Vaatleme kahe muutuja funktsiooni:
Kuna muutujad $x$ ja $y$ on sõltumatud, saame sellise funktsiooni jaoks kasutusele võtta osatuletise mõiste:
Funktsiooni $f$ osatuletis punktis $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ muutuja $x$ suhtes on piir
\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \parem))(\Delta x)\]
Samamoodi saame defineerida osatuletise muutuja $y$ suhtes:
\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \parem))(\Delta y)\]
Teisisõnu, mitme muutuja funktsiooni osalise tuletise leidmiseks peate fikseerima kõik muud muutujad peale soovitud muutuja ja seejärel leidma selle soovitud muutuja tavalise tuletise.
Sellest tuleneb selliste tuletiste arvutamise põhitehnika: lihtsalt arvestage, et kõik muutujad peale antud on konstantsed, ja seejärel eristage funktsioon nii, nagu eristaksite "tavalist" – ühe muutujaga. Näiteks:
$\begin(joona)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2) )) \parem))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \parem))^(\ algarvud ))_(y)+10x\cdot ((\vasak(y \parem))^(\algarvu ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(joonda)$
Ilmselgelt annavad osatuletised erinevate muutujate suhtes erineva vastuse – see on normaalne. Palju olulisem on mõista, miks näiteks esimesel juhul eemaldasime tuletise märgi alt rahulikult $10y$ ja teisel juhul nullisime esimese liikme täielikult ära. Kõik see on tingitud asjaolust, et kõiki tähti, välja arvatud muutuja, mille järgi eristamine toimub, peetakse konstantideks: neid saab välja võtta, "põletada" jne.
Mis on "osaline tuletis"?
Täna räägime mitme muutuja funktsioonidest ja nende osatuletistest. Esiteks, mis on mitme muutuja funktsioon? Siiani oleme harjunud mõtlema funktsioonile $y\left(x \right)$ või $t\left(x \right)$ või mis tahes muutujale ja üksikule funktsioonile sellest. Nüüd on meil üks funktsioon ja mitu muutujat. Kui $y$ ja $x$ muutuvad, muutub funktsiooni väärtus. Näiteks kui $x$ kahekordistub, muutub funktsiooni väärtus, samas kui $x$ muutub ja $y$ ei muutu, muutub funktsiooni väärtus samamoodi.
Muidugi saab eristada mitme muutuja funktsiooni, nagu ka ühe muutuja funktsiooni. Kuna aga muutujaid on mitu, siis on võimalik eristada erinevate muutujate järgi. Sel juhul tekivad spetsiifilised reeglid, mida ühe muutuja eristamisel ei eksisteerinud.
Esiteks, kui käsitleme mis tahes muutuja funktsiooni tuletist, peame näitama, millise muutuja tuletiseks peame - seda nimetatakse osatuletiseks. Näiteks on meil kahe muutuja funktsioon ja me saame seda arvutada nii $x$ kui ka $ y$ - iga muutuja kaks osatuletist.
Teiseks, niipea, kui oleme ühe muutuja fikseerinud ja hakkame selle suhtes osatuletist arvutama, loetakse kõik teised selles funktsioonis sisalduvad konstantideks. Näiteks $z\left(xy \right)$ puhul, kui arvestada osatuletist $x$ suhtes, siis kõikjal, kus kohtame $y$, käsitleme seda konstandiks ja käsitleme seda täpselt konstandina. Eelkõige saame korrutise tuletise arvutamisel sulust välja võtta $y$ (meil on konstant) ja summa tuletise arvutamisel, kui saame kuskilt $y$ sisaldava avaldise tuletise. ja mis ei sisalda $x$, siis on selle avaldise tuletis võrdne "nulliga" kui konstandi tuletis.
Esmapilgul võib tunduda, et räägin millestki keerulisest ja paljud õpilased satuvad alguses segadusse. Osatuletistes pole aga midagi üleloomulikku ja nüüd näeme seda konkreetsete probleemide näitel.
Probleemid radikaalide ja polünoomidega
Ülesanne nr 1
Et mitte asjata aega raisata, alustame algusest peale tõsiste näidetega.
Lubage mul alustada järgmise valemiga:
See on standardtabeli väärtus, mida teame standardkursusest.
Sel juhul arvutatakse tuletis $z$ järgmiselt:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]
Teeme seda uuesti, kuna juur ei ole $x$, vaid mõni muu avaldis, antud juhul $\frac(y)(x)$, siis kasutame esmalt standardset tabeli väärtust ja seejärel, kuna juur on mitte $x $ ja teine avaldis, peame sama muutuja suhtes oma tuletise korrutama veel ühe avaldisega. Alustame järgmisest:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot xy \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot xy\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]
Naaseme oma väljendi juurde ja kirjutame:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)\]
Põhimõtteliselt on see kõik. Siiski on vale jätta see sellisele kujule: sellist konstruktsiooni on edasisteks arvutusteks ebamugav kasutada, nii et muudame seda natuke:
\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]
\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]
Vastus leitud. Nüüd tegeleme $y$-ga:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]
Kirjutame eraldi:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot xy \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot xy\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]
Nüüd kirjutame:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]
\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1) (2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]
Valmis.
