Różne pryzmaty różnią się od siebie. Jednocześnie mają ze sobą wiele wspólnego. Aby znaleźć obszar podstawy pryzmatu, musisz dowiedzieć się, jak wygląda.

Ogólna teoria

Graniastosłup to dowolny wielościan, którego boki mają kształt równoległoboku. Co więcej, u jego podstawy może znajdować się dowolny wielościan - od trójkąta do n-kąta. Co więcej, podstawy pryzmatu są zawsze sobie równe. Co nie dotyczy bocznych ścianek - mogą one znacznie różnić się wielkością.

Podczas rozwiązywania problemów napotykamy nie tylko obszar podstawy pryzmatu. Może być konieczne poznanie powierzchni bocznej, to znaczy wszystkich ścian, które nie są podstawami. Cała powierzchnia będzie już połączeniem wszystkich ścian tworzących pryzmat.

Czasami w zadaniach pojawiają się wysokości. Jest prostopadły do ​​podstaw. Przekątna wielościanu to odcinek łączący parami dowolne dwa wierzchołki, które nie należą do tej samej ściany.

Należy zauważyć, że powierzchnia podstawy prostego lub pochyłego pryzmatu nie zależy od kąta między nimi a powierzchniami bocznymi. Jeśli mają te same cyfry na górnej i dolnej powierzchni, ich obszary będą równe.

trójkątny pryzmat

Ma u podstawy figurę z trzema wierzchołkami, czyli trójkąt. Wiadomo, że jest inny. Jeśli to wystarczy przypomnieć, że jego powierzchnię wyznacza połowa iloczynu nóg.

Notacja matematyczna wygląda tak: S = ½ śr.

Aby określić obszar podstawy w ogólnej formie, przydatne są formuły: Czapla i ta, w której połowa boku jest przenoszona na narysowaną do niej wysokość.

Pierwsza formuła powinna być napisana w następujący sposób: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). Ten wpis zawiera półobwód (p), czyli sumę trzech boków podzieloną przez dwa.

Po drugie: S = ½ n a * a.

Jeśli chcesz poznać obszar bazy trójkątny pryzmat, co jest poprawne, to trójkąt jest równoboczny. Ma własną formułę: S = ¼ a 2 * √3.

pryzmat czworokątny

Jego podstawą jest dowolny ze znanych czworoboków. Może to być prostokąt lub kwadrat, równoległościan lub romb. W każdym przypadku, aby obliczyć powierzchnię podstawy pryzmatu, będziesz potrzebować własnego wzoru.

Jeżeli podstawą jest prostokąt, to jego pole wyznacza się następująco: S = av, gdzie a, b są bokami prostokąta.

Jeśli chodzi o pryzmat czworokątny, to obszar podstawy prawy pryzmat obliczone według wzoru na kwadrat. Bo to on leży u podstawy. S \u003d 2.

W przypadku, gdy podstawa jest równoległościanem, potrzebna będzie następująca równość: S \u003d a * n a. Zdarza się, że podano bok równoległościanu i jeden z kątów. Następnie, aby obliczyć wysokość, będziesz musiał użyć dodatkowego wzoru: na \u003d b * sin A. Co więcej, kąt A sąsiaduje z bokiem „b”, a wysokość jest przeciwna do tego kąta.

Jeśli u podstawy pryzmatu leży romb, to do określenia jego powierzchni potrzebny będzie ten sam wzór, jak dla równoległoboku (ponieważ jest to przypadek szczególny). Ale możesz również użyć tego: S = ½ d 1 d 2. Tutaj d 1 i d 2 to dwie przekątne rombu.

Regularny pryzmat pięciokątny

Ten przypadek polega na podzieleniu wielokąta na trójkąty, których obszary są łatwiejsze do odnalezienia. Chociaż zdarza się, że figury mogą mieć różną liczbę wierzchołków.

Ponieważ podstawą pryzmatu jest pięciokąt foremny, można go podzielić na pięć trójkątów równobocznych. Następnie powierzchnia podstawy pryzmatu jest równa powierzchni jednego takiego trójkąta (wzór widać powyżej), pomnożonej przez pięć.

Regularny pryzmat sześciokątny

Zgodnie z zasadą opisaną dla graniastosłupa pięciokątnego można podzielić sześciokąt podstawowy na 6 trójkątów równobocznych. Wzór na powierzchnię podstawy takiego pryzmatu jest podobny do poprzedniego. Tylko w tym należy pomnożyć przez sześć.

