Teorema de Pitágoras Pantalones de Pitágoras. Los increíbles números del profesor Stewart

Casi igual Club de las 12 sillas Casi igual PROSA IRÓNICA La muerte le llegó a un pobre. Y estaba algo sordo. Muy normal, pero un poco sordo... Y veía mal. No vi casi nada. - ¡Oh, tenemos invitados! Por favor pase. La muerte dice: "Espera para regocijarte",

El potencial de la creatividad suele atribuirse a las humanidades, dejando las ciencias naturales al análisis, al enfoque práctico y al lenguaje seco de fórmulas y números. Las matemáticas no pueden clasificarse como una materia de humanidades. Pero sin creatividad no se llegará muy lejos en la "reina de todas las ciencias"; la gente lo sabe desde hace mucho tiempo. Desde la época de Pitágoras, por ejemplo.

Desafortunadamente, los libros de texto escolares generalmente no explican que en matemáticas es importante no solo estudiar teoremas, axiomas y fórmulas. Es importante comprender y sentir sus principios fundamentales. Y al mismo tiempo intenta liberar tu mente de clichés y verdades elementales- Sólo en tales condiciones nacen todos los grandes descubrimientos.

Tales descubrimientos incluyen lo que hoy conocemos como el teorema de Pitágoras. Con su ayuda, intentaremos demostrar que las matemáticas no sólo pueden, sino que deben ser apasionantes. Y que esta aventura es apta no sólo para nerds con gafas gruesas, sino para todos los que son fuertes de mente y de espíritu.

De la historia del problema.

Estrictamente hablando, aunque el teorema se llama “teorema de Pitágoras”, el propio Pitágoras no lo descubrió. El triángulo rectángulo y sus propiedades especiales se estudiaron mucho antes que él. Hay dos puntos polares opinión sobre este tema. Según una versión, Pitágoras fue el primero en encontrar una demostración completa del teorema. Según otro, la prueba no pertenece a la autoría de Pitágoras.

Hoy ya no se puede comprobar quién tiene razón y quién no. Lo que se sabe es que la prueba de Pitágoras, si alguna vez existió, no ha sobrevivido. Sin embargo, hay sugerencias de que la famosa prueba de los Elementos de Euclides puede pertenecer a Pitágoras, y Euclides sólo la registró.

También se sabe hoy que los problemas sobre un triángulo rectángulo se encuentran en fuentes egipcias de la época del faraón Amenemhat I, en tablillas de arcilla babilónicas del reinado del rey Hammurabi, en el antiguo tratado indio "Sulva Sutra" y en la antigua obra china " Zhou-bi suan jin”.

Como puedes ver, el teorema de Pitágoras ha ocupado la mente de los matemáticos desde la antigüedad. Esto lo confirman alrededor de 367 pruebas diferentes que existen en la actualidad. En esto ningún otro teorema puede competir con él. Entre los autores famosos de pruebas podemos recordar a Leonardo da Vinci y al vigésimo presidente de los Estados Unidos, James Garfield. Todo esto habla de la extrema importancia de este teorema para las matemáticas: la mayoría de los teoremas de la geometría se derivan de él o están de alguna manera relacionados con él.

Pruebas del teorema de Pitágoras

EN libros de texto escolares principalmente plomo pruebas algebraicas. Pero la esencia del teorema está en la geometría, así que consideremos primero las demostraciones del famoso teorema que se basan en esta ciencia.

Evidencia 1

Para la mayoría prueba sencilla Según el teorema de Pitágoras, para un triángulo rectángulo, es necesario establecer condiciones ideales: deje que el triángulo no solo sea rectángulo, sino también isósceles. Hay motivos para creer que fue precisamente este tipo de triángulo el que consideraron inicialmente los antiguos matemáticos.

Declaración “un cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre sus catetos” se puede ilustrar con el siguiente dibujo:

Mira el triángulo rectángulo isósceles ABC: sobre la hipotenusa AC, puedes construir un cuadrado que consta de cuatro triángulos iguales al ABC original. Y en los lados AB y BC se construye un cuadrado, cada uno de los cuales contiene dos triángulos semejantes.

