Juhend
Kõigepealt pange oma lapse korrutamisoskus proovile. Kui laps korrutustabelit kindlalt ei tunne, siis võib tal probleeme tekkida ka jagamisega. Siis võib jaotuse selgitamisel lubada petulehe sisse piiluda, aga tabel tuleb ikkagi selgeks õppida.
Kirjutage dividend ja jagaja läbi eraldava vertikaalse riba. Jagaja alla kirjutate vastuse - jagatise, eraldades selle horisontaaljoonega. Võtke esimene number 372 ja küsige oma lapselt, mitu korda number kuus "sobib" kolmega. See on õige, üldse mitte.
Seejärel võtke juba kaks numbrit - 37. Selguse huvides saate need nurgaga esile tõsta. Korrake küsimust uuesti - mitu korda on number kuus 37-s. Kiireks loendamiseks tuleb see kasuks. Valige vastus koos: 6 * 4 = 24 - pole üldse sarnane; 6*5 = 30 - ligi 37. Aga 37-30 = 7 - kuus "sobivad" jälle ära. Lõpuks sobib 6*6 = 36, 37-36 = 1. Esimene leitud jagatis on 6. Kirjuta see jagaja alla.
Kirjutage 36 numbri 37 alla, tõmmake joon. Selguse huvides võib märki kirjes kasutada. Ülejäänu pane rea alla - 1. Nüüd "langetage" numbri järgmine number, kaks, ühele - selgus 12. Selgitage lapsele, et numbrid "lähevad" alati ükshaaval alla. Küsige uuesti, mitu "kuut" on 12-s. Vastus on 2, seekord ilma jälgi. Kirjutage teine privaatnumber esimese kõrvale. Lõpptulemus on 62.
Kaaluge üksikasjalikult ka jagamise juhtumit. Näiteks 167/6 \u003d 27, ülejäänud osa on 5. Tõenäoliselt pole teie järglane lihtmurdudest veel midagi kuulnud. Aga kui ta küsib küsimusi, mida ülejäänuga peale hakata, saab seda seletada õunte näitel. Kuue inimese vahel jagati 167 õuna. Igaüks sai 27 tükki ja viis õuna jäid jagamata. Samuti saate need jagada, lõigates iga kuueks viiluks ja jagades need võrdselt. Iga inimene sai igast õunast ühe viilu – 1/6. Ja kuna õunu oli viis, siis igaühel viis viilu – 5/6. See tähendab, et tulemuse saab kirjutada järgmiselt: 27 5/6.
Selles artiklis analüüsime täisarvu jagamine jäägiga. Alustame sellest üldpõhimõte täisarvude jagamine jäägiga, sõnastada ja tõestada teoreem täisarvude jagavuse kohta jäägiga, jälgida seoseid dividendi, jagaja, mittetäieliku jagatise ja jäägi vahel. Järgmisena teeme teatavaks reeglid, mille järgi toimub täisarvude jagamine jäägiga, ning kaalume nende reeglite rakendamist näidete lahendamisel. Pärast seda õpime, kuidas kontrollida täisarvude jäägiga jagamise tulemust.
Leheküljel navigeerimine.
Üldidee täisarvude jagamisest jäägiga
Täisarvude jagamist jäägiga käsitletakse naturaalarvude jäägiga jagamise üldistusena. Seda seetõttu, et naturaalarvud on lahutamatu osa täisarvud.
Alustame kirjelduses kasutatavate terminite ja märgetega.
Analoogiliselt naturaalarvude jäägiga jagamisega eeldame, et kahe täisarvu a ja b jäägiga jagamise tulemus (b ei ole võrdne nulliga) on kaks täisarvu c ja d . Kutsutakse numbreid a ja b jagatav ja jagaja vastavalt arv d on ülejäänud osa a jagamisest b-ga ja kutsutakse täisarv c puudulik privaatne(või lihtsalt privaatne kui jääk on null).
Lepime kokku, et jääk on mittenegatiivne täisarv ja selle väärtus ei ületa b, see tähendab (samasuguseid ebavõrdsuse ahelaid kohtasime, kui rääkisime kolme või enama täisarvu võrdlemisest).
Kui arv c on osajagatis ja arv d on jääk täisarvu a jagamisel täisarvuga b, siis kirjutame selle fakti lühidalt võrdusena kujul a:b=c (jääk d) .
Pange tähele, et kui täisarv a jagatakse täisarvuga b, võib jääk olla null. Sel juhul ütleme, et a jagub b-ga jäljetult(või täielikult). Seega on täisarvude jäägita jagamine erijuhtum täisarvude jäägiga jagamisel.
Samuti tasub öelda, et nulli jagamisel mõne täisarvuga on meil alati tegemist jäägita jagamisega, kuna sel juhul võrdub jagatis nulliga (vt osa nulli täisarvuga jagamise teooriast), ja ülejäänud osa on samuti võrdne nulliga.
Oleme otsustanud terminoloogia ja tähistuse üle, nüüd selgitame välja täisarvude jäägiga jagamise tähenduse.
