In poche parole, si tratta di verdure cotte in acqua secondo una ricetta speciale. Considererò due componenti iniziali (insalata di verdure e acqua) e il risultato finale: il borscht. Dal punto di vista geometrico, può essere pensato come un rettangolo, con un lato che rappresenta la lattuga e l'altro che rappresenta l'acqua. La somma di questi due lati indicherà il borscht. La diagonale e l'area di un rettangolo di questo tipo "borscht" sono concetti puramente matematici e non vengono mai utilizzate nelle ricette del borscht.
In che modo la lattuga e l'acqua si trasformano in borscht da un punto di vista matematico? Come può la somma di due segmenti di linea diventare trigonometria? Per capirlo, abbiamo bisogno di funzioni angolari lineari.
Non troverai nulla sulle funzioni angolari lineari nei libri di testo di matematica. Ma senza di essi non può esserci matematica. Le leggi della matematica, come le leggi della natura, funzionano indipendentemente dal fatto che sappiamo o meno della loro esistenza.
Le funzioni angolari lineari sono leggi di addizione. Guarda come l'algebra si trasforma in geometria e la geometria si trasforma in trigonometria.
È possibile fare a meno delle funzioni angolari lineari? È possibile, perché i matematici riescono ancora a farne a meno. Il trucco dei matematici è che ci parlano sempre solo di quei problemi che loro stessi sanno come risolvere e non parlano mai di quei problemi che non possono risolvere. Aspetto. Se conosciamo il risultato dell'addizione e di un termine, utilizziamo la sottrazione per trovare l'altro termine. Tutto. Non conosciamo altri problemi e non sappiamo come risolverli. Cosa dovremmo fare se conosciamo solo il risultato dell'addizione e non conosciamo entrambi i termini? In questo caso il risultato dell'addizione deve essere scomposto in due termini utilizzando funzioni angolari lineari. Successivamente, scegliamo noi stessi quale può essere un termine e le funzioni angolari lineari mostrano quale dovrebbe essere il secondo termine in modo che il risultato dell'addizione sia esattamente ciò di cui abbiamo bisogno. Può esserci un numero infinito di tali coppie di termini. IN vita quotidiana Possiamo fare benissimo senza scomporre la somma; ci basta la sottrazione. Ma quando ricerca scientifica leggi della natura, scomporre una somma nei suoi componenti può essere molto utile.
Un'altra legge dell'addizione di cui i matematici non amano parlare (un altro dei loro trucchi) richiede che i termini abbiano le stesse unità di misura. Per insalata, acqua e borscht, queste potrebbero essere unità di peso, volume, valore o unità di misura.
La figura mostra due livelli di differenza per la matematica. Il primo livello sono le differenze nel campo dei numeri, che sono indicati UN, B, C. Questo è ciò che fanno i matematici. Il secondo livello sono le differenze nel campo delle unità di misura, che sono indicate tra parentesi quadre e indicate dalla lettera U. Questo è ciò che fanno i fisici. Possiamo comprendere il terzo livello: le differenze nell'area degli oggetti descritti. Oggetti diversi possono avere lo stesso numero di unità di misura identiche. Quanto sia importante, possiamo vedere nell'esempio della trigonometria del borscht. Se aggiungiamo pedici alla stessa designazione di unità per oggetti diversi, possiamo dire esattamente quale quantità matematica descrive un particolare oggetto e come cambia nel tempo o a causa delle nostre azioni. Lettera W Designerò l'acqua con una lettera S Designerò l'insalata con una lettera B- borsch. Ecco come appariranno le funzioni angolari lineari per il borscht.
Se prendiamo una parte dell'acqua e una parte dell'insalata, insieme si trasformeranno in una porzione di borscht. Qui ti suggerisco di prenderti una piccola pausa dal borscht e di ricordare la tua infanzia lontana. Ricordi come ci hanno insegnato a mettere insieme coniglietti e anatre? Era necessario scoprire quanti animali ci sarebbero stati. Cosa ci è stato insegnato a fare allora? Ci è stato insegnato a separare le unità di misura dai numeri e ad aggiungere numeri. Sì, qualsiasi numero può essere aggiunto a qualsiasi altro numero. Questo è un percorso diretto verso l'autismo della matematica moderna: lo facciamo in modo incomprensibile, in modo incomprensibile perché, e comprendiamo molto poco come questo si collega alla realtà, a causa dei tre livelli di differenza, i matematici operano con uno solo. Sarebbe più corretto imparare a passare da un'unità di misura all'altra.
Coniglietti, anatre e animaletti possono essere contati a pezzi. Un'unità di misura comune per diversi oggetti ci consente di sommarli insieme. Questa è una versione del problema per bambini. Diamo un'occhiata a un problema simile per gli adulti. Cosa ottieni quando aggiungi coniglietti e soldi? Ci sono due possibili soluzioni qui.
Prima opzione. Determiniamo il valore di mercato dei conigli e lo aggiungiamo alla somma di denaro disponibile. Abbiamo ottenuto il valore totale della nostra ricchezza in termini monetari.
Seconda opzione. Puoi aggiungere il numero di conigli al numero di banconote che abbiamo. Riceveremo la quantità beni mobili a pezzi.