Por cierto, este dibujo formó la base de numerosos chistes y caricaturas dedicadas al teorema de Pitágoras. El más famoso es probablemente "Los pantalones pitagóricos son iguales en todas direcciones":

Evidencia 2

Este método combina álgebra y geometría y puede considerarse una variante de la antigua prueba india del matemático Bhaskari.

Construye un triángulo rectángulo con lados. a, b y c(Figura 1). Luego construye dos cuadrados con lados iguales a la suma de las longitudes de los dos catetos. (a+b). En cada uno de los cuadrados haz construcciones como en las Figuras 2 y 3.

En el primer cuadrado, construye cuatro triángulos similares a los de la Figura 1. El resultado son dos cuadrados: uno de lado a, el segundo de lado b.

En el segundo cuadrado, cuatro triángulos semejantes construidos forman un cuadrado con un lado igual a la hipotenusa C.

La suma de las áreas de los cuadrados construidos en la Fig. 2 es igual al área del cuadrado que construimos con el lado c en la Fig. 3. Esto se puede comprobar fácilmente calculando el área de los cuadrados de la Fig. 2 según la fórmula. Y el área del cuadrado inscrito en la Figura 3. restando las áreas de cuatro triángulos rectángulos iguales inscritos en el cuadrado del área de un cuadrado grande con un lado (a+b).

Anotando todo esto tenemos: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Abra los corchetes, realice todos los cálculos algebraicos necesarios y obtenga eso un 2 +b 2 = un 2 +b 2. En este caso, el área inscrita en la Fig. 3. El cuadrado también se puede calcular usando la fórmula tradicional. S=c2. Aquellos. a 2 +b 2 =c 2– has demostrado el teorema de Pitágoras.

Evidencia 3

La propia prueba india antigua fue descrita en el siglo XII en el tratado "La Corona del Conocimiento" ("Siddhanta Shiromani") y como argumento principal el autor utiliza un llamamiento dirigido a los talentos matemáticos y las habilidades de observación de estudiantes y seguidores: " ¡Mirar!"

Pero analizaremos esta prueba con más detalle:

Dentro del cuadrado, construye cuatro triángulos rectángulos como se indica en el dibujo. Denotamos el lado del cuadrado grande, también conocido como hipotenusa, Con. Llamemos a los catetos del triángulo. A Y b. Según el dibujo, el lado del cuadrado interior es (a-b).

Usa la fórmula para el área de un cuadrado. S=c2 para calcular el área del cuadrado exterior. Y al mismo tiempo calcula el mismo valor sumando el área del cuadrado interior y las áreas de los cuatro triángulos rectángulos: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Puedes utilizar ambas opciones para calcular el área de un cuadrado y asegurarte de que den el mismo resultado. Y esto te da derecho a escribir eso. c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Como resultado de la solución, recibirás la fórmula del teorema de Pitágoras. c 2 =a 2 +b 2. El teorema ha sido demostrado.

Prueba 4

Esta curiosa prueba china antigua fue llamada la “Silla de la Novia”, debido a la figura en forma de silla que resulta de todas las construcciones:

Utiliza el dibujo que ya hemos visto en la Fig. 3 en la segunda prueba. Y el cuadrado interior con lado c se construye de la misma manera que en la antigua prueba india dada anteriormente.

Si cortas mentalmente dos triángulos rectangulares verdes del dibujo de la Fig. 1, los mueves a lados opuestos del cuadrado con lado c y unes las hipotenusas a las hipotenusas de los triángulos lilas, obtendrás una figura llamada "silla de la novia". (Figura 2). Para mayor claridad, puedes hacer lo mismo con cuadrados y triángulos de papel. Te asegurarás de que la “silla de la novia” esté formada por dos cuadrados: pequeños con un lado b y grande con un lado a.

Estas construcciones permitieron a los antiguos matemáticos chinos y a nosotros, siguiéndolos, llegar a la conclusión de que c 2 =a 2 +b 2.

