Mitu tippu on kuusnurksel püramiidil. Geomeetrilised kujundid

Siin on kogutud põhiteave püramiidide ning nendega seotud valemite ja mõistete kohta. Kõiki neid õpitakse eksamiks valmistudes koos matemaatikajuhendajaga.

Mõelge tasapinnale, hulknurgale selles lamamine ja punkt S, mis selles ei lama. Ühendage S hulknurga kõigi tippudega. Saadud hulktahukat nimetatakse püramiidiks. Segmente nimetatakse külgmisteks servadeks. Hulknurka nimetatakse põhjaks ja punkti S püramiidi tipuks. Olenevalt arvust n nimetatakse püramiidi kolmnurkseks (n=3), nelinurkseks (n=4), viisnurkseks (n=5) jne. Kolmnurkse püramiidi alternatiivne nimi - tetraeeder. Püramiidi kõrgus on risti, mis on tõmmatud selle tipust alustasandiga.

Püramiidi nimetatakse õigeks, kui korrapärane hulknurk ja püramiidi kõrguse alus (risti alus) on selle keskpunkt.

Juhendaja kommentaar:
Ärge ajage segi mõisteid "regulaarne püramiid" ja "regulaarne tetraeedr". Tavalises püramiidis ei pruugi külgservad olla võrdsed aluse servadega, kuid tavalises tetraeedris on kõik 6 serva serva võrdsed. See on tema määratlus. Lihtne on tõestada, et võrdsus eeldab, et hulknurga keskpunkt P kõrguspõhjaga, seega on tavaline tetraeedr korrapärane püramiid.

Mis on apoteem?
Püramiidi apoteem on selle külgpinna kõrgus. Kui püramiid on korrapärane, on kõik selle apoteemid võrdsed. Vastupidine ei vasta tõele.

Matemaatika juhendaja oma terminoloogiast: töö püramiididega on 80% üles ehitatud kahte tüüpi kolmnurkade kaudu:
1) Sisaldab apoteemi SK ja kõrgust SP
2) Sisaldab külgserva SA ja selle projektsiooni PA

Nendele kolmnurkadele viitamise lihtsustamiseks on matemaatikaõpetajal mugavam nimetada neist esimene apoteemiline, ja teiseks rannikuala. Kahjuks ei leia seda terminoloogiat ühestki õpikust ja õpetaja peab seda ühepoolselt tutvustama.

Püramiidi mahu valem:
1) , kus on püramiidi aluse pindala ja püramiidi kõrgus
2) , kus on sisse kirjutatud kera raadius ja püramiidi kogupindala.
3) , kus MN on mis tahes kahe ristumisserva kaugus ja on rööpküliku pindala, mille moodustavad ülejäänud nelja serva keskpunktid.

Püramiidi kõrguse aluse omadus:

Punkt P (vt joonis) langeb kokku püramiidi põhjas oleva sisse kirjutatud ringi keskpunktiga, kui on täidetud üks järgmistest tingimustest:
1) Kõik apoteemid on võrdsed
2) Kõik külgpinnad on aluse poole võrdselt kallutatud
3) Kõik apoteemid on püramiidi kõrgusele võrdselt kaldu
4) Püramiidi kõrgus on kõigi külgpindade suhtes võrdselt kaldu

Matemaatika juhendaja kommentaar: pange tähele, et kõiki punkte ühendab üks ühine omadus: nii või teisiti osalevad igal pool külgpinnad (apoteemid on nende elemendid). Seetõttu saab juhendaja pakkuda meeldejätmiseks vähem täpset, kuid mugavamat sõnastust: punkt P ühtib sisse kirjutatud ringi keskpunktiga, püramiidi põhjaga, kui selle külgpindade kohta on võrdne teave. Selle tõestamiseks piisab, kui näidata, et kõik apoteemilised kolmnurgad on võrdsed.

Punkt P langeb kokku püramiidi aluse lähedal asuva piiritletud ringi keskpunktiga, kui on tõene üks kolmest tingimusest:
1) Kõik külgmised servad on võrdsed
2) Kõik külgmised ribid on võrdselt aluse poole kaldu
3) Kõik külgmised ribid on kõrgusele võrdselt kaldu

See õppetund annab definitsiooni ja omadused tavalise kolmnurkse püramiidi ja selle erijuhtumi - tetraeedri (vt allpool). Tunni lõpus on lingid probleemide lahendamise näidetele.

Definitsioon

Regulaarne kolmnurkne püramiid- See on püramiid, mille põhi on korrapärane kolmnurk ja ülemine osa on projitseeritud aluse keskele.