Come puoi vedere, la stessa legge di addizione consente di ottenere risultati diversi. Tutto dipende da cosa vogliamo sapere esattamente.
Ma torniamo al nostro borscht. Ora possiamo vedere cosa accadrà per diversi valori angolari di funzioni angolari lineari.
L'angolo è zero. Abbiamo l'insalata, ma niente acqua. Non possiamo cucinare il borscht. Anche la quantità di borscht è zero. Ciò non significa affatto che zero borscht equivalga a zero acqua. Può esserci zero borscht con zero insalata (angolo retto).
Per me personalmente, questa è la principale prova matematica del fatto che . Lo zero non modifica il numero quando viene aggiunto. Ciò accade perché l'addizione stessa è impossibile se c'è un solo termine e manca il secondo. Puoi pensarla come preferisci, ma ricorda: tutte le operazioni matematiche con zero sono state inventate dai matematici stessi, quindi butta via la tua logica e riempi stupidamente le definizioni inventate dai matematici: "la divisione per zero è impossibile", "qualsiasi numero moltiplicato per zero è uguale a zero”, “oltre il punto di foratura zero” e altre sciocchezze. Basta ricordare una volta che lo zero non è un numero, e non avrai mai più la domanda se zero sia un numero naturale o meno, perché una domanda del genere perde ogni significato: come può qualcosa che non è un numero essere considerato un numero? ? È come chiedere in quale colore dovrebbe essere classificato un colore invisibile. Aggiungere uno zero a un numero equivale a dipingere con la vernice che non c'è. Abbiamo agitato un pennello asciutto e abbiamo detto a tutti che "abbiamo dipinto". Ma sto divagando un po'.
L'angolo è maggiore di zero ma inferiore a quarantacinque gradi. Abbiamo molta lattuga, ma non abbastanza acqua. Di conseguenza, otterremo un borscht denso.
L'angolo è di quarantacinque gradi. Abbiamo uguali quantità di acqua e insalata. Questo è il borscht perfetto (perdonatemi chef, è solo matematica).
L'angolo è maggiore di quarantacinque gradi, ma inferiore a novanta gradi. Abbiamo molta acqua e poca insalata. Otterrai un borscht liquido.
Angolo retto. Abbiamo l'acqua. Tutto ciò che resta dell'insalata sono i ricordi, mentre continuiamo a misurare l'angolo dalla linea che un tempo segnava l'insalata. Non possiamo cucinare il borscht. La quantità di borscht è zero. In questo caso, aspetta e bevi acqua mentre ce l'hai)))
Qui. Qualcosa del genere. Posso raccontare altre storie qui che sarebbero più che appropriate qui.
Due amici partecipavano ad un'attività comune. Dopo averne ucciso uno, tutto è passato all'altro.
L'emergere della matematica sul nostro pianeta.
Tutte queste storie sono raccontate nel linguaggio della matematica utilizzando funzioni angolari lineari. Un'altra volta ti mostrerò il posto reale di queste funzioni nella struttura della matematica. Nel frattempo, torniamo alla trigonometria del borscht e consideriamo le proiezioni.
Sabato 26 ottobre 2019
Mercoledì 7 agosto 2019
Concludendo il discorso su, dobbiamo considerare un insieme infinito. Il punto è che il concetto di “infinito” agisce sui matematici come un boa constrictor agisce su un coniglio. Il tremante orrore dell'infinito priva i matematici buon senso. Ecco un esempio:
Si trova la fonte originale. Alpha sta per numero reale. Il segno uguale nelle espressioni precedenti indica che se aggiungi un numero o un infinito all'infinito, non cambierà nulla, il risultato sarà lo stesso infinito. Se prendiamo come esempio l’insieme infinito numeri naturali, allora gli esempi considerati possono essere presentati come segue:
Per dimostrare chiaramente che avevano ragione, i matematici hanno escogitato molti metodi diversi. Personalmente, considero tutti questi metodi come sciamani che ballano con i tamburelli. In sostanza, tutto si riduce al fatto che alcune stanze non sono occupate e si trasferiscono nuovi ospiti, oppure che alcuni visitatori vengono gettati nel corridoio per fare posto agli ospiti (molto umanamente). Ho espresso le mie opinioni su tali decisioni nel modulo storia fantastica sulla Bionda. Su cosa si basa il mio ragionamento? Lo spostamento di un numero infinito di visitatori richiede una quantità infinita di tempo. Dopo che abbiamo lasciato libera la prima stanza per un ospite, uno dei visitatori percorrerà sempre il corridoio dalla sua stanza a quella successiva fino alla fine del tempo. Naturalmente, il fattore tempo può essere stupidamente ignorato, ma questo rientra nella categoria “nessuna legge è scritta per gli sciocchi”. Tutto dipende da cosa stiamo facendo: adattare la realtà alle teorie matematiche o viceversa.