Mõistlik võib olla ka negatiivse täisarvu a jagamine positiivse täisarvuga b. Selleks arvesta võlaks negatiivset täisarvu. Kujutagem ette sellist olukorda. Võla, millest esemed moodustavad, peavad tagasi maksma b inimest, tehes samaväärse panuse. Mittetäieliku jagatise c absoluutväärtus määrab sel juhul iga inimese võla suuruse ja jääk d näitab, kui palju objekte jääb alles pärast võla tasumist. Võtame näite. Oletame, et 2 inimest on võlgu 7 õuna. Kui eeldame, et igaüks neist on võlgu 4 õuna, siis pärast võla tasumist jääb neile 1 õun. See olukord vastab võrdsusele (−7):2=−4 (ülejäänud 1) .
Me ei omista mingit tähendust jagamisele suvalise täisarvu a jäägiga negatiivse täisarvuga, vaid jätame selle eksisteerimise õiguse.
Jäägiga täisarvude jaguvuse teoreem
Kui rääkisime naturaalarvude jäägiga jagamisest, saime teada, et dividend a, jagaja b, mittetäielik jagatis c ja jääk d on seotud võrrandiga a=b c+d. Täisarvudel a , b , c ja d on sama seos. Seda ühendust kinnitab järgmine jagavuse teoreem jäägiga.
Teoreem.
Iga täisarvu a saab esitada ainulaadsel viisil täisarvu ja nullist erineva arvu b kaudu kujul a=b q+r , kus q ja r on mõned täisarvud ja .
Tõestus.
Tõestame esmalt a=b·q+r esitamise võimalust.
Kui täisarvud a ja b on sellised, et a jagub võrdselt b-ga, siis on definitsiooni järgi olemas täisarv q, mille puhul a=b q . Sel juhul kehtib r=0 korral võrdsus a=b q+r.
Nüüd eeldame, et b on positiivne täisarv. Valime täisarvu q nii, et korrutis b·q ei ületaks arvu a ja korrutis b·(q+1) on juba suurem kui a . See tähendab, et me võtame q nii, et võrratused b q Jääb tõestada a=b q+r esitamise võimalus negatiivse b korral. Kuna arvu b moodul on sel juhul positiivne arv, siis on olemas esitus , kus q 1 on mingi täisarv ja r on täisarv, mis vastab tingimustele . Siis, eeldades q=−q 1 , saame negatiivse b jaoks vajaliku esituse a=b q+r. Pöördume ainulaadsuse tõendi poole. Oletame, et lisaks esitusele a=b q+r on q ja r täisarvud ja on veel üks esitus a=b q 1 +r 1 , kus q 1 ja r 1 on mõned täisarvud ning q 1 ≠ q ja . Lahutades esimese võrrandi vasakust ja parempoolsest osast vastavalt teise võrrandi vasak ja parem osa, saame 0=b (q−q 1)+r−r 1 , mis on ekvivalentne võrrandiga r− r 1 =b (q 1 − q) . Siis vormi võrdsus Tingimustest ja võime järeldada, et . Kuna q ja q 1 on täisarvud ja q≠q 1 , siis järeldame, et Võrdsus a=b c+d võimaldab leida tundmatu dividendi a, kui on teada jagaja b, osajagatis c ja jääk d. Kaaluge näidet. Näide. Millega võrdub dividend, kui selle jagamisel täisarvuga −21 saadakse mittetäielik jagatis 5 ja jääk 12? Lahendus. Me peame arvutama dividendi a, kui teame jagajat b=−21 , osajagatist c=5 ja jääki d=12 . Pöördudes võrrandile a=b c+d , saame a=(−21) 5+12 . Jälgides , teostame esmalt täisarvude −21 ja 5 korrutamise vastavalt erinevate märkidega täisarvude korrutamise reeglile, misjärel liidame erinevate märkidega täisarvud: (−21) 5+12=−105+12 =−93 . Vastus: −93
.
Dividendi, jagaja, osajagatise ja jäägi vahelisi seoseid väljendavad ka võrdsused kujul b=(a−d):c , c=(a−d):b ja d=a−b·c . Need võrdsused võimaldavad meil arvutada vastavalt jagaja, osajagatise ja jäägi. Sageli peame leidma täisarvu a täisarvuga b jagamise jäägi, kui on teada dividend, jagaja ja osajagatis, kasutades valemit d=a-b·c . Edasiste küsimuste vältimiseks analüüsime jäägi arvutamise näidet. Näide. Leidke täisarvu −19 jagamisel täisarvuga 3 jääk, kui on teada, et osajagatis on −7. Lahendus. Jaotuse ülejäänud osa arvutamiseks kasutame valemit kujul d=a−b·c . Tingimusest on meil kõik vajalikud andmed a=−19 , b=3 , c=−7 . Saame d=a−bc=−19−3 (−7)= −19−(−21)=−19+21=2 (vahe −19−(−21), mille arvutasime