Teoreem 2.4. Kui jadad (x n ) ja (y n ) koonduvad ja x n ≤ y n, n > n 0, siis lim x n ≤ lim y n .

Olgu lim xn = a,

limyn = b ja a > b. Definitsiooni järgi 2.4 piirid

jadad arvus ε =

on arv N selline, et

Seetõttu n > max(n0 , N) yn<

< xn , что противоречит

tingimus.

kommenteerida. Kui jadad (xn ), (yn ) koonduvad jaoks

kõik n > n0

xn< yn , то можно утверждать лишь, что lim xn

≤ limiin .

Selle nägemiseks piisab, kui arvestada järjestusi

		ja yn =

Järgmised tulemused tulenevad otseselt definitsioonist 2.4.

Teoreem 2.5. Kui arvjada (x n ) koondub ja lim x n< b (b R), то N N: x n < b, n >N.

Tagajärg. Kui jada (xn ) koondub ja lim xn 6= 0, siis

N N: sgn xn = sgn(lim xn ), n > N.

Teoreem 2.6. Jadad (x n ), (y n ), (z n ) vastavad järgmistele tingimustele:

1) xn ≤ yn ≤ zn, n > n0,

2) järjestused(x n ) ja (z n ) koonduvad ning lim x n = lim z n = a.

Siis jada (y n ) koondub ja lim y n = a.

2.1.3 Lõpmatult väikesed jadad

Definitsioon 2.7. Arvjada (x n ) nimetatakse lõpmatu väikeseks (lühendatult b.m.), kui see koondub ja lim x n = 0.

Vastavalt numbrijada piirangu definitsioonile 2.4 on definitsioon 2.7 samaväärne järgmisega:

Definitsioon 2.8. Arvjada (x n ) nimetatakse lõpmatult väikeseks, kui mis tahes positiivse arvu ε korral on arv N = N(ε), nii et kõigi n > N korral vastavad selle jada elemendid x n ebavõrdsusele |x n |< ε.

Niisiis, (xn) - b.m. ε > 0 N = N(ε) : n > N |xn |< ε.

Näidetest 2 ja 3 ning 1. märkusest teoreemile 2.3 järeldame, et pärast

järjepidevus (

q−n

on lõputud

Lõpmatult väikeste jadade omadusi kirjeldavad järgmised teoreemid.

Teoreem 2.7. Lõpmatu arvu lõpmatute jadade summa on lõpmata väike jada.

Olgu jadad (xn ), (yn ) lõpmatult väikesed. Näitame, et ka (xn + yn ) on selline. Määrame ε > 0. Siis on arv

	N1 = N1 (ε) nii, et
	|xn|<		N > N1,
	ja on olemas arv N2 = N2 (ε), nii et
	|yn|<		N > N2.

Tähistame N = max(N1 , N2 ). Kui n > N, kehtivad võrratused (2.1) ja (2.2). Seega, kui n > N

|xn + yn | ≤ |xn | + |yn |< 2 + 2 = ε.

See tähendab, et jada (xn +yn ) on lõpmata väike. Väide lõpliku arvu lõpmatuseni väikese jada summa kohta

väärtused tulenevad sellest, mida tõestati induktsiooniga.

Teoreem 2.8. Töö on lõputu väike järjestus piiratud jadale on lõpmata väike.

Olgu (xn ) piiratud ja (yn ) lõpmata väike jada. Definitsiooni järgi 2.6 piiratud järjestus on selline arv M > 0, et

|xn | ≤ M, nN.

Fikseerime suvalise arvu ε > 0. Kuna (yn ) on lõpmata väike jada, on olemas arv N = N(ε),

Seetõttu jada (xn yn ) on lõpmata väike.

Järeldus 1. Lõpmatult väikese jada korrutis koonduva jadaga on lõpmata väike jada.

Järeldus 2. Kahe lõpmatult väikese jada korrutis on lõpmata väike jada.

Kasutades lõpmata väikeseid jadasid, saab koonduva jada definitsiooni vaadata erinevalt.

Lemma 2.1. Selleks, et arv a oleks arvjada (x n ) piiriks, on vajalik ja piisav, et toimuks esitus x n = a + α n, n N, milles (α n ) on lõpmata väike jada.

Vaja. Olgu lim xn = a ja a R. Siis

ε > 0 N = N(ε) N: n > N |xn − a|< ε.

Kui paneme αn = xn − a, n N, siis saame, et (αn ) on lõpmata väike jada ja xn = a + αn , n N.

Adekvaatsus. Olgu jada (xn ) selline, et on olemas arv a, mille puhul xn = a + αn, n N ja lim αn = 0. Fikseerige suvaline positiivne arv ε. Kuna lim αn = 0, on olemas arv N = N(ε) N, mille puhul |αn |< ε, n >N. See tähendab, et muus tähistuses n > N |xn − a|< ε. Это означает, что lim xn = a.

