In matematica esistono trucchi speciali con cui molte equazioni quadratiche vengono risolte molto rapidamente e senza discriminanti. Inoltre, con un'adeguata formazione, molti iniziano a risolvere verbalmente le equazioni di secondo grado, letteralmente "a colpo d'occhio".
Sfortunatamente, nel corso moderno della matematica scolastica, tali tecnologie non vengono quasi studiate. E devi sapere! E oggi considereremo una di queste tecniche: il teorema di Vieta. Innanzitutto, introduciamo una nuova definizione.
Un'equazione quadratica della forma x 2 + bx + c = 0 è chiamata ridotta. Si noti che il coefficiente in x 2 è uguale a 1. Non ci sono altre restrizioni sui coefficienti.
- x 2 + 7x + 12 = 0 è l'equazione quadratica ridotta;
- x 2 − 5x + 6 = 0 è anche ridotto;
- 2x 2 − 6x + 8 = 0 - ma questo non è affatto dato, poiché il coefficiente in x 2 è 2.
Naturalmente, qualsiasi equazione quadratica della forma ax 2 + bx + c = 0 può essere ridotta: è sufficiente dividere tutti i coefficienti per il numero a . Possiamo sempre farlo, poiché dalla definizione di un'equazione quadratica deriva che a ≠ 0.
È vero, queste trasformazioni non saranno sempre utili per trovare le radici. Un po' più in basso, ci assicureremo che ciò avvenga solo quando nell'equazione al quadrato finale tutti i coefficienti sono interi. Per ora, diamo un'occhiata ad alcuni semplici esempi:
Un compito. Converti l'equazione quadratica in ridotta:
- 3x2 - 12x + 18 = 0;
- −4x2 + 32x + 16 = 0;
- 1,5x2 + 7,5x + 3 = 0;
- 2x2 + 7x − 11 = 0.
Dividiamo ciascuna equazione per il coefficiente della variabile x 2 . Noi abbiamo:
- 3x 2 - 12x + 18 \u003d 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 \u003d 0 - dividi tutto per 3;
- −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - diviso per −4;
- 1,5x 2 + 7,5x + 3 \u003d 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 \u003d 0 - diviso per 1,5, tutti i coefficienti sono diventati interi;
- 2x 2 + 7x - 11 \u003d 0 ⇒ x 2 + 3,5x - 5,5 \u003d 0 - diviso per 2. In questo caso sono emersi coefficienti frazionari.
Come puoi vedere, le equazioni quadratiche date possono avere coefficienti interi anche se l'equazione originale conteneva frazioni.
Ora formuliamo il teorema principale, per il quale, infatti, è stato introdotto il concetto di equazione quadratica ridotta:
Il teorema di Vieta. Considera l'equazione quadratica ridotta della forma x 2 + bx + c \u003d 0. Supponiamo che questa equazione abbia radici reali x 1 e x 2. In questo caso sono vere le seguenti affermazioni:
- x1 + x2 = -b. In altre parole, la somma delle radici dell'equazione quadratica data è uguale al coefficiente della variabile x, preso con segno opposto;
- x 1 x 2 = c. Il prodotto delle radici di un'equazione quadratica è uguale al coefficiente libero.
Esempi. Per semplicità, considereremo solo le equazioni quadratiche date che non richiedono trasformazioni aggiuntive:
- x 2 - 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = - (-9) = 9; x 1 x 2 = 20; radici: x 1 = 4; x 2 \u003d 5;
- x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 \u003d -15; radici: x 1 = 3; x 2 \u003d -5;
- x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = -5; x 1 x 2 = 4; radici: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -4.
Il teorema di Vieta fornisce ulteriori informazioni sulle radici di un'equazione quadratica. A prima vista, può sembrare complicato, ma anche con un allenamento minimo imparerai a "vedere" le radici e letteralmente indovinarle in pochi secondi.
Un compito. Risolvi l'equazione quadratica:
- x2 - 9x + 14 = 0;
- x 2 - 12 x + 27 = 0;
- 3x2 + 33x + 30 = 0;
- −7x2 + 77x − 210 = 0.
