Beräkning av arealer genom integralen. Beräkna arean av plana figurer med hjälp av integralen

Beräkna arean av en figur Detta är kanske ett av de svåraste problemen inom områdesteorin. I skolans geometri lär de sig att hitta områdena för geometriska grundformer som till exempel en triangel, en romb, en rektangel, en trapets, en cirkel osv. Man har dock ofta att göra med beräkningen av arean för mer komplexa figurer. Det är för att lösa sådana problem som det är mycket bekvämt att använda integralkalkyl.

Definition.

Krökt trapets någon figur G kallas, begränsad av linjerna y = f(x), y = 0, x = a och x = b, och funktionen f(x) är kontinuerlig på segmentet [a; b] och ändrar inte sitt tecken på den (Figur 1). Arean av en kurvlinjär trapets kan betecknas med S(G).

Den bestämda integralen ʃ a b f(x)dx för funktionen f(x), som är kontinuerlig och icke-negativ på segmentet [a; b], och är arean för motsvarande krökta trapets.

Det vill säga, för att hitta arean av figuren G, avgränsad av linjerna y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a och x \u003d b, är det nödvändigt att beräkna bestämd integral ʃ abf (x) dx.

På det här sättet, S(G) = ʃ a b f(x)dx.

Om funktionen y = f(x) inte är positiv på [a; b], då kan området för den kurvlinjära trapetsen hittas av formeln S(G) = -ʃ a b f(x)dx.

Exempel 1

Beräkna arean av figuren avgränsad av linjerna y \u003d x 3; y = 1; x = 2.

Lösning.

De givna linjerna bildar figuren ABC, som visas med en streckning ris. 2.

Den önskade arean är lika med skillnaden mellan areorna för den kurvlinjära trapetsformen DACE och kvadraten DABE.

Med formeln S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a) hittar vi gränserna för integration. För att göra detta löser vi ett system med två ekvationer:

(y \u003d x 3,
(y = 1.

Således har vi x 1 \u003d 1 - den nedre gränsen och x \u003d 2 - den övre gränsen.

Så, S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 /4| 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (kvadratenheter).

Svar: 11/4 kvm. enheter

Exempel 2

Beräkna arean av figuren avgränsad av linjer y \u003d √x; y = 2; x = 9.

Lösning.

De givna linjerna bildar figuren ABC, som avgränsas uppifrån av funktionens graf

y \u003d √x, och underifrån grafen för funktionen y \u003d 2. Den resulterande siffran visas genom att streckas på ris. 3.

Det önskade området är lika med S = ʃ a b (√x - 2). Låt oss hitta gränserna för integration: b = 9, för att hitta a löser vi systemet med två ekvationer:

(y = √x,
(y = 2.

Således har vi att x = 4 = a är den nedre gränsen.

Så, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 - 2x| 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (kvadratenheter).

Svar: S = 2 2/3 kvm. enheter

Exempel 3

Beräkna arean av figuren avgränsad av linjerna y \u003d x 3 - 4x; y = 0; x ≥ 0.

Lösning.

Låt oss plotta funktionen y \u003d x 3 - 4x för x ≥ 0. För att göra detta hittar vi derivatan y ':

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 vid х = ±2/√3 ≈ 1,1 är kritiska punkter.

Om vi ​​ritar de kritiska punkterna på den reella axeln och placerar derivatans tecken får vi att funktionen minskar från noll till 2/√3 och ökar från 2/√3 till plus oändlighet. Då är x = 2/√3 minimipunkten, minimivärdet för funktionen y är min = -16/(3√3) ≈ -3.

Låt oss bestämma skärningspunkterna för grafen med koordinataxlarna:

om x \u003d 0, då y \u003d 0, vilket betyder att A (0; 0) är skärningspunkten med Oy-axeln;

om y \u003d 0, då x 3 - 4x \u003d 0 eller x (x 2 - 4) \u003d 0, eller x (x - 2) (x + 2) \u003d 0, varifrån x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (ej lämplig, eftersom x ≥ 0).

Punkterna A(0; 0) och B(2; 0) är skärningspunkterna för grafen med Ox-axeln.

De givna linjerna bildar OAB-figuren, som visas med en streckning ris. 4.

