base la ricerca matematica è la capacità di acquisire conoscenze su determinate quantità confrontandole con altre quantità che lo sono pari, o di più o meno rispetto a quelli oggetto di studio. Questo di solito è fatto con una serie equazioni e proporzioni. Quando usiamo le equazioni, determiniamo la quantità che stiamo cercando trovandola uguaglianza con qualche altra quantità o quantità già familiari.
Tuttavia, capita spesso di confrontare una quantità incognita con altre che non uguale lei, ma più o meno di lei. Qui abbiamo bisogno di un approccio diverso all'elaborazione dei dati. Potremmo aver bisogno di sapere, ad esempio, quanto un valore è maggiore dell'altro, o quante volte uno contiene l'altro. Per trovare le risposte a queste domande, scopriremo di cosa si tratta rapporto due taglie. Viene chiamato un rapporto aritmetica, e un altro geometrico. Anche se vale la pena notare che entrambi questi termini non sono stati adottati per caso o solo per motivi di distinzione. Sia le relazioni aritmetiche che quelle geometriche si applicano sia all'aritmetica che alla geometria.
Essendo una componente di un argomento vasto e importante, la proporzione dipende dai rapporti, quindi è necessaria una comprensione chiara e completa di questi concetti.
338. Rapporto aritmetico questo differenzatra due quantità o una serie di quantità. Le quantità stesse sono chiamate membri rapporti, cioè termini tra i quali esiste un rapporto. Quindi 2 è il rapporto aritmetico di 5 e 3. Questo si esprime ponendo un segno meno tra i due valori, cioè 5 - 3. Naturalmente, il termine rapporto aritmetico e la sua descrizione sono praticamente inutili, poiché viene sostituita solo la parola differenza al segno meno nell'espressione.
339. Se entrambi i membri di una relazione aritmetica moltiplicare o dividere per lo stesso importo, quindi rapporto, verrà eventualmente moltiplicato o diviso per tale importo.
Quindi, se abbiamo a - b = r
Quindi moltiplica entrambi i lati per h , (Ax. 3.) ha - hb = hr
E dividendo per h, (Ax. 4.) $\frac(a)(h)-\frac(b)(h)=\frac(r)(h)$
340. Se i termini di un rapporto aritmetico si sommano o sottraggono ai termini corrispondenti di un altro, allora il rapporto della somma o differenza sarà uguale alla somma o differenza dei due rapporti.
Se a - b
E d-h
sono due rapporti,
Allora (a + d) - (b + h) = (a - b) + (d - h). Che in ogni caso = a + d - b - h.
E (a - d) - (b - h) = (a - b) - (d - h). Che in ogni caso = a - d - b + h.
Quindi il rapporto aritmetico di 11 - 4 è 7
E il rapporto aritmetico 5 - 2 è 3
Il rapporto della somma dei termini 16 - 6 è 10, - la somma dei rapporti.
Il rapporto tra la differenza dei membri 6 - 2 è 4, - la differenza dei rapporti.
341. rapporto geometrico
è la relazione tra le quantità, che è espressa PRIVATO se un valore è diviso per un altro.
Quindi il rapporto di 8 a 4 può essere scritto come 8/4 o 2. Cioè, il quoziente di 8 diviso per 4. In altre parole, mostra quante volte 4 è contenuto in 8.
Allo stesso modo si può determinare il rapporto di una qualsiasi quantità con l'altra dividendo la prima per la seconda, o, che è sostanzialmente la stessa cosa, facendo della prima il numeratore della frazione e del secondo il denominatore.
Quindi il rapporto tra a e b è $\frac(a)(b)$
Il rapporto tra d + h e b + c è $\frac(d+h)(b+c)$.
342. Il rapporto geometrico si scrive anche ponendo due punti uno sopra l'altro tra i valori confrontati.
Quindi a:b è il rapporto tra a e b e 12:4 è il rapporto tra 12 e 4. Le due quantità insieme formano coppia, in cui si chiama il primo termine antecedente, e l'ultimo lo è consequenziale.
343. Questa notazione puntata e l'altra, in forma di frazione, sono intercambiabili quanto necessario, con l'antecedente che diventa il numeratore della frazione e il conseguente il denominatore.
Quindi 10:5 è uguale a $\frac(10)(5)$ e b:d è uguale a $\frac(b)(d)$.
344. Se uno qualsiasi di questi tre significati: antecedente, conseguente e relazione è dato Due, quindi è possibile trovare il terzo.
Sia a= antecedente, c= conseguente, r= relazione.
Per definizione, $r=\frac(a)(c)$, cioè il rapporto è uguale all'antecedente diviso per il conseguente.
Moltiplicando per c, a = cr, cioè l'antecedente è uguale al conseguente moltiplicato per il rapporto.
Dividi per r, $c=\frac(a)(r)$, ovvero il conseguente è uguale all'antecedente diviso per il rapporto.
risp. 1. Se due coppie hanno antecedenti e conseguenti uguali, anche i loro rapporti sono uguali.
risp. 2. Se i rapporti e gli antecedenti di due coppie sono uguali, i conseguenti sono uguali, e se i rapporti e i conseguenti sono uguali, gli antecedenti sono uguali.
345. Se due quantità confrontate pari, allora il loro rapporto è uguale a unità o uguaglianza. Il rapporto 3 * 6:18 è uguale a uno, poiché il quoziente di qualsiasi valore diviso per se stesso è uguale a 1.
Se l'antecedente della coppia di più, del conseguente, allora il rapporto è maggiore di uno. Poiché il dividendo è maggiore del divisore, il quoziente è maggiore di uno. Quindi il rapporto di 18:6 è 3. Questo è chiamato rapporto maggiore disuguaglianza.
D'altra parte, se l'antecedente meno del conseguente, allora il rapporto è minore di uno, e questo è chiamato rapporto meno disuguaglianza. Quindi il rapporto 2:3 è minore di uno, perché il dividendo è minore del divisore.
346. Inversione ratio è il rapporto di due reciproci.
Quindi il rapporto dell'inverso di 6 a 3 è a, cioè:.
La relazione diretta di a con b è $\frac(a)(b)$, cioè l'antecedente diviso per il conseguente.
La relazione inversa è $\frac(1)(a)$:$\frac(1)(b)$ o $\frac(1)(a).\frac(b)(1)=\frac(b) (a)$.
cioè la cosequenza b divisa per l'antecedente a.