Cos’è un “hotel senza fine”? Un hotel infinito è un hotel che ha sempre un numero qualsiasi di letti vuoti, indipendentemente da quante stanze sono occupate. Se tutte le stanze dell'infinito corridoio "visitatori" sono occupate, c'è un altro corridoio infinito con le stanze "degli ospiti". Ci sarà un numero infinito di tali corridoi. Inoltre, l’“hotel infinito” ha un numero infinito di piani in un numero infinito di edifici su un numero infinito di pianeti in un numero infinito di universi creati da un numero infinito di Dei. I matematici non riescono a prendere le distanze dal banale problemi quotidiani: Dio-Allah-Buddha è sempre uno solo, c'è un solo albergo, c'è un solo corridoio. Così i matematici stanno cercando di destreggiarsi tra i numeri seriali delle camere d’albergo, convincendoci che è possibile “inserire l’impossibile”.
Ti dimostrerò la logica del mio ragionamento usando l'esempio di un insieme infinito di numeri naturali. Per prima cosa devi rispondere a una domanda molto semplice: quanti insiemi di numeri naturali ci sono: uno o molti? Non esiste una risposta corretta a questa domanda, poiché siamo stati noi a inventare i numeri. I numeri non esistono in Natura; Sì, la Natura è bravissima a contare, ma per questo utilizza altri strumenti matematici che non ci sono familiari. Quello che pensa la Natura ti dirò un’altra volta. Dato che abbiamo inventato i numeri, saremo noi a decidere quanti insiemi di numeri naturali esistono. Consideriamo entrambe le opzioni, come si addice ai veri scienziati.
Opzione uno. “Diamoci” un unico insieme di numeri naturali, che giace serenamente sullo scaffale. Prendiamo questo set dallo scaffale. Questo è tutto, non ci sono altri numeri naturali rimasti sullo scaffale e nessun posto dove portarli. Non possiamo aggiungerne uno a questo set, poiché lo abbiamo già. E se lo volessi davvero? Nessun problema. Possiamo prenderne uno dal set che abbiamo già preso e rimetterlo sullo scaffale. Dopodiché possiamo prenderne uno dallo scaffale e aggiungerlo a ciò che ci è rimasto. Di conseguenza, otterremo nuovamente un insieme infinito di numeri naturali. Puoi scrivere tutte le nostre manipolazioni in questo modo:
Ho scritto le azioni in notazione algebrica e in notazione della teoria degli insiemi, con un elenco dettagliato degli elementi dell'insieme. Il pedice indica che abbiamo un solo ed unico insieme di numeri naturali. Si scopre che l'insieme dei numeri naturali rimarrà invariato solo se ne viene sottratto uno e viene aggiunta la stessa unità.
Opzione due. Abbiamo molti diversi insiemi infiniti di numeri naturali sul nostro scaffale. Sottolineo: DIVERSI, nonostante siano praticamente indistinguibili. Prendiamo uno di questi set. Quindi ne prendiamo uno da un altro insieme di numeri naturali e lo aggiungiamo all'insieme che abbiamo già preso. Possiamo anche sommare due insiemi di numeri naturali. Questo è ciò che otteniamo:
I pedici "uno" e "due" indicano che questi elementi appartenevano a insiemi diversi. Sì, se aggiungi uno a un insieme infinito, anche il risultato sarà un insieme infinito, ma non sarà uguale all'insieme originale. Se aggiungi un altro insieme infinito a un insieme infinito, il risultato è un nuovo insieme infinito costituito dagli elementi dei primi due insiemi.
L'insieme dei numeri naturali viene utilizzato per contare allo stesso modo di un righello per misurare. Ora immagina di aver aggiunto un centimetro al righello. Questa sarà una linea diversa, non uguale a quella originale.
Puoi accettare o meno il mio ragionamento: sono affari tuoi. Ma se mai dovessi incontrare problemi matematici, pensa se stai seguendo il percorso del falso ragionamento percorso da generazioni di matematici. Dopotutto, lo studio della matematica, prima di tutto, forma in noi uno stereotipo stabile del pensiero e solo allora aumenta le nostre capacità mentali (o, al contrario, ci priva della libertà di pensiero).
pozg.ru
Domenica 4 agosto 2019
Stavo finendo il post scriptum di un articolo sull'argomento e ho visto questo meraviglioso testo su Wikipedia:
Leggiamo: "...ricco base teorica La matematica di Babilonia non aveva un carattere olistico ed era ridotta a un insieme di tecniche disparate, prive di un sistema comune e di una base di prove."
Oh! Quanto siamo intelligenti e quanto bene riusciamo a vedere i difetti degli altri. È difficile per noi guardare alla matematica moderna nello stesso contesto? Parafrasando leggermente il testo sopra, personalmente ho ottenuto quanto segue:
La ricca base teorica della matematica moderna non ha un carattere olistico ed è ridotta a un insieme di sezioni disparate, prive di un sistema comune e di una base di prove.
Non andrò lontano per confermare le mie parole: ha un linguaggio e convenzioni diverse dal linguaggio e dalle convenzioni di molti altri rami della matematica. Gli stessi nomi in diversi rami della matematica possono avere significati diversi. Voglio dedicare tutta una serie di pubblicazioni agli errori più evidenti della matematica moderna. Arrivederci.
Sabato 3 agosto 2019
Come dividere un insieme in sottoinsiemi? Per fare ciò è necessario inserire una nuova unità di misura che è presente in alcuni elementi dell'insieme selezionato. Diamo un'occhiata a un esempio.
