Hur man förstår proportionen 1 till 3. Förhållanden

grund matematisk forskning är förmågan att få kunskap om vissa kvantiteter genom att jämföra dem med andra storheter som antingen likvärdig, eller Mer eller mindreän de som är föremål för studien. Detta görs vanligtvis med en serie ekvationer Och proportioner. När vi använder ekvationer bestämmer vi den kvantitet vi letar efter genom att hitta den jämlikhet med någon annan redan bekant mängd eller kvantiteter.

Men det händer ofta att vi jämför en okänd mängd med andra som inte lika med henne, men mer eller mindre av henne. Här behöver vi ett annat förhållningssätt till databehandling. Vi kan behöva veta t.ex. hur mycket ett värde är större än det andra, eller hur många gånger det ena innehåller det andra. För att hitta svar på dessa frågor kommer vi att ta reda på vad som är förhållande två storlekar. Ett förhållande kallas aritmetisk, och en annan geometrisk. Även om det är värt att notera att båda dessa termer inte antogs av en slump eller bara för distinktionens skull. Både aritmetiska och geometriska relationer gäller för både aritmetik och geometri.

Eftersom det är en del av ett stort och viktigt ämne, beror proportionerna på förhållandena, så en klar och fullständig förståelse av dessa begrepp är nödvändig.

338. Aritmetiskt förhållande detta skillnadmellan två kvantiteter eller en serie kvantiteter. Själva mängderna kallas medlemmar förhållanden, det vill säga termer mellan vilka det finns ett förhållande. Således är 2 det aritmetiska förhållandet 5 och 3. Detta uttrycks genom att placera ett minustecken mellan de två värdena, dvs 5 - 3. Naturligtvis är termen aritmetisk kvot och dess specificering praktiskt taget värdelös, eftersom endast ordet ersätts skillnad till minustecknet i uttrycket.

339. Om båda medlemmarna i en aritmetisk relation multiplicera eller dela upp med samma summa alltså förhållande, kommer så småningom att multipliceras eller divideras med det beloppet.
Alltså, om vi har a - b = r
Multiplicera sedan båda sidor med h , (Ax. 3.) ha - hb = hr
Och dividera med h, (Ax. 4.) $\frac(a)(h)-\frac(b)(h)=\frac(r)(h)$

340. Om termerna för ett aritmetiskt förhållande adderas till eller subtraherar från motsvarande termer för en annan, kommer förhållandet mellan summan eller skillnaden att vara lika med summan eller skillnaden mellan de två förhållandena.
Om a - b
Och d-h
är två förhållanden,
Då (a + d) - (b + h) = (a - b) + (d - h). Vilket i varje fall = a + d - b - h.
Och (a - d) - (b - h) = (a - b) - (d - h). Vilket i varje fall = a - d - b + h.
Så det aritmetiska förhållandet 11 - 4 är 7
Och det aritmetiska förhållandet 5 - 2 är 3
Förhållandet mellan summan av termerna 16 - 6 är 10, - summan av förhållandena.
Förhållandet mellan skillnaden mellan medlemmarna 6 - 2 är 4, - skillnaden mellan förhållandena.

341. geometriskt förhållande är förhållandet mellan kvantiteter, som uttrycks PRIVAT om ett värde delas med ett annat.
Så förhållandet 8 till 4 kan skrivas som 8/4 eller 2. Det vill säga kvoten av 8 dividerat med 4. Med andra ord, det visar hur många gånger 4 ingår i 8.

På samma sätt kan förhållandet mellan varje storhet och en annan bestämmas genom att dividera den första med den andra, eller, vilket i princip är samma sak, genom att göra den första till täljaren för bråket och den andra till nämnaren.
Så förhållandet mellan a och b är $\frac(a)(b)$
Förhållandet mellan d + h och b + c är $\frac(d+h)(b+c)$.

342. Geometriskt förhållande skrivs också genom att placera två punkter ovanför varandra mellan de jämförda värdena.
Således är a:b förhållandet mellan a och b, och 12:4 är förhållandet 12 till 4. De två storheterna bildar tillsammans par, där den första termen kallas föregående, och den sista är följd.

343. Denna prickade notation och den andra, i form av ett bråk, är utbytbara vid behov, varvid föregången blir bråkets täljare och den därav följande nämnaren.
Så 10:5 är detsamma som $\frac(10)(5)$ och b:d är samma som $\frac(b)(d)$.

344. Om någon av dessa tre betydelser: antecedent, konsekvent och relation ges någon två, då kan den tredje hittas.

Låt a= antecedent, c= följd, r= relation.
Per definition, $r=\frac(a)(c)$, det vill säga förhållandet är lika med antecedenten dividerat med den konsekventa.
Multiplicera med c, a = cr, det vill säga antecedenten är lika med de påföljande gångerna förhållandet.
Dividera med r, $c=\frac(a)(r)$, det vill säga konsekvensen är lika med antecedenten dividerat med förhållandet.

Resp. 1. Om två par har lika antecedenter och följder, är deras förhållanden också lika.

Resp. 2. Om förhållandena och antecedenterna för två par är lika, då är följderna lika, och om kvoterna och följderna är lika, då är antecedenten lika.

345. Om två jämförda kvantiteter likvärdig, då är deras förhållande lika med enhet eller jämlikhet. Förhållandet 3 * 6:18 är lika med ett, eftersom kvoten för ett värde dividerat med sig självt är lika med 1.

Om antecedenten till paret Mer,än följden, då är förhållandet större än ett. Eftersom utdelningen är större än divisorn är kvoten större än en. Så förhållandet 18:6 är 3. Detta kallas förhållandet större ojämlikhet.

Å andra sidan, om förled mindreän följden, då är förhållandet mindre än ett, och detta kallas förhållandet mindre ojämlikhet. Så förhållandet 2:3 är mindre än ett, eftersom utdelningen är mindre än divisorn.

346. Omvänd ratio är förhållandet mellan två reciproka.
Så förhållandet mellan inversen av 6 till 3 är till, det vill säga:.
Den direkta relationen mellan a och b är $\frac(a)(b)$, det vill säga antecedenten dividerad med följden.
Den omvända relationen är $\frac(1)(a)$:$\frac(1)(b)$ eller $\frac(1)(a).\frac(b)(1)=\frac(b) (a)$.
det vill säga kosekvensen b dividerad med antecedenten a.

Därför uttrycks det omvända förhållandet genom att invertera en bråkdel, som visar en direkt relation, eller, när notering görs med punkter, invertera ordningen på skrivande medlemmar.
Således är a relaterat till b på motsatt sätt som b är relaterat till a.

347. Komplext förhållande detta förhållande Arbetar motsvarande termer med två eller flera enkla relationer.
Så förhållandet är 6:3, lika med 2
Och förhållande 12:4 är lika med 3
Förhållandet som består av dem är 72:12 = 6.