Proviamo a scrivere i coefficienti secondo il teorema di Vieta e ad "indovinare" le radici:
- x 2 − 9x + 14 = 0 è un'equazione quadratica ridotta.
Per il teorema di Vieta, abbiamo: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 x 2 = 14. È facile vedere che le radici sono i numeri 2 e 7; - x 2 − 12x + 27 = 0 è anche ridotto.
Per il teorema di Vieta: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Da qui le radici: 3 e 9; - 3x 2 + 33x + 30 = 0 - Questa equazione non viene ridotta. Ma lo risolveremo ora dividendo entrambi i lati dell'equazione per il coefficiente a \u003d 3. Otteniamo: x 2 + 11x + 10 \u003d 0.
Risolviamo secondo il teorema di Vieta: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ radici: −10 e −1; - −7x 2 + 77x − 210 \u003d 0 - ancora una volta il coefficiente in x 2 non è uguale a 1, cioè equazione non data. Dividiamo tutto per il numero a = −7. Otteniamo: x 2 - 11x + 30 = 0.
Per il teorema di Vieta: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; da queste equazioni è facile indovinare le radici: 5 e 6.
Dal ragionamento di cui sopra, si può vedere come il teorema di Vieta semplifichi la soluzione di equazioni quadratiche. Niente calcoli complicati, niente radici e frazioni aritmetiche. E anche il discriminante (vedi la lezione " Risolvere le equazioni di secondo grado") Non ci serviva.
Naturalmente, in tutte le nostre riflessioni, siamo partiti da due presupposti importanti, che, in generale, non sempre si realizzano nei problemi reali:
- L'equazione quadratica è ridotta, cioè il coefficiente in x 2 è 1;
- L'equazione ha due radici diverse. Dal punto di vista dell'algebra, in questo caso il discriminante D > 0 - infatti, inizialmente assumiamo che questa disuguaglianza sia vera.
Tuttavia, nei tipici problemi matematici queste condizioni sono soddisfatte. Se il risultato dei calcoli è un'equazione quadratica "cattiva" (il coefficiente in x 2 è diverso da 1), è facile da risolvere: dai un'occhiata agli esempi all'inizio della lezione. In genere taccio sulle radici: che razza di compito è questo in cui non c'è risposta? Ovviamente ci saranno le radici.
Pertanto, lo schema generale per risolvere le equazioni quadratiche secondo il teorema di Vieta è il seguente:
- Ridurre l'equazione quadratica a quella data, se ciò non è già stato fatto nella condizione del problema;
- Se i coefficienti nell'equazione quadratica sopra risultano essere frazionari, risolviamo attraverso il discriminante. Puoi anche tornare all'equazione originale per lavorare con numeri più "convenienti";
- Nel caso di coefficienti interi, risolviamo l'equazione usando il teorema di Vieta;
- Se nel giro di pochi secondi non è stato possibile indovinare le radici, puntiamo sul teorema di Vieta e risolviamo tramite il discriminante.
Un compito. Risolvi l'equazione: 5x 2 − 35x + 50 = 0.
Quindi, abbiamo un'equazione che non è ridotta, perché coefficiente a \u003d 5. Dividi tutto per 5, otteniamo: x 2 - 7x + 10 \u003d 0.
Tutti i coefficienti dell'equazione quadratica sono interi: proviamo a risolverlo usando il teorema di Vieta. Abbiamo: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 x 2 \u003d 10. In questo caso, le radici sono facili da indovinare: sono 2 e 5. Non è necessario contare attraverso il discriminante.
Un compito. Risolvi l'equazione: -5x 2 + 8x - 2,4 = 0.
Osserviamo: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 - questa equazione non è ridotta, dividiamo entrambi i membri per il coefficiente a = −5. Otteniamo: x 2 - 1,6x + 0,48 \u003d 0 - un'equazione con coefficienti frazionari.
È meglio tornare all'equazione originale e contare attraverso il discriminante: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 (−5) (−2.4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1.2 ; x 2 \u003d 0,4.
Un compito. Risolvi l'equazione: 2x 2 + 10x − 600 = 0.
Per cominciare, dividiamo tutto per il coefficiente a \u003d 2. Otteniamo l'equazione x 2 + 5x - 300 \u003d 0.
