Cos'è il modulo x 2. Come risolvere equazioni con modulo: regole di base

Istruzioni

Se il modulo è presentato nel form funzione continua, allora il valore del suo argomento può essere positivo o negativo: |x| = x, x ≥ 0; |x| = -x,x

Il modulo è zero e il modulo di qualsiasi numero positivo è . Se l'argomento è negativo, dopo aver aperto le parentesi il suo segno cambia da meno a più. Sulla base di ciò si conclude che i moduli degli opposti sono uguali: |-x| = |x| =x.

Modulo numero complesso si trova con la formula: |a| = √b² + c², e |a + b| ≤ |a| + |b|. Se l'argomento contiene un numero positivo come moltiplicatore, allora può essere tolto dal segno della parentesi, ad esempio: |4*b| = 4*|b|.

Se l'argomento è presentato nel modulo numero complesso, allora per comodità di calcolo è consentito l'ordine dei termini dell'espressione racchiusi tra parentesi rettangolari: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 perché (2-3) è minore di zero.

L'argomento elevato a potenza è contemporaneamente sotto il segno di una radice dello stesso ordine - si risolve utilizzando: √a² = |a| = ±a.

Se hai un'attività in cui non è specificata la condizione per espandere le parentesi del modulo, non è necessario eliminarle: questo sarà il risultato finale. E se devi aprirli, devi indicare il segno ±. Ad esempio, devi trovare il valore dell'espressione √(2 * (4-b))². La sua soluzione è questa: √(2 * (4-b))² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Poiché il segno dell'espressione 4-b è sconosciuto, deve essere lasciato tra parentesi. Se aggiungi condizione aggiuntiva, ad esempio |4-b| >

Il modulo di zero è uguale a zero e il modulo di qualsiasi numero positivo è sé stesso. Se l'argomento è negativo, dopo aver aperto le parentesi il suo segno cambia da meno a più. Sulla base di ciò, si conclude che i moduli dei numeri opposti sono uguali: |-x| = |x| =x.

Il modulo di un numero complesso si trova dalla formula: |a| = √b² + c², e |a + b| ≤ |a| + |b|. Se l'argomento contiene un numero intero positivo come fattore, è possibile rimuoverlo dalla parentesi, ad esempio: |4*b| = 4*|b|.

Il modulo non può essere negativo, quindi qualsiasi numero negativo viene convertito in positivo: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.

Se l'argomento è presentato sotto forma di numero complesso, per comodità di calcolo è possibile modificare l'ordine dei termini dell'espressione racchiusi tra parentesi rettangolari: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 perché (2-3) è minore di zero.

Se hai un'attività in cui non è specificata la condizione per espandere le parentesi del modulo, non è necessario eliminarle: questo sarà il risultato finale. E se devi aprirli, devi indicare il segno ±. Ad esempio, devi trovare il valore dell'espressione √(2 * (4-b))². La sua soluzione è questa: √(2 * (4-b))² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Poiché il segno dell'espressione 4-b è sconosciuto, deve essere lasciato tra parentesi. Se aggiungi una condizione aggiuntiva, ad esempio |4-b| > 0, il risultato sarà 2 * |4-b| = 2*(4 - b). L'elemento sconosciuto può anche essere impostato su un numero specifico, che dovrebbe essere preso in considerazione perché influenzerà il segno dell'espressione.

Mantenere la tua privacy è importante per noi. Per questo motivo, abbiamo sviluppato un'Informativa sulla privacy che descrive come utilizziamo e archiviamo le tue informazioni. Si prega di rivedere le nostre pratiche sulla privacy e di farci sapere se avete domande.

Raccolta e utilizzo delle informazioni personali

Le informazioni personali si riferiscono ai dati che possono essere utilizzati per identificare o contattare una persona specifica.

Ti potrebbe essere chiesto di fornire le tue informazioni personali in qualsiasi momento quando ci contatti.

Di seguito sono riportati alcuni esempi dei tipi di informazioni personali che potremmo raccogliere e di come potremmo utilizzare tali informazioni.

