Las ecuaciones cuadráticas se estudian en octavo grado, por lo que aquí no hay nada complicado. La capacidad de resolverlos es absolutamente necesaria.
Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax 2 + bx + c = 0, donde los coeficientes a, byc son números arbitrarios y a ≠ 0.
antes de estudiar métodos específicos soluciones, tenga en cuenta que todas las ecuaciones cuadráticas se pueden dividir en tres clases:
- No tener raíces;
- Tener exactamente una raíz;
- Tienen dos raíces diferentes.
Esta es una diferencia importante entre ecuaciones cuadráticas y lineales, donde la raíz siempre existe y es única. ¿Cómo determinar cuántas raíces tiene una ecuación? Hay algo maravilloso para esto. discriminante.
discriminante
Sea la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0. Entonces el discriminante es simplemente el número D = b 2 − 4ac.
Necesitas saber esta fórmula de memoria. De dónde viene no es importante ahora. Otra cosa es importante: por el signo del discriminante se puede determinar cuántas raíces tiene una ecuación cuadrática. A saber:
- Si D< 0, корней нет;
- Si D = 0, hay exactamente una raíz;
- Si D > 0, habrá dos raíces.
Tenga en cuenta: el discriminante indica el número de raíces, y no sus signos, como por alguna razón mucha gente cree. Echa un vistazo a los ejemplos y lo entenderás todo tú mismo:
Tarea. ¿Cuántas raíces tienen las ecuaciones cuadráticas?
- x2 − 8x + 12 = 0;
- 5x 2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 − 6x + 9 = 0.
Escribamos los coeficientes de la primera ecuación y encontremos el discriminante:
a = 1, segundo = −8, c = 12;
re = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
Entonces el discriminante es positivo, entonces la ecuación tiene dos raíces diferentes. Analizamos la segunda ecuación de manera similar:
a = 5; segundo = 3; c = 7;
re = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.
El discriminante es negativo, no hay raíces. La última ecuación que queda es:
a = 1; segundo = −6; c = 9;
re = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
El discriminante es cero; la raíz será uno.
Tenga en cuenta que se han escrito coeficientes para cada ecuación. Sí, es largo, sí, es tedioso, pero no mezclarás las probabilidades ni cometerás errores estúpidos. Elija usted mismo: velocidad o calidad.
Por cierto, si lo dominas, después de un tiempo no necesitarás anotar todos los coeficientes. Realizarás tales operaciones en tu cabeza. La mayoría de la gente empieza a hacer esto después de 50-70 ecuaciones resueltas; en general, no tanto.
Raíces de una ecuación cuadrática
Pasemos ahora a la solución en sí. Si el discriminante D > 0, las raíces se pueden encontrar usando las fórmulas:
Fórmula básica para las raíces de una ecuación cuadrática.
Cuando D = 0, puedes usar cualquiera de estas fórmulas; obtendrás el mismo número, que será la respuesta. Finalmente, si D< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 − 2x − 3 = 0;
- 15 − 2x − x 2 = 0;
- x2 + 12x + 36 = 0.
Primera ecuación:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; segundo = −2; c = −3;
re = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.
D > 0 ⇒ la ecuación tiene dos raíces. Encontrémoslos:
Segunda ecuación:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; segundo = −2; c = 15;
re = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.
D > 0 ⇒ la ecuación nuevamente tiene dos raíces. vamos a encontrarlos
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(alinear)\]
Finalmente, la tercera ecuación:
x2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
re = 12 2 − 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ la ecuación tiene una raíz. Se puede utilizar cualquier fórmula. Por ejemplo, el primero:
Como puedes ver en los ejemplos, todo es muy sencillo. Si conoces las fórmulas y sabes contar, no habrá problemas. La mayoría de las veces, se producen errores al sustituir coeficientes negativos en la fórmula. Una vez más, la técnica descrita anteriormente le ayudará: mire la fórmula literalmente, escriba cada paso y muy pronto se librará de los errores.
Ecuaciones cuadráticas incompletas
Sucede que una ecuación cuadrática es ligeramente diferente de lo que se da en la definición. Por ejemplo:
- x2 + 9x = 0;
- x 2 - 16 = 0.
Es fácil notar que a estas ecuaciones les falta uno de los términos. Estas ecuaciones cuadráticas son incluso más fáciles de resolver que las estándar: ni siquiera requieren calcular el discriminante. Entonces, introduzcamos un nuevo concepto:
La ecuación ax 2 + bx + c = 0 se llama ecuación cuadrática incompleta si b = 0 o c = 0, es decir el coeficiente de la variable x o del elemento libre es igual a cero.
Por supuesto, es posible un caso muy difícil cuando ambos coeficientes son iguales a cero: b = c = 0. En este caso, la ecuación toma la forma ax 2 = 0. Obviamente, dicha ecuación tiene una única raíz: x = 0.
Consideremos los casos restantes. Sea b = 0, entonces obtenemos una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 + c = 0. Transformémosla un poco:
desde la aritmética Raíz cuadrada existe sólo a partir de un número no negativo, la última igualdad tiene sentido sólo para (−c /a) ≥ 0. Conclusión:
- Si en una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 + c = 0 se satisface la desigualdad (−c /a) ≥ 0, habrá dos raíces. La fórmula se da arriba;
- Si (−c/a)< 0, корней нет.
