Dimostra che la funzione è pari. Le principali proprietà della funzione: pari, dispari, periodicità, limite

Funzione pari.

Persino Viene chiamata una funzione il cui segno non cambia quando il segno viene cambiato X.

X uguaglianza F(–X) = F(X). Cartello X non intacca il segno y.

Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse delle coordinate (Fig. 1).

Anche esempi di funzioni:

y= cos X

y = X 2

y = –X 2

y = X 4

y = X 6

y = X 2 + X

Spiegazione:
Prendiamo una funzione y = X 2 o y = –X 2 .
Per qualsiasi valore X la funzione è positiva. Cartello X non intacca il segno y. Il grafico è simmetrico rispetto all'asse delle coordinate. Questa è una funzione pari.

funzione dispari.

stranoè una funzione il cui segno cambia quando il segno viene cambiato X.

In altre parole, per qualsiasi valore X uguaglianza F(–X) = –F(X).

Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine (Fig. 2).

Esempi di una funzione dispari:

y= peccato X

y = X 3

y = –X 3

Spiegazione:

Prendi la funzione y = - X 3 .
Tutti i valori a avrà un segno meno. Questo è il segno X colpisce il segno y. Se la variabile indipendente è un numero positivo, la funzione è positiva; se la variabile indipendente è un numero negativo, la funzione è negativa: F(–X) = –F(X).
Il grafico della funzione è simmetrico rispetto all'origine. Questa è una funzione strana.

Proprietà delle funzioni pari e dispari:

NOTA:

Non tutte le caratteristiche sono pari o dispari. Ci sono funzioni che non sono soggette a tale gradazione. Ad esempio, la funzione radice a = √X non si applica né alle funzioni pari né a quelle dispari (Fig. 3). Quando si elencano le proprietà di tali funzioni, dovrebbe essere fornita una descrizione appropriata: né pari né dispari.

Funzioni periodiche.

Come sapete, la periodicità è la ripetizione di determinati processi a un certo intervallo. Vengono chiamate le funzioni che descrivono questi processi funzioni periodiche. Cioè, si tratta di funzioni nei cui grafici sono presenti elementi che si ripetono a determinati intervalli numerici.

Funzioneè uno dei concetti matematici più importanti. Funzione: dipendenza dalle variabili a da una variabile X, se ogni valore X corrisponde a un singolo valore a. variabile X chiamato variabile o argomento indipendente. variabile a chiamata variabile dipendente. Tutti i valori della variabile indipendente (variabile X) formano il dominio della funzione. Tutti i valori che assume la variabile dipendente (variabile y), formano l'intervallo della funzione.

Grafico delle funzioni chiamano l'insieme di tutti i punti del piano delle coordinate, le cui ascisse sono uguali ai valori dell'argomento e le ordinate sono uguali ai valori corrispondenti della funzione, ovvero i valori di le variabili sono tracciate lungo l'ascissa X e i valori della variabile vengono tracciati lungo l'asse y y. Per tracciare una funzione, è necessario conoscere le proprietà della funzione. Le principali proprietà della funzione saranno discusse di seguito!

Per tracciare un grafico di funzione, ti consigliamo di utilizzare il nostro programma - Funzioni di rappresentazione grafica in linea. Se hai domande mentre studi il materiale in questa pagina, puoi sempre farle sul nostro forum. Inoltre sul forum verrai aiutato a risolvere problemi di matematica, chimica, geometria, teoria delle probabilità e molte altre materie!

Proprietà di base delle funzioni.

1) Ambito della funzione e gamma di funzioni.

L'ambito di una funzione è l'insieme di tutti i valori validi validi dell'argomento X(variabile X) per cui la funzione y = f(x) definito.
L'intervallo di una funzione è l'insieme di tutti i valori reali y che la funzione accetta.

Nella matematica elementare, le funzioni sono studiate solo sull'insieme dei numeri reali.

2) Funzione zeri.

I valori X, al quale y=0, è chiamato zeri di funzione. Queste sono le ascisse dei punti di intersezione del grafico della funzione con l'asse x.

3) Intervalli di costanza di segno di una funzione.

Gli intervalli di costanza di segno di una funzione sono tali intervalli di valori X, su cui i valori della funzione y vengono chiamati solo positivi o solo negativi intervalli di costanza di segno della funzione.

4) Monotonia della funzione.

Funzione crescente (in alcuni intervalli): una funzione in cui un valore maggiore dell'argomento di questo intervallo corrisponde a un valore maggiore della funzione.

Funzione decrescente (in alcuni intervalli): una funzione in cui un valore maggiore dell'argomento da questo intervallo corrisponde a un valore minore della funzione.