Quindi si esprime la relazione inversa invertendo una frazione, che mostra una relazione diretta oppure, quando la notazione viene eseguita utilizzando i punti, invertendo l'ordine di scrittura dei membri.
Quindi a è in relazione con b nel modo opposto a cui b è in relazione con a.
347. Rapporto complesso questo rapporto lavori termini corrispondenti con due o più relazioni semplici.
Quindi il rapporto è 6:3, uguale a 2
E rapporto 12:4 fa 3
Il rapporto che li compone è 72:12 = 6.
Qui una relazione complessa si ottiene moltiplicando insieme due antecedenti e anche due conseguenti di relazioni semplici.
Quindi il rapporto è composto
Dal rapporto a:b
E rapporti c:d
e il rapporto h:y
Questo è il rapporto $ach:bdy=\frac(ach)(bdy)$.
Una relazione complessa non differisce nel suo natura da qualsiasi altro rapporto. Questo termine è usato per indicare l'origine di una relazione in alcuni casi.
risp. Un rapporto complesso è uguale al prodotto di rapporti semplici.
Il rapporto a:b è uguale a $\frac(a)(b)$
Il rapporto c:d è uguale a $\frac(c)(d)$
Il rapporto h:y è uguale a $\frac(h)(y)$
E il rapporto aggiunto di questi tre sarà ach/bdy, che è il prodotto di frazioni che esprimono rapporti semplici.
348. Se nella successione dei rapporti in ciascuna coppia precedente il conseguente è l'antecedente nella successiva, allora il rapporto del primo antecedente e dell'ultimo conseguente è uguale a quello ottenuto dai rapporti intermedi.
Quindi in un certo numero di rapporti
a: b
avanti Cristo
cd
g:h
il rapporto a:h è uguale al rapporto sommato dai rapporti a:b e b:c e c:d e d:h. Quindi la relazione complessa nell'ultimo articolo è $\frac(abcd)(bcdh)=\frac(a)(h)$, o a:h.
Allo stesso modo, tutte le quantità che sono sia antecedenti che conseguenti scomparire, quando il prodotto delle frazioni sarà semplificato ai suoi termini inferiori e nel resto la relazione complessa sarà espressa dal primo antecedente e dall'ultimo conseguente.
349. Una classe speciale di relazioni complesse si ottiene moltiplicando una relazione semplice per lui stesso o ad un altro pari rapporto. Questi rapporti sono chiamati Doppio, triplicare, quadruplicare, e così via, in base al numero di moltiplicazioni.
Rapporto composto da Due proporzioni uguali, cioè quadrato Doppio rapporto.
Fatto di tre, cioè, cubo si chiama rapporto semplice triplicare, eccetera.
Allo stesso modo, il rapporto radici quadrate due quantità si chiama rapporto radice quadrata, e il rapporto radici cubiche- rapporto radice cubica, eccetera.
Quindi il rapporto semplice tra a e b è a:b
Il doppio rapporto tra a e b è a 2:b 2
Il triplo rapporto tra a e b è a 3:b 3
Il rapporto tra la radice quadrata di a e b è √a :√b
Il rapporto tra la radice cubica di a e b è 3 √a : 3 √b e così via.
Termini Doppio, triplicare, e così via non devono essere mischiati con raddoppiato, triplicato, eccetera.
Il rapporto di 6 a 2 è 6:2 = 3
Se raddoppiamo questo rapporto, cioè il rapporto due volte, otteniamo 12:2 = 6
Triplichiamo questo rapporto, cioè tre volte questo rapporto, otteniamo 18: 2 = 9
MA Doppio rapporto, cioè quadrato il rapporto è 6 2:2 2 = 9
E triplicare il rapporto, cioè il cubo del rapporto, è 6 3:2 3 = 27
350. Perché le quantità siano correlate tra loro, devono essere della stessa specie, in modo che si possa affermare con certezza se sono uguali tra loro, o se una di esse è maggiore o minore. Un piede sta a un pollice come 12 a 1: è 12 volte più grande di un pollice. Ma non si può, per esempio, dire che un'ora sia più o meno lunga di un bastone, o un acro sia maggiore o minore di un grado. Tuttavia, se questi valori sono espressi in numeri, allora potrebbe esserci una relazione tra questi numeri. Cioè, potrebbe esserci una relazione tra il numero di minuti in un'ora e il numero di passi in un miglio.
351. Rivolgersi a natura rapporti, il passaggio successivo che dobbiamo tenere in considerazione è come la variazione di uno o due termini confrontati tra loro influirà sul rapporto stesso. Ricordiamo che un rapporto diretto è espresso come frazione, dove antecedente le coppie lo sono sempre numeratore, ma conseguente - denominatore. Allora sarà facile ottenere dalla proprietà delle frazioni che variazioni del rapporto avvengono variando le quantità confrontate. Il rapporto tra le due quantità è lo stesso di significato frazioni, ciascuna delle quali rappresenta privato: il numeratore diviso per il denominatore. (Art. 341.) Si è ora dimostrato che moltiplicare il numeratore di una frazione per qualsiasi valore equivale a moltiplicare significato per la stessa quantità e che dividere il numeratore equivale a dividere i valori di una frazione. Ecco perché,
352. Moltiplicare l'antecedente di una coppia per qualsiasi valore significa moltiplicare i rapporti per questo valore, e dividere l'antecedente è dividere questo rapporto.
Quindi il rapporto 6:2 è 3
E il rapporto 24:2 è 12.
Qui l'antecedente e il rapporto nell'ultima coppia sono 4 volte maggiori rispetto alla prima.
La relazione a:b è uguale a $\frac(a)(b)$
E la relazione na:b è uguale a $\frac(na)(b)$.
risp. Con un conseguente noto, di più antecedente, più rapporto, e viceversa, maggiore è il rapporto, maggiore è l'antecedente.
353. Moltiplicando il conseguente di una coppia per un qualsiasi valore, di conseguenza, otteniamo la divisione del rapporto per questo valore e, dividendo il conseguente, moltiplichiamo il rapporto. Moltiplicando il denominatore di una frazione si divide il valore e dividendo il denominatore si moltiplica il valore.
Quindi il rapporto di 12:2 è 6
E il rapporto 12:4 è 3.
Ecco il conseguente della seconda coppia in due volte di più, ma il rapporto due volte meno del primo.