Här erhålls en komplex relation genom att multiplicera två antecedenter och även två följder av enkla relationer.
Så förhållandet är sammansatt
Från förhållandet a:b
Och c:d-förhållanden
och förhållandet h:y
Detta är förhållandet $ach:bdy=\frac(ach)(bdy)$.
Ett komplext förhållande skiljer sig inte i sin natur från något annat förhållande. Denna term används för att visa ursprunget till en relation i vissa fall.

Resp. Ett komplext förhållande är lika med produkten av enkla förhållanden.
Förhållandet a:b är lika med $\frac(a)(b)$
Förhållandet c:d är lika med $\frac(c)(d)$
Förhållandet h:y är lika med $\frac(h)(y)$
Och förhållandet som adderas av dessa tre kommer att vara ach/bdy, som är produkten av fraktioner som uttrycker enkla förhållanden.

348. Om i sekvensen av relationer i varje föregående par följden är antecedenten i nästa, då förhållandet mellan den första antecedenten och den sista följden är lika med den som erhålls från de mellanliggande förhållandena.
Alltså i ett antal förhållanden
a:b
före Kristus
CD
d:h
förhållandet a:h är lika med förhållandet summerat från förhållandena a:b och b:c och c:d och d:h. Så den komplexa relationen i den sista artikeln är $\frac(abcd)(bcdh)=\frac(a)(h)$, eller a:h.

På samma sätt alla kvantiteter som är både föregångare och följder försvinna, när produkten av fraktioner kommer att förenklas till dess lägre termer och i resten kommer det komplexa förhållandet att uttryckas av den första antecedenten och den sista följden.

349. En speciell klass av komplexa relationer erhålls genom att multiplicera en enkel relation med han själv eller till en annan likvärdig förhållande. Dessa förhållanden kallas dubbel, trippel-, fyrdubbla, och så vidare, enligt antalet multiplikationer.

Förhållandet består av två lika proportioner, dvs. fyrkant dubbel förhållande.

Gjord av tre, dvs. kub enkelt förhållande kallas trippel-, etc.

Likaså förhållandet kvadratrötter två storheter kallas förhållandet roten ur och förhållandet kubrötter- förhållande kubikroten, etc.
Så det enkla förhållandet mellan a och b är a:b
Dubbelförhållandet mellan a och b är a 2:b 2
Trippelförhållandet mellan a och b är 3:b 3
Förhållandet mellan kvadratroten ur a och b är √a :√b
Förhållandet mellan kubroten av a och b är 3 √a : 3 √b , och så vidare.
Villkor dubbel, trippel-, och så vidare behöver inte blandas med fördubblats, tredubblats, etc.
Förhållandet 6 till 2 är 6:2 = 3
Om vi fördubblar detta förhållande, det vill säga förhållandet två gånger, får vi 12:2 = 6
Vi tredubblar detta förhållande, det vill säga detta förhållande tre gånger, vi får 18: 2 = 9
MEN dubbel förhållandet, det vill säga fyrkant förhållandet är 6 2:2 2 = 9
OCH trippel- förhållandet, det vill säga förhållandets kub, är 6 3:2 3 = 27

350. För att kvantiteter skall kunna korreleras med varandra måste de vara av samma slag, så att man med säkerhet kan säga om de är lika med varandra, eller om en av dem är större eller mindre. En fot är till en tum som 12 till 1: den är 12 gånger större än en tum. Men man kan till exempel inte säga att en timme är längre eller kortare än en pinne, eller en acre är större eller mindre än en grad. Men om dessa värden uttrycks i tal, då kan det finnas ett samband mellan dessa siffror. Det vill säga att det kan finnas ett samband mellan antalet minuter på en timme och antalet steg på en mil.

351. Övergår till natur kvoter, nästa steg vi måste ta hänsyn till är hur förändringen i en eller två termer som jämförs med varandra kommer att påverka själva kvoten. Kom ihåg att ett direkt förhållande uttrycks som en bråkdel, där antecedet par är alltid täljare, men följd - nämnare. Då blir det lätt att utifrån egenskaperna hos fraktioner få att förändringar i förhållandet sker genom att variera de jämförda storheterna. Förhållandet mellan de två kvantiteterna är detsamma som menande bråk, som var och en representerar privat: täljaren dividerad med nämnaren. (Art. 341.) Det har nu visat sig att multiplicera täljaren för ett bråk med vilket värde som helst är detsamma som att multiplicera menande med samma belopp och att dividera täljaren är detsamma som att dividera värdena på en bråkdel. Det är därför,

352. Att multiplicera antecedenten av ett par med vilket värde som helst innebär att multiplicera kvoterna med detta värde, och att dividera antecedenten är att dividera detta förhållande.
Så förhållandet 6:2 är 3
Och förhållandet 24:2 är 12.
Här är antecedenten och förhållandet i det sista paret 4 gånger större än i det första.
Relationen a:b är lika med $\frac(a)(b)$
Och relationen na:b är lika med $\frac(na)(b)$.

Resp. Med en känd följd, desto mer föregående, ju mer förhållande, och vice versa, ju större förhållandet är, desto större antecedent.

353. Genom att multiplicera följden av ett par med vilket värde som helst, som ett resultat, erhåller vi divisionen av förhållandet med detta värde, och om vi dividerar följden multiplicerar vi förhållandet. Genom att multiplicera nämnaren i ett bråk delar vi värdet och genom att dividera nämnaren multipliceras värdet.
Så förhållandet 12:2 är 6
Och förhållandet 12:4 är 3.
Här är resultatet av det andra paret in dubbelt mer, men förhållandet dubbelt mindre än den första.
Förhållandet a:b är $\frac(a)(b)$
Och förhållandet a:nb är lika med $\frac(a)(nb)$.

Resp. För ett givet antecedent gäller att ju större följden är, desto mindre är förhållandet. Omvänt, ju större förhållandet är, desto mindre blir följden.

354. Av de två senaste artiklarna framgår att multiplikation antecedent par med vilket värde som helst kommer att ha samma effekt på förhållandet som uppdelning av följden med detta belopp, och föregående indelning, kommer att ha samma effekt som åtföljande multiplikation.
Så förhållandet 8:4 är 2
Multiplicera antecedenten med 2, är förhållandet 16:4 4
Om man dividerar antecedenten med 2 är förhållandet 8:2 4.

Resp. Några faktor eller delare kan överföras från antecedenten av ett par till följden, eller från följden till antecedenten, utan att ändra relationen.

Det är värt att notera att när en faktor alltså överförs från en term till en annan, så blir den en divisor, och den överförda divisorn blir en faktor.
Så förhållandet är 3,6:9 = 2
Om du ändrar faktorn 3, $6:\frac(9)(3)=2$
samma förhållande.

Relationen $\frac(ma)(y):b=\frac(ma)(by)$
Flyttar y $ma:by=\frac(ma)(by)$
Flyttar m, a:$a:\frac(m)(by)=\frac(ma)(by)$.

355. Såsom framgår av artiklarna. 352 och 353, om antecedenten och följden båda multipliceras eller divideras med samma belopp, så ändras inte förhållandet.