Como puede ver, no se requirió el discriminante - en forma incompleta ecuaciones cuadráticas No hay ningún cálculo complejo en absoluto. De hecho, ni siquiera es necesario recordar la desigualdad (−c /a) ≥ 0. Basta expresar el valor x 2 y ver qué hay al otro lado del signo igual. Sí hay numero positivo- habrá dos raíces. Si es negativo, no habrá raíces en absoluto.
Ahora veamos ecuaciones de la forma ax 2 + bx = 0, en las que el elemento libre es igual a cero. Aquí todo es sencillo: siempre habrá dos raíces. Basta factorizar el polinomio:
Eliminación multiplicador común fuera de soporteEl producto es cero cuando al menos uno de los factores es cero. De aquí vienen las raíces. En conclusión, veamos algunas de estas ecuaciones:
Tarea. Resolver ecuaciones cuadráticas:
- x2 − 7x = 0;
- 5x 2 + 30 = 0;
- 4x 2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.
5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. No hay raíces, porque un cuadrado no puede ser igual a un número negativo.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x2 = −1,5.
Cómo aprender a resolver de forma sencilla y ecuaciones complejas
¡Estimados padres!
Sin una formación matemática básica, la educación es imposible hombre moderno. En la escuela, las matemáticas sirven como materia de apoyo para muchas disciplinas relacionadas. En la vida postescolar, la educación continua se convierte en una necesidad real, que requiere una formación básica en toda la escuela, incluidas las matemáticas.
EN escuela primaria No solo se establece el conocimiento sobre los temas principales, sino que también se desarrolla. pensamiento lógico, imaginación y representaciones espaciales, así como la formación del interés por esta temática.
Observando el principio de continuidad, nos centraremos en el tema más importante, a saber, "La relación entre los componentes de las acciones en la resolución de ecuaciones compuestas".
Con esta lección podrás aprender fácilmente a resolver ecuaciones complejas. En esta lección aprenderás en detalle sobre instrucciones paso a paso Resolver ecuaciones complicadas.
Muchos padres están perplejos ante la cuestión de cómo lograr que sus hijos aprendan a resolver ecuaciones simples y complejas. Si las ecuaciones son simples, esa es la mitad del problema, pero también las hay complejas, por ejemplo, las integrales. Por cierto, a título informativo, también hay ecuaciones que las mejores mentes de nuestro planeta están luchando por resolver, y por cuya solución se otorgan bonificaciones monetarias muy importantes. Por ejemplo, si recuerdasPerelman y una bonificación en efectivo no reclamada de varios millones.
Sin embargo, volvamos primero a las ecuaciones matemáticas simples y repitamos los tipos de ecuaciones y los nombres de los componentes. Un pequeño calentamiento:
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CALENTAMIENTO
Encuentra el número extra en cada columna:
2) ¿Qué palabra falta en cada columna?
3) Conecte las palabras de la primera columna con las palabras de la segunda columna.
"Ecuación" "Igualdad"
4) ¿Cómo explicas qué es “igualdad”?
5) ¿Qué pasa con la “ecuación”? ¿Es esto igualdad? ¿Qué tiene de especial?
término suma
diferencia de minuendo
producto sustractivo
factorigualdad
dividendo
la ecuacion
Conclusión: Una ecuación es una igualdad con una variable cuyo valor se debe encontrar.
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Invito a cada grupo a escribir ecuaciones en una hoja de papel con un rotulador: (en la pizarra)
Grupo 1 - con término desconocido;
grupo 2 - con una disminución desconocida;
Grupo 3 – con sustraendo desconocido;
grupo 4 – con divisor desconocido;
Grupo 5 – con dividendo desconocido;
Grupo 6 – con un multiplicador desconocido.
1 grupo x + 8 = 15
Grupo 2 x – 8 = 7
Grupo 3 48 – x = 36
4 grupo 540: x = 9
5 grupo x: 15 = 9
6 grupo x * 10 = 360
Uno de los miembros del grupo debe leer su ecuación en lenguaje matemático y comentar su solución, es decir, decir la operación que se realiza con los componentes conocidos de las acciones (algoritmo).
Conclusión: Podemos resolver ecuaciones simples de todo tipo usando un algoritmo, leer y escribir expresiones literales.
Propongo resolver un problema en el que aparece un nuevo tipo de ecuación.
X + 2kg 5kg y 3kg
¿A qué cantidad está asociado el dibujo?
Crea y escribe una ecuación basada en esta imagen:
Elija la ecuación apropiada para la ecuación resultante:
x + a = b a: x = b
x: a = b x * a = b
x – a = en a – x = en
Conclusión: Nos familiarizamos con la solución de ecuaciones, una de cuyas partes contiene una expresión numérica, cuyo valor debe encontrarse y obtener una ecuación simple.
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Consideremos otra versión de la ecuación, cuya solución se reduce a resolver una cadena de ecuaciones simples. Aquí hay una introducción a las ecuaciones compuestas.
a + b * c (x – y) : 3 2 * d + (m – n)
¿Están escritas las ecuaciones?