Quali informazioni personali raccogliamo:

• Quando invii una richiesta sul sito, potremmo raccogliere informazioni varie, incluso il tuo nome, numero di telefono, indirizzo email, ecc.

Come utilizziamo le tue informazioni personali:

• Raccolti da noi informazioni personali ci consente di contattarti e informarti su offerte uniche, promozioni e altri eventi e prossimi eventi.
• Di tanto in tanto, potremmo utilizzare le tue informazioni personali per inviare avvisi e comunicazioni importanti.
• Potremmo anche utilizzare le informazioni personali per scopi interni, come condurre audit, analisi dei dati e varie ricerche al fine di migliorare i servizi che forniamo e fornirti consigli sui nostri servizi.
• Se partecipi a un'estrazione a premi, a un concorso o a una promozione simile, potremmo utilizzare le informazioni fornite per amministrare tali programmi.

Divulgazione di informazioni a terzi

Non divulghiamo le informazioni ricevute da te a terzi.

Eccezioni:

• Se necessario - in conformità alla legge, alla procedura giudiziaria, in procedimenti legali e/o sulla base di richieste pubbliche o richieste da parte delle autorità governative nel territorio della Federazione Russa - di divulgare i tuoi dati personali. Potremmo anche divulgare informazioni su di te se stabiliamo che tale divulgazione è necessaria o appropriata per scopi di sicurezza, applicazione della legge o altri scopi di importanza pubblica.
• In caso di riorganizzazione, fusione o vendita, potremmo trasferire le informazioni personali che raccogliamo alla terza parte successore applicabile.

Protezione delle informazioni personali

Prendiamo precauzioni, comprese quelle amministrative, tecniche e fisiche, per proteggere le tue informazioni personali da perdita, furto e uso improprio, nonché da accesso non autorizzato, divulgazione, alterazione e distruzione.

Rispettare la tua privacy a livello aziendale

Per garantire che le tue informazioni personali siano sicure, comunichiamo gli standard di privacy e sicurezza ai nostri dipendenti e applichiamo rigorosamente le pratiche sulla privacy.

A viene calcolato secondo le seguenti regole:

Per brevità vengono utilizzate le notazioni |a|. Quindi |10| = 10; -1/3 = | 1/3 |; | -100| =100, ecc.

Ogni dimensione X corrisponde ad un valore abbastanza preciso | X|. E questo significa identità A= |X| insiemi A come alcuni funzione argomento X.

Programma Questo funzioni presentato di seguito.

Per X > 0 |X| = X, e per X< 0 |X|= -X; a questo proposito la retta y = | X| A X> 0 combinato con una linea retta y = x(bisettrice del primo angolo di coordinata) e quando X< 0 - с прямой y = -x(bisettrice del secondo angolo di coordinata).

Separato equazioni includere incognite sotto il segno modulo.

Esempi arbitrari di tali equazioni - | X— 1| = 2, |6 — 2X| =3X+1, ecc.

Risoluzione di equazioni contenere un'incognita sotto il segno del modulo si basa sul fatto che se il valore assoluto di un numero sconosciuto x è uguale a un numero positivo a, allora questo numero x stesso è uguale a a o -a.

Per esempio:, se | X| = 10, quindi o X=10, o X = -10.

Consideriamo risolvere singole equazioni.

Analizziamo la soluzione dell'equazione | X- 1| = 2.

Espandiamo il modulo poi la differenza X- 1 può essere uguale a + 2 o - 2. Se x - 1 = 2, allora X= 3; Se X- 1 = - 2, quindi X= - 1. Facciamo una sostituzione e troviamo che entrambi questi valori soddisfano l'equazione.

Risposta. L'equazione precedente ha due radici: X 1 = 3, X 2 = - 1.

Analizziamo soluzione dell'equazione | 6 — 2X| = 3X+ 1.

Dopo espansione del modulo otteniamo: oppure 6 - 2 X= 3X+ 1 o 6 - 2 X= - (3X+ 1).