Eftersom funktionen y \u003d x 3 - 4x antar (0; 2) ett negativt värde, då

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Vi har: ʃ 0 2 (x 3 - 4x)dx = (x 4 /4 - 4x 2 /2)| 0 2 \u003d -4, varifrån S \u003d 4 kvadratmeter. enheter

Svar: S = 4 kvm. enheter

Exempel 4

Hitta området för figuren som begränsas av parabeln y \u003d 2x 2 - 2x + 1, de räta linjerna x \u003d 0, y \u003d 0 och tangenten till denna parabel i punkten med abskissan x 0 \u003d 2.

Lösning.

Först sammanställer vi ekvationen för tangenten till parabeln y \u003d 2x 2 - 2x + 1 vid punkten med abskissan x₀ \u003d 2.

Eftersom derivatan y' = 4x - 2, får vi för x 0 = 2 k = y'(2) = 6.

Hitta ordinatan för beröringspunkten: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

Därför har tangentekvationen formen: y - 5 \u003d 6 (x - 2) eller y \u003d 6x - 7.

Låt oss bygga en figur avgränsad av linjer:

y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x \u003d 0, y \u003d 6x - 7.

Г y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - parabel. Skärningspunkter med koordinataxlarna: A(0; 1) - med Oy-axeln; med Ox-axeln - det finns inga skärningspunkter, eftersom ekvationen 2x 2 - 2x + 1 = 0 har inga lösningar (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b \u003d 2/4 \u003d 1/2;

y b \u003d 1/2, det vill säga spetsen på parabelpunkten B har koordinater B (1/2; 1/2).

Så, figuren vars area ska bestämmas visas med en kläckning ris. fem.

Vi har: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC.

Hitta koordinaterna för punkt D från villkoret:

6x - 7 = 0, dvs. x \u003d 7/6, sedan DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6.

Vi hittar arean av triangeln DBC med formeln S ADBC ​​= 1/2 · DC · BC. På det här sättet,

S ADBC ​​= 1/2 5/6 5 = 25/12 kvm. enheter

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1)dx = (2x 3 /3 - 2x 2 /2 + x)| 0 2 \u003d 10/3 (kvadratenheter).

Slutligen får vi: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC ​​​​\u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (kvadratenheter).

Svar: S = 1 1/4 kvm. enheter

Vi har gått igenom exempel hitta arean av figurer som avgränsas av givna linjer. För att framgångsrikt lösa sådana problem måste du kunna bygga linjer och grafer för funktioner på ett plan, hitta linjers skärningspunkter, tillämpa formeln för att hitta området, vilket innebär förmågan och färdigheterna att beräkna vissa integraler.

webbplats, med hel eller delvis kopiering av materialet, krävs en länk till källan.

I den här lektionen lär vi oss hur man räknar områden av platta figurer, som kallas kurvlinjära trapetser .

Exempel på sådana figurer finns i figuren nedan.

Å ena sidan är det extremt enkelt att hitta arean för en platt figur med hjälp av en bestämd integral. Vi pratar om området för figuren, som begränsas ovanifrån av en viss kurva, underifrån - av abskissaxeln ( Oxe), och till vänster och höger finns några raka linjer. Enkelheten är den den bestämda integralen av funktionen till vilken kurvan ges, och det finns arean för en sådan figur(krökt trapets).

För att beräkna arean av en figur behöver vi:

1. Definitiv integral av funktionen som definierar kurvan , vilket begränsar den kurvlinjära trapetsen uppifrån. Och här kommer den första betydande nyansen: en krökt trapets kan begränsas av en kurva inte bara ovanifrån, utan också underifrån . Hur ska man agera i detta fall? Enkelt men viktigt att komma ihåg: integralen i detta fall tas med ett minustecken .
2. Gränser för integration a Och b, som vi finner från linjeekvationerna som binder figuren till vänster och höger: x = a , x = b, var a Och b- tal.

Separat, några fler nyanser.

Kurvan som begränsar den kurvlinjära trapetsen uppifrån (eller underifrån) måste vara graf över en kontinuerlig och icke-negativ funktion y = f(x) .

X-värden måste tillhöra segmentet [a, b] . Det vill säga, till exempel, linjer som en sektion av en svamp beaktas inte, där benet passar perfekt in i detta segment och locket är mycket bredare.