¿Por qué?
¿Cómo se llaman tales acciones?
Léelos, nombrando la última acción:
No. Estas no son ecuaciones porque la ecuación debe tener un signo "=".
Expresiones
a + b * c - la suma del número a y el producto de los números byc;
(x – y): 3 - cociente de la diferencia entre los números x e y;
2 * d + (m – n) - la suma del doble del número d y la diferencia entre los números my n.
Sugiero que todos escriban una oración en lenguaje matemático:
El producto de la diferencia entre los números x y 4 y el número 3 es 15.
Escribe una oración en lenguaje matemático: el producto de la diferencia entre los números x y 4 y el número 3 es igual a 15
(x – 4) * 3 = 15
CONCLUSIÓN: La situación problemática que ha surgido motiva a plantearse el objetivo de la lección: aprender a resolver ecuaciones en las que la componente desconocida es una expresión. Estas ecuaciones son ecuaciones compuestas.
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¿O tal vez nos ayuden los tipos de ecuaciones que ya hemos estudiado? (algoritmos)
¿A cuál de las famosas ecuaciones es similar nuestra ecuación? X * a = b
PREGUNTA MUY IMPORTANTE : ¿Cuál es la expresión del lado izquierdo: suma, diferencia, producto o cociente?
(x – 4) * 3 = 15 (Producto)
¿Por qué? (ya que la última acción es la multiplicación)
Conclusión: Estas ecuaciones aún no se han considerado. Pero podemos resolverlo si la expresión x – 4 Pon una tarjeta (y - igrek) y obtendrás una ecuación que se puede resolver fácilmente usando un algoritmo simple para encontrar el componente desconocido.
Al resolver ecuaciones compuestas, es necesario en cada paso seleccionar una acción a nivel automatizado, comentando y nombrando los componentes de la acción.
Encuentra la última acción
Seleccionar componente desconocido
Aplicar regla
simplificar parte
¿Encontraste la raíz de la ecuación?↓ Sí
hacer un cheque
(y – 5)
*
4
=
28
y – 5
= 28: 4
y – 5 = 7
y = 5 +7
y = 12
(12 - 5) * 4 = 28
28 = 28 (yo)
Conclusión: En clases con diferentes orígenes, este trabajo se puede organizar de manera diferente. En clases más preparadas, incluso para la consolidación primaria, se pueden utilizar expresiones en las que no dos, sino tres o más acciones, pero su solución requiere más pasos, cada paso simplifica la ecuación hasta obtener una ecuación simple. Y cada vez se puede observar cómo cambia el componente desconocido de las acciones.
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CONCLUSIÓN:
Cuando hablamos de algo muy simple y comprensible, solemos decir: “¡El asunto es tan claro como dos y dos son cuatro!”.
Pero antes de descubrir que dos y dos son cuatro, la gente tuvo que estudiar durante muchos, muchos miles de años.
Muchas reglas de libros de texto escolares La aritmética y la geometría eran conocidas por los antiguos griegos hace más de dos mil años.
Dondequiera que necesites contar, medir, comparar algo, no puedes prescindir de las matemáticas.
Es difícil imaginar cómo viviría la gente si no supiera contar, medir y comparar. Las matemáticas enseñan esto.
Hoy te sumergiste en vida escolar, hemos estado en el rol de estudiantes y los invito, queridos padres, a calificar sus habilidades en una escala:
Mis habilidades
Fecha y calificación
Componentes de acción.
Elaboración de una ecuación con componente desconocido.
Lectura y escritura de expresiones.
Encuentra la raíz de una ecuación simple.
Encuentra la raíz de una ecuación donde una de las partes contiene una expresión numérica.
Encuentra la raíz de una ecuación en la que el componente desconocido de la acción es una expresión.
Una ecuación es uno de los conceptos fundamentales de todas las matemáticas. Tanto la educación escolar como la superior. Tiene sentido resolverlo, ¿verdad? Además, este es un concepto muy simple. Compruébelo usted mismo a continuación. :) Entonces, ¿cuál es la ecuación?
El hecho de que esta palabra tenga la misma raíz que las palabras "igual", "igualdad", creo, no plantea ninguna objeción por parte de nadie.
Una ecuación son dos expresiones matemáticas conectadas por el signo "=" (igual).
Pero… no cualquiera. Y aquellos en los que (al menos uno) contiene cantidad desconocida. O, de otra manera, valor variable. O simplemente "variable" para abreviar. Que generalmente se indica con la letra. "X".
Puede haber una variable o puede haber varias. En matemáticas escolares, las ecuaciones con uno variable. Y por ahora también consideraremos ecuaciones con una variable. Con dos o más variables - en lecciones especiales.
¿Qué significa resolver una ecuación?
La variable incluida en la ecuación puede tomar cualquier valores matemáticamente aceptables. Por eso es variable. :) Para algunos valores de la variable se obtiene la igualdad numérica correcta, pero para otros no.
Asi que aqui esta:
Resolver una ecuación significa encontrar TODOS los valores de una variable que, cuando se sustituyen en original la ecuación resulta ser una igualdad correcta. O, más científicamente, la verdadera identidad. O demostrar que tales valores de la variable no existen.
Qué ha pasado verdadera igualdad? Esta es una igualdad que está fuera de toda duda incluso para una persona que no está en absoluto cargada de conocimientos matemáticos profundos. Por ejemplo, 5=5, 0=0, -10=-10. Etcétera. :)
Los valores de la variable, cuya sustitución consigue lo mismo verdadera igualdad, se llaman de manera muy hermosa y científica: raíces de la ecuación.
Puede haber una raíz, puede haber varias. O tal vez infinitas raíces- un intervalo completo o incluso la recta numérica completa desde –∞ antes +∞ . ¡Sí, esto también pasa! Todo depende de la ecuación específica).
Y también sucede que esta prohibido encuentre las X que nos darían la verdadera igualdad. En principio es imposible. Por ciertas razones. No existen tales X...
En tales casos se suele decir que la ecuación no tiene raíces.
¿Para qué sirven las ecuaciones?
La pregunta es divertida. ¡Por vida! En la escuela, por regla general, se necesitan ecuaciones para resolver. problemas de palabras . Déjame recordarte que estas son tareas por trabajo, por interés y muchas otras.
Y en la vida adulta, sin ecuaciones, sería imposible responder incluso a las preguntas más comunes, pero de vital importancia, de la vida cotidiana: cómo hará el tiempo mañana, si el edificio resistirá la carga dada. O un ascensor. O un avión. ¿Dónde caerá el cohete? Y ahora no habría meteorólogos, ni ingenieros, ni contables, ni economistas, ni programadores entre nosotros... Por innecesario. ¿Inspira?)
¿Por qué esto es tan? Pero como las ecuaciones describen casi todo conocido por el hombre Fenómenos y procesos naturales. Cambio en la presión del aire y la temperatura con la altitud, ley. gravedad universal, crecimiento bacteriano, desintegración radiactiva, reacciones químicas, electricidad, oferta y demanda: en el centro de todo están ecuaciones matemáticas! Simples, complejos, de todo tipo. Cualquiera que sea el fenómeno o la situación, esa es la ecuación.)
Entonces, recordemos:
Las ecuaciones son una herramienta muy poderosa y versátil para resolver una amplia variedad de problemas aplicados.
¿Cuáles son las ecuaciones?
Hay innumerables ecuaciones en matemáticas. Mayoría diferentes tipos. Pero toda la variedad de ecuaciones se puede dividir en sólo 4 categorías:
1. ,
2. ,
3. (o racional fraccionario),
4. Otros.
Las diferentes categorías de ecuaciones requieren diferentes enfoques para resolverlas: las ecuaciones lineales se resuelven de una manera, las ecuaciones cuadráticas de otra, las ecuaciones fraccionarias de una tercera, las trigonométricas, logarítmicas, exponenciales y otras también se resuelven utilizando sus propios métodos.
Por supuesto, hay más ecuaciones más, sí...) Estas son a la vez irracionales y trigonométrico , y , y , y muchas otras ecuaciones. e incluso ecuaciones diferenciales(para estudiantes), donde el papel de lo desconocido no lo juega un número, sino función. O incluso una familia de funciones. :)
En las lecciones correspondientes analizaremos en detalle todos estos tipos de ecuaciones. Y aquí tenemos técnicas y reglas básicas.
Estas reglas se llaman - transformaciones idénticas (o equivalentes) de ecuaciones . Sólo hay dos de ellos. Y no hay forma de evitarlos. ¡Así que vamos a conocernos!
¿Cómo resolver ecuaciones? Transformaciones idénticas (equivalentes) de ecuaciones.
Solución cualquier La ecuación consiste en una transformación paso a paso de las expresiones incluidas en ella. Pero no cualquier transformación, sino tal que de paso a paso la esencia de toda la ecuación no ha cambiado. A pesar de que después de cada transformación la ecuación cambiará y, en última instancia, será completamente diferente de la original.
Estas transformaciones en matemáticas se llaman equivalente o idéntico. Hay bastantes, pero entre toda la variedad de transformaciones idénticas de ecuaciones, se destaca una dos basicos. Se discutirán en esta lección. ¡Sí, sí, sólo dos! Pero ¡extremadamente importante! Y cada uno de ellos merece una atención especial.
Aplicar estas dos transformaciones idénticas en un orden u otro garantiza el éxito en la resolución del 99% de las ecuaciones matemáticas. Tentador, ¿no?
¡Así que adelante!
Primera transformación de identidad:
Puedes sumar (o restar) cualquier número o expresión (¡pero idéntica!) (incluidos aquellos con una variable) a ambos lados de la ecuación. Esto no cambiará la esencia de la ecuación.
Aplicas esta transformación en todas partes, pensando ingenuamente que estás transfiriendo algunos términos de una parte de la ecuación a otra, cambiando de signo. :)
Por ejemplo, esta genial ecuación:
No hay nada en qué pensar aquí, movemos los tres hacia la derecha, cambiando el menos por el más:
¿Pero qué está pasando realmente? Pero en realidad tú... ¡suma tres a ambos lados de la ecuación!