Nel primo caso X= 1, e nel secondo X= - 7.

Esame. A X= 1 |6 — 2X| = |4| = 4, 3X+1 = 4; dalla corte risulta che X = 1 - radice dato equazioni.

A X = - 7 |6 — 2X| = |20| = 20, 3X+1=-20; da 20 ≠ -20, quindi X= - 7 non è una radice di questa equazione.

Risposta. U l'equazione ha una sola radice: X = 1.

Equazioni di questo tipo possono essere risolvere e graficamente.

Quindi decidiamo Per esempio, graficamente equazione | X- 1| = 2.

Per prima cosa costruiremo grafica delle funzioni A = |X- 1|. Per prima cosa disegniamo un grafico della funzione A=X- 1:

Quella parte grafica, che si trova sopra l'asse X Non lo cambieremo. Per lei X- 1 > 0 e quindi | X-1|=X-1.

La parte del grafico che si trova sotto l'asse X, rappresentiamo simmetricamente rispetto a questo asse. Perché per questa parte X - 1 < 0 и соответственно |X - 1|= - (X - 1). Il risultante linea(linea continua) e volontà grafico della funzione y = | X—1|.

Questa linea si intersecherà con diretto A= 2 in due punti: M 1 con ascissa -1 e M 2 con ascissa 3. E, di conseguenza, l'equazione | X- 1| =2 ci saranno due radici: X 1 = - 1, X 2 = 3.

Uno degli argomenti più difficili per gli studenti è risolvere equazioni contenenti una variabile sotto il segno del modulo. Scopriamo prima a cosa è collegato? Perché, ad esempio, la maggior parte dei bambini risolve le equazioni quadratiche come matti, ma con questa è tutt'altro che il migliore? concetto complesso Come fa il modulo ad avere così tanti problemi?

A mio avviso, tutte queste difficoltà sono associate alla mancanza di regole chiaramente formulate per risolvere le equazioni con un modulo. Quindi, decidere equazione quadratica, lo studente sa per certo che deve prima applicare la formula discriminante e poi le formule per le radici dell'equazione quadratica. Cosa fare se nell'equazione si trova un modulo? Cercheremo di descrivere chiaramente il piano d'azione necessario nel caso in cui l'equazione contenga un'incognita sotto il segno del modulo. Daremo diversi esempi per ciascun caso.

Ma prima ricordiamolo definizione del modulo. Quindi, modulo il numero UN questo numero stesso si chiama if UN non negativo e -UN, se numero UN meno di zero. Puoi scriverlo così:

|a| = a se a ≥ 0 e |a| = -a se a< 0

Parlando di senso geometrico modulo, va ricordato che ogni numero reale corrisponde a un certo punto sull'asse dei numeri: a coordinata. Quindi, il modulo o valore assoluto di un numero è la distanza da questo punto all'origine dell'asse numerico. La distanza viene sempre specificata come un numero positivo. Pertanto, il modulo di any numero negativoè un numero positivo. A proposito, anche in questa fase molti studenti iniziano a confondersi. Il modulo può contenere qualsiasi numero, ma il risultato dell'utilizzo del modulo è sempre un numero positivo.

Ora passiamo direttamente alla risoluzione delle equazioni.

1. Consideriamo un'equazione della forma |x| = c, dove c è un numero reale. Questa equazione può essere risolta utilizzando la definizione di modulo.

Dividiamo tutti i numeri reali in tre gruppi: quelli maggiori di zero, quelli minori di zero e il terzo gruppo è il numero 0. Scriviamo la soluzione sotto forma di diagramma:

(±c, se c > 0

Se |x| = c, allora x = (0, se c = 0

(nessuna radice se con< 0

1) |x| = 5, perché 5 > 0, allora x = ±5;

2) |x| = -5, perché -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, allora x = 0.