Il rapporto a:b è $\frac(a)(b)$
E il rapporto a:nb è uguale a $\frac(a)(nb)$.
risp. Per un dato antecedente, maggiore è il conseguente, minore è il rapporto. Al contrario, maggiore è il rapporto, minore è il conseguente.
354. Dagli ultimi due articoli risulta che antecedente della moltiplicazione coppie di qualsiasi valore avranno lo stesso effetto sul rapporto di divisione del conseguente di questo importo, e divisione antecedente, avrà lo stesso effetto di conseguente moltiplicazione.
Quindi il rapporto 8:4 è 2
Moltiplicando l'antecedente per 2, il rapporto 16:4 è 4
Dividendo l'antecedente per 2, il rapporto 8:2 è 4.
risp. Qualsiasi fattore o divisore possono essere trasferiti dall'antecedente di una coppia al conseguente, o dal conseguente all'antecedente, senza cambiare la relazione.
Vale la pena notare che quando un fattore viene così trasferito da un termine all'altro, allora diventa un divisore e il divisore trasferito diventa un fattore.
Quindi il rapporto è 3,6:9 = 2
Spostando il fattore 3, $6:\frac(9)(3)=2$
lo stesso rapporto.
La relazione $\frac(ma)(y):b=\frac(ma)(by)$
Spostando y $ma:by=\frac(ma)(by)$
Spostando m, a:$a:\frac(m)(by)=\frac(ma)(by)$.
355. Come risulta dagli artt. 352 e 353, se l'antecedente e il conseguente sono entrambi moltiplicati o divisi per lo stesso importo, il rapporto non cambia.
risp. 1. Il rapporto di due frazioni, che hanno un denominatore comune, uguale al rapporto tra loro numeratori.
Quindi il rapporto a/n:b/n è lo stesso di a:b.
risp. 2. diretto il rapporto di due frazioni che hanno un numeratore comune è uguale al loro rapporto reciproco denominatori.
356. Dall'articolo è facile determinare il rapporto di due frazioni qualsiasi. Se ogni termine viene moltiplicato per due denominatori, il rapporto sarà dato da espressioni integrali. Quindi, moltiplicando i termini della coppia a/b:c/d per bd, otteniamo $\frac(abd)(b)$:$\frac(bcd)(d)$, che diventa ad:bc, riducendo i valori totali dei numeratori e denominatori.
356 b. Rapporto maggiore disuguaglianza aumenta la sua
Sia dato il rapporto di disuguaglianza maggiore come 1+n:1
E qualsiasi rapporto a: b
Un rapporto complesso sarà (art. 347,) a + na:b
Cosa è maggiore del rapporto a:b (art. 351 risp.)
Ma il rapporto meno disuguaglianza, aggiunto con un altro rapporto, riduce la sua.
Sia il rapporto della differenza minore 1-n:1
Qualsiasi dato rapporto a: b
Rapporto complesso a - na:b
Che cosa è meno di a:b.
357. Se da o verso i membri di qualsiasi coppiaInserisci o sottrai altre due quantità che sono nello stesso rapporto, quindi le somme o i resti avranno lo stesso rapporto.
Sia il rapporto a:b
Sarà lo stesso di c:d
Poi la relazione importi antecedenti alla somma dei conseguenti, vale a dire, da a + c a b + d, è anche lo stesso.
Cioè, $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.
Prova.
1. Per ipotesi, $\frac(a)(b)$ = $\frac(c)(d)$
2. Moltiplica per b e per d, ad = bc
3. Aggiungi cd su entrambi i lati, ad + cd = bc + cd
4. Dividi per d, $a+c=\frac(bc+cd)(d)$
5. Dividi per b + d, $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.
Rapporto differenza anche gli antecedenti alla differenza dei conseguenti sono gli stessi.
358. Se i rapporti in più coppie sono uguali, allora la somma di tutti gli antecedenti sta alla somma di tutti i conseguenti come ogni antecedente sta al suo conseguente.
Quindi il rapporto
|12:6 = 2
|10:5 = 2
|8:4 = 2
|6:3 = 2
Quindi il rapporto (12 + 10 + 8 + 6): (6 + 5 + 4 + 3) = 2.
358b. Rapporto maggiore disuguaglianzadiminuisce, aggiungendo la stessa quantità ad entrambi i membri.
Sia una data relazione a+b:a o $\frac(a+b)(a)$
Sommando x a entrambi i termini, otteniamo a+b+x:a+x o $\frac(a+b)(a)$.
Il primo diventa $\frac(a^2+ab+ax+bx)(a(a+x))$
E l'ultimo è $\frac(a^2+ab+ax)(a(a+x))$.
Poiché l'ultimo numeratore è ovviamente minore dell'altro, quindi rapporto dovrebbe essere inferiore. (art. 351 risp.)
Ma il rapporto meno disuguaglianza aumenta, aggiungendo lo stesso valore a entrambi i termini.
Sia la relazione data (a-b):a, o $\frac(a-b)(a)$.
Sommando x a entrambi i termini, diventa (a-b+x):(a+x) o $\frac(a-b+x)(a+x)$
Portandoli a un denominatore comune,
Il primo diventa $\frac(a^2-ab+ax-bx)(a(a+x))$
E l'ultimo, $\frac(a^2-ab+ax)(a(a+x)).\frac((a^2-ab+ax))(a(a+x))$.
Poiché l'ultimo numeratore è maggiore dell'altro, allora rapporto Di Più.
Se invece di aggiungere lo stesso valore porta via da due termini, è ovvio che l'effetto sul rapporto sarà opposto.
Esempi.
1. Qual è il rapporto più grande: rapporto 11:9 o rapporto 44:35?
2. Qual è maggiore: il rapporto $(a+3):\frac(a)(6)$, oppure il rapporto $(2a+7):\frac(a)(3)$?
3. Se l'antecedente di una coppia è 65 e il rapporto è 13, qual è il conseguente?
4. Se il conseguente di una coppia è 7 e il rapporto è 18, qual è l'antecedente?
5. Che aspetto ha un rapporto complesso composto da 8:7 e 2a:5b e anche (7x+1):(3y-2)?
6. Che aspetto ha un rapporto complesso composto da (x + y): b e (x-y): (a + b) e anche (a + b): h? Rappresentante. (x 2 - y 2):bh.
7. Se le relazioni (5x+7):(2x-3) e $(x+2):\left(\frac(x)(2)+3\right)$ formano una relazione complessa, allora quale relazione otterrai: più o meno disuguaglianza? Rappresentante. Il rapporto di maggiore disuguaglianza.