Esto es lo que está pasando:
Y el resultado es el mismo:
Eso es todo. A la izquierda queda una X pura (que es lo que, de hecho, estamos tratando de lograr), y a la derecha, pase lo que pase. Pero lo más importante es que de sumar tres a ambas partes¡La esencia de toda la ecuación no ha cambiado!
El caso es que la transferencia habitual de términos de una parte a otra con cambio de signo es simplemente versión abreviada Primera transformación de identidad.
¿Y por qué necesitamos profundizar tanto? No hay necesidad de ecuaciones. Tómatelo con calma y no te preocupes. Pero no olvides cambiar los signos.) Pero en las desigualdades, el hábito de la transferencia puede ser un poco desalentador, sí...
Esta fue la primera transformación idéntica. Pasemos al segundo.
Segunda transformación de identidad:
Ambos lados de la ecuación se pueden multiplicar (dividir) por el mismo número o expresión distinta de cero.
Usamos constantemente esta transformación idéntica cuando resolvemos algo realmente espeluznante como:
Está claro para todos aquí que x=3. ¿Cómo obtuviste esta respuesta? ¿Lo recogiste? ¿Lo adivinaste?
Para no seleccionar y adivinar (somos matemáticos, no adivinos), debes comprender que simplemente estás dividió ambos lados de la ecuación para un cuatro. Que es lo que nos molesta.
Como esto:
Esta barra de división significa que están divididas entre cuatro. ambas partes nuestra ecuación. A través de fracciones este procedimiento queda así:
A la izquierda, los cuatro se reducen de forma segura, dejando a la x en un espléndido aislamiento. Y a la derecha, al dividir 12 entre 4, el resultado es, por supuesto, tres. :)
Y eso es todo.)
Suena increíble, pero estas dos (¡solo dos!) transformaciones simples son el corazón de la solución. ¡Todas las ecuaciones matemáticas! si si exactamente todos¡No estoy exagerando en absoluto! De lineal y cuadrático en la escuela a diferencial en la universidad.)
Bueno, veamos las transformaciones idénticas de ecuaciones en acción.
Aplicación de transformaciones de identidad a la resolución de ecuaciones.
Empecemos con primero transformación de la identidad. Transfiera a izquierda y derecha.
Ejemplo para principiantes:
1-x = 3-2x
No es un asunto complicado. Este . Trabajamos directamente según el hechizo: "Con X a la izquierda, sin X a la derecha".
Este mantra es una instrucción universal para aplicar la primera transformación de identidad. Así que veamos la ecuación. ¿Qué término con X está a la derecha? ¿Qué? 2x? ¡No!) A nuestra derecha -2x (menos dos x)! Por lo tanto, cuando se mueve hacia el lado izquierdo, el menos cambiará a más:
1-x +2x = 3
La mitad de la batalla ha terminado, las X se han recogido a la izquierda. Ya solo queda recoger todos los números de la derecha. Hay uno en el lado izquierdo de la ecuación. Nuevamente la pregunta es: ¿con qué signo? La respuesta “sin ninguno” no funciona.) Realmente no hay nada escrito a la izquierda antes del 1. Y esto significa que hay un cartel frente a ella. "más". Así es como funciona en matemáticas: no hay nada escrito, lo que significa que es un plus.)
Y por lo tanto el uno se moverá hacia la derecha. con un menos:
-x + 2x = 3 - 1
Eso es casi todo. A la izquierda presentamos los similares y a la derecha los contamos. Y obtenemos:
x = 2
Era una ecuación completamente primitiva.
Ahora un ejemplo más interesante, para estudiantes de secundaria:
Resuelve la ecuación:
La ecuacion . ¿Así que lo que? ¿A quién le importa? De todos modos, el primer paso es hacer la transformación de identidad básica. ("Con X a la izquierda..."). Para hacer esto, el término con X (es decir, - registro 3 X) moverse hacia la izquierda. Con cambio de signo:
Y la expresión numérica ( registro 3 4 ) mover a la derecha. También con cambio de signo, claro:
Eso es todo. A la derecha está la fórmula pura. Quien sea amigo completará la ecuación en su cabeza y obtendrá:
x=3
¿Qué? ¿Quieres senos? Por favor, aquí están los senos:
Y otra vez ¡todos iguales! Realizamos la primera transformación idéntica: transferimos pecado X hacia la izquierda (con un menos) y mueve -0,25 hacia la derecha (con un más):
Tenemos lo mas simple ecuación trigonométrica con seno, que (para quienes saben) tampoco es difícil de resolver.
¡Mira cuán universal es la primera transformación equivalente! Se encuentra en todas partes y en todas partes y no hay forma de evitarlo… Por eso es tan importante poder hacerlo de forma automática y sin errores.
En realidad, aquí solo puede cometer un error: olvidarse de cambiar el signo al realizar la transferencia. Que es lo que pasa todo el tiempo. Nadie canceló la atención, sí...)
Bueno, ¿continuemos nuestros juegos? Divirtámonos ahora segundo¡transformación!)
Resuelve la ecuación:
7x=28
Chico genial, para ser honesto.) Bien, estas son emociones...
Miramos y pensamos: ¿qué nos detiene en esta ecuación? Qué, qué... ¡Sí, siete están en el camino! Sería bueno deshacerse de ella. Sí, para no estropear la ecuación original).
¿Pero cómo? ¿Mover a la derecha? Eh... ¡Para! No.) Siete con una X multiplicación conectado. Coeficiente, ya ves). No puedes separarlo de la X y moverlo hacia la derecha. Esa es toda la expresión 7x en su totalidad - por favor (pregunta - ¿por qué?). Pero siete por separado, de ninguna manera.
¡Es hora de recordar la multiplicación/división! Necesitamos X pura en la respuesta, ¿no? Y siete es un obstáculo. Entonces dividimos el lado izquierdo por siete. "Limpiamos" X del coeficiente. Entonces a nosotros necesario. Pero entonces lado derecho también hay que dividirlo por siete: esto ya es matemáticas requiere. Pase lo que pase allí, saldrá bien. Pero el ejemplo es bueno. Lo intenté.) 28 es perfectamente divisible por 7. Obtienes 4.
Respuesta: x=4
O esta ecuación:
¿Qué nos detiene aquí? La fracción es 1/6, ¿no? Así que deshagámonos de él. Seguro para la ecuación). ¿Cómo? Bueno, puedes hacer lo mismo: dividir ambas partes por este mismo 1/6. Pero esto no es muy conveniente para la mente. Algunas personas se confundirán...
¡Pero no sólo dividimos, sino que también sabemos multiplicar!) Recordamos de clases junior, después de qué acción tenemos ¿desaparece la fracción?¡Bien! Nuestra fracción desaparece cuando multiplicación por un número igual (o múltiplo) de su denominador. Entonces, multipliquemos ambos lados de nuestra ecuación por 6. En el lado izquierdo aún obtendrás una X pura, pero multiplicar el lado derecho por 6 no es el trabajo más difícil).
Eso es todo.) Multiplicación ambas partes Las ecuaciones para el número requerido le permiten deshacerse inmediatamente de las fracciones, sin pasar por los cálculos intermedios, en los que, por cierto, puede cometer errores fácilmente. Camino más corto, ¡menos errores!
Ahora volvamos a la máquina del tiempo y... a la escuela secundaria:
Resuelve la ecuación:
Para llegar a X y así resolver este genial ecuación trigonométrica , primero necesitamos obtener un coseno puro a la izquierda, sin ningún coeficiente. Pero el diablo se interpone en el camino. :) Entonces dividimos todo el lado izquierdo por 2:
Pero entonces también habrá que dividir el lado derecho entre dos: esto es necesario para MATEMÁTICAS. Dividir:
Lo tengo a la derecha valor de la tabla del coseno. Y ahora la ecuación está resuelta para el alma dulce.)
Esa es toda la sabiduría. Como puede ver, las transformaciones idénticas de ecuaciones son algo útil. Y al mismo tiempo no es el más difícil. Transferencia y multiplicación/división. Sin embargo, no todo el mundo lo consigue a la primera y sin errores, oh, no todo el mundo... Aquí hay dos problemas principales.
Problema uno (para los inexpertos):
A veces un estudiante piensa que la simplificación de ecuaciones se hace de acuerdo con una regla establecida de una vez por todas. Y simplemente no puede captar ni comprender esta regla: en algunos ejemplos comienzan con la multiplicación (o división), en otros comienzan con la transferencia. Lo transfieren unas tres veces y nunca lo multiplican...
Por ejemplo, esta ecuación lineal:
10x + 5 = 5x – 20
¿Donde empezar? Puedes comenzar con la transferencia:
10x – 5x = -20 - 5
O puede primero dividir ambas partes entre cinco y luego transferirlas. Entonces los números se volverán inmediatamente más simples:
Como vemos, es posible decidir de esta manera o de aquella. Y esto es en ejemplo primitivo! Esto plantea una pregunta para los estudiantes sin experiencia: "¿Cual es correcta?"
¡En todos los sentidos correcto! Lo que sea más conveniente para ti. :) Aquí no existe una receta universal y no puede haberla. Matemáticas te ofrece la posibilidad de elegir entre dos tipos de transformaciones de ecuaciones. Y el orden de estas mismas transformaciones depende únicamente de la ecuación original, así como de las preferencias y hábitos personales de quien decide.
Problema dos (para todos... bueno... casi):
Errores en los cálculos. En las transformaciones hay que multiplicar constantemente los paréntesis. Encierre expresiones entre paréntesis y abra paréntesis. Multiplica y divide fracciones. Trabajar con títulos... En resumen, está disponible todo el conjunto de operaciones matemáticas elementales. Con todas las consecuencias...
Ambos problemas pueden eliminarse de una sola manera: práctica. Las dudas y los errores desaparecen. Los ejemplos se vuelven más simples, las tareas se vuelven más fáciles. Y al final, no son las matemáticas las que te mandan, sino tú el que mandas a las matemáticas. :)
Ecuaciones lineales. Solución, ejemplos.
¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy..."
Y para los que “mucho…”)
Ecuaciones lineales.
Las ecuaciones lineales no son las más tema complejo matemáticas escolares. Pero hay algunos trucos que pueden desconcertar incluso a un estudiante capacitado. ¿Vamos a resolverlo?)
Normalmente una ecuación lineal se define como una ecuación de la forma:
hacha + b = 0 Dónde a y B– cualquier número.
2x + 7 = 0. Aquí a = 2, b=7
0,1x - 2,3 = 0 Aquí a = 0,1, b=-2,3
12x + 1/2 = 0 Aquí a = 12, b=1/2
Nada complicado, ¿verdad? Especialmente si no notas las palabras: "donde a y b son números cualesquiera"... ¿Y si te das cuenta y lo piensas descuidadamente?) Después de todo, si a = 0, b=0(¿algún número es posible?), entonces obtenemos una expresión divertida:
¡Pero eso no es todo! Si, digamos, a = 0, A b=5, Esto resulta ser algo completamente fuera de lo común:
Lo cual es molesto y socava la confianza en las matemáticas, sí...) Especialmente durante los exámenes. ¡Pero entre estas extrañas expresiones también necesitas encontrar X! Que no existe en absoluto. Y, sorprendentemente, esta X es muy fácil de encontrar. Aprenderemos a hacer esto. En esta lección.
¿Cómo reconocer una ecuación lineal por su apariencia? depende que apariencia.) El truco es que no sólo las ecuaciones de la forma se llaman ecuaciones lineales hacha + b = 0 , pero también cualquier ecuación que pueda reducirse a esta forma mediante transformaciones y simplificaciones. ¿Y quién sabe si baja o no?)
En algunos casos se puede reconocer claramente una ecuación lineal. Digamos, si tenemos una ecuación en la que solo hay incógnitas de primer grado y números. Y en la ecuación no hay fracciones divididas por desconocido , ¡es importante! y división por número, o una fracción numérica, ¡bienvenido! Por ejemplo:
Esta es una ecuación lineal. Aquí hay fracciones, pero no hay x en el cuadrado, cubo, etc., ni x en los denominadores, es decir. No división por x. Y aquí está la ecuación.
No se puede llamar lineal. Aquí las X están todas en primer grado, pero hay división por expresión con x. Después de simplificaciones y transformaciones, puedes obtener una ecuación lineal, una ecuación cuadrática o cualquier cosa que quieras.
Resulta que es imposible reconocer la ecuación lineal en algún ejemplo complicado hasta que casi la resuelves. Esto es perturbador. Pero en las tareas, por regla general, no preguntan sobre la forma de la ecuación, ¿verdad? Las tareas piden ecuaciones. decidir. Esto me hace feliz.)
Resolver ecuaciones lineales. Ejemplos.
toda la solucion ecuaciones lineales Consiste en transformaciones idénticas de ecuaciones. Por cierto, estas transformaciones (¡dos de ellas!) son la base de las soluciones. todas las ecuaciones de las matemáticas. En otras palabras, la solución cualquier la ecuación comienza con estas mismas transformaciones. En el caso de ecuaciones lineales, (la solución) se basa en estas transformaciones y termina con una respuesta completa. Tiene sentido seguir el enlace, ¿verdad?) Además, allí también hay ejemplos de resolución de ecuaciones lineales.
Primero, veamos el ejemplo más simple. Sin trampas. Supongamos que necesitamos resolver esta ecuación.
x - 3 = 2 - 4x
Esta es una ecuación lineal. Las X están todas en la primera potencia, no hay división por X. Pero, de hecho, no nos importa qué tipo de ecuación sea. Necesitamos resolverlo. El esquema aquí es simple. Recoge todo lo que tenga X en el lado izquierdo de la ecuación, todo lo que no tenga X (números) en el derecho.
Para hacer esto necesitas transferir - 4x hacia el lado izquierdo, con cambio de signo, por supuesto, y - 3 - A la derecha. Por cierto, esto es la primera transformación idéntica de ecuaciones.¿Sorprendido? Esto significa que no seguiste el enlace, sino en vano...) Obtenemos:
x + 4x = 2 + 3
Aquí hay otros similares, consideramos:
¿Qué necesitamos para la felicidad completa? ¡Sí, para que quede una X pura a la izquierda! Cinco están en camino. Deshacerse de los cinco con la ayuda. la segunda transformación idéntica de ecuaciones. Es decir, dividimos ambos lados de la ecuación entre 5. Obtenemos una respuesta lista:
Un ejemplo elemental, por supuesto. Esto es para calentar.) ¿No está muy claro por qué recordé transformaciones idénticas aquí? DE ACUERDO. Tomemos el toro por los cuernos.) Decidamos algo más sólido.
Por ejemplo, aquí está la ecuación:
¿Donde empezamos? ¿Con X, a la izquierda, sin X, a la derecha? Podría ser así. Pequeños pasos en un largo camino. O puedes hacerlo de inmediato, de una manera universal y poderosa. A menos, por supuesto, que tengas transformaciones idénticas de ecuaciones en tu arsenal.
Te hago una pregunta clave: ¿Qué es lo que más te disgusta de esta ecuación?
