Tõesta, et funktsioon on paaris. Funktsiooni põhiomadused: paaris, paaritu, perioodilisus, piiritus

Ühtlane funktsioon.

Isegi Kutsutakse välja funktsioon, mille märk märgi muutmisel ei muutu x.

x võrdsus f(–x) = f(x). Sign x märki ei mõjuta y.

Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaattelje suhtes (joonis 1).

Isegi funktsioonide näited:

y= cos x

y = x 2

y = –x 2

y = x 4

y = x 6

y = x 2 + x

Selgitus:
Võtame funktsiooni y = x 2 või y = –x 2 .
Iga väärtuse eest x funktsioon on positiivne. Sign x märki ei mõjuta y. Graafik on sümmeetriline koordinaatide telje suhtes. See on ühtlane funktsioon.

paaritu funktsioon.

kummaline on funktsioon, mille märk muutub märgi muutmisel x.

Teisisõnu, mis tahes väärtuse eest x võrdsus f(–x) = –f(x).

Paaritu funktsiooni graafik on alguspunkti suhtes sümmeetriline (joonis 2).

Näited paaritu funktsiooni kohta:

y= patt x

y = x 3

y = –x 3

Selgitus:

Võtke funktsioon y = - x 3 .
Kõik väärtused juures sellel on miinusmärk. See on märk x mõjutab märki y. Kui sõltumatu muutuja on positiivne arv, on funktsioon positiivne; kui sõltumatu muutuja on negatiivne arv, siis funktsioon on negatiivne: f(–x) = –f(x).
Funktsiooni graafik on sümmeetriline alguspunkti suhtes. See on veider funktsioon.

Paaritute ja paaritute funktsioonide omadused:

MÄRGE:

Kõik funktsioonid pole paaris või paaritud. On funktsioone, mis ei allu sellisele gradatsioonile. Näiteks juurfunktsioon juures = √X ei kehti paaris- ega paaritute funktsioonide puhul (joonis 3). Selliste funktsioonide omaduste loetlemisel tuleks anda asjakohane kirjeldus: ei paaris ega paaritu.

Perioodilised funktsioonid.

Nagu teate, on perioodilisus teatud protsesside kordumine teatud intervalliga. Neid protsesse kirjeldavaid funktsioone nimetatakse perioodilised funktsioonid. See tähendab, et need on funktsioonid, mille graafikutes on elemente, mis korduvad teatud arvuliste intervallidega.

Funktsioon on üks olulisemaid matemaatilisi mõisteid. Funktsioon – muutuv sõltuvus juures muutujast x, kui iga väärtus X vastab ühele väärtusele juures. muutuv X nimetatakse sõltumatuks muutujaks või argumendiks. muutuv juures nimetatakse sõltuvaks muutujaks. Kõik sõltumatu muutuja väärtused (muutuja x) moodustavad funktsiooni domeeni. Kõik väärtused, mida sõltuv muutuja võtab (muutuja y), moodustavad funktsiooni vahemiku.

Funktsioonigraafik nad kutsuvad koordinaattasandi kõigi punktide hulka, mille abstsissid on võrdsed argumendi väärtustega ja ordinaadid on võrdsed funktsiooni vastavate väärtustega, st. muutujad on kantud piki abstsissi x, ja muutuja väärtused kantakse piki y-telge y. Funktsiooni joonistamiseks peate teadma funktsiooni omadusi. Funktsiooni põhiomadusi käsitletakse allpool!

Funktsioonigraafiku joonistamiseks soovitame kasutada meie programmi - Graphing Functions Online. Kui teil on sellel lehel materjali uurimisel küsimusi, võite neid alati meie foorumis esitada. Samuti aidatakse foorumil lahendada ülesandeid matemaatikas, keemias, geomeetrias, tõenäosusteoorias ja paljudes teistes ainetes!

Funktsioonide põhiomadused.

1) Funktsiooni ulatus ja funktsioonide ulatus.

Funktsiooni ulatus on argumendi kõigi kehtivate väärtuste kogum x(muutuja x), mille jaoks funktsioon y = f(x) määratletud.
Funktsiooni vahemik on kõigi reaalväärtuste hulk y et funktsioon aktsepteerib.

Elementaarmatemaatikas uuritakse funktsioone ainult reaalarvude hulgal.

2) Funktsiooni nullid.

