1)Визначення.Відповідність, при якому кожному з елементів множини X зіставляється єдиний елемент з множини Y, називається відображенням.

3) Якщо елементу xвідповідає y, то yназивається чином елемента x, а x -прообразом елемента y. Пишуть: або y = f(x). Безліч Aвсіх елементів, що мають один і той же образ, називається повним прообразом елемента y.

4) Область визначення функції- це значення x, у яких існує функція. Іншими словами, область визначення функції, заданої формулою, є значення аргументу, крім тих, які призводять до дій, які ми можемо виконати. На даний момент ми знаємо лише дві такі дії. Ми не можемо ділити на нуль і не можемо витягти квадратний корінь із негативного числа.

5)Способи завдання, види та св-ва відображень

Способи завдання

ВИРАЗ або ФОРМУЛА. Змінна, замість якої треба підставляти елемент області визначення, називається аргументом функції. При цьому явно вказується процедура обчислення значення f(x) функції f на аргумент x, точніше, при будь-якому значенні аргументу. Фактично, цим способом ми вказуємо правило обчислення значення функції f при довільному значенні аргументу x. ТАБЛИЦЯ. Таблиця значень функції складається, як правило, із двох рядків. У першому рядку перераховуються всі (!) елементи області визначення, а у другому рядку - відповідні значення функції.

Графік.Графіком функції f називається безліч точок площини з координатами x, f(x).

Алгоритм. X→|A|→y=y(x)

6)Операції над відображеннями

1. Звернення y:A→B Y(x)=y

2.Композиція відображень

Y1:A→B y2:B→c

Композиція y1*y2 відображення y1:a->c,така що y(x)=y1*y2(x)=Z( Е yϵB)(y1=y1(x)&y2(y)=Z)

7) Ф-ії як спеціальний клас відображень

8) Класифікація ф-ий на кшталт мн-в

3.Бінарні відносини

1)Ставлення

2) Бінарним ставленням називається двомісне відношення між будь-якими двома множинами A та B, тобто. всяке підмножина декартового твору цих множин:    A B.

3) приклади Приклади бінарних відносин:

4) Способи завдання

5) св-ва бінарних відносин

6) Проекція елемента(a, b) множини Ах В на множину А є елемент а. Аналогічно, елемент b є проекцією елемента (a, b) множини Ах на безліч В. Проекцією безлічі ЕАх на А називається безліч всіх тих елементів з А, які є проекціями елементів з Е на безліч А

7) Зріз бінарного відношення. Розрізняють зріз бінарного відношення через елемент і через підмножину першої базисної множини.

8)Факторіали

9) Відношення еквівалентності

10) зв'язок із розбиттями

11) Бінарне відношеннять на мн-ві A(ть  AxA) зв-ся ставленням т олерантностіякщо воно рефлексивне і симетричне.

12) його зв'язок із покриттям

13) відношення порядку

14) стр-ра впорядкованих мн-в

15) Ґрати- частково впорядковане безліч, у якому кожне двоелементне підмножина має як точну верхню (sup), і точну нижню (inf) грані. Звідси випливає існування цих граней для будь-яких непустих кінцевих підмножин. Решітка може бути визначена як універсальна алгебра з двома бінарними операціями (вони позначаються \/і /\ або + і ∙)

Відображення. Ін'єктивне, сюр'єктивне та бієктивне відображення. Рівнопотужні множини.

Нехай X, Y - довільні непусті множини.
Визначення.Відображення fз множини X до множини Y — це правило, за допомогою якого кожному елементу x∈X ставиться у відповідність однозначно певний елемент y∈Y.
Безліч Х називається областю визначення відображення f; безліч Y - його областю значень.
Синонімічні записи висловлюють той факт, що fє відображенням з Х Y.

Елемент у∈Y, який за допомогою відображення fпоставлений у відповідність до елементу х∈X, називається чиномелемента хі позначається через f(x); у тій же ситуації елемент хназивається прообразомелемента у. Повним прообразом елемента уназиватимемо безліч всіх прообразів у. З визначення відображення випливає, що повні прообрази різних елементів немає спільних елементів.

Коли область визначення Х та область значень Y даного відображення fзбігаються, то fназивають перетворенням множини Х. Якщо А- довільне підмножина безлічі Х, то безліч f(A) = {y|y = f(x)для деякого x∈А) називається образом множини Апри відображенні f.
Образ f(X) всієї області визначення Х називається безліччю значень відображення f.
Часто область визначення та безліч значень відображення fпозначають через D( f) та E( f) відповідно.

Відображення fз Х в Y називається ін'єктивнимякщо для будь-яких х1, х2∈Х із нерівності х1 ≠ х2слідує нерівність f(x1) ≠ f(x2).

Відображення fз Х в Y називається серйознимякщо безліч значень f(X) збігається з областю значень Y.
Якщо використовувати поняття повного прообразу, визначення можна сформулювати інакше. Відображення fз Х в Y називається серйозним, якщо повний прообраз довільного елемента y∈Y є непустою множиною.

Відображення fз Х в Y називається бієктивним, якщо воно є серйозним і ін'єктивним одночасно.

Якщо існує ін'єктивне (відповідно бієктивне) відображення з Х в Y, то кажуть, що потужність Х не більша за потужність Y (відповідно потужність Х дорівнює потужності Y).

Відображення

ВІДОБРАЖЕННЯ -я; пор.до Відобразити - відображатись і Відобразитись - відображатися. О. морської тематики у живописі. Вірне, точне, адекватне о. Художнє, символічне о. О. у свідомості явищ дійсності.

відображення

(матем.) множини Ху безліч Y хмножини Х y = f(х) множини Y, називається образом елемента х. Наприклад, географічна карта може розглядатися як результат відображення земної поверхні (або її частини) на шматок площини. Термін «відображення» дорівнює терміну «функція».

ВІДОБРАЗЕННЯ

ВІДОБРАЖЕННЯ (в математиці) множини Ху безліч Y, відповідність, в силу якого кожному елементу хмножини Хвідповідає певний елемент у=f(х) множини Y, званий чином елемента х. Наприклад, географічна карта може розглядатися як результат відображення земної поверхні (або її частини) на шматок площини. Термін «відображення» дорівнює терміну «функція».

Енциклопедичний словник. 2009 .

Синоніми:

Дивитися що таке "відображення" в інших словниках:

Відображення- перетворення вхідного потоку даних внутрішнього кодера у два вихідні потоки, що є синфазною і квадратурною складовими, що подаються на відповідні входи модулятора Джерело: ОСТ 4 … Словник-довідник термінів нормативно-технічної документації

Подання, зображення, зображення, опис, відтворення, опис, показ; перетворення, перетворення, трансформація; відтворення, передача, відображення, індикація, вираз, опис Словник російських синонімів. відображення 1. див. Словник синонімів

відображення- Логічний зв'язок набору значень (наприклад, мережевих адрес в одній мережі) з об'єктами іншого набору (наприклад, адресами в іншій мережі). З самого загального погляду це правило, за яким…

ВІДОБРАЖЕННЯ (в математиці) множини Х у множину Y відповідність, в силу якого кожному елементу х множини Х відповідає певний елемент у=f(х) множини Y, званий образом елемента х. Напр., географічна карта може… Великий Енциклопедичний словник

ВІДОБРАЖЕННЯ, відображення, порівн. 1. лише од. Дія гол. відображати відображатися та відображатися. Відображення дійсності. 2. Те, що відображено, відображене явище. 3. Теж, що відображення у 5 знач. (Філос.). Теорія відображення… Тлумачний словник Ушакова

Відображення

Відображення- з найзагальнішого погляду це правило, яким елементам однієї множини ставляться у відповідність елементи іншого множини. Тому іноді кажуть, що відображення це кортеж, що складається із трьох елементів: … Економіко-математичний словник

ВІДОБРАЖЕННЯ, я, порівн. 1. див. 2. Те, що відображено, зображення. Вірне, точне о. Тлумачний словник Ожегова. С.І. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Тлумачний словник Ожегова

відображення на- - [Л.Г.Суменко. Англо-російський словник з інформаційних технологій. М.: ДП ЦНИИС, 2003.] Тематики інформаційні технології загалом EN onto function … Довідник технічного перекладача

Однозначне закон, по кожному кожному елементу деякого заданої множини X ставиться у відповідність цілком певний елемент іншої заданої множини Y(при цьому Xможе збігатися з Y). Таке співвідношення між елементами та записується у… Математична енциклопедія

Запит «Відображення» перенаправляється сюди. Див. також інші значення. У статті наведено загальне визначення математичної функції. У середніх школах та на нематематичних спеціальностях вищих навчальних закладах вивчають просте… … Вікіпедія

Книжки

• Конформне відображення. , Каратеодорі К.. Відтворено в оригінальній авторській орфографії видання 1934 (видавництво "ОНТІ")…
• Передача, обробка, відображення інформації. Збірник матеріалів 26-ї Всеросійської науково-практичної конференції, Збірник статей. Справжній збірник включає матеріали Всеросійської науково-практичної конференції «Передача, обробка, відображення інформації», що відбулася в Краснодарі і в сел. Терскол,…

Функція , де - комплексні числа, що задовольняють умові , називається дробово-лінійної, а відображення, яке вона здійснює – дробово-лінійним відображенням. При треба вважати, що , , а якщо рахувати .

Існує єдинадробно-лінійна функція, що відображає задані три різні точки розширеної комплексної площини в задані три різні точки відповідно. Вона перебуває із співвідношення

яке треба розглядати як рівняння щодо. При цьому якщо деякі з чисел рівні , то дріб, у якого в чисельнику і знаменнику присутній , треба вважати рівною 1. Наприклад, якщо w 1 = , то треба вважати

Крапки і називаються симетричними щодо колаякщо вони розташовані на одному промені, що виходить з центру , і

Дробно-лінійна функція відображає коло в коло ( кругова властивість), а точки, симетричні щодо окружності - в точки, симетричні щодо образу цього кола ( властивість симетрії). При цьому пряму треба розглядати як коло, що проходить через ∞і замкнуту в нескінченно віддаленій точці.

Щоб знайти образ орієнтованого кола (або прямий) при дробно-лінійному відображенні, треба взяти на даному колі три різні точки відповідно до напрямку обходу, знайти їх образи і провести через них коло, яке і буде образом даного кола. Напрямок обходу на ній треба брати від точки до точки і від .

Щоб знайти образ частини кола або прямої (дуги, відрізка, променя) при дробно-лінійному відображенні, треба взяти на ньому три точки: початкову, якусь «середню» і кінцеву, знайти їх образи, провести через них коло і взяти ту частину , Для якої - початкова точка, - "середня точка" і - кінцева точка.

Щоб знайти образ області, обмеженої дугами кіл і частинами прямих, треба вибрати межі області напрям обходу те щоб область залишалася зліва, і знайти образи всіх частин кордону з урахуванням їх напрямів. Ці образи разом утворюють деяку орієнтовану замкнуту лінію, можливо, необмежену, тобто. замкнуту у . Тоді область, що залишається ліворуч від цієї лінії, буде чином вихідної області.

Щоб знайти якесь одне конформне відображення області, обмеженою колом (або прямий), на подібну область, треба вибрати напрямки обходів кордонів і областей і так, щоб області залишалися ліворуч. Потім на кордонах і взяти згідно з напрямками обходів по три різні точки і відповідно і з рівняння (1) знайти дробово-лінійну функцію , яка і буде одним із конформних відображень області на область .

У випадку конформне відображення одиничного кола на одиничний коло має вид:

конформне відображення верхньої півплощини Im z > 0 на одиничне коло має вигляд:

конформне відображення верхньої півплощини Im z > 0 на верхню напівплощину Im w > 0 має вигляд:

Завдання

1. Знайти дробово-лінійну функцію, що відображає точки відповідно до точки .

Рішення:Підставивши у співвідношення (1) задані значення

звідки знаходимо:

2 . Знайти точку, симетричну з точкою щодо кола.

Рішення.З рис. 1, на якому зображено точку z 1 = 3 і коло видно, що шукана симетрична точка розташована всередині кола і має вигляд , де x > -2. Це випливає з відповідних відповідних трикутників. Підставивши z 1 , z 2 у рівність

отримаємо: , Звідки з урахуванням нерівності x > -2 знаходимо . Тоді.

3. Знайти образи кіл при відображенні

Рішення.Так як

то рівняння кіл мають вигляд:

Підставивши сюди, знайдене з рівняння, отримаємо:

Вважаючи , отримаємо сімейство вертикальних прямих

4. Знайти образи області D під час відображення , якщо

Рішення.а) Область D та позитивна орієнтація її межі вказані на рис. 2.

Кордон області в даному випадку складається з двох частин: півкола і двох променів, які треба розглядати як одну безперервну частину прямої Im z = 0, тому що пряма вважається коло, що проходить через , тобто. безперервної кривої, замкненої в . На цих променях як на одній частині кордону виберемо початкову точку z 1 = -1, середню точку z 2 = , кінцеву точку z 3 = 1 і знайдемо їх образи

Проведемо через точку – , 1, коло і візьмемо ту частину, на яку – – початок, 1 – середня точка, – кінець. Нею буде дуга Г1 (рис. 3). Напрямок обходу на дузі Г 1 береться від – до 1 та від 1 до . Ця дуга буде образом сукупності двох променів.

Знайдемо образ півкола. Образами початку 1, середньої точки - і кінця -1 півкола будуть точки , 0 і - відповідно. Окружність, що проходить через ці точки, є пряма Re w = 0, тому півкола буде відрізок Г 2 з кінцями і – , спрямований зверху вниз (рис. 3).

Отже, чином кордону при відображенні буде замкнута крива Г 1 Г 2 направлена ​​проти годинникової стрілки, а чином області D - півколо, зображений на рис. 3.

б) В даному випадку область D являє собою розширену комплексну площину З з розрізом по відрізку [-2; 1] (рис. 4).

Оскільки дробно-лінійна функція відображає на , то в області D буде , з якої треба викинути образ відрізка [-2;1]. Так як образами початку -2, «середньої точки» 0 і кінця 1 при відображенні будуть відповідно точки , то відрізка [-2; 1] буде промінь . Тоді чином D буде площину з розрізом по променю (рис.5).

в) Кордон області D складається з прямої , орієнтованої зліва направо, та кола , орієнтованої проти годинникової стрілки (рис. 6). При відображенні точки , розташовані на прямій згідно з напрямом обходу, переходять відповідно до точки Значить, пряма

перетворюється на пряму , орієнтовану справа наліво (рис.7). Аналогічно, взявши на колі точки 2, 1+, 0 і обчисливши їх образи, знайдемо образ кола. Їм буде пряма, орієнтована зліва направо. Значить, чином межі буде сукупність прямих Г 1 і Г 2 а чином області D буде смуга , зображена на рис. 7.

5. Знайти якесь конформне відображення області на напівплощину .

Рішення.Виберемо напрямки обходів меж областей D 1 і D 2 (рис.8) те щоб області залишалися ліворуч. Відповідно до цих напрямків на кордонах і візьмемо по три точки і, підставивши їх в рівняння (1), знайдемо дробово-лінійне відображення

яке і буде одним із шуканих конформних відображень.

6. Знайти конформне відображення верхньої півплощини на одиничне коло, що задовольняє умовам.

Рішення.Оскільки загальний вигляд конформного відображення верхньої напівплощини на одиничний коло має вигляд

то числа треба вибрати так, щоб

звідки = ,

Отже, шукане конформне відображення має вигляд

7. Знайти конформне відображення напівплощини Re z + Im z< 0 на круг удовлетворяющее условиям

Рішення. Так як будь-яке конформне відображення області, обмеженою колом (або прямий), на подібну область є дробово-лінійним, то згідно з властивістю симетрії дробно-лінійної функції при шуканому відображенні точка , симетрична точці щодо прямої Re z + Im z = 0 (рис. 9 ), перейде в точ-

ку , симетричну точку щодо кола (рис. 10), яка є образом прямої Re z + Im z = 0, при шуканому відображенні. Отже, точки переходять відповідно в точки , підставивши які на рівняння (1), знайдемо шукане відображення:

8. Знайти конформне відображення кола на коло, що задовольняє умовам.

Рішення.Точці 2 симетрична щодо кола точка, а точці симетрична щодо кола точка -2. Отже, при шуканому дробово-лінійному відображенні точки 2 і перейдуть відповідно точки і 2 . Нехай у точку переходить деяка невідома поки що точка. Тоді дробово-лінійне відображення, що переводить точки 2, відповідно в точки , , -2 знайдеться з рівняння

Для знаходження скористаємося умовою і умовою , що означає, що з відображенні гранична точка z = 3 кола перетворюється на деяку граничну точку кола .