Rakendame Lemma 2.1 ühe olulise näite puhul.

Lemma 2.2. lim n n = 1.

√ √

Kuna kõigi n > 1 n n > 1 korral, siis n n = 1 + αn ja αn > 0

kõik n > 1. Seega n = (1 + α

)n = 1 + nα

+αn.

Kuna kõik terminid on positiivsed, siis n

Olgu ε > 0. Kuna

2/n< ε для всех n >2/ε , siis seadistus

N = max(1, ), saame 0< αn < ε, n >N. Seetõttu

jada (αn ) on lõpmatult väike ja vastavalt lemmale

2,1, lim n n = 1. √

Tagajärg. Kui a > 1, siis lim n a = 1.√ √

Väide tuleneb ebavõrdsusest 1< n a ≤ n n , n >[a].

2.1.4 Jadaaritmeetika

Lemma 2.1 ja lõpmata väikeste jadade omadusi kasutades on lihtne saada teoreeme konvergentsetest jadadest aritmeetiliste tehtetega saadud jadade piiride kohta.

|b| 3|b|

2 < |y n | < 2

Teoreem 2.9. Olgu arvulised jadad (x n ) ja (y n ) koonduvad. Seejärel toimuvad avaldused:

1) jada (x n ± y n ) koondub ja

lim(xn ± yn ) = lim xn ± lim yn ;

2) jada (x n y n ) koondub ja

lim(xn yn ) = lim xn lim yn ;

3) kui lim y n 6= 0, siis suhe x n /y n määratakse alates

mingi arv, jada ( x n ) koondub ja

Teoreemi 2.8 ja järelduse 1 järgi on jadad (a βn ), (b αn ), (αn βn ) lõpmatult väikesed. Teoreemi 2.7 järgi on jada (aβn + bαn + αn βn ) lõpmatult väike. Esitus (2.5) Lemma 2.1 järgi eeldab väidet 2).

Pöördume väite 3 juurde). Eeldusel lim yn = b 6= 0. Lause 2.3 alusel. jada (|yn |) koondub ja lim |yn | = |b| 6= 0. Seega, arvestades arvu ε = |b|/2, on olemas arv N, mille puhul n > N

0 < | 2 b| = |b| −

Seetõttu yn =6 0 ja 3|b|< y n < |b| , n >N.

Seega on jagatis xn /yn defineeritud kõigi n > N jaoks ja jada (1/yn ) on piiratud. Arvestage kõigi n > N erinevustega

(αnb − aβn ).

Järjekord

αnb

aβn

lõputult väike,

piiratud. Teoreemi 2.8 järgi jada

−b

suht väike. Seetõttu on Lemma 2.1 alusel väide 3) tõestatud. Järeldus 1. Kui jada (xn) läheneb, siis mis tahes

jumalaarvu c jada (c · xn ) koondub ja lim(cxn ) = c · lim xn .

Funktsiooni kutsutakse lõpmatult väike juures
või millal
, kui
või
.

Näiteks: funktsioon
lõpmatult väike juures
; funktsiooni
lõpmatult väike juures
.

Märkus 1. Ühtegi funktsiooni ilma argumendi muutumise suunda täpsustamata ei saa nimetada lõpmatuks. Jah, funktsioon
juures
on lõpmata väike ja
see pole enam lõpmatult väike
).

Märkus 2. Funktsiooni piiri määratlusest punktis, lõpmata väikeste funktsioonide puhul võrratus
Kasutame seda fakti edaspidi korduvalt.

Seadistage mõned olulised lõpmata väikeste funktsioonide omadused.

Teoreem (funktsiooni, selle piiri ja lõpmatu väikese vahelise seose kohta): Kui funktsioon
saab esitada konstantse arvu summana AGA ja lõpmata väike funktsioon
juures
, siis number

Tõestus:

Teoreemi tingimustest järeldub, et funktsioon
.

Ekspress siit
:
. Alates funktsioonist
lõpmata väike, see rahuldab ebavõrdsust
, siis väljendi (
) rahuldab ka ebavõrdsust

Ja see tähendab seda
.

Teoreem (tagurpidi): kui
, siis funktsioon
saab esitada arvu summana AGA ja lõpmata väike juures
funktsioonid
, st.
.

Tõestus:

Sest
, siis jaoks
ebavõrdsus
(*) Vaatleme funktsiooni
üksikuna ja kirjutage võrratus (*) vormile ümber

Viimasest ebavõrdsusest järeldub, et kvantiteet (
) on lõpmatult väike
. Tähistame seda
.

Kus
. Teoreem on tõestatud.

1. teoreem . Lõplikult väikese arvu funktsioonide algebraline summa on lõpmata väike funktsioon.

Tõestus:

Teeme tõestuse kahe liikme jaoks, kuna mis tahes lõpliku arvu terminite korral on see antud sarnasel viisil.