Evidencia 5

Esta es otra forma de encontrar una solución al teorema de Pitágoras usando geometría. Se llama Método Garfield.

construir un triangulo rectángulo A B C. Necesitamos demostrar que antes de Cristo 2 = CA 2 + AB 2.

Para ello, continúa la pierna. C.A. y construir un segmento CD, que es igual al cateto AB. Bajar la perpendicular ANUNCIO segmento de línea DE. Segmentos DE Y C.A. son iguales. Conecta los puntos mi Y EN, y mi Y CON y obtén un dibujo como el de la siguiente imagen:

Para demostrar la torre, volvemos a recurrir al método que ya hemos probado: encontramos el área de la figura resultante de dos formas y equiparamos las expresiones entre sí.

Encuentra el área de un polígono UNA CAMA se puede hacer sumando las áreas de los tres triángulos que lo forman. Y uno de ellos, URE, no sólo es rectangular, sino también isósceles. Tampoco olvidemos que AB=CD, CA=ED Y BC=SE– esto nos permitirá simplificar la grabación y no sobrecargarla. Entonces, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

Al mismo tiempo, es obvio que UNA CAMA- Este es un trapezoide. Por tanto, calculamos su área mediante la fórmula: S ABED =(DE+AB)*1/2AD. Para nuestros cálculos, es más conveniente y claro representar el segmento. ANUNCIO como la suma de segmentos C.A. Y CD.

Anotemos ambas formas de calcular el área de una figura, poniendo un signo igual entre ellas: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Usamos la igualdad de segmentos que ya conocemos y descritos anteriormente para simplificar lado derecho entradas: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Ahora abramos los corchetes y transformemos la igualdad: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Habiendo completado todas las transformaciones, obtenemos exactamente lo que necesitamos: antes de Cristo 2 = CA 2 + AB 2. Hemos demostrado el teorema.

Por supuesto, esta lista de pruebas está lejos de ser completa. El teorema de Pitágoras también se puede demostrar utilizando vectores, números complejos, ecuaciones diferenciales, estereometría, etc. E incluso los físicos: si, por ejemplo, se vierte líquido en volúmenes cuadrados y triangulares similares a los que se muestran en los dibujos. Al verter líquido, se puede demostrar la igualdad de áreas y, como resultado, el teorema mismo.

Algunas palabras sobre los trillizos pitagóricos

Este tema se estudia poco o nada en el currículo escolar. Mientras tanto, es muy interesante y de gran importancia en geometría. Las ternas pitagóricas se utilizan para resolver muchos problemas matemáticos. Comprenderlos puede resultarle útil en sus estudios superiores.

Entonces, ¿qué son los trillizos pitagóricos? Así lo llaman números enteros, recogido de tres en tres, la suma de los cuadrados de dos de los cuales es igual al tercer número del cuadrado.

Las ternas pitagóricas pueden ser:

• primitivo (los tres números son primos relativos);
• no primitivo (si cada número de un triple se multiplica por el mismo número, se obtiene un nuevo triple, que no es primitivo).

Incluso antes de nuestra era, los antiguos egipcios estaban fascinados por la manía por los números de los trillizos pitagóricos: en los problemas consideraban un triángulo rectángulo con lados de 3, 4 y 5 unidades. Por cierto, cualquier triángulo cuyos lados sean iguales a los números del triple pitagórico es rectangular por defecto.

Ejemplos de trillizos pitagóricos: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20 ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14, 48, 50), (30, 40, 50), etc.

Aplicación práctica del teorema.

El teorema de Pitágoras se utiliza no sólo en matemáticas, sino también en arquitectura y construcción, astronomía e incluso literatura.

Primero, sobre la construcción: el teorema de Pitágoras se usa ampliamente en problemas de diversos niveles de complejidad. Por ejemplo, mire una ventana románica:

Denotaremos el ancho de la ventana como b, entonces el radio del semicírculo mayor se puede denotar como R y expresar a través de b: R=b/2. El radio de semicírculos más pequeños también se puede expresar mediante b:r=b/4. En este problema estamos interesados ​​en el radio del círculo interior de la ventana (llamémoslo pag).