Väärtused X, mille juures y=0, kutsutakse funktsiooni nullid. Need on funktsiooni graafiku ja x-telje lõikepunktide abstsissid.

3) Funktsiooni märgi püsivuse intervallid.

Funktsiooni märgi püsivuse intervallid on sellised väärtuste intervallid x, millel on funktsiooni väärtused y kutsutakse kas ainult positiivseid või ainult negatiivseid funktsiooni märgi püsivuse intervallid.

4) Funktsiooni monotoonsus.

Kasvav funktsioon (mingis intervallis) - funktsioon, milles selle intervalli argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni suuremale väärtusele.

Vähenev funktsioon (mingis intervallis) - funktsioon, milles selle intervalli argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni väiksemale väärtusele.

5) Paaris (paaritud) funktsioonid.

Paarisfunktsioon on funktsioon, mille määratluspiirkond on sümmeetriline lähtekoha suhtes ja mis tahes jaoks X f(-x) = f(x). Paarisfunktsiooni graafik on y-telje suhtes sümmeetriline.

Paaritu funktsioon on funktsioon, mille määratluspiirkond on sümmeetriline lähtekoha suhtes ja mis tahes jaoks X määratlusvaldkonnast võrdsus f(-x) = - f(x). Paaritu funktsiooni graafik on lähtekoha suhtes sümmeetriline.

Ühtlane funktsioon
1) Määratluspiirkond on punkti (0; 0) suhtes sümmeetriline, st kui punkt a kuulub definitsiooni valdkonda, siis punkt -a kuulub ka definitsiooni valdkonda.
2) Iga väärtuse jaoks x f(-x)=f(x)
3) Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline Oy telje suhtes.

paaritu funktsioon sellel on järgmised omadused:
1) Määratluspiirkond on punkti (0; 0) suhtes sümmeetriline.
2) mis tahes väärtuse puhul x, mis kuulub definitsiooni, võrdsuse valdkonda f(-x)=-f(x)
3) Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline lähtepunkti (0; 0) suhtes.

Mitte iga funktsioon pole paaris ega paaritu. Funktsioonid üldine vaade pole paaris ega paaritu.

6) Piiratud ja piiramatud funktsioonid.

Funktsiooni nimetatakse piiritletuks, kui on olemas positiivne arv M, mille puhul |f(x)| ≤ M kõigi x väärtuste korral. Kui sellist arvu pole, on funktsioon piiramata.

7) Funktsiooni perioodilisus.

Funktsioon f(x) on perioodiline, kui on olemas nullist erinev arv T, nii et mis tahes funktsiooni domeeni x jaoks on f(x+T) = f(x). Seda väikseimat arvu nimetatakse funktsiooni perioodiks. Kõik trigonomeetrilised funktsioonid on perioodilised. (Trigonomeetrilised valemid).

Funktsioon f nimetatakse perioodiliseks, kui on olemas selline arv, et mis tahes jaoks x määratlusvaldkonnast võrdsus f(x)=f(x-T)=f(x+T). T on funktsiooni periood.

Igal perioodilisel funktsioonil on lõpmatu arv perioode. Praktikas võetakse tavaliselt arvesse väikseimat positiivset perioodi.

Perioodilise funktsiooni väärtusi korratakse pärast perioodiga võrdset intervalli. Seda kasutatakse graafikute koostamisel.

Tagasi edasi

Tähelepanu! Slaidi eelvaade on ainult informatiivsel eesmärgil ja ei pruugi esindada esitluse kogu ulatust. Kui olete sellest tööst huvitatud, laadige alla täisversioon.

Eesmärgid:

• kujundada paaris- ja paaritu funktsioonide mõiste, õpetada nende omaduste määramise ja kasutamise oskust funktsioonide uurimisel, joonistamisel;
• arendada õpilaste loovat aktiivsust, loogilist mõtlemist, võrdlemis-, üldistusvõimet;
• kasvatada töökust, matemaatilist kultuuri; arendada suhtlemisoskusi .

Varustus: multimeedia installatsioon, interaktiivne tahvel, jaotusmaterjalid.

Töö vormid: frontaal ja rühm otsingu- ja uurimistegevuse elementidega.