95 de cada 100 personas responderán: fracciones ! La respuesta es correcta. Así que deshagámonos de ellos. Por lo tanto, comenzamos inmediatamente con segunda transformación de identidad. ¿Por qué necesitas multiplicar la fracción de la izquierda para que el denominador se reduzca por completo? Así es, a las 3. ¿Y a la derecha? Por 4. Pero las matemáticas nos permiten multiplicar ambos lados por el mismo numero. ¿Cómo podemos salir? ¡Multipliquemos ambos lados por 12! Aquellos. a un denominador común. Entonces tanto el tres como el cuatro serán reducidos. No olvides que necesitas multiplicar cada parte. enteramente. Así es como se ve el primer paso:
Ampliando los corchetes:
¡Nota! Numerador (x+2)¡Lo puse entre paréntesis! Esto se debe a que al multiplicar fracciones, ¡se multiplica todo el numerador! Ahora puedes reducir fracciones:
Expanda los corchetes restantes:
¡No es un ejemplo, sino puro placer!) Ahora recordemos un hechizo de la escuela primaria: con una X - a la izquierda, sin una X - ¡a la derecha! Y aplica esta transformación:
Aquí hay algunos similares:
Y divide ambas partes por 25, es decir aplicar la segunda transformación nuevamente:
Eso es todo. Respuesta: X=0,16
Tenga en cuenta: para darle una forma agradable a la confusa ecuación original, utilizamos dos (¡solo dos!) transformaciones de identidad– traducción de izquierda a derecha con cambio de signo y multiplicación-división de una ecuación por el mismo número. ¡Este es un método universal! Trabajaremos de esta manera con cualquier ecuaciones! Absolutamente cualquiera. Por eso repito tediosamente sobre estas transformaciones idénticas todo el tiempo.)
Como puedes ver, el principio de resolución de ecuaciones lineales es simple. Tomamos la ecuación y la simplificamos usando transformaciones idénticas hasta obtener la respuesta. Los principales problemas aquí están en los cálculos, no en el principio de solución.
Pero... Hay tales sorpresas en el proceso de resolución de las ecuaciones lineales más elementales que pueden llevarte a un fuerte estupor...) Afortunadamente, sólo puede haber dos de esas sorpresas. Llamémoslos casos especiales.
Casos especiales en la resolución de ecuaciones lineales.
Primera sorpresa.
Supongamos que te encuentras con una ecuación muy básica, algo como:
2x+3=5x+5 - 3x - 2
Un poco aburrido, lo movemos con una X hacia la izquierda, sin una X - hacia la derecha... Con un cambio de signo, todo es perfecto... Obtenemos:
2x-5x+3x=5-2-3
Contamos, y... ¡¡¡ups!!! Obtenemos:
Esta igualdad en sí misma no es objetable. Cero realmente es cero. ¡Pero falta X! Y debemos escribir en la respuesta, ¿A qué es igual x? De lo contrario, la solución no cuenta, ¿verdad...) Punto muerto?
¡Calma! En casos tan dudosos, las reglas más generales te salvarán. ¿Cómo resolver ecuaciones? ¿Qué significa resolver una ecuación? Esto significa, encuentra todos los valores de x que, al sustituirlos en la ecuación original, nos darán la igualdad correcta.
Pero tenemos verdadera igualdad. ya¡sucedió! 0=0, ¿cuánto más preciso? Queda por descubrir en qué x sucede esto. ¿En qué valores de X se pueden sustituir? original ecuación si estas x ¿Seguirán siendo reducidos a cero?¿Vamos?)
¡¡¡Sí!!! Las X se pueden sustituir. ¡cualquier!¿Cuáles quieres? Al menos 5, al menos 0,05, al menos -220. Todavía se encogerán. Si no me cree, puede comprobarlo). Sustituya cualquier valor de X en original ecuación y calcular. Todo el tiempo obtendrás la pura verdad: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 y así sucesivamente.
Aquí está tu respuesta: x - cualquier número.
La respuesta se puede escribir con diferentes símbolos matemáticos, la esencia no cambia. Esta es una respuesta completamente correcta y completa.
Segunda sorpresa.
Tomemos la misma ecuación lineal elemental y cambiemos solo un número en ella. Esto es lo que decidiremos:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
Después de las mismas transformaciones idénticas, obtenemos algo intrigante:
Como esto. Resolvimos una ecuación lineal y obtuvimos una extraña igualdad. En términos matemáticos, tenemos falsa igualdad. y hablando en lenguaje sencillo, esto no es verdad. Delirio. Sin embargo, esta tontería es una muy buena razón para la decisión correcta ecuaciones.)
Nuevamente pensamos en base a reglas generales. Lo que x, cuando se sustituye en la ecuación original, nos dará verdadero¿igualdad? ¡Sí, ninguno! No existen tales X. No importa lo que pongas, todo se reducirá, solo quedarán tonterías).
Aquí está tu respuesta: no hay soluciones.
Esta también es una respuesta completamente completa. En matemáticas, estas respuestas se encuentran a menudo.
Como esto. Ahora, espero que la desaparición de las X en el proceso de resolver cualquier ecuación (no sólo lineal) no te confunda en absoluto. Este ya es un asunto familiar.)
Ahora que hemos abordado todos los problemas de las ecuaciones lineales, tiene sentido resolverlos.
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Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).
Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)
Puede familiarizarse con funciones y derivadas.
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