5) Funzioni pari (dispari)..

Una funzione pari è una funzione il cui dominio di definizione è simmetrico rispetto all'origine e per qualsiasi X f(-x) = f(x). Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse y.

Una funzione dispari è una funzione il cui dominio di definizione è simmetrico rispetto all'origine e per qualsiasi X dal dominio di definizione l'uguaglianza f(-x) = - f(x). Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine.

Funzione pari
1) Il dominio di definizione è simmetrico rispetto al punto (0; 0), cioè se il punto un appartiene al dominio della definizione, quindi il punto -un appartiene anche al dominio della definizione.
2) Per qualsiasi valore X f(-x)=f(x)
3) Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse Oy.

funzione dispari ha le seguenti proprietà:
1) Il dominio di definizione è simmetrico rispetto al punto (0; 0).
2) per qualsiasi valore X, che appartiene al dominio di definizione, l'uguaglianza f(-x)=-f(x)
3) Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine (0; 0).

Non tutte le funzioni sono pari o dispari. Funzioni vista generale non sono né pari né dispari.

6) Funzioni limitate e illimitate.

Una funzione si dice limitata se esiste un numero positivo M tale che |f(x)| ≤ M per tutti i valori di x . Se non esiste un tale numero, la funzione è illimitata.

7) Periodicità della funzione.

Una funzione f(x) è periodica se esiste un numero T diverso da zero tale che per ogni x dal dominio della funzione, f(x+T) = f(x). Questo numero più piccolo è chiamato periodo della funzione. Tutte le funzioni trigonometriche sono periodiche. (Formule trigonometriche).

Funzione F si dice periodico se esiste un numero tale che per qualsiasi X dal dominio di definizione l'uguaglianza f(x)=f(x-T)=f(x+T). Tè il periodo della funzione.

Ogni funzione periodica ha un numero infinito di periodi. In pratica, di solito viene considerato il periodo positivo più piccolo.

I valori della funzione periodica vengono ripetuti dopo un intervallo pari al periodo. Viene utilizzato quando si tracciano grafici.

Indietro avanti

Attenzione! L'anteprima della diapositiva è solo a scopo informativo e potrebbe non rappresentare l'intera portata della presentazione. Se sei interessato a questo lavoro, scarica la versione completa.

Obiettivi:

• formare il concetto di funzioni pari e dispari, insegnare la capacità di determinare e utilizzare queste proprietà nello studio delle funzioni, tracciando grafici;
• sviluppare l'attività creativa degli studenti, il pensiero logico, la capacità di confrontare, generalizzare;
• coltivare la diligenza, la cultura matematica; sviluppare capacità comunicative .

Attrezzatura: installazione multimediale, lavagna interattiva, dispense.

Forme di lavoro: frontale e di gruppo con elementi di ricerca e attività di ricerca.

Fonti di informazione:

1. Algebra classe 9 A.G. Mordkovich. Manuale.
2. Algebra Grado 9 A.G. Mordkovich. Libro delle attività.
3. Grado di algebra 9. Compiti per l'apprendimento e lo sviluppo degli studenti. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

DURANTE LE LEZIONI

1. Momento organizzativo

Stabilire obiettivi e obiettivi della lezione.

2. Controllo dei compiti

N. 10.17 (Libro problema 9a elementare A.G. Mordkovich).

ma) a = F(X), F(X) =

B) F (–2) = –3; F (0) = –1; F(5) = 69;

c) 1. D( F) = [– 2; + ∞)
2. E( F) = [– 3; + ∞)
3. F(X) = 0 per X ~ 0,4
4. F(X) >0 a X > 0,4 ; F(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. La funzione aumenta con X € [– 2; + ∞)
6. La funzione è limitata dal basso.
7. a noleggio = - 3, a naib non esiste
8. La funzione è continua.

(Hai usato l'algoritmo di esplorazione delle funzionalità?) Vetrino.

2. Controlliamo la tabella che ti è stata richiesta sulla diapositiva.

Riempi il tavolo
	Dominio	Zero di funzione	Intervalli di costanza		Coordinate dei punti di intersezione del grafico con Oy
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Aggiornamento della conoscenza

– Vengono fornite le funzioni.
– Specificare il dominio di definizione per ciascuna funzione.
– Confronta il valore di ciascuna funzione per ogni coppia di valori di argomento: 1 e – 1; 2 e - 2.
– Per quale delle funzioni date nel dominio di definizione sono le uguaglianze F(– X) = F(X), F(– X) = – F(X)? (metti i dati nella tabella) Vetrino

		F(1) e F(– 1)	F(2) e F(– 2)	grafici	F(– X) = –F(X)	F(– X) = F(X)
1. F(X) =
2. F(X) = X 3
3. F(X) = | X |
4.F(X) = 2X – 3
5. F(X) =	X ≠ 0
6. F(X)=	X > –1		e non definito.

