Kas arvul 24 on suurim kordne. Naturaalarvud (N)

Kokkuvõtte märksõnad:Täisarvud. Aritmeetilised tehted naturaalarvudega. Naturaalarvude jaguvus. Alg- ja liitarvud. Naturaalarvu lagundamine algteguriteks. 2, 3, 5, 9, 4, 25, 10, 11 jaguvuse märgid. Suurim ühisjagaja (GCD), samuti väikseim ühiskordaja (LCM). Jagage jäägiga.

Täisarvud on numbrid, mida kasutatakse objektide loendamiseks - 1, 2, 3, 4 , … Aga number 0 ei ole loomulik!

Naturaalarvude hulk on N. Salvestamine "3 ∈ N" tähendab, et number kolm kuulub naturaalarvude hulka, ja tähistus "0 ∉ N" tähendab, et number null ei kuulu sellesse hulka.

Kümnendarvude süsteem- positsiooniline arvusüsteem, mis põhineb 10 .

Aritmeetilised tehted naturaalarvudega

Naturaalarvude jaoks on määratletud järgmised toimingud: liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine, astendamine, juure ekstraheerimine. Esimesed neli sammu on aritmeetika.

Olgu siis a, b ja c naturaalarvud

1. LISAND. Tähtaeg + Tähtaeg = summa

Lisamise omadused
1. Kommutatiivne a + b = b + a.
2. Kombinatiiv a + (b + c) \u003d (a + b) + c.
3. a + 0= 0 + a = a.

2. LAHETA. Vähendatud – lahutatud = erinevus

lahutamise omadused
1. Summa lahutamine arvust a - (b + c) \u003d a - b - c.
2. Arvu lahutamine summast (a + b) - c \u003d a + (b - c); (a + b) - c \u003d (a - c) + b.
3. a - 0 = a.
4. a - a \u003d 0.

3. KORRUTAMINE. **kordaja * kordaja = toode**

Korrutamise omadused
1. Kommutatiivne a * b \u003d b * a.
2. Kombinatiiv a * (b * c) \u003d (a * b) * c.
3. 1 * a = a * 1 = a.
4. 0 * a = a * 0 = 0.
5. Jaotus (a + b) * c \u003d ac + bc; (a - b) * c \u003d ac - bc.

4. JAOTUS. Dividend: jagaja = jagatis

jaotuse omadused
1. a: 1 = a.
2. a: a = 1. Nulliga jagada ei saa!
3. 0: a=0.

Menetlus

1. Kõigepealt sulgudes olevad toimingud.
2. Seejärel korrutamine, jagamine.
3. Ja ainult liitmise, lahutamise lõpus.

Naturaalarvude jaguvus. Alg- ja liitarvud.

Naturaalarvu jagaja a nimetatakse naturaalarvuks, mille võrra a jagatud ilma jäägita. Number 1 on mis tahes naturaalarvu jagaja.

Naturaalarvu nimetatakse lihtne kui see ainult on kaks jagaja: üks ja arv ise. Näiteks numbrid 2, 3, 11, 23 on algarvud.

Kutsutakse arvu, millel on rohkem kui kaks jagajat komposiit. Näiteks numbrid 4, 8, 15, 27 on liitarvud.

jagatavusmärk töötab mitu arvu: kui vähemalt üks teguritest jagub mõne arvuga, siis jagub selle arvuga ka korrutis. Töö 24 15 77 jagatuna 12 , kuna selle arvu tegur 24 jagatuna 12 .

Summa jagatavuse märk (erinevus) arvud: kui iga liige jagub mõne arvuga, siis kogu summa jagub selle arvuga. Kui a a:b ja c:b, siis (a + c): b. Ja kui a:b, a c ei jaguga b, siis a+c ei jagu arvuga b.

Kui a a:c ja c:b, siis a:b. 72:24 ja 24:12 põhjal järeldame, et 72:12.

Arvu esitamist algarvude astmete korrutisena nimetatakse arvu lagundamine algteguriteks.

Aritmeetika põhiteoreem: mis tahes naturaalarv (v.a 1 ) või on lihtne, või selle saab algteguriteks lagundada ainult ühel viisil.

Arvu algteguriteks lagundamisel kasutatakse jaguvusmärke ja tähistust “veerg”, mille puhul jagaja asub vertikaalribast paremal ja jagatis kirjutatakse dividendi alla.

Näiteks ülesanne: lagundada arv algteguriteks 330 . Otsus:

Jaguvuse tunnused 2, 5, 3, 9, 10, 4, 25 ja 11.