Ülesanne nr 2
See näide on nii lihtsam kui ka keerulisem kui eelmine. Keerulisem, sest toiminguid on rohkem, aga lihtsam, kuna juur puudub ja lisaks on funktsioon sümmeetriline $x$ ja $y$ suhtes, st. kui vahetame $x$ ja $y$, siis valem ei muutu. See märkus lihtsustab veelgi osatuletise arvutamist, s.o. piisab, kui arvutada üks neist ja teises lihtsalt vahetada $x$ ja $y$.
Asume asja juurde:
\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \parem ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \parem)-xy((\vasak(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \parem))^(\alim ) )_(x))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \parem))^(2)))\]
Loeme:
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]
Kuid paljud õpilased ei saa sellisest kirjest aru, seetõttu kirjutame selle järgmiselt:
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]
Seega oleme taas veendunud osatuletise algoritmi universaalsuses: olenemata sellest, kuidas me neid käsitleme, on kõigi reeglite õigesti rakendamisel vastus sama.
Nüüd käsitleme veel ühte osalist tuletist meie suurest valemist:
\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \parem))^(\prime ))_(x)=((\left((((()) x)^(2)) \parem))^(\algaline ))_(x)+((\vasak(((y)^(2)) \parem))^(\alganumber ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]
Asendame saadud avaldised oma valemis ja saame:
\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ parem)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \parem))^(\peamine ))_(x))(((\vasak (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \parem))^(2)))=\]
\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)-xy\cdot 2x)(((\left((((()) x)^(2))+((y)^(2))+1 \parem))^(2)))=\]
\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \parem))(((\ vasak(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \parem))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \parem))(((\vasak(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \parem))^(2 )))\]
$x$ loetud. Ja sama avaldise alusel $y$ arvutamiseks ärgem sooritagem sama toimingute jada, vaid kasutagem oma algse avaldise sümmeetriat – lihtsalt asendame kõik $y$ oma algses avaldises $x$-ga ja vastupidi:
\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \parem))((( \vasak(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \parem))^(2)))\]
Sümmeetria tõttu arvutasime selle avaldise palju kiiremini.
Lahenduse nüansid
Osatuletiste puhul töötavad kõik standardvalemid, mida tavaliste valemite jaoks kasutame, nimelt privaattuletis. Sel juhul aga ilmnevad oma eripärad: kui arvestada $x$ osatuletist, siis kui saame selle $x$-st, siis käsitleme seda konstandina ja seetõttu on selle tuletis võrdne " null".
Nagu tavaliste tuletisinstrumentide puhul, saab jagatist (sama) arvutada mitmel erineval viisil. Näiteks sama konstruktsiooni, mille me just arvutasime, saab ümber kirjutada järgmiselt:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]
Kuid teisest küljest võite kasutada tuletissumma valemit. Nagu me teame, on see võrdne tuletiste summaga. Kirjutame näiteks järgmise:
\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \parem))^(\peamine ))_(x)=2x+0+0=2x \]
Nüüd, teades seda kõike, proovime töötada tõsisemate avaldistega, kuna tegelikud osatuletised ei piirdu ainult polünoomide ja juurtega: on olemas trigonomeetria ja logaritmid ning eksponentsiaalne funktsioon. Nüüd teeme seda.
Probleemid trigonomeetriliste funktsioonide ja logaritmidega
Ülesanne nr 1
Kirjutame järgmised standardvalemid:
\[((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]
\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]
Olles nende teadmistega relvastatud, proovime lahendada:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left) (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
Kirjutame ühe muutuja eraldi:
\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Tagasi meie disaini juurde:
\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Oleme leidnud kõik $x$ jaoks, nüüd teeme arvutused $y$ jaoks:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left) (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]
Jällegi kaaluge ühte väljendit:
\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \paremal)\]
Naaseme algse avaldise juurde ja jätkame lahendust:
\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Valmis.
Ülesanne nr 2
Kirjutame vajaliku valemi:
\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]
Nüüd loendame $x$ võrra:
\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]
Leidis $x$. $y$ järgi loendamine:
\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=\]
\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]
Probleem lahendatud.
Lahenduse nüansid
Seega, olenemata sellest, millise funktsiooni osalise tuletise võtame, jäävad reeglid samaks, olenemata sellest, kas töötame trigonomeetria, juurte või logaritmidega.
Standardtuletistega töötamise klassikalised reeglid jäävad muutumatuks, nimelt summa ja erinevuse tuletis, jagatis ja kompleksfunktsioon.
Viimast valemit leiab kõige sagedamini osatuletistega seotud ülesannete lahendamisel. Me kohtame neid peaaegu kõikjal. Pole veel olnud ühtegi ülesannet, millega me seal poleks kokku puutunud. Kuid olenemata sellest, millist valemit me kasutame, lisame siiski veel ühe nõude, nimelt osatuletistega töötamise funktsiooni. Niipea kui me parandame ühe muutuja, on kõik teised konstandid. Täpsemalt, kui arvestada avaldise $\cos \frac(x)(y)$ osalist tuletist $y$ suhtes, siis on muutujaks $y$ ja $x$ jääb kõikjal konstantseks. Sama toimib ka vastupidi. Selle saab tuletise märgist välja võtta ja konstandi enda tuletis on võrdne "nulliga".