negatiivse lahutamise reegli järgi täisarv). Vastus: Nagu oleme juba korduvalt märkinud, on positiivsed täisarvud naturaalarvud. Seetõttu toimub jagamine positiivsete täisarvude jäägiga kõigi naturaalarvude jäägiga jagamise reeglite kohaselt. On väga oluline, et oleks võimalik hõlpsasti teostada jagamist naturaalarvude jäägiga, kuna see ei ole mitte ainult positiivsete täisarvude jagamise aluseks, vaid ka kõigi jagamisreeglite aluse suvaliste täisarvude jäägiga. Meie seisukohalt on kõige mugavam teostada veeruga jagamist, see meetod võimaldab saada nii mittetäieliku jagatise (või lihtsalt jagatise) kui ka jäägi. Vaatleme näidet jagamisest ülejäänud positiivsete täisarvudega. Näide. Tehke jagamine jäägiga 14671 54-ga. Lahendus. Jagame need positiivsed täisarvud veeruga: Mittetäielikuks jagatiseks osutus 271 ja jääk on 37. Vastus: 14 671:54=271 (ülejäänud 37) . Sõnastame reegli, mis võimaldab jagamist positiivse täisarvu jäägiga negatiivse täisarvuga. Positiivse täisarvu a jagamise osajagatis negatiivse täisarvuga b on vastand a jagamisele b mooduliga ja a jagamise jääk b-ga on jagamise jääk. Sellest reeglist järeldub, et positiivse täisarvu jagamise osajagatis negatiivse täisarvuga on mittepositiivne täisarv. Muudame häälestatud reegli ümber algoritmiks positiivse täisarvu jäägiga jagamiseks negatiivse täisarvuga: Toome näite positiivse täisarvu negatiivse täisarvuga jagamise algoritmi kasutamisest. Näide. Jagage positiivse täisarvu 17 jäägiga negatiivse täisarvuga −5 . Lahendus. Kasutame jagamisalgoritmi positiivse täisarvu jäägiga negatiivse täisarvuga. Jagamine 3 vastandarv on −3. Seega on 17 -5-ga jagamise nõutav osajagatis -3 ja jääk on 2. Vastus: 17 :(−5) = −3 (ülejäänud 2). Näide. Jaga 45 kuni -15 . Lahendus. Dividendi ja jagaja moodulid on vastavalt 45 ja 15. Arv 45 jagub 15-ga ilma jäägita, jagatis on 3. Seetõttu jagub positiivne täisarv 45 negatiivse täisarvuga −15 ilma jäägita, samas kui jagatis on võrdne 3-le vastandarvuga, see tähendab −3. Tõepoolest, erinevate märkidega täisarvude jagamise reegli kohaselt on meil . Vastus: 45:(−15)=−3
.
Sõnastame negatiivse täisarvu jäägiga jagamise reegli positiivse täisarvuga. Negatiivse täisarvu a jagamisel positiivse täisarvuga b mittetäieliku jagatise c saamiseks peate võtma algarvude moodulite jagamisel mittetäieliku jagatise vastandarvu ja lahutama sellest ühe, mille järel arvutatakse jääk d kasutades valemit d=a-bc . Sellest jäägiga jagamise reeglist järeldub, et negatiivse täisarvu positiivse täisarvuga jagamise mittetäielik jagatis on negatiivne täisarv. Häälreeglist lähtub jagamisalgoritm negatiivse täisarvu a ülejäänud osaga positiivse täisarvuga b: Analüüsime näite lahendust, milles kasutame jäägiga kirjutatud jagamisalgoritmi. Näide. Leidke negatiivse täisarvu −17 osaline jagatis ja jääk, mis on jagatud positiivse täisarvuga 5 . Lahendus. Dividendi −17 moodul on 17 ja jagaja 5 moodul on 5. Jagamine 17 korda 5 , saame mittetäieliku jagatise 3 ja jäägi 2 . 3 vastand on –3 . Lahutage üks väärtusest −3: −3−1=−4 . Seega on soovitud mittetäielik jagatis −4. Jääb ülejäänu arvutada. Meie näites a=−17, b=5, c=−4, siis d=a−b c=−17−5 (−4)= −17−(−20)=−17+20=3 . Seega on negatiivse täisarvu −17 osaline jagatis positiivse täisarvuga 5 −4 ja jääk on 3. Vastus: (−17):5=−4 (ülejäänud 3) . Näide. Jagage negatiivne täisarv −1 404 positiivse täisarvuga 26 . Lahendus. Dividendimoodul on 1404, jagaja moodul on 26. Jagage 1404 veerus 26-ga: Kuna dividendi moodul jagati jagaja mooduliga ilma jäägita, jagatakse algsed täisarvud ilma jäägita ja soovitud jagatis võrdub 54-le vastandarvuga, see tähendab −54. Vastus: (−1 404):26=−54
.