Questa è l'equazione ridotta, secondo il teorema di Vieta abbiamo: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 \u003d -300. È difficile indovinare le radici dell'equazione quadratica in questo caso - personalmente, mi sono seriamente "congelato" quando ho risolto questo problema.
Dovremo cercare le radici attraverso il discriminante: D = 5 2 − 4 1 (−300) = 1225 = 35 2 . Se non ricordi la radice del discriminante, noterò solo che 1225: 25 = 49. Pertanto, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2 .
Ora che la radice del discriminante è nota, risolvere l'equazione non è difficile. Otteniamo: x 1 \u003d 15; x 2 \u003d -20.
2.5 Formula Vieta per polinomi (equazioni) di grado superiore
Le formule derivate da Vieta per le equazioni quadratiche valgono anche per i polinomi di grado superiore.
Sia il polinomio
P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n
Ha n radici distinte x 1 , x 2 …, x n .
In questo caso, ha una fattorizzazione della forma:
a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)
Dividiamo entrambe le parti di questa uguaglianza per 0 ≠ 0 ed espandiamo le parentesi nella prima parte. Otteniamo l'uguaglianza:
xn + ()xn -1 + ... + () = xn - (x 1 + x 2 + ... + xn) xn -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + ... + xn -1 xn)xn - 2 + … +(-1) nx 1 x 2 … xn
Ma due polinomi sono identicamente uguali se e solo se i coefficienti alle stesse potenze sono uguali. Ne consegue che l'uguaglianza
x 1 + x 2 + … + x n = -
x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =
x 1 x 2 … x n = (-1) n
Ad esempio, per polinomi di terzo grado
a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3
Abbiamo identità
x 1 + x 2 + x 3 = -
x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =
x 1 x 2 x 3 = -
Per quanto riguarda le equazioni quadratiche, questa formula è chiamata formule di Vieta. Le parti a sinistra di queste formule sono polinomi simmetrici dalle radici x 1 , x 2 ..., x n dell'equazione data e le parti a destra sono espresse in termini di coefficiente del polinomio.
2.6 Equazioni riducibili ai quadrati (biquadratiche)
Le equazioni di quarto grado sono ridotte a equazioni quadratiche:
ascia 4 + bx 2 + c = 0,
detto biquadratico, inoltre, a ≠ 0.
È sufficiente inserire x 2 \u003d y in questa equazione, quindi,
ay² + di + c = 0
trova le radici dell'equazione quadratica risultante
y 1,2 = 
Per trovare immediatamente le radici x 1, x 2, x 3, x 4, sostituisci y con x e ottieni
x2 =
x 1,2,3,4 = 
.
Se l'equazione del quarto grado ha x 1, allora ha anche una radice x 2 \u003d -x 1,
Se ha x 3, allora x 4 \u003d - x 3. La somma delle radici di tale equazione è zero.
2x 4 - 9x² + 4 = 0
Sostituiamo l'equazione nella formula per le radici delle equazioni biquadratiche:
x 1,2,3,4 = 
,
sapendo che x 1 \u003d -x 2 e x 3 \u003d -x 4, quindi:
x 3,4 = 
Risposta: x 1,2 \u003d ± 2; x 1,2 =
2.7 Studio delle equazioni biquadratiche
Prendiamo l'equazione biquadratica
ascia 4 + bx 2 + c = 0,
dove a, b, c sono numeri reali e a > 0. Introducendo un'incognita ausiliaria y = x², esaminiamo le radici di questa equazione e inseriamo i risultati in una tabella (vedi Appendice n. 1)
2.8 Formula Cardano
Se usiamo il simbolismo moderno, la derivazione della formula di Cardano può assomigliare a questa:
x = 
Questa formula determina le radici dell'equazione generale di terzo grado:
ascia 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.
Questa formula è molto ingombrante e complessa (contiene diversi radicali complessi). Non sempre si applica, perché. molto difficile da completare.
F ¢(x®) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...
Elenca o scegli tra 2-3 testi i luoghi più interessanti. Pertanto, abbiamo considerato le disposizioni generali per la creazione e lo svolgimento di corsi opzionali, di cui si terrà conto nello sviluppo di un corso opzionale in algebra per il grado 9 "Equazioni quadricolari e disuguaglianze con un parametro". Capitolo II. Metodologia per lo svolgimento di un corso a scelta "Equazioni quadratiche e disuguaglianze con un parametro" 1.1. Generale...
