Lihtsamalt öeldes on need spetsiaalse retsepti järgi vees keedetud köögiviljad. Arvestan kahte algkomponenti (juurviljasalat ja vesi) ning lõpptulemuseks - borši. Geomeetriliselt võib seda kujutada ristkülikuna, mille üks pool tähistab salatit, teine külg tähistab vett. Nende kahe külje summa tähistab borši. Sellise "borši" ristküliku diagonaal ja pindala on puhtalt matemaatilised mõisted ja neid ei kasutata kunagi borši retseptides.
Kuidas saab salat ja vesi matemaatika mõttes boršiks? Kuidas saab kahe lõigu summa muutuda trigonomeetriaks? Selle mõistmiseks vajame lineaarnurga funktsioone.
Matemaatikaõpikutest ei leia lineaarsete nurkfunktsioonide kohta midagi. Kuid ilma nendeta ei saa olla matemaatikat. Matemaatikaseadused, nagu ka loodusseadused, töötavad olenemata sellest, kas me teame nende olemasolu või mitte.
Lineaarsed nurkfunktsioonid on liitmise seadused. Vaadake, kuidas algebra muutub geomeetriaks ja geomeetria trigonomeetriaks.
Kas on võimalik teha ilma lineaarsete nurkfunktsioonideta? Saab küll, sest matemaatikud saavad ikka ilma nendeta hakkama. Matemaatikute nipp seisneb selles, et nad räägivad meile alati ainult nendest probleemidest, mida nad ise suudavad lahendada, ega räägi kunagi nendest probleemidest, mida nad lahendada ei suuda. Vaata. Kui teame liitmise ja ühe liikme tulemust, kasutame teise liikme leidmiseks lahutamist. Kõik. Muid probleeme me ei tea ega oska neid lahendada. Mida teha, kui teame ainult liitmise tulemust ja ei tea mõlemat terminit? Sel juhul tuleb liitmise tulemus lineaarsete nurkfunktsioonide abil jagada kaheks liikmeks. Edasi valime ise, milline võib olla üks liige ja lineaarsed nurkfunktsioonid näitavad, milline peaks olema teine liige, et liitmise tulemus oleks täpselt see, mida vajame. Selliseid terminipaare võib olla lõpmatult palju. IN Igapäevane elu me saame väga hästi ilma summat lagundamata, meile piisab lahutamisest. Aga kl teaduslikud uuringud loodusseaduste järgi võib summa jaotamine terminiteks olla väga kasulik.
Veel üks liitmise seadus, millest matemaatikutele ei meeldi rääkida (järjekordne nende trikk), nõuab, et terminitel oleks sama mõõtühik. Salati, vee ja borši puhul võivad need olla kaalu-, mahu-, maksumus- või mõõtühikud.
Joonisel on kujutatud matemaatika kaks erinevuse taset. Esimene tase on numbrite välja erinevused, mis on näidatud a, b, c. Seda teevad matemaatikud. Teine tase on mõõtühikute pindala erinevused, mis on näidatud nurksulgudes ja on tähistatud tähega U. Seda teevad füüsikud. Me saame aru kolmandast tasandist – kirjeldatud objektide ulatuse erinevustest. Erinevatel objektidel võib olla sama arv samu mõõtühikuid. Kui oluline see on, näeme borši trigonomeetria näitel. Kui lisada samale tähistusele erinevate objektide mõõtühikute jaoks alamindeksid, saame täpselt öelda, milline matemaatiline suurus konkreetset objekti kirjeldab ja kuidas see ajas või meie tegevusega seoses muutub. kiri W Märgistan vee kirjaga S Salati märgin kirjaga ära B- Borš. Borši lineaarse nurga funktsioonid näeksid välja järgmised.
Kui võtame osa veest ja osa salatist, saab neist kokku üks portsjon borši. Siinkohal soovitan teil boršist veidi pausi teha ja meenutada oma kauget lapsepõlve. Mäletate, kuidas meid õpetati jänkusid ja parte kokku panema? Tuli välja selgitada, kui palju loomi välja tuleb. Mida meid siis tegema õpetati? Meile õpetati ühikuid arvudest eraldama ja numbreid liitma. Jah, mis tahes numbrit saab lisada mis tahes teisele numbrile. See on otsene tee kaasaegse matemaatika autismi juurde – me ei saa aru, millest, pole selge, miks ja me mõistame väga halvasti, kuidas see reaalsusega seostub, sest kolme erinevuse taseme tõttu tegutsevad matemaatikud ainult ühel. Õigem on õppida, kuidas ühest mõõtühikust teise liikuda.
Ja jänkusid, parte ja väikseid loomi võib tükkideks lugeda. Üks ühine mõõtühik erinevate objektide jaoks võimaldab meil need kokku liita. See on probleemi lastele mõeldud versioon. Vaatame sarnast probleemi täiskasvanutele. Mida saate, kui lisate jänesed ja raha? Siin on kaks võimalikku lahendust.
Esimene variant. Määrame jänkude turuväärtuse ja lisame selle olemasolevale sularahale. Saime oma rikkuse koguväärtuse rahas.
Teine variant. Meil olevate rahatähtede arvule saate lisada jänkude arvu. Koguse saame kätte vallasvara tükkidena.
Nagu näete, võimaldab sama liitmisseadus saada erinevaid tulemusi. Kõik sõltub sellest, mida me täpselt teada tahame.