2. Equazione della forma |f(x)| = b, dove b > 0. Per risolvere questa equazione è necessario eliminare il modulo. Lo facciamo in questo modo: f(x) = b oppure f(x) = -b. Ora devi risolvere ciascuna delle equazioni risultanti separatamente. Se nell'equazione originale b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, perché 4 > 0, quindi

x + 2 = 4 oppure x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, perché 11 > 0, quindi

x 2 – 5 = 11 oppure x 2 – 5 = -11

x2 = 16x2 = -6

x = ± 4 senza radici

3) |x 2 – 5x| = -8, perché -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Un'equazione della forma |f(x)| =g(x). Secondo il significato del modulo, tale equazione avrà soluzioni se presente lato destro maggiore o uguale a zero, cioè g(x) ≥ 0. Allora avremo:

f(x) = g(x) O f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10. Questa equazione avrà radici se 5x – 10 ≥ 0. È qui che inizia la soluzione di tali equazioni.

1. ODZ 5x – 10 ≥ 0

2. Soluzione:

2x – 1 = 5x – 10 oppure 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Uniamo O.D.Z. e la soluzione, otteniamo:

La radice x = 11/7 non soddisfa l'O.D.Z., è inferiore a 2, ma x = 3 soddisfa questa condizione.

Risposta: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2 .

1. ODZ 1 – x 2 ≥ 0. Risolviamo questa disuguaglianza utilizzando il metodo degli intervalli:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Soluzione:

x – 1 = 1 – x 2 oppure x – 1 = -(1 – x 2)

x2 + x – 2 = 0 x2 – x = 0

x = -2 o x = 1 x = 0 o x = 1

3. Uniamo la soluzione e l'O.D.Z.:

Sono adatte solo le radici x = 1 e x = 0.

Risposta: x = 0, x = 1.

4. Equazione della forma |f(x)| = |g(x)|. Tale equazione è equivalente alle seguenti due equazioni f(x) = g(x) oppure f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Questa equazione è equivalente alle due seguenti:

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 oppure x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x2 – 7x + 12 = 0 x2 – 3x + 2 = 0

x = 3 o x = 4 x = 2 o x = 1

Risposta: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Equazioni risolte con il metodo di sostituzione (sostituzione di variabili). Questo metodo di soluzione è spiegato più facilmente in esempio specifico. Quindi, diamo un'equazione quadratica con modulo:

x2 – 6|x| + 5 = 0. Per la proprietà del modulo x 2 = |x| 2, quindi l'equazione può essere riscritta come segue:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Facciamo la sostituzione |x| = t ≥ 0, allora avremo:

t 2 – 6t + 5 = 0. Risolvendo questa equazione, troviamo che t = 1 oppure t = 5. Torniamo alla sostituzione:

|x| = 1 oppure |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Risposta: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Diamo un'occhiata a un altro esempio:

x2 + |x| – 2 = 0. Per la proprietà modulo x 2 = |x| 2, quindi

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Facciamo la sostituzione |x| = t ≥ 0, allora:

t 2 + t – 2 = 0. Risolvendo questa equazione, otteniamo t = -2 oppure t = 1. Torniamo alla sostituzione:

|x| = -2 oppure |x| = 1

Nessuna radice x = ± 1

Risposta: x = -1, x = 1.

6. Un altro tipo di equazioni sono le equazioni con un modulo “complesso”. Tali equazioni includono equazioni che hanno “moduli all’interno di un modulo”. Equazioni di questo tipo possono essere risolte utilizzando le proprietà del modulo.

1) |3 – |x|| = 4. Agiremo come nelle equazioni del secondo tipo. Perché 4 > 0, allora otteniamo due equazioni:

3 – |x| = 4 o 3 – |x| = -4.

Esprimiamo ora il modulo x in ciascuna equazione, quindi |x| = -1 oppure |x| = 7.

Risolviamo ciascuna delle equazioni risultanti. Non ci sono radici nella prima equazione, perché -1< 0, а во втором x = ±7.

Rispondi x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Risolviamo questa equazione in modo simile:

3+|x+1| = 5 oppure 3 + |x + 1| = -5

|x+1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 oppure x + 1 = -2. Nessuna radice.

