Czy liczba 24 ma największą wielokrotność. Liczby naturalne (N)

Streszczenie słów kluczowych:Liczby całkowite. Działania arytmetyczne na liczbach naturalnych. Podzielność liczb naturalnych. Liczby pierwsze i złożone. Rozkład liczby naturalnej na czynniki pierwsze. Znaki podzielności przez 2, 3, 5, 9, 4, 25, 10, 11. Największy wspólny dzielnik (NWD) oraz najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM). Dzielenie z resztą.

Liczby całkowite to liczby używane do liczenia obiektów - 1, 2, 3, 4 , … Ale liczba 0 nie jest naturalne!

Zbiór liczb naturalnych to n. Nagranie „3 ∈ N” oznacza, że ​​liczba trzy należy do zbioru liczb naturalnych, a notacja „0 N” oznacza, że ​​liczba zero nie należy do tego zbioru.

System liczb dziesiętnych- system numerów pozycyjnych oparty na 10 .

Działania arytmetyczne na liczbach naturalnych

Dla liczb naturalnych zdefiniowane są następujące akcje: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, ekstrakcja korzeni. Pierwsze cztery kroki to arytmetyka.

Niech a, b i c będą liczbami naturalnymi, więc

1. DODATEK. Termin + Termin = Suma

Właściwości dodatku
1. Przemienność a + b = b + a.
2. Kombinacja a + (b + c) \u003d (a + b) + c.
3. a + 0 = 0 + a = a.

2. ODEJMIJ. Zmniejszone - Odjęte = Różnica

właściwości odejmowania
1. Odejmowanie sumy od liczby a - (b + c) \u003d a - b - c.
2. Odjęcie liczby od sumy (a + b) - c \u003d a + (b - c); (a + b) - c \u003d (a - c) + b.
3. a - 0 = a.
4. a - a \u003d 0.

3. MNOŻENIE. Mnożnik * Mnożnik = Produkt

Właściwości mnożenia
1. Przemienność a * b \u003d b * a.
2. Kombinacja a * (b * c) \u003d (a * b) * c.
3. 1 * a = a * 1 = a.
4. 0 * a = a * 0 = 0.
5. Dystrybucja (a + b) * c \u003d ac + bc; (a - b) * c \u003d ac - bc.

4. PODZIAŁ. Dywidenda: Dzielnik = Iloraz

właściwości podziału
1. za: 1 = za.
2. a: a = 1. Nie możesz dzielić przez zero!
3. 0: a=0.

Procedura

1. Przede wszystkim czynności w nawiasach.
2. Następnie mnożenie, dzielenie.
3. I dopiero na końcu dodawania odejmowanie.

Podzielność liczb naturalnych. Liczby pierwsze i złożone.

Dzielnik liczby naturalnej ale nazywana jest liczbą naturalną, przez którą ale podzielone bez reszty. Numer 1 jest dzielnikiem dowolnej liczby naturalnej.

Liczba naturalna nazywa się prosty jeśli to tylko ma dwa dzielnik: jeden i sama liczba. Na przykład liczby 2, 3, 11, 23 są liczbami pierwszymi.

Nazywa się liczbę z więcej niż dwoma dzielnikami złożony. Na przykład liczby 4, 8, 15, 27 są liczbami złożonymi.

znak podzielności Pracuje kilka liczb: jeśli przynajmniej jeden z czynników jest podzielny przez pewną liczbę, to iloczyn jest również podzielny przez tę liczbę. Praca 24 15 77 podzielony przez 12 , ponieważ czynnik tej liczby 24 podzielony przez 12 .

Znak podzielności sumy (różnicy) liczby: jeśli każdy wyraz jest podzielny przez pewną liczbę, to cała suma jest podzielna przez tę liczbę. Jeśli a:b I c:b, następnie (a + c) : b. I jeśli a:b, ale C niepodzielne przez b, następnie a+c niepodzielne przez liczbę b.

Jeśli a:c I c:b, następnie a:b. Na podstawie faktu, że 72:24 i 24:12 wnioskujemy, że 72:12.

Przedstawienie liczby jako iloczynu potęg liczb pierwszych nazywa się rozkładanie liczby na czynniki pierwsze.

Podstawowe twierdzenie arytmetyki: dowolna liczba naturalna (z wyjątkiem 1 ) lub jest prosty lub można go rozłożyć na czynniki pierwsze tylko w jeden sposób.

Przy rozkładaniu liczby na czynniki pierwsze stosuje się znaki podzielności i notację „kolumnową”, w tym przypadku dzielnik znajduje się na prawo od pionowej kreski, a iloraz jest zapisywany pod dzielną.

Na przykład zadanie: rozłóż liczbę na czynniki pierwsze 330 . Rozwiązanie:

Oznaki podzielności przez 2, 5, 3, 9, 10, 4, 25 i 11.