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In questa lezione conosceremo le curiose relazioni tra le radici di un'equazione quadratica ei suoi coefficienti. Queste relazioni furono scoperte per la prima volta dal matematico francese Francois Viet (1540-1603).
Ad esempio, per l'equazione Зx 2 - 8x - 6 \u003d 0, senza trovare le sue radici, puoi, usando il teorema di Vieta, dire immediatamente che la somma delle radici è , e il prodotto delle radici è
cioè - 2. E per l'equazione x 2 - 6x + 8 \u003d 0 concludiamo: la somma delle radici è 6, il prodotto delle radici è 8; a proposito, non è difficile indovinare a cosa corrispondono le radici: 4 e 2.
Dimostrazione del teorema di Vieta. Le radici x 1 e x 2 dell'equazione quadratica ax 2 + bx + c \u003d 0 sono trovate dalle formule
Dove D \u003d b 2 - 4ac è il discriminante dell'equazione. Deporre queste radici
noi abbiamo
Ora calcoliamo il prodotto delle radici x 1 e x 2 che abbiamo
Si dimostra la seconda relazione:
Commento.
Il teorema di Vieta è valido anche nel caso in cui l'equazione quadratica abbia una radice (cioè quando D \u003d 0), è solo che in questo caso si considera che l'equazione ha due radici identiche, a cui vengono applicate le relazioni di cui sopra.
Le relazioni comprovate per l'equazione quadratica ridotta x 2 + px + q \u003d 0 assumono una forma particolarmente semplice.In questo caso, otteniamo:
x 1 \u003d x 2 \u003d -p, x 1 x 2 \u003d q
quelli. la somma delle radici dell'equazione quadratica data è uguale al secondo coefficiente, preso con segno opposto, e il prodotto delle radici è uguale al termine libero.
Usando il teorema di Vieta, si possono anche ottenere altre relazioni tra le radici ei coefficienti di un'equazione quadratica. Siano, ad esempio, x 1 e x 2 le radici dell'equazione quadratica ridotta x 2 + px + q = 0. Quindi
Tuttavia, lo scopo principale del teorema di Vieta non è quello di esprimere determinate relazioni tra le radici ei coefficienti di un'equazione quadratica. Molto più importante è il fatto che con l'aiuto del teorema di Vieta si ricava una formula per fattorizzare un trinomio quadrato, senza la quale non faremo in futuro.
Prova. abbiamo
Esempio 1. Fattorizzare il trinomio quadrato 3x 2 - 10x + 3.
Soluzione. Dopo aver risolto l'equazione Zx 2 - 10x + 3 \u003d 0, troviamo le radici del trinomio quadrato Zx 2 - 10x + 3: x 1 \u003d 3, x2 \u003d.
Usando il Teorema 2, otteniamo
Ha senso invece scrivere Zx - 1. Quindi otteniamo finalmente Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1).
Si noti che il trinomio quadrato dato può essere scomposto senza usare il Teorema 2, usando il metodo di raggruppamento:
Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2 - 9x - x + 3 =
\u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \u003d (x - 3) (Zx - 1).
Ma, come puoi vedere, con questo metodo il successo dipende dal fatto che riusciamo a trovare un raggruppamento riuscito o meno, mentre con il primo metodo il successo è assicurato.
Esempio 1. Riduci la frazione
Soluzione. Dall'equazione 2x 2 + 5x + 2 = 0 troviamo x 1 = - 2,
Dall'equazione x2 - 4x - 12 = 0 troviamo x 1 = 6, x 2 = -2. Ecco perché
x 2 - 4x - 12 \u003d (x - 6) (x - (- 2)) \u003d (x - 6) (x + 2).
Ora riduciamo la frazione data:
Esempio 3. Fattorizzare le espressioni:
a) x4 + 5x 2 +6; b) 2x+-3
Soluzione a) Introduciamo una nuova variabile y = x 2 . Questo ci permetterà di riscrivere l'espressione data sotto forma di trinomio quadrato rispetto alla variabile y, cioè nella forma y 2 + bу + 6.