On märke jagunemisest 6, 15, 45 jne, see tähendab arvudesse, mille korrutist saab faktoreerida 2, 3, 5, 9 ja 10 .

Suurim ühine jagaja

Nimetatakse suurimat naturaalarvu, millega mõlemad antud naturaalarvud jaguvad suurim ühine jagaja need numbrid ( GCD). Näiteks gcd (10; 25) = 5; ja GCD (18; 24) = 6; GCD (7; 21) = 1.

Kui kahe naturaalarvu suurim ühisjagaja on 1 , siis kutsutakse neid numbreid koprime.

Algoritm suurima ühise jagaja leidmiseks(GCD)

GCD-d kasutatakse sageli probleemide korral. Näiteks jagati ühe klassi õpilaste vahel võrdselt 155 vihikut ja 62 pastakat. Kui palju õpilasi selles klassis on?

Otsus: Selle klassi õpilaste arvu leidmine taandub arvude 155 ja 62 suurima ühisjagaja leidmisele, kuna vihikud ja pastakad jagunesid võrdselt. 155 = 531; 62 = 231. GCD (155; 62) = 31.

Vastus: klassis 31 õpilast.

Vähim ühine kordne

Naturaalarvu mitmekordne a on naturaalarv, mis jagub arvuga a jäljetult. Näiteks number 8 on kordsed: 8, 16, 24, 32 , … Igal naturaalarvul on lõpmatult palju kordajaid.

Vähim ühine kordne(LCM) on väikseim naturaalarv, mis on nende arvude kordne.

Algoritm vähima ühiskordaja leidmiseks ( NOC):

LCM-i kasutatakse sageli ka probleemide korral. Näiteks kaks jalgratturit startisid samal ajal rattarajal samas suunas. Üks teeb ringi 1 minutiga ja teine 45 sekundiga. Mitme minuti pärast pärast liikumise algust nad stardis kohtuvad?

Otsus: Minutite arv, mille järel nad stardis uuesti kohtuvad, peab jaguma ajaga 1 min, samuti edasi 45 s. 1 minutiga = 60 s. See tähendab, et on vaja leida LCM (45; 60). 45 = 325; 60 = 22 3 5. NOC (45; 60) = 22 32 5 = 4 9 5 = 180. Selle tulemusena selgub, et ratturid kohtuvad stardis pärast 180 s = 3 min.

Vastus: 3 min.

Jagage jäägiga

Kui naturaalarv a ei jagu naturaalarvuga b, siis saate teha jäägiga jagamine. Sel juhul nimetatakse saadud jagatist mittetäielik. Õige võrdsus on:

a = b n + r,

kus a- jagatav b- jagaja, n- mittetäielik jagatis, r- ülejääk. Näiteks olgu dividend 243 , jagaja - 4 , siis 243: 4 = 60 (ülejäänud 3). See tähendab, et a \u003d 243, b \u003d 4, n \u003d 60, r \u003d 3, siis 243 = 60 4 + 3 .

Arvud, mis jaguvad arvuga 2 jäljetult, kutsutakse isegi: a = 2n,n ∈ N.

Ülejäänud numbritele helistatakse kummaline: b = 2n + 1,n ∈ N.

See on teema kokkuvõte. "Täisarvud. Jagatavuse märgid». Jätkamiseks valige järgmised sammud:

Minge järgmise kokkuvõtte juurde:

Naturaalarv on matemaatika üks põhimõisteid ja võib-olla ka üks esimesi mõisteid.

Naturaalarvude hulk = (1, 2, 3…). See tähendab, et naturaalarvude hulk on kõigi positiivsete täisarvude hulk. Naturaalarvudel on defineeritud liitmise, korrutamise, lahutamise ja jagamise toimingud. Kahe naturaalarvu liitmise, korrutamise ja lahutamise tulemus on täisarv. Ja kahe naturaalarvu jagamise tulemus võib olla kas täisarv või murdarv.

Näiteks: 20: 4 = 5 - jagamise tulemus on täisarv.
20: 3 \u003d 6 2/3 - jagamise tulemus on murdarv.
Naturaalarvu n jagub naturaalarvuga m, kui jagamise tulemuseks on täisarv. Sel juhul nimetatakse arvu m arvu n jagajaks ja arvu n arvu m kordseks.

Esimeses näites jagub 20 4-ga, 4 on 20 jagaja, 20 on 4 kordne.
Teises näites ei jagu arv 20 arvuga 3, seega jagajatest ja kordajatest ei saa juttugi olla.

Arvu n nimetatakse algarvuks, kui sellel pole peale enda ja ühe jagajaid. Algarvude näited: 2, 7, 11, 97 jne.
Arvu n nimetatakse liitarvuks, kui sellel on teised jagajad peale tema enda ja ühe.