Sidosegment kan degenerera till punkter . Om du såg en sådan figur på ritningen bör detta inte förvirra dig, eftersom denna punkt alltid har sitt eget värde på x-axeln. Så allt är i sin ordning med integrationens gränser.

Nu kan du gå vidare till formler och beräkningar. Alltså området s kurvlinjär trapets kan beräknas med formeln

Om f(x) ≤ 0 (grafen för funktionen är placerad under axeln Oxe), då område av en krökt trapets kan beräknas med formeln

Det finns också fall då både de övre och nedre gränserna för figuren är funktioner, respektive y = f(x) Och y = φ (x) , då beräknas arean för en sådan figur med formeln

. (3)

Vi löser problem tillsammans

Låt oss börja med fall där arean av en figur kan beräknas med formeln (1).

Exempel 1Oxe) och direkt x = 1 , x = 3 .

Lösning. Eftersom y = 1/x> 0 på segmentet, då hittas arean av den krökta trapetsen av formeln (1):

.

Exempel 2 Hitta arean av figuren som avgränsas av grafen för funktionen, rät linje x= 1 och x-axeln ( Oxe ).

Lösning. Resultatet av att tillämpa formel (1):

Om då s= 1/2; om då s= 1/3 osv.

Exempel 3 Hitta arean av figuren som begränsas av grafen för funktionen, x-axeln ( Oxe) och direkt x = 4 .

Lösning. Figuren som motsvarar problemets tillstånd är en kurvlinjär trapets, där det vänstra segmentet har degenererats till en punkt. Integrationsgränserna är 0 och 4. Eftersom vi enligt formel (1) finner arean för den krökta trapetsen:

.

Exempel 4 Hitta området för figuren som avgränsas av linjerna , , och som ligger i 1:a kvartalet.

Lösning. För att använda formeln (1), representerar vi arean av figuren som ges av villkoren i exemplet som summan av ytorna i en triangel OAB och kurvlinjär trapets ABC. När du beräknar arean av en triangel OAB integrationens gränser är punkternas absciss O Och A, och för figuren ABC- Absciss av poäng A Och C (Aär skärningspunkten för linjen OA och paraboler, och C- skärningspunkten mellan parabeln och axeln Oxe). Genom att gemensamt lösa (som ett system) ekvationerna för en rät linje och en parabel får vi (punktens abskiss A) och (abskissan för en annan skärningspunkt mellan linjen och parabeln, som inte behövs för lösningen). På samma sätt får vi , (abskiss av poäng C Och D). Nu har vi allt för att hitta arean av figuren. Vi hittar:

Exempel 5 Hitta arean för en kurvlinjär trapets ACDB, om ekvationen för kurvan CD och abskiss A Och B 1 respektive 2.

Lösning. Vi uttrycker denna ekvation av kurvan genom Y: Arean av den kurvlinjära trapetsen hittas av formeln (1):

.

Låt oss gå vidare till fall där arean av en figur kan beräknas med formeln (2).

Exempel 6 Hitta arean av figuren som begränsas av parabeln och x-axeln ( Oxe ).

Lösning. Denna figur ligger under x-axeln. Därför använder vi formel (2) för att beräkna dess area. Integrationens gränser är abskissorna och skärningspunkterna mellan parabeln och axeln Oxe. Följaktligen,

Exempel 7 Hitta arean mellan x-axeln ( Oxe) och två närliggande sinusvågor.

Lösning. Arean av denna figur kan hittas med formeln (2):

.

Låt oss hitta varje term separat:

.

.

Äntligen hittar vi området:

.

Exempel 8 Hitta arean av figuren som är innesluten mellan parabeln och kurvan.

Lösning. Låt oss uttrycka linjernas ekvationer i termer av Y:

Arean enligt formel (2) kommer att erhållas som

,

var a Och b- Absciss av poäng A Och B. Vi hittar dem genom att lösa ekvationerna tillsammans:

Äntligen hittar vi området:

Och slutligen finns det fall då arean av en figur kan beräknas med formeln (3).

Exempel 9 Hitta arean av figuren som är innesluten mellan parabolerna Och .

Beräkna arean av en figur avgränsad av linjer.

Lösning.