Dopo aver risolto l'equazione y 2 + bу + 6 \u003d 0, troviamo le radici del trinomio quadrato y 2 + 5y + 6: y 1 \u003d - 2, y 2 \u003d -3. Ora usiamo il Teorema 2; noi abbiamo
y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
Resta da ricordare che y \u003d x 2, ovvero tornare all'espressione data. Così,
x 4 + 5x 2 + 6 \u003d (x 2 + 2) (x 2 + 3).
b) Introduciamo una nuova variabile y = . Ciò ti consentirà di riscrivere l'espressione data sotto forma di trinomio quadrato rispetto alla variabile y, ovvero nella forma 2y 2 + y - 3. Dopo aver risolto l'equazione
2y 2 + y - 3 \u003d 0, troviamo le radici del trinomio quadrato 2y 2 + y - 3:
y 1 = 1, y 2 = . Inoltre, utilizzando il Teorema 2, otteniamo:
Resta da ricordare che y \u003d, cioè tornare all'espressione data. Così,
Il paragrafo si conclude con alcune considerazioni, sempre legate al teorema di Vieta, o meglio, con l'asserzione inversa:
se i numeri x 1, x 2 sono tali che x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q, allora questi numeri sono le radici dell'equazione
Usando questa affermazione, puoi risolvere molte equazioni quadratiche oralmente, senza usare ingombranti formule di radice, e anche comporre equazioni quadratiche con determinate radici. Diamo esempi.
1) x 2 - 11x + 24 = 0. Qui x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. È facile intuire che x 1 = 8, x 2 = 3.
2) x 2 + 11x + 30 = 0. Qui x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. È facile intuire che x 1 = -5, x 2 = -6.
Nota: se il termine libero dell'equazione è un numero positivo, allora entrambe le radici sono positive o negative; questo è importante da considerare quando si selezionano le radici.
3) x 2 + x - 12 = 0. Qui x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. È facile intuire che x 1 \u003d 3, x2 \u003d -4.
Nota: se il termine libero dell'equazione è un numero negativo, le radici sono di segno diverso; questo è importante da considerare quando si selezionano le radici.
4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. È facile vedere che x = 1 soddisfa l'equazione, cioè x 1 \u003d 1 - la radice dell'equazione. Poiché x 1 x 2 \u003d - e x 1 \u003d 1, otteniamo quello x 2 \u003d -.
5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Qui x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Se presti attenzione al fatto che 2830 = 283. 10 e 293 \u003d 283 + 10, quindi diventa chiaro che x 1 \u003d 283, x 2 \u003d 10 (ora immagina quali calcoli dovrebbero essere eseguiti per risolvere questa equazione quadratica usando formule standard).
6) Componiamo un'equazione quadratica in modo che i numeri x 1 \u003d 8, x 2 \u003d - 4 servano come radici. Di solito in questi casi costituiscono l'equazione quadratica ridotta x 2 + px + q \u003d 0.
Abbiamo x 1 + x 2 \u003d -p, quindi 8 - 4 \u003d -p, ovvero p \u003d -4. Inoltre, x 1 x 2 = q, cioè 8"(-4) = q, da cui otteniamo q = -32. Quindi, p \u003d -4, q \u003d -32, il che significa che l'equazione quadratica desiderata ha la forma x 2 -4x-32 \u003d 0.
Quando si studiano modi per risolvere equazioni del secondo ordine in un corso di algebra scolastica, considerare le proprietà delle radici ottenute. Ora sono conosciuti come teoremi di Vieta. Esempi del suo utilizzo sono forniti in questo articolo.
Equazione quadrata
L'equazione del secondo ordine è un'uguaglianza, che è mostrata nella foto sotto.
Qui i simboli a, b, c sono alcuni numeri che sono chiamati coefficienti dell'equazione in esame. Per risolvere un'uguaglianza, devi trovare x valori che la rendano vera.
Si noti che poiché il valore massimo della potenza a cui x è elevato è due, anche il numero di radici nel caso generale è due.
Esistono diversi modi per risolvere questo tipo di uguaglianza. In questo articolo ne considereremo uno, che prevede l'uso del cosiddetto teorema di Vieta.