El teorema de Pitágoras sólo sirve para calcular R. Para hacer esto, usamos un triángulo rectángulo, que se indica con una línea de puntos en la figura. La hipotenusa de un triángulo consta de dos radios: b/4+p. Un cateto representa el radio b/4, otro b/2p. Utilizando el teorema de Pitágoras escribimos: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. A continuación, abrimos los corchetes y obtenemos b 2 /16+ pb/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-pb+p 2. Transformemos esta expresión en pb/2=b 2 /4-pb. Y luego dividimos todos los términos por b, te presentamos otros similares para conseguir 3/2*p=b/4. Y al final encontramos que p=b/6- que es lo que necesitábamos.

Usando el teorema, puedes calcular la longitud de las vigas de un techo a dos aguas. Determinar a qué altura se necesita una torre de telefonía celular para que la señal alcance un determinado asentamiento. E incluso instalar un árbol de Navidad de forma sostenible en la plaza del pueblo. Como puede ver, este teorema no solo se encuentra en las páginas de los libros de texto, sino que a menudo resulta útil en la vida real.

En literatura, el teorema de Pitágoras ha inspirado a escritores desde la antigüedad y continúa haciéndolo en nuestro tiempo. Por ejemplo, el escritor alemán del siglo XIX Adelbert von Chamisso se inspiró para escribir un soneto:

La luz de la verdad no se disipará pronto,
Pero, habiendo brillado, es poco probable que se disipe.
Y, como hace miles de años,
No causará dudas ni disputas.

El más sabio cuando toca tu mirada.
Luz de la verdad, gracias a los dioses;
Y cien toros, degollados, yacen.
Un regalo de regreso del afortunado Pitágoras.

Desde entonces los alcistas han estado rugiendo desesperadamente:
Siempre alarmó a la tribu de los toros.
Evento mencionado aquí.

Les parece que el tiempo está por llegar,
Y serán sacrificados nuevamente
Algún gran teorema.

(traducción de Viktor Toporov)

Y en el siglo XX, el escritor soviético Evgeny Veltistov, en su libro "Las aventuras de la electrónica", dedicó un capítulo entero a las demostraciones del teorema de Pitágoras. Y otro medio capítulo más a la historia sobre el mundo bidimensional que podría existir si el teorema de Pitágoras se convirtiera en ley fundamental e incluso en religión para un solo mundo. Vivir allí sería mucho más fácil, pero también mucho más aburrido: allí, por ejemplo, nadie entiende el significado de las palabras "redondo" y "esponjoso".

Y en el libro "Las aventuras de la electrónica", el autor, por boca del profesor de matemáticas Taratar, dice: "Lo principal en matemáticas es el movimiento del pensamiento, las nuevas ideas". Es precisamente este vuelo creativo del pensamiento el que da origen al teorema de Pitágoras; no en vano tiene tantas y variadas demostraciones. Le ayuda a ir más allá de los límites de lo familiar y a mirar las cosas familiares de una manera nueva.

Conclusión

Este artículo está diseñado para ayudarle a mirar más allá currículum escolar en matemáticas y aprenda no solo las demostraciones del teorema de Pitágoras que se dan en los libros de texto "Geometría 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) y "Geometría 7-11" (A.V. Pogorelov), sino también otras formas interesantes de demostrar El famoso teorema. Y vea también ejemplos de cómo se puede aplicar el teorema de Pitágoras en la vida cotidiana.

En primer lugar, esta información le permitirá calificar para más puntuaciones altas En las clases de matemáticas siempre se agradece mucho la información sobre el tema procedente de fuentes adicionales.

En segundo lugar, queríamos ayudarte a sentir lo interesantes que son las matemáticas. Cerciorarse ejemplos específicos que siempre hay un lugar para la creatividad en él. Esperamos que el teorema de Pitágoras y este artículo lo inspiren a explorar de forma independiente y realizar descubrimientos interesantes en matemáticas y otras ciencias.

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“Los pantalones pitagóricos son iguales por todos lados.
Para demostrarlo, necesitamos filmarlo y mostrarlo”.