Las olla
Ja
lõpmatult väike juures
funktsioonid ja
on nende funktsioonide summa. Tõestame selle eest
, selline on olemas
seda kõigile X ebavõrdsuse rahuldamine
, ebavõrdsus
.

Alates funktsioonist
lõpmata väike funktsioon,
seda kõigile
ebavõrdsus
.

Alates funktsioonist
lõpmata väike funktsioon,
, ja seetõttu on olemas seda kõigile
ebavõrdsus
.

Võtame võrdne väikseima arvuga Ja , siis sisse -punkti naabruskond aga ebavõrdsus täidetakse
,
.

Koostage funktsioonimoodul
ja hinnata selle väärtust.

St
, siis funktsioon on lõpmata väike, mida tuli tõestada.

2. teoreem. Lõpmatu väikese funktsiooni korrutis
juures
piiratud funktsiooni jaoks
on lõpmata väike funktsioon.

Tõestus:

Alates funktsioonist
piiratud, siis on positiivne arv
seda kõigile ebavõrdsus
.

Alates funktsioonist
lõpmatult väike juures
, siis on olemas -punkti naabruskond seda kõigile nende naabruskond rahuldab ebavõrdsust
.

Mõelge funktsioonile
ja hinnata selle moodulit

nii
, ja siis
- lõputult väike.

Teoreem on tõestatud.

Piiriteoreemid.

1. teoreem. Lõpliku arvu funktsioonide algebralise summa piir on võrdne nende funktsioonide piiride algebralise summaga

Tõestus:

Selle tõestamiseks piisab kahe funktsiooni vaatlemisest, see ei riku arutluskäigu üldistust.

Las olla
,
.

Vastavalt teoreemile funktsiooni, selle piiri ja lõpmata väikese funktsiooni vahelise seose kohta
Ja
saab kujutada kui
kus
Ja
on lõpmatult väikesed
.

Leiame funktsioonide summa
Ja

Väärtus
on konstantne väärtus
on lõpmata väike suurus. Seega funktsioon
Esitatakse konstantse väärtuse ja lõpmata väikese funktsiooni summana.

Siis number
on funktsiooni piir
, st.

Teoreem on tõestatud.

2. teoreem . Lõpliku arvu funktsioonide korrutise piirväärtus on võrdne nende funktsioonide piiride korrutisega

Tõestus:

Arutluskäigu üldistust rikkumata tõestagem kahte funktsiooni
Ja
.

Lase siis
,

Leiame funktsioonide korrutise
Ja

Väärtus
on konstantne väärtus, lõpmatult väike funktsioon. Seetõttu number
on funktsiooni piir
, see tähendab võrdsust

Tagajärg:
.

3. teoreem. Kahe funktsiooni jagatise piir on võrdne nende funktsioonide piiride jagatisega, kui nimetaja piir on nullist erinev

.

Tõestus: lase
,

Siis
,
.

Leiame reamehe ja tehke sellel mõned identsed teisendused

Väärtus konstant, murdosa
lõpmatult väike. Seetõttu funktsioon esitatakse konstantse arvu ja lõpmata väikse funktsiooni summana.

Siis
.

kommenteerida. Teoreemid 1–3 on juhtumi jaoks tõestatud
. Siiski võivad need olla kohaldatavad
, kuna teoreemide tõestamine toimub sel juhul sarnaselt.

Näiteks. Leia piirangud:

Esimene ja teine ​​imeline piir.

Funktsioon pole määratletud aadressil
. Selle väärtused nullpunkti läheduses on aga olemas. Seetõttu võime selle funktsiooni piiriks pidada
. Seda piiri nimetatakse esiteks imeline piir .

See näeb välja nagu:
.

Näiteks . Leidke piirangud: 1.
. määrama
, kui
, siis
.
; 2.
. Teisendame selle avaldise nii, et piir väheneks esimese tähelepanuväärse piirini.
; 3..

Mõelge vormi muutujale
, kus võtab naturaalarvude väärtused kasvavas järjekorras. Anname erinevad väärtused: kui

Andmine järgmised väärtused komplektist
, on lihtne näha, et väljend
juures
tahe
. Pealegi on tõestatud, et
on piir. Seda piiri tähistatakse tähega :
.

Number irratsionaalne:
.

Nüüd kaaluge funktsiooni piiri
juures
. Seda piiri nimetatakse teine ​​märkimisväärne piir

See näeb välja nagu
.

Näiteks.

aga)
. Väljendus
asendada toode identsed tegurid
, rakendage tootepiiri teoreemi ja teist tähelepanuväärset piiri; b)
. Paneme
, siis
,
.

Teist tähelepanuväärset piiri kasutatakse aastal pideva intressiarvestuse probleem

Hoiustelt saadud sularahatulu arvutamisel kasutatakse sageli liitintressi valemit, mis näeb välja järgmine:

,

kus - esialgne investeering

- iga-aastane pangaintress,

- intressimaksete arv aastas,

- aeg, aastates.

