Erinevad prismad on üksteisest erinevad. Samas on neil palju ühist. Prisma aluse pindala leidmiseks peate välja mõtlema, milline see välja näeb.

Üldine teooria

Prisma on iga hulktahukas, mille küljed on rööpküliku kujulised. Veelgi enam, iga hulktahukas võib olla selle aluses - kolmnurgast n-nurgani. Pealegi on prisma alused alati üksteisega võrdsed. Mis ei kehti külgpindade kohta - nende suurus võib oluliselt erineda.

Ülesannete lahendamisel ei puututa kokku mitte ainult prisma aluse pindalaga. Võib olla vaja teada külgpinda, st kõiki tahke, mis ei ole alused. Täispind on juba kõigi prisma moodustavate tahkude liit.

Mõnikord ilmuvad ülesannetes kõrgused. See on alustega risti. Hulktahuka diagonaal on segment, mis ühendab paarikaupa mis tahes kahte tippu, mis ei kuulu samasse tahku.

Tuleb märkida, et sirge või kaldprisma aluse pindala ei sõltu nende ja külgpindade vahelisest nurgast. Kui nende ülemises ja alumises küljes on samad näitajad, on nende pindalad võrdsed.

kolmnurkne prisma

Selle põhjas on kolme tipuga kujund, see tähendab kolmnurk. Teadaolevalt on see erinev. Kui siis piisab meenutamisest, et selle pindala määrab pool jalgade korrutisest.

Matemaatiline tähistus näeb välja selline: S = ½ keskm.

Aluse pindala üldiseks väljaselgitamiseks on kasulikud valemid: Heron ja see, milles pool külge on võetud sellele tõmmatud kõrgusele.

Esimene valem tuleks kirjutada järgmiselt: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)). See kirje sisaldab poolperimeetrit (p), st kolme külje summa jagatud kahega.

Teiseks: S = ½ n a * a.

Kui soovite teada baasi pindala kolmnurkne prisma, mis on õige, siis on kolmnurk võrdkülgne. Sellel on oma valem: S = ¼ a 2 * √3.

nelinurkne prisma

Selle alus on mis tahes tuntud nelinurk. See võib olla ristkülik või ruut, rööptahukas või romb. Igal juhul vajate prisma aluse pindala arvutamiseks oma valemit.

Kui alus on ristkülik, siis määratakse selle pindala järgmiselt: S = av, kus a, b on ristküliku küljed.

Kui tegemist on nelinurkse prismaga, siis aluse pindala parem prisma arvutatakse ruudu valemiga. Sest see on tema, kes asub baasis. S = 2.

Juhul, kui alus on rööptahukas, on vaja järgmist võrdsust: S \u003d a * n a. Juhtub, et on antud rööptahuka külg ja üks nurkadest. Seejärel peate kõrguse arvutamiseks kasutama täiendavat valemit: na \u003d b * sin A. Veelgi enam, nurk A külgneb küljega "b" ja kõrgus on selle nurga vastas.

Kui prisma põhjas asub romb, on selle pindala määramiseks vaja sama valemit nagu rööpküliku puhul (kuna see on selle erijuhtum). Kuid võite kasutada ka seda: S = ½ d 1 d 2. Siin on d 1 ja d 2 rombi kaks diagonaali.

Regulaarne viisnurkne prisma

See juhtum hõlmab hulknurga jagamist kolmnurkadeks, mille alasid on lihtsam välja selgitada. Kuigi juhtub, et kujundid võivad olla erineva arvu tippudega.

Kuna prisma põhi on korrapärane viisnurk, saab selle jagada viieks võrdkülgseks kolmnurgaks. Siis võrdub prisma aluse pindala ühe sellise kolmnurga pindalaga (valemit näete ülal), korrutatuna viiega.

Regulaarne kuusnurkne prisma

Viisnurkse prisma puhul kirjeldatud põhimõtte kohaselt on võimalik jagada aluse kuusnurk 6 võrdkülgseks kolmnurgaks. Sellise prisma aluse pindala valem on sarnane eelmisele. Ainult selles tuleks korrutada kuuega.

Valem näeb välja selline: S = 3/2 ja 2 * √3.