Este poema es conocido por todos. escuela secundaria, desde que estudiamos el famoso teorema de Pitágoras en clase de geometría: el cuadrado de la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo igual a la suma cuadrados de patas. Aunque el propio Pitágoras nunca usó pantalones, en aquellos días los griegos no los usaban. ¿Quién es Pitágoras?
Pitágoras de Samos del lat. Pitágoras, locutor Pythian (570-490 a. C.): filósofo, matemático y místico griego antiguo, creador de la escuela religiosa y filosófica de los pitagóricos.
Entre las enseñanzas contradictorias de sus maestros, Pitágoras buscó una conexión viva, una síntesis de un gran todo único. Se fijó un objetivo: encontrar el camino que conducía a la luz de la verdad, es decir, experimentar la vida en unidad. Para ello, Pitágoras visitó todo el mundo antiguo. Creía que debía ampliar sus ya amplios horizontes estudiando todas las religiones, doctrinas y cultos. Vivió entre los rabinos y aprendió mucho sobre las tradiciones secretas de Moisés, el legislador de Israel. Luego visitó Egipto, donde fue iniciado en los Misterios de Adonis y, habiendo logrado cruzar el valle del Éufrates, permaneció mucho tiempo con los caldeos para aprender su sabiduría secreta. Pitágoras visitó Asia y África, incluidos Indostán y Babilonia. En Babilonia estudió el conocimiento de los magos.
El mérito de los pitagóricos fue la promoción de ideas sobre las leyes cuantitativas del desarrollo del mundo, lo que contribuyó al desarrollo de las ciencias matemáticas, físicas, astronómicas y conocimiento geográfico. La base de las cosas es el número, enseñó Pitágoras, conocer el mundo significa conocer los números que lo controlan. Al estudiar los números, los pitagóricos desarrollaron relaciones numéricas y las encontraron en todas las áreas de la actividad humana. Pitágoras enseñó en secreto y no dejó obras escritas. Pitágoras concedía gran importancia al número. Su puntos de vista filosóficos en gran parte debido a representaciones matemáticas. Dijo: “Todo es un número”, “todas las cosas son números”, destacando así un aspecto de la comprensión del mundo, a saber, su mensurabilidad en expresión numérica. Pitágoras creía que el número controla todas las cosas, incluidas las cualidades morales y espirituales. Enseñó (según Aristóteles): “La justicia... es un número multiplicado por sí mismo”. Creía que en cada objeto, además de sus estados cambiantes, hay un ser inmutable, una determinada sustancia inmutable. Este es el número. De ahí la idea principal del pitagorismo: el número es la base de todo lo que existe. Los pitagóricos vieron en los números y en las relaciones matemáticas una explicación del significado oculto de los fenómenos, las leyes de la naturaleza. Según Pitágoras, los objetos del pensamiento son más reales que los objetos del conocimiento sensorial, ya que los números tienen una naturaleza atemporal, es decir. eterno. Son un tipo de realidad que se sitúa por encima de la realidad de las cosas. Pitágoras dice que todas las propiedades de un objeto pueden destruirse o cambiarse, excepto una propiedad numérica. Esta propiedad es Unidad. La unidad es la existencia de las cosas, indestructibles e indescomponibles, inmutables. Divide cualquier objeto en las partículas más pequeñas: cada partícula será una. Argumentando que el ser numérico es el único ser inmutable, Pitágoras llegó a la conclusión de que todos los objetos son copias de números.