Resp. 1. Förhållandet två fraktioner, som har en gemensam nämnare, samma som förhållandet mellan deras täljare.
Således är förhållandet a/n:b/n detsamma som a:b.

Resp. 2. direkt förhållandet mellan två bråk som har en gemensam täljare är lika med deras ömsesidiga förhållande nämnare.

356. Det är lätt att bestämma förhållandet mellan två valfria fraktioner från artikeln. Om varje term multipliceras med två nämnare, kommer förhållandet att ges av integraluttryck. Genom att multiplicera termerna för paret a/b:c/d med bd får vi $\frac(abd)(b)$:$\frac(bcd)(d)$, som blir ad:bc, genom att reducera de totala värdena från täljare och nämnare.

356 b. Förhållande större ojämlikhet ökar hans
Låt det större ojämlikhetsförhållandet ges som 1+n:1
Och vilket förhållande som helst a:b
Ett komplext förhållande kommer att vara (art. 347,) a + na:b
Vad är större än förhållandet a:b (art. 351 resp.)
Men förhållandet mindre ojämlikhet, tillagd med ett annat förhållande, minskar hans.
Låt förhållandet mellan den mindre skillnaden 1-n:1
Något givet förhållande a:b
Komplext förhållande a - na:b
Vad är mindre än a:b.

357. Om till eller från medlemmar i något parLägg till eller subtrahera två andra kvantiteter som är i samma förhållande, då kommer summorna eller resterna att ha samma förhållande.
Låt förhållandet a:b
Det blir samma sak som c:d
Sen relationen belopp antecedenter till summan av följderna, nämligen a + c till b + d, är också samma.
Det vill säga $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.

Bevis.

1. Genom antagande, $\frac(a)(b)$ = $\frac(c)(d)$
2. Multiplicera med b och med d, ad = bc
3. Lägg till cd på båda sidorna, ad + cd = bc + cd
4. Dividera med d, $a+c=\frac(bc+cd)(d)$
5. Dividera med b + d, $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.

Förhållande skillnad föregångarna till skillnaden i följder är också desamma.

358. Om förhållandena i flera par är lika, då summan av alla antecedents är till summan av alla konsekvenser som varje antecedent är till dess följd.
Alltså förhållandet
|12:6 = 2
|10:5 = 2
|8:4 = 2
|6:3 = 2
Således förhållandet (12 + 10 + 8 + 6): (6 + 5 + 4 + 3) = 2.

358b. Förhållande större ojämlikhetminskar, tillägger samma mängd till båda medlemmarna.
Låt en given relation a+b:a eller $\frac(a+b)(a)$
Genom att lägga till x till båda termerna får vi a+b+x:a+x eller $\frac(a+b)(a)$.

Den första blir $\frac(a^2+ab+ax+bx)(a(a+x))$
Och den sista är $\frac(a^2+ab+ax)(a(a+x))$.
Eftersom den sista täljaren uppenbarligen är mindre än den andra, alltså förhållande bör vara mindre. (art. 351 resp.)

Men förhållandet mindre ojämlikhet ökar, vilket lägger till samma värde till båda termerna.
Låt den givna relationen vara (a-b):a, eller $\frac(a-b)(a)$.
Genom att lägga till x till båda termerna blir det (a-b+x):(a+x) eller $\frac(a-b+x)(a+x)$
Föra dem till en gemensam nämnare,
Den första blir $\frac(a^2-ab+ax-bx)(a(a+x))$
Och den sista, $\frac(a^2-ab+ax)(a(a+x)).\frac((a^2-ab+ax))(a(a+x))$.

Eftersom den sista täljaren är större än den andra, alltså förhållande Mer.
Om istället för att lägga till samma värde hämtmat från två mandatperioder är det uppenbart att effekten på förhållandet blir den motsatta.

Exempel.

1. Vilket är större: förhållandet 11:9 eller förhållandet 44:35?

2. Vilket är störst: förhållandet $(a+3):\frac(a)(6)$, eller förhållandet $(2a+7):\frac(a)(3)$?

3. Om antecedenten för ett par är 65 och förhållandet är 13, vad blir följden?

4. Om följden av ett par är 7 och förhållandet är 18, vad är antecedenten?

5. Hur ser ett komplext förhållande som består av 8:7 och 2a:5b och även (7x+1):(3y-2) ut?

6. Hur ser ett komplext förhållande sammansatt av (x + y): b, och (x-y): (a + b), och även (a + b): h ut? Rep. (x 2 - y 2): bh.

7. Om relationerna (5x+7):(2x-3), och $(x+2):\left(\frac(x)(2)+3\right)$ bildar en komplex relation, vilken relation då kommer du att få: mer eller mindre ojämlikhet? Rep. Förhållandet större ojämlikhet.

8. Vad är förhållandet uppbyggt av (x + y):a och (x - y):b, och $b:\frac(x^2-y^2)(a)$? Rep. Jämställdhetsförhållande.

9. Vad är förhållandet 7:5 och dubbla 4:9 och tredubbla 3:2?
Rep. 14:15.

10. Vad består förhållandet av 3:7, och tredubbla förhållandet av x:y, och extrahera roten från förhållandet 49:9?
Rep. x3:y3.

Proportion Formel

Proportion är likheten mellan två förhållanden när a:b=c:d

förhållande 1 : 10 är lika med förhållandet 7 : 70, som också kan skrivas som en bråkdel: 1 10 = 7 70 lyder: "ett är till tio som sju är till sjuttio"

Grundläggande egenskaper för proportion

Produkten av de extrema termerna är lika med produkten av mellantermerna (korsvis): om a:b=c:d , då a⋅d=b⋅c

1 10 ✕ 7 70 1 ⋅ 70 = 10 ⋅ 7

Proportionsinversion: om a:b=c:d , då b:a=d:c

1 10 7 70 10 1 = 70 7

Permutation av mellanled: om a:b=c:d , då a:c=b:d

1 10 7 70 1 7 = 10 70

Permutation av extrema medlemmar: om a:b=c:d , då d:b=c:a

1 10 7 70 70 10 = 7 1

Lösa en proportion med en okänd | Ekvationen

1 : 10 = x : 70 eller 1 10 = x 70

För att hitta x måste du multiplicera två kända tal korsvis och dividera med det motsatta värdet

x = 1 ⋅ 70 10 = 7

Hur man beräknar proportion

En uppgift: du behöver dricka 1 tablett aktivt kol per 10 kg vikt. Hur många tabletter ska tas om en person väger 70 kg?

Låt oss göra en proportion: 1 tablett - 10 kg x tabletter - 70 kg För att hitta x måste du multiplicera två kända tal korsvis och dividera med det motsatta värdet: 1 tablett x tabletter✕ 10 kg 70 kg x = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 Svar: 7 tabletter

En uppgift: Vasya skriver två artiklar på fem timmar. Hur många artiklar kommer han att skriva på 20 timmar?

Låt oss göra en proportion: 2 artiklar - 5 timmar x artiklar - 20 timmar x = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 Svar: 8 artiklar

Jag kan säga till framtida akademiker att förmågan att göra proportioner var användbar för mig både för att proportionellt reducera bilder och i HTML-layouten på en webbsida och i vardagliga situationer.