Formuła będzie wyglądać tak: S = 3/2 i 2 * √3.

Zadania

Nr 1. Podana jest regularna linia prosta, której przekątna wynosi 22 cm, wysokość wielościanu wynosi 14 cm Oblicz obszar podstawy pryzmatu i całej powierzchni.

Decyzja. Podstawa pryzmatu jest kwadratem, ale jego bok nie jest znany. Jego wartość można znaleźć na podstawie przekątnej kwadratu (x), która jest powiązana z przekątną pryzmatu (d) i jego wysokością (h). x 2 \u003d d 2 - n 2. Z drugiej strony ten odcinek „x” to przeciwprostokątna w trójkącie, którego nogi są równe bokowi kwadratu. Oznacza to, że x 2 \u003d a 2 + a 2. Okazuje się zatem, że a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.

Zastąp liczbę 22 zamiast d i zastąp „n” jej wartością - 14, okazuje się, że bok kwadratu ma 12 cm Teraz łatwo jest znaleźć obszar podstawowy: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .

Aby określić obszar całej powierzchni, musisz dodać dwukrotną wartość obszaru bazowego i czterokrotnie zwiększyć bok. Tę ostatnią łatwo znaleźć według wzoru na prostokąt: pomnóż wysokość wielościanu i bok podstawy. To znaczy 14 i 12, ta liczba będzie równa 168 cm 2. Stwierdzono, że całkowita powierzchnia pryzmatu wynosi 960 cm2.

Odpowiedź. Powierzchnia podstawy pryzmatu wynosi 144 cm2. Cała powierzchnia - 960 cm 2 .

Nr 2. Dana U podstawy leży trójkąt o boku 6 cm, w tym przypadku przekątna powierzchni bocznej wynosi 10 cm Oblicz obszary: podstawę i powierzchnię boczną.

Decyzja. Ponieważ pryzmat jest regularny, jego podstawą jest trójkąt równoboczny. W związku z tym okazuje się, że jego powierzchnia jest równa 6 do kwadratu razy ¼ i pierwiastkowi kwadratowemu z 3. Proste obliczenie prowadzi do wyniku: 9√3 cm2. Jest to obszar jednej podstawy pryzmatu.

Wszystkie ściany boczne są takie same i są prostokątami o bokach 6 i 10 cm, aby obliczyć ich powierzchnie, wystarczy pomnożyć te liczby. Następnie pomnóż je przez trzy, bo pryzmat ma dokładnie tyle ścian bocznych. Następnie obszar powierzchni bocznej nawija się 180 cm 2 .

Odpowiedź. Obszary: podstawa - 9√3 cm2, boczna powierzchnia pryzmatu - 180 cm2.

Definicja.

Jest to sześciokąt, którego podstawy są dwoma równymi kwadratami, a ściany boczne są równymi prostokątami.

Boczne żebro jest wspólną stroną dwóch sąsiednich ścian bocznych

Wysokość pryzmatu to odcinek prostopadły do ​​podstawy pryzmatu

Przekątna pryzmatu- odcinek łączący dwa wierzchołki podstaw, które nie należą do tej samej ściany

Płaszczyzna ukośna- płaszczyzna przechodząca przez przekątną pryzmatu i jego boczne krawędzie

Przekrój po przekątnej- granice przecięcia pryzmatu i płaszczyzny przekątnej. Przekątna zwykłego czworokątnego graniastosłupa to prostokąt

Przekrój prostopadły (przekrój ortogonalny)- to przecięcie pryzmatu i płaszczyzny narysowanej prostopadle do jego bocznych krawędzi

Elementy zwykłego czworokątnego pryzmatu

Rysunek przedstawia dwa regularne pryzmaty czworokątne, które są oznaczone odpowiednimi literami:

• Podstawy ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 są równe i równoległe do siebie
• Powierzchnie boczne AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C i CC 1 D 1 D, z których każda jest prostokątem
• Powierzchnia boczna - suma pól wszystkich powierzchni bocznych pryzmatu
• Powierzchnia całkowita - suma powierzchni wszystkich podstaw i ścian bocznych (suma powierzchni powierzchni bocznych i podstaw)
• Żebra boczne AA 1 , BB 1 , CC 1 i DD 1 .
• Przekątna B 1 D
• Przekątna podstawy BD
• Przekrój skośny BB 1 D 1 D
• Przekrój prostopadły A 2 B 2 C 2 D 2 .

