Mis on kohateoreem. Vieta teoreem

Matemaatikas on spetsiaalsed nipid, millega paljud ruutvõrrandid lahendatakse väga kiiresti ja ilma igasuguste eristajateta. Veelgi enam, korraliku väljaõppe korral hakkavad paljud ruutvõrrandi lahendama verbaalselt, sõna otseses mõttes "ühe pilguga".

Kahjuks kaasaegses koolimatemaatika kursuses selliseid tehnoloogiaid peaaegu ei uurita. Ja sa pead teadma! Ja täna käsitleme ühte neist tehnikatest - Vieta teoreemi. Esiteks tutvustame uut määratlust.

Ruutvõrrandit kujul x 2 + bx + c = 0 nimetatakse taandatuks. Pange tähele, et koefitsient x 2 juures on võrdne 1-ga. Koefitsientidele pole muid piiranguid.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 on taandatud ruutvõrrand;
2. x 2 − 5x + 6 = 0 on samuti taandatud;
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 - aga seda ei anta üldse, kuna koefitsient x 2 juures on 2.

Muidugi saab taandada mistahes ruutvõrrandi kujul ax 2 + bx + c = 0 – piisab, kui jagada kõik koefitsiendid arvuga a . Seda saame alati teha, kuna ruutvõrrandi definitsioonist tuleneb, et a ≠ 0.

Tõsi, need teisendused ei ole alati juurte leidmisel kasulikud. Veidi madalamal veendume, et seda tuleks teha ainult siis, kui lõplikus ruutvõrrandis on kõik koefitsiendid täisarvud. Praegu vaatame mõnda lihtsat näidet:

Ülesanne. Teisenda ruutvõrrand redutseeritud:

1. 3x2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x2 + 32x + 16 = 0;
3. 1,5x2 + 7,5x + 3 = 0;
4. 2x2 + 7x − 11 = 0.

Jagame iga võrrandi muutuja x 2 koefitsiendiga. Saame:

1. 3x 2 - 12x + 18 \u003d 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 \u003d 0 - jagas kõik 3-ga;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - jagatud −4-ga;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 \u003d 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 \u003d 0 - jagades 1,5-ga, muutusid kõik koefitsiendid täisarvudeks;
4. 2x 2 + 7x - 11 \u003d 0 ⇒ x 2 + 3,5x - 5,5 \u003d 0 - jagatud 2-ga. Sel juhul tekkisid osakoefitsiendid.

Nagu näete, võivad antud ruutvõrrandid sisaldada täisarvu koefitsiente isegi siis, kui algne võrrand sisaldas murde.

Nüüd sõnastame peamise teoreemi, mille jaoks võeti tegelikult kasutusele taandatud ruutvõrrandi kontseptsioon:

Vieta teoreem. Vaatleme redutseeritud ruutvõrrandit kujul x 2 + bx + c \u003d 0. Oletame, et sellel võrrandil on reaaljuured x 1 ja x 2. Sel juhul on tõesed järgmised väited:

1. x1 + x2 = −b. Teisisõnu, antud ruutvõrrandi juurte summa on võrdne muutuja x koefitsiendiga, mis on võetud vastupidise märgiga;
2. x 1 x 2 = c. Ruutvõrrandi juurte korrutis on võrdne vaba koefitsiendiga.

Näited. Lihtsuse huvides võtame arvesse ainult antud ruutvõrrandeid, mis ei vaja täiendavaid teisendusi:

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; juured: x 1 = 4; x 2 \u003d 5;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 \u003d -15; juured: x 1 = 3; x 2 \u003d -5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; juured: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -4.

Vieta teoreem annab meile lisateavet ruutvõrrandi juurte kohta. Esmapilgul võib see tunduda keeruline, kuid isegi minimaalse treeninguga õpid juuri "nägema" ja sõna otseses mõttes ära arvama mõne sekundiga.

Ülesanne. Lahenda ruutvõrrand:

1. x2 − 9x + 14 = 0;
2. x 2 - 12x + 27 = 0;
3. 3x2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x2 + 77x −210 = 0.