En relation är en viss relation mellan enheterna i vår värld. Dessa kan vara siffror, fysiska mängder, föremål, produkter, fenomen, handlingar och till och med människor.

I vardagen, när det kommer till nyckeltal, säger vi "förhållandet mellan det och det". Till exempel, om det är 4 äpplen och 2 päron i en vas, då säger vi förhållandet äpple till päron förhållandet päron till äpple.

I matematik används förhållandet ofta som "förhållandet mellan något och något". Till exempel kommer förhållandet mellan fyra äpplen och två päron, som vi övervägde ovan, i matematik att läsas som "förhållandet mellan fyra äpplen och två päron" eller om du byter äpplen och päron, då "förhållandet mellan två päron och fyra äpplen".

Förhållandet uttrycks som a till b(var istället för a Och b alla nummer), men oftare kan du hitta en post som är sammansatt med ett kolon som a:b. Du kan läsa det här inlägget på olika sätt:

a till b
a refererar till b
attityd a till b

Vi skriver förhållandet mellan fyra äpplen och två päron med hjälp av kvotsymbolen:

4: 2

Om vi byter äpplen och päron kommer vi att ha ett förhållande på 2:4. Detta förhållande kan läsas som "två till fyra" eller antingen "två päron är lika med fyra äpplen" .

I det följande kommer vi att hänvisa till relationen som en relation.

Lektionens innehåll

Vad är en attityd?

Relationen, som tidigare nämnts, skrivs som a:b. Det kan också skrivas som bråk. Och vi vet att ett sådant rekord i matematik betyder division. Då blir resultatet av relationen kvoten av tal a Och b.

I matematik är ett förhållande kvoten av två tal.

Förhållandet låter dig ta reda på hur mycket av en enhet som är per enhet av en annan. Låt oss gå tillbaka till förhållandet mellan fyra äpplen och två päron (4:2). Detta förhållande gör att vi kan ta reda på hur många äpplen det finns per enhet päron. En enhet betyder ett päron. Låt oss först skriva förhållandet 4:2 som en bråkdel:

Detta förhållande är divisionen av siffran 4 med siffran 2. Om vi utför denna division får vi svaret på frågan om hur många äpplen det finns per enhet päron

Vi fick 2. Så fyra äpplen och två päron (4:2) är korrelerade (sammanhängande med varandra) så att det blir två äpplen per päron

Figuren visar hur fyra äpplen och två päron förhåller sig till varandra. Det kan ses att det finns två äpplen för varje päron.

Relationen kan vändas genom att skriva som . Då får vi förhållandet mellan två päron och fyra äpplen, eller "förhållandet mellan två päron och fyra äpplen." Detta förhållande kommer att visa hur många päron som är per enhet äpple. Enheten för ett äpple betyder ett äpple.

För att hitta värdet på ett bråk måste du komma ihåg hur man dividerar ett mindre tal med ett större.

Fick 0,5. Låt oss konvertera detta decimaltal till ett vanligt:

Minska den resulterande vanliga fraktionen med 5

Fick svar (ett halvt päron). Så två päron och fyra äpplen (2:4) är korrelerade (sammanhängande med varandra) så att ett äpple står för ett halvt päron

Figuren visar hur två päron och fyra äpplen är släkt med varandra. Det kan ses att för varje äpple finns det ett halvt päron.

Siffrorna som utgör ett förhållande kallas medlemmar i förhållandet. Till exempel, i relationen 4:2, är medlemmarna siffrorna 4 och 2.

Tänk på andra exempel på relationer. Ett recept görs för att förbereda något. Receptet är byggt utifrån förhållandena mellan produkterna. För att till exempel göra havregryn krävs vanligtvis ett glas flingor till två glas mjölk eller vatten. Detta resulterar i ett förhållande på 1:2 ("ett till två" eller "ett glas flingor till två glas mjölk").

Låt oss omvandla förhållandet 1:2 till ett bråk, vi får. När vi räknar ut denna bråkdel får vi 0,5. Så ett glas flingor och två glas mjölk är korrelerade (korrelerade) så att det blir ett halvt glas flingor för ett glas mjölk.

Om du vänder på förhållandet 1:2 får du ett förhållande på 2:1 ("två till ett" eller "två glas mjölk till ett glas flingor"). Omvandling av förhållandet 2:1 till en bråkdel får vi. Om vi räknar ut denna bråkdel får vi 2. Så två glas mjölk och ett glas flingor är relaterade (korrelerade med varandra) så att det blir två glas mjölk för ett glas flingor.

Exempel 2 Det är 15 elever i klassen. Av dessa är 5 pojkar, 10 flickor. Det är möjligt att skriva ner ett förhållande mellan flickor och pojkar på 10:5 och omvandla detta förhållande till en bråkdel. Om vi räknar ut denna bråkdel får vi 2. Det vill säga flickor och pojkar är släkt med varandra så att det för varje pojke finns två flickor

Figuren visar hur tio tjejer och fem pojkar förhåller sig till varandra. Det kan ses att för varje pojke finns det två flickor.

Det är inte alltid möjligt att omvandla ett förhållande till ett bråk och hitta en kvot. I vissa fall kommer det att vara ologiskt.

Så, om du vänder upp och ner på förhållandet, och detta är förhållandet mellan pojkar och flickor. Om du räknar ut denna bråkdel får du 0,5. Det visar sig att fem pojkar är släkt med tio tjejer så att det för varje tjej finns en halv pojke. Matematiskt är det såklart sant, men ur verklighetens synvinkel är det inte helt rimligt, för en pojke är en levande person och kan inte bara tas och delas som ett päron eller ett äpple.

Förmågan att bygga rätt attityd är en viktig färdighet i problemlösning. Så i fysiken är förhållandet mellan tillryggalagd sträcka och tid rörelsehastigheten.

Avståndet betecknas med variabeln S, tid - genom en variabel t, hastighet - genom variabeln v. Sedan frasen "förhållandet mellan tillryggalagd sträcka och tid är rörelsehastigheten" kommer att beskrivas med följande uttryck:

Anta att en bil åker 100 kilometer på 2 timmar. Då blir förhållandet mellan 100 kilometer tillryggalagt och 2 timmar bilens hastighet:

Hastighet är det avstånd en kropp tillryggalagt per tidsenhet. Tidsenheten är 1 timme, 1 minut eller 1 sekund. Och förhållandet, som nämnts tidigare, låter dig ta reda på hur mycket av en enhet som är per enhet av en annan. I vårt exempel visar förhållandet hundra kilometer till två timmar hur många kilometer det finns för en timmes rörelse. Vi ser att för varje timmes rörelse finns det 50 kilometer

Så hastighet mäts i km/h, m/min, m/s. Bråksymbolen (/) anger förhållandet mellan avstånd och tid: kilometer i timmen , meter per minut Och meter per sekund respektive.

Exempel 2. Förhållandet mellan värdet av en vara och dess kvantitet är priset på en enhet av varan.