Possiamo averne in abbondanza UN composto da quattro persone. Questo insieme è formato sulla base di "persone". Indichiamo gli elementi di questo insieme con la lettera UN, il pedice con un numero indicherà il numero di serie di ciascuna persona in questo set. Introduciamo una nuova unità di misura "genere" e denotiamola con la lettera B. Poiché le caratteristiche sessuali sono inerenti a tutte le persone, moltiplichiamo ogni elemento dell'insieme UN in base al genere B. Si noti che il nostro insieme di “persone” è ora diventato un insieme di “persone con caratteristiche di genere”. Successivamente possiamo dividere i caratteri sessuali in maschili bm e quello delle donne peso corporeo caratteristiche sessuali. Ora possiamo applicare un filtro matematico: selezioniamo una di queste caratteristiche sessuali, non importa quale sia maschile o femminile. Se una persona ce l'ha, lo moltiplichiamo per uno, se non esiste un segno del genere, lo moltiplichiamo per zero. E poi usiamo la matematica scolastica regolare. Guarda cosa è successo.
Dopo la moltiplicazione, la riduzione e la riorganizzazione, ci siamo ritrovati con due sottoinsiemi: il sottoinsieme degli uomini Bm e un sottoinsieme di donne Bw. I matematici ragionano più o meno allo stesso modo quando applicano la teoria degli insiemi nella pratica. Ma non ci dicono i dettagli, ma ci danno il risultato finale: “molte persone sono costituite da un sottoinsieme di uomini e un sottoinsieme di donne”. Naturalmente potresti avere una domanda: come è stata applicata correttamente la matematica nelle trasformazioni sopra descritte? Oserei assicurarti che essenzialmente tutto è stato fatto correttamente, è sufficiente conoscere le basi matematiche dell'aritmetica, dell'algebra booleana e di altri rami della matematica. Che cos'è? Un'altra volta ti parlerò di questo.
Per quanto riguarda i superset, puoi unire due insiemi in un unico superset selezionando l'unità di misura presente negli elementi di questi due insiemi.
Come puoi vedere, le unità di misura e la matematica ordinaria rendono la teoria degli insiemi una reliquia del passato. Un segno che non tutto va bene con la teoria degli insiemi è che i matematici hanno escogitato un proprio linguaggio e una propria notazione per la teoria degli insiemi. I matematici agivano come un tempo facevano gli sciamani. Solo gli sciamani sanno come applicare “correttamente” la loro “conoscenza”. Ci insegnano questa “conoscenza”.
In conclusione, voglio mostrarti come i matematici manipolano i dati .
Lunedì 7 gennaio 2019
Nel V secolo a.C., l'antico filosofo greco Zenone di Elea formulò le sue famose aporie, la più famosa delle quali è l'aporia “Achille e la Tartaruga”. Ecco come sembra:
Diciamo che Achille corre dieci volte più veloce della tartaruga ed è mille passi indietro. Durante il tempo impiegato da Achille per percorrere questa distanza, la tartaruga farà cento passi nella stessa direzione. Quando Achille fa cento passi, la tartaruga striscia altri dieci passi e così via. Il processo continuerà all'infinito, Achille non raggiungerà mai la tartaruga.
Questo ragionamento divenne uno shock logico per tutte le generazioni successive. Aristotele, Diogene, Kant, Hegel, Hilbert... Tutti consideravano in un modo o nell'altro l'aporia di Zenone. Lo shock è stato così forte che" ...le discussioni continuano ancora oggi; la comunità scientifica non è ancora riuscita a raggiungere un'opinione comune sull'essenza dei paradossi...sono stati coinvolti nello studio della questione analisi matematica, teoria degli insiemi, nuovi approcci fisici e filosofici; nessuno di loro è diventato una soluzione generalmente accettata al problema..."[Wikipedia, "L'Aporia di Zeno". Tutti capiscono di essere ingannati, ma nessuno capisce in cosa consiste l'inganno.
Da un punto di vista matematico Zenone nella sua aporia dimostrò chiaramente il passaggio dalla quantità a . Questa transizione implica applicazioni anziché permanenti. Per quanto ho capito, l'apparato matematico per l'utilizzo di unità di misura variabili non è stato ancora sviluppato, oppure non è stato applicato all'aporia di Zenone. Applicare la nostra solita logica ci porta in una trappola. Noi, a causa dell'inerzia del pensiero, applichiamo unità di tempo costanti al valore reciproco. Da un punto di vista fisico, sembra che il tempo rallenti fino a fermarsi completamente nel momento in cui Achille raggiunge la tartaruga. Se il tempo si ferma, Achille non può più correre più veloce della tartaruga.
Se capovolgiamo la nostra solita logica, tutto va a posto. Achille corre a velocità costante. Ogni segmento successivo del suo percorso è dieci volte più breve del precedente. Di conseguenza, il tempo impiegato per superarlo è dieci volte inferiore a quello precedente. Se applichiamo il concetto di “infinito” a questa situazione, allora sarebbe corretto dire “Achille raggiungerà la tartaruga con una rapidità infinita”.