La unidad es un número absoluto. La unidad tiene eternidad. La unidad no necesita tener ninguna relación con nada más. Existe por sí solo. Dos es sólo una relación de uno a uno. Todos los números son solo
Relaciones numéricas de la Unidad, sus modificaciones. Y todas las formas de ser son sólo ciertos lados del infinito y, por tanto, Unidades. El Uno original contiene todos los números y, por tanto, contiene los elementos del mundo entero. Los objetos son manifestaciones reales de la existencia abstracta. Pitágoras fue el primero en designar el cosmos con todas las cosas que contiene como un orden establecido por el número. Este orden es accesible a la mente y es reconocido por ella, lo que permite ver el mundo de una forma completamente nueva.
El proceso de conocimiento del mundo, según Pitágoras, es el proceso de conocimiento de los números que lo controlan. Después de Pitágoras, el cosmos comenzó a considerarse ordenado por el número del universo.
Pitágoras enseñó que el alma humana es inmortal. Se le ocurrió la idea de la transmigración de las almas. Creía que todo lo que sucede en el mundo se repite una y otra vez después de ciertos períodos de tiempo, y las almas de los muertos, después de un tiempo, habitan en otros. El alma, como número, representa la Unidad, es decir. el alma es esencialmente perfecta. Pero toda perfección, en cuanto se pone en movimiento, se convierte en imperfección, aunque se esfuerce por recuperar su antiguo estado perfecto. Pitágoras llamó imperfección a la desviación de la Unidad; por lo tanto, el dos era considerado un número maldito. El alma del hombre se encuentra en un estado de comparativa imperfección. Consiste en tres elementos: razón, inteligencia, pasión. Pero si los animales también tienen inteligencia y pasiones, entonces sólo el hombre está dotado de razón (razón). Cualquiera de estos tres lados puede prevalecer en una persona, y entonces la persona se vuelve predominantemente razonable, cuerda o sensual. En consecuencia, resulta ser un filósofo, una persona corriente o un animal.
Sin embargo, volvamos a los números. Sí, de hecho, los números son una manifestación abstracta de la ley filosófica básica del Universo: la unidad de los opuestos.
Nota. La abstracción sirve como base para los procesos de generalización y formación de conceptos. Ella - condición necesaria categorización. Forma imágenes generalizadas de la realidad, que permiten identificar conexiones y relaciones de objetos que son significativos para una determinada actividad.
La unidad de los opuestos del Universo consiste en Forma y Contenido, la Forma es una categoría cuantitativa y el Contenido es una categoría cualitativa. Naturalmente, los números expresan categorías cuantitativas y cualitativas de forma abstracta. Por tanto, la suma (resta) de números es un componente cuantitativo de la abstracción de Formas, y la multiplicación (división) es un componente cualitativo de la abstracción de Contenidos. Los números de la abstracción de Forma y Contenido están en una conexión inextricable de la Unidad de los Opuestos.
Intentemos realizar operaciones matemáticas con números, estableciendo una conexión inextricable entre Forma y Contenido.