Proovime Vieta teoreemi järgi koefitsiendid kirja panna ja "arvame ära" juured:

1. x 2 − 9x + 14 = 0 on taandatud ruutvõrrand.
   Vieta teoreemi järgi on meil: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 x 2 = 14. On lihtne näha, et juurteks on arvud 2 ja 7;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 vähendatakse samuti.
   Vieta teoreemi järgi: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Siit ka juured: 3 ja 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 – seda võrrandit ei vähendata. Kuid parandame selle nüüd, jagades võrrandi mõlemad pooled koefitsiendiga a \u003d 3. Saame: x 2 + 11x + 10 \u003d 0.
   Lahendame Vieta teoreemi järgi: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ juured: −10 ja −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 \u003d 0 - jällegi ei ole koefitsient x 2 juures 1, s.o. võrrand pole antud. Jagame kõik arvuga a = −7. Saame: x 2 - 11x + 30 = 0.
   Vieta teoreemi järgi: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; nendest võrranditest on lihtne ära arvata juured: 5 ja 6.

Eeltoodud arutlusest on näha, kuidas Vieta teoreem lihtsustab ruutvõrrandite lahendamist. Ei mingeid keerulisi arvutusi, aritmeetilisi juuri ja murde. Ja isegi diskrimineerijat (vt õppetundi " Ruutvõrrandite lahendamine") me ei vajanud.

Loomulikult lähtusime kõigis oma mõtisklustes kahest olulisest eeldusest, mis reaalsete probleemide puhul üldiselt ei täitu:

1. Ruutvõrrand taandatakse, s.o. koefitsient x 2 juures on 1;
2. Võrrandil on kaks erinevat juurt. Algebra seisukohalt on antud juhul diskriminant D > 0 – tegelikult eeldame esialgu, et see ebavõrdsus on tõene.

Kuid tüüpiliste matemaatiliste ülesannete puhul on need tingimused täidetud. Kui arvutuste tulemuseks on "halb" ruutvõrrand (koefitsient x 2 juures erineb 1-st), on seda lihtne parandada - vaadake näiteid õppetunni alguses. Ma üldiselt vaikin juurtest: mis ülesanne see selline on, millele vastust pole? Muidugi on juured.

Seega on Vieta teoreemi järgi ruutvõrrandite lahendamise üldine skeem järgmine:

1. Taandage ruutvõrrand antud võrrandiks, kui seda pole ülesande tingimuses juba tehtud;
2. Kui ülaltoodud ruutvõrrandi koefitsiendid osutusid murdosadeks, lahendame diskriminandi kaudu. Võite isegi minna tagasi algse võrrandi juurde, et töötada "mugavamate" numbritega;
3. Täisarvuliste kordajate puhul lahendame võrrandi Vieta teoreemi abil;
4. Kui mõne sekundi jooksul ei olnud võimalik juuri ära arvata, hindame Vieta teoreemi ja lahendame diskriminandi kaudu.

Ülesanne. Lahendage võrrand: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Niisiis, meil on võrrand, mida ei taandata, sest koefitsient a \u003d 5. Jagage kõik 5-ga, saame: x 2 - 7x + 10 \u003d 0.

Kõik ruutvõrrandi koefitsiendid on täisarvud – proovime seda lahendada Vieta teoreemi abil. Meil on: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 x 2 \u003d 10. Sel juhul on juured kergesti äraarvatavad – need on 2 ja 5. Te ei pea lugema läbi diskriminandi.

Ülesanne. Lahendage võrrand: -5x 2 + 8x - 2,4 = 0.

Vaatame: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 - seda võrrandit ei redutseerita, jagame mõlemad pooled koefitsiendiga a = −5. Saame: x 2 - 1,6x + 0,48 \u003d 0 - võrrandi murdosakoefitsientidega.

Parem on pöörduda tagasi algse võrrandi juurde ja lugeda läbi diskriminandi: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 (−5) (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2 ; x 2 \u003d 0,4.

Ülesanne. Lahendage võrrand: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Alustuseks jagame kõik koefitsiendiga a \u003d 2. Saame võrrandi x 2 + 5x - 300 \u003d 0.

See on taandatud võrrand, Vieta teoreemi järgi on meil: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 \u003d -300. Ruutvõrrandi juuri on sel juhul raske ära arvata - isiklikult olin selle probleemi lahendamisel tõsiselt "pootud".

Peame otsima juuri diskriminandi kaudu: D = 5 2 − 4 1 (−300) = 1225 = 35 2 . Kui te ei mäleta diskriminandi juurt, märgin lihtsalt, et 1225: 25 = 49. Seega 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2 .