Om vi tog 5 chokladkakor i butiken och deras totala kostnad var 100 rubel, kan vi bestämma priset på en bar. För att göra detta måste du hitta förhållandet mellan hundra rubel och antalet staplar. Då får vi att en stapel står för 20 rubel

Jämförelse av värden

Tidigare har vi lärt oss att förhållandet mellan mängder av olika karaktär bildar en ny storhet. Således är förhållandet mellan tillryggalagd sträcka och tid rörelsehastigheten. Förhållandet mellan värdet av en vara och dess kvantitet är priset på en enhet av varan.

Men förhållandet kan också användas för att jämföra värden. Resultatet av en sådan relation är ett tal som visar hur många gånger det första värdet är större än det andra, eller vilken del det första värdet är från det andra.

För att ta reda på hur många gånger det första värdet är större än det andra måste du skriva ett större värde i täljaren för förhållandet och ett mindre värde i nämnaren.

För att ta reda på vilken del det första värdet är från det andra, måste du skriva ett mindre värde i täljaren för förhållandet och ett större värde i nämnaren.

Betrakta siffrorna 20 och 2. Låt oss ta reda på hur många gånger talet 20 är större än talet 2. För att göra detta hittar vi förhållandet mellan talet 20 och talet 2. Skriv talet 20 i täljaren för förhållandet , och siffran 2 i nämnaren

Värdet på detta förhållande är tio

Förhållandet mellan talet 20 och talet 2 är talet 10. Detta tal visar hur många gånger talet 20 är större än talet 2. Så talet 20 är tio gånger större än talet 2.

Exempel 2 Det är 15 elever i klassen. 5 av dem är pojkar, 10 är flickor. Bestäm hur många gånger fler flickor än pojkar.

Skriv ner flickors inställning till pojkar. I täljaren av förhållandet skriver vi antalet flickor, i nämnaren av förhållandet - antalet pojkar:

Värdet på detta förhållande är 2. Det betyder att i en klass på 15 finns det dubbelt så många flickor som pojkar.

Det är inte längre en fråga om hur många tjejer det finns för en pojke. I det här fallet används förhållandet för att jämföra antalet flickor med antalet pojkar.

Exempel 3. Vilken del av nummer 2 är från nummer 20.

Vi hittar förhållandet mellan talet 2 och talet 20. I täljaren för förhållandet skriver vi talet 2, och i nämnaren - talet 20

För att hitta innebörden av detta förhållande måste du komma ihåg,

Värdet på förhållandet mellan talet 2 och talet 20 är talet 0,1

I det här fallet kan decimalbråket 0,1 omvandlas till ett vanligt. Det här svaret blir lättare att förstå:

Så siffran 2 av siffran 20 är en tiondel.

Du kan göra en kontroll. För att göra detta hittar vi från siffran 20. Om vi gjorde allt korrekt borde vi få siffran 2

20: 10 = 2

2 x 1 = 2

Vi fick siffran 2. Så en tiondel av siffran 20 är siffran 2. Av detta drar vi slutsatsen att problemet har lösts korrekt.

Exempel 4 Det är 15 personer i klassen. 5 av dem är pojkar, 10 är flickor. Bestäm hur stor andel av det totala antalet elever som är pojkar.

Vi skriver ner förhållandet mellan pojkar och det totala antalet elever. Vi skriver fem pojkar i täljaren av förhållandet och det totala antalet skolbarn i nämnaren. Det totala antalet skolbarn är 5 pojkar plus 10 flickor, så vi skriver talet 15 i förhållandets nämnare

För att hitta värdet på detta förhållande måste du komma ihåg hur man dividerar ett mindre tal med ett större. I det här fallet måste siffran 5 delas med siffran 15

När du dividerar 5 med 15 får du ett periodiskt bråktal. Låt oss omvandla denna bråkdel till en vanlig

Fick det sista svaret. Så killarna utgör en tredjedel av hela klassen

Figuren visar att i en klass med 15 elever är en tredjedel av klassen 5 pojkar.

Om vi för verifiering hittar från 15 skolbarn, kommer vi att få 5 pojkar

15: 3 = 5

5 x 1 = 5

Exempel 5 Hur många gånger är siffran 35 större än siffran 5?

Vi skriver förhållandet mellan talet 35 och talet 5. I täljaren för förhållandet måste du skriva talet 35, i nämnaren - talet 5, men inte vice versa

Värdet på detta förhållande är 7. Så talet 35 är sju gånger större än talet 5.

Exempel 6 Det är 15 personer i klassen. 5 av dem är pojkar, 10 är flickor. Bestäm hur stor andel av det totala antalet flickor.

Vi skriver ner förhållandet mellan flickor och det totala antalet elever. Vi skriver tio flickor i täljaren av förhållandet och det totala antalet skolbarn i nämnaren. Det totala antalet skolbarn är 5 pojkar plus 10 flickor, så vi skriver talet 15 i nämnaren av förhållandet

För att hitta värdet på detta förhållande måste du komma ihåg hur man dividerar ett mindre tal med ett större. I det här fallet måste talet 10 delas med talet 15

När du dividerar 10 med 15 får du ett periodiskt bråktal. Låt oss omvandla denna bråkdel till en vanlig

Låt oss minska den resulterande bråkdelen med 3

Fick det sista svaret. Så tjejer utgör två tredjedelar av hela klassen

Figuren visar att i en klass med 15 elever är två tredjedelar av klassen 10 flickor.

Om vi för verifiering hittar från 15 skolbarn, så får vi 10 flickor

15: 3 = 5

5 x 2 = 10

Exempel 7 Vilken del av 10 cm är 25 cm

Skriv ner förhållandet mellan tio centimeter och tjugofem centimeter. I täljaren av förhållandet skriver vi 10 cm, i nämnaren - 25 cm

För att hitta värdet på detta förhållande måste du komma ihåg hur man dividerar ett mindre tal med ett större. I det här fallet måste talet 10 delas med talet 25

Låt oss konvertera den resulterande decimalfraktionen till en vanlig

Låt oss minska den resulterande bråkdelen med 2

Fick det sista svaret. Så 10 cm är 25 cm.

Exempel 8 Hur många gånger är 25 cm större än 10 cm

Skriv ner förhållandet mellan tjugofem centimeter och tio centimeter. I täljaren av förhållandet skriver vi 25 cm, i nämnaren - 10 cm

Fick svaret 2.5. Så 25 cm är 2,5 gånger mer än 10 cm (två och en halv gånger)

Viktig notering. När man ska hitta förhållandet mellan samma fysiska storheter måste dessa kvantiteter uttryckas i en måttenhet, annars blir svaret felaktigt.

Om vi till exempel har att göra med två längder och vill veta hur många gånger den första längden är större än den andra, eller vilken del den första längden är från den andra, måste båda längderna först uttryckas i en måttenhet.

Exempel 9 Hur många gånger är 150 cm mer än 1 meter?