Risposta: x = -3, x = 1.

Esiste anche un metodo universale per risolvere le equazioni con un modulo. Questo è il metodo dell'intervallo. Ma lo vedremo più tardi.

sito web, quando si copia il materiale in tutto o in parte, è richiesto un collegamento alla fonte.

Il modulo di un numero è facile da trovare e la teoria alla base è importante quando si risolvono i problemi.

Le proprietà e le regole di divulgazione utilizzate nella risoluzione di esercizi ed esami saranno utili per scolari e studenti. Guadagna utilizzando le tue conoscenze su https://teachs.ru!

Cos'è un modulo di matematica

Il modulo di un numero descrive la distanza su una linea numerica da zero a un punto, senza tener conto della direzione in cui si trova il punto dallo zero. Notazione matematica : |x|.

In altre parole, è il valore assoluto di un numero. La definizione dimostra che il valore non è mai negativo.

Proprietà del modulo

È importante ricordare le seguenti proprietà:

Modulo di un numero complesso

Il valore assoluto di un numero complesso è la lunghezza di un segmento diretto tracciato dall'inizio del piano complesso al punto (a, b).

Questo segmento orientato è anche un vettore che rappresenta un numero complesso a+bi, quindi il valore assoluto di un numero complesso è uguale alla grandezza (o lunghezza) del vettore che lo rappresenta a+bi.

Come risolvere equazioni con modulo

Un'equazione con un modulo è un'uguaglianza che contiene un'espressione di valore assoluto. Se per un numero reale rappresenta la sua distanza dall'origine sulla linea numerica, allora le disuguaglianze con modulo sono quel tipo di disuguaglianze costituite da valori assoluti.

Equazioni come |x| =a

Equazione |x| = a ha due risposte x = a e x = –a, perché entrambe le opzioni si trovano sulla linea delle coordinate a una distanza a da 0.

L'uguaglianza con valore assoluto non ha soluzione se il valore è negativo.

Se |x|< a представляет собой расстояние чисел от начала координат, это значит, что нужно искать все числа, чье расстояние от начала координат меньше a.

Equazioni come |x| = |y|

Quando ci sono valori assoluti su entrambi i lati delle equazioni, dobbiamo considerare entrambe le possibilità per definizioni accettabili: espressioni positive e negative.

Ad esempio, per l'uguaglianza |x − a| = |x + b| ci sono due opzioni: (x − a) = − (x + b) oppure (x − a) = (x + b).

Equazioni come |x| = sì

Equazioni di questo tipo contengono il valore assoluto di un'espressione con una variabile a sinistra dello zero e un'altra sconosciuta a destra. La variabile y può essere maggiore o minore di zero.

Per ottenere una risposta a questa uguaglianza, devi risolvere un sistema di più equazioni, in cui devi assicurarti che y sia una quantità non negativa:

Risolvere le disuguaglianze con il modulo

Per comprendere meglio come espandere un modulo in diversi tipi uguaglianze e disuguaglianze, è necessario analizzare degli esempi.

Equazioni della forma |x| =a

Esempio 1(algebra 6a elementare). Risolvi: |x| +2 = 4.

Soluzione.

Tali equazioni vengono risolte allo stesso modo delle uguaglianze senza valori assoluti. Ciò significa che spostando le incognite a sinistra e le costanti a destra l'espressione non cambia.

Dopo aver spostato la costante verso destra, otteniamo: |x| = 2.

Poiché le incognite sono relative al valore assoluto, questa equazione ha due risposte: 2 E −2 .

Risposta: 2 E −2 .

Esempio 2(Algebra di 7a elementare). Risolvi la disuguaglianza |x + 2| ≥ 1.

Soluzione.

La prima cosa da fare è trovare i punti in cui cambierà il valore assoluto. Per fare ciò, l'espressione è equiparata a 0 . Ricevuto: x = –2.

Questo significa questo –2 – punto di svolta.