Nüüd, kui diskriminandi juur on teada, pole võrrandi lahendamine keeruline. Saame: x 1 \u003d 15; x 2 \u003d -20.

2.5 Vieta valem kõrgema astme polünoomide (võrrandite) jaoks

Vieta poolt ruutvõrrandite jaoks tuletatud valemid kehtivad ka kõrgema astme polünoomide puhul.

Olgu polünoom

P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n

Sellel on n erinevat juurt x 1 , x 2 …, x n .

Sel juhul on sellel vorm faktoriseerimine:

a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1) (x – x 2)… (x – x n)

Jagame selle võrrandi mõlemad osad 0 ≠ 0-ga ja laiendame esimeses osas olevaid sulgusid. Saame võrdsuse:

xn + ()xn -1 + ... + () = xn - (x 1 + x 2 + ... + xn) xn -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + ... + xn) -1 xn)xn - 2 + … +(-1) nx 1 x 2 … xn

Kuid kaks polünoomi on identselt võrdsed siis ja ainult siis, kui samade astmete koefitsiendid on võrdsed. Sellest järeldub, et võrdsus

x 1 + x 2 + … + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =

x 1 x 2 … x n = (-1) n

Näiteks kolmanda astme polünoomide jaoks

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

Meil on identiteedid

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

Ruutvõrrandite osas nimetatakse seda valemit Vieta valemiteks. Nende valemite vasakpoolsed osad on sümmeetrilised polünoomid antud võrrandi juurtest x 1 , x 2 ..., x n ja parempoolsed osad on väljendatud polünoomi koefitsiendiga.

2.6 Ruutudeks taandatavad võrrandid (kakskvadraadilised)

Neljanda astme võrrandid taandatakse ruutvõrranditeks:

ax 4 + bx 2 + c = 0,

nimetatakse kahekvadraadiliseks, pealegi a ≠ 0.

Piisab, kui panna sellesse võrrandisse x 2 \u003d y, seega

ay² + by + c = 0

leida saadud ruutvõrrandi juured

y 1,2 =

Juurte x 1, x 2, x 3, x 4 kohe leidmiseks asenda y x-ga ja saad

x2 =

x 1,2,3,4 = .

Kui neljanda astme võrrandil on x 1, siis on sellel ka juur x 2 \u003d -x 1,

Kui on x 3, siis x 4 \u003d - x 3. Sellise võrrandi juurte summa on null.

2x 4 - 9x² + 4 = 0

Asendame võrrandi kahekvadraatiliste võrrandite juurte valemis:

x 1,2,3,4 = ,

teades, et x 1 \u003d -x 2 ja x 3 \u003d -x 4, siis:

x 3,4 =

Vastus: x 1,2 \u003d ± 2; x 1,2 =

2.7 Bikvadraatvõrrandite uurimine

Võtame bikvadraatvõrrandi

ax 4 + bx 2 + c = 0,

kus a, b, c on reaalarvud ja a > 0. Võttes kasutusele abitundmatu y = x², uurime selle võrrandi juuri ja kanname tulemused tabelisse (vt lisa nr 1)

2.8 Cardano valem

Kui kasutame kaasaegset sümboolikat, võib Cardano valemi tuletis välja näha järgmine:

x =

See valem määrab kolmanda astme üldvõrrandi juured:

ax 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

See valem on väga tülikas ja keeruline (sisaldab mitmeid keerulisi radikaale). See ei kehti alati, sest. väga raske täita.

F ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

Loetlege või valige 2-3 teksti hulgast kõige huvitavamad kohad. Seega oleme arvestanud valikkursuste loomise ja läbiviimise üldsätteid, mida arvestatakse algebra valikkursuse väljatöötamisel 9. klassile "Nelikvõrrandid ja võrratused parameetriga". II peatükk. Valikkursuse "Ruutvõrrandid ja võrratused parameetriga" läbiviimise metoodika 1.1. Kindral...

Lahendused numbrilistest arvutusmeetoditest. Võrrandi juurte määramiseks ei ole vaja teadmisi Abeli, Galois', Lie rühmade jt teooriatest ning kasutada spetsiaalset matemaatikaterminoloogiat: rõngad, väljad, ideaalid, isomorfismid jne. N-nda astme algebralise võrrandi lahendamiseks on vaja vaid ruutvõrrandi lahendamise ja kompleksarvust juurte eraldamise oskust. Juured saab määrata...