8. Qual è il rapporto composto da (x + y):a e (x - y):b, e $b:\frac(x^2-y^2)(a)$? Rappresentante. Rapporto di uguaglianza.
9. Qual è il rapporto di 7:5 e il doppio di 4:9 e il triplo di 3:2?
Rappresentante. 14:15.
10. Qual è il rapporto composto da 3:7, e triplicare il rapporto di x:y, ed estraendo la radice dal rapporto di 49:9?
Rappresentante. x3:y3.
Formula proporzionale
La proporzione è l'uguaglianza di due rapporti quando a:b=c:d
rapporto 1 : 10 è uguale al rapporto di 7 : 70, che si può scrivere anche come frazione: 1 10 = 7 70 recita: "uno sta a dieci come sette sta a settanta"Proprietà di base della proporzione
Il prodotto dei termini estremi è uguale al prodotto dei termini medi (trasversalmente): se a:b=c:d , allora a⋅d=b⋅c
1 10 ✕ 7 70 1 ⋅ 70 = 10 ⋅ 7Inversione di proporzione: se a:b=c:d , allora b:a=d:c
1 10 7 70 10 1 = 70 7Permutazione dei membri intermedi: se a:b=c:d , allora a:c=b:d
1 10 7 70 1 7 = 10 70Permutazione dei membri estremi: se a:b=c:d , allora d:b=c:a
1 10 7 70 70 10 = 7 1Risolvere una proporzione con uno sconosciuto | L'equazione
1 : 10 = X : 70 o 1 10 = X 70Per trovare x, devi moltiplicare due numeri noti in modo incrociato e dividere per il valore opposto
X = 1 ⋅ 70 10 = 7Come calcolare la proporzione
Un compito: devi bere 1 compressa di carbone attivo per 10 chilogrammi di peso. Quante compresse devono essere assunte se una persona pesa 70 kg?
Facciamo una proporzione: 1 compressa - 10 kg X compresse - 70 kg Per trovare x, devi moltiplicare due numeri noti in modo incrociato e dividere per il valore opposto: 1 compressa X compresse✕ 10 kg 70 kg X = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 Risposta: 7 compresse
Un compito: Vasya scrive due articoli in cinque ore. Quanti articoli scriverà in 20 ore?
Facciamo una proporzione: 2 articoli - 5 ore X articoli - 20 ore X = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 Risposta: 8 articoli
Posso dire ai futuri diplomati che la capacità di fare le proporzioni mi è stata utile sia per ridurre proporzionalmente le immagini, sia nel layout HTML di una pagina web, sia nelle situazioni quotidiane.
Per risolvere la maggior parte dei problemi di matematica delle scuole superiori, è richiesta la conoscenza della proporzione. Questa semplice abilità ti aiuterà non solo a eseguire esercizi complessi dal libro di testo, ma anche ad approfondire l'essenza stessa della scienza matematica. Come fare una proporzione? Ora scopriamolo.
L'esempio più semplice è un problema in cui sono noti tre parametri e il quarto deve essere trovato. Le proporzioni sono, ovviamente, diverse, ma spesso è necessario trovare un numero in percentuale. Ad esempio, il ragazzo aveva dieci mele in totale. Ha dato la quarta parte a sua madre. Quante mele ha lasciato il ragazzo? Questo è l'esempio più semplice che ti permetterà di fare una proporzione. L'importante è farlo. In origine c'erano dieci mele. Lascia che sia al 100%. Questo abbiamo segnato tutte le sue mele. Ha dato un quarto. 1/4=25/100. Quindi, ha lasciato: 100% (in origine) - 25% (ha dato) = 75%. Questa cifra mostra la percentuale della quantità di frutta rimasta rispetto alla quantità di frutta disponibile per prima. Ora abbiamo tre numeri con i quali possiamo già risolvere la proporzione. 10 mele - 100%, X mele - 75%, dove x è la quantità di frutta desiderata. Come fare una proporzione? È necessario capire di cosa si tratta. Matematicamente sembra così. Il segno di uguale è per la tua comprensione.
10 mele = 100%;
x mele = 75%.
Si scopre che 10/x = 100%/75. Questa è la proprietà principale delle proporzioni. Dopotutto, più x, maggiore è la percentuale di questo numero rispetto all'originale. Risolviamo questa proporzione e otteniamo x=7,5 mele. Perché il ragazzo abbia deciso di dare una cifra non intera, non lo sappiamo. Ora sai come fare una proporzione. La cosa principale è trovare due rapporti, uno dei quali contiene l'incognita desiderata.
La risoluzione di una proporzione spesso si riduce a una semplice moltiplicazione e quindi alla divisione. Ai bambini non viene insegnato nelle scuole perché è così. Sebbene sia importante capire che le relazioni proporzionali sono dei classici matematici, l'essenza stessa della scienza. Per risolvere le proporzioni, devi essere in grado di gestire le frazioni. Ad esempio, è spesso necessario convertire le percentuali in frazioni ordinarie. Cioè, un record del 95% non funzionerà. E se scrivi immediatamente 95/100, puoi fare solide riduzioni senza iniziare il conteggio principale. Vale la pena dire subito che se la tua proporzione risultasse con due incognite, non può essere risolta. Nessun professore può aiutarti qui. E il tuo compito, molto probabilmente, ha un algoritmo più complesso per le azioni corrette.
Considera un altro esempio in cui non ci sono percentuali. L'automobilista ha acquistato 5 litri di benzina per 150 rubli. Pensò a quanto avrebbe pagato per 30 litri di carburante. Per risolvere questo problema, indichiamo con x la quantità di denaro richiesta. Puoi risolvere questo problema da solo e quindi controllare la risposta. Se non hai ancora capito come fare una proporzione, allora guarda. 5 litri di benzina sono 150 rubli. Come nel primo esempio, scriviamo 5l - 150r. Ora troviamo il terzo numero. Ovviamente sono 30 litri. D'accordo sul fatto che un paio di 30 l - x rubli è appropriato in questa situazione. Passiamo al linguaggio matematico.
5 litri - 150 rubli;
30 litri - x rubli;
Risolviamo questa proporzione:
x = 900 rubli.
Questo è ciò che abbiamo deciso. Nel tuo compito, non dimenticare di verificare l'adeguatezza della risposta. Succede che con la decisione sbagliata, le auto raggiungano velocità irrealistiche di 5000 chilometri orari e così via. Ora sai come fare una proporzione. Inoltre puoi risolverlo. Come puoi vedere, non c'è nulla di complicato in questo.