Enunciato del teorema di Vieta
Alla fine del XVI secolo, il famoso matematico Francois Viet (francese) notò, analizzando le proprietà delle radici di varie equazioni quadratiche, che alcune loro combinazioni soddisfano relazioni specifiche. In particolare, queste combinazioni sono il loro prodotto e la loro somma.
Il teorema di Vieta stabilisce quanto segue: le radici di un'equazione quadratica, sommate, danno il rapporto tra i coefficienti lineari e quadratici presi con il segno opposto, e moltiplicate portano al rapporto tra il termine libero e il coefficiente quadratico .
Se la forma generale dell'equazione è scritta come mostra la foto nella sezione precedente dell'articolo, allora matematicamente questo teorema può essere scritto come due uguaglianze:
- r 2 + r 1 \u003d -b / a;
- r 1 x r 2 \u003d c / a.
Dove r 1 , r 2 è il valore delle radici dell'equazione considerata.
Queste due uguaglianze possono essere utilizzate per risolvere una serie di problemi matematici molto diversi. L'uso del teorema di Vieta negli esempi con una soluzione è fornito nelle sezioni seguenti dell'articolo.
Il teorema di Vieta (più precisamente il teorema inverso al teorema di Vieta) permette di ridurre i tempi di risoluzione delle equazioni quadratiche. Hai solo bisogno di sapere come usarlo. Come imparare a risolvere equazioni quadratiche usando il teorema di Vieta? È facile se ci pensi un po'.
Ora parleremo solo della soluzione dell'equazione quadratica ridotta usando il teorema di Vieta L'equazione quadratica ridotta è un'equazione in cui a, cioè il coefficiente davanti a x², è uguale a uno. Anche le equazioni quadratiche non date possono essere risolte usando il teorema di Vieta, ma già almeno una delle radici non è un numero intero. Sono più difficili da indovinare.
Il teorema opposto al teorema di Vieta dice: se i numeri x1 e x2 sono tali che
allora x1 e x2 sono le radici dell'equazione quadratica
Quando si risolve un'equazione quadratica usando il teorema di Vieta, sono possibili solo 4 opzioni. Se ricordi il corso del ragionamento, puoi imparare a trovare radici intere molto rapidamente.
I. Se q è un numero positivo,
ciò significa che le radici x1 e x2 sono numeri dello stesso segno (perché solo moltiplicando numeri con lo stesso segno si ottiene un numero positivo).
io Se -p è un numero positivo, (rispettivamente, pag<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).
I.b. Se -p è un numero negativo, (rispettivamente, p>0), allora entrambe le radici sono numeri negativi (hanno aggiunto numeri dello stesso segno, hanno ottenuto un numero negativo).
II. Se q è un numero negativo,
ciò significa che le radici x1 e x2 hanno segni diversi (moltiplicando i numeri si ottiene un numero negativo solo quando i segni dei fattori sono diversi). In questo caso x1 + x2 non è più una somma, ma una differenza (in fondo, sommando numeri con segni diversi, sottraiamo il più piccolo dal modulo più grande). Pertanto, x1 + x2 mostra quanto differiscono le radici x1 e x2, ovvero quanto una radice è più dell'altra (modulo).
II.a. Se -p è un numero positivo, (cioè p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.
II.b. Se -p è un numero negativo, (p>0), quindi la radice più grande (modulo) è un numero negativo.
Considera la soluzione di equazioni quadratiche secondo il teorema di Vieta usando esempi.
Risolvi l'equazione quadratica data usando il teorema di Vieta:
Qui q=12>0, quindi le radici x1 e x2 sono numeri dello stesso segno. La loro somma è -p=7>0, quindi entrambe le radici sono numeri positivi. Selezioniamo numeri interi il cui prodotto è 12. Questi sono 1 e 12, 2 e 6, 3 e 4. La somma è 7 per la coppia 3 e 4. Quindi, 3 e 4 sono le radici dell'equazione.
In questo esempio, q=16>0, il che significa che le radici x1 e x2 sono numeri dello stesso segno. La loro somma -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.
Qui q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, allora il numero maggiore è positivo. Quindi le radici sono 5 e -3.
q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.
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