Füüsikaliste suuruste mõõtühikutega MathCAD süsteemis? 11. Kirjeldage üksikasjalikult teksti-, graafilisi ja matemaatilisi plokke. Loeng number 2. Lineaaralgebra ülesanded ja diferentsiaalvõrrandite lahendamine MathCAD keskkonnas Lineaaralgebra ülesannetes tekib peaaegu alati vajadus sooritada erinevaid tehteid maatriksitega. Maatriksi juhtpaneel asub matemaatika paneelil. ...

Selles loengus tutvume ruutvõrrandi juurte ja selle kordajate kurioossete seostega. Need seosed avastas esmakordselt prantsuse matemaatik Francois Viet (1540-1603).

Näiteks võrrandi Зx 2 - 8x - 6 \u003d 0 korral, ilma selle juuri leidmata, saate Vieta teoreemi kasutades kohe öelda, et juurte summa on , ja juurte korrutis on
st - 2. Ja võrrandi x 2 - 6x + 8 \u003d 0 puhul järeldame: juurte summa on 6, juurte korrutis on 8; muide, pole raske ära arvata, millega juured on võrdsed: 4 ja 2.
Vieta teoreemi tõestus. Ruutvõrrandi ax 2 + bx + c \u003d 0 juured x 1 ja x 2 leitakse valemitega

Kus D \u003d b 2 - 4ac on võrrandi diskriminant. Nende juurte maha panemine
saame

Nüüd arvutame juurte x 1 ja x 2 korrutise Meil ​​on

Teine seos on tõestatud:
kommenteerida. Vieta teoreem kehtib ka juhul, kui ruutvõrrandil on üks juur (st kui D \u003d 0), siis lihtsalt arvatakse, et sel juhul on võrrandil kaks identset juurt, millele ülaltoodud seoseid rakendatakse.
Vähendatud ruutvõrrandi x 2 + px + q \u003d 0 tõestatud seosed on eriti lihtsal kujul. Sel juhul saame:

x 1 \u003d x 2 \u003d -p, x 1 x 2 \u003d q
need. antud ruutvõrrandi juurte summa on võrdne teise koefitsiendiga, mis on võetud vastupidise märgiga, ja juurte korrutis on võrdne vaba liikmega.
Vieta teoreemi kasutades saab ruutvõrrandi juurte ja kordajate vahel ka muid seoseid. Olgu näiteks x 1 ja x 2 taandatud ruutvõrrandi x 2 + px + q = 0 juured.

Vieta teoreemi põhieesmärk ei ole aga see, et see väljendaks ruutvõrrandi juurte ja kordajate vahelisi teatud seoseid. Palju olulisem on asjaolu, et Vieta teoreemi abil tuletatakse ruuttrinoomi faktoriseerimise valem, ilma milleta me edaspidi hakkama ei saa.

Tõestus. Meil on

Näide 1. Teguristage ruudu kolmik 3x 2 - 10x + 3.
Lahendus. Olles lahendanud võrrandi Zx 2 - 10x + 3 \u003d 0, leiame ruuttrinoomi Zx 2 - 10x + 3 juured: x 1 \u003d 3, x2 \u003d.
Kasutades teoreemi 2, saame

Selle asemel on mõttekas kirjutada Zx - 1. Siis saame lõpuks Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1).
Pange tähele, et antud ruuttrinoomi saab faktoreerida ilma teoreemi 2 kasutamata, kasutades rühmitusmeetodit:

Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2 - 9x - x + 3 =
\u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \u003d (x - 3) (Zx - 1).

Kuid nagu näete, sõltub edu selle meetodi puhul sellest, kas leiame eduka rühmituse või mitte, samas kui esimese meetodi puhul on edu tagatud.
Näide 1. Vähenda fraktsiooni

Lahendus. Võrrandist 2x 2 + 5x + 2 = 0 leiame x 1 = - 2,

Võrrandist x2 - 4x - 12 = 0 leiame x 1 = 6, x 2 = -2. Sellepärast
x 2 - 4x - 12 \u003d (x - 6) (x - (- 2)) \u003d (x - 6) (x + 2).
Nüüd vähendame antud murdosa:

Näide 3. Avaldiste faktoriseerimine:
a) x4 + 5x 2 +6; b) 2x+-3
Lahendus.a) Toome sisse uue muutuja y = x 2 . See võimaldab meil antud avaldise ümber kirjutada ruudukujulise trinoomi kujul muutuja y suhtes, nimelt kujul y 2 + bу + 6.
Olles lahendanud võrrandi y 2 + bу + 6 \u003d 0, leiame ruutkolminoomi y 2 + 5y + 6 juured: y 1 \u003d - 2, y 2 \u003d -3. Nüüd kasutame teoreemi 2; saame

y 2 + 5 a + 6 = (y + 2) (y + 3).
Jääb veel meeles pidada, et y \u003d x 2, st naaske antud avaldise juurde. Niisiis,
x 4 + 5x 2 + 6 \u003d (x 2 + 2) (x 2 + 3).
b) Toome sisse uue muutuja y = . See võimaldab teil antud avaldise ümber kirjutada ruudukujulise trinoomi kujul muutuja y suhtes, nimelt kujul 2y 2 + y - 3. Olles lahendanud võrrandi
2y 2 + y - 3 \u003d 0, leiame ruutkolminoomi 2y 2 + y - 3 juured:
y 1 = 1, y 2 = . Lisaks saame teoreemi 2 abil:

Jääb veel meeles pidada, et y \u003d, st naaseb antud avaldise juurde. Niisiis,

Peatüki lõpus on mõned kaalutlused, mis on jällegi seotud Vieta teoreemiga või pigem vastupidise väitega:
kui arvud x 1, x 2 on sellised, et x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q, siis on need arvud võrrandi juured
Seda väidet kasutades saate lahendada palju ruutvõrrandeid suuliselt, ilma tülikaid juurvalemeid kasutamata, samuti koostada ruutvõrrandid etteantud juurtega. Toome näiteid.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. Siin x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. Lihtne on arvata, et x 1 = 8, x 2 = 3.

2) x 2 + 11x + 30 = 0. Siin x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. Lihtne on arvata, et x 1 = -5, x 2 = -6.
Pange tähele: kui võrrandi vaba liige on positiivne arv, siis on mõlemad juured kas positiivsed või negatiivsed; Seda on oluline juurte valimisel arvestada.

3) x 2 + x - 12 = 0. Siin x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. Lihtne on arvata, et x 1 \u003d 3, x2 \u003d -4.
Pange tähele: kui võrrandi vaba liige on negatiivne arv, siis on juured märgi poolest erinevad; Seda on oluline juurte valimisel arvestada.

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. On hästi näha, et x = 1 rahuldab võrrandit, s.t. x 1 \u003d 1 - võrrandi juur. Kuna x 1 x 2 \u003d - ja x 1 \u003d 1, saame selle x 2 \u003d -.

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Siin x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Kui pöörate tähelepanu asjaolule, et 2830 = 283. 10 ja 293 \u003d 283 + 10, siis saab selgeks, et x 1 \u003d 283, x 2 \u003d 10 (nüüd kujutage ette, milliseid arvutusi tuleks teha selle ruutvõrrandi lahendamiseks standardvalemite abil).

6) Koostame ruutvõrrandi nii, et selle juurteks oleksid arvud x 1 \u003d 8, x 2 \u003d - 4. Tavaliselt moodustavad need sellistel juhtudel vähendatud ruutvõrrandi x 2 + px + q \u003d 0.
Meil on x 1 + x 2 \u003d -p, seega 8 - 4 \u003d -p, see tähendab p \u003d -4. Edasi x 1 x 2 = q, st. 8"(-4) = q, kust saame q = -32. Niisiis, p \u003d -4, q \u003d -32, mis tähendab, et soovitud ruutvõrrand on kujul x 2 -4x-32 \u003d 0.

Koolialgebra kursusel teist järku võrrandite lahendamise viise uurides arvestage saadud juurte omadustega. Nüüd tuntakse neid Vieta teoreemidena. Selle kasutamise näited on toodud käesolevas artiklis.

Ruutvõrrand

Teist järku võrrand on võrdsus, mis on näidatud alloleval fotol.

Siin on sümbolid a, b, c mõned arvud, mida nimetatakse vaadeldava võrrandi koefitsientideks. Võrdsuse lahendamiseks peate leidma x väärtust, mis muudavad selle tõeseks.

Pange tähele, et kuna x tõstetava võimsuse maksimaalne väärtus on kaks, siis on ka juurte arv üldjuhul kaks.