Teabeallikad:

1. Algebra klass 9 A.G.Mordkovich. Õpik.
2. Algebra 9. klass A.G. Mordkovich. Ülesanderaamat.
3. Algebra hinne 9. Ülesanded õpilaste õppimiseks ja arendamiseks. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

TUNNIDE AJAL

1. Organisatsioonimoment

Tunni eesmärkide ja eesmärkide seadmine.

2. Kodutööde kontrollimine

Nr 10.17 (Probleemiraamat 9. klass A.G. Mordkovich).

aga) juures = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 jaoks X ~ 0,4
4. f(X) >0 juures X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funktsioon suureneb koos X € [– 2; + ∞)
6. Funktsioon on altpoolt piiratud.
7. juures rent = -3, juures naibi pole olemas
8. Funktsioon on pidev.

(Kas kasutasite funktsioonide uurimise algoritmi?) Libisema.

2. Kontrollime slaidil tabelit, mida teilt küsiti.

Täida tabel
	Domeen	Funktsiooni nullid	Püsivuse intervallid		Graafiku ja Oy lõikepunktide koordinaadid
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Teadmiste värskendus

- Funktsioonid on antud.
– Määrake iga funktsiooni määratluspiirkond.
– Võrrelge iga funktsiooni väärtust iga argumendi väärtuste paari jaoks: 1 ja – 1; 2 ja -2.
– Milliste definitsioonipiirkonna antud funktsioonide jaoks on võrdsused f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (pane andmed tabelisse) Libisema

		f(1) ja f(– 1)	f(2) ja f(– 2)	diagrammid	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		ja pole määratletud.

4. Uus materjal

- Seda tööd tehes, poisid, paljastasime veel ühe funktsiooni omaduse, mis on teile võõras, kuid mitte vähem oluline kui teised - see on funktsiooni ühtlus ja veidrus. Kirjutage üles tunni teema: "Paaris- ja paaritu funktsioonid", meie ülesandeks on õppida paaris- ja paarituid funktsioone määrama, selgitada välja selle omaduse tähtsus funktsioonide uurimisel ja graafikul.
Niisiis, otsime õpikust definitsioonid ja loeme (lk 110) . Libisema

Def. üks Funktsioon juures = f (X) kutsutakse välja hulgal X isegi, kui mis tahes väärtuse eest XЄ X pooleli võrdus f (–x) = f (x). Too näiteid.

Def. 2 Funktsioon y = f(x), defineeritud hulgal X kutsutakse kummaline, kui mis tahes väärtuse eest XЄ X võrdus f(–х)= –f(х) on täidetud. Too näiteid.

Kus kohtasime mõisteid "paaris" ja "paaritu"?
Mis te arvate, milline neist funktsioonidest on paaris? Miks? Millised on veidrad? Miks?
Vormi mis tahes funktsiooni jaoks juures= x n, kus n on täisarv, võib väita, et funktsioon on paaritu jaoks n on paaritu ja funktsioon on paaris jaoks n- isegi.
– Funktsioonide vaatamine juures= ja juures = 2X– 3 pole paaris ega paaritu, sest võrdsust ei täideta f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Küsimuse uurimist, kas funktsioon on paaris või paaritu, nimetatakse pariteedi funktsiooni uurimiseks. Libisema

Definitsioonid 1 ja 2 käsitlesid funktsiooni väärtusi punktides x ja - x, seega eeldatakse, et funktsioon on defineeritud ka väärtuse juures X, ja kell - X.

ODA 3. Kui arvuhulk koos iga selle elemendiga x sisaldab vastaselementi x, siis hulk X nimetatakse sümmeetriliseks hulgaks.

Näited:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) on sümmeetrilised hulgad ja , [–5;4] on mittesümmeetrilised.

- Kas isegi funktsioonidel on määratluspiirkond – sümmeetriline hulk? Imelikud?
- kui D( f) on asümmeetriline hulk, siis mis on funktsioon?
– Seega, kui funktsioon juures = f(X) on paaris või paaritu, siis on selle määratluspiirkond D( f) on sümmeetriline komplekt. Kuid kas on vastupidine, kui funktsiooni valdkond on sümmeetriline hulk, siis on see paaris või paaritu?
- Seega on definitsioonipiirkonna sümmeetrilise hulga olemasolu vajalik, kuid mitte piisav tingimus.
– Kuidas siis uurida pariteedi funktsiooni? Proovime kirjutada algoritmi.