Teoreetilistes uuringutes kasutatakse investeerimisotsuste põhjendamisel aga sagedamini eksponentsiaalse (eksponentsiaalse) kasvu seaduse valemit.

.

Eksponentsiaalse kasvuseaduse valem saadakse liitintressi valemi teise märkimisväärse piiri rakendamise tulemusena

Funktsioonide järjepidevus.

Mõelge funktsioonile
mingil hetkel määratletud ja mõni punkti naabruskond . Olgu funktsioonil määratud punktis väärtus
.

Definitsioon 1. Funktsioon
helistas pidev mingis punktis , kui see on määratletud punkti naabruses, sealhulgas punkt ise ja
.

Järjepidevuse definitsiooni saab sõnastada erinevalt.

Laske funktsioonil
määratletud mõne väärtuse jaoks ,
. Kui argument juurdekasv
, siis funktsiooni suurendatakse

Laske funktsioon ühes punktis pidev (vastavalt funktsiooni pidevuse esimesele definitsioonile punktis),

See tähendab, et kui funktsioon on mingis punktis pidev , siis argumendi lõpmatult väike juurdekasv
siinkohal vastab funktsiooni lõpmatu väike juurdekasv.

Tõene on ka vastupidine väide: kui argumendi lõpmatu väike juurdekasv vastab funktsiooni lõpmatu väikesele juurdekasvule, siis on funktsioon pidev.

Definitsioon 2. Funktsioon
nimetatakse pidevaks
(punktis ), kui see on määratletud selles punktis ja mõnes selle naabruses ja kui
.

Võttes arvesse funktsiooni pidevuse punktis esimest ja teist definitsiooni, saame järgmise väite:

või
, aga
, siis
.

Seetõttu, et leida pideva funktsiooni piir at
piisavalt funktsiooni analüütilises väljenduses argumendi asemel selle väärtust asendada .

Definitsioon 3. Kutsutakse funktsiooni, mis on pidev mingi domeeni igas punktis pidev selles piirkonnas.

Näiteks:

Näide 1. Tõesta, et funktsioon
on pidev definitsioonivaldkonna kõigis punktides.

Kasutame funktsiooni pidevuse punktis teist definitsiooni. Selleks võtke argumendi mis tahes väärtus ja suurendage seda
. Leiame funktsioonile vastava juurdekasvu

Näide 2. Tõesta, et funktsioon
pidev kõigis punktides alates
.

Esitame argumendi juurdekasv
, siis funktsiooni suurendatakse

Leiame alates funktsioonist
, mis on piiratud.

Samamoodi saab tõestada, et kõik põhielementaarfunktsioonid on pidevad oma definitsioonipiirkonna kõigis punktides, st elementaarfunktsiooni definitsioonipiirkond langeb kokku selle pidevuse valdkonnaga.

Definitsioon 4. Kui funktsioon
on pidev mingi intervalli igas punktis
, siis öeldakse, et funktsioon on sellel intervallil pidev.

Lõpmatult väikeste ja lõpmatult suurte funktsioonide definitsioonid ja omadused punktis. Omaduste ja teoreemide tõestused. Lõpmatult väikeste ja lõpmata suurte funktsioonide vaheline seos.

Sisu

Vaata ka: Lõpmatult väikesed jadad – määratlus ja omadused
Lõpmatult suurte jadade omadused

Lõpmatult väikeste ja lõpmata suurte funktsioonide definitsioon

Las x 0 on lõplik või lõpmatuspunktis: ∞ , -∞ või +∞ .

Lõpmatu väikese funktsiooni definitsioon
Funktsioon α (x) helistas lõpmatult väike nagu x kipub olema x 0 0 , ja see on võrdne nulliga:
.

Lõpmatu funktsiooni definitsioon
funktsioon f (x) helistas lõpmatult suur nagu x kipub olema x 0 , kui funktsioonil on limiit x → x 0 , ja see on võrdne lõpmatusega:
.

Lõpmata väikeste funktsioonide omadused

Lõpmata väikeste funktsioonide summa, erinevuse ja korrutise omadus

Summa, vahe ja toode piiratud arv lõpmatult väikeseid funktsioone nagu x → x 0 on lõpmata väike funktsioon x → x 0 .

See omadus on funktsiooni piiride aritmeetiliste omaduste otsene tagajärg.

Teoreem piiratud funktsiooni korrutisele lõpmatuseni

Piiratud funktsiooni korrutis mõnel punkti x torgatud naabruskonnal 0 , lõpmatu väikeseni, nagu x → x 0 , on lõpmata väike funktsioon x → x 0 .

Funktsiooni esitamise omadus konstandi ja lõpmata väikese funktsiooni summana

Selleks, et funktsioon f (x) on piiratud piir, see on vajalik ja piisav
,
kus on lõpmata väike funktsioon x → x 0 .