Joonis näitab:
ABC- Alus püramiidid
OS – kõrgus
KS – Apoteem
OK – alusesse kantud ringi raadius
AO - ringi raadius, mis on ümbritsetud korrapärase kolmnurkse püramiidi aluse ümber
SKO - püramiidi aluse ja esikülje vaheline kahetahuline nurk (need on tavalises püramiidis võrdsed)

Tähtis. Tavalises kolmnurkpüramiidis ei pruugi serva pikkus (joonisel AS, BS, CS) võrduda aluse külje pikkusega (joonisel AB, AC, BC). Kui korrapärase kolmnurkse püramiidi serva pikkus on võrdne aluse külje pikkusega, siis nimetatakse sellist püramiidi tetraeedriks (vt allpool).

Korrapärase kolmnurkpüramiidi omadused:

• tavalise püramiidi külgmised servad on võrdsed
• tavalise püramiidi kõik külgpinnad on võrdhaarsed kolmnurgad
• tavalises kolmnurkses püramiidis saate selle ümber kera nii kirjutada kui ka kirjeldada
• kui korrapärase kolmnurkse püramiidi ümber kirjutatud ja ümbritsetud sfääride keskpunktid langevad kokku, siis on püramiidi ülaosas olevate tasapindade nurkade summa võrdne π-ga (180 kraadi) ja igaüks neist võrdub vastavalt π / 3 (pi jagatud 3 või 60 kraadiga).
• tavalise püramiidi külgpinna pindala on võrdne poolega aluse perimeetri ja apoteemi korrutisest
• püramiidi tipp projitseeritakse alusele korrapärase võrdkülgse kolmnurga keskpunktis, mis on sisse kirjutatud ringi keskpunkt ja mediaanide lõikepunkt

Tavalise kolmnurkse püramiidi valemid

Tavalise kolmnurkse püramiidi ruumala valem on järgmine:

V on korrapärase püramiidi ruumala, mille põhjas on korrapärane (võrdkülgne) kolmnurk
h - püramiidi kõrgus
a - püramiidi aluse külje pikkus
R - piiritletud ringi raadius
r - sisse kirjutatud ringi raadius

Kuna tavaline kolmnurkpüramiid on tavalise püramiidi erijuhtum, kehtivad tavalise püramiidi kohta kehtivad valemid ka tavalise kolmnurkpüramiidi kohta – vaata tavalise püramiidi valemeid.

Näited probleemide lahendamisest:

Tetraeeder

Tavalise kolmnurkse püramiidi erijuhtum on tetraeeder.

Tetraeeder- see on korrapärane hulktahukas (regulaarne kolmnurkne püramiid), mille kõik tahud on korrapärased kolmnurgad.

Tetraeedris:

• Kõik servad on võrdsed
• 4 tahku, 4 tippu ja 6 serva
• Kõik kahetahulised nurgad servades ja kõik kolmnurksed nurgad tippudes on võrdsed

Tetraeedri mediaan- see on segment, mis ühendab tipu vastaskülje mediaanide lõikepunktiga (tipu vastas oleva võrdkülgse kolmnurga mediaanid)

Bimediaan tetraeeder- see on segment, mis ühendab ristuvate servade keskpunkte (mis ühendab kolmnurga külgede keskpunkte, mis on tetraeedri üks tahke)

Tetraeedri kõrgus- see on segment, mis ühendab tippu vastaskülje punktiga ja on selle näoga risti (see tähendab, et see on suvalisest tahust tõmmatud kõrgus, mis langeb kokku ka piiritletud ringi keskpunktiga).

Tetraeeder on järgmine omadused:

• Kõik tetraeedri mediaanid ja bimediaanid ristuvad ühes punktis
• See punkt jagab mediaanid suhtega 3:1, lugedes ülevalt
• See punkt poolitab bimediaanid

Peatükk 1. Sektsioonide tüüpide ja nende ehitamise meetodite teoreetiline uurimine korrapärases nelinurkses püramiidis

Püramiid (vanakreeka Πυραμίς, perekond P. πυραμίδος) on hulktahukas, mille alus on hulknurk ja ülejäänud tahud on ühise tipuga kolmnurgad. Aluse nurkade arvu järgi on püramiidid kolmnurksed, nelinurksed jne. Püramiid on koonuse erijuht.

Püramiidi geomeetria algus pandi Vana-Egiptuses ja Babüloonias, kuid aktiivselt arendati seda Vana-Kreekas. Esimene, kes tegi kindlaks, millega püramiidi ruumala on võrdne, oli Demokritos ja Eudoxus of Cnidus tõestas seda. Vana-Kreeka matemaatik Euclid süstematiseeris teadmised püramiidi kohta oma "Alguste" XII köites ja tõi välja ka püramiidi esimese määratluse: tahke kujund, mida piiravad tasapinnad, mis ühes punktis koonduvad ühest tasapinnast.

püramiidi elemendid

apoteem - tavalise püramiidi külgpinna kõrgus, tõmmatud selle tipust;

külgpinnad - püramiidi tipus koonduvad kolmnurgad;

külgmised servad - külgpindade ühised küljed;

Püramiidi tipp on külgservi ühendav punkt, mis ei asu aluse tasapinnal;

kõrgus - läbi püramiidi ülaosa selle aluse tasapinnani tõmmatud risti segment (selle segmendi otsad on püramiidi tipp ja risti põhi);

Püramiidi diagonaallõige - tippu ja aluse diagonaali läbiv püramiidi lõik;

alus – hulknurk, mis ei kuulu püramiidi tippu.