Låt oss först se till att båda längderna uttrycks i samma enhet. För att göra detta, omvandla 1 meter till centimeter. En meter är hundra centimeter

1 m = 100 cm

Nu hittar vi förhållandet etthundrafemtio centimeter till hundra centimeter. I täljaren av förhållandet skriver vi 150 centimeter, i nämnaren - 100 centimeter

Låt oss ta reda på värdet av denna relation

Fick svaret 1,5. Så 150 cm är mer än 100 cm gånger 1,5 gånger (en och en halv gång).

Och om vi inte började omvandla meter till centimeter och omedelbart försökte hitta förhållandet 150 cm till en meter, skulle vi få följande:

Det skulle visa sig att 150 cm är hundra femtio gånger mer än en meter, men det är inte sant. Därför är det absolut nödvändigt att vara uppmärksam på måttenheterna för fysiska storheter som är involverade i relationen. Om dessa kvantiteter uttrycks i olika måttenheter, måste du gå till en måttenhet för att hitta förhållandet mellan dessa kvantiteter.

Exempel 10 Förra månaden var en persons lön 25 000 rubel, och denna månad har lönen ökat till 27 000 rubel. Bestäm hur mycket lönen har ökat

Vi skriver ner förhållandet tjugosju tusen till tjugofem tusen. I täljaren av förhållandet skriver vi 27000, i nämnaren - 25000

Låt oss ta reda på värdet av denna relation

Fick svaret 1.08. Så lönen ökade med 1,08 gånger. I framtiden, när vi bekantar oss med procentsatser, kommer vi att uttrycka sådana indikatorer som lön i procent.

Exempel 11. Hyreshuset är 80 meter brett och 16 meter högt. Hur många gånger är husets bredd större än dess höjd?

Vi skriver förhållandet mellan husets bredd och dess höjd:

Värdet på detta förhållande är 5. Det betyder att husets bredd är fem gånger dess höjd.

förhållande egendom

Förhållandet ändras inte om dess termer multipliceras eller divideras med samma tal.

Denna en av de viktigaste egenskaperna hos en relation följer av kvotegenskapen. Vi vet att om utdelningen och divisorn multipliceras eller divideras med samma tal, så kommer kvoten inte att förändras. Och eftersom förhållandet inte är något annat än en delning, fungerar kvotegenskapen för det också.

Låt oss återgå till flickors inställning till pojkar (10:5). Detta förhållande visade att det finns två flickor för varje pojke. Låt oss kolla hur relationsegenskapen fungerar, låt oss nämligen försöka multiplicera eller dividera dess medlemmar med samma tal.

I vårt exempel är det bekvämare att dela termerna för relationen med deras största gemensamma divisor (GCD).

GCD för medlemmarna 10 och 5 är talet 5. Därför kan du dividera termerna för relationen med talet 5

Fick en ny attityd. Det är ett två till ett förhållande (2:1). Detta förhållande, liksom det tidigare förhållandet 10:5, visar att det finns två flickor för varje pojke.

Figuren visar ett förhållande på 2:1 (två till ett). Liksom i det tidigare förhållandet 10:5 är det två flickor per pojke. Attityden har med andra ord inte förändrats.

Exempel 2. Det är 10 flickor och 5 killar i en klass. Det är 20 tjejer och 10 killar i en annan klass. Hur många gånger fler tjejer är det än killar i första klass? Hur många gånger fler tjejer än killar i andra klass?

Det finns dubbelt så många flickor som pojkar i båda klasserna, eftersom förhållandena mellan och är lika med samma antal.

Relationsegenskapen låter dig bygga olika modeller som har liknande parametrar som det verkliga objektet. Antag att ett hyreshus är 30 meter brett och 10 meter högt.

För att rita ett liknande hus på papper måste du rita det i samma förhållande på 30:10.

Dividera båda termerna i detta förhållande med talet 10. Då får vi förhållandet 3:1. Detta förhållande är 3, liksom det föregående förhållandet är 3

Konvertera meter till centimeter. 3 meter är 300 centimeter och 1 meter är 100 centimeter.

3 m = 300 cm

1 m = 100 cm

Vi har ett förhållande på 300 cm: 100 cm. Dividera termerna för detta förhållande med 100. Vi får ett förhållande på 3 cm: 1 cm. Nu kan vi rita ett hus med en bredd på 3 cm och en höjd på 1 cm

Naturligtvis är det ritade huset mycket mindre än det riktiga huset, men förhållandet mellan bredd och höjd förblir oförändrat. Detta gjorde att vi kunde rita ett hus så nära det riktiga som möjligt.

Attityd kan förstås på ett annat sätt. Till en början sa man att ett riktigt hus har en bredd på 30 meter och en höjd på 10 meter. Summan är 30 + 10, det vill säga 40 meter.

Dessa 40 meter kan förstås som 40 delar. Ett förhållande på 30:10 innebär 30 delar för bredden och 10 delar för höjden.

Vidare delades medlemmarna i förhållandet 30:10 med 10. Resultatet var förhållandet 3:1. Detta förhållande kan förstås som 4 delar, varav tre faller på bredden, en på höjden. I det här fallet behöver du oftast ta reda på exakt hur många meter per bredd och höjd.

Med andra ord måste du ta reda på hur många meter som faller i 3 delar och hur många meter som faller i 1 del. Först måste du ta reda på hur många meter som faller på en del. För att göra detta måste de totala 40 meterna delas med 4, eftersom det bara finns fyra delar i förhållandet 3:1

Låt oss bestämma hur många meter bredden är:

10 m × 3 = 30 m

Låt oss bestämma hur många meter som faller på höjden:

10 m × 1 = 10 m

Flera medlemmar i en relation

Om flera medlemmar ges i en relation, så kan de förstås som delar av något.

Exempel 1. Köpte 18 äpplen. Dessa äpplen delades upp mellan mamma, pappa och dotter i ett förhållande av 2: 1: 3. Hur många äpplen fick var och en?

Förhållandet 2: 1: 3 indikerar att mamman fick 2 delar, pappan - 1 del, dottern - 3 delar. Med andra ord är varje medlem i förhållandet 2:1:3 en viss del av 18 äpplen:

Om du lägger till villkoren för förhållandet 2: 1: 3 kan du ta reda på hur många delar det finns totalt:

2 + 1 + 3 = 6 (delar)

Ta reda på hur många äpplen som faller på en del. För att göra detta, dela 18 äpplen med 6

18:6 = 3 (äpplen per del)

Låt oss nu bestämma hur många äpplen var och en fick. Genom att multiplicera tre äpplen med varje medlem i förhållandet 2:1:3 kan du bestämma hur många äpplen mamma fick, hur många pappa fick och hur mycket dotter fick.

Ta reda på hur många äpplen mamma fick:

3 × 2 = 6 (äpplen)

Ta reda på hur många äpplen pappa fick:

3 × 1 = 3 (äpplen)

Ta reda på hur många äpplen dottern fick:

3 × 3 = 9 (äpplen)

Exempel 2. Nytt silver (alpacka) är en legering av nickel, zink och koppar i förhållandet 3:4:13. Hur många kilogram av varje metall måste man ta för att få 4 kg nytt silver?