Una relazione è una certa relazione tra le entità del nostro mondo. Questi possono essere numeri, quantità fisiche, oggetti, prodotti, fenomeni, azioni e persino persone.
Nella vita di tutti i giorni, quando si tratta di rapporti, diciamo "rapporto tra questo e quello". Ad esempio, se in un vaso ci sono 4 mele e 2 pere, allora diciamo rapporto mela/pera rapporto pera mela.
In matematica, il rapporto è spesso usato come "la relazione di qualcosa con qualcosa". Ad esempio, il rapporto di quattro mele e due pere, che abbiamo considerato sopra, in matematica verrà letto come "il rapporto tra quattro mele e due pere" o se scambi mele e pere, allora "il rapporto tra due pere e quattro mele".
Il rapporto è espresso come un a B(dove invece di un e B qualsiasi numero), ma più spesso puoi trovare una voce composta da due punti as a: b. Puoi leggere questa voce in vari modi:
- un a B
- un si riferisce a B
- atteggiamento un a B
Scriviamo il rapporto di quattro mele e due pere usando il simbolo del rapporto:
4: 2
Se scambiamo mele e pere, avremo un rapporto di 2: 4. Questo rapporto può essere letto come "da due a quattro" o uno dei due "due pere equivalgono a quattro mele" .
In quanto segue, faremo riferimento alla relazione come a una relazione.
Contenuto della lezioneChe cos'è un atteggiamento?
La relazione, come accennato in precedenza, è scritta come a: b. Può anche essere scritto come una frazione. E sappiamo che un simile record in matematica significa divisione. Allora il risultato della relazione sarà il quoziente di numeri un e B.
In matematica, un rapporto è il quoziente di due numeri.
Il rapporto ti consente di scoprire quanto di un'entità è per unità di un'altra. Torniamo al rapporto tra quattro mele e due pere (4:2). Questo rapporto ci permetterà di scoprire quante mele ci sono per unità di pera. Un'unità significa una pera. Per prima cosa, scriviamo il rapporto 4:2 come frazione:
Questo rapporto è la divisione del numero 4 per il numero 2. Se eseguiamo questa divisione, otterremo la risposta alla domanda su quante mele ci sono per unità di pera
Ne abbiamo 2. Quindi quattro mele e due pere (4: 2) sono correlate (interrelate tra loro) in modo che ci siano due mele per pera
La figura mostra come quattro mele e due pere si relazionano tra loro. Si può vedere che ci sono due mele per ogni pera.
La relazione può essere invertita scrivendo come . Quindi otteniamo il rapporto tra due pere e quattro mele, o "il rapporto tra due pere e quattro mele". Questo rapporto mostrerà quante pere sono per unità di mela. L'unità di una mela significa una mela.
Per trovare il valore di una frazione, devi ricordare come dividere un numero più piccolo per uno più grande.
Ho 0,5. Convertiamo questa frazione decimale in una normale:
Riduci di 5 la frazione ordinaria risultante
Ho una risposta (mezza pera). Quindi due pere e quattro mele (2: 4) sono correlate (interrelate tra loro) in modo che una mela rappresenti mezza pera
La figura mostra come due pere e quattro mele sono correlate tra loro. Si può vedere che per ogni mela c'è mezza pera.
Si chiamano i numeri che compongono una relazione membri della relazione. Ad esempio, nella relazione 4:2, i membri sono i numeri 4 e 2.
Considera altri esempi di relazioni. Una ricetta è fatta per preparare qualcosa. La ricetta è costruita dai rapporti tra i prodotti. Ad esempio, la preparazione della farina d'avena richiede solitamente un bicchiere di cereali e due bicchieri di latte o acqua. Ciò si traduce in un rapporto 1:2 ("uno a due" o "un bicchiere di cereali per due bicchieri di latte").
Convertiamo il rapporto 1: 2 in una frazione, otteniamo. Calcolando questa frazione, otteniamo 0,5. Quindi un bicchiere di cereali e due bicchieri di latte sono correlati (correlati) in modo che ci sia mezzo bicchiere di cereali per un bicchiere di latte.
Se capovolgi il rapporto 1:2, ottieni un rapporto 2:1 ("due a uno" o "due bicchieri di latte per un bicchiere di cereali"). Convertindo il rapporto 2:1 in una frazione, otteniamo. Calcolando questa frazione, otteniamo 2. Quindi due bicchieri di latte e un bicchiere di cereali sono correlati (correlati tra loro) in modo che ci siano due bicchieri di latte per un bicchiere di cereali.
Esempio 2 Ci sono 15 studenti nella classe. Di questi, 5 sono maschi, 10 femmine. È possibile scrivere un rapporto tra ragazze e ragazzi di 10:5 e convertire questo rapporto in una frazione. Calcolando questa frazione, otteniamo 2. Cioè, ragazze e ragazzi sono imparentati tra loro in modo che per ogni ragazzo ci siano due ragazze
La figura mostra come si relazionano tra loro dieci ragazze e cinque ragazzi. Si può vedere che per ogni ragazzo ci sono due ragazze.
Non è sempre possibile convertire un rapporto in una frazione e trovare un quoziente. In alcuni casi sarà illogico.
Quindi, se capovolgi il rapporto, questo è il rapporto tra ragazzi e ragazze. Se calcoli questa frazione, ottieni 0,5. Si scopre che cinque ragazzi sono imparentati con dieci ragazze in modo tale che per ogni ragazza c'è mezzo ragazzo. Matematicamente questo è ovviamente vero, ma dal punto di vista della realtà non è del tutto ragionevole, perché un ragazzo è una persona viva e non può essere preso e diviso come una pera o una mela.
La capacità di costruire il giusto atteggiamento è un'abilità importante nella risoluzione dei problemi. Quindi in fisica, il rapporto tra la distanza percorsa e il tempo è la velocità del movimento.