Püramiidi omadused:

Püramiidi tahkude arv on võrdne selle tippude arvuga.

Iga hulktahukas, millel on sama arv tahke kui tippude arv, on püramiid. Püramiidi tippude koguarv on n+1, kus n on tippude arv põhjas.

Kui kõik külgmised servad on võrdsed, siis:

§ püramiidi aluse lähedal võib kirjeldada ringi, mille keskmesse projitseeritakse püramiidi tipp;

§ külgribid moodustavad alustasandiga võrdsed nurgad.

§ Tõsi on ka vastupidi, st kui külgservad moodustavad alustasandiga võrdsed nurgad või kui püramiidi aluse lähedal saab kirjeldada ringjoont ja püramiidi tipp projitseeritakse selle keskmesse, siis kõik püramiidi külgmised servad on võrdsed.

Kui külgpinnad on alustasapinna suhtes ühe nurga all kaldu, siis:

§ püramiidi põhja saab kirjutada ringi, mille keskpunkti projitseeritakse püramiidi tipp;

§ külgpindade kõrgused on võrdsed;

§ külgpinna pindala on võrdne poolega aluse perimeetri ja külgpinna kõrguse korrutisest.

Tavalise nelinurkse püramiidi sektsioonide tüübid:

Püramiidi diagonaallõige

• apoteem- korrapärase püramiidi külgpinna kõrgus, mis on tõmmatud selle tipust (lisaks on apoteem ristnurga pikkus, mis on langetatud korrapärase hulknurga keskelt ühele küljele);
• külgmised näod (ASB, BSC, CSD, DSA) - kolmnurgad, mis koonduvad ülaosas;
• külgmised ribid ( AS , BS , CS , D.S. ) - külgpindade ühised küljed;
• püramiidi tipp (v. S) - külgservi ühendav punkt, mis ei asu aluse tasapinnas;
• kõrgus ( NII ) - risti segment, mis tõmmatakse läbi püramiidi ülaosa selle aluse tasapinnani (sellise segmendi otsad on püramiidi tipp ja risti alus);
• püramiidi diagonaallõige- püramiidi osa, mis läbib aluse tipu ja diagonaali;
• alus (ABCD) on hulknurk, kuhu püramiidi tipp ei kuulu.

püramiidi omadused.

1. Kui kõik külgmised servad on ühesuurused, siis:

• püramiidi aluse lähedal on ringjoont lihtne kirjeldada, samas kui püramiidi tipp projitseeritakse selle ringi keskmesse;
• külgmised ribid moodustavad alustasandiga võrdsed nurgad;
• lisaks kehtib ka vastupidi, st. kui külgservad moodustavad alustasandiga võrdsed nurgad või kui saab kirjeldada ringi püramiidi aluse lähedal ja püramiidi tipp projitseeritakse selle ringi keskele, siis on kõik püramiidi külgservad sama suur.

2. Kui külgpindade kaldenurk on aluse tasapinna suhtes sama väärtusega, siis:

• püramiidi aluse lähedal on ringi lihtne kirjeldada, samas kui püramiidi tipp projitseeritakse selle ringi keskmesse;
• külgpindade kõrgused on võrdse pikkusega;
• külgpinna pindala on ½ aluse perimeetri ja külgpinna kõrguse korrutis.

3. Sfääri saab kirjeldada püramiidi lähedal, kui püramiidi aluseks on hulknurk, mille ümber saab kirjeldada ringjoont (vajalik ja piisav tingimus). Sfääri keskpunkt on nende tasandite lõikepunkt, mis läbivad nendega risti püramiidi servade keskpunkte. Sellest teoreemist järeldame, et sfääri saab kirjeldada nii mis tahes kolmnurkse kui ka iga korrapärase püramiidi ümber.

4. Püramiidi saab sisse kirjutada kera, kui püramiidi sisemiste kahetahuliste nurkade poolitustasandid ristuvad 1. punktis (vajalik ja piisav tingimus). Sellest punktist saab sfääri keskpunkt.

Lihtsaim püramiid.

Püramiidi aluse nurkade arvu järgi jagunevad need kolmnurkseteks, nelinurkseteks jne.

Püramiid tahe kolmnurkne, nelinurkne ja nii edasi, kui püramiidi alus on kolmnurk, nelinurk jne. Kolmnurkne püramiid on tetraeeder – tetraeedr. Nelinurkne - viiseeder ja nii edasi.