Właściwości regularnego pryzmatu czworokątnego

• Podstawy to dwa równe kwadraty
• Podstawy są do siebie równoległe
• Boki są prostokątami.
• Boki są sobie równe
• Ściany boczne są prostopadłe do podstaw
• Żebra boczne są do siebie równoległe i równe
• Przekrój prostopadły prostopadły do ​​wszystkich bocznych żeber i równoległy do ​​podstaw
• Kąty przekroju prostopadłego — z prawej
• Przekątna zwykłego czworokątnego graniastosłupa to prostokąt
• Prostopadły (przekrój ortogonalny) równoległy do ​​podstaw

Wzory na zwykły pryzmat czworokątny

Instrukcje rozwiązywania problemów

Podczas rozwiązywania problemów na ten temat ” zwykły czworokątny pryzmat” oznacza, że:

Prawidłowy pryzmat- graniastosłup, u którego podstawy leży wielokąt foremny, a krawędzie boczne są prostopadłe do płaszczyzn podstawy. Oznacza to, że u podstawy znajduje się zwykły czworokątny pryzmat kwadrat. (patrz powyżej właściwości zwykłego pryzmatu czworokątnego) Notatka. Jest to część lekcji z zadaniami z geometrii (sekcja geometria bryłowa - pryzmat). Oto zadania, które powodują trudności w rozwiązaniu. Jeśli potrzebujesz rozwiązać problem z geometrii, którego tutaj nie ma - napisz o tym na forum. Aby wskazać akcję ekstrakcji pierwiastek kwadratowy symbol jest używany w rozwiązywaniu problemów√ .

Zadanie.

W zwykłym czworokątnym pryzmacie powierzchnia podstawy wynosi 144 cm 2, a wysokość 14 cm. Znajdź przekątną pryzmatu i całkowitą powierzchnię.

Decyzja.
Regularny czworokąt to kwadrat.
W związku z tym bok podstawy będzie równy

√144 = 12 cm.
Skąd przekątna podstawy zwykłego prostopadłościanu będzie równa
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Przekątna zwykłego graniastosłupa tworzy z przekątną podstawy i wysokością pryzmatu trójkąt prostokątny. W związku z tym, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, przekątna danego regularnego graniastosłupa czworokątnego będzie równa:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Odpowiedź: 22 cm

Zadanie

Znajdź łączną powierzchnię zwykłego czworokątnego pryzmatu, jeśli jego przekątna wynosi 5 cm, a przekątna powierzchni bocznej wynosi 4 cm.

Decyzja.
Ponieważ podstawą zwykłego czworokątnego graniastosłupa jest kwadrat, to bok podstawy (oznaczony jako a) znajduje się w twierdzeniu Pitagorasa:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Wysokość ściany bocznej (oznaczona jako h) będzie wtedy równa:

H 2 + 12,5 \u003d 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3,5
h = √3,5

Całkowita powierzchnia będzie równa sumie powierzchni bocznej i dwukrotnej powierzchni bazowej

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Odpowiedź: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Stereometria jest ważną częścią kurs ogólny geometria, która uwzględnia cechy figur przestrzennych. Jedną z takich figur jest czworokątny pryzmat. W tym artykule ujawnimy bardziej szczegółowo pytanie, jak obliczyć objętość pryzmatu czworokątnego.

Co to jest pryzmat czworokątny?

Oczywiście przed podaniem wzoru na objętość czworokątnego graniastosłupa należy podać jasną definicję tego figura geometryczna. Taki pryzmat rozumiany jest jako trójwymiarowy wielościan, który jest ograniczony dwoma dowolnymi identycznymi czworokątami leżącymi w równoległych płaszczyznach i czterema równoległobokami.

Czworokąty zaznaczone równolegle do siebie nazywane są podstawami figury, a cztery równoległoboki to boki. Należy tutaj wyjaśnić, że równoległoboki są również czworokątami, jednak podstawy nie zawsze są równoległobokami. Przykład nieregularnego czworoboku, który równie dobrze może stanowić podstawę pryzmatu, pokazano poniżej na rysunku.

Każdy czworokątny pryzmat składa się z 6 boków, 8 wierzchołków i 12 krawędzi. Istnieją różne rodzaje pryzmatów czworokątnych. Na przykład figura może być skośna lub prosta, nieregularna i poprawna. W dalszej części artykułu pokażemy, jak obliczyć objętość pryzmatu czworokątnego, biorąc pod uwagę jego typ.