Iga naturaalarvu saab lagundada algarvude korrutiseks ja see lagunemine on ainulaadne kuni tegurite järjekorrani. Näiteks: 36=2 2 3 3 = 2 3 2 3 = 3 2 3 2 - kõik need laiendused erinevad ainult tegurite järjekorras.

Kahe arvu m ja n suurim ühisjagaja on suurim naturaalarv, mis on nii arvu m jagaja kui ka arvu n jagaja. Näiteks arvude 34 ja 85 puhul on suurim ühine jagaja 17.

Kahe arvu m ja n vähim ühiskordne on väikseim naturaalarv, mis on nii m kui ka n kordne. Näiteks arvude 15 ja 4 puhul oleks vähim ühiskordne 60.

Kahe algarvuga jaguv naturaalarv jagub ka nende korrutisega. Näiteks kui arv jagub 2-ga ja 3-ga, siis jagub see ka 6-ga = 23, kui 11-ga ja 7-ga, siis 77-ga.

Näide: arv 6930 jagub arvuga 11 - 6930: 11 \u003d 630 ja jagub arvuga 7 - 6930: 7 \u003d 990. Võib julgelt öelda, et see arv jagub ka 77-ga. Kontrollime: 6930: 77 u003d 90.

Algoritm arvu n jaotamiseks algteguriteks:

1. Leidke n väikseim algjagaja (va 1) - a1.
2. Jagage arv n a1-ga, tähistage jagatis n1-ga.
3. n=a1 n1.
4. Teeme sama operatsiooni n1-ga, kuni saame algarvu.

Näide: arvu 17 136 faktorineerimine algteguriteks

1. Väikseim algjagaja peale 1 on 2.

2. 17 136: 2 = 8 568;

3. 17 136 = 8 568 2.

4. Arvu 8568 väikseim algjagaja on 2.

5. 8 568: 2 = 4284;

6. 17 136 = 4284 2 2.

7. Arvu 4284 väikseim algjagaja on 2.

8. 4284: 2 = 2142;

9. 17 136 = 2142 2 2 2.

10. Arvu 2142 väikseim algjagaja on 2.

11. 2142: 2 = 1071;

12. 17 136 = 1071 2 2 2 2.

13. Arvu 1071 väikseim algjagaja on 3.

14. 1071: 3 = 357;

15. 17 136 = 357 3 2 2 2 2.

16. 357 väikseim algjagaja on 3.

17. 357: 3 = 119;

18. 17 136 = 119 3 3 2 2 2 2.

19. Arvu 119 väikseim algjagaja on 7.

20. 119: 7 = 17;

21. 17 on algarv, seega 17 136 = 17 7 3 3 2 2 2 2.

Oleme saanud arvu 17 136 jaotuse algteguriteks.

naturaalarvude ühiskordneajabon arv, mis on iga antud arvu kordne.

Kõigi ühiste korduste väikseim arv a ja b helistas nende arvude vähim ühiskordne.

Arvude vähim ühiskordne a ja b tähistame K( a, b).

Näiteks kaks arvu 12 ja 18 on ühised kordsed: 36, 72, 108, 144, 180 jne. Arv 36 on arvude 12 ja 18 vähim ühiskordne. Võite kirjutada: K (12, 18) \u003d 36.

Vähima ühiskordaja puhul on tõesed järgmised väited:

1. Arvude vähim ühiskordne a ja b

2. Arvude vähim ühiskordne a ja b mitte väiksem kui etteantud arvudest suurem, s.o. kui a >b, siis K( a, b) ≥ a.

3. Arvude mis tahes ühiskordne a ja b jagub nende vähima ühiskordsega.

Suurim ühine jagaja

Naturaalarvude ühisjagaja a jabon arv, mis jagab iga antud arvu.

Arvude kõigi ühisjagajate suurim arv a ja b nimetatakse antud arvude suurimaks ühisjagajaks.

Suurim arvude ühine jagaja a ja b tähistame D( a, b).

Näiteks arvude 12 ja 18 puhul on ühised jagajad arvud: 1, 2, 3, 6. Arv 6 on 12 ja 18. Võite kirjutada: D(12, 18) = 6.

Arv 1 on mis tahes kahe naturaalarvu ühine jagaja a ja b. Kui neil arvudel pole muid ühiseid jagajaid, siis D( a, b) = 1 ja numbrid a ja b helistas koprime.

Näiteks arvud 14 ja 15 on kaasalgarvud, kuna D(14, 15) = 1.