Sõnastame jagamisreegli negatiivsete täisarvude jäägiga. Negatiivse täisarvu a jagamisel negatiivse täisarvuga b mittetäieliku jagatise c saamiseks tuleb algarvude moodulite jagamisel arvutada mittetäielik jagatis ja lisada sellele üks, seejärel arvutada jääk d, kasutades valemit d =a-bc . Sellest reeglist järeldub, et negatiivsete täisarvude jagamise mittetäielik jagatis on positiivne täisarv. Kirjutame helireegli ümber negatiivsete täisarvude jagamise algoritmi kujul: Kaaluge näite lahendamisel negatiivsete täisarvude jagamise algoritmi rakendamist. Näide. Leidke negatiivse täisarvu −17 osaline jagatis ja ülejäänud osa negatiivse täisarvuga −5. Lahendus. Kasutame jäägiga sobivat jagamisalgoritmi. Dividendimoodul on 17 , jagaja moodul on 5 . Jaoskond 17 korda 5 annab mittetäieliku jagatise 3 ja ülejäänud 2. Mittetäielikule jagatisele 3 liidame ühe: 3+1=4. Seetõttu on −17 jagamisel −5 soovitud mittetäielik jagatis 4. Jääb ülejäänu arvutada. Selles näites a=−17, b=−5, c=4, siis d=a−b c=−17−(−5) 4= −17−(−20)=−17+20=3 . Seega on negatiivse täisarvu −17 osaline jagatis negatiivse täisarvuga −5 4 ja ülejäänud osa on 3 . Vastus: (−17):(−5)=4 (ülejäänud 3) . Pärast täisarvude jäägiga jagamist on kasulik tulemust kontrollida. Kontrollimine toimub kahes etapis. Esimeses etapis kontrollitakse, kas jääk d on mittenegatiivne arv, samuti kontrollitakse tingimust. Kui kõik esimese kontrollietapi tingimused on täidetud, võite jätkata kontrollimise teise etapiga, vastasel juhul võib väita, et jäägiga jagamisel tehti kuskil viga. Teises etapis kontrollitakse võrrandi a=b·c+d kehtivust. Kui see võrdsus on tõsi, siis jagamine jäägiga viidi läbi õigesti, vastasel juhul tehti kuskil viga. Vaatleme näidete lahendusi, milles kontrollitakse jäägiga täisarvude jagamise tulemust. Näide. Arvu -521 jagamisel -12-ga sai osajagatiseks 44 ja jäägiks 7 , kontrolli tulemust. Lahendus. –2, kui b=–3, c=7, d=1. Meil on b c+d=−3 7+1=−21+1=−20. Seega on võrdus a=b c+d vale (meie näites a=−19 ). Seetõttu viidi jäägiga jagamine läbi valesti. Paljusid numbreid ei saa täielikult jagada, jagamisel on sageli nullist erinev jääk. Selles artiklis analüüsime naturaalarvude jäägiga jagamise viise ja käsitleme üksikasjalikult nende rakendamist näidete abil. Alustame naturaalarvude jagamisest jäägiga veerus, seejärel käsitleme jagamist järjestikuse lahutamise abil. Lõpuks analüüsime mittetäieliku jagatise valimise meetodit. Esitame kõige üldisema juhtumi jaoks jäägiga jagamise algoritmi ja näitame, kuidas kontrollida naturaalarvude jäägiga jagamise tulemust. See on üks mugavamaid jagamisviise. Seda kirjeldatakse üksikasjalikult eraldi artiklis, mis on pühendatud naturaalarvude jagamisele veeruga. Siin me ei esita kogu teooriat uuesti, vaid keskendume jäägiga jagamise juhtumile. Anname näitelahenduse, kuna meetodi olemust on praktikas kõige lihtsam mõista. Näide 1. Kuidas jagada naturaalarve jäägiga? Jagage naturaalarv 273844 naturaalarvuga 97 . Jagame veeruga ja kirjutame: Tulemus: osajagatis on 2823 ja jääk on 13 . Mittetäieliku jagatise ja jäägi leidmiseks võite kasutada jagaja järjestikust lahutamist dividendist. See meetod ei ole alati sobiv, kuid mõnel juhul on seda väga mugav kasutada. Vaatame uuesti näidet. Näide 2. Jagamine jäägiga järjestikuse lahutamise teel. Oletame, et meil on 7 õuna. Peame panema need 7 õuna 3 õunaga kottidesse. Teisisõnu, 7 jagatud 3-ga. Võtame esialgsest õunte arvust 3 tükki ja paneme ühte pakki. Meil jääb alles 7–3 = 4 õuna. Nüüd võtame ülejäänud õuntest jälle 3 tükki ära ja paneme teise kotti. Jääb 4 - 3 = 1 õun. 1 õun on jaotuse ülejäänud osa, kuna selles etapis ei saa me enam kolme õunaga pakki moodustada ja jagamine on tegelikult lõpetatud. Jaotuse tulemus: 7 ÷ 3 = 2 (ülejäänud 1) See tähendab, et arv 3 mahub justkui kaks korda numbriga 7 ja ühik on jääk, mis on väiksem kui 3. Vaatleme veel ühte näidet. Seekord teeme ainult matemaatilisi arvutusi, kasutamata analoogiaid. Näide 3. Jagamine jäägiga järjestikuse lahutamise teel. Arvutame: 145 ÷ 46 . Arv 99 on suurem kui 46, seega jätkame jagaja järjestikust lahutamist: Kordame seda toimingut veel kord: Selle tulemusena pidime lahutama jagaja dividendist 3 korda, enne kui saime jäägi - lahutamise tulemuse, mis on väiksem kui jagaja. Meie puhul on ülejäänud arv 7. 