Lõpmatult suurte funktsioonide omadused

Teoreem piiratud funktsiooni ja lõpmatult suure summa kohta

Piiratud funktsiooni summa või erinevus punkti x mõnel punkteeritud naabruskonnal 0 , ja lõpmata suur funktsioon, nagu x → x 0 , on lõpmatu funktsioon x → x 0 .

Jagatisteoreem lõpmata suure funktsiooniga piiratud funktsiooni jaoks

Kui funktsioon f (x) on lõpmatu kui x → x 0 ja funktsioon g (x)- piiritletud punkti x mingi torgatud naabruskonnaga 0 , siis
.

Teoreem funktsiooni jagamise jagatise kohta, mis on allpool piiratud lõpmatu väikese arvuga

Kui funktsioon , punkti mõnel läbitorgitud naabruses, on altpoolt piiratud absoluutväärtuses positiivse arvuga:
,
ja funktsioon on lõpmatult väike kui x → x 0 :
,
ja seal on torgatud naabruses punkt, mille kohta Siis
.

Lõpmatult suurte funktsioonide võrratuste omadus

Kui funktsioon on lõpmatult suur:
,
ja funktsioonid ja , mõnel punkti naabruskonnal rahuldavad ebavõrdsust:
,
siis on funktsioon ka lõpmatult suur:
.

Sellel kinnisvaral on kaks erijuhtu.

Olgu punkti mõnel torgatud naabruses funktsioonid ja rahuldatakse ebavõrdsus:
.
Siis kui , siis ja .
Kui , siis ja .

Lõpmatult suurte ja lõpmatult väikeste funktsioonide vaheline seos

Seos lõpmatult suurte ja lõpmatult väikeste funktsioonide vahel tuleneb kahest eelnevast omadusest.

Kui funktsioon on lõpmatult suur juures , siis funktsioon on lõpmatult väike juures .

Kui funktsioon on , ja jaoks lõpmatult väike, siis on funktsioon lõpmatult suur.

Lõpmatult väikese ja lõpmata suure funktsiooni suhet saab väljendada sümboolselt:
, .

Kui lõpmata väikesel funktsioonil on kindel märk kohas , see tähendab, et see on positiivne (või negatiivne) punkti mõnel punkteeritud naabruskonnal, siis saab selle kirjutada järgmiselt:
.
Samamoodi, kui lõpmatult suurel funktsioonil on teatud märk kohas , kirjutavad nad:
või .

Siis saab sümboolset seost lõpmatult väikeste ja lõpmatult suurte funktsioonide vahel täiendada järgmiste seostega:
, ,
, .

Täiendavad lõpmatuse sümbolitega seotud valemid leiate lehelt
"Lõpmatuse punktid ja nende omadused".

Omaduste ja teoreemide tõestamine

Piiratud funktsiooni korrutise teoreemi tõestamine lõpmatuseni

Selle teoreemi tõestamiseks kasutame . Kasutame ka lõpmatute jadade omadust, mille järgi

Olgu funktsioon infinitesimal at , ja funktsioon on piiratud punkti mingis punkteeritud naabruses:
aadressil .

Kuna piirang on olemas, on funktsiooni määratlemise punktil läbimurtud naabruskond. Olgu ristmik linnaosade ja . Seejärel määratletakse sellel funktsioonid ja.

.
,
jada on lõpmatult väike:
.

Kasutame tõsiasja, et piiratud jada korrutis lõpmatu väikese jadaga on lõpmata väike jada:
.
.

Teoreem on tõestatud.

Omaduse tõestus funktsiooni esitamisel konstandi ja lõpmata väikse funktsiooni summana

Vaja. Olgu funktsioonil punktis lõplik piir
.
Mõelge funktsioonile:
.
Kasutades funktsioonide erinevuse piiri omadust, saame:
.
See tähendab, et on olemas lõpmatult väike funktsioon.

Adekvaatsus. Laske ja . Rakendame funktsioonide summa piiromadust:
.

Kinnistu on tõendatud.

Teoreemi tõestus piiratud funktsiooni ja lõpmatult suure summa kohta

Teoreemi tõestamiseks kasutame funktsiooni piiri Heine definitsiooni

aadressil .

Kuna on olemas limiit , siis on punkti, kus funktsioon on määratletud, punkteeritud naabruskond. Olgu ristmik linnaosade ja . Seejärel määratletakse sellel funktsioonid ja.

Olgu koonduv suvaline jada, mille elemendid kuuluvad naabrusse:
.
Seejärel määratletakse järjestused ja. Ja järjestus on piiratud:
,
jada on lõpmatu:
.

Kuna piiratud jada ja lõpmatult suure summa või vahe
.
Seejärel, vastavalt jada piiri Heine definitsioonile,
.

Teoreem on tõestatud.

Piiratud funktsiooni jagatisteoreemi tõestus lõpmatult suurega

Tõestuseks kasutame Heine definitsiooni funktsiooni piiri kohta. Kasutame ka lõpmatult suurte jadade omadust, mille järgi on lõpmatult väike jada.