Kõik see toob kaasa asjaolu, et sama avaldise osatuletised, kuid erinevate muutujate suhtes, võivad välja näha täiesti erinevad. Näiteks kaaluge järgmisi väljendeid:
\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]
\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]
Probleemid eksponentsiaalfunktsioonide ja logaritmidega
Ülesanne nr 1
Alustame järgmise valemi kirjutamisega:
\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]
Teades seda fakti ja ka kompleksfunktsiooni tuletist, proovime arvutada. Nüüd lahendan ma kahel erineval viisil. Esimene ja kõige ilmsem on toote tuletis:
\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
Lahendame järgmise avaldise eraldi:
\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot yx .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot yx\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]
Pöördume tagasi oma esialgse kujunduse juurde ja jätkame lahendust:
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y)\right)\]
Kõik, $x$ loetud.
Kuid nagu lubasin, proovime nüüd sama osatuletist teistmoodi arvutada. Selleks pange tähele järgmist.
\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]
Kirjutame selle nii:
\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\]
Selle tulemusena saime täpselt sama vastuse, kuid arvutuste maht osutus väiksemaks. Selleks piisas märkamisest, et korrutise korrutamisel saab astendajaid liita.
Nüüd loeme $y$ võrra:
\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(y)=\]
\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]
Lahendame ühe avaldise eraldi:
\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot yx \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]
Jätkame oma esialgse konstruktsiooni lahendust:
\[=(e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]
Muidugi saaks sama tuletise arvutada ka teistmoodi, vastus oleks sama.
Ülesanne nr 2
Loendame $x$ võrra:
\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\]
Loendame ühe avaldise eraldi:
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\]
Jätkame algse konstruktsiooni lahendust: $$
Siin on vastus.
Jääb üle leida analoogia põhjal $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \right)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\]
Loeme nagu alati ühe avaldise eraldi:
\[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \parem) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]
Jätkame põhistruktuuri lahendust:
Kõik loetakse. Nagu näete, olenevalt sellest, millist muutujat eristamiseks võetakse, on vastused täiesti erinevad.
Lahenduse nüansid
Siin on ilmekas näide, kuidas sama funktsiooni tuletist saab arvutada kahel erineval viisil. Vaata siia:
\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+(e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ vasak(1+\frac(1)(y)\right)\]
\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \right)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \right)\ ]
Erinevate teede valimisel võib arvutuste hulk olla erinev, kuid vastus, kui kõik on õigesti tehtud, on sama. See kehtib nii klassikaliste kui ka osade tuletisinstrumentide kohta. Samas tuletan veel kord meelde: olenevalt sellest, millisest muutujast tuletis võetakse, s.o. diferentseerimisel võib vastus olla täiesti erinev. Vaata:
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 1\]
Kokkuvõtteks proovime kogu selle materjali koondamiseks lugeda veel kaks näidet.
Trigonomeetrilise funktsiooni ja kolme muutujaga funktsiooni ülesanded
Ülesanne nr 1
Kirjutame need valemid:
\[((\left(((a)^(x)) \right))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]
\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))=((e)^(x))\]
Lahendame nüüd oma väljendi:
\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \parem))^(\prime ))_(x)=((3) )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]
Eraldi kaaluge järgmist konstruktsiooni:
\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ vasak(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]
Jätkame algse väljendi lahendamist:
\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]
See on lõplik privaatse muutuja vastus $x$ jaoks. Nüüd loeme $y$ võrra:
\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3) )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]
Lahendame ühe avaldise eraldi:
\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ vasak(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]
Lahendame oma ehituse lõpuni:
\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]
Ülesanne nr 2
Esmapilgul võib see näide tunduda üsna keeruline, sest muutujaid on kolm. Tegelikult on see tänase videoõpetuse üks lihtsamaid ülesandeid.
Otsi $x$ järgi:
\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \parem))^(\alim ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e)) ^(z)) \parem))^(\alim ))_(x)=\]
\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) )) \parem))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]
Nüüd tegeleme $y$-ga:
\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cpunkt ((e)^(z)) \parem))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot) ((e)^(z)) \paremale))^(\prime ))_(y)=\]
\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left (y \parem))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]
Oleme vastuse leidnud.
Nüüd jääb üle leida $z$ järgi:
\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \parem))^(\pea ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e)) )^(z)) \parem))^(\algaline ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \parem))^(\algaline )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]
Oleme välja arvutanud kolmanda tuletise, millel on teise ülesande lahendus täielikult lõpetatud.
Lahenduse nüansid
Nagu näete, pole nendes kahes näites midagi keerulist. Ainus, mida oleme näinud, on see, et sageli kasutatakse kompleksfunktsiooni tuletist ja olenevalt sellest, millist osatuletist käsitleme, saame erinevaid vastuseid.