Come evitare questa trappola logica? Rimanere in unità di tempo costanti e non passare a unità reciproche. Nel linguaggio di Zenone appare così:
Nel tempo impiegato da Achille per percorrere mille passi, la tartaruga ne farà cento nella stessa direzione. Durante il successivo intervallo di tempo uguale al primo, Achille percorrerà altri mille passi e la tartaruga ne farà cento. Adesso Achille è ottocento passi avanti alla tartaruga.
Questo approccio descrive adeguatamente la realtà senza paradossi logici. Ma questa non è una soluzione completa al problema. L’affermazione di Einstein sull’irresistibilità della velocità della luce è molto simile all’aporia di Zenone “Achille e la tartaruga”. Dobbiamo ancora studiare, ripensare e risolvere questo problema. E la soluzione non va ricercata all’infinito grandi numeri, ma in unità di misura.
Un'altra interessante aporia di Zenone racconta di una freccia volante:
Una freccia volante è immobile, poiché in ogni momento è a riposo, e poiché è a riposo in ogni momento, è sempre a riposo.
In questa aporia, il paradosso logico viene superato in modo molto semplice: è sufficiente chiarire che in ogni momento una freccia volante è ferma in diversi punti dello spazio, il che, in effetti, è movimento. Qui occorre notare un altro punto. Da una fotografia di un'auto sulla strada è impossibile determinare né il fatto del suo movimento né la distanza da essa. Per determinare se un'auto si sta muovendo, sono necessarie due fotografie scattate dallo stesso punto in momenti diversi nel tempo, ma non è possibile determinare la distanza da esse. Per determinare la distanza da un'auto, sono necessarie due fotografie scattate da diversi punti nello spazio in un determinato momento, ma da esse non è possibile determinare il fatto del movimento (ovviamente, hai ancora bisogno di dati aggiuntivi per i calcoli, la trigonometria ti aiuterà ). Ciò su cui voglio attirare l'attenzione in particolare è che due punti nel tempo e due punti nello spazio sono cose diverse che non devono essere confuse, perché offrono diverse opportunità di ricerca.
Ti mostrerò il procedimento con un esempio. Selezioniamo il "rosso solido in un brufolo": questo è il nostro "tutto". Allo stesso tempo vediamo che queste cose sono con arco e ce ne sono senza arco. Successivamente, selezioniamo parte del "tutto" e formiamo un set "con un arco". Questo è il modo in cui gli sciamani si procurano il cibo legando la loro teoria degli insiemi alla realtà.
Adesso facciamo un piccolo trucchetto. Prendiamo il “solido con un brufolo e un fiocco” e combiniamo questi “interi” in base al colore, selezionando gli elementi rossi. Abbiamo molto "rosso". Ora la domanda finale: i set risultanti “con fiocco” e “rosso” sono lo stesso set o due set diversi? Solo gli sciamani conoscono la risposta. Più precisamente, loro stessi non sanno nulla, ma come dicono, così sarà.
Questo semplice esempio mostra che la teoria degli insiemi è completamente inutile quando si tratta di realtà. Qual è il segreto? Abbiamo formato un set di "solido rosso con un brufolo e un fiocco". La formazione avveniva secondo quattro diverse unità di misura: colore (rosso), resistenza (solido), rugosità (brufoloso), decorazione (con fiocco). Solo un insieme di unità di misura permette di descrivere adeguatamente gli oggetti reali nel linguaggio della matematica. Questo è quello che sembra.
La lettera "a" con indici diversi indica diverse unità di misura. Tra parentesi sono evidenziate le unità di misura con cui si distingue il “tutto” in fase preliminare. Tra parentesi è indicata l'unità di misura con cui è formato l'insieme. L'ultima riga mostra il risultato finale: un elemento del set. Come puoi vedere, se utilizziamo unità di misura per formare un insieme, il risultato non dipende dall'ordine delle nostre azioni. E questa è matematica, e non la danza degli sciamani con i tamburelli. Gli sciamani possono “intuitivamente” arrivare allo stesso risultato, sostenendo che è “ovvio”, perché le unità di misura non fanno parte del loro arsenale “scientifico”.
Utilizzando le unità di misura, è molto semplice dividere un set o combinare più set in un unico superset. Diamo uno sguardo più da vicino all'algebra di questo processo.
TABELLA DEI VALORI DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE
Tabella dei valori funzioni trigonometriche compilato per angoli di 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 e 360 gradi e i relativi valori angolari in vradianti. Delle funzioni trigonometriche, la tabella mostra seno, coseno, tangente, cotangente, secante e cosecante. Per comodità di soluzione esempi scolastici i valori delle funzioni trigonometriche nella tabella sono scritti sotto forma di frazione, preservando i segni per estrarre la radice quadrata dei numeri, che molto spesso aiuta a ridurre espressioni matematiche complesse. Per la tangente e la cotangente non è possibile determinare i valori di alcuni angoli. Per i valori della tangente e della cotangente di tali angoli, nella tabella dei valori delle funzioni trigonometriche è presente un trattino. È generalmente accettato che la tangente e la cotangente di tali angoli siano uguali all'infinito. In una pagina separata ci sono le formule per ridurre le funzioni trigonometriche.