145 ÷ 46 = 3 (ülejäänud 7) . Järjestikuse lahutamise meetod ei sobi, kui dividend on väiksem kui jagaja. Sel juhul saate vastuse kohe üles kirjutada: mittetäielik jagatis on null ja jääk on võrdne kõige jaguvamaga. Kui a< b , то a ÷ b = 0 (остаток a) . Näiteks: 12 ÷ 36 = 0 (ülejäänud 12) 47 ÷ 88 = 0 (ülejäänud 47) Ka järjestikuse lahutamise meetodi puhul tuleb märkida, et see on mugav ainult juhtudel, kui kogu jagamisoperatsioon on taandatud väikesele arvule lahutamistele. Kui dividend on jagajast mitu korda suurem, on selle meetodi kasutamine ebapraktiline ja nõuab palju tülikaid arvutusi. Naturaalarvude jagamisel jäägiga saate tulemuse arvutada, valides mittetäieliku jagatise. Näitame, kuidas saab valikuprotsessi läbi viia ja millel see põhineb. Esiteks määrame kindlaks, milliste arvude hulgast peame otsima mittetäielikku jagatist. Jagamisprotsessi definitsioonist on selge, et mittetäielik jagatis võrdub nulliga või on üks naturaalarvudest 1, 2, 3 jne. Teiseks loome seose jagaja, dividendi, osajagatise ja jäägi vahel. Vaatleme võrrandit d = a - b c . Siin d on jagamise jääk, a on dividend, b on jagaja, c on osajagatis. Kolmandaks, ärgem unustagem, et jääk on alati väiksem kui jagaja. Nüüd vaatame valikuprotsessi. Dividend a ja jagaja b on meile algusest peale teada. Mittetäieliku jagatisena võtame järjestikku arvud seeriatest 0, 1, 2, 3 jne. Rakendades valemit d = a - b c ja arvutades saadud väärtuse jagajaga, lõpetame protsessi, kui jääk d on väiksem kui jagaja b . Selles etapis c jaoks võetud arv on mittetäielik jagatis. Vaatame selle meetodi rakendamist näitega. Näide 4. Jagamine jäägiga valiku teel Jagage 267 21-ga. a = 267 b = 21. Valime mittetäieliku jagatise. Kasutame valemit d = a - b · c ja kordame c üle, andes sellele väärtused 0 , 1 , 2 , 3 jne. Kui c \u003d 0, on meil: d \u003d a - b c \u003d 267 - 21 0 \u003d 267. Arv 267 on suurem kui 21, seega jätkame asendust. Kui c \u003d 1 on meil: d \u003d a - b c \u003d 267 - 21 1 \u003d 246. Sest 246 > 21, korrake protsessi uuesti. C \u003d 2 puhul on meil: d \u003d a - b c \u003d 267 - 21 2 \u003d 267 - 42 \u003d 225; 225 > 21 . C \u003d 3 puhul on meil: d \u003d a - b c \u003d 267 - 21 3 \u003d 267 - 63 \u003d 204; 204 > 21 . Väärtusega c \u003d 12 on meil: d \u003d a - b c \u003d 267 - 21 12 \u003d 267 - 252 \u003d 15; 15< 21 . Kui eespool käsitletud osajagatise ja järjestikuste lahutamise meetodid nõuavad liiga tülikaid arvutusi, kasutatakse jäägiga jagamiseks järgmist meetodit. Vaatleme algoritmi naturaalarvu a jagamiseks arvuga b jäägiga. Tuletage meelde, et kui a< b, неполное частное равно нулю, а остаток равен делимомому a . Мы будем рассматривать случай, когда a >b. Sõnastame kolm küsimust ja vastame neile: Esialgu on teada dividend ja jagaja: a ja b. Tuleb leida mittetäielik jagatis c ja jääk d. Siin on valem, mis määratleb seose dividendi, jagaja, mittetäieliku jagatise ja jäägi vahel. a = b c + d. Just selle suhte võtame naturaalarvude jäägiga jagamise algoritmi aluseks. Dividend a tuleb esitada summana a = b c + d, siis leiame vajalikud väärtused. Jagamisalgoritm, tänu millele esitame a summana a = b c + d, on väga sarnane naturaalarvude jäägita jagamise algoritmiga. Allpool on toodud algoritmi sammud, kasutades näidet arvu 899 jagamisest 47-ga. 1. Kõigepealt vaatame dividendi ja jagajat. Selgitame välja ja jätame meelde, mitu numbrit on dividendikandes olev arv suurem kui jagajas. Meie konkreetne näide Dividendil on kolm numbrit ja jagajal on kaks numbrit. Meenutagem seda numbrit. 2. Paremal pool jagaja kirjesse lisage nullide arv, mis on määratud dividendi ja jagaja märkide arvu vahega. Meie puhul peate lisama ühe nulli. Kui kirjutatud arv on suurem kui jagatav, peate esimeses lõigus meelde jäetud arvust lahutama ühe. Meie näites lisame 47-st paremale nulli. Alates 470< 899 , запомненное в предыдущем пункте число не нужно уменьшать на единицу. Таким образом, число 1 так и остается у нас в памяти. 