Aga tagasi meie borši juurde. Nüüd näeme, mis juhtub lineaarse nurga funktsioonide nurga erinevate väärtustega.
Nurk on null. Meil on salat, aga vett pole. Me ei saa borši keeta. Borši kogus on samuti null. See ei tähenda sugugi, et nullborš võrdub null veega. Nullborš võib olla ka nulli salatiga (täisnurga all).
Minu jaoks isiklikult on see peamine matemaatiline tõend selle kohta, et . Null lisamisel numbrit ei muuda. Seda seetõttu, et liitmine iseenesest on võimatu, kui on ainult üks liige ja teine liige puudub. Võite sellega suhestuda nii nagu soovite, kuid pidage meeles - kõik nulliga matemaatilised tehted on matemaatikute endi väljamõeldud, nii et loobuge oma loogikast ja topige rumalalt matemaatikute leiutatud määratlusi: "nulliga jagamine on võimatu", "mis tahes arv korrutatakse nulliga". võrdub nulliga" , "nullpunkti taga" ja muu jama. Piisab, kui meenutada üks kord, et null ei ole arv ja sul ei teki kunagi küsimust, kas null on naturaalarv või mitte, sest selline küsimus kaotab üldjuhul igasuguse tähenduse: kuidas saab pidada arvuks seda, mis ei ole arv . See on nagu küsimine, millisele värvile nähtamatut värvi omistada. Nulli lisamine numbrile on nagu maalimine värviga, mida pole olemas. Nad lehvitasid kuiva pintsliga ja ütlevad kõigile, et "me oleme maalinud". Aga ma kaldun veidi kõrvale.
Nurk on suurem kui null, kuid väiksem kui nelikümmend viis kraadi. Meil on palju salatit, aga vähe vett. Selle tulemusena saame paksu borši.
Nurk on nelikümmend viis kraadi. Vett ja salatit on meil võrdses koguses. See on ideaalne borš (andku kokad mulle andeks, see on lihtsalt matemaatika).
Nurk on suurem kui nelikümmend viis kraadi, kuid väiksem kui üheksakümmend kraadi. Meil on palju vett ja vähe salatit. Võtke vedel borš.
Täisnurk. Meil on vett. Salatist on jäänud vaid mälestused, kuna jätkame nurga mõõtmist joonelt, mis kunagi salatit tähistas. Me ei saa borši keeta. Borši kogus on null. Sellisel juhul hoidke kinni ja jooge vett, kuni see on saadaval)))
Siin. Midagi sellist. Ma võin siin rääkida muid lugusid, mis on siinkohal enam kui sobivad.
Kahel sõbral olid ühises äris osalused. Pärast ühe neist mõrva läks kõik teisele.
Matemaatika tekkimine meie planeedil.
Kõik need lood räägitakse matemaatika keeles lineaarsete nurkfunktsioonide abil. Mõni teine kord näitan teile nende funktsioonide tegelikku kohta matemaatika struktuuris. Vahepeal pöördume tagasi borši trigonomeetria juurde ja kaalume projektsioone.
Laupäeval, 26. oktoobril 2019
Kolmapäeval, 7. augustil 2019
Vestlust teemal lõpetuseks peame arvestama lõpmatu hulgaga. Arvestades, et "lõpmatuse" kontseptsioon mõjub matemaatikutele nagu boa ahendaja küülikule. Lõpmatuse värisev õudus jätab matemaatikud ilma terve mõistus. Siin on näide:
Algallikas asub. Alfa tähistab reaalarvu. Võrdsusmärk ülaltoodud avaldistes näitab, et kui liita lõpmatusele arv või lõpmatus, ei muutu midagi, tulemuseks on sama lõpmatus. Kui võtame näiteks lõpmatu hulga naturaalarvud, võib vaadeldavad näited esitada järgmisel kujul:
Oma väite visuaalseks tõestamiseks on matemaatikud välja pakkunud palju erinevaid meetodeid. Mina isiklikult vaatan kõiki neid meetodeid kui šamaanide tantse parmupillidega. Sisuliselt taanduvad need kõik sellele, et kas osades tubades ei asutata ja neisse seatakse sisse uued külalised või visatakse osa külastajatest välja koridori, et külalistele ruumi teha (väga inimlikult). Ma väljendasin oma seisukohta selliste otsuste kohta vormis fantaasialugu blondiini kohta. Millel minu arutluskäik põhineb? Lõpmatu arvu külastajate teisaldamine võtab lõpmatult palju aega. Pärast seda, kui oleme esimese külalistetoa vabastanud, kõnnib üks külastajatest aegade lõpuni alati mööda koridori oma toast järgmisse. Muidugi võib ajafaktorit rumalalt ignoreerida, aga see tuleb juba kategooriast "seadus pole lollidele kirjutatud". Kõik sõltub sellest, mida me teeme: kohandame reaalsust matemaatiliste teooriatega või vastupidi.
Mis on "lõpmatu hotell"? Infinity võõrastemaja on võõrastemaja, kus on alati suvaline arv vabu kohti, olenemata sellest, kui palju tube on hõivatud. Kui lõputus koridoris "külastajate jaoks" on kõik ruumid hõivatud, on veel üks lõputu esik, kus on ruumid "külalistele". Selliseid koridore tuleb lõputult palju. Samal ajal on "lõpmatul hotellil" lõpmatu arv korruseid lõpmatul arvul hoonetel lõpmatul arvul planeetidel lõpmatul arvul universumitel, mille on loonud lõpmatu arv jumalaid. Matemaatikud seevastu ei suuda banaalsest eemalduda kodused probleemid: Jumal-Allah-Buddha - alati on ainult üks, hotell - see on üks, koridor - ainult üks. Nii püüavad matemaatikud žongleerida hotellitubade seerianumbritega, veendes meid, et on võimalik "tõukamata lükata".
Näitan teile oma mõttekäigu loogikat lõpmatu naturaalarvude hulga näitel. Kõigepealt peate vastama väga lihtsale küsimusele: mitu naturaalarvude komplekti on olemas - üks või mitu? Sellele küsimusele pole õiget vastust, kuna me ise leiutasime numbrid, siis looduses numbreid pole. Jah, loodus teab, kuidas arvutada suurepäraselt, kuid selleks kasutab ta muid matemaatilisi tööriistu, mis pole meile tuttavad. Nagu Loodus arvab, räägin teile teine kord. Kuna me arvud leiutasime, otsustame ise, mitu naturaalarvude komplekti eksisteerib. Kaaluge mõlemat võimalust, nagu tõelisele teadlasele kohane.
Variant üks. "Andke meile" üks naturaalarvude komplekt, mis lebab rahulikult riiulil. Võtame selle komplekti riiulilt. See selleks, muid naturaalarve pole riiulile jäänud ja neid pole kuskilt võtta. Me ei saa seda komplekti lisada, kuna see on meil juba olemas. Mis siis, kui sa tõesti tahad? Pole probleemi. Võime võtta ühiku juba võetud komplektist ja tagastada riiulile. Pärast seda saame riiulilt ühiku võtta ja lisada sellele, mis meil üle jääb. Selle tulemusena saame jälle lõpmatu hulga naturaalarvusid. Kõik meie manipulatsioonid saate kirjutada järgmiselt:
Tehted olen kirjutanud algebralises tähistuses ja hulgateoorias, loetledes detailselt hulga elemendid. Alamindeks näitab, et meil on üks ja ainus naturaalarvude komplekt. Selgub, et naturaalarvude hulk jääb muutumatuks vaid siis, kui sellest üks lahutada ja sama ühik juurde liita.
Variant kaks. Meil on riiulil palju erinevaid lõpmatuid naturaalarvude komplekte. Rõhutan – ERINEVAD, hoolimata sellest, et neid praktiliselt ei erista. Võtame ühe neist komplektidest. Seejärel võtame ühe teisest naturaalarvude hulgast ja lisame selle juba võetud hulgale. Saame isegi lisada kaks naturaalarvude komplekti. Siin on see, mida me saame:
Alamindeksid "üks" ja "kaks" näitavad, et need elemendid kuulusid erinevatesse kogumitesse. Jah, kui lisate ühe lõpmatusse hulka, on tulemuseks samuti lõpmatu hulk, kuid see ei ole sama, mis algne hulk. Kui lisada üks lõpmatu hulk teisele lõpmatule hulgale, on tulemuseks uus lõpmatu hulk, mis koosneb kahe esimese hulga elementidest.
Naturaalarvude komplekti kasutatakse loendamisel samamoodi nagu mõõtmisjoonlauda. Kujutage nüüd ette, et olete joonlauale lisanud ühe sentimeetri. See on juba erinev rida, mis ei võrdu originaaliga.
Võite minu arutluskäiguga nõustuda või mitte nõustuda – see on teie enda asi. Kui aga satuvad kunagi matemaatiliste probleemide ette, mõelge, kas olete matemaatikute põlvkondade poolt tallatud valede arutluste teel. Matemaatikatunnid kujundavad ju meis ennekõike stabiilse mõtlemise stereotüübi ja alles siis lisavad meile vaimseid võimeid (või vastupidi, jätavad ilma vaba mõtlemise).
pozg.ru
Pühapäeval, 4. augustil 2019
Kirjutasin järelsõna artiklile ja nägin Vikipeedias seda imelist teksti:
Loeme: „... rikas teoreetiline alus Babüloni matemaatika ei omanud terviklikku iseloomu ja taandus erinevateks tehnikateks, millel puudus ühine süsteem ja tõendusbaas.
Vau! Kui targad me oleme ja kui hästi oskame näha teiste puudujääke. Kas meie jaoks on nõrk vaadata kaasaegset matemaatikat samas kontekstis? Ülaltoodud teksti pisut parafraseerides sain isiklikult järgmise:
Kaasaegse matemaatika rikkalikul teoreetilisel baasil ei ole terviklikku iseloomu ja see on taandatud erinevateks osadeks, millel puudub ühine süsteem ja tõendusbaas.
Ma ei lähe oma sõnade kinnituseks kaugele – sellel on keel ja kokkulepped, mis erinevad paljude teiste matemaatikaharude keelest ja tavadest. Samadel nimedel võib erinevates matemaatikaharudes olla erinev tähendus. Tahan pühendada terve tsükli publikatsioone kaasaegse matemaatika kõige ilmsematele vigadele. Varsti näeme.
Laupäeval, 3. augustil 2019
Kuidas jagada hulk alamhulkadeks? Selleks tuleb sisestada uus mõõtühik, mis on mõnes valitud komplekti elemendis olemas. Kaaluge näidet.
Olgu meil palju AGA koosneb neljast inimesest. See komplekt on moodustatud "inimeste" alusel. Märgime selle komplekti elemendid tähe kaudu aga, näitab numbriga alaindeks iga selles komplektis oleva isiku järjekorranumbrit. Võtame kasutusele uue mõõtühiku "seksuaalomadus" ja tähistame seda tähega b. Kuna seksuaalsed omadused on omased kõigile inimestele, korrutame komplekti iga elemendi AGA soo kohta b. Pange tähele, et meie komplektist "inimesed" on nüüd saanud "sooga inimeste" komplekt. Pärast seda saame seksuaalomadused jagada meesteks bm ja naiste omad bw soolised omadused. Nüüd saame rakendada matemaatilist filtrit: valime ühe neist seksuaalomadustest, pole vahet, kumb on mees või naine. Kui see on inimesel olemas, siis korrutame selle ühega, kui sellist märki pole, korrutame nulliga. Ja siis rakendame tavalist koolimatemaatikat. Vaata, mis juhtus.
Pärast korrutamist, vähendamist ja ümberkorraldamist saime kaks alamhulka: meessoost alamhulk bm ja naiste alamhulk bw. Umbes samamoodi arutlevad matemaatikud, kui nad rakendavad hulgateooriat praktikas. Kuid nad ei lase meid üksikasjadesse, vaid annavad meile lõpptulemuse – "palju inimesi koosneb meeste alamhulgast ja naiste alamhulgast." Loomulikult võib teil tekkida küsimus, kui õigesti rakendati matemaatikat ülaltoodud teisendustes? Julgen kinnitada, et tegelikult on teisendused tehtud õigesti, piisab aritmeetika, Boole'i algebra ja teiste matemaatika osade matemaatilise põhjenduse teadmisest. Mis see on? Mõni teine kord räägin teile sellest.
Mis puutub superhulkadesse, siis on võimalik ühendada kaks komplekti üheks superkomplektiks, valides mõõtühiku, mis esineb nende kahe hulga elementides.
Nagu näete, muudavad mõõtühikud ja tavaline matemaatika hulgateooria minevikku. Märk sellest, et hulgateooriaga pole kõik korras, on see, et matemaatikud on välja mõelnud oma keele ja tähistuse hulgateooria jaoks. Matemaatikud tegid seda, mida kunagi tegid šamaanid. Ainult šamaanid teavad, kuidas oma "teadmisi" "õigesti" rakendada. Seda "teadmist" nad meile õpetavad.
Lõpuks tahan teile näidata, kuidas matemaatikud manipuleerivad .
Esmaspäeval, 7. jaanuaril 2019
Viiendal sajandil eKr sõnastas Vana-Kreeka filosoof Zenon Eleast oma kuulsad apooriad, millest tuntuim on apooria "Achilleus ja kilpkonn". See kõlab järgmiselt:
Oletame, et Achilleus jookseb kümme korda kiiremini kui kilpkonn ja on sellest tuhat sammu maas. Aja jooksul, mil Achilleus selle distantsi läbib, roomab kilpkonn sada sammu samas suunas. Kui Achilleus on sada sammu jooksnud, roomab kilpkonn veel kümme sammu jne. Protsess jätkub lõputult, Achilleus ei jõua kunagi kilpkonnale järele.
See arutluskäik sai loogiliseks šokiks kõigile järgnevatele põlvkondadele. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Kõik nad pidasid ühel või teisel viisil Zenoni apooriaks. Šokk oli nii tugev, et " ... arutelud jätkuvad ka praegu, teadusringkonnad pole paradokside olemuse osas veel ühisele arvamusele jõudnud ... matemaatiline analüüs, hulgateooria, uued füüsikalised ja filosoofilised lähenemised; ükski neist ei saanud probleemile üldtunnustatud lahendust ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Kõik saavad aru, et neid lollitatakse, aga keegi ei saa aru, milles see pettus seisneb.
Matemaatika seisukohalt näitas Zenon oma apoorias selgelt üleminekut väärtuselt väärtusele. See üleminek eeldab konstantide asemel rakendamist. Minu arusaamist mööda pole muutuvate mõõtühikute rakendamise matemaatilist aparaati kas veel välja töötatud või pole seda Zenoni apooriale rakendatud. Meie tavapärase loogika rakendamine viib meid lõksu. Me rakendame mõtlemise inertsist vastastikusele konstantsed ajaühikud. Füüsilisest vaatenurgast näeb see välja nagu aja aeglustumine, kuni see peatub täielikult hetkel, mil Achilleus jõuab kilpkonnale järele. Kui aeg peatub, ei saa Achilleus enam kilpkonnast mööduda.
Kui pöörame harjunud loogikat, loksub kõik paika. Achilleus jookseb ühtlase kiirusega. Selle tee iga järgmine lõik on kümme korda lühem kui eelmine. Sellest tulenevalt on selle ületamiseks kulunud aeg kümme korda väiksem kui eelmisel. Kui rakendame selles olukorras mõistet "lõpmatus", siis oleks õige öelda "Achilleus ületab lõpmatult kiiresti kilpkonna".
Kuidas seda loogilist lõksu vältida? Jääge konstantsetesse ajaühikutesse ja ärge lülituge vastastikustele väärtustele. Zenoni keeles näeb see välja järgmine:
Aja jooksul, mis kulub Achilleuse tuhande sammu jooksmiseks, roomab kilpkonn sada sammu samas suunas. Järgmise ajaintervalli jooksul, mis on võrdne esimesega, jookseb Achilleus veel tuhat sammu ja kilpkonn roomab sada sammu. Nüüd on Achilleus kilpkonnast kaheksasada sammu ees.
See lähenemine kirjeldab adekvaatselt tegelikkust ilma loogiliste paradoksideta. Kuid see pole probleemi täielik lahendus. Einsteini väide valguse kiiruse ületamatusest on väga sarnane Zenoni apooriaga "Achilleus ja kilpkonn". Seda probleemi tuleb veel uurida, ümber mõelda ja lahendada. Ja lahendust tuleb otsida mitte lõputult suured numbrid, vaid mõõtühikutes.
Veel üks Zenoni huvitav apooria räägib lendavast noolest:
Lendav nool on liikumatu, kuna igal ajahetkel on ta puhkeolekus ja kuna ta on igal ajahetkel puhkab, siis on ta alati puhkeolekus.
Selles apoorias ületatakse loogiline paradoks väga lihtsalt - piisab, kui selgitada, et igal ajahetkel on lendav nool paigal erinevates ruumipunktides, mis tegelikult on liikumine. Siin tuleb märkida veel üks punkt. Ühe maanteel oleva auto foto järgi on võimatu kindlaks teha ei selle liikumise fakti ega kaugust selleni. Auto liikumise fakti kindlakstegemiseks on vaja kahte ühest ja samast punktist erinevatel ajahetkedel tehtud fotot, kuid nende abil ei saa määrata kaugust. Auto kauguse määramiseks vajate korraga kahte erinevatest ruumipunktidest tehtud fotot, kuid nende järgi liikumise fakti kindlaks teha ei saa (loomulikult vajate arvutusteks siiski lisaandmeid, abiks on trigonomeetria). Eriti tahan rõhutada, et kaks ajapunkti ja kaks punkti ruumis on kaks erinevat asja, mida ei tohiks segi ajada, kuna need pakuvad erinevaid uurimisvõimalusi.
Toon protsessi näitega. Valime "punane tahke vistrikus" - see on meie "tervik". Samas näeme, et need asjad on vibuga ja on ilma vibuta. Pärast seda valime osa "tervikust" ja moodustame komplekti "kaabuga". Nii toidavad šamaanid end, sidudes oma hulgateooria tegelikkusega.
Nüüd teeme väikese triki. Võtame "tahke vibuga vistrikuga" ja ühendame need "tervikud" värvi järgi, valides punased elemendid. Saime palju "punast". Nüüd keeruline küsimus: kas saadud komplektid "kaabuga" ja "punane" on sama komplekt või kaks erinevat komplekti? Ainult šamaanid teavad vastust. Täpsemalt ei tea nad ise midagi, aga nagu öeldakse, nii on.
See lihtne näide näitab, et hulgateooria on tegelikkuses täiesti kasutu. Mis on saladus? Moodustasime komplekti "kaabuga punane tahke vistrik". Moodustamine toimus nelja erineva mõõtühiku järgi: värvus (punane), tugevus (solid), karedus (konarus), kaunistused (kaabuga). Ainult mõõtühikute kogum võimaldab matemaatika keeles adekvaatselt kirjeldada reaalseid objekte. See näeb välja järgmiselt.
Erinevate indeksitega täht "a" tähistab erinevaid mõõtühikuid. Sulgudes on esile tõstetud mõõtühikud, mille järgi "tervik" jaotatakse esialgses etapis. Mõõtühik, mille järgi komplekt moodustatakse, võetakse sulgudest välja. Viimane rida näitab lõpptulemust – komplekti elementi. Nagu näete, kui me kasutame hulga moodustamiseks mõõtühikuid, siis tulemus ei sõltu meie tegevuste järjekorrast. Ja see on matemaatika, mitte šamaanide tantsud tamburiinidega. Šamaanid võivad "intuitiivselt" jõuda samale tulemusele, vaieldes seda "ilmselgusega", sest nende "teaduslikku" arsenali ei sisalda mõõtühikud.
Mõõtühikute abil on väga lihtne jagada üks või mitu komplekti üheks superkomplektiks kombineerida. Vaatame lähemalt selle protsessi algebrat.
TRIGONOMEETRILISTE FUNKTSIOONIDE VÄÄRTUSTE TABEL
Väärtuste tabel trigonomeetrilised funktsioonid koostatud nurkade 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 ja 360 kraadi ja nende vastavate nurkade jaoks radiaanides. Trigonomeetrilistest funktsioonidest on tabelis ära toodud siinus, koosinus, puutuja, kootangens, sekant ja kosekants. Koolinäidete lahendamise mugavuse huvides on tabelis trigonomeetriliste funktsioonide väärtused kirjutatud murdosa kujul, säilitades numbritest ruutjuure eraldamise märgid, mis aitab sageli vähendada keerulisi matemaatilisi avaldisi. Puutuja ja kotangensi puhul ei saa mõne nurga väärtusi määrata. Selliste nurkade puutuja ja kotangensi väärtuste jaoks on trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste tabelis kriips. Üldtunnustatud seisukoht on, et selliste nurkade puutuja ja kotangens on võrdne lõpmatusega. Eraldi lehel on trigonomeetriliste funktsioonide vähendamise valemid.
Trigonomeetrilise funktsiooni siinuse väärtuste tabel näitab väärtusi järgmiste nurkade jaoks: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 kraadi mõõtes , mis vastab sin 0 pi, sin pi / 6 , sin pi / 4, sin pi / 3, sin pi / 2, sin pi, sin 3 pi / 2, sin 2 pi nurkade radiaanis. Kooli siinuste tabel.
Trigonomeetrilise koosinusfunktsiooni jaoks on tabelis näidatud järgmiste nurkade väärtused: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 kraadi mõõtes, mis vastab cos 0 pi, cos pi kuni 6, cos pi 4, cos pi 3, cos pi 2, cos pi, cos 3 pi 2, cos 2 pi nurkade radiaanis. Kooli koosinuste tabel.
Trigonomeetrilise funktsiooni puutuja trigonomeetriline tabel annab väärtused järgmiste nurkade jaoks: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 kraadides, mis vastab tg 0 pi, tg pi / 6, tg pi / 4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi nurkade radiaanis. Järgmised puutuja trigonomeetriliste funktsioonide väärtused ei ole defineeritud tg 90, tg 270, tg pi/2, tg 3 pi/2 ja neid loetakse võrdseks lõpmatusega.
Trigonomeetrilises tabelis oleva trigonomeetrilise funktsiooni kotangensi jaoks on antud järgmiste nurkade väärtused: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 kraadimõõtes, mis vastab ctg pi / 6, ctg pi / 4, ctg pi / 3, tg pi / 2, tg 3 pi/2 nurkade radiaanis. Trigonomeetriliste kotangentsete funktsioonide järgmisi väärtusi ei määratleta ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi ja neid peetakse võrdseks lõpmatusega.
Trigonomeetriliste funktsioonide sekant ja kosekants väärtused on antud samade nurkade jaoks kraadides ja radiaanides nagu siinus, koosinus, puutuja, kotangens.
Mittestandardsete nurkade trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste tabel näitab siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtusi nurkade jaoks kraadides 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 kraadi ja radiaanides pi/12 , pi/10, pi/ 8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 radiaani. Trigonomeetriliste funktsioonide väärtused on väljendatud murdude ja ruutjuurtena, et lihtsustada murdude vähendamist koolinäidetes.
Veel kolm trigonomeetria koletist. Esimene on puutuja 1,5 kraadi ja pool ehk pi jagatud 120-ga. Teine on pi koosinus jagatud 240-ga, pi/240. Pikim on pi koosinus jagatud 17-ga, pi/17.
Siinus- ja koosinusfunktsioonide väärtuste trigonomeetriline ring kujutab visuaalselt siinuse ja koosinuse märke sõltuvalt nurga suurusest. Eriti blondide puhul on koosinusväärtused rohelise kriipsuga alla joonitud, et neid vähem segadusse ajada. Väga selgelt on välja toodud ka kraadide teisendamine radiaanideks, kui radiaane väljendatakse pi kaudu.
See trigonomeetriline tabel tähistab siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtusi nurkade jaoks vahemikus 0 kuni 90 üheksakümmend kraadi ühe kraadiste intervallidega. Esimese neljakümne viie kraadi puhul tuleb vaadata trigonomeetriliste funktsioonide nimetusi tabeli ülaosas. Esimene veerg sisaldab kraadi, siinuste, koosinuste, puutujate ja kotangentide väärtused on kirjutatud järgmisesse nelja veergu.
Nurkade puhul nelikümmend viis kraadi kuni üheksakümmend kraadi on trigonomeetriliste funktsioonide nimed kirjutatud tabeli allossa. Viimases veerus on kraadid, koosinuste, siinuste, kotangentide ja puutujate väärtused on kirjutatud eelmisse nelja veergu. Tasub olla ettevaatlik, sest trigonomeetriliste funktsioonide nimed trigonomeetria tabeli alumises osas erinevad tabeli ülemises osas olevatest nimedest. Siinused ja koosinused on vahetatud, nagu puutuja ja kotangens. See on tingitud trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste sümmeetriast.
Trigonomeetriliste funktsioonide märgid on näidatud ülaltoodud joonisel. Siinusel on positiivsed väärtused 0 kuni 180 kraadi või 0 kuni pi. Siinuse negatiivsed väärtused on 180 kuni 360 kraadi või pi kuni 2 pi. Koosinusväärtused on positiivsed vahemikus 0 kuni 90 ja 270 kuni 360 kraadi või 0 kuni 1/2 pi ja 3/2 kuni 2 pi. Tangensil ja kotangensil on positiivsed väärtused 0 kuni 90 kraadi ja 180 kuni 270 kraadi, mis vastavad väärtustele 0 kuni 1/2 pi ja pi kuni 3/2 pi. Negatiivne puutuja ja kotangens on 90 kuni 180 kraadi ja 270 kuni 360 kraadi või 1/2 pi kuni pi ja 3/2 pi kuni 2 pi. Trigonomeetriliste funktsioonide märkide määramisel nurkade jaoks, mis on suuremad kui 360 kraadi või 2 pi, tuleks kasutada nende funktsioonide perioodilisuse omadusi.
Trigonomeetrilised funktsioonid siinus, puutuja ja kotangens on paaritu funktsioonid. Nende funktsioonide väärtused negatiivsete nurkade jaoks on negatiivsed. Koosinus on ühtlane trigonomeetriline funktsioon – koosinuse väärtus negatiivne nurk saab olema positiivne. Trigonomeetriliste funktsioonide korrutamisel ja jagamisel tuleb järgida märkide reegleid.