Ülesanded

Nr 1. Antud on korrapärane joon, mille diagonaal on 22 cm, hulktahuka kõrgus 14 cm. Arvutage prisma aluse ja kogu pinna pindala.

Otsus. Prisma alus on ruut, kuid selle külg pole teada. Selle väärtuse leiate ruudu diagonaalist (x), mis on seotud prisma diagonaaliga (d) ja selle kõrgusega (n). x 2 \u003d d 2 - n 2. Teisest küljest on see segment "x" hüpotenuus kolmnurgas, mille jalad on võrdsed ruudu küljega. See tähendab, x 2 \u003d a 2 + a 2. Seega selgub, et a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.

Asendage d asemel arv 22 ja asendage "n" selle väärtusega - 14, selgub, et ruudu külg on 12 cm. Nüüd on aluspinda lihtne välja selgitada: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .

Kogu pinna pindala väljaselgitamiseks peate lisama kahekordse aluspinna väärtuse ja neljakordistama külje. Viimast on lihtne leida ristküliku valemiga: korruta hulktahuka kõrgus ja aluse külg. See tähendab, et 14 ja 12 on see arv 168 cm 2. Prisma kogupindala on 960 cm 2 .

Vastus. Prisma aluspind on 144 cm2. Kogu pind - 960 cm 2 .

Nr 2. Dana Alusel asub kolmnurk, mille külg on 6 cm. Sel juhul on külgpinna diagonaal 10 cm. Arvutage pindalad: alus ja külgpind.

Otsus. Kuna prisma on korrapärane, on selle alus võrdkülgne kolmnurk. Seetõttu selgub, et selle pindala on 6 ruudu korda ¼ ja ruutjuur 3. Lihtne arvutus annab tulemuse: 9√3 cm 2. See on prisma ühe aluse pindala.

Kõik külgpinnad on ühesugused ja on ristkülikud, mille küljed on 6 ja 10 cm. Nende pindalade arvutamiseks piisab nende arvude korrutamisest. Seejärel korrutage need kolmega, sest prismal on täpselt nii palju külgi. Seejärel keritakse külgpinna pindala 180 cm 2 .

Vastus. Pindalad: alus - 9√3 cm 2, prisma külgpind - 180 cm 2.

Definitsioon.

See on kuusnurk, mille alused on kaks võrdset ruutu ja külgpinnad on võrdsed ristkülikud.

Külgribi on kahe külgneva külgpinna ühine külg

Prisma kõrgus on prisma alustega risti olev sirglõik

Prisma diagonaal- segment, mis ühendab kahte aluste tippu, mis ei kuulu samasse tahku

Diagonaaltasand- tasapind, mis läbib prisma diagonaali ja selle külgservi

Diagonaalne lõige- prisma ja diagonaaltasandi ristumiskoha piirid. Korrapärase nelinurkse prisma diagonaallõige on ristkülik

Ristlõige (ristlõige)- see on prisma ja selle külgservadega risti tõmmatud tasapinna ristumiskoht

Korrapärase nelinurkse prisma elemendid

Joonisel on kaks tavalist nelinurkset prismat, mis on tähistatud vastavate tähtedega:

• Alused ABCD ja A 1 B 1 C 1 D 1 on võrdsed ja üksteisega paralleelsed
• Külgpinnad AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C ja CC 1 D 1 D, millest igaüks on ristkülik
• Külgpind - prisma kõigi külgpindade pindalade summa
• Kogupind - kõigi aluste ja külgpindade pindalade summa (külgpinna ja aluste pindalade summa)
• Külgmised ribid AA 1 , BB 1 , CC 1 ja DD 1 .
• Diagonaal B 1 D
• Aluse diagonaal BD
• Diagonaallõige BB 1 D 1 D
• Ristlõige A 2 B 2 C 2 D 2 .

Korrapärase nelinurkse prisma omadused

• Alused on kaks võrdset ruutu
• Alused on üksteisega paralleelsed
• Küljed on ristkülikud.
• Külgmised näod on üksteisega võrdsed
• Külgpinnad on alustega risti
• Külgmised ribid on üksteisega paralleelsed ja võrdsed
• Ristlõige, mis on risti kõigi külgribidega ja paralleelne alustega
• Perpendikulaarsed lõikenurgad – parem
• Korrapärase nelinurkse prisma diagonaallõige on ristkülik
• Alustega paralleelne risti (ristlõige).