3. Paremal, numbrile 1, omistame nullide arvu, mis on võrdne eelmises lõigus määratletud arvuga. Meie näites, määrates ühe nulli ühele, saame arvu 10. Selle tegevuse tulemusena saime väljalaske tööüksuse, kellega töötame edasi. 4. Korrutame jagaja järgemööda 1, 2, 3-ga. . jne. töökoha ühikuid, kuni saame arvu, mis on jagatavast suurem või sellega võrdne. Meie näite töönumber on kümned. Pärast jagaja korrutamist tööbiti ühe ühikuga saame 470. 470 < 899 , поэтому умножаем на еще одну единицу рабочего разряда. Получаем: 47 · 20 = 940 ; 940 > 899 . Eelviimasel etapil saadud arv (470 = 47 10) on esimene nõutavatest terminitest. 5. Leia erinevus dividendi ja esimese leitud tähtaja vahel. Kui saadud arv on suurem kui jagaja, jätkame teise liikme leidmist. Kordame samme 1 - 5, kuid siin saadud numbri võtame dividendina. Kui jälle saame jagajast suurema arvu, korrake samme 1–5 uuesti ringis, kuid dividendina uue arvuga. Jätkame seni, kuni siin saadud arv on väiksem kui jagaja. Liigume edasi viimase etapi juurde. Tulevikku vaadates oletame, et viimati saadud arv võrdub jäägiga. Vaatame näidet. 899–470 = 429, 429 > 47. Kordame dividendina võetud numbriga 429 algoritmi samme 1 - 5. 1. Arvu 429 kandes on üks märk rohkem kui numbri 47 kandes. Me mäletame erinevust - number 1. 2. Parempoolsesse dividendi kirjesse lisame ühe nulli. Saame numbri 470. Kuna 470 > 429, lahutage 1 eelmises lõigus meelde jäetud arvust 1 ja saate 1 - 1 = 0. Me mäletame 0. 3. Kuna eelmises lõigus saime numbri 0 ja jätsime selle meelde, ei pea me parempoolsele ühele nulli lisama. Seega on töönumber ühikud 4. Korrutage jagaja 47 järjestikku arvuga 1 , 2 , 3 . . jne. Me ei anna üksikasjalikke arvutusi, kuid pöörame tähelepanu lõpptulemusele: 47 9 = 423< 429 , 47 · 10 = 470 >429 . Seega on teine nõutav liige 47 9 = 423. 5. 429 ja 423 vahe on võrdne arvuga 6 . Alates 6< 47 , это третье, и последнее искомое слагаемое. Перейдем к завершающему этапу алгоритма деления столбиком. 6. Eelnevate sammude eesmärk oli esitada dividendi mitme tähtaja summana. Meie näites saime 899 = 470 + 423 + 6 . Tuletage meelde, et 470 = 47 10, 423 = 47 9. Kirjutame võrrandi ümber: 899 = 47 10 + 47 9 + 6 Rakenda korrutamise jaotusomadus. 899 = 47 10 + 47 9 + 6 = 47 (10 + 9) + 6 899 = 47 19 + 6 . Seega esitasime dividendi eelnevalt antud valemi a \u003d b c + d kujul. Nõutavad tundmatud: mittetäielik jagatis c \u003d 19, jääk d \u003d 6. Loomulikult ei ole praktiliste näidete lahendamisel vaja kõiki toiminguid nii üksikasjalikult kirjeldada. Näitame seda: Näide 5. Naturaalarvude jagamine jäägiga Jagage arvud 42252 ja 68. Kasutame algoritmi. Esimesed viis sammu annavad esimese liikme - arvu 40800 = 68 600 . Kordame algoritmi esimest viit sammu uuesti arvuga 1452 = 42252 - 40800 ja saame teise liikme 1360 = 68 20 Kolmandal korral läbime aglorütmi sammud, kuid uue numbriga 92 = 1452 - 1360. Kolmas liige on võrdne 68 = 68 1 . Ülejäänud osa on 24 = 92–68. Selle tulemusena saame: 42252 = 40800 + 1360 + 68 + 24 = 68 600 + 68 20 + 68 1 + 24 = = 68 (600 + 20 + 1) + 24 = 68 621 + 24 Mittetäielik jagatis on 621, jääk on 24. Naturaalarvude jagamine jäägiga, eriti kui suured numbrid, üsna töömahukas ja tülikas protsess. Igaüks võib arvutustes eksida. Sellepärast aitab jagamise tulemuse kontrollimine mõista, kas tegite kõik õigesti. Naturaalarvude jäägiga jagamise tulemuse kontrollimine toimub kahes etapis. Esimeses etapis kontrollime, kas jääk on suurem kui jagaja. Kui ei, siis on kõik hästi. Vastasel juhul võime järeldada, et midagi läks valesti. Tähtis! Ülejäänud osa on alati väiksem kui jagaja! Teises etapis kontrollitakse võrrandi a = b · c + d kehtivust. Kui võrdsus pärast väärtuste asendamist osutub tõeseks, viidi jagamine läbi vigadeta. Näide 6. Naturaalarvude jäägiga jagamise tulemuse kontrollimine. Kontrollime, kas vastab tõele, et 506 ÷ 28 = 17 (ülejäänud 30) . Võrrelge jääki ja jagajat: 30 > 28 . Seega on jaotus vale. Näide 7. Naturaalarvude