Dividiamo l'intervallo in 2 parti:

1. per x + 2 ≥ 0

[−1; + ∞).

1. per x + 2< 0

La risposta comune per queste due disuguaglianze è l'intervallo (−∞; –3].

Decisione finale – combinando le risposte delle singole parti:

X∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞).

Risposta: X∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞) .

Equazioni della forma |x| = |y|

Esempio 1(Algebra di grado 8). Risolvi l'equazione con due moduli: 2 * |x – 1| + 3 = 9 – |x – 1|.

Soluzione:

Risposta: x1 = 3; x2= − 1.

Esempio 2(Algebra di grado 8). Risolvere la disuguaglianza:

Soluzione:

Equazioni della forma |x| = sì

Esempio 1(algebra 10° grado). Trova x:

Soluzione:

È molto importante controllare la parte destra, altrimenti potresti scrivere radici errate nella tua risposta. È chiaro dal sistema che non si trova nel divario.

Risposta: x = 0.

Modulo Somma

Modulo di differenza

Valore assoluto della differenza tra due numeri X e y è uguale alla distanza tra i punti con coordinate X E Y sulla linea delle coordinate.

Esempio 1.

Esempio 2.

Modulo di un numero negativo

Per trovare il valore assoluto di un numero inferiore a zero, devi scoprire quanto dista dallo zero. Poiché la distanza è sempre positiva (è impossibile fare passi “negativi”, sono solo passi nella direzione opposta), il risultato è sempre positivo. Questo è,

In poche parole, il valore assoluto di un numero negativo ha il significato opposto.

Modulo zero

Proprietà nota:

Questo è il motivo per cui non si può dire che il valore assoluto sia un numero positivo: lo zero non è né negativo né positivo.

Modulo quadrato

Il modulo è sempre quadrato è uguale all'espressione quadrato:

Esempi di grafici con un modulo

Spesso nei test e negli esami ci sono compiti che possono essere risolti solo analizzando i grafici. Consideriamo tali compiti.

Esempio 1.

Data una funzione f(x) = |x|. È necessario costruire un grafico da – 3 a 3 con passo 1.

Soluzione:

Spiegazione: La figura mostra che il grafico è simmetrico rispetto all'asse Y.

Esempio 2. È necessario disegnare e confrontare i grafici delle funzioni f(x) = |x–2| e g(x) = |x|–2.

Soluzione:

Spiegazione: una costante all'interno di un valore assoluto sposta l'intero grafico a destra se il suo valore è negativo e a sinistra se il suo valore è positivo. Ma una costante esterna sposterà il grafico verso l'alto se il valore è positivo e verso il basso se è negativo (come - 2 in funzione g(x)).

Coordinata del vertice X(il punto in cui due linee si collegano, il vertice del grafico) è il numero di cui il grafico viene spostato a sinistra o a destra. Una coordinata sì– questo è il valore in base al quale il grafico si sposta verso l'alto o verso il basso.

Puoi costruire tali grafici usando applicazioni on-line per la costruzione. Con il loro aiuto, puoi vedere chiaramente come le costanti influenzano le funzioni.

Metodo dell'intervallo nei problemi con modulo

Il metodo dell'intervallo è uno dei i modi migliori trova la risposta ai problemi con un modulo, soprattutto se ce ne sono diversi nell'espressione.

Per utilizzare il metodo è necessario effettuare le seguenti operazioni:

1. Uguagliare ciascuna espressione a zero.
2. Trova i valori delle variabili.
3. Traccia i punti ottenuti nel passaggio 2 sulla linea numerica.
4. Determina il segno delle espressioni (valore negativo o positivo) sugli intervalli e disegna rispettivamente un simbolo – o +. Il modo più semplice per determinare il segno è utilizzare il metodo di sostituzione (sostituendo qualsiasi valore dell'intervallo).
5. Risolvi le disuguaglianze con i segni indicati.

Esempio 1. Risolvi utilizzando il metodo degli intervalli.

Soluzione: