Разложение на множители. Отделение неприводимых кратных множителей многочлена Кратные множители многочлена онлайн

Определение 14.1 . Пусть F – поле. Многочлен f(x)=а 0 x n +a 1 x n - 1 +…+a n - 1 x+a n F [x ]называется нормированным или приведенным, если а 0 = 1.

Следствие 14.1.1 . Любой многочлен f положительной степени над полем F допускает представление в виде: f=a 0 ·p 1 (x) · … ·p r (x), где а 0 F # , p 1 ,…,p r - неприводимые над F нормированные многочлены.

Замечание 14.1. Пусть f(x) F[x], F - поле, degf(x)>0. Тогда по следствию 14.1.1 f(x)=a 0 · … ·p 1 (x)· … ·p r (x) (1),где а 0 F #, p 1 (x),…,p r (x) - неприводимые над F нормированные многочлены. Возможно, что среди многочленов p 1 ,…,p r есть равные. Перемножив равные множители в (1), получим равенство вида f(x)=а 0 ·p 1 k 1 · … ·p s k s .

Определение 14.2. Пусть f(x) F [x ], F - поле, deg f(x)>0. Представление многочлена f(x) в виде f(x)=a 0 · p 1 k 1 · … · p s k s (2 ), где а 0 F # , p 1, …,p s - попарно различные неприводимые над полем F нормированные многочлены, k i ≥1, i= ,называется каноническим представлением многочлена f , число k i называется кратностью множителя p i , i= . Если k i = 1, то p i называется простым неприводимым множителем многочлена f .

Следствие 14.2. Пусть f(x), g(x) F [x ], F - поле, f(x)=a 0 p 1 k 1 · … ·p s k s , g(x)=b 0 ·p 1 l 1 · … ·p s l s , где a 0 ,b 0 F # , p 1 ,…,p s – попарно различные неприводимые над F нормированные многочлены, k i 0,l i 0, i= . Тогда (f,g)=p 1 γ 1 ·p 2 γ 2 · … · p s γ s , где γ i =min {k i ,l i }, i= , [f,g ]= p 1 δ 1 ·p 2 δ 2 · … ·p s δ s , где δ i =max{k i ,l i }, i= .

Определение 14.3. Пусть f(х) F [x ], F - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, с - корень f(x). Число k называется кратностью корня c многочлена f(x), если

f (х-с) к, но f (х-с) k + 1 .

В этом случае пишут (x-c) k ┬ f(x) - данная запись означает, что (х-с) k - это наибольшая степень (х-с), которая делит f(х).

Замечание 14.2 . Если k = 1, то с называют простым корнем многочлена f(x) .

Пусть f(x) F [x ], F - поле. Поставим перед собой задачу - отделить все кратные неприводимые множители многочлена f(x). Для этого докажем следующую теорему. Многочлен f(x) F [x ], где F - поле, не имеет кратных неприводимых множителей кратности k > 1 (f,f ")= 1.

Cледствие 14.2.3. Кратные неприводимые множители многочлена f F [x ] - это в точности неприводимые множители многочлена d(x)=(f,f ").

Вывод: Таким образом, задача отделения кратных неприводимых множителей многочлена f(x) cводится к нахождению d=(f,f ") и разложению многочлена d на множители. В свою очередь, отделить кратные неприводимые множители многочлена d(x) можно с помощью нахождения d 1 =(d,d ") и т.д.

Определение 1. Если многочлен f(x) обращается в нуль при подстановке в него числа с вместо неизвестного, то с называется корнем многочлена f(x) (или уравнения f(x)=0).

Пример 1. f (x)=x 5 +2x 3 -3x.

Число 1 является корнем f(x), а число 2 не является корнем f(x), так как f(1)=1 5 +2∙1 3 -3∙1=0, а f(2)=2 5 +2∙2 3 -3∙2=42≠0.

Оказывается, корни многочлена связаны с его делителями.

Число с тогда и только тогда является корнем многочлена f(x), когда f(х) делится на х-с.

Определение 2. Если с - корень многочлена f(х), то f(х) делится на х-с. Тогда найдется натуральное число k, что f(х) делится на (х-с) k , но не делится на (х-с) k+1 . Такое число k называется кратностью корня с многочлена f(х), а сам корень с - k-кратным корнем этого многочлена. Если k=1, то корень с называют простым.

Для нахождения кратности k корня с многочлена f(х) применяют теорему:

Если число с является k-кратным корнем многочлена f(х), то при k>1 оно будет (k-1)-кратным корнем первой производной этого многочлена; если же k=1, то с не будет служить корнем для f "(х).

Следствие. k-кратный корень многочлена f(х) впервые не будет служить корнем для k-й производной.

Пример 2. Убедиться, что число 2 является корнем многочлена f(х)=х 4 -4х 3 +16х-16. Определить его кратность.

Решение. Число 2 является корнем f(х), так как 2 4 -4∙2 3 +16∙2-16=0.

f "(x)=4x 3 -12x 2 +16, f "(2)=4∙2 3 -12∙2 2 +16=0;

f ""(x)=12x 2 -24x, f ""(2)=12∙2 2 -24∙2=0;

f """(x)=24x-24, f """(2)=24∙2-24≠0.

Число 2 впервые не является корнем f"""(х), поэтому число 2 является трехкратным корнем многочлена f(х).

Пусть дан многочлен f(х) степени n≥1 со старшим коэффициентом 1: f(х)=х n +a 1 x n -1 +…+a n -1 x+a n и α 1 ,...,α n – его корни. Корни многочлена и его коэффициенты связаны формулами, которые называют формулами Виета:

a 1 = -(α 1 +...+α n),

a 2 =α 1 α 2 +...+α n-1 α n ,

a 3 = -(α 1 α 2 α 3 +...+α n-2 α n-1 α n),

...........................

a n =(-1) n α 1 α 2 ...α n .

Формулы Виета облегчают написание многочлена по заданным его корням.

Пример 3. Найти многочлен, имеющий простые корни 2; 3 и двукратный корень –1.

Решение. Найдем коэффициенты многочлена:

а 1 =– (2+3–1–1)=-3,

а 2 =2·3+2·(–1)+2·(–1)+3·(–1)+3·(–1)+(–1)·(–1)= –3,

а 3 =– (2·(–1)·(–1)+3·(–1)·(–1)+3·2·(–1)+3·2·(–1))= –7,

а 4 =3·2·(–1)·(–1)=6.

Искомый многочлен есть х 4 –3х 3 –3х 2 –7х+6.

Определение 3. Многочлен f(х)ÌР[x] степени n приводим над полем Р, если он может быть разложен в произведение двух множителей φ(х) и ψ(х) из Р[x], степени которых меньше n:

f(x)=φ(x)ψ(x). (1)

f(x)ÎP[x] называют неприводимым над полем Р, если в любом его разложении на множители из Р[x] один из множителей имеет степень 0, другой – степень n.

Имеют место следующие теоремы:

Всякий многочлен ненулевой степени f(х) из кольца Р[x] разлагается в произведение неприводимых множителей из Р[x] однозначно с точностью до множителей нулевой степени.

Отсюда легко следует, что для всякого многочлена f(х)ÎР[x] степени n, n≥1, существует следующее разложение на неприводимые множители:

где - неприводимые многочлены из P[x] со старшими коэффициентами, равными единице. Такое разложение для многочлена однозначно.

Неприводимые множители, входящие в такое разложение, не обязаны быть все различными. Если неприводимый многочлен встречается ровно k раз в разложении (2), то он называется k-кратным множителем многочлена f(х).Если множитель Р(х) входит в это разложение только один раз, то он называется простым множителем для f(х).

Если в разложении (2) одинаковые множители собрать вместе, то это разложение можно записать в следующем виде:

, (3)

где множители Р 1 (х),…,Р r (x) уже все различные. Показатели k 1 ,…,k r здесь равны кратностям соответствующих множителей. Разложение (3) можно записать в виде:

где F 1 (x) – произведение всех простых неприводимых множителей, - произведение всех двукратных неприводимых множителей и т.д. в разложении (3). Если в разложении (3) нет m-кратных множителей, то множитель считается равным единице.

Многочлены F 1 (x),…,F s (x) для многочлена f(x) над числовыми полями можно найти, пользуясь понятием производной, алгоритмом Евклида из формулированной ранее теоремы (о связи с производной) следующим образом:

Поэтому получаем

Таким образом, для многочлена f(x) мы можем найти множители .

Если для многочлена f(x) надо найти множители F 1 (x),…,F s (x) его разложения (4), то говорят, что надо отделить его кратные множители.

Пример 4. Отделить кратные множители f(x)=х 5 -х 4 -5х 3 +х 2 +8х+4.

Решение. Находим НОД f(x) и f "(x)=5x 4 -4x 3 -15x 2 +2x+8.

d 1 (x)=[ f(x), f "(x)]=x 3 -3x-2.