Tavalise nelinurkse prisma valemid

Juhised probleemide lahendamiseks

Probleemide lahendamisel teemal " korrapärane nelinurkne prisma" tähendab, et:

Õige prisma- prisma, mille põhjas asetseb korrapärane hulknurk ja külgservad on risti aluse tasanditega. See tähendab, et tavaline nelinurkne prisma asub oma põhjas ruut. (vaata ülalt tavalise nelinurkse prisma omadusi) Märge. See on osa tunnist, kus on geomeetria ülesanded (jaotis tahke geomeetria - prisma). Siin on ülesanded, mis põhjustavad raskusi lahendamisel. Kui teil on vaja lahendada geomeetria probleem, mida siin pole - kirjutage sellest foorumisse. Ekstraheerimise toimingu näitamiseks ruutjuur sümbolit kasutatakse probleemide lahendamisel√ .

Ülesanne.

Tavalises nelinurkses prismas on aluse pindala 144 cm 2 ja kõrgus 14 cm. Leia prisma diagonaal ja kogupindala.

Otsus.
Korrapärane nelinurk on ruut.
Sellest lähtuvalt on aluse külg võrdne

√144 = 12 cm.
Kui tavalise ristkülikukujulise prisma aluse diagonaal on võrdne
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Korrapärase prisma diagonaal moodustub koos aluse diagonaali ja prisma kõrgusega täisnurkne kolmnurk. Vastavalt Pythagorase teoreemile on antud korrapärase nelinurkse prisma diagonaal võrdne:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Vastus: 22 cm

Ülesanne

Leidke tavalise nelinurkse prisma kogupindala, kui selle diagonaal on 5 cm ja külgpinna diagonaal on 4 cm.

Otsus.
Kuna korrapärase nelinurkse prisma alus on ruut, siis aluse külg (tähistatud kui a) leitakse Pythagorase teoreemiga:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Külgpinna kõrgus (tähistatud kui h) on siis võrdne:

H 2 + 12,5 \u003d 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3,5
h = √3,5

Kogupindala on võrdne külgpinna ja kahekordse põhipinna summaga

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√ (175/4)
S = 25 + 4√ (7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Vastus: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Stereomeetria on oluline osa üldkursus geomeetria, mis arvestab ruumikujude omadusi. Üks selline kujund on nelinurkne prisma. Selles artiklis käsitleme üksikasjalikumalt küsimust, kuidas arvutada nelinurkse prisma ruumala.

Mis on nelinurkne prisma?

Ilmselgelt on enne nelinurkse prisma ruumala valemi andmist vaja see selgelt määratleda geomeetriline kujund. Sellise prisma all mõistetakse kolmemõõtmelist hulktahukat, mis on piiratud kahe suvalise identse nelinurgaga, mis asetsevad paralleelsel tasapinnal, ja nelja rööpkülikuga.

Üksteisega paralleelselt märgitud nelinurki nimetatakse joonise alusteks ja neli rööpkülikut on külgedeks. Siinkohal tuleb selgitada, et rööpkülikud on ka nelinurgad, kuid alused ei ole alati rööpkülikud. Näide ebakorrapärasest nelinurgast, mis võib olla prisma alus, on näidatud alloleval joonisel.

Iga nelinurkne prisma koosneb 6 küljest, 8 tipust ja 12 servast. Nelinurkseid prismasid on erinevat tüüpi. Näiteks võib figuur olla kaldus või sirge, ebakorrapärane ja korrektne. Artiklis edasi näitame, kuidas saate arvutada nelinurkse prisma ruumala, võttes arvesse selle tüüpi.

Ebakorrapärase põhjaga kaldus prisma

See on kõige asümmeetrilisem nelinurkse prisma tüüp, seega on selle ruumala arvutamine suhteliselt keeruline. Järgmine avaldis võimaldab määrata joonise mahu:

Sümbol So tähistab siin aluse pindala. Kui see alus on romb, rööpkülik või ristkülik, siis pole So väärtust keeruline arvutada. Niisiis, rombi ja rööpküliku jaoks kehtib valem:

kus a on aluse külg, ha on aluse ülaosast sellele küljele langetatud kõrguse pikkus.