4. Nuovo materiale

- Durante questo lavoro, ragazzi, abbiamo rivelato un'altra proprietà della funzione, a voi sconosciuta, ma non meno importante delle altre: questa è l'uniformità e la stranezza della funzione. Annota l'argomento della lezione: "Funzioni pari e dispari", il nostro compito è imparare a determinare le funzioni pari e dispari, scoprire il significato di questa proprietà nello studio delle funzioni e del tracciamento.
Quindi, troviamo le definizioni nel libro di testo e leggiamo (p. 110) . Vetrino

def. uno Funzione a = F (X) definito sull'insieme X viene chiamato Anche, se per qualsiasi valore XЄ X in corso uguaglianza f (–x) = f (x). Dare esempi.

def. 2 Funzione y = f(x), definito sull'insieme X viene chiamato strano, se per qualsiasi valore XЄ X l'uguaglianza f(–х)= –f(х) è soddisfatta. Dare esempi.

Dove abbiamo incontrato i termini "pari" e "dispari"?
Quale di queste funzioni sarà pari, pensi? Come mai? Quali sono strani? Come mai?
Per qualsiasi funzione del modulo a= x n, dove nè un numero intero, si può sostenere che la funzione è dispari per nè dispari e la funzione è pari per n- Anche.
– Visualizza funzioni a= e a = 2X– 3 non è né pari né dispari, perché le uguaglianze non sono soddisfatte F(– X) = – F(X), F(– X) = F(X)

Lo studio della questione se una funzione sia pari o dispari è chiamato studio di una funzione per parità. Vetrino

Le definizioni 1 e 2 trattano i valori della funzione in x e - x, quindi si presume che la funzione sia definita anche al valore X, e a - X.

ODA 3. Se un numero insieme a ciascuno dei suoi elementi x contiene l'elemento opposto x, allora l'insieme Xè chiamato insieme simmetrico.

Esempi:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) sono insiemi simmetrici e , [–5;4] sono non simmetrici.

- Anche le funzioni hanno un dominio di definizione - un insieme simmetrico? Quelli dispari?
- Se D( F) è un insieme asimmetrico, allora qual è la funzione?
– Quindi, se la funzione a = F(X) è pari o dispari, allora il suo dominio di definizione è D( F) è un insieme simmetrico. Ma è vera l'affermazione inversa, se il dominio di una funzione è un insieme simmetrico, allora è pari o dispari?
- Quindi la presenza di un insieme simmetrico del dominio di definizione è una condizione necessaria, ma non sufficiente.
– Quindi, come possiamo studiare la funzione di parità? Proviamo a scrivere un algoritmo.

Vetrino

Algoritmo per esaminare una funzione per parità

1. Determinare se il dominio della funzione è simmetrico. In caso contrario, la funzione non è né pari né dispari. Se sì, vai al passaggio 2 dell'algoritmo.

2. Scrivi un'espressione per F(–X).

3. Confronta F(–X).E F(X):

• Se F(–X).= F(X), allora la funzione è pari;
• Se F(–X).= – F(X), allora la funzione è dispari;
• Se F(–X) ≠ F(X) E F(–X) ≠ –F(X), allora la funzione non è né pari né dispari.

Esempi:

Studiare la funzione di parità a) a= x 5 +; B) a= ; in) a= .

Soluzione.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), insieme simmetrico.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funzione h(x)= x 5 + dispari.

b) y =,

a = F(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), insieme asimmetrico, quindi la funzione non è né pari né dispari.

in) F(X) = , y = f(x),

1) D( F) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

opzione 2

1. L'insieme dato è simmetrico: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

ma); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Esaminare la funzione per la parità:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. In fig. tracciato a = F(X), per tutti X, soddisfacendo la condizione X? 0.
Traccia la funzione a = F(X), Se a = F(X) è una funzione pari.

3. In fig. tracciato a = F(X), per ogni x soddisfacente x? 0.
Traccia la funzione a = F(X), Se a = F(X) è una funzione dispari.

Controllo reciproco vetrino.

6. Compiti a casa: №11.11, 11.21,11.22;

Dimostrazione del significato geometrico della proprietà di parità.

*** (Assegnazione dell'opzione USE).

1. La funzione dispari y \u003d f (x) è definita sull'intera linea reale. Per qualsiasi valore non negativo della variabile x, il valore di questa funzione coincide con il valore della funzione g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Trova il valore della funzione h( X) = a X = 3.