Entonces, veamos la serie numérica.
1,2,3,4,5,6,7,8,9. 1+2= 3 (3) 4+5=9 (9)… (6) 7+8=15 -1+5=6 (9). Siguiente 10 – (1+0) + 11 (1+1) = (1+2= 3) - 12 –(1+2=3) (3) 13-(1+3= 4) + 14 –(1 +4=5) = (4+5= 9) (9) …15 –(1+5=6) (6) … 16- (1+6=7) + 17 – (1+7 =8) ( 7+8=15) – (1+5= 6) … (18) – (1+8=9) (9). 19 – (1+9= 10) (1) -20 – (2+0=2) (1+2=3) 21 –(2+1=3) (3) – 22- (2+2= 4 ) 23-(2+3=5) (4+5=9) (9) 24- (2+4=6) 25 – (2+5=7) 26 – (2+6= 8) – 7+ 8= 15 (1+5=6) (6) Etc.
A partir de aquí observamos una transformación cíclica de Formas, que corresponde al ciclo de Contenidos - 1er ciclo - 3-9-6 - 6-9-3 2do ciclo - 3-9- 6 -6-9-3, etc.
6
9 9
3

Los ciclos reflejan la inversión del toro del Universo, donde los opuestos de los números abstractos de Forma y Contenido son 3 y 6, donde 3 determina la Compresión y 6 el Estiramiento. El compromiso para su interacción es el número 9.
Siguiente 1,2,3,4,5,6,7,8,9. 1x2=2 (3) 4x5=20 (2+0=2) (6) 7x8=56 (5+6=11 1+1= 2) (9), etc.
El ciclo se ve así 2-(3)-2-(6)- 2- (9)… donde 2 es el elemento constitutivo del ciclo 3-6-9.
A continuación se muestra la tabla de multiplicar:
2x1=2
2x2=4
(2+4=6)
2x3=6
2x4=8
2x5=10
(8+1+0 = 9)
2x6=12
(1+2=3)
2x7=14
2x8=16
(1+4+1+6=12;1+2=3)
2x9=18
(1+8=9)
Ciclo -6.6- 9- 3.3 – 9.
3x1=3
3x2=6
3x3=9
3x4=12 (1+2=3)
3x5=15 (1+5=6)
3x6=18 (1+8=9)
3x7=21 (2+1=3)
3x8=24 (2+4=6)
3x9=27 (2+7=9)
Ciclo 3-6-9; 3-6-9; 3-6-9.
4x1=4
4x2=8 (4+8=12 1+2=3)
4x3=12 (1+2=3)
4x4=16
4x5=20 (1+6+2+0= 9)
4x6=24 (2+4=6)
4x7=28
4x8= 32 (2+8+3+2= 15 1+5=6)
4x9=36 (3+6=9)
Ciclo 3.3 – 9 - 6.6 - 9.
5x1=5
5x2=10 (5+1+0=6)
5x3=15 (1+5=6)
5x4=20
5x5=25 (2+0+2+5=9)
5x6=30 (3+0=3)
5x7=35
5x8=40 (3+5+4+0= 12 1+2=3)
5x9=45 (4+5=9)
Ciclo -6.6 – 9 - 3.3- 9.
6x1= 6
6x2=12 (1+2=3)
6x3=18 (1+8=9)
6x4=24 (2+4=6)
6x5=30 (3+0=3)
6x6=36 (3+6=9)
6x7=42 (4+2=6)
6x8=48 (4+8=12 1+2=3)
6x9=54 (5+4=9)
Ciclo – 3-9-6; 3-9-6; 3-9.
7x1=7
7x2=14 (7+1+4= 12 1+2=3)
7x3=21 (2+1=3)
7x4=28
7x5=35 (2+8+3+5=18 1+8=9)
7x6=42 (4+2=6)
7x7=49
7x8=56 (4+9+5+6=24 2+4=6)
7x9=63 (6+3=9)
Ciclo – 3,3 – 9 – 6,6 – 9.
8x1= 8
8x2=16 (8+1+6= 15 1+5=6.
8x3=24 (2+4=6)
8x4=32
8x5=40 (3+2+4+0 =9)
8x6=48 (4+8=12 1+2=3)
8x7=56
8x8=64 (5+6+6+4= 21 2+1=3)
8x9=72 (7+2=9)
Ciclo -6,6 – 9 – 3,3 – 9.
9x1=9
9x2= 18 (1+8=9)
9x3= 27 (2+7=9)
9x4=36 (3+6=9)
9x5=45 (4+5= 9)
9x6=54 (5+4=9)
9x7=63 (6+3=9)
9x8=72 (7+2=9)
9x9=81 (8+1=9).
El ciclo es 9-9-9-9-9-9-9-9-9.

Los números de la categoría cualitativa de Contenido - 3-6-9, indican el núcleo de un átomo con un número diferente de neutrones, y la categoría cuantitativa indica el número de electrones del átomo. Los elementos químicos son núcleos cuyas masas son múltiplos de 9, y los múltiplos de 3 y 6 son isótopos.
Nota. Isótopo (del griego "igual", "idéntico" y "lugar") - variedades de átomos y núcleos del mismo elemento químico con diferente número de neutrones en el núcleo. Un elemento químico es un conjunto de átomos con cargas nucleares idénticas. Los isótopos son variedades de átomos de un elemento químico con la misma carga nuclear, pero diferentes números másicos.

Todos los objetos reales están hechos de átomos y los átomos están determinados por números.
Por tanto, es natural que Pitágoras estuviera convencido de que los números son objetos reales y no simples símbolos. Un número es un determinado estado de los objetos materiales, la esencia de una cosa. Y Pitágoras tenía razón en esto.