Viimases ülesandes paluti meil käsitleda korraga kolme muutuja funktsiooni. Selles pole midagi halba, kuid päris lõpus veendusime, et need kõik erinevad üksteisest oluliselt.
Võtmepunktid
Tänase videoõpetuse lõplikud järeldused on järgmised:
- Osatuletisi käsitletakse samamoodi nagu tavalisi, samas kui osatuletise arvutamiseks ühe muutuja suhtes võetakse arvesse kõiki teisi muutujaid. seda funktsiooni, võtame konstantidena.
- Osatuletistega töötamisel kasutame kõiki samu standardvalemeid nagu tavatuletistega: summa, vahe, korrutise tuletis ja jagatis ning loomulikult kompleksfunktsiooni tuletis.
Muidugi ei piisa selle teema täielikuks mõistmiseks ainult selle videoõpetuse vaatamisest, nii et praegu on minu veebisaidil selle konkreetse video jaoks tänasele teemale pühendatud ülesannete komplekt - minge, laadige alla, lahendage need ülesanded ja kontrollige vastust. Ja pärast seda pole osatuletistega probleeme ei eksamitel ega edasi iseseisev töö sa ei tee seda. Muidugi, see pole kaugeltki viimane kõrgmatemaatika õppetund, nii et külastage meie veebisaiti, lisage VKontakte, tellige YouTube, pange meeldimised ja jääge meiega!
Olgu antud kahe muutuja funktsioon. Suurendame argumenti ja jätame argumendi muutmata. Seejärel saab funktsioon juurdekasvu, mida nimetatakse muutuja suhtes osaliseks juurdekasvuks ja tähistatakse järgmiselt:
Samamoodi, fikseerides argumendi ja andes argumendile juurdekasvu, saame funktsiooni osalise juurdekasvu muutuja suhtes:
Väärtust nimetatakse funktsiooni täielikuks juurdekasvuks punktis.
Definitsioon 4. Kahe muutuja funktsiooni osatuletis ühe muutuja suhtes on funktsiooni vastava osalise juurdekasvu ja antud muutuja juurdekasvu suhte piir, kui viimane kaldub nullile (kui see piir on olemas). Osatuletist tähistatakse kui: või, või.
Seega on meil definitsiooni järgi:
Funktsiooni osatuletised arvutatakse samade reeglite ja valemite järgi ühe muutuja funktsioonina, arvestades, et muutuja suhtes diferentseerimisel loetakse seda konstantseks ja muutuja suhtes diferentseerimisel. konstantne.
Näide 3. Leia funktsioonide osatuletised:
Lahendus. a) Leidmiseks eeldame konstantse väärtuse ja diferentseerime ühe muutuja funktsioonina:
Samamoodi, eeldades konstantset väärtust, leiame:
Definitsioon 5. Funktsiooni summaarne diferentsiaal on selle funktsiooni osatuletiste ja vastavate sõltumatute muutujate juurdekasvu korrutiste summa, s.o.
Arvestades, et sõltumatute muutujate diferentsiaalid langevad kokku nende juurdekasvuga, s.o. , võib kogudiferentsiaali valemi kirjutada järgmiselt
Näide 4 Otsi kogu diferentsiaal funktsioonid.
Lahendus. Kuna siis leiame kogudiferentsiaali valemiga
Kõrgema järjekorra osatuletised
Osatuletisi nimetatakse ka esimest järku osatuletisteks või esimesteks osatuletisteks.
Definitsioon 6. Funktsiooni teist järku osatuletised on esimest järku osatuletised.
Teist järku osatuletisi on neli. Need on tähistatud järgmiselt:
Sarnaselt on määratletud ka 3., 4. ja kõrgema järgu osatuletised. Näiteks funktsiooni jaoks on meil:
Teise või enama osatuletised kõrge järjekordülevõetud erinevaid muutujaid nimetatakse segatud osatuletisteks. Funktsiooni puhul on need tuletised. Pange tähele, et juhul, kui segatuletised on pidevad, toimub võrdsus.
Näide 5. Leia funktsiooni teist järku osatuletised
Lahendus. Selle funktsiooni esimest järku osatuletised leiate näitest 3:
Diferentseerides ja muutujate x ja y suhtes saame
Kokkuvõtteks, mis vahe on osatuletiste leidmisel ja ühe muutuja funktsiooni "tavaliste" tuletiste leidmisel:
1) Kui leiame osatuletise, siis muutuv peetakse konstantiks.
2) Kui leiame osatuletise, siis muutuv peetakse konstantiks.
3) Tuletiste elementaarfunktsioonide reeglid ja tabel kehtivad ja rakendatavad iga muutuja ( , või mõni muu), mille suhtes tehakse vahet.
Teine samm. Leiame teist järku osatuletisi. Neid on neli.
Nimetused:
Või - teine tuletis "X" suhtes
Või - teine tuletis "y" suhtes
Või - segatud tuletis "x y suhtes"
Või - segatud tuletis "x suhtes"
Teise tuletise mõistes pole midagi keerulist. räägivad selge keel, Teine tuletis on esimese tuletise tuletis.