Olgu funktsioon lõpmatult suur kohas , ja funktsioon on piiratud punkti mingis punkteeritud naabruses:
aadressil .

Kuna funktsioon on lõpmatult suur, on punktis, kus see on määratletud, punkteeritud naabrus ja see ei kao:
aadressil .
Olgu ristmik linnaosade ja . Seejärel määratletakse sellel funktsioonid ja.

Olgu koonduv suvaline jada, mille elemendid kuuluvad naabrusse:
.
Seejärel määratletakse järjestused ja. Ja järjestus on piiratud:
,
jada on lõpmatult suur ja erineb null liiget:
, .

Kuna piiratud jada lõpmatult suurega jagamise jagatis on lõpmata väike jada, siis
.
Seejärel, vastavalt jada piiri Heine definitsioonile,
.

Teoreem on tõestatud.

Teoreemi tõestus funktsiooni jagatise kohta, mis on piiratud allpool lõpmatu väikese arvuga

Selle omaduse tõestamiseks kasutame funktsiooni Heine definitsiooni. Kasutame ka lõpmatult suurte jadade omadust, mille järgi on lõpmatult suur jada.

Olgu funktsioon infinitesimal at , ja funktsioon piirneb absoluutväärtuses altpoolt positiivse arvuga, punkti mõnel läbitorkatud naabruskonnal:
aadressil .

Eeldades, et funktsiooni määratlemise punktil on punkt, mis ei kao:
aadressil .
Olgu ristmik linnaosade ja . Seejärel määratletakse sellel funktsioonid ja. Ja ja.

Olgu koonduv suvaline jada, mille elemendid kuuluvad naabrusse:
.
Seejärel määratletakse järjestused ja. Lisaks on järjestus altpoolt piiratud:
,
ja jada on lõpmatult väike nullist erineva terminiga:
, .

Kuna allpool lõpmatu väikese jada jagamise jagatis on lõpmata suur jada, siis
.
Ja olgu punkt, millel on torgatud naabruskond
aadressil .

Võtke suvaline jada, mis koondub . Siis alates mõnest arvust N kuuluvad jada elemendid sellesse naabruskonda:
aadressil .
Siis
aadressil .

Vastavalt Heine definitsioonile funktsiooni piiri kohta,
.
Seejärel lõpmata suurte jadade võrratuste omaduse järgi
.
Kuna jada on suvaline, koondudes , siis funktsiooni piiri definitsiooni järgi Heine järgi,
.

Kinnistu on tõendatud.

Viited:
L.D. Kudrjavtsev. Matemaatilise analüüsi kursus. 1. köide. Moskva, 2003.

Vaata ka:

Lõpmata väikeste funktsioonide võrdlus, ekvivalentfunktsioonid

Lõpmatult väikesed ja lõpmata suured kogused.

O.1. Jada nimetatakse lõpmatult suur kui suvalise positiivse arvu A korral (ükskõik kui suureks me selle ka ei võtaks) on arv N selline, et n>N korral on ebavõrdsus | x n | > Ja need. olenemata sellest, kui suure arvu A me võtame, on olemas selline arv, millest alates on kõik jada liikmed suuremad kui A.

Definitsioon 6. Järjestust (α p ) nimetatakse lõpmatult väike kui suvalise positiivse arvu ε (ükskõik kui väikeseks me selle ka ei võtaks) korral on olemas arv N, et ebavõrdsus | α p | ‹ε.

1. Jada (n) on lõpmatult suur.

2. Jada () on lõpmatult väike.

1. teoreem. Kui (xp) on lõpmata suur jada ja kõik selle liikmed on nullist erinevad, xp ≠0, siis jada (α p) \u003d on lõpmatult väike ja vastupidi, kui (α p) on lõpmatult väike jada, α p ≠0 , siis jada (x n )=lõpmatult suur.

Sõnastame lõpmatute jadade põhiomadused teoreemide kujul.

2. teoreem. Kahe lõpmatult väikese jada summa ja erinevus on lõpmata väikesed jadad.

Näide 2Ühise terminiga jada on lõpmata väike, sest st antud jada on lõpmatult väikeste jadade summa ja seetõttu on see lõpmatult väike.

Tagajärg. Lõpliku arvu lõpmatute jadade algebraline summa on lõpmata väike jada.

3. teoreem. Kahe lõpmatult väikese jada korrutis on lõpmata väike jada.

Tagajärg. Mis tahes lõpliku arvu lõpmatute jadade korrutis on lõpmata väike jada.

kommenteerida. Kahe lõpmatult väikese jada jagatis võib olla mis tahes jada ja sellel ei pruugi olla mõtet.

Näiteks kui , , siis on jada kõik elemendid võrdsed 1-ga ja see jada on piiratud. Kui , , siis jada on lõpmatult suur ja vastupidi, kui , ja , siis on jada lõpmatult väike. Kui mingist arvust alustades on jada elemendid võrdsed nulliga, siis ei ole jada mõtet.