La distanza è indicata dalla variabile S, tempo - attraverso una variabile T, velocità - attraverso la variabile v. Poi la frase "il rapporto tra la distanza percorsa e il tempo è la velocità del movimento" sarà descritto dalla seguente espressione:
Supponiamo che un'auto percorra 100 chilometri in 2 ore. Quindi il rapporto tra 100 chilometri percorsi e 2 ore sarà la velocità dell'auto:
La velocità è la distanza percorsa da un corpo nell'unità di tempo. L'unità di tempo è 1 ora, 1 minuto o 1 secondo. E il rapporto, come accennato in precedenza, ti consente di scoprire quanto di un'entità è per unità di un'altra. Nel nostro esempio, il rapporto tra cento chilometri e due ore mostra quanti chilometri ci sono per un'ora di movimento. Vediamo che per ogni ora di movimento ci sono 50 chilometri
Quindi la velocità si misura km/h, m/min, m/s. Il simbolo della frazione (/) indica il rapporto tra la distanza e il tempo: chilometri all'ora , metri al minuto e metri al secondo rispettivamente.
Esempio 2. Il rapporto tra il valore di una merce e la sua quantità è il prezzo di un'unità della merce.
Se prendiamo 5 barrette di cioccolato nel negozio e il loro costo totale è di 100 rubli, possiamo determinare il prezzo di una barretta. Per fare ciò, devi trovare il rapporto tra cento rubli e il numero di barre. Quindi otteniamo che una barra rappresenta 20 rubli
Confronto di valori
In precedenza abbiamo appreso che il rapporto tra quantità di natura diversa forma una nuova quantità. Pertanto, il rapporto tra la distanza percorsa e il tempo è la velocità del movimento. Il rapporto tra il valore di una merce e la sua quantità è il prezzo di un'unità della merce.
Ma il rapporto può essere utilizzato anche per confrontare i valori. Il risultato di tale relazione è un numero che mostra quante volte il primo valore è maggiore del secondo, o quale parte il primo valore è dal secondo.
Per scoprire quante volte il primo valore è maggiore del secondo, è necessario scrivere un valore maggiore al numeratore del rapporto e un valore minore al denominatore.
Per scoprire quale parte è il primo valore dal secondo, devi scrivere un valore più piccolo nel numeratore del rapporto e un valore più grande nel denominatore.
Considera i numeri 20 e 2. Scopri quante volte il numero 20 è maggiore del numero 2. Per fare ciò, troviamo il rapporto tra il numero 20 e il numero 2. Scrivi il numero 20 nel numeratore del rapporto , e il numero 2 al denominatore
Il valore di questo rapporto è dieci
Il rapporto tra il numero 20 e il numero 2 è il numero 10. Questo numero mostra quante volte il numero 20 è maggiore del numero 2. Quindi il numero 20 è dieci volte maggiore del numero 2.
Esempio 2 Ci sono 15 studenti nella classe. 5 di loro sono maschi, 10 femmine. Determina quante volte sono più le ragazze dei ragazzi.
Scrivi l'atteggiamento delle ragazze nei confronti dei ragazzi. Nel numeratore del rapporto scriviamo il numero di ragazze, al denominatore del rapporto - il numero di ragazzi:
Il valore di questo rapporto è 2. Significa che in una classe di 15 ci sono il doppio delle ragazze rispetto ai ragazzi.
Non è più una questione di quante ragazze ci sono per un ragazzo. In questo caso, il rapporto viene utilizzato per confrontare il numero di ragazze con il numero di ragazzi.
Esempio 3. Quale parte del numero 2 proviene dal numero 20.
Troviamo il rapporto tra il numero 2 e il numero 20. Nel numeratore del rapporto scriviamo il numero 2 e nel denominatore il numero 20
Per trovare il significato di questa relazione, devi ricordare,
Il valore del rapporto tra il numero 2 e il numero 20 è il numero 0,1
In questo caso, la frazione decimale 0,1 può essere convertita in una frazione ordinaria. Questa risposta sarà più facile da capire:
Quindi il numero 2 del numero 20 è un decimo.
Puoi fare un controllo. Per fare ciò, lo troveremo dal numero 20. Se abbiamo fatto tutto correttamente, dovremmo ottenere il numero 2
20: 10 = 2
2 x 1 = 2
Abbiamo il numero 2. Quindi un decimo del numero 20 è il numero 2. Da questo concludiamo che il problema è stato risolto correttamente.
Esempio 4 Ci sono 15 persone nella classe. 5 di loro sono maschi, 10 femmine. Determina quale proporzione del numero totale di studenti sono ragazzi.
Scriviamo il rapporto tra i ragazzi e il numero totale degli studenti. Scriviamo cinque ragazzi al numeratore del rapporto e il numero totale di scolari al denominatore. Il numero totale di scolari è 5 maschi più 10 femmine, quindi scriviamo il numero 15 al denominatore del rapporto
Per trovare il valore di questo rapporto, devi ricordare come dividere un numero più piccolo per uno più grande. In questo caso, il numero 5 deve essere diviso per il numero 15
Quando dividi 5 per 15, ottieni una frazione periodica. Convertiamo questa frazione in un ordinario
Ho la risposta finale. Quindi i ragazzi costituiscono un terzo dell'intera classe
La figura mostra che in una classe di 15 studenti, un terzo della classe è composto da 5 ragazzi.
Se per la verifica troviamo da 15 scolari, avremo 5 ragazzi
15: 3 = 5
5 x 1 = 5
Esempio 5 Quante volte il numero 35 è maggiore del numero 5?
Scriviamo il rapporto tra il numero 35 e il numero 5. Nel numeratore del rapporto, devi scrivere il numero 35, al denominatore - il numero 5, ma non viceversa
Il valore di questo rapporto è 7. Quindi il numero 35 è sette volte maggiore del numero 5.
Esempio 6 Ci sono 15 persone nella classe. 5 di loro sono maschi, 10 femmine. Determina quale proporzione del numero totale sono ragazze.
Scriviamo il rapporto tra ragazze e numero totale di studenti. Scriviamo dieci ragazze al numeratore del rapporto e il numero totale di scolari al denominatore. Il numero totale di scolari è 5 maschi più 10 femmine, quindi scriviamo il numero 15 al denominatore del rapporto
Per trovare il valore di questo rapporto, devi ricordare come dividere un numero più piccolo per uno più grande. In questo caso, il numero 10 deve essere diviso per il numero 15
Quando dividi 10 per 15, ottieni una frazione periodica. Convertiamo questa frazione in un ordinario
Riduciamo di 3 la frazione risultante
Ho la risposta finale. Quindi le ragazze costituiscono i due terzi dell'intera classe
La figura mostra che in una classe di 15 studenti, due terzi della classe sono 10 ragazze.