Suurima ühise jagaja puhul on tõesed järgmised väited:

1. Suurim arvude ühine jagaja a ja b on alati olemas ja ainulaadne.

2. Suurim arvude ühine jagaja a ja b ei ületa etteantud arvudest väikseimat, s.o. kui a< b, siis D(a, b) ≤ a.

3. Suurim arvude ühine jagaja a ja b jagub nende arvude mis tahes ühisjagajaga.

Arvude suurim ühiskordne a ja b ja nende suurim ühisjagaja on omavahel seotud: arvude vähima ühiskordse ja suurima ühisjagaja korrutis a ja b on võrdne nende arvude korrutisega, st. K( a, b)D( a, b) = a· b.

Sellest avaldusest tulenevad tagajärjed:

a) Kahe suhteliselt algarvu vähim ühiskordne on võrdne nende arvude korrutisega, s.o. D( a, b) = 1 => K( a, b) = a· b;

Näiteks arvude 14 ja 15 vähima ühiskordse leidmiseks piisab nende korrutamisest, kuna D(14, 15) = 1.

b) a jagub koalgarvude korrutisega m ja n, on vajalik ja piisav, et see on jagatav m, ja edasi n.

See väide on jaguvuse märk arvudega, mida saab esitada kahe koalgarvu korrutisena.

c) Jagatised, mis saadakse kahe antud arvu jagamisel nende suurima ühisjagajaga, on koalgarvud.

Seda omadust saab kasutada antud arvude leitud suurima ühisjagaja õigsuse kontrollimisel. Näiteks kontrollime, kas arv 12 on arvude 24 ja 36 suurim ühisjagaja. Selleks jagame viimase väite kohaselt 24 ja 36 12-ga. Saame vastavalt arvud 2 ja 3, mis on koprime. Seetõttu D(24, 36)=12.

Ülesanne 32. Sõnastage ja tõestage 6-ga jaguvuse test.

Otsus x jagub 6-ga, siis on vajalik ja piisav, et see jagub 2 ja 3-ga.

Lase numbril x jagub 6-ga. Siis sellest, et x 6 ja 62, järeldub sellest x 2. Ja sellest, et x 6 ja 63, järeldub sellest x 3. Oleme tõestanud, et selleks, et arv jaguks 6-ga, peab see olema jagatav 2 ja 3-ga.

Näitame selle tingimuse piisavust. Nagu x 2 ja x 3, siis x- arvude 2 ja 3 ühiskordne. Iga arvu ühiskordne jagub nende väikseima kordsega, mis tähendab x K(2;3).

Kuna D(2, 3)=1, siis K(2,3)=2 3=6. Seega x 6.

Ülesanne 33. Koostage 12, 15 ja 60.

Otsus. Selleks, et naturaalarv x jagub 12-ga, siis on vajalik ja piisav, et see jagub 3 ja 4-ga.

Selleks, et naturaalarv x jagub 15-ga, siis on vajalik ja piisav, et see jagub 3 ja 5-ga.

Selleks, et naturaalarv x jagub 60-ga, on vajalik ja piisav, et see jagub 4, 3 ja 5-ga.

Ülesanne 34. Otsige numbreid a ja b, kui K( a, b)=75, a· b=375.

Otsus. Kasutades valemit K( a,b)D( a,b)=a· b, leiame soovitud arvude suurima ühisjagaja a ja b:

D( a, b) === 5.

Seejärel saab soovitud numbreid esitada kui a= 5R, b= 5q, kus lk ja q lk ja 5 q võrdsusesse a b= 275. Saa 5 lk·5 q=375 või lk· q=15. Saadud võrrandi lahendame kahe muutujaga valiku teel: leiame kaasalgarvude paarid, mille korrutis on 15. Selliseid paare on kaks: (3, 5) ja (1, 15). Seega soovitud numbrid a ja b need on: 15 ja 25 või 5 ja 75.

Ülesanne 35. Otsige numbreid a ja b, kui on teada, et D( a, b) = 7 ja a· b= 1470.

Otsus. Alates D( a, b) = 7, siis saab soovitud numbreid esitada kui a= 7R, b= 7q, kus lk ja q on suhteliselt algarvud. Asendusväljendid 5 R ja 5 q võrdsusesse a b = 1470. Siis 7 lk 7 q= 1470 või lk· q= 30. Lahendame saadud võrrandi kahe muutujaga valiku teel: leiame kaasalgarvude paarid, mille korrutis on 30. Selliseid paare on neli: (1, 30), (2, 15), (3, 10) , (5, 6). Seega soovitud numbrid a ja b need on: 7 ja 210, 14 ja 105, 21 ja 70, 35 ja 42.