jäägiga jagamise tulemuse kontrollimine. Õpilane jagas 121 13-ga ja sai selle tulemusel mittetäieliku jagatise 9 jäägiga 5. Kas ta tegi õigesti? Selle väljaselgitamiseks võrdleme esmalt jääki ja jagajat: 5< 13 . Esimene kontrollpunkt on läbitud, liigume teise juurde. Kirjutame üles valemi a = b c + d. a = 121; b = 13; c = 9 d = 5. Asendage väärtused ja võrrelge tulemusi 13 9 + 5 = 117 + 5 = 122; 121 ≠ 122 See tähendab, et õpilase arvutustesse on kusagilt sisse pugenud viga. Näide 8. Naturaalarvude jäägiga jagamise tulemuse kontrollimine. Õpilane esines laboritööd füüsikas. Hukkamise ajal oli tal vaja 5998 jagada 111-ga. Selle tulemusel sai ta numbri 54 jäägiga 4. Kas kõik on õigesti arvutatud? Kontrollime! Ülejäänud osa 4 on väiksem kui jagaja 111, seega jätkame kontrollimise teise etappi. Kasutame valemit a \u003d b c + d, kus a \u003d 5998; b = 111; c = 54; d = 4. Pärast asendamist on meil: 5998 = 111 54 + 4 = 5994 + 4 = 5998 . Võrdsus on õige, mis tähendab, et jaotus on õige. Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter Last on lihtne veeruga jagama õpetada. On vaja selgitada selle toimingu algoritmi ja koondada käsitletud materjal. Tähtis: selleks, et laps mõistaks arvude jagamist, peab ta põhjalikult tundma korrutustabelit. Kui laps korrutamist hästi ei tea, ei mõista ta jagamist. Koduste lisatundide ajal võib kasutada petulehti, kuid enne teemaga “Jagamine” jätkamist peab laps selgeks saama korrutustabeli. Kuidas siis lapsele seletada veergude jaotus: Jagamine on lastele alati veidi keerulisem kui korrutamine. Aga hoolas lisaklassid kodus aitavad nad lapsel mõista selle toimingu algoritmi ja koolis eakaaslastega sammu pidada. Alusta lihtsast - jagage ühekohalise numbriga: Tähtis: Arvutage oma mõtetes, et jagamine toimuks ilma jäägita, vastasel juhul võib laps segadusse sattuda. Näiteks 256 jagatud 4-ga: Kui laps on ühe numbriga jagamise selgeks saanud, saab edasi liikuda. Kirjalik jagamine kahekohalise numbriga on veidi keerulisem, kuid kui beebi mõistab, kuidas seda toimingut tehakse, pole tal selliseid näiteid keeruline lahendada. Tähtis. Alustage uuesti selgitamist lihtsate sammudega. Laps õpib numbreid õigesti valima ja kompleksnumbreid on tal lihtne jagada. Tehke koos see lihtne toiming: 184:23 - kuidas selgitada: Tähtis: et laps aru saaks, proovige kaheksa asemel võtta 9, laske tal 9 korrutada 23-ga, selgub, et 207 - see on rohkem kui meil jagajas. Number 9 meile ei sobi. Nii saab laps järk-järgult jaotusest aru ja keerulisemaid numbreid on tal lihtne jagada: Kui laps on õppinud kahekohalise arvuga jagama, siis peate liikuma järgmise teema juurde. Kolmekohalise arvuga jagamise algoritm on sama, mis kahekohalise arvuga jagamise algoritm. Näiteks: Tähtis: jagamise õigsuse kontrollimiseks korrutage koos lapsega veerus - 204x716 = 146064. Jaotus on õige. Lapsel on aeg selgitada, et jagamine võib olla mitte ainult terviklik, vaid ka ülejäänud osaga. Jääk on alati väiksem kui jagaja või sellega võrdne. Jäägiga jagamist tuleks selgitada lihtsa näitega: 35:8=4 (ülejäänud 3): Pärast seda peaks laps õppima, et saate jagamist jätkata, lisades numbrile 3 0: Näpunäide: kui laps millestki aru ei saa, ärge vihastage. Laske paar päeva mööduda ja proovige materjali uuesti selgitada. Ka matemaatikatunnid koolis tugevdavad teadmisi. Aeg läheb ja laps lahendab kiiresti ja lihtsalt kõik jagunemisnäited. Arvude jagamise algoritm on järgmine: Selle algoritmi kohaselt jagatakse nii ühekohaliste arvude kui ka mis tahes mitmekohaliste numbritega (kahekohaline, kolmekohaline, neljakohaline jne). Lapsega koos õppides küsi temalt sageli hinnangu tegemiseks näiteid. Ta peab kiiresti vastuse oma mõtetes välja arvutama. Näiteks: Tulemuse konsolideerimiseks võite kasutada järgmisi jagamismänge: Tingimus lapsele: Mitme näite hulgast on õigesti lahendatud ainult üks. Leidke ta minuti pärast.
Kui laps õpib lisaks kodus, koondab ta koolis läbitud materjali. Tänu sellele on tal lihtsam õppida ja ta ei jää eakaaslastest maha. Seetõttu aidake oma lapsi, õppige nendega kodus. ja laps saab hakkama!