Теперь находим d 2 (x)=(d 1 (x), d 1 " (x)).

Выражаем v 1 (x), v 2 (x), v 3 (x).

(производим деление).

v 1 (x)=x 2 -x-2.

(производим деление).

Поэтому получаем F 3 (x)=v 3 (x)=x+1,

Таким образом, многочлен f(x) имеет разложение f(x)=(х-2) 2 (х+1) 3 . В разложении (3) многочлена f(x) простых множителей нет, двукратный множитель х-2 и трехкратный множитель х+1.

Замечание 1. Этот способ ничего не дает в том случае, если все неприводимые множители многочлена f(x) простые (получим тождество f(x)=F 1 (x)).

Замечание 2. Этот способ позволяет определить кратности всех корней произвольного многочлена.

ВАРИАНТЫ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

Вариант 1

1. Убедиться, что многочлен 3х 4 -5х 3 +3х 2 +4х-2 имеет корень 1+i. Найти остальные корни многочлена.

2. Отделить кратные множители х 5 +5х 4 -5х 3 -45х 2 +108.

3. Найти многочлен наименьшей степени, корнями которого являются: 5, i, i+3.

Вариант 2

1. Чему равен показатель кратности корня х 0 =2 для многочлена f(x)=x 5 -7х 4 +12х 3 +16х 2 -64х+48? Найти остальные его корни.

2. Отделить кратные множители х 5 -6х 4 +16х 3 -24х 2 +20х-8.

3. Определить соотношение между коэффициентами уравнения x 3 +px+q=0, если его корни х 1 , х 2 , х 3 , удовлетворяют соотношению .

Вариант 3

1. Чему равен показатель кратности корня х 0 =4 для многочлена х 4 -7х 3 +9х 2 +8х+16? Найти остальные корни.

2. Отделить кратные множители х 6 -2х 5 -х 4 -2х 3 +5х 2 +4х+4.

3. Определить λ так, чтобы один из корней уравнения равнялся удвоенному другому: x 3 -7x+λ=0.

Вариант 4

1. Показать, что х=3 является корнем многочлена f(x)=х 4 -6х 3 +10х 2 -6х+9. Определить его кратность и найти остальные корни.

2. Отделить кратные множители многочлена х 5 +6х 4 +13х 3 +14х 2 +12х+8.

3. Сумма двух корней уравнения 2х 3 -х 2 -7х+λ=0 равна 1. Найти λ.

Вариант 5

1. Показать, что х 0 =-2 является корнем многочлена х 4 +х 3 -18х 2 -52х-40. Определить его кратность и найти остальные корни.

2. Отделить кратные множители многочлена f(x)=х 5 -5х 4 -5х 3 +45х 2 -108.

3. Найти многочлен наименьшей степени по данным корням 1, 2, 3, 1+i.

Вариант 6

1. Найти условие, при котором многочлен х 5 +ах 4 +b имеет двойной корень, отличный от нуля.

2. Отделить кратные множители многочлена х 6 +15х 4 -8х 3 +51х 2 -72х+27.

3. Многочлен а 0 х n +a 1 x n -1 +…+a n имеет корни х 1 , х 2 ,…, х n . Какие корни имеют многочлены: 1) a 0 x n -a 1 x n -1 +a 2 x n -2 +…+(-1) n a n ;

2) a n x n +a n-1 x n-1 +…+a 0 ?

Вариант 7

1. Показать, что х=-2 является корнем многочлена 4х 5 +24х 4 +47х 3 +26х 2 -12х-8. Найти кратность корня и найти остальные корни многочлена.

3. Найти сумму квадратов корней уравнения 2х 3 -2х 2 -4х-1.

Вариант 8

1. Доказать, что х=1 является корнем многочлена х 6 -х 5 -4х 4 +6х 3 +х 2 -5х+2. Определить его кратность. Найти остальные корни многочлена.

3. Один из корней многочлена в два раза больше другого. Найти корни многочлена f(х)=х 3 -7х 2 +14х+λ.

Вариант 9

1. Найти условие, при котором многочлен х 5 +10ах 3 +5bх+с имеет тройной корень, отличный от нуля.

2. Отделить кратные множители многочлена х 7 -3х 6 +5х 5 -7х 4 +7х 3 -5х 2 +3х-1.

3. Решить уравнение х 3 -6х 2 +qх+2=0, если известно, что его корни образуют арифметическую прогрессию.

Вариант 10

1. Показать, что х=3 является корнем многочлена f(x)=х 4 -12х 3 +53х 2 -102х+72. Определить кратность корня, найти другие корни многочлена.

2. Отделить кратные множители многочлена х 6 -4х 4 -16х 2 +16.

3. Найти многочлен с действительными коэффициентами наименьшей степени по данным корням 1, 2+i, 3.

Вариант 11

1. Показать, что х=2 является корнем многочлена х 5 -6х 4 +13х 3 -14х 2 +12х-8. Найти его кратность и остальные корни.

2. Отделить кратные множители многочлена х 4 +х 3 -3х 2 -5х-2.

3. Составить многочлен наименьшей степени, если известны его корни х 1 =2, x 2 =1-i, x 3 =3.

Вариант 12

1. Показать, что х=-1 является корнем многочлена х 4 +х 3 -3х 2 -5х-2. Найти его кратность и остальные корни многочлена.

2. Отделить кратные множители многочлена х 5 -3х 4 +4х 3 -4х 2 +3х-1.

3. Составить многочлен наименьшей степени, если известны его корни х 1 =i, x 2 =2+i, x 3 =x 4 =2.

Вариант 13

1. Чему равен показатель кратности корня х 0 =4 для многочлена х 4 -7х 3 +9х 2 +8х+16? Найти остальные корни многочлена.

2. Отделить кратные множители многочлена х 6 -2х 5 -х 4 -2х 3 +5х 2 +4х+4.

3. Определить λ так, чтобы один из корней уравнения х 3 -7х+λ=0 равнялся удвоенному другому.

Похожая информация.

Наибольший общий делитель нескольких многочленов – это такой их общий делитель, который кратен любому их общему делителю. Если

d = НОД(f 1 , … ,f n ), то существуют такие многочленыu 1 , … ,u n , что

d = u 1 f 1 +… + u n f n .

Это выражение называется линейным представлением НОД.

Для нахождения НОД(f , g ) и его линейного представления используется алгоритм Евклида. Он заключается в последовательном делении с остатком первого многочлена на второй, затем второго на остаток, и т.д. Последний ненулевой остаток есть НОД(f , g ). С помощью получившейся цепочки делений находится линейное представление.

Пример2.1. Найти НОД(f , g

f =х 4 + 2х 3 –х 2 +x + 1;

g = 2х 3 –х – 1.

Решение. Выполняем цепочку делений с остатком:

Результаты делений записываем в следующем виде:

f = g  (1/2 x + 1) – ½ r 1 , r 1 = x 2 – 5x + 4;

g = r 1  (2x + 10) + 41r 2 , r 2 = x – 1; (*)

r 1 = r 2  (x – 4).

Последний ненулевой остаток r 2 =x – 1 и есть НОД(f , g ). Его линейное представление находим с помощью формул (*):

r 1 = 2f – 2g  (1/2 x + 1) = 2f – g  (x + 2);

41r 2 = g – r 1  (2x + 10) = g – (2f – g  (x + 2))  (2x + 10) =

= g – 2(2x + 10)f + (x + 2)(2x + 10)g = (4x + 20)f + (2x 2 + 14x + 21)g ;

НОД(f, g ) = x – 1= r 2 =
f +
g .

З а м е ч а н и е. Если не требуется находить линейное представление НОД, то при вычислениях числовые коэффициенты при получающихся остатках учитывать не требуется, и их можно отбрасывать. Чтобы в вычислениях избежать появления дробей, можно делимое перед выполнением деления умножить на подходящее целое число.

Упражнение 2.1. Найдите НОД(f , g ) и его линейное представление:

а) f =х 6 – 4х 5 + 11х 4 – 27х 3 + 37х 2 – 35x + 35;

g =х 5 – 3х 4 + 7х 3 – 20х 2 + 10x – 25.

б) f = 4х 4 – 2х 3 – 16х 2 + 5x + 9;

g = 2х 3 –х 2 – 5х + 4.

3. Кратные множители

Формальной производной многочлена f = a 0 + a 1 x + … + a n x n над полемFназывается многочленf  = a 1 + 2a 2 x 2 + … + na n x n -1 , где дляk N ,a Fимеем
.

Многочлены f иg называются ассоциированными, если они кратны друг другу. Многочленf над кольцом К называется приводимым над К, если он ненулевой и его можно представить в виде произведения двух необратимых многочленов. Многочленf называется неприводимым над К, если он необратим над К и любой его делитель ассоциирован сf или 1. Над полем неприводимы только многочлены положительной степени. Многочлен над полем разлагается в произведение неприводимых, и это разложение единственно с точностью до порядка и ассоциированности.

Многочленf имеет неприводимый множительp кратностиk , еслиf p k ,f p k +1 . Множитель называется кратным, если его кратность больше 1.

Теорема 3.1. Если многочленf над полем имеет неприводимый множительp кратностиk , тоp – неприводимый множитель кратностиk –1 дляf .

Эта теорема помогает решать задачу отделения кратных множителей многочлена f и разложения с помощью этого многочлена на множители. Для этого находим НОД(f , f ) =d . Многочленd составлен из кратных множителей многочленаf , каждый из которых входит вd с кратностью на 1 меньшей, чем вf . Если удается разложитьd на множители, то определяются все кратные множители многочленаf , и облегчается задача разложения его на множители. В противном случае можно рассмотреть многочлен
. Он составлен из всех простых множителей многочленаf , взятых с кратностью 1. Если и этот многочлен не удается разложить, то можно, например, найти НОД(f 1 , d ), или применить описанный алгоритм к многочленуd .

Пример3.1. Разложить на множители многочлен

f = x 5 – 15x 3 – 10x 2 + 60x + 72.

Решение. Вычисляемf  = 5x 4 – 45x 2 – 20x + 60 = 5(x 4 – 9x 2 – 4x + 12). Так как нам не требуется искать линейное представление НОД, то ненулевые числовые коэффициенты, которые выносятся из коэффициентов многочлена, можно отбрасывать. Поэтому вместоf  возьмемg =x 4 – 9x 2 – 4x + 12. Выполнив цепочку делений с остаткомf на g согласно алгоритму Евклида, получаем

f = xg – 6r 1 , r 1 = x 3 + x 2 – 8x – 12;

g = (x – 1) r 1 .

Следовательно, d = НОД(f , f ) =r 1 = x 3 +x 2 – 8x – 12. Так как степень НОД больше 2 и разложить его на множители достаточно затруднительно, то рассмотрим многочлен
=x 2 –x – 6 = (x – 3)(x + 2). Так какf 1 имеет степень 2 и его удалось разложить на множители, то определены все неприводимые множители многочленаf , и осталось только определить их кратность. Сделаем это с помощью схемы Горнера.

Ответ: f = (x + 2) 3 (x – 3) 2 .

Замечание. Так как в процессе решения мы полностью определили все простые множители многочленаf , то определять кратность множителя (x – 3) по схеме Горнера было не обязательно: так как степень многочлена равна 5 и кратность первого множителя первой степени равна 3, то кратность второго множителя должна быть равна 2.

Упражнения.

3.1. Разложите на множители многочлен:

а ) f = x 6 – 6x 4 – 4x 3 + 9x 2 + 12x + 4;

б ) f = x 5 – 6x 4 + 16x 3 – 24x 2 + 20x – 4.

3.2. Докажите, что многочлен x 2 n – nx n +1 +nx n –1 – 1 имеет число 1 тройным корнем.

Данный онлайн-калькулятор предназначен для разложения функции на множители.

Например, разложить на множители: x 2 /3-3x+12 . Запишем как x^2/3-3*x+12 . Также можно использовать и этот сервис , где все выкладки сохраняются в формате Word .

Например, разложить на слагаемые . Запишем как (1-x^2)/(x^3+x) . Чтобы посмотреть ход решения, нажимаем Show steps . Если необходимо получить результат в формате Word используйте этот сервис .

Примечание : число "пи" (π) записывается как pi ; корень квадратный как sqrt , например, sqrt(3) , тангенс tg записывается как tan . Для просмотра ответа см. раздел Alternative .

1. Если задано простое выражение, например, 8*d+12*c*d , то выражение разложить на множители означает представить выражение в виде сомножителей. Для этого необходимо найти общие множители. Данное выражение запишем как: 4*d*(2+3*c) .
2. Представить произведение в виде двух двучленов: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy . Здесь уже надо найти несколько общих сомножителей: x(x+7z) + 3y(x + 7z). Выносим (x+7z) и получаем: (x+7z)(x + 3y) .

см. также Деление многочленов уголком (показаны все шаги деления столбиком)

Полезным при изучении правил разложения на множители будут формулы сокращенного умножения , с помощью которых будет ясно, как раскрывать скобки с квадратом:

1. (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
2. (a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
3. (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
4. a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Методы разложения на множители

1. Использование формул сокращенного умножения.
2. Поиск общего множителя.