4. teoreem. Piiratud jada ja lõpmatult väikese jada korrutis on lõpmata väike jada.

Näide 3 Jada on lõpmata väike, sest ja jada () on lõpmata väike, jada on piiratud, sest ‹ 1. Seetõttu on lõpmata väike jada.

Tagajärg. Lõpmatult väikese jada korrutis arvuga on lõpmata väike jada.

Definitsioon. Kutsutakse funktsioon f(x). lõpmatult suur, kui mõne, isegi meelevaldselt suure positiivse arvu korral on olemas selline positiivne arv (olenevalt М, δ=δ(М)), et kõigi x puhul, mis ei võrdu x 0 ja tingimusel , on ebavõrdsus

Kirjutage üles: või kl.

Näiteks funktsioon on lõpmata suur funktsioon ; funktsioon aadressil .

Kui f(x) kaldub lõpmatusse ja võtab ainult positiivseid väärtusi, siis kirjuta , kui ainult negatiivsed väärtused, siis .

Definitsioon. Kutsutakse täisarvureal antud funktsiooni f(x). lõpmatult suur puhul , kui mis tahes positiivse arvu korral on olemas nii positiivne arv (olenevalt М, N=N(М)), et kõigi х puhul, mis vastavad tingimusele , on ebavõrdsus

Näiteks funktsioon y \u003d 2 x on lõpmatult suur funktsioon ; funktsioon on lõpmatult suur funktsioon .

Lõpmatult suurte funktsioonide omadused:

1. Toode b.b.f. funktsiooni jaoks, mille piirväärtus on nullist erinev, on olemas b.b.f.

2. Summa b.b.f. ja piiratud funktsioon on b.b.f.

3. B.b.f. jagamise jagatis. funktsiooni jaoks, millel on limiit, on olemas b.b.f.

Näiteks kui funktsioon f(x)=tgx on b.b.f. at , funktsioonil φ(х)=4х-3 at on nullist erinev piir (2π-3) ja funktsioon ψ(х)=sinx on piiratud funktsioon, siis

f(x) φ(x)=(4x-3) tgx; f(x) + ψ(x)= tgx + sinx; jaoks on lõpmatult suured funktsioonid.

Definitsioon. Kutsutakse funktsioon f(x). lõpmatult väike juures , kui

Funktsioonipiirangu definitsiooni järgi tähendab võrdsus (1): iga, isegi suvaliselt väikese positiivse arvu korral on olemas selline positiivne arv (olenevalt ε-st, δ=δ(ε)), et kõigi x puhul ei võrdu x 0 ja tingimuse rahuldamine, ebavõrdsus

Teoreem. Võrdsuse täitmiseks on vajalik ja piisav, et funktsioon oleks infinitesimal juures . Sel juhul saab funktsiooni esitada kujul .

Bmf on määratletud sarnaselt. puhul ,- 0, , kõigil juhtudel f(x)0.

Lõpmatult väikseid funktsioone nimetatakse sageli infinitesimaalideks või lõpmata väikesteks; tähistatakse tavaliselt kreeka tähtedega α, β jne.

Näiteks y=x 2 x → 0; y = x-2 kohas x → 2; y=sinx at х→πк, on lõpmatult väikesed funktsioonid.

Lõpmatult väikeste funktsioonide omadused:

1. Lõpliku arvu lõpmata väikeste funktsioonide summa on lõpmata väike suurus;

2. Lõpliku arvu lõpmata väikeste funktsioonide korrutis, samuti lõpmata väikese funktsiooni korrutis piiratud funktsiooniga, on lõpmata väike suurus;

3. Lõpmatu väikese funktsiooni jagatis funktsiooniga, mille piirväärtus ei ole võrdne nulliga, kui väärtus on lõpmatult väike.

Vaatleme viimast omadust, kui funktsioonid ja on lõpmatult väikesed (lõpmatute väikeste funktsioonide võrdlus):

üks). Kui , siis nimetatakse lõpmatuks, rohkem kõrge järjekord väiksus kui .

Näide. Punktis x→2 on funktsioon (x - 2) 3 lõpmatult väike, kõrgemat järku kui (x -2), kuna .

2). Kui , siis ja neid nimetatakse sama järku lõpmatuteks väikesteks (neil on sama nullile kaldumise määr);

Näide. Punktis x → 0 on funktsioonid 5x 2 ja x 2 samas suurusjärgus lõpmatult väikesed, kuna .

3). Kui , siis ja neid nimetatakse ekvivalentseteks lõpmatuteks, tähistatud ~., siis

Lõpmatult väikese ja lõpmata suurte funktsioonide seos: lõpmatu väikese pöördfunktsioon on lõpmata suur (ja vastupidi), s.o. kui on lõpmata väike funktsioon, siis on lõpmatult suur.