Lugege tunni teemat: "Jagage jäägiga." Mida sa sellest teemast juba tead? Kas saate jagada 8 ploomi võrdselt kahele taldrikule (joonis 1)? Riis. 1. Illustratsioon näiteks Igasse taldrikusse võid panna 4 ploomi (joonis 2). Riis. 2. Illustratsioon näiteks Meie sooritatud toimingu saab kirjutada järgmiselt. 8: 2 = 4
Mis te arvate, kas 8 ploomi on võimalik jagada võrdselt 3 taldrikuks (joonis 3)? Riis. 3. Illustratsioon näiteks Käitugu nii. Kõigepealt pane igasse taldrikusse üks ploom, seejärel teine ploom. Meil jääb 2 ploomi, aga 3 taldrikut. Nii et me ei saa seda võrdselt jagada. Panime igasse taldrikusse 2 ploomi ja alles jääb 2 ploomi (joonis 4). Riis. 4. Illustratsioon näiteks Jätkame jälgimist. Lugege numbreid. Leidke antud arvude hulgast need, mis jaguvad 3-ga. 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
Testige ennast. Ülejäänud arvud (11, 13, 14, 16, 17, 19) ei jagu 3-ga või nad ütlevad "jaga ülejäänud osaga." Leiame eraelu väärtuse. Uurime, mitu korda 3 sisaldub arvus 17 (joonis 5). Riis. 5. Illustratsioon näiteks Näeme, et 3 ovaali mahub 5 korda ja 2 ovaali on jäänud. Tehtud toimingu saab kirjutada järgmiselt. 17: 3 = 5 (ülejäänud 2) Seda saab kirjutada ka veergu (joon. 6) Riis. 6. Illustratsioon näiteks Vaadake joonised üle. Selgitage nende jooniste pealkirju (joonis 7). Riis. 7. Illustratsioon näiteks Mõelge esimesele joonisele (joonis 8). Riis. 8. Illustratsioon näiteks Näeme, et 15 ovaali jagati 2-ga. 2 korrati 7 korda, ülejäänud osas - 1 ovaal. Mõelge teisele joonisele (joonis 9). Riis. 9. Illustratsioon näiteks Sellel joonisel jagati 15 ruutu 4-ga. 4 korrati 3 korda, ülejäänud osas - 3 ruutu. Mõelge kolmandale joonisele (joonis 10). Riis. 10. Illustratsioon näiteks Võime öelda, et 15 ovaali jagati 3-ks. 3 korrati 5 korda võrdselt. Sellistel juhtudel öeldakse, et jääk on 0. Teeme jagamise. Jagame seitse ruutu kolmeks. Saame kaks rühma ja üks ruut jääb alles. Paneme lahenduse kirja (joon. 11). Riis. 11. Illustratsioon näiteks Teeme jagamise. Saame teada, mitu korda neli sisaldub arvus 10. Näeme, et arvus 10 sisaldub neli 2 korda ja 2 ruutu jääb alles. Paneme lahenduse kirja (joon. 12). Riis. 12. Illustratsioon näiteks Teeme jagamise. Saame teada, mitu korda kaks sisalduvad arvus 11. Näeme, et arvus 11 sisaldub kaks 5 korda ja jääb 1 ruut. Paneme lahenduse kirja (joon. 13). Riis. 13. Illustratsioon näiteks Teeme järelduse. Jäägiga jagamine tähendab välja selgitada, mitu korda jagaja sisaldub dividendis ja mitu osakut jääb alles. Jäägiga jagamist saab sooritada ka arvureal. Arvjoonele märgime 3 jaotuse lõigud ja näeme, et kolm jaotust osutusid kolmekordseks ja üks jaotus jäi alles (joon. 14). Riis. 14. Illustratsioon näiteks Paneme lahenduse kirja. 10: 3 = 3 (ülejäänud 1) Teeme jagamise. Arvvihule märgime 3 jaotuse lõigud ja näeme, et kolm jaotust osutusid kolmekordseks ja jäid kaks jaotust (joon. 15). Riis. 15. Illustratsioon näiteks Paneme lahenduse kirja. 11: 3 = 3 (ülejäänud 2) Teeme jagamise. Arvkiirele märgime 3 jaotuse lõigud ja näeme, et saime täpselt 4 korda, jääki pole (joon. 16). Riis. 16. Illustratsioon näiteks Paneme lahenduse kirja. 12: 3 = 4
Tänases tunnis tutvusime jäägiga jagamisega, õppisime sooritama nimetatud toimingut pildi ja numbrivihu abil, harjutasime tunni teemal näidete lahendamist. Bibliograafia Kodutöö 1. Kirjuta üles arvud, mis jaguvad 2-ga ilma jäägita. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 2. Tehke joonist kasutades jagamine jäägiga. 3. Soorita arvurida kasutades jäägiga jagamine. 4. Koostage oma kaaslastele tunni teemal ülesanne.
, ja arvu mooduli omaduste tõttu - ja võrdus 
.
. Saadud võrratustest ja sellest järeldub, et vormi võrdsus meie eelduste kohaselt võimatu. Seetõttu pole arvul a ühtegi teist esitust, välja arvatud a=b·q+r .Dividendi, jagaja, osajagatise ja jäägi vahelised seosed
Jagamine positiivsete täisarvude jäägiga, näited
Positiivse täisarvu jäägiga jagamise reegel negatiivse täisarvuga, näited
Negatiivse täisarvu jäägiga jagamine positiivse täisarvuga, näited
Jagamisreegel negatiivsete täisarvude jäägiga, näited
Täisarvude jäägiga jagamise tulemuse kontrollimine
Arvude jagamine jäägiga järjestikuse lahutamise teel
Mittetäieliku jagatisvaliku meetod
Naturaalarvude jäägiga jagamise algoritm
Naturaalarvude jagamine jäägiga. Tulemuse kontrollimine
Kirjalik jagamine kahe numbriga
Video: Aritmeetiline mäng lastele liitmise lahutamise jagamise korrutamine
Video: hariv koomiks matemaatika Korrutamise ja 2-ga jagamise tabelite pähe õppimine
Video: Sissejuhatus jagunemisse | Lõbus MATEMAATIKA lastele
Video: kahekohalise arvu jagamine ühega
Video: pika jaotuse 1. osa
Video: pika jaotuse 2. osa
Video: pika jaotuse 3. osa
Video: pika jaotuse 4. osa
Video: pika jaotuse 5. osa