Seda tüüpi võrdõiguslikkuse lahendamiseks on mitu võimalust. Käesolevas artiklis käsitleme ühte neist, mis hõlmab niinimetatud Vieta teoreemi kasutamist.

Vieta teoreemi väide

Kuulus matemaatik Francois Viet (prantslane) märkas 16. sajandi lõpus erinevate ruutvõrrandite juurte omadusi analüüsides, et nende teatud kombinatsioonid rahuldavad konkreetseid seoseid. Eelkõige on need kombinatsioonid nende korrutis ja summa.

Vieta teoreem kehtestab järgmise: ruutvõrrandi juured annavad summeerimisel vastupidise märgiga võetud lineaar- ja ruutkordajate suhte ning nende korrutamisel saadakse vaba liikme ja ruutkordaja suhte. .

Kui võrrandi üldvorm on kirjutatud nii, nagu see on näidatud artikli eelmises jaotises oleval fotol, siis matemaatiliselt saab selle teoreemi kirjutada kahe võrdusena:

• r 2 + r 1 \u003d -b/a;
• r 1 x r 2 \u003d c / a.

Kus r 1 , r 2 on vaadeldava võrrandi juurte väärtus.

Neid kahte võrdsust saab kasutada mitmete väga erinevate matemaatikaülesannete lahendamiseks. Vieta teoreemi kasutamine näidetes koos lahendusega on toodud artikli järgmistes osades.

Vieta teoreem (täpsemalt Vieta teoreemile pöördvõrdeline teoreem) võimaldab vähendada ruutvõrrandite lahendamise aega. Peate lihtsalt teadma, kuidas seda kasutada. Kuidas õppida lahendama ruutvõrrandeid Vieta teoreemi abil? See on lihtne, kui sa natuke mõtled.

Nüüd räägime ainult taandatud ruutvõrrandi lahendamisest Vieta teoreemi abil Taandatud ruutvõrrand on võrrand, milles a, st x² ees olev koefitsient on võrdne ühega. Esitamata ruutvõrrandid saab lahendada ka Vieta teoreemi abil, kuid juba seal ei ole vähemalt üks juurtest täisarv. Neid on raskem ära arvata.

Vieta teoreemile vastav teoreem ütleb: kui arvud x1 ja x2 on sellised, et

siis x1 ja x2 on ruutvõrrandi juured

Ruutvõrrandi lahendamisel Vieta teoreemi abil on võimalikud ainult 4 võimalust. Kui arutluskäiku mäletate, saate väga kiiresti õppida leidma terveid juuri.

I. Kui q on positiivne arv,

see tähendab, et juured x1 ja x2 on sama märgiga arvud (sest ainult samade märkidega arvude korrutamisel saadakse positiivne arv).

k.a. Kui -p on positiivne arv, (vastavalt lk<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Kui -p on negatiivne arv, (vastavalt p>0), siis mõlemad juured on negatiivsed arvud (liidesid sama märgiga arvud, said negatiivse arvu).

II. Kui q on negatiivne arv,

see tähendab, et juurtel x1 ja x2 on erinevad märgid (arvude korrutamisel saadakse negatiivne arv ainult siis, kui tegurite märgid on erinevad). Sel juhul ei ole x1 + x2 enam summa, vaid vahe (eri märgiga arvude liitmisel lahutame ju suuremast moodulist väiksema). Seetõttu näitab x1 + x2, kui palju erinevad juured x1 ja x2, st kui palju üks juur on teisest suurem (moodul).

II.a. Kui -p on positiivne arv, (st lk<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Kui -p on negatiivne arv, (p>0), siis suurem (mooduli) juur on negatiivne arv.

Vaatleme ruutvõrrandite lahendamist Vieta teoreemi järgi näidete abil.

Lahendage antud ruutvõrrand Vieta teoreemi abil:

Siin q=12>0, seega on juured x1 ja x2 sama märgiga arvud. Nende summa on -p=7>0, seega on mõlemad juured positiivsed arvud. Valime täisarvud, mille korrutis on 12. Need on 1 ja 12, 2 ja 6, 3 ja 4. Paari 3 ja 4 summa on 7. Seega on 3 ja 4 võrrandi juured.

Selles näites q=16>0, mis tähendab, et juured x1 ja x2 on sama märgiga arvud. Nende summa -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Siin q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, siis on suurem arv positiivne. Nii et juured on 5 ja -3.

q = -36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.