7. Riassumendo

L'uniformità e la stranezza di una funzione sono una delle sue proprietà principali e l'uguaglianza occupa una parte impressionante del corso scolastico di matematica. Determina in gran parte la natura del comportamento della funzione e facilita notevolmente la costruzione del grafico corrispondente.

Definiamo la parità della funzione. In linea di massima la funzione in esame viene considerata anche se per valori opposti della variabile indipendente (x) situata nel suo dominio, i corrispondenti valori di y (funzione) sono uguali.

Diamo una definizione più rigorosa. Si consideri una qualche funzione f(x), che è definita nel dominio D. Sarà anche se per ogni punto x situato nel dominio di definizione:

• -x (punto opposto) si trova anche nell'ambito dato,

• f(-x) = f(x).

Dalla definizione di cui sopra segue la condizione necessaria per il dominio di definizione di tale funzione, ovvero la simmetria rispetto al punto O, che è l'origine delle coordinate, poiché se un punto b è contenuto nel dominio di definizione di un funzione pari, allora il punto corrispondente - b si trova anche in questo dominio. Da quanto precede, quindi, segue la conclusione: una funzione pari ha una forma simmetrica rispetto all'asse delle ordinate (Oy).

Come determinare in pratica la parità di una funzione?

Sia data usando la formula h(x)=11^x+11^(-x). Seguendo l'algoritmo che segue direttamente dalla definizione, studiamo prima di tutto il suo dominio di definizione. Ovviamente è definito per tutti i valori dell'argomento, cioè la prima condizione è soddisfatta.

Il passaggio successivo consiste nel sostituire l'argomento (x) con il suo valore opposto (-x).
Noi abbiamo:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Poiché l'addizione soddisfa la legge commutativa (spostamento), è ovvio che h(-x) = h(x) e la dipendenza funzionale data è pari.

Verifichiamo l'uniformità della funzione h(x)=11^x-11^(-x). Seguendo lo stesso algoritmo, otteniamo h(-x) = 11^(-x) -11^x. Eliminando il meno, di conseguenza, abbiamo
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Quindi h(x) è dispari.

A proposito, va ricordato che ci sono funzioni che non possono essere classificate secondo questi criteri, non sono chiamate né pari né dispari.

Anche le funzioni hanno una serie di proprietà interessanti:

• per aggiunta di funzioni simili si ottiene una pari;
• per effetto della sottrazione di tali funzioni si ottiene una pari;
• pari, anche pari;
• moltiplicando due di tali funzioni si ottiene una pari;
• come risultato della moltiplicazione delle funzioni pari e dispari si ottiene una dispari;
• come risultato della divisione delle funzioni pari e dispari si ottiene una dispari;
• la derivata di tale funzione è dispari;
• Se eleviamo al quadrato una funzione dispari, otteniamo una pari.

La parità di una funzione può essere utilizzata per risolvere le equazioni.

Per risolvere un'equazione come g(x) = 0, dove il lato sinistro dell'equazione è una funzione pari, sarà sufficiente trovare le sue soluzioni per valori non negativi della variabile. Le radici ottenute dell'equazione devono essere combinate con numeri opposti. Uno di questi è soggetto a verifica.

Lo stesso viene utilizzato con successo per risolvere problemi non standard con un parametro.

Ad esempio, esiste un valore per il parametro a che renderebbe l'equazione 2x^6-x^4-ax^2=1 con tre radici?

Se prendiamo in considerazione che la variabile entra nell'equazione in potenze pari, allora è chiaro che la sostituzione di x con -x non cambierà l'equazione data. Ne consegue che se un certo numero è la sua radice, allora lo è anche il numero opposto. La conclusione è ovvia: le radici dell'equazione, diverse da zero, sono incluse nell'insieme delle sue soluzioni a “coppie”.

È chiaro che il numero 0 stesso non è, cioè il numero di radici di una tale equazione può essere solo pari e, naturalmente, per qualsiasi valore del parametro non può avere tre radici.

Ma il numero di radici dell'equazione 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 può essere dispari, e per qualsiasi valore del parametro. Infatti, è facile verificare che l'insieme delle radici di una data equazione contenga soluzioni a "coppie". Verifichiamo se 0 è una radice. Quando lo sostituiamo nell'equazione, otteniamo 2=2. Quindi, oltre a "accoppiato" 0 è anche una radice, che dimostra il loro numero dispari.

- (Matematica.) Viene chiamata una funzione y \u003d f (x) anche se non cambia quando la variabile indipendente cambia solo segno, cioè se f (x) \u003d f (x). Se f (x) = f (x), allora la funzione f (x) è chiamata dispari. Ad esempio, y \u003d cosx, y \u003d x2 ... ...

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