La tabella dei valori della funzione trigonometrica seno mostra i valori per i seguenti angoli: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 in misura di gradi, che corrisponde a sin 0 pi, sin pi/6 , sin pi/4, sin pi/3, sin pi/2, sin pi, sin 3 pi/2, sin 2 pi in misura degli angoli in radianti. Tabella dei seni scolastici.
Per la funzione trigonometrica coseno, la tabella mostra i valori per i seguenti angoli: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 in gradi, che corrisponde a cos 0 pi greco , cos pi greco per 6, cos pi greco per 4, cos pi greco per 3, cos pi greco per 2, cos pi greco per 2, cos pi greco per 2, cos 2 pi greco in misura di angoli in radianti. Tabella dei coseni a scuola.
La tabella trigonometrica per la funzione tangente trigonometrica fornisce i valori per i seguenti angoli: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 in misura di gradi, che corrisponde a tg 0 pi, tg pi/6, tg pi/4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi nella misura degli angoli in radianti. I seguenti valori delle funzioni tangenti trigonometriche non sono definiti tan 90, tan 270, tan pi/2, tan 3 pi/2 e sono considerati uguali all'infinito.
Per la funzione trigonometrica cotangente nella tabella trigonometrica si danno i valori dei seguenti angoli: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 in misura di gradi, che corrisponde a ctg pi/6, ctg pi/4 , ctg pi/3, tg pi/ 2, tan 3 pi/2 nella misura degli angoli in radianti. I seguenti valori delle funzioni cotangenti trigonometriche non sono definiti ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi e sono considerati uguali all'infinito.
I valori delle funzioni trigonometriche secante e cosecante sono dati per gli stessi angoli in gradi e radianti di seno, coseno, tangente, cotangente.
La tabella dei valori delle funzioni trigonometriche degli angoli non standard mostra i valori di seno, coseno, tangente e cotangente per angoli in gradi 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 gradi e in radianti pi/12 , pi greco/10, pi greco/ 8, pi greco/5, 3 pi greco/8, 2 pi greco/5 radianti. I valori delle funzioni trigonometriche sono espressi in termini di frazioni e radici quadrate per facilitare la riduzione delle frazioni negli esempi scolastici.
Altri tre mostri di trigonometria. Il primo è la tangente di 1,5 un grado e mezzo o pi greco diviso per 120. Il secondo è il coseno di pi greco diviso per 240, pi greco/240. Il più lungo è il coseno di pi greco diviso per 17, pi greco/17.
Il cerchio trigonometrico dei valori delle funzioni seno e coseno rappresenta visivamente i segni di seno e coseno a seconda dell'ampiezza dell'angolo. Soprattutto per le bionde, i valori del coseno sono sottolineati con un trattino verde per ridurre la confusione. Anche la conversione dei gradi in radianti viene presentata molto chiaramente quando i radianti sono espressi in termini di pi greco.
Questo tavola trigonometrica rappresenta i valori seno, coseno, tangente e cotangente per angoli da 0 zero a 90 novanta gradi a intervalli di un grado. Per i primi quarantacinque gradi, i nomi delle funzioni trigonometriche vanno cercati in cima alla tabella. La prima colonna contiene i gradi, nelle quattro colonne successive sono scritti i valori di seno, coseno, tangente e cotangente.
Per gli angoli da quarantacinque gradi a novanta gradi, i nomi delle funzioni trigonometriche sono scritti in fondo alla tabella. L'ultima colonna contiene i gradi; i valori di coseni, seni, cotangenti e tangenti sono scritti nelle quattro colonne precedenti. Dovresti fare attenzione perché i nomi delle funzioni trigonometriche nella parte inferiore della tabella trigonometrica sono diversi dai nomi nella parte superiore della tabella. Seni e coseni si scambiano, proprio come tangente e cotangente. Ciò è dovuto alla simmetria dei valori delle funzioni trigonometriche.
I segni delle funzioni trigonometriche sono mostrati nella figura sopra. Il seno ha valori positivi da 0 a 180 gradi o da 0 a pi greco. Il seno ha valori negativi da 180 a 360 gradi o da pi greco a 2 pi greco. I valori del coseno sono positivi da 0 a 90 e da 270 a 360 gradi, oppure da 0 a 1/2 pi greco e da 3/2 a 2 pi greco. Tangente e cotangente hanno valori positivi da 0 a 90 gradi e da 180 a 270 gradi, corrispondenti a valori da 0 a 1/2 pi greco e da pi greco a 3/2 pi greco. I valori negativi di tangente e cotangente vanno da 90 a 180 gradi e da 270 a 360 gradi, o da 1/2 pi greco a pi greco e da 3/2 pi greco a 2 pi greco. Quando determini i segni delle funzioni trigonometriche per angoli maggiori di 360 gradi o 2 pi greco, dovresti utilizzare le proprietà di periodicità di queste funzioni.
Le funzioni trigonometriche seno, tangente e cotangente sono funzioni dispari. I valori di queste funzioni per angoli negativi saranno negativi. Il coseno è una funzione trigonometrica pari: il valore del coseno per angolo negativo sarà positivo. È necessario seguire le regole dei segni quando si moltiplicano e si dividono le funzioni trigonometriche.