Trigonomeetrilise funktsiooni siinuse väärtuste tabel näitab väärtusi järgmiste nurkade jaoks
DokumentEraldi leht sisaldab valamise valemeid trigonomeetrilinefunktsioonid. IN laudväärtusedjaokstrigonomeetrilinefunktsioonidsinusantudväärtusedjaoksjärgmiseksnurgad: patt 0, patt 30, patt 45 ...
Kavandatav matemaatiline aparaat on n-mõõtmeliste hüperkompleksarvude kompleksarvutuse täielik analoog suvalise arvu vabadusastmetega n ja on mõeldud mittelineaarsete arvude matemaatiliseks modelleerimiseks.
Dokument... funktsioonid võrdub funktsioonid Pildid. Sellest teoreemist peaks, mida jaoks leides koordinaadid U, V, piisab arvutamisest funktsiooni... geomeetria; polünaar funktsioonid(kahemõõtmelise mitmemõõtmelised analoogid trigonomeetrilinefunktsioonid), nende omadused, tabelid ja rakendus; ...
-
Trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste tabel
Märge. See trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste tabel kasutab tähistamiseks märki √ ruutjuur. Murru tähistamiseks - sümbol "/".
Vaata ka kasulikud materjalid:
Sest trigonomeetrilise funktsiooni väärtuse määramine, leidke see trigonomeetrilist funktsiooni tähistava joone ristumiskohast. Näiteks siinus 30 kraadi - otsime veergu pealkirjaga sin (siinus) ja leiame tabeli selle veeru ristumiskoha joonega "30 kraadi", nende ristumiskohas loeme tulemust - üks teiseks. Samamoodi leiame koosinus 60 kraadid, siinus 60 kraadid (taaskord sin (siinuse) veeru ja 60 kraadise rea ristumiskohas leiame väärtuse sin 60 = √3/2) jne. Samamoodi leitakse teiste "populaarsete" nurkade siinuste, koosinuste ja puutujate väärtused.
Pi siinus, pi koosinus, pi tangens ja muud nurgad radiaanides
Allolev koosinuste, siinuste ja puutujate tabel sobib ka trigonomeetriliste funktsioonide väärtuse leidmiseks, mille argument on antud radiaanides. Selleks kasutage nurga väärtuste teist veergu. Tänu sellele saate populaarsete nurkade väärtused teisendada kraadidest radiaanidesse. Näiteks leiame esimesel real 60 kraadise nurga ja loeme selle alt selle väärtuse radiaanides. 60 kraadi on võrdne π/3 radiaaniga.
Arv pi väljendab üheselt ringi ümbermõõdu sõltuvust nurga astmest. Seega võrdub pi radiaanid 180 kraadiga.
Iga pi (radiaanis) väljendatud arvu saab kergesti teisendada kraadideks, asendades arvu pi (π) 180-ga.
Näited:
1. siinus pi.
sin π = sin 180 = 0
seega on pi siinus sama mis siinus 180 kraadi ja võrdub nulliga.2. koosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
seega on pi koosinus sama, mis 180 kraadi koosinus ja on võrdne miinus ühega.3. Tangent pi
tg π = tg 180 = 0
seega on pi puutuja sama, mis 180 kraadi puutuja ja on võrdne nulliga.Siinus-, koosinus- ja puutuja väärtuste tabel nurkade jaoks 0 - 360 kraadi (sagedased väärtused)
nurk α
(kraadi)nurk α
radiaanides(pi kaudu)
patt
(siinus)cos
(koosinus)tg
(puutuja)ctg
(kootangens)sek
(sekant)põhjus
(kosekant)0 0 0 1 0 - 1 - 15 π/12 2 - √3 2 + √3 30 π/6 1/2 √3/2 1/√3 √3 2/√3 2 45 π/4 √2/2 √2/2 1 1 √2 √2 60 π/3 √3/2 1/2 √3 1/√3 2 2/√3 75 5π/12 2 + √3 2 - √3 90 π/2 1 0 - 0 - 1 105 7π/12 - - 2 - √3 √3 - 2 120 2π/3 √3/2 -1/2 -√3 -√3/3 135 3π/4 √2/2 -√2/2 -1 -1 -√2 √2 150 5π/6 1/2 -√3/2 -√3/3 -√3 180 π 0 -1 0 - -1 - 210 7π/6 -1/2 -√3/2 √3/3 √3 240 4π/3 -√3/2 -1/2 √3 √3/3 270 3π/2 -1 0 - 0 - -1 360 2π 0 1 0 - 1 - Kui trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste tabelis on funktsiooni väärtuse asemel näidatud kriips (puutuja (tg) 90 kraadi, kotangens (ctg) 180 kraadi), siis antud väärtuse korral on astmemõõt nurk, funktsioonil ei ole kindlat väärtust. Kui kriips puudub, on lahter tühi, seega pole me veel soovitud väärtust sisestanud. Oleme huvitatud sellest, milliste taotlustega kasutajad meie poole pöörduvad ja täiendame tabelit uute väärtustega, hoolimata asjaolust, et enamiku probleemide lahendamiseks piisab praegustest andmetest enamlevinud nurgaväärtuste koosinuste, siinuste ja puutujate väärtuste kohta. probleeme.