Libisema

Pariteedi funktsiooni uurimise algoritm

1. Määrake, kas funktsiooni domeen on sümmeetriline. Kui ei, siis pole funktsioon paaris ega paaritu. Kui jah, siis minge algoritmi 2. sammu juurde.

2. Kirjutage avaldis jaoks f(–X).

3. Võrdle f(–X).Ja f(X):

• kui f(–X).= f(X), siis on funktsioon paaris;
• kui f(–X).= – f(X), siis on funktsioon paaritu;
• kui f(–X) ≠ f(X) Ja f(–X) ≠ –f(X), siis pole funktsioon paaris ega paaritu.

Näited:

Uurige pariteedi funktsiooni a) juures= x 5 +; b) juures= ; sisse) juures= .

Lahendus.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), sümmeetriline hulk.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funktsioon h(x)= x 5 + paaritu.

b) y =,

juures = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asümmeetriline hulk, seega pole funktsioon paaris ega paaritu.

sisse) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

2. variant

1. Kas antud hulk on sümmeetriline: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

aga); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Uurige pariteedi funktsiooni:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. Joonisel fig. joonistatud juures = f(X), kõigi jaoks X, mis vastab tingimusele X? 0.
Joonistage funktsioon juures = f(X), kui juures = f(X) on paarisfunktsioon.

3. Joonisel fig. joonistatud juures = f(X), kõigi x jaoks, mis rahuldavad x? 0.
Joonistage funktsioon juures = f(X), kui juures = f(X) on paaritu funktsioon.

Vastastikune kontroll libisema.

6. Kodutöö: №11.11, 11.21,11.22;

Paarsusomaduse geomeetrilise tähenduse tõestus.

*** (Kasutamise valiku määramine).

1. Paaritu funktsioon y \u003d f (x) on defineeritud kogu reaalreal. Muutuja x mis tahes mittenegatiivse väärtuse korral kattub selle funktsiooni väärtus funktsiooni g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Leia funktsiooni h( X) = juures X = 3.

7. Kokkuvõtete tegemine

Paaris- ja paaritu funktsioonid on selle üks peamisi omadusi ning paarsus moodustab muljetavaldava osa matemaatika koolikursusest. See määrab suuresti funktsiooni käitumise olemuse ja hõlbustab oluliselt vastava graafiku koostamist.

Määratleme funktsiooni paarsuse. Üldiselt vaadeldakse uuritavat funktsiooni isegi siis, kui selle määratluspiirkonnas asuva sõltumatu muutuja (x) vastandväärtuste korral on y (funktsiooni) vastavad väärtused võrdsed.

Anname rangema määratluse. Vaatleme mõnda funktsiooni f (x), mis on määratletud domeenis D. See on isegi siis, kui mis tahes punkti x puhul, mis asub definitsioonipiirkonnas:

• -x (vastaspunkt) asub samuti antud ulatuses,

• f(-x) = f(x).

Ülaltoodud definitsioonist tuleneb sellise funktsiooni määratluspiirkonna jaoks vajalik tingimus, nimelt sümmeetria punkti O suhtes, mis on koordinaatide alguspunkt, kuna kui mingi punkt b sisaldub definitsioonipiirkonnas. paarisfunktsioon, siis selles valdkonnas asub ka vastav punkt - b. Eelnevast järeldub seega järeldus: paarisfunktsioonil on vorm, mis on ordinaattelje (Oy) suhtes sümmeetriline.

Kuidas määrata funktsiooni paarsust praktikas?

Olgu see antud valemiga h(x)=11^x+11^(-x). Otseselt definitsioonist tulenevat algoritmi järgides uurime kõigepealt selle definitsioonivaldkonda. Ilmselt on see defineeritud kõigi argumendi väärtuste jaoks, see tähendab, et esimene tingimus on täidetud.

Järgmine samm on argumendi (x) asendamine selle vastupidise väärtusega (-x).
Saame:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Kuna liitmine rahuldab kommutatiivse (nihke) seaduse, siis on ilmne, et h(-x) = h(x) ja antud funktsionaalne sõltuvus on paaris.

Kontrollime funktsiooni h(x)=11^x-11^(-x) ühtlust. Sama algoritmi järgides saame h(-x) = 11^(-x) -11^x. Kui miinust välja võtta, siis selle tulemusena on meil
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Seega on h(x) paaritu.