Kui alus on ebakorrapärane hulknurk (vt ülal), siis tuleks selle pindala jagada lihtsamateks kujunditeks (näiteks kolmnurkadeks), arvutada nende pindalad ja leida nende summa.

Mahu valemis tähistab tähis h prisma kõrgust. See tähistab pikkust risti segment kahe aluse vahel. Kuna prisma on kaldu, tuleks kõrguse h arvutamisel kasutada külgserva pikkust b ning külgpindade ja aluse vahelisi kahetahulisi nurki.

Õige kujund ja selle maht

Kui nelinurkse prisma alus on ruut ja kujund ise on sirge, nimetatakse seda korrapäraseks. Tuleb selgitada, et sirget prismat nimetatakse siis, kui selle kõik küljed on ristkülikud ja igaüks neist on alustega risti. Õige joonis on näidatud allpool.

Korrapärase nelinurkse prisma ruumala saab arvutada sama valemiga nagu ebakorrapärase kujundi ruumala. Kuna alus on ruut, arvutatakse selle pindala lihtsalt:

Prisma kõrgus h võrdub külgserva b pikkusega (ristküliku külg). Seejärel saab tavalise nelinurkse prisma ruumala arvutada järgmise valemi abil:

Tavalist prismat, millel on ruudukujuline alus, nimetatakse risttahukas. Sellest rööptahust saab võrdsete külgede a ja b korral kuubik. Viimase maht arvutatakse järgmiselt:

Mahu V kirjalikud valemid näitavad, et mida suurem on joonise sümmeetria, seda vähem on selle väärtuse arvutamiseks vaja lineaarseid parameetreid. Nii et tavalise prisma puhul on vajalik arv parameetreid kaks, kuubi puhul üks.

Probleem õige figuuriga

Olles kaalunud nelinurkse prisma ruumala leidmise küsimust teooria seisukohalt, rakendame saadud teadmisi praktikas.

Teadaolevalt on korrapärase rööptahuka põhja diagonaali pikkus 12 cm. Külgkülje diagonaali pikkus on 20 cm. Vajalik on arvutada rööptahuka ruumala.

Tähistame aluse diagonaali sümboliga da ja külgpinna diagonaali sümboliga db. Diagonaali da puhul on avaldised tõesed:

Mis puudutab väärtust db, siis see on külgedega a ja b ristküliku diagonaal. Selle jaoks võib kirjutada järgmised võrdsused:

db2 = a2 + b2 =>

b = √(db2 - a2)

Asendades leitud avaldise viimase võrdusega, saame:

b = √(db2 - da2/2)

Nüüd saate saadud valemid asendada õige kujundi mahu avaldisega:

V = a2*b = da2/2*√(db2 – da2/2)

Asendades da ja db numbritega ülesande tingimusest, jõuame vastuseni: V ≈ 1304 cm3.

Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun lugege meie privaatsuspoliitikat ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isiklik informatsioon igal ajal, kui meiega ühendust võtate.

Järgnevalt on toodud mõned näited selle kohta, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas seda teavet kasutada.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda mitmesugust teavet, sealhulgas teie nimi, telefoninumber, e-posti aadress jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Kogutavad isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsetest pakkumistest, tutvustustest ja muudest sündmustest ning eelseisvatest sündmustest.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid teile oluliste teadete ja sõnumite saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile meie teenuste kohta soovitusi.
• Kui osalete loosimises, võistluses või sarnases stiimulis, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Avalikustamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Kui see on vajalik - vastavalt seadusele, kohtukorraldusele, kohtumenetluses ja/või avalike taotluste või Vene Föderatsiooni territooriumil asuvate riigiasutuste taotluste alusel - avaldage oma isikuandmed. Võime avaldada teie kohta teavet ka juhul, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muude avalike huvide tõttu.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime edastada kogutud isikuandmed vastavale kolmandale isikule õigusjärglasele.

Isikuandmete kaitse

Me rakendame ettevaatusabinõusid – sealhulgas halduslikke, tehnilisi ja füüsilisi –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse säilitamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvatavade ning rakendame rangelt privaatsuspõhimõtteid.