4 kilo nytt silver kommer att innehålla 3 delar nickel, 4 delar zink och 13 delar koppar. Först tar vi reda på hur många delar det kommer att finnas i fyra kilo silver:

3 + 4 + 13 = 20 (delar)

Bestäm hur många kilo som faller på en del:

4 kg: 20 = 0,2 kg

Låt oss bestämma hur många kilo nickel som kommer att finnas i 4 kg nytt silver. I förhållandet 3:4:13 sägs tre delar av legeringen innehålla nickel. Så vi multiplicerar 0,2 med 3:

0,2 kg × 3 = 0,6 kg nickel

Låt oss nu bestämma hur många kilo zink som kommer att finnas i 4 kg nytt silver. I förhållandet 3:4:13 sägs fyra delar av legeringen innehålla zink. Så vi multiplicerar 0,2 med 4:

0,2 kg × 4 = 0,8 kg zink

Låt oss nu bestämma hur många kilogram koppar som kommer att finnas i 4 kg nytt silver. I förhållandet 3:4:13 sägs tretton delar av legeringen innehålla koppar. Därför multiplicerar vi 0,2 med 13:

0,2 kg × 13 = 2,6 kg koppar

Så för att få 4 kg nytt silver måste du ta 0,6 kg nickel, 0,8 kg zink och 2,6 kg koppar.

Exempel 3. Mässing är en legering av koppar och zink vars massförhållande är 3:2. Det krävs 120 g koppar för att göra en bit mässing. Hur mycket zink krävs för att göra den här mässingsbiten?

Låt oss bestämma hur många gram av legeringen som faller på en del. Villkoret säger att det krävs 120 g koppar för att göra en bit mässing. Det sägs också att tre delar av legeringen innehåller koppar. Om vi delar 120 med 3 får vi reda på hur många gram av legeringen som finns i en del:

120:3 = 40 gram per styck

Låt oss nu bestämma hur mycket zink som krävs för att göra en bit mässing. För att göra detta multiplicerar vi 40 gram med 2, eftersom det i ett förhållande av 3: 2 anges att två delar innehåller zink:

40 g × 2 = 80 gram zink

Exempel 4. De tog två legeringar av guld och silver. I den ena är förhållandet mellan dessa metaller 1:9 och i den andra 2:3. Hur mycket av varje legering ska man ta för att få 15 kg av en ny legering där guld och silver skulle vara relaterade till 1:4?

Lösning

15 kg av en ny legering bör vara i förhållandet 1: 4. Detta förhållande indikerar att en del av legeringen kommer att ha guld och fyra delar kommer att ha silver. Det är fem delar totalt. Schematiskt kan detta representeras enligt följande

Låt oss bestämma massan av en del. För att göra detta, lägg först till alla delar (1 och 4), dividera sedan legeringens massa med antalet av dessa delar

1 + 4 = 5
15 kg: 5 = 3 kg

En del av legeringen kommer att ha en massa på 3 kg. Då kommer 15 kg av den nya legeringen att innehålla 3 × 1 = 3 kg guld och 3 × 4 = 12 kg silver.

För att få en legering som väger 15 kg behöver vi därför 3 kg guld och 12 kg silver.

Låt oss nu svara på frågan om uppgiften - " Hur mycket ska man ta varje legering? »

Vi kommer att ta 10 kg av den första legeringen, eftersom guld och silver i den är i förhållandet 1: 9. Det vill säga, denna första legering kommer att ge oss 1 kg guld och 9 kg silver.

Vi kommer att ta 5 kg av den andra legeringen, eftersom guld och silver finns i den i ett förhållande av 2: 3. Det vill säga, denna andra legering kommer att ge oss 2 kg guld och 3 kg silver.

Gillade du lektionen?
Gå med i vår nya Vkontakte-grupp och börja få meddelanden om nya lektioner

För att lösa de flesta problem i gymnasiematematiken krävs kunskaper i proportionering. Denna enkla färdighet hjälper inte bara att utföra komplexa övningar från läroboken, utan också fördjupa sig i själva essensen av matematisk vetenskap. Hur gör man en proportion? Låt oss nu ta reda på det.

Det enklaste exemplet är ett problem där tre parametrar är kända, och den fjärde måste hittas. Proportionerna är förstås olika, men ofta behöver man hitta någon siffra efter procent. Till exempel hade pojken tio äpplen totalt. Han gav den fjärde delen till sin mamma. Hur många äpplen har pojken kvar? Detta är det enklaste exemplet som gör att du kan göra en proportion. Huvudsaken är att göra det. Ursprungligen fanns det tio äpplen. Låt det vara 100%. Detta märkte vi alla hans äpplen. Han gav en fjärdedel. 1/4=25/100. Så han har lämnat: 100% (det var ursprungligen) - 25% (han gav) = 75%. Den här figuren visar procentandelen av mängden frukt kvar över mängden frukt som var tillgänglig först. Nu har vi tre tal som vi redan kan lösa andelen med. 10 äpplen - 100%, Xäpplen - 75%, där x är den önskade mängden frukt. Hur gör man en proportion? Det är nödvändigt att förstå vad det är. Matematiskt ser det ut så här. Likhetstecknet är till för din förståelse.

10 äpplen = 100%;

x äpplen = 75%.

Det visar sig att 10/x = 100%/75. Detta är proportionernas huvudsakliga egenskap. När allt kommer omkring, ju fler x, desto mer procent är detta nummer från originalet. Vi löser denna proportion och får att x=7,5 äpplen. Varför pojken bestämde sig för att ge ett icke-heltalsbelopp vet vi inte. Nu vet du hur man gör en proportion. Det viktigaste är att hitta två förhållanden, varav en innehåller det önskade okända.

Att lösa en proportion handlar ofta om enkel multiplikation och sedan division. Barn får inte lära sig i skolor varför det är så. Även om det är viktigt att förstå att proportionella relationer är matematiska klassiker, är själva kärnan i vetenskapen. För att lösa proportioner måste du kunna hantera bråk. Till exempel är det ofta nödvändigt att omvandla procenttal till vanliga bråk. Det vill säga ett rekord på 95 % kommer inte att fungera. Och om du omedelbart skriver 95/100, så kan du göra rejäla minskningar utan att starta huvudräkningen. Det är värt att säga direkt att om din andel visade sig med två okända, så kan det inte lösas. Ingen professor kan hjälpa dig här. Och din uppgift har troligen en mer komplex algoritm för korrekta åtgärder.

Betrakta ett annat exempel där det inte finns några procentsatser. Bilisten köpte 5 liter bensin för 150 rubel. Han funderade på hur mycket han skulle betala för 30 liter bränsle. För att lösa detta problem anger vi med x den erforderliga summan pengar. Du kan lösa det här problemet själv och sedan kontrollera svaret. Om du ännu inte har räknat ut hur man gör en proportion, titta då. 5 liter bensin är 150 rubel. Som i det första exemplet, låt oss skriva 5l - 150r. Låt oss nu hitta det tredje numret. Självklart är det 30 liter. Håll med om att ett par 30 l - x rubel är lämpligt i denna situation. Låt oss gå vidare till matematiskt språk.