Pochylony pryzmat o nieregularnej podstawie

Jest to najbardziej asymetryczny rodzaj pryzmatu czworokątnego, więc obliczenie jego objętości będzie stosunkowo trudne. Poniższe wyrażenie pozwala określić objętość figury:

Symbol Więc tutaj oznacza obszar podstawy. Jeśli ta podstawa jest rombem, równoległobokiem lub prostokątem, to nie jest trudno obliczyć wartość So. Tak więc dla rombu i równoległoboku wzór jest ważny:

gdzie a jest bokiem podstawy, ha jest długością wysokości obniżoną w tę stronę od szczytu podstawy.

Jeśli podstawą jest wielokąt nieregularny (patrz wyżej), to jego obszar należy podzielić na prostsze kształty (np. trójkąty), obliczyć ich pola i znaleźć ich sumę.

We wzorze na objętość symbol h oznacza wysokość pryzmatu. Reprezentuje długość odcinek prostopadły między dwiema podstawami. Ponieważ pryzmat jest nachylony, wysokość h należy obliczyć na podstawie długości krawędzi bocznej b oraz kątów dwuściennych między ścianami bocznymi a podstawą.

Prawidłowa figura i jej objętość

Jeśli podstawa czworokątnego pryzmatu jest kwadratem, a sama figura jest prosta, nazywa się ją regularną. Należy wyjaśnić, że prosty pryzmat nazywamy, gdy wszystkie jego boki są prostokątami i każdy z nich jest prostopadły do ​​podstaw. Prawidłowy rysunek pokazano poniżej.

Objętość regularnego pryzmatu czworokątnego można obliczyć za pomocą tego samego wzoru, co objętość nieregularnej figury. Ponieważ podstawą jest kwadrat, jej powierzchnia jest obliczana po prostu:

Wysokość graniastosłupa h jest równa długości bocznej krawędzi b (boku prostokąta). Następnie objętość zwykłego pryzmatu czworokątnego można obliczyć za pomocą następującego wzoru:

Nazywa się zwykły pryzmat o kwadratowej podstawie prostopadłościan. Ten równoległościan, w przypadku równych boków a i b, staje się sześcianem. Objętość tego ostatniego oblicza się w następujący sposób:

Zapisane wzory na objętość V wskazują, że im większa symetria figury, tym mniej parametrów liniowych jest wymaganych do obliczenia tej wartości. Tak więc w przypadku zwykłego pryzmatu wymagana liczba parametrów to dwa, a w przypadku sześcianu jeden.

Problem z prawidłową figurą

Po rozważeniu zagadnienia wyznaczania objętości graniastosłupa czworokątnego z punktu widzenia teorii, zastosujemy zdobytą wiedzę w praktyce.

Wiadomo, że regularny równoległościan ma podstawową długość przekątnej 12 cm, długość przekątnej jego boku wynosi 20 cm, konieczne jest obliczenie objętości równoległościanu.

Oznaczmy przekątną podstawy symbolem da, a przekątną ściany bocznej symbolem db. W przypadku przekątnej da wyrażenia są prawdziwe:

Jeśli chodzi o wartość db, to jest to przekątna prostokąta o bokach a i b. Można dla niego zapisać następujące równości:

db2 = a2 + b2 =>

b = √(db2 - a2)

Podstawiając znalezione wyrażenie za a do ostatniej równości, otrzymujemy:

b = (db2 - da2/2)

Teraz możesz podstawić otrzymane formuły do ​​wyrażenia na objętość prawidłowej liczby:

V = a2*b = da2/2*√(db2 - da2/2)

Zastępując da i db liczbami z warunku problemu dochodzimy do odpowiedzi: V ≈ 1304 cm3.

Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do zidentyfikowania konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swojego informacje osobiste w dowolnym momencie, gdy się z nami kontaktujesz.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić oraz sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy złożysz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe, aby wysyłać Ci ważne powiadomienia i komunikaty.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różne badania w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i udzielania rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym programie motywacyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.

Ujawnianie osobom trzecim

Nie ujawniamy informacji otrzymanych od Ciebie stronom trzecim.

Wyjątki:

• W przypadku, gdy jest to konieczne - zgodnie z prawem, nakazem sądowym, w postępowaniu sądowym i / lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów państwowych na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawnić swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli ustalimy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów interesu publicznego.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane przez nas dane osobowe odpowiedniemu następcy strony trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – w celu ochrony Twoich danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Zachowanie prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach dotyczących prywatności i bezpieczeństwa oraz surowo egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.