Se per verifica troviamo da 15 scolari, allora otteniamo 10 ragazze
15: 3 = 5
5 x 2 = 10
Esempio 7 Quale parte di 10 cm è 25 cm
Annota il rapporto tra dieci centimetri e venticinque centimetri. Al numeratore del rapporto scriviamo 10 cm, al denominatore - 25 cm
Per trovare il valore di questo rapporto, devi ricordare come dividere un numero più piccolo per uno più grande. In questo caso, il numero 10 deve essere diviso per il numero 25
Convertiamo la frazione decimale risultante in una normale
Riduciamo di 2 la frazione risultante
Ho la risposta finale. Quindi 10 cm sono 25 cm.
Esempio 8 Quante volte è 25 cm maggiore di 10 cm
Annota il rapporto tra venticinque centimetri e dieci centimetri. Al numeratore del rapporto scriviamo 25 cm, al denominatore - 10 cm
Ho la risposta 2.5. Quindi 25 cm sono 2,5 volte più di 10 cm (due volte e mezzo)
Nota importante. Quando si trova il rapporto tra le stesse quantità fisiche, queste quantità devono essere espresse in un'unità di misura, altrimenti la risposta sarà errata.
Ad esempio, se abbiamo a che fare con due lunghezze e vogliamo sapere quante volte la prima lunghezza è maggiore della seconda, o quale parte la prima lunghezza è dalla seconda, allora entrambe le lunghezze devono essere prima espresse in un'unità di misura.
Esempio 9 Quante volte 150 cm sono più di 1 metro?
Innanzitutto, assicuriamoci che entrambe le lunghezze siano espresse nella stessa unità. Per fare ciò, converti 1 metro in centimetri. Un metro è cento centimetri
1 metro = 100 cm
Ora troviamo il rapporto tra centocinquanta centimetri e cento centimetri. Al numeratore del rapporto scriviamo 150 centimetri, al denominatore - 100 centimetri
Troviamo il valore di questa relazione
Ho la risposta 1.5. Quindi 150 cm sono più di 100 cm per 1,5 volte (una volta e mezza).
E se non iniziassimo a convertire i metri in centimetri e cercassimo immediatamente di trovare il rapporto tra 150 cm e un metro, otterremmo quanto segue:
Risulterebbe che 150 cm sono centocinquanta volte più di un metro, ma questo non è vero. Pertanto, è imperativo prestare attenzione alle unità di misura delle grandezze fisiche coinvolte nella relazione. Se queste quantità sono espresse in diverse unità di misura, per trovare il rapporto tra queste quantità, è necessario passare a un'unità di misura.
Esempio 10 Il mese scorso, lo stipendio di una persona era di 25.000 rubli e questo mese lo stipendio è aumentato a 27.000 rubli. Determina quanto è aumentato lo stipendio
Scriviamo il rapporto tra ventisettemila e venticinquemila. Al numeratore del rapporto scriviamo 27000, al denominatore - 25000
Troviamo il valore di questa relazione
Ho la risposta 1.08. Quindi lo stipendio è aumentato di 1,08 volte. In futuro, quando conosceremo le percentuali, esprimeremo tali indicatori come stipendio in percentuale.
Esempio 11. Il condominio è largo 80 metri e alto 16 metri. Quante volte la larghezza della casa è maggiore della sua altezza?
Scriviamo il rapporto tra la larghezza della casa e la sua altezza:
Il valore di questo rapporto è 5. Ciò significa che la larghezza della casa è cinque volte la sua altezza.
proprietà di relazione
Il rapporto non cambierà se i suoi termini vengono moltiplicati o divisi per lo stesso numero.
Questa una delle proprietà più importanti di una relazione deriva dalla proprietà del quoziente. Sappiamo che se il dividendo e il divisore vengono moltiplicati o divisi per lo stesso numero, il quoziente non cambierà. E poiché il rapporto non è altro che una divisione, anche la proprietà del quoziente funziona.
Ritorniamo all'atteggiamento delle ragazze verso i ragazzi (10,5). Questo rapporto ha mostrato che per ogni ragazzo ci sono due ragazze. Verifichiamo come funziona la proprietà di relazione, ovvero proviamo a moltiplicare o dividere i suoi membri per lo stesso numero.
Nel nostro esempio, è più conveniente dividere i termini della relazione per il loro massimo comun divisore (MCD).
GCD dei membri 10 e 5 è il numero 5. Pertanto, puoi dividere i termini della relazione per il numero 5
Ho un nuovo atteggiamento. È un rapporto di due a uno (2:1). Questo rapporto, come il precedente rapporto di 10:5, mostra che ci sono due ragazze per ogni ragazzo.
La figura mostra un rapporto 2:1 (due a uno). Come nel precedente rapporto 10:5, ci sono due ragazze per ragazzo. In altre parole, l'atteggiamento non è cambiato.
Esempio 2. Ci sono 10 ragazze e 5 ragazzi in una classe. Ci sono 20 ragazze e 10 ragazzi in un'altra classe. Quante volte ci sono più ragazze che ragazzi in prima elementare? Quante volte ci sono più ragazze che ragazzi in seconda elementare?
Ci sono il doppio delle ragazze rispetto ai ragazzi in entrambe le classi, poiché i rapporti di e sono uguali allo stesso numero.
La proprietà di relazione consente di costruire vari modelli che hanno parametri simili all'oggetto reale. Supponiamo che un condominio sia largo 30 metri e alto 10 metri.
Per disegnare una casa simile su carta, devi disegnarla nello stesso rapporto di 30:10.
Dividi entrambi i termini di questo rapporto per il numero 10. Quindi otteniamo il rapporto 3: 1. Questo rapporto è 3, come il rapporto precedente è 3
Converti metri in centimetri. 3 metri sono 300 centimetri e 1 metro è 100 centimetri.
3 m = 300 cm
1 metro = 100 cm
Abbiamo un rapporto di 300 cm: 100 cm. Dividi i termini di questo rapporto per 100. Otteniamo un rapporto di 3 cm: 1 cm. Ora possiamo disegnare una casa con una larghezza di 3 cm e un'altezza di 1 cm
Naturalmente, la casa disegnata è molto più piccola della casa reale, ma il rapporto tra larghezza e altezza rimane invariato. Questo ci ha permesso di disegnare una casa il più vicino possibile a quella reale.
L'atteggiamento può essere inteso in un altro modo. Inizialmente si diceva che una vera casa avesse una larghezza di 30 metri e un'altezza di 10 metri. Il totale è 30 + 10, cioè 40 metri.