5 liter - 150 rubel;

30 liter - x rubel;

Vi löser denna proportion:

x = 900 rubel.

Det var vad vi bestämde. I din uppgift, glöm inte att kontrollera att svaret är adekvat. Det händer att bilar med fel beslut når orealistiska hastigheter på 5000 kilometer i timmen och så vidare. Nu vet du hur man gör en proportion. Du kan också lösa det. Som du kan se är det inget komplicerat i detta.

Ett förhållande (i matematik) är ett förhållande mellan två eller flera tal av samma slag. Kvoten jämför absoluta värden eller delar av en helhet. Kvoten beräknas och skrivs på olika sätt, men grundprinciperna är desamma för alla kvoter.

Steg

Del 1

Definition av nyckeltal

Använda förhållanden. Förhållanden används både inom vetenskapen och i vardagen för att jämföra kvantiteter. De enklaste förhållandena relaterar bara till två siffror, men det finns förhållanden som jämför tre eller flera värden. I alla situationer där mer än en kvantitet förekommer kan ett förhållande skrivas. Genom att koppla ihop några värden kan kvoter till exempel ge förslag på hur man kan öka mängden ingredienser i ett recept eller ämnen i en kemisk reaktion.

Definition av nyckeltal. En relation är en relation mellan två (eller flera) värden av samma slag. Till exempel, om en kaka kräver 2 koppar mjöl och 1 kopp socker, är förhållandet mellan mjöl och socker 2 till 1.
- Förhållanden kan också användas när två kvantiteter inte är relaterade till varandra (som i kakexemplet). Till exempel, om det är 5 flickor och 10 pojkar i klassen, så är förhållandet mellan flickor och pojkar 5 till 10. Dessa kvantiteter (antalet pojkar och antalet flickor) beror inte på varandra, dvs. deras värderingar kommer att förändras om någon lämnar klassen eller om en ny elev kommer till klassen. Förhållanden jämför helt enkelt värden på kvantiteter.
Lägg märke till de olika sätten som kvoterna representeras på. Relationer kan representeras i ord eller med matematiska symboler.
- Mycket ofta uttrycks förhållandena i ord (som visas ovan). Särskilt denna form av representation av kvoter används i vardagen, långt ifrån vetenskapen.
- Även förhållanden kan uttryckas genom ett kolon. När du jämför två tal i ett förhållande kommer du att använda ett enda kolon (till exempel 7:13); när du jämför tre eller fler värden, sätt ett kolon mellan varje par av tal (till exempel 10:2:23). I vårt klassexempel kan du uttrycka förhållandet mellan flickor och pojkar så här: 5 flickor: 10 pojkar. Eller så här: 5:10.
- Mindre vanligt uttrycks förhållanden med ett snedstreck. I klassexemplet skulle det kunna skrivas så här: 5/10. Ändå är detta inte ett bråk och ett sådant förhållande läses inte som ett bråk; kom dessutom ihåg att i ett förhållande är tal inte en del av en enda helhet.
Del 2
Använda kvoter
1. Förenkla förhållandet. Förhållandet kan förenklas (liknar bråk) genom att dividera varje term (antal) i förhållandet med . Glöm dock inte de ursprungliga förhållandets värden ur sikte.
  - I vårt exempel är det 5 flickor och 10 pojkar i klassen; förhållandet är 5:10. Den största gemensamma delaren för förhållandets termer är 5 (eftersom både 5 och 10 är delbara med 5). Dela varje förhållandetal med 5 för att få förhållandet 1 flicka till 2 pojkar (eller 1:2). Men när du förenklar förhållandet, håll de ursprungliga värdena i åtanke. I vårt exempel är det inte 3 elever i klassen utan 15. Det förenklade förhållandet jämför antalet pojkar och antalet flickor. Det vill säga, för varje tjej finns det 2 pojkar, men det finns inte 2 pojkar och 1 tjej i klassen.
  - Vissa relationer är inte förenklade. Till exempel är förhållandet 3:56 inte förenklat eftersom dessa tal inte har gemensamma divisorer (3 är ett primtal och 56 är inte delbart med 3).
2. Använd multiplikation eller division för att öka eller minska förhållandet. Ett vanligt problem är att öka eller minska två värden som är proportionella mot varandra. Om du får ett förhållande och behöver hitta ett större eller mindre förhållande som matchar det, multiplicera eller dividera det ursprungliga förhållandet med något givet tal.
  - Till exempel måste en bagare tredubbla mängden ingredienser som anges i ett recept. Om receptet säger att förhållandet mellan mjöl och socker är 2:1 (2:1), kommer bagaren att multiplicera varje term med 3 för att få ett förhållande på 6:3 (6 koppar mjöl till 3 koppar socker).
  - Å andra sidan, om bagaren behöver halvera mängden ingredienser som anges i receptet, kommer bagaren att dela varje förhållandeterm med 2 och få ett förhållande på 1:½ (1 kopp mjöl till 1/2 kopp socker).
3. Sök efter ett okänt värde när två ekvivalenta förhållanden anges. Detta är ett problem där du måste hitta en okänd variabel i en relation med hjälp av en andra relation som är ekvivalent med den första. För att lösa sådana problem, använd . Skriv varje förhållande som ett bråktal, sätt ett likhetstecken mellan dem och multiplicera deras termer korsvis.
  - Till exempel med tanke på en grupp elever, där det finns 2 pojkar och 5 flickor. Vad blir antalet pojkar om antalet flickor utökas till 20 (andelen bevaras)? Skriv först ner två förhållanden - 2 pojkar:5 flickor och X killar: 20 flickor. Skriv nu dessa förhållanden som bråk: 2/5 och x/20. Multiplicera termerna för bråken korsvis och få 5x = 40; alltså x = 40/5 = 8.
Del 3
Vanliga misstag
1. Undvik addition och subtraktion i textförhållandeproblem. Många ordproblem ser ut ungefär så här: ”Receptet kräver 4 potatisknölar och 5 rotmorötter. Om du vill lägga till 8 potatisar, hur många morötter behöver du för att behålla förhållandet detsamma?” När man löser sådana problem gör eleverna ofta misstaget att lägga till samma mängd ingredienser till det ursprungliga numret. Men för att behålla förhållandet måste du använda multiplikation. Här är exempel på rätt och fel lösningar:
  - Felaktigt: “8 - 4 = 4 - så vi lade till 4 potatisknölar. Så du måste ta 5 morotsrötter och lägga till 4 till dem ... Sluta! Förhållanden fungerar inte så. Värt att försöka igen."
  - Rätt: "8 ÷ 4 = 2 - så vi multiplicerade antalet potatisar med 2. Följaktligen måste 5 morotsrötter också multipliceras med 2. 5 x 2 = 10 - 10 morotsrötter måste läggas till receptet."

total:0
I kontakt med 0
Google Plus 0
OK 0
Facebook 0