Ülesanne 36. Otsige numbreid a ja b, kui on teada, et D( a, b) = 3 ja a:b= 17:14.

Otsus. Nagu a:b= 17:14, siis a= 17R ja b= 14lk, kus R- arvude suurim ühisjagaja a ja b. Seega a= 17 3 = 51, b= 14 3 = 42.

Probleem 37. Otsige numbreid a ja b, kui on teada, et K( a, b) = 180, a:b= 4:5.

Otsus. Nagu a: b=4:5, siis a=4R ja b=5R, kus R- arvude suurim ühisjagaja a ja b. Siis R 180=4 R·5 R. Kus R=9. Seega a= 36 ja b=45.

Probleem 38. Otsige numbreid a ja b, kui on teada, et D( a,b)=5, K( a,b)=105.

Otsus. Alates D( a, b) K( a, b) = a· b, siis a· b= 5 105 = 525. Lisaks saab soovitud numbreid esitada kui a= 5R ja b= 5q, kus lk ja q on suhteliselt algarvud. Asendusväljendid 5 R ja 5 q võrdsusesse a· b= 525. Siis 5 lk·5 q=525 või lk· q=21. Leiame kaasalgarvude paarid, mille korrutis on 21. Selliseid paare on kaks: (1, 21) ja (3, 7). Seega soovitud numbrid a ja b need on: 5 ja 105, 15 ja 35.

Ülesanne 39. Tõesta, et number n(2n+ 1)(7n+ 1) jagub 6-ga mis tahes loomuliku arvu korral n.

Otsus. Arv 6 on liitarv, seda saab esitada kahe kaasalgarvu korrutisena: 6 = 2 3. Kui tõestame, et antud arv jagub 2 ja 3-ga, siis liitarvuga jaguvuse testi põhjal võime järeldada, et see jagub 6-ga.

Tõestamaks, et number n(2n+ 1)(7n+ 1) jagub 2-ga, on kaks võimalust:

1) n jagub 2-ga, s.o. n= 2k. Siis toode n(2n+ 1)(7n+ 1) näeb välja selline: 2 k(4k+ 1)(14k+ 1). See toode jagub 2-ga, sest esimene tegur jagub 2-ga;

2) n ei jagu 2-ga, s.t. n= 2k+ 1. Seejärel toode n(2n+ 1 )(7n+ 1) näeb välja selline: (2 k+ 1)(4k+ 3)(14k+ 8). See toode jagub 2-ga, sest viimane tegur jagub 2-ga.

Tõestamaks, et töö n(2n+ 1)(7n+ 1) jagub 3-ga, tuleb arvestada kolme võimalusega:

1) n jagub 3-ga, s.o. n= 3k. Siis toode n(2n+ 1)(7n+ 1) näeb välja selline: 3 k(6k+ 1)(21k+ 1). See toode jagub 3-ga, sest esimene tegur jagub 3-ga;

2) n 3-ga jagamisel on jääk 1, s.t. n= 3k+ 1. Seejärel toode n(2n+ 1)(7n+ 1) näeb välja selline: (3 k+ 1)(6k+ 3)(21k+ 8). See toode jagub 3-ga, sest teine tegur jagub 3-ga;

3) n 3-ga jagades annab jäägi 2, st. n= 3k+ 2. Seejärel toode n(2n+ 1)(7n+ 1) näeb välja selline: (3 k+ 2)(6k+ 5)(21k+ 15). See toode jagub 3-ga, sest viimane tegur jagub 3-ga.

Seega on tõestatud, et toode n(2n+ 1)(7n+ 1) jagub 2 ja 3-ga. Seega jagub 6-ga.

Harjutused iseseisvaks tööks

1. Antakse kaks arvu: 50 ja 75. Kirjutage hulk üles:

a) arvu 50 jagajad; b) arvu 75 jagajad; c) nende arvude ühisjagajad.

Mis on 50 ja 75 suurim ühisjagaja?

2. Kas arv 375 on järgmiste arvude ühiskordne: a) 125 ja 75; b) 85 ja 15?

3. Otsi numbreid a ja b, kui on teada, et K( a, b) = 105, a· b= 525.

4. Otsi numbreid a ja b, kui on teada, et D( a, b) = 7, a· b= 294.

5. Otsi numbreid a ja b, kui on teada, et D( a, b) = 5, a:b= 13:8.

6. Otsi numbreid a ja b, kui on teada, et K( a, b) = 224, a:b= 7:8.

7. Otsi numbreid a ja b, kui on teada, et D( a, b) = 3, K( a; b) = 915.

8. Tõesta 15-ga jaguvuse test.