Vi hittar skärningspunkterna för de givna linjerna. För att göra detta löser vi ekvationssystemet:

För att hitta abskissorna för skärningspunkterna för de givna linjerna löser vi ekvationen:

Vi hittar: x 1 = -2, x 2 = 4.

Så dessa linjer, som är en parabel och en rät linje, skär varandra i punkter A(-2; 0), B(4; 6).

Dessa linjer bildar en stängd siffra, arean som beräknas med hjälp av formeln ovan:

Enligt Newton-Leibniz formel finner vi:

Hitta arean för ett område avgränsat av en ellips.

Lösning.

Från ellipsekvationen för I-kvadranten har vi . Härifrån får vi enligt formeln

Låt oss tillämpa ersättningen x = a synd t, dx = a cos t dt. Nya gränser för integration t = α Och t = β bestäms utifrån ekvationerna 0 = a synd t, a = a synd t. Kan sättas α = 0 och β = π /2.

Vi hittar en fjärdedel av den areal som krävs

Härifrån S = pab.

Hitta arean av en figur som avgränsas av linjery = - x 2 + x + 4 ochy = - x + 1.

Lösning.

Hitta skärningspunkterna för linjerna y = -x 2 + x + 4, y = -x+ 1, likställer linjernas ordinata: - x 2 + x + 4 = -x+ 1 eller x 2 - 2x- 3 = 0. Hitta rötterna x 1 = -1, x 2 = 3 och deras motsvarande ordinater y 1 = 2, y 2 = -2.

Med hjälp av figurareaformeln får vi

Hitta området som omges av parabelny = x 2 + 1 och direktx + y = 3.

Lösning.

Lösa ekvationssystemet

hitta abskissorna för skärningspunkterna x 1 = -2 och x 2 = 1.

Förutsatt y 2 = 3 - x Och y 1 = x 2 + 1, baserat på formeln vi får

Beräkna området som finns inom Bernoulli-lemniscatenr 2 = a 2 cos 2 φ .

Lösning.

I det polära koordinatsystemet, området för figuren som begränsas av kurvans båge r = f(φ ) och två polära radier φ 1 = ʅ Och φ 2 = ʆ , uttrycks av integralen

På grund av kurvans symmetri bestämmer vi först en fjärdedel av det önskade området

Därför är den totala ytan S = a 2 .

Beräkna båglängden för en astroidx 2/3 + y 2/3 = a 2/3 .

Lösning.

Vi skriver astroidens ekvation i formen

(x 1/3) 2 + (y 1/3) 2 = (a 1/3) 2 .

Låt oss sätta x 1/3 = a 1/3 cos t, y 1/3 = a 1/3 synd t.

Härifrån får vi de parametriska ekvationerna för astroiden

x = a för 3 t, y = a synd 3 t, (*)

där 0 ≤ t ≤ 2π .

Med tanke på kurvans symmetri (*) räcker det att hitta en fjärdedel av båglängden L motsvarande parameterändringen t från 0 till π /2.

Vi får

dx = -3a cos 2 t synd t dt, dy = 3a synd 2 t cos t dt.

Härifrån finner vi

Integrering av det resulterande uttrycket i intervallet från 0 till π /2, vi får

Härifrån L = 6a.

Hitta det område som avgränsas av Arkimedes spiralr = aφ och två radievektorer som motsvarar polära vinklarφ 1 Ochφ 2 (φ 1 < φ 2 ).

Lösning.

Område som begränsas av en kurva r = f(φ ) beräknas med formeln , där α Och β - gränser för förändring av den polära vinkeln.

Således får vi

(*)

Av (*) följer att området som begränsas av polaraxeln och Arkimedes-spiralens första sväng ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):

På liknande sätt hittar vi området som begränsas av polaraxeln och Arkimedes-spiralens andra sväng ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):

Den erforderliga arean är lika med skillnaden mellan dessa områden

Beräkna volymen av en kropp som erhålls genom att rotera runt en axelOxe figur avgränsad av parabolery = x 2 Ochx = y 2 .

Lösning.

Låt oss lösa ekvationssystemet

och få x 1 = 0, x 2 = 1, y 1 = 0, y 2 = 1, varifrån skärningspunkterna för kurvorna O(0; 0), B(elva). Som kan ses i figuren är den önskade volymen av rotationskroppen lika med skillnaden mellan de två volymerna som bildas genom rotation runt axeln Oxe kurvlinjära trapetser OCBA Och ODBA:

Beräkna arean som begränsas av axelnOxe och sinusoidy = syndx på segment: a); b) .