Selguse huvides kirjutan ümber juba leitud esimest järku osatuletised:
Esiteks leiame segatuletised:
Nagu näete, on kõik lihtne: võtame osatuletise ja eristame seda uuesti, kuid sel juhul juba "y" järgi.
Sarnaselt:
Praktiliste näidete puhul, kui kõik osatuletised on pidevad, kehtib järgmine võrdsus:
Seega on teist järku segatuletiste kaudu väga mugav kontrollida, kas oleme esimest järku osatuletisi õigesti leidnud.
Leiame teise tuletise "x" suhtes.
Ei mingeid leiutisi, võtame ja eristage seda uuesti "X"-ga:
Sarnaselt:
Tuleb märkida, et leidmisel tuleb näidata suurenenud tähelepanu, kuna pole imelisi võrdusi, mida kontrollida.
Näide 2
Leia funktsiooni esimest ja teist järku osatuletised
See on näide enese lahendamiseks (vastus tunni lõpus).
Teatud kogemusega lahendate osatuletised näidetest nr 1, 2 teie suuliselt.
Liigume edasi keerukamate näidete juurde.
Näide 3
Kontrollige seda. Kirjutage esimese järgu summaarne erinevus.
Lahendus: Leiame esimest järku osatuletised:
Pöörake tähelepanu alaindeksile: "x" kõrvale ei ole keelatud sulgudesse kirjutada, et see on konstant. See märk võib olla algajatele väga kasulik, et hõlbustada lahenduses navigeerimist.
Täiendavad kommentaarid:
(1) Me võtame välja kõik konstandid väljaspool tuletise märki. Sel juhul ja , ja seega peetakse nende korrutist konstantseks arvuks.
(2) Ärge unustage, kuidas juuri õigesti eristada.
(1) Tuletise märgist võtame välja kõik konstandid, sel juhul on konstandiks .
(2) Prime'i all on meil kahe funktsiooni korrutis, seetõttu peame kasutama toote eristamise reeglit 
.
(3) Ärge unustage, et see on keeruline funktsioon (kuigi keerukatest kõige lihtsam). Kasutame vastavat reeglit: 
.
Nüüd leiame teist järku segatuletised:
See tähendab, et kõik arvutused on õiged.
Kirjutame kogu erinevuse. Vaadeldava ülesande kontekstis ei ole mõtet öelda, milline on kahe muutuja funktsiooni summaarne diferentsiaal. On oluline, et just seda erinevust tuleb väga sageli praktilistes ülesannetes kirja panna.
Kahe muutuja funktsiooni esimese järgu diferentsiaali kogusumma on järgmine:
Sel juhul:
See tähendab, et valemis tuleb lihtsalt asendada juba leitud esimest järku osatuletised. Diferentsiaalikoonid ning selles ja sarnastes olukordades on võimalusel parem kirjutada lugejatesse:
Näide 4
Leia funktsiooni esimest järku osatuletised 
. Kontrollige seda. Kirjutage esimese järgu summaarne erinevus.
See on tee-seda-ise näide. Ülesande terviklahendus ja näidiskujundus on tunni lõpus.
Mõelge mitmele näitele, mis sisaldab keerulisi funktsioone.
Näide 5
Leia funktsiooni esimest järku osatuletised.
(1) Rakendame kompleksfunktsiooni diferentseerimise reeglit . Õppetunnist Kompleksfunktsiooni tuletis tuleb meeles pidada väga olulist punkti: kui me muudame siinuse (välisfunktsioon) koosinuse tabeli järgi, siis on meil investeering (sisefunktsioon). ei muutu.
(2) Siin kasutame juurte omadust: , võtame tuletise märgist välja konstant ja esitame juure eristamiseks vajalikul kujul.
Sarnaselt: 
Kirjutame esimese järjekorra kogudiferentsi:
Näide 6
Leia funktsiooni esimest järku osatuletised 
.
Kirjutage kogu erinevus.
See on näide enese lahendamiseks (vastus tunni lõpus). Ma ei postita täielikku lahendust, sest see on üsna lihtne.
Üsna sageli rakendatakse kõiki ülaltoodud reegleid kombineeritult.
Näide 7
Leia funktsiooni esimest järku osatuletised 
.
(1) Kasutame summa diferentseerimise reeglit.
(2) Esimest liiget peetakse sel juhul konstandiks, kuna avaldises pole midagi, mis sõltuks "x-st" - ainult "y".
(Teate, see on alati tore, kui saate murdosa nulliks muuta.)
Teiseks perioodiks rakendame toodete eristamise reeglit. Muide, algoritmis ei muutuks midagi, kui selle asemele antaks funktsioon - oluline on, et siin on kahe funktsiooni korrutis, millest KÕIK sõltub "x-st", seega peate kasutama toodete eristamise reeglit. Kolmanda liikme puhul rakendame kompleksfunktsiooni diferentseerimise reeglit.
Iga osatuletis (üle x ja poolt y) kahe muutuja funktsioonist on ühe muutuja funktsiooni tavaline tuletis teise muutuja fikseeritud väärtusega:
(kus y= konst),
(kus x= konst).
