ ), \(-20\) e \(-1\), \(20\) e \(1\). Quali coppie di numeri si sommano a \(-9\)? Risposta: \(-4\) e \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) - in quali fattori si scompone \(780\)? \(390\) e \(2\). Sommano a \(88\)? No. Quali altri moltiplicatori ha \(780\)? \(78\) e \(10\). Sommano a \(88\)? Sì. Risposta: \(78\) e \(10\).

Non è necessario scomporre l'ultimo termine in tutti i possibili fattori (come nell'ultimo esempio). Puoi controllare immediatamente se la loro somma dà \(-p\).

Importante! Il teorema di Vieta e il teorema inverso funzionano solo con , cioè uno il cui coefficiente davanti a \(x^2\) è uguale a uno. Se inizialmente abbiamo un'equazione non ridotta, possiamo ridurla semplicemente dividendo per il coefficiente davanti a \ (x ^ 2 \).

Per esempio, sia data l'equazione \(2x^2-4x-6=0\) e vogliamo usare uno dei teoremi di Vieta. Ma non possiamo, perché il coefficiente prima di \(x^2\) è uguale a \(2\). Eliminiamolo dividendo l'intera equazione per \(2\).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Pronto. Ora possiamo usare entrambi i teoremi.

Risposte alle domande più frequenti

Domanda: Per il teorema di Vieta, puoi risolvere qualsiasi ?
Risposta: Sfortunatamente no. Se non ci sono numeri interi nell'equazione o l'equazione non ha alcuna radice, il teorema di Vieta non aiuterà. In questo caso, è necessario utilizzare discriminante . Fortunatamente, l'80% delle equazioni nel corso di matematica della scuola ha soluzioni intere.