Lösning.

a) På segmentet, funktionen sin x bevarar tecknet, och därför med formeln , förutsatt y= synd x, vi hittar

b) På segmentet , funktion sin x byter tecken. För den korrekta lösningen av problemet är det nödvändigt att dela upp segmentet i två och [ π , 2π ], i vilka funktionen behåller sitt tecken.

Enligt regeln om tecken, på segmentet [ π , 2π ] området tas med ett minustecken.

Som ett resultat är det önskade området lika med

Bestäm volymen av kroppen som begränsas av ytan som erhålls från ellipsens rotationrunt huvudaxelna .

Lösning.

Med tanke på att ellipsen är symmetrisk kring koordinataxlarna räcker det att hitta volymen som bildas av rotation runt axeln Oxe område OAB, lika med en fjärdedel av ellipsens yta, och dubbla resultatet.

Låt oss beteckna volymen av revolutionskroppen genom V x; sedan, baserat på formeln, har vi , där 0 och a- Absciss av poäng B Och A. Från ellipsens ekvation finner vi . Härifrån

Således är den erforderliga volymen lika med . (När ellipsen roterar runt den mindre axeln b, kroppens volym är )

Hitta området som begränsas av parabolery 2 = 2 px Ochx 2 = 2 py .

Lösning.

Först hittar vi koordinaterna för parabolernas skärningspunkter för att bestämma integrationsintervallet. Genom att transformera de ursprungliga ekvationerna får vi och . Genom att likställa dessa värden får vi eller x 4 - 8sid 3 x = 0.

x 4 - 8sid 3 x = x(x 3 - 8sid 3) = x(x - 2sid)(x 2 + 2px + 4sid 2) = 0.

Vi hittar rötterna till ekvationerna:

Med tanke på det faktum att poängen A skärningspunkten av parabolerna är i det första kvartalet, sedan gränserna för integration x= 0 och x = 2sid.

Det önskade området hittas av formeln

men)

Lösning.

Det första och viktigaste ögonblicket i beslutet är konstruktionen av en ritning.

Låt oss göra en ritning:

Ekvationen y=0 ställer in x-axeln;

- x=-2 Och x=1 - rak, parallell med axeln OU;

- y \u003d x 2 +2 - en parabel vars grenar är riktade uppåt, med en vertex i punkten (0;2).

Kommentar. För att konstruera en parabel räcker det att hitta punkterna för dess skärningspunkt med koordinataxlarna, d.v.s. sätta x=0 hitta skärningspunkten med axeln OU och lösa motsvarande andragradsekvation, hitta skärningspunkten med axeln Åh .

Spetsen på en parabel kan hittas med formlerna:

Du kan rita linjer och punkt för punkt.

På intervallet [-2;1] grafen för funktionen y=x2+2 belägen över axeln Oxe , det är därför:

Svar: S \u003d 9 kvadratenheter

När uppgiften är klar är det alltid bra att titta på ritningen och ta reda på om svaret är sant. I det här fallet, "med ögat" räknar vi antalet celler i ritningen - ja, cirka 9 kommer att skrivas, det verkar vara sant. Det är helt klart att om vi hade, säg, svaret: 20 kvadratenheter, så gjordes uppenbarligen ett misstag någonstans - 20 celler passar uppenbarligen inte in i figuren i fråga, högst ett dussin. Om svaret visade sig vara negativt löstes också uppgiften felaktigt.

Vad ska man göra om den kurvlinjära trapetsen är lokaliserad under axeln Åh?

b) Beräkna arean av en figur avgränsad av linjer y=-e x , x=1 och koordinataxlar.

Lösning.

Låt oss göra en ritning.

Om en kurvlinjär trapets helt under axeln Åh , då kan dess area hittas med formeln:

Svar: S=(e-1) kvm enhet" 1,72 kvm enhet

Uppmärksamhet! Blanda inte ihop de två typerna av uppgifter:

1) Om du blir ombedd att lösa bara en bestämd integral utan någon geometrisk betydelse, så kan den vara negativ.