Seetõttu arvutatakse osatuletised alates valemid ja reeglid ühe muutuja funktsioonide tuletiste arvutamiseks, pidades samal ajal teist muutujat konstandiks (konstandiks).
Kui te ei vaja näidete analüüsi ja selleks vajalikku minimaalset teooriat, vaid vajate ainult oma probleemile lahendust, siis jätkake veebipõhine osalise tuletise kalkulaator .
Kui on raske keskenduda funktsiooni konstanti asukoha jälgimisele, siis näite mustandlahenduses võib muutuja asemel fikseeritud väärtusega asendada suvalise arvu – siis saab osatuletise kiiresti tavaliseks arvutada. ühe muutuja funktsiooni tuletis. Tuleb vaid lõpetamisel mitte unustada konstanti (fikseeritud väärtusega muutuja) oma kohale tagastamast.
Eelpool kirjeldatud osatuletiste omadus tuleneb osatuletise definitsioonist, mille leiab eksamiküsimustest. Seetõttu võite alloleva definitsiooniga tutvumiseks avada teoreetilise viite.
Funktsiooni pidevuse mõiste z= f(x, y) defineeritakse punktis sarnaselt selle mõistega ühe muutuja funktsiooni jaoks.
Funktsioon z = f(x, y) nimetatakse pidevaks punktis, kui
Erinevust (2) nimetatakse funktsiooni kogukasvuks z(see saadakse mõlema argumendi suurendamisel).
Laske funktsioonil z= f(x, y) ja punkt
Kui funktsioon muutub z tekib siis, kui muutub ainult üks argumentidest, näiteks x, teise argumendi fikseeritud väärtusega y, siis funktsiooni suurendatakse
nimetatakse funktsiooni osaliseks juurdekasvuks f(x, y) peal x.
Arvestades funktsiooni muutmist z olenevalt vaid ühe argumendi muutumisest läheme tegelikult üle ühe muutuja funktsioonile.
Kui on piiratud piir
siis nimetatakse seda funktsiooni osatuletiseks f(x, y) argumendiga x ja seda tähistatakse ühe sümboliga
(4)
Osaline juurdekasv on määratletud sarnaselt z peal y:
ja osaline tuletis f(x, y) peal y:
(6)
Näide 1
Lahendus. Leiame muutuja "x" suhtes osalise tuletise:
(y fikseeritud);
Leiame muutuja "y" suhtes osalise tuletise:
(x fikseeritud).
Nagu näete, pole vahet, kui suurel määral muutuja on fikseeritud: sel juhul on tegemist lihtsalt mõne arvuga, mis on tegur (nagu tavalise tuletise puhul) muutujaga, mille järgi me osalise leiame. tuletis. Kui fikseeritud muutujat ei korruta muutujaga, mille suhtes leiame osatuletise, siis see üksildane konstant, olenemata sellest, mil määral, nagu tavalise tuletise puhul, kaob.
Näide 2 Antud funktsioon
Otsige osalisi tuletisi
(x) ja (y järgi) ning arvutage nende väärtused punktis AGA (1; 2).
Lahendus. Fikseeritud kohas y esimese liikme tuletis leitakse astmefunktsiooni tuletis ( ühe muutuja tuletisfunktsioonide tabel):
.
Fikseeritud kohas x tuletisena leitakse esimese liikme tuletis eksponentsiaalne funktsioon, ja teine - konstandi tuletis:
Nüüd arvutame nende osaliste tuletiste väärtused punktis AGA (1; 2):
Saate kontrollida probleemide lahendust osatuletistega veebipõhine osalise tuletise kalkulaator .
Näide 3 Leidke funktsioonide osalised tuletised
Lahendus. Ühe sammuga leiame
(y x, nagu oleks siinuse argument 5 x: samamoodi on funktsiooni märgi ees 5);
(x on fikseeritud ja on antud juhul tegur juures y).
Saate kontrollida probleemide lahendust osatuletistega veebipõhine osalise tuletise kalkulaator .
Kolme või enama muutuja funktsiooni osatuletised on defineeritud sarnaselt.
Kui iga väärtuste komplekt ( x; y; ...; t) komplektist sõltumatud muutujad D vastab ühele kindlale väärtusele u paljudelt E, siis u nimetatakse muutujate funktsiooniks x, y, ..., t ja tähistada u= f(x, y, ..., t).
Kolme või enama muutuja funktsioonide puhul puudub geomeetriline tõlgendus.
Samuti defineeritakse ja arvutatakse mitme muutuja funktsiooni osatuletised eeldusel, et ainult üks sõltumatutest muutujatest muutub, teised aga on fikseeritud.
Näide 4 Leidke funktsioonide osalised tuletised
.
Lahendus. y Ja z fikseeritud:
x Ja z fikseeritud:
x Ja y fikseeritud:
Leidke ise osatuletised ja vaadake seejärel lahendusi
Näide 5
Näide 6 Leia funktsiooni osatuletised.
Mitme muutuja funktsiooni osatuletis on sama mehaaniline tähendus kui ühe muutuja funktsiooni tuletis, on kiirus, millega funktsioon muutub seoses ühe argumendi muutumisega.
Näide 8 vooluhulk P reisijad raudteed saab väljendada funktsioonina
kus P- reisijate arv, N- vastavate punktide elanike arv, R- punktide vaheline kaugus.
Funktsiooni osatuletis P peal R võrdne
näitab, et reisijate voo vähenemine on pöördvõrdeline vastavate punktide vahelise kauguse ruuduga sama arvu elanike puhul punktides.
Osaline tuletis P peal N võrdne
näitab, et reisijatevoo kasv on võrdeline kahekordse elanike arvuga asulad sama punktide vahega.
Saate kontrollida probleemide lahendust osatuletistega veebipõhine osalise tuletise kalkulaator .
Täielik diferentsiaal
Osatuletise ja vastava sõltumatu muutuja juurdekasvu korrutist nimetatakse osadiferentsiaaliks. Osalisi erinevusi tähistatakse järgmiselt:
Kõikide sõltumatute muutujate osaerinevuste summa annab kogudiferentsiaali. Kahe sõltumatu muutuja funktsiooni korral väljendatakse kogudiferentsiaali võrdsusega
(7)
Näide 9 Leia funktsiooni täielik diferentsiaal
Lahendus. Valemi (7) kasutamise tulemus:
Funktsiooni, millel on mingi domeeni igas punktis täielik diferentsiaal, nimetatakse selles domeenis diferentseeritavaks.
Leidke ise kogu diferentsiaal ja seejärel vaadake lahendust
Nii nagu ühe muutuja funktsiooni puhul, eeldab funktsiooni diferentseeruvus teatud piirkonnas selle järjepidevust selles piirkonnas, kuid mitte vastupidi.
Sõnastagem ilma tõestuseta funktsiooni diferentseeritavuse piisav tingimus.
Teoreem. Kui funktsioon z= f(x, y) on pidevad osatuletised
antud piirkonnas, siis on see selles piirkonnas diferentseeruv ja selle erinevust väljendatakse valemiga (7).
Saab näidata, et nii nagu ühe muutuja funktsiooni puhul on funktsiooni diferentsiaal põhiline lineaarne osa funktsiooni juurdekasvust, nii ka mitme muutuja funktsiooni korral on kogu diferentsiaal. peamine, lineaarne sõltumatute sammude suhtes muutuv osa funktsiooni täielik juurdekasv.
Kahest muutujast koosneva funktsiooni korral on funktsiooni kogukasv kujul
(8)
kus α ja β on ja jaoks lõpmatult väikesed.
Kõrgema järjekorra osatuletised
Osatuletised ja funktsioonid f(x, y) on ise samade muutujate mõned funktsioonid ja neil võivad omakorda olla tuletised erinevate muutujate suhtes, mida nimetatakse kõrgema järgu osalisteks tuletisteks.
Paljude muutujate funktsiooni mõiste
Olgu n-muutujad ja igale x 1, x 2 ... x n teatud hulgast x omistatakse definitsioon. arv Z, siis hulgal x on antud paljude muutujate funktsioon Z \u003d f (x 1, x 2 ... x n).
X - määratletud funktsioonide ala
x 1, x 2 ... x n – sõltumatu muutuja (argumendid)
Z - funktsioon Näide: Z \u003d P x 2 1 * x 2 (silindri maht)
Vaatleme Z \u003d f (x; y) - 2 muutuja x f-iooni (x 1, x 2 asendatakse x, y). Tulemused kantakse analoogia põhjal üle paljude muutujate teistele funktsioonidele. Kahe muutuja funktsiooni määratlemise ala on kogu ruudu (ooh) juhe või selle osa. Mn-2 muutuja th funktsiooni väärtuses - pind 3-mõõtmelises ruumis.
Graafikute koostamise võtted: - Rassm-t lõik üle ruudu pinna || koordinaatide ruudud.
Näide: x \u003d x 0, zn. ruut X || 0yz y \u003d y 0 0xz Funktsiooni tüüp: Z \u003d f (x 0, y); Z=f(x, y 0)
Näiteks: Z=x 2 +y 2 -2y
Z = x 2 + (y-1) 2 -1 x = 0 Z = (y-1) 2 -1 y = 1 Z = x 2 -1 Z = 0 x 2 + (y-1) 2 -1
Parabooliring(keskpunkt(0;1)
Kahe muutuja funktsioonide piirid ja pidevus
Olgu Z = f (x; y) antud, siis A on f-tiooni piir m-des (x 0, y 0), kui suvalise suvaliselt väikese panuse korral. arv E>0 nimisõna-t positiivne arv b>0, et kõigi x,y puhul vastab |x-x 0 |<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A| Z \u003d f (x; y) on pidev t-s (x 0, y 0), kui: - see on defineeritud selles t .; - on piiratud piir x-l, kaldudes x 0-le ja y-le y-le 0; - see piir = väärtus funktsioonid t-s (x 0, y 0), st. lümf (x; y) \u003d f (x 0, y 0) Kui funktsioon on pidev igas. t.mn-va X, siis on see selles piirkonnas pidev Diferentsiaalfunktsioon, selle geoloogiline tähendus. Dif-la kasutamine ligikaudsetes väärtustes. dy=f’(x)∆x – diferentsiaalfunktsioon dy=dx, st. dy=f '(x)dx, kui y=x Geoloogi vaatenurgast on funktsiooni diferentsiaal funktsiooni graafikule joonistatud puutuja ordinaadi juurdekasv punktis, mille abstsiss on x 0 Dif-l kasutatakse ca. funktsiooni väärtused vastavalt valemile: f(x 0 +∆x)~f(x 0)+f'(x 0) ∆x Mida lähemal on ∆x x-le, seda täpsem on tulemus. Esimest ja teist järku osatuletised Esimest järku tuletis (mida nimetatakse privaatseks) O. Olgu x, y sõltumatute muutujate x ja y juurdekasvud mingil hetkel piirkonnast X. Seejärel nimetatakse väärtust, mis võrdub z = f(x + x, y + y) = f(x, y) summaarne juurdekasv punktis x 0, y 0. Kui muutuja x on fikseeritud ja muutujat y suurendatakse y võrra, saame zу = f(x, y, + y) – f(x, y) Muutuja y osatuletis defineeritakse sarnaselt, s.t. Kahest muutujast koosneva funktsiooni osatuletis leitakse samade reeglite järgi nagu ühe muutuja funktsioonide puhul. Erinevus seisneb selles, et funktsiooni eristamisel muutuja x suhtes loetakse y-d const ja y suhtes diferentseerimisel x-i. Eraldatud konstid ühendatakse funktsiooniga liitmise/lahutamise operatsioonidega. Seotud parameetrid on funktsiooniga ühendatud korrutamis-/jagamistehtega. Eraldatud const = 0 tuletis 1.4.Kahe muutuja funktsiooni kogudiferentsiaal ja selle rakendused
Olgu z = f(x,y), siis tz = 2. järku osatuletis 2 muutuja pidevate funktsioonide korral langevad 2. järku ja segatud osatuletised kokku. Osatuletisi kasutamist funktsioonide max ja min osatuletiste määramiseks nimetatakse ekstreemideks. A. Punkte nimetatakse max või min z = f(x,y), kui on mõned lõigud nii, et kõigi selle naabruskonna x ja y jaoks on f(x,y) T. Kui on antud 2 muutuja funktsiooni äärmuspunkt, siis osatuletisi väärtus selles punktis võrdub 0-ga, s.o. , Punkte, kus esimest järku osatuletisi nimetatakse statsionaarseteks või kriitilisteks. Seetõttu kasutatakse kahe muutuja funktsiooni äärmuspunktide leidmiseks piisavaid ekstreemumitingimusi. Olgu funktsioon z = f(x,y) kaks korda diferentseeruv ja statsionaarne punkt, 1) ja maxA<0, minA>0. 1.4.(*)täielik diferentsiaal. Diferentsiaali geomeetriline tähendus. Diferentsiaali rakendamine ligikaudsetes arvutustes
O. Olgu funktsioon y = f(x) defineeritud mõnes naabruses punktides . Funktsiooni f(x) nimetatakse punktis diferentseeruvaks, kui selle kasv selles punktis on Kus A on konstantne väärtus, mis ei sõltu , fikseeritud punktis x, - lõpmatult väike juures . Suhteliselt lineaarset funktsiooni A nimetatakse funktsiooni f(x) diferentsiaaliks punktis ja seda tähistatakse df() või dy-ga. Seega saab avaldise (1) kirjutada kujul Funktsiooni diferentsiaal avaldises (1) on kujul dy = A . Nagu iga lineaarne funktsioon, on see defineeritud mis tahes väärtuse jaoks Diferentsiaali märkimise hõlbustamiseks tähistatakse juurdekasvu dx-ga ja seda nimetatakse sõltumatu muutuja x diferentsiaaliks. Seetõttu kirjutatakse diferentsiaal kujul dy = Adx. Kui funktsioon f(x) on diferentseeruv mingi intervalli igas punktis, siis on selle diferentsiaal kahe muutuja – punkti x ja muutuja dx – funktsioon: T. Selleks, et funktsioon y = g(x) oleks mingil hetkel diferentseeruv , on vajalik ja piisav, et sellel on selles punktis tuletis, samas kui (*) Tõestus. Vaja. Olgu funktsioon f(x) diferentseeruv punktis , st Seetõttu on tuletis f'() olemas ja on võrdne A-ga. Seega dy = f'()dx Adekvaatsus. Olgu tuletis f'(), st. = f'(). Siis on kõver y = f(x) puutujalõik. Funktsiooni väärtuse arvutamiseks punktis x võtke punkt mõnes selle läheduses, nii et f() ja f’()/ pole raske leida.
- nimetatakse täielikuks juurdekasvuks
, kus on esitatud kujul (1)
().
samas kui funktsiooni juurdekasvu tuleb arvestada ainult nende puhul, mille puhul + kuulub funktsiooni f(x) valdkonda.. Siis