З першої умови

знаходимо. Отже, комплексне число –2 має вигляд

звідки. З другої умови

знаходимо r = 2. Отже, = 2 + 2 і

Вирішенні прикладних завдань часто виникає необхідність перетворити задану область на область більш простого виду, причому так, щоб зберігалися кути між кривими. Перетворення, наділені такою властивістю, дозволяють успішно вирішувати завдання аеро- та гідродинаміки, теорії пружності, теорії полів різної природи та багато інших. Ми обмежимося перетвореннями пласких областей. Безперервне відображення го = /(г) плоскої області в область на площині називається конформним у точці, якщо в цій точці воно має властивості сталості розтягування та збереження кутів. Відкриті області і називаються конформноеквівалентними, якщо існує взаємнооднозначне відображення однієї з цих областей на іншу, конформне в кожній точці. Теорема Рімана. Будь-які дві плоскі відкриті однозв'язні області, межі яких складаються з більш ніж однієї точки, конформно еквівалентні. Основною проблемою при вирішенні конкретних завдань є побудова за заданими плоскими областями явного однозначного взаємно конформного відображення однієї з них на іншу. Один із способів вирішення цієї проблеми в плоскому випадку - залучення апарату теорії функцій комплексного змінного. Як зазначалося вище, однолистная аналітична функція з відмінною від нуля похідної здійснює конформне відображення своєї області завдання її образ. При побудові конформних відображень дуже корисне таке правило. Принцип відповідності кордонів. Нехай в однозв'язній області Я) комплексної площини z, обмеженої контуром 7, задана однозначна аналітична функція w = f(z), безперервна в замиканні 9) і відображає контур 7 на деякий контур 7" комплексної п/юскості w. Якщо при цьому зберігається напрямки обходу контуру, то функція w - f(z) здійснює конформне відображення області комплексної площини z область З1 комплексної площини w, обмежену контуром 7" (рис. 1). Мета цього параграфа полягає в тому, щоб, використовуючи знайдені раніше області однолистості основних елементарних функцій комплексного змінного, навчитися будувати конформні відображення відкритих одно-зв'язних плоских областей, що часто зустрічаються в додатках. 2). Для більш ефективного використання Рис.2 наведеної нижче таблиці корисні деякі найпростіші перетворення комплексної площини. Перетворення площини, здійснюють: 1. паралельне перенесення (зсув на задане комплексне число а) (рис. 3), Рис.3 2. поворот (на заданий кут 3. розтягнення (fc > 1) мул і стиснення (рис. 5). Тим самим перетворення виду 0 будь-яке коло можна зробити одиничним колом з центром в нулі (рис. 6). ), будь-яку напівплощину можна зробити верхньою напівплощиною, будь-який відрізок прямої можна перетворити на відрізок речової осі (рис. 14) 2. Зазначена область наведена в таблиці за № 22. Застосовуючи дробно-лінійне перетворення перетворимо цю область на площину з розрізом з променю розрізом по дійсному променю (0, +«>(Площина з розрізами по дійсних променях J -оо, 0] і (I, +оо[ Площина з розрізом по дійсному променю Площина з розрізом по відрізку (О, 1J № 21 1лоскость з розрізами) ю променів, що лежать ia прямий, що проходить через очало координат по дійсних променів ]-«ю, 0] і (1. Площина з розрізом по дійсному променю (0, +во(Площина з розрізом по дузі кола Ixl - 1, lm z > Про Площина з розрізом по дузі кола III - I, Re z > Про Площина з розрізом по дій ствольному променю (0, Площина з розрізом no дузі кола Площина з розрізом по дійсному променю [С, + с [ № 25 Півплощина з розрізами Півплосність l з розрізом по відрізку з розрізом по уявному променю Коло з розрізами Круг 1 з розрізом по від (1/2, 1J №30 Площина з розрізом по відрізку (-1, 5/4) Коло Izl з розрізами по відрізкам (-1. -1/2] та (1/2, 1] № 31 Площина з розрізами по відрізах I -5/4, 5/4] Коло Ijl симетричними розрізами по уявній осі Коло lie з симетричними розрізами по дійсної осі Зовнішність кола з розрізами одиничного кола I з розрізом по відрізку і 11, 2) №34 Площина з розрізом по відрізку [-1, 5/4] Площина з розрізом по відрізку I - 5/4, 3/4] w = e"^z Зовнішність одиничного кола Izl > 1 з розрізами по відрізках, що є продовженнями його діаметра Зовнішність одиничного кола Iwl > 1 з розрізами по відрізках, що лежать на дійсній осі Напівіруг з розрізами -г2 Nfc 36 Круг Iwl з розрізом по відрізку [ , з розрізом по відрізку (0, i/2) Півколо, з розрізом по відрізку )