2) Om du blir ombedd att hitta arean av en figur med hjälp av en bestämd integral, är arean alltid positiv! Det är därför minuset visas i den nyss betraktade formeln.

I praktiken är figuren oftast placerad i både det övre och nedre halvplanet.

från) Hitta arean av en plan figur avgränsad av linjer y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Lösning.

Först måste du göra en ritning. Generellt sett är vi mest intresserade av linjers skärningspunkter när vi konstruerar en ritning i områdesproblem. Låt oss hitta skärningspunkterna för parabeln och linjen. Detta kan göras på två sätt. Det första sättet är analytiskt.

Vi löser ekvationen:

Så den nedre gränsen för integration a=0 , den övre gränsen för integration b=3 .

Vi bygger de givna linjerna: 1. Parabel - vertex vid punkten (1;1); axelskärning Åh - poäng (0;0) och (0;2). 2. Rak linje - bisektrisen för 2:a och 4:e koordinatvinklarna. Och nu OBS! Om på segmentet [ a;b] någon kontinuerlig funktion f(x) större än eller lika med någon kontinuerlig funktion g(x), då kan området för motsvarande figur hittas med formeln: . Och det spelar ingen roll var figuren är placerad - ovanför axeln eller under axeln, utan det är viktigt vilket diagram som är HÖGRE (i förhållande till ett annat diagram), och vilket som är UNDER. I exemplet under övervägande är det uppenbart att på segmentet är parabeln belägen ovanför den räta linjen, och därför är det nödvändigt att subtrahera från

Det är möjligt att konstruera linjer punkt för punkt, medan integrationens gränser upptäcks som "av sig själva". Ändå måste den analytiska metoden för att hitta gränserna ibland användas om till exempel grafen är tillräckligt stor, eller om den gängade konstruktionen inte avslöjade gränserna för integration (de kan vara bråkdelar eller irrationella).

Den önskade figuren begränsas av en parabel ovanifrån och en rak linje underifrån.

På segmentet enligt motsvarande formel:

Svar: S \u003d 4,5 kvm enheter

I själva verket, för att hitta området för en figur, behöver du inte så mycket kunskap om den obestämda och bestämda integralen. Uppgiften "beräkna arean med hjälp av en bestämd integral" innebär alltid konstruktion av en ritning, så dina kunskaper och ritfärdigheter kommer att vara en mycket mer relevant fråga. I detta avseende är det användbart att uppdatera minnet av graferna för de viktigaste elementära funktionerna, och åtminstone kunna bygga en rak linje och en hyperbel.

En kurvlinjär trapets är en platt figur som begränsas av en axel, räta linjer och en graf över en kontinuerlig funktion på ett segment som inte ändrar tecken på detta intervall. Låt denna figur lokaliseras inte mindre abskissa:

Sedan arean av en kurvlinjär trapets är numeriskt lika med en viss integral. Varje bestämd integral (som finns) har en mycket bra geometrisk betydelse.

När det gäller geometri är den bestämda integralen AREA.

d.v.s. den bestämda integralen (om den finns) motsvarar geometriskt arean av någon figur. Tänk till exempel på den bestämda integralen . Integranden definierar en kurva på planet som är belägen ovanför axeln (de som vill kan slutföra ritningen), och den bestämda integralen i sig är numeriskt lika med arean av motsvarande kurvlinjära trapets.

Exempel 1

Detta är en typisk uppgiftsbeskrivning. Det första och viktigaste ögonblicket i beslutet är konstruktionen av en ritning. Dessutom måste ritningen byggas HÖGER.

När du bygger en ritning rekommenderar jag följande ordning: i början det är bättre att konstruera alla linjer (om några) och endast Sedan- paraboler, hyperbler, grafer för andra funktioner. Funktionsdiagram är mer lönsamma att bygga punktvis.

I det här problemet kan lösningen se ut så här.
Låt oss rita (observera att ekvationen definierar axeln):

På segmentet finns grafen för funktionen över axeln, det är därför:

Svar:

När uppgiften är klar är det alltid bra att titta på ritningen och ta reda på om svaret är sant. I det här fallet, "med ögat" räknar vi antalet celler i ritningen - ja, cirka 9 kommer att skrivas, det verkar vara sant. Det är helt klart att om vi hade, säg, svaret: 20 kvadratenheter, så gjordes uppenbarligen ett misstag någonstans - 20 celler passar uppenbarligen inte in i figuren i fråga, högst ett dussin. Om svaret visade sig vara negativt löstes också uppgiften felaktigt.