Trigonomeetriliste funktsioonide sin, cos, tg väärtuste tabel kõige populaarsemate nurkade jaoks
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 kraadi
(arvulised väärtused "Bradise tabelite järgi")nurga väärtus α (kraadi) nurga α väärtus radiaanides patt (siinus) cos (koosinus) tg (puutuja) ctg (kotangent) 0 0 15 0,2588
0,9659
0,2679
30 0,5000
0,5774
45 0,7071
0,7660
60 0,8660
0,5000
1,7321
7π/18
Põhiliste trigonomeetriliste funktsioonide tabel nurkade 0, 30, 45, 60, 90, ... kraadi jaoks
Funktsioonide $\sin$, $\cos$, $\tan$ ja $\cot$ trigonomeetrilistest definitsioonidest leiate nende väärtused nurkade $0$ ja $90$ kraadi jaoks:
$\sin0°=0$, $\cos0°=1$, $\tan 0°=0$, $\cot 0°$ pole määratletud;
$\sin90°=1$, $\cos90°=0$, $\cot90°=0$, $\tan 90°$ ei ole määratletud.
Geomeetria koolikursusel õppimisel täisnurksed kolmnurgad leida nurkade $0°$, $30°$, $45°$, $60°$ ja $90°$ trigonomeetrilised funktsioonid.
Määratud nurkade trigonomeetriliste funktsioonide leitud väärtused vastavalt kraadides ja radiaanides ($0$, $\frac(\pi)(6)$, $\frac(\pi)(4)$, $\frac(\ pi)(3) $, $\frac(\pi)(2)$) sisestatakse meeldejätmise ja kasutamise hõlbustamiseks tabelisse nimega trigonomeetriline tabel, trigonomeetriliste funktsioonide põhiväärtuste tabel jne.
Reduktsioonivalemite kasutamisel saab trigonomeetrilist tabelit laiendada vastavalt $360°$ ja $2\pi$ radiaani nurgani:
Rakendades trigonomeetriliste funktsioonide perioodilisusomadusi, saab iga nurga, mis erineb juba teadaolevast 360°$ võrra, arvutada ja tabelisse kanda. Näiteks nurga $0°$ trigonomeetrilisel funktsioonil on nurga $0°+360°$ ja nurga $0°+2 \cdot 360°$ ja nurga $0°+3 jaoks sama väärtus. cdot 360°$ jne.
Trigonomeetrilise tabeli abil saate määrata ühikringi kõigi nurkade väärtused.
Kooli geomeetria kursusel tuleb trigonomeetriliste ülesannete lahendamise mugavuse huvides meelde jätta trigonomeetrilisse tabelisse kogutud trigonomeetriliste funktsioonide põhiväärtused.
Tabeli kasutamine
Tabelist piisab, kui leida vajalik trigonomeetriline funktsioon ja nurga või radiaani väärtus, mille jaoks seda funktsiooni on vaja arvutada. Funktsiooni rea ja väärtusega veeru ristumiskohas saame antud argumendi trigonomeetrilise funktsiooni soovitud väärtuse.
Joonisel näete, kuidas leida väärtus $\cos60°$, mis võrdub $\frac(1)(2)$.
Laiendatud trigonomeetrilist tabelit kasutatakse sarnaselt. Selle kasutamise eeliseks on, nagu juba mainitud, peaaegu iga nurga trigonomeetrilise funktsiooni arvutamine. Näiteks saate hõlpsasti leida väärtuse $\tan 1 380°=\tan (1 380°-360°)=\tan(1 020°-360°)=\tan(660°-360°)=\tan300 °$:
Bradis põhiliste trigonomeetriliste funktsioonide tabelid
Võimalus arvutada absoluutselt mis tahes nurga väärtuse trigonomeetriline funktsioon kraadide täisarvu ja minutite täisarvu jaoks annab võimaluse kasutada Bradise tabeleid. Näiteks leidke väärtus $\cos34°7"$. Tabelid on jagatud kaheks osaks: $\sin$ ja $\cos$ väärtuste tabel ning $\tan$ ja $\ tabel. cot$ väärtused.
Bradise tabelid võimaldavad saada trigonomeetriliste funktsioonide ligikaudse väärtuse kuni 4 kümnendkoha täpsusega.
Bradise tabelite kasutamine
Kasutades siinuste jaoks Bradysi tabeleid, leiame $\sin17°42"$. Selleks leiame siinuste ja koosinuste tabeli vasakpoolses veerus kraadide väärtuse - $17°$ ja ülemisel realt leiame minutite väärtuse - $42"$. Nende ristumiskohas saame soovitud väärtuse:
$\sin17°42"=0,304 $.
$\sin17°44"$ väärtuse leidmiseks tuleb kasutada tabeli paremal küljel olevat parandust. Sel juhul tuleb tabelis olevale väärtusele $42"$ lisada parandus $2"$ eest, mis võrdub 0,0006 $. Saame:
$\sin17°44"=0,304+0,0006=0,3046 $.
$\sin17°47"$ väärtuse leidmiseks kasutame ka tabeli paremal küljel olevat parandust, ainult sel juhul võtame aluseks $\sin17°48"$ väärtuse ja lahutame paranduse $1"$:
$\sin17°47"=0,3057-0,0003=0,3054 $.
Koosinuste arvutamisel teeme sarnaseid toiminguid, kuid vaatleme tabeli paremas veerus kraade ja alumises veerus minuteid. Näiteks $\cos20°=0,9397$.
Puuduvad parandused puutuja väärtuste puhul kuni $90°$ ja väikese nurga kotangensi puhul. Leiame näiteks $\tan 78°37"$, mis tabeli järgi on $4967$.
- Kokkupuutel 0
- Google+ 0
- Okei 0
- Facebook 0