Questi 40 metri possono essere intesi come 40 parti. Un rapporto di 30:10 significa 30 parti per la larghezza e 10 parti per l'altezza.
Inoltre, i membri del rapporto 30: 10 sono stati divisi per 10. Il risultato è stato un rapporto di 3: 1. Questo rapporto può essere inteso come 4 parti, tre delle quali cadono sulla larghezza, una sull'altezza. In questo caso, di solito devi scoprire esattamente quanti metri per larghezza e altezza.
In altre parole, devi scoprire quanti metri cadono in 3 parti e quanti metri cadono in 1 parte. Per prima cosa devi scoprire quanti metri cadono su una parte. Per fare ciò, i 40 metri totali devono essere divisi per 4, poiché ci sono solo quattro parti in un rapporto 3: 1
Determiniamo di quanti metri è la larghezza:
10 m × 3 = 30 m
Determiniamo quanti metri cadono sull'altezza:
10 m × 1 = 10 m
Più membri di una relazione
Se in una relazione vengono dati più membri, allora possono essere intesi come parti di qualcosa.
Esempio 1. Comprato 18 mele. Queste mele sono state divise tra mamma, papà e figlia in un rapporto di 2: 1: 3. Quante mele ha ricevuto ciascuna?
Il rapporto di 2: 1: 3 indica che la madre ha ricevuto 2 parti, il padre - 1 parte, la figlia - 3 parti. In altre parole, ogni membro del rapporto 2:1:3 è una certa frazione di 18 mele:
Se aggiungi i termini del rapporto 2: 1: 3, puoi scoprire quante parti ci sono in totale:
2 + 1 + 3 = 6 (parti)
Scopri quante mele cadono da una parte. Per fare questo, dividi 18 mele per 6
18:6 = 3 (mele per parte)
Ora determiniamo quante mele ciascuna ha ricevuto. Moltiplicando tre mele per ogni membro del rapporto 2:1:3, puoi determinare quante mele ha la mamma, quante ha il papà e quante la figlia.
Scopri quante mele ha preso la mamma:
3 × 2 = 6 (mele)
Scopri quante mele ha avuto papà:
3 × 1 = 3 (mele)
Scopri quante mele ha ricevuto la figlia:
3 × 3 = 9 (mele)
Esempio 2. L'argento nuovo (alpaca) è una lega di nichel, zinco e rame in un rapporto di 3:4:13. Quanti chilogrammi di ogni metallo devono essere presi per ottenere 4 kg di argento nuovo?
4 chilogrammi di argento nuovo conterranno 3 parti di nichel, 4 parti di zinco e 13 parti di rame. Per prima cosa, scopriamo quante parti ci saranno in quattro chilogrammi di argento:
3 + 4 + 13 = 20 (parti)
Determina quanti chilogrammi cadranno su una parte:
4 kg: 20 = 0,2 kg
Determiniamo quanti chilogrammi di nichel saranno contenuti in 4 kg di argento nuovo. Nel rapporto 3:4:13, si dice che tre parti della lega contengano nichel. Quindi moltiplichiamo 0,2 per 3:
0,2 kg × 3 = 0,6 kg di nichel
Ora determiniamo quanti chilogrammi di zinco saranno contenuti in 4 kg di argento nuovo. Nel rapporto 3:4:13, si dice che quattro parti della lega contengano zinco. Quindi moltiplichiamo 0,2 per 4:
0,2 kg × 4 = 0,8 kg di zinco
Ora determiniamo quanti chilogrammi di rame saranno contenuti in 4 kg di argento nuovo. Nel rapporto 3:4:13, si dice che tredici parti della lega contengano rame. Pertanto, moltiplichiamo 0,2 per 13:
0,2 kg × 13 = 2,6 kg di rame
Quindi, per ottenere 4 kg di argento nuovo, devi prendere 0,6 kg di nichel, 0,8 kg di zinco e 2,6 kg di rame.
Esempio 3. L'ottone è una lega di rame e zinco il cui rapporto di massa è 3:2. Occorrono 120 g di rame per fare un pezzo di ottone. Quanto zinco è necessario per realizzare questo pezzo di ottone?
Determiniamo quanti grammi di lega cadono su una parte. La condizione dice che per fare un pezzo di ottone sono necessari 120 g di rame. Si dice anche che tre parti della lega contengano rame. Se dividiamo 120 per 3, scopriamo quanti grammi di lega ci sono in una parte:
120: 3 = 40 grammi per pezzo
Ora determiniamo quanto zinco è necessario per realizzare un pezzo di ottone. Per fare ciò, moltiplichiamo 40 grammi per 2, poiché in un rapporto di 3: 2 è indicato che due parti contengono zinco:
40 g × 2 = 80 grammi di zinco
Esempio 4. Hanno preso due leghe d'oro e d'argento. In uno, il rapporto di questi metalli è 1: 9 e nell'altro 2: 3. Quanto di ciascuna lega dovrebbe essere preso per ottenere 15 kg di una nuova lega in cui oro e argento sarebbero correlati come 1: 4?
Soluzione
15 kg di una nuova lega dovrebbero avere un rapporto di 1: 4. Questo rapporto indica che una parte della lega avrà oro e quattro parti avranno argento. Ci sono cinque parti in totale. Schematicamente, questo può essere rappresentato come segue
Determiniamo la massa di una parte. Per fare ciò, somma prima tutte le parti (1 e 4), poi dividi la massa della lega per il numero di queste parti
1 + 4 = 5
15 kg: 5 = 3 kg
Una parte della lega avrà una massa di 3 kg. Quindi 15 kg della nuova lega conterranno 3 × 1 = 3 kg di oro e 3 × 4 = 12 kg di argento.
Pertanto, per ottenere una lega del peso di 15 kg, occorrono 3 kg di oro e 12 kg di argento.
Ora rispondiamo alla domanda del compito - " Quanto prendere ogni lega? »
Prenderemo 10 kg della prima lega, poiché l'oro e l'argento in essa contenuti sono in un rapporto di 1: 9. Cioè, questa prima lega ci darà 1 kg di oro e 9 kg di argento.
Prenderemo 5 kg della seconda lega, poiché l'oro e l'argento sono in essa contenuti in un rapporto di 2: 3. Cioè, questa seconda lega ci darà 2 kg di oro e 3 kg di argento.
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