Lõpmatute väikeste ja suurte arvutus

Lõpmatu väikearvutus- lõpmata väikeste väärtustega sooritatud arvutused, mille puhul loetakse tuletatud tulemust lõpmatute väikeste väärtuste lõpmatuks summaks. Infinitesimaalarvude arvutamine on diferentsiaal- ja integraalarvutuse üldmõiste, mis on kaasaegse kõrgema matemaatika aluseks. Lõpmatult väikese suuruse mõiste on tihedalt seotud piiri mõistega.

Lõpmatult väike

Järjekord a n helistas lõpmatult väike, kui . Näiteks numbrijada on lõpmatult väike.

Funktsiooni kutsutakse lõpmata väike punkti läheduses x 0 kui .

Funktsiooni kutsutakse lõpmatuseni väike, kui või .

Lõpmatult väike on ka funktsioon, mis on erinevus funktsiooni ja selle piiri vahel, st kui , siis f(x) − a = α( x) , .

lõpmatult suur

Kõigis alltoodud valemites tähendab võrdsusest paremal olev lõpmatus teatud märki (kas "pluss" või "miinus"). See on näiteks funktsioon x patt x, mõlemalt poolt piiramata, ei ole jaoks lõpmatult suur.

Järjekord a n helistas lõpmatult suur, kui .

Funktsiooni kutsutakse punkti naabruses lõpmatult suur x 0 kui .

Funktsiooni kutsutakse lõpmatuseni suur, kui või .

Lõpmatute ja infinitesimaalide omadused

Lõpmatute väikeste arvude võrdlus

Kuidas võrrelda lõpmata väikseid suurusi?
Lõpmatult väikeste suuruste suhe moodustab nn määramatuse.

Definitsioonid

Oletame, et meil on lõpmata väike sama väärtuse α( x) ja β( x) (või, mis ei ole definitsiooni jaoks oluline, lõpmata väikesed jadad).

Selliste piiride arvutamiseks on mugav kasutada L'Hospitali reeglit.

Võrdlusnäited

Kasutades KOHTA-saadud tulemuste sümbolid saab kirjutada järgmisel kujul x 5 = o(x 3). Sel juhul kanded 2x 2 + 6x = O(x) Ja x = O(2x 2 + 6x).

Samaväärsed kogused

Definitsioon

Kui , siis nimetatakse lõpmata väikseid suurusi α ja β samaväärne ().
Ilmselgelt on ekvivalentsed kogused sama väiksusastmega lõpmata väikeste koguste erijuht.

Kui , kehtivad järgmised samaväärsuse suhted (nn tähelepanuväärsete piiride tulemusena):

Teoreem

Kahe lõpmata väikese suuruse jagatise (suhte) piir ei muutu, kui üks neist (või mõlemad) asendada samaväärse väärtusega.

Sellel teoreemil on praktiline tähtsus piiride leidmisel (vt näide).

Kasutusnäide

Asendamine sin 2x samaväärne väärtus 2 x, saame

Ajalooline ülevaade

Mõistet "lõpmatult väike" arutati iidsetel aegadel seoses jagamatute aatomite mõistega, kuid see ei jõudnud klassikalise matemaatika juurde. Taas taaselustati see "jagamatute meetodi" tulekuga 16. sajandil – uuritava kujundi jagamine lõpmatult väikesteks osadeks.

Infinitesimaalarvutuse algebraseerimine toimus 17. sajandil. Neid hakati defineerima kui arvväärtusi, mis on väiksemad kui mis tahes lõplik (mitte-null) väärtus, kuid siiski ei võrdu nulliga. Analüüsikunst seisnes infinitesimaale (diferentsiaale) sisaldava seose koostamises ja seejärel selle integreerimises.

Vana kooli matemaatikud allutasid selle kontseptsiooni lõpmatult väike karm kriitika. Michel Rolle kirjutas, et uus arvutus on " hiilgavate vigade komplekt»; Voltaire märkis mürgiselt, et see arvutus on kunst arvutada ja täpselt mõõta asju, mille olemasolu ei saa tõestada. Isegi Huygens tunnistas, et ta ei mõista kõrgemat järku diferentsiaalide tähendust.

Saatuse irooniaks võib pidada ebastandardse analüüsi ilmumist sajandi keskpaigas, mis tõestas, et ka esialgne vaatepunkt - tegelikud infinitesimaalid - on järjekindel ja selle võiks analüüsi aluseks võtta.

Vaata ka

Wikimedia sihtasutus. 2010 .

Vaadake, mis on "Infinitesimal" teistes sõnaraamatutes:

LÕPMATULT VÄIKE- muutuja mõnes protsessis, kui selles protsessis see lõpmatult läheneb (kipub) nullile ... Suur polütehniline entsüklopeedia

lõpmatult väike- ■ Midagi tundmatut, kuid homöopaatiaga seotud... Ühiste tõdede leksikon