Muide, tuleb meeles pidada, et on funktsioone, mida ei saa nende kriteeriumide järgi klassifitseerida, neid ei nimetata paaristeks ega paarituks.

Isegi funktsioonidel on mitmeid huvitavaid omadusi:

• sarnaste funktsioonide lisamise tulemusena saadakse ühtlane;
• selliste funktsioonide lahutamise tulemusena saadakse ühtlane;
• ühtlane, ka ühtlane;
• kahe sellise funktsiooni korrutamise tulemusena saadakse ühtlane;
• paaritute ja paarisfunktsioonide korrutamise tulemusena saadakse paaritu;
• paaritu ja paarisfunktsioonide jagamise tulemusena saadakse paaritu;
• sellise funktsiooni tuletis on paaritu;
• Kui paneme paaritu funktsiooni ruutu, saame paarisfunktsiooni.

Funktsiooni paarsust saab kasutada võrrandite lahendamisel.

Sellise võrrandi nagu g(x) = 0 lahendamiseks, kus võrrandi vasak pool on paarisfunktsioon, piisab muutuja mittenegatiivsete väärtuste lahenduste leidmisest. Saadud võrrandi juured tuleb kombineerida vastandarvudega. Üks neist kuulub kontrollimisele.

Sama kasutatakse edukalt parameetriga mittestandardsete probleemide lahendamiseks.

Näiteks, kas parameetril a on mõni väärtus, mis muudaks võrrandil 2x^6-x^4-ax^2=1 kolme juure?

Kui arvestada, et muutuja siseneb võrrandisse paarisastmetes, siis on selge, et x asendamine -x-ga antud võrrandit ei muuda. Sellest järeldub, et kui teatud arv on selle juur, siis on ka vastupidine arv. Järeldus on ilmne: võrrandi juured, välja arvatud null, sisalduvad selle lahendite komplektis "paarides".

On selge, et arv 0 ise ei ole, see tähendab, et sellise võrrandi juurte arv saab olla ainult paaris ja loomulikult ei saa see ühegi parameetri väärtuse korral olla kolme juurega.

Kuid võrrandi 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 juurte arv võib olla paaritu ja seda parameetri mis tahes väärtuse korral. Tõepoolest, on lihtne kontrollida, et antud võrrandi juurte hulk sisaldab lahendusi "paarides". Kontrollime, kas 0 on juur. Asendades selle võrrandisse, saame 2=2. Seega on 0 lisaks "paaritud" ka juur, mis tõestab nende paaritut arvu.

- (Matemaatika) Funktsiooni y \u003d f (x) kutsutakse välja isegi siis, kui see ei muutu, kui sõltumatu muutuja muudab ainult märki, st kui f (x) \u003d f (x). Kui f (x) = f (x), siis funktsiooni f (x) nimetatakse paarituks. Näiteks y \u003d cosx, y \u003d x2 ... ...

F(x) = x on paaritu funktsiooni näide. f(x) = x2 on paarisfunktsiooni näide. f(x) = x3 ... Vikipeedia

Funktsioon, mis rahuldab võrdsust f (x) = f (x). Vaadake paaris ja paaritu funktsioone... Suur Nõukogude entsüklopeedia

F(x) = x on paaritu funktsiooni näide. f(x) = x2 on paarisfunktsiooni näide. f(x) = x3 ... Vikipeedia

F(x) = x on paaritu funktsiooni näide. f(x) = x2 on paarisfunktsiooni näide. f(x) = x3 ... Vikipeedia

F(x) = x on paaritu funktsiooni näide. f(x) = x2 on paarisfunktsiooni näide. f(x) = x3 ... Vikipeedia

F(x) = x on paaritu funktsiooni näide. f(x) = x2 on paarisfunktsiooni näide. f(x) = x3 ... Vikipeedia

Erifunktsioonid, mille võttis kasutusele prantsuse matemaatik E. Mathieu 1868. aastal elliptilise membraani võnkumise ülesannete lahendamisel. M. f. kasutatakse ka elektromagnetlainete leviku uurimisel elliptilises silindris ... Suur Nõukogude entsüklopeedia

"Patu" taotlus suunatakse siia; vaata ka teisi tähendusi. Päring "sec" suunatakse siia; vaata ka teisi tähendusi. "Sine" suunab siia; vaata ka teisi tähendusi ... Wikipedia