Exempel 3

Beräkna arean av figuren avgränsad av linjer och koordinataxlar.

Lösning: Låt oss rita:

Om den kurvlinjära trapetsen är belägen under axeln(eller åtminstone inte högre given axel), kan dess area hittas med formeln:

I detta fall:

Uppmärksamhet! Blanda inte ihop de två typerna av uppgifter:

1) Om du blir ombedd att lösa bara en bestämd integral utan någon geometrisk betydelse, så kan den vara negativ.

2) Om du blir ombedd att hitta arean av en figur med hjälp av en bestämd integral, är arean alltid positiv! Det är därför minuset visas i den nyss betraktade formeln.

I praktiken är figuren oftast placerad i både det övre och nedre halvplanet, och därför går vi vidare från de enklaste skolproblemen till mer meningsfulla exempel.

Exempel 4

Hitta arean av en platt figur avgränsad av linjer, .

Lösning: Först måste du slutföra ritningen. Generellt sett är vi mest intresserade av linjers skärningspunkter när vi konstruerar en ritning i områdesproblem. Låt oss hitta skärningspunkterna för parabeln och linjen. Detta kan göras på två sätt. Det första sättet är analytiskt. Vi löser ekvationen:

Därför den nedre gränsen för integration, den övre gränsen för integration.

Det är bäst att inte använda denna metod om möjligt..

Det är mycket mer lönsamt och snabbare att bygga linjerna punkt för punkt, medan gränserna för integrationen upptäcks som "av sig själva". Ändå måste den analytiska metoden för att hitta gränserna ibland användas om till exempel grafen är tillräckligt stor, eller om den gängade konstruktionen inte avslöjade gränserna för integration (de kan vara bråkdelar eller irrationella). Och vi kommer också att överväga ett sådant exempel.

Vi återgår till vår uppgift: det är mer rationellt att först konstruera en rät linje och först sedan en parabel. Låt oss göra en ritning:

Och nu arbetsformeln: Om det finns någon kontinuerlig funktion på intervallet större än eller lika med någon kontinuerlig funktion, då området av figuren som begränsas av graferna för dessa funktioner och räta linjer, kan hittas av formeln:

Här är det inte längre nödvändigt att tänka var figuren är placerad - ovanför axeln eller under axeln, och grovt sett, det spelar roll vilket diagram som är OVAN(i förhållande till en annan graf), och vilken är UNDER.

I exemplet under övervägande är det uppenbart att på segmentet är parabeln belägen ovanför den räta linjen, och därför är det nödvändigt att subtrahera från

Slutförandet av lösningen kan se ut så här:

Den önskade figuren begränsas av en parabel ovanifrån och en rak linje underifrån.
På segmentet enligt motsvarande formel:

Svar:

Exempel 4

Beräkna arean av figuren avgränsad av linjerna , , , .

Lösning: Låt oss göra en ritning först:

Figuren vars område vi behöver hitta är skuggad i blått.(titta noga på skicket - hur siffran är begränsad!). Men i praktiken, på grund av ouppmärksamhet, uppstår ofta ett "fel", att du måste hitta området för figuren som är skuggad i grönt!

Det här exemplet är också användbart i det att figurens area beräknas med två bestämda integraler.

Verkligen:

1) På segmentet ovanför axeln finns en rak linjegraf;

2) På segmentet ovanför axeln finns en hyperbelgraf.

Det är ganska uppenbart att områdena kan (och bör) läggas till, därför:

Hur man beräknar volymen av en rotationskroppanvänder en bestämd integral?

Föreställ dig någon platt figur på koordinatplanet. Vi har redan hittat dess område. Men dessutom kan denna figur också roteras och roteras på två sätt:

Runt x-axeln;

Runt y-axeln .

I den här artikeln kommer båda fallen att diskuteras. Den andra metoden för rotation är särskilt intressant, den orsakar de största svårigheterna, men i själva verket är lösningen nästan densamma som i den vanligare rotationen runt x-axeln.

Låt oss börja med den mest populära typen av rotation.