La tabella dei valori per la funzione trigonometrica seno mostra i valori per i seguenti angoli
DocumentoLe formule di riduzione sono presenti in una pagina separata trigonometricofunzioni. IN tavolovaloriPertrigonometricofunzionisenodatovaloriPeril seguenteangoli: peccato 0, peccato 30, peccato 45 ...
L'apparato matematico proposto è un analogo completo del calcolo complesso per numeri ipercomplessi n-dimensionali con qualsiasi numero di gradi di libertà n ed è destinato alla modellazione matematica di numeri non lineari
Documento... funzioniè uguale funzioni immagini. Da questo teorema Dovrebbe, Che cosa Per trovando le coordinate U, V, è sufficiente calcolare funzione...geometria; polinare funzioni(analoghi multidimensionali del bidimensionale trigonometricofunzioni), le loro proprietà, tavoli e applicazione; ...
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Tabella dei valori delle funzioni trigonometriche
Nota. Questa tabella dei valori delle funzioni trigonometriche utilizza il segno √ per indicare radice quadrata. Per indicare una frazione utilizzare il simbolo "/".
Vedi anche materiali utili:
Per determinare il valore di una funzione trigonometrica, trovalo all'intersezione della linea che indica la funzione trigonometrica. Ad esempio, seno 30 gradi: cerchiamo la colonna con l'intestazione sin (seno) e troviamo l'intersezione di questa colonna della tabella con la riga "30 gradi", alla loro intersezione leggiamo il risultato - metà. Allo stesso modo troviamo coseno 60 gradi, seno 60 gradi (ancora una volta all'intersezione della colonna sin con la linea dei 60 gradi troviamo il valore sin 60 = √3/2), ecc. I valori di seno, coseno e tangente di altri angoli “popolari” si trovano allo stesso modo.
Seno pi, coseno pi, tangente pi e altri angoli in radianti
La tabella seguente di coseni, seni e tangenti è adatta anche per trovare il valore delle funzioni trigonometriche il cui argomento è dato in radianti. Per fare ciò, utilizzare la seconda colonna di valori angolari. Grazie a questo, puoi convertire il valore degli angoli popolari da gradi a radianti. Ad esempio, troviamo nella prima riga l'angolo di 60 gradi e sotto di essa leggiamo il suo valore in radianti. 60 gradi equivalgono a π/3 radianti.
Il numero pi esprime inequivocabilmente la dipendenza della circonferenza dalla misura in gradi dell'angolo. Pertanto, i radianti pi greco sono pari a 180 gradi.
Qualsiasi numero espresso in termini di pi greco (radianti) può essere facilmente convertito in gradi sostituendo pi greco (π) con 180.
Esempi:
1. Seno pi.
peccato π = peccato 180 = 0
quindi, il seno di pi greco è uguale al seno di 180 gradi ed è uguale a zero.2. Coseno pi.
cosπ = cos180 = -1
quindi, il coseno di pi greco è uguale al coseno di 180 gradi ed è uguale a meno uno.3. Tangente pi greco
tgπ = tg180 = 0
quindi, la tangente pi è uguale alla tangente 180 gradi ed è uguale a zero.Tabella dei valori seno, coseno, tangente per angoli 0 - 360 gradi (valori comuni)
valore dell'angolo α
(gradi)valore dell'angolo α
in radianti(via pi)
peccato
(seno)cos
(coseno)tg
(tangente)ctg
(cotangente)sez
(secante)cosec
(cosecante)0 0 0 1 0 - 1 - 15 π/12 2 - √3 2 + √3 30 π/6 1/2 √3/2 1/√3 √3 2/√3 2 45 π/4 √2/2 √2/2 1 1 √2 √2 60 π/3 √3/2 1/2 √3 1/√3 2 2/√3 75 5π/12 2 + √3 2 - √3 90 π/2 1 0 - 0 - 1 105 7π/12 - - 2 - √3 √3 - 2 120 2π/3 √3/2 -1/2 -√3 -√3/3 135 3π/4 √2/2 -√2/2 -1 -1 -√2 √2 150 5π/6 1/2 -√3/2 -√3/3 -√3 180 π 0 -1 0 - -1 - 210 7π/6 -1/2 -√3/2 √3/3 √3 240 4π/3 -√3/2 -1/2 √3 √3/3 270 3π/2 -1 0 - 0 - -1 360 2π 0 1 0 - 1 - Se nella tabella dei valori delle funzioni trigonometriche è indicato un trattino al posto del valore della funzione (tangente (tg) 90 gradi, cotangente (ctg) 180 gradi), quindi per un dato valore della misura in gradi dell'angolo la funzione non ha un valore specifico. Se non è presente alcun trattino, la cella è vuota, il che significa che non abbiamo ancora inserito il valore richiesto. Siamo interessati alle domande per le quali gli utenti si rivolgono a noi e integriamo la tabella con nuovi valori, nonostante il fatto che i dati attuali sui valori di coseno, seno e tangente dei valori angolari più comuni siano abbastanza sufficienti per risolvere la maggior parte problemi.
Tabella dei valori delle funzioni trigonometriche sin, cos, tg per gli angoli più diffusi
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 gradi
(valori numerici “come da tabelle Bradis”)valore dell'angolo α (gradi) valore dell'angolo α in radianti peccato (seno) cos (coseno) tg (tangente) ctg (cotangente) 0 0 15 0,2588
0,9659
0,2679
30 0,5000
0,5774
45 0,7071
0,7660
60 0,8660
0,5000
1,7321
7π/18
Tabella delle funzioni trigonometriche di base per angoli di 0, 30, 45, 60, 90, ... gradi
Dalle definizioni trigonometriche delle funzioni $\sin$, $\cos$, $\tan$ e $\cot$ si possono ricavare i loro valori per gli angoli $0$ e $90$ gradi:
$\sin0°=0$, $\cos0°=1$, $\tan 0°=0$, $\cot 0°$ non definito;
$\sin90°=1$, $\cos90°=0$, $\cot90°=0$, $\tan 90°$ non è determinato.
In un corso di geometria scolastica durante gli studi triangoli rettangoli trovare le funzioni trigonometriche degli angoli $0°$, $30°$, $45°$, $60°$ e $90°$.
Trovato valori di funzioni trigonometriche per gli angoli indicati in gradi e radianti, rispettivamente ($0$, $\frac(\pi)(6)$, $\frac(\pi)(4)$, $\frac(\ pi)(3) $, $\frac(\pi)(2)$) per facilità di memorizzazione e utilizzo vengono inseriti in una tabella chiamata tavola trigonometrica, tabella dei valori di base delle funzioni trigonometriche ecc.
Quando si utilizzano le formule di riduzione, la tabella trigonometrica può essere estesa ad un angolo di $360°$ e, di conseguenza, $2\pi$ radianti:
Utilizzando le proprietà di periodicità delle funzioni trigonometriche, ogni angolo, che differirà da quello già noto di $360°$, può essere calcolato e registrato in una tabella. Ad esempio, la funzione trigonometrica per l'angolo $0°$ avrà lo stesso valore per l'angolo $0°+360°$, per l'angolo $0°+2 \cdot 360°$ e per l'angolo $0°+3 \cdot 360°$ ed ecc.
Utilizzando una tabella trigonometrica, puoi determinare i valori di tutti gli angoli di una circonferenza unitaria.
In un corso di geometria scolastica, dovresti memorizzare i valori di base delle funzioni trigonometriche raccolti in una tabella trigonometrica per comodità di risolvere problemi trigonometrici.
Utilizzando una tabella
Nella tabella è sufficiente trovare la funzione trigonometrica richiesta e il valore dell'angolo o dei radianti per i quali è necessario calcolare questa funzione. All'intersezione della riga con la funzione e della colonna con il valore, otteniamo il valore desiderato della funzione trigonometrica dell'argomento dato.
Nella figura puoi vedere come trovare il valore di $\cos60°$, che è uguale a $\frac(1)(2)$.
La tavola trigonometrica estesa viene utilizzata allo stesso modo. Il vantaggio di utilizzarlo è, come già accennato, il calcolo della funzione trigonometrica di quasi tutti gli angoli. Ad esempio, puoi facilmente trovare il valore $\tan 1 380°=\tan (1 380°-360°)=\tan(1 020°-360°)=\tan(660°-360°)=\tan300 °$:
Tabelle Bradis delle funzioni trigonometriche di base
La capacità di calcolare la funzione trigonometrica di qualsiasi valore angolare per un valore intero di gradi e un valore intero di minuti è fornita dall'uso delle tabelle Bradis. Ad esempio, trovare il valore di $\cos34°7"$. Le tabelle sono divise in 2 parti: una tabella dei valori di $\sin$ e $\cos$ e una tabella dei valori di $ \tan$ e $\cot$.
Le tabelle Bradis consentono di ottenere valori approssimativi delle funzioni trigonometriche con una precisione fino a 4 cifre decimali.
Utilizzo delle tabelle Bradis
Utilizzando le tabelle Bradis per i seni, troviamo $\sin17°42"$. Per fare ciò, nella colonna di sinistra della tabella dei seni e coseni troviamo il valore dei gradi - $17°$, e nella riga superiore troviamo il valore dei minuti - $42"$. Alla loro intersezione otteniamo il valore desiderato:
$\sin17°42"=0,304$.
Per trovare il valore $\sin17°44"$ è necessario utilizzare la correzione sul lato destro della tabella. In questo caso, al valore $42"$ presente nella tabella, è necessario aggiungere una correzione per $2 "$, che equivale a $0,0006$. Otteniamo:
$\sin17°44"=0,304+0,0006=0,3046$.
Per trovare il valore $\sin17°47"$ utilizziamo anche la correzione sul lato destro della tabella, solo che in questo caso prendiamo come base il valore $\sin17°48"$ e sottraiamo la correzione per $1"$ :
$\sin17°47"=0,3057-0,0003=0,3054$.
Quando calcoliamo i coseni, eseguiamo azioni simili, ma guardiamo i gradi nella colonna di destra e i minuti nella colonna inferiore della tabella. Ad esempio, $\cos20°=0,9397$.
Non sono previste correzioni per valori della tangente fino a $90°$ e per la cotangente ad angolo piccolo. Ad esempio, troviamo $\tan 78°37"$, che secondo la tabella equivale a $4,967$.
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