Istnieją oznaki podzielności na 6, 15, 45 itp., czyli na liczby, których iloczyn można rozłożyć na czynniki 2, 3, 5, 9 I 10 .

Największy wspólny dzielnik

Największa liczba naturalna, przez którą każda z podanych liczb naturalnych jest podzielna, nazywa się Największy wspólny dzielnik te liczby ( GCD). Na przykład gcd (10; 25) = 5; i GCD (18; 24) = 6; NPK (7; 21) = 1.

Jeśli największym wspólnym dzielnikiem dwóch liczb naturalnych jest 1 , wtedy te liczby nazywają się pierwotna.

Algorytm znajdowania największego wspólnego dzielnika(NWD)

GCD jest często używany w problemach. Na przykład 155 zeszytów i 62 długopisy zostały równo podzielone między uczniów tej samej klasy. Ilu uczniów jest w tej klasie?

Rozwiązanie: Znalezienie liczby uczniów w tej klasie sprowadza się do znalezienia największego wspólnego dzielnika liczb 155 i 62, ponieważ zeszyty i długopisy zostały podzielone po równo. 155 = 531; 62 = 231. NPK (155; 62) = 31.

Odpowiedź: 31 uczniów w klasie.

Najmniejsza wspólna wielokrotność

Wielokrotność liczby naturalnej ale jest liczbą naturalną podzielną przez ale bez śladu. Na przykład liczba 8 ma wielokrotności: 8, 16, 24, 32 , … Każda liczba naturalna ma nieskończenie wiele wielokrotności.

Najmniejsza wspólna wielokrotność(LCM) to najmniejsza liczba naturalna będąca wielokrotnością tych liczb.

Algorytm znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności ( NOC):

LCM jest również często używany w problemach. Na przykład dwóch rowerzystów ruszyło w tym samym czasie na tor rowerowy w tym samym kierunku. Jeden robi koło w 1 min, a drugi w 45 sekund. W jakim najmniej minutach po rozpoczęciu ruchu spotkają się na starcie?

Rozwiązanie: Liczba minut, po których spotykają się ponownie na starcie, musi być podzielna przez 1 minuta, jak również na 45 sekund. Za 1 min = 60 s. Oznacza to, że konieczne jest znalezienie LCM (45; 60). 45 = 325; 60 = 22 3 5. NOC (45; 60) = 22 32 5 = 4 9 5 = 180. W efekcie okazuje się, że kolarze spotkają się na starcie po 180 s = 3 min.

Odpowiedź: 3 min.

Dzielenie z resztą

Jeśli liczba naturalna ale niepodzielne przez liczbę naturalną b, to możesz zrobić dzielenie z resztą. W tym przypadku otrzymany iloraz nazywa się niekompletny. Właściwa równość to:

a = b n + r,

gdzie ale- podzielna b- przegroda, n- iloraz niepełny, r- reszta. Na przykład niech dywidenda będzie 243 , rozdzielacz - 4 , następnie 243: 4 = 60 (pozostałe 3). To znaczy a \u003d 243, b \u003d 4, n \u003d 60, r \u003d 3, a następnie 243 = 60 4 + 3 .

Liczby podzielne przez 2 bez śladu, nazywane są nawet: a = 2n,n ∈ N.

Pozostałe numery to dziwne: b = 2n + 1,n ∈ N.

To jest streszczenie na ten temat. „Liczby całkowite. Znaki podzielności». Aby kontynuować, wybierz kolejne kroki:

• Przejdź do następnego streszczenia:

Liczba naturalna jest jednym z podstawowych i być może jednym z pierwszych pojęć matematyki.

Zbiór liczb naturalnych = (1, 2, 3…). Oznacza to, że zbiór liczb naturalnych jest zbiorem wszystkich dodatnich liczb całkowitych. Operacje dodawania, mnożenia, odejmowania i dzielenia są określone na liczbach naturalnych. Wynik dodawania, mnożenia i odejmowania dwóch liczb naturalnych jest liczbą całkowitą. A wynik dzielenia dwóch liczb naturalnych może być liczbą całkowitą lub ułamkową.

Na przykład: 20: 4 = 5 - wynikiem dzielenia jest liczba całkowita.
20: 3 \u003d 6 2/3 - wynik podziału jest liczbą ułamkową.
Mówi się, że liczba naturalna n jest podzielna przez liczbę naturalną m, jeśli wynikiem dzielenia jest liczba całkowita. W tym przypadku liczba m nazywana jest dzielnikiem liczby n, a liczba n jest wielokrotnością liczby m.

W pierwszym przykładzie 20 jest podzielne przez 4, 4 jest dzielnikiem 20 , 20 jest wielokrotnością 4.
W drugim przykładzie liczba 20 nie jest podzielna przez liczbę 3, więc nie może być mowy o dzielnikach i wielokrotnościach.

Liczba n jest nazywana liczbą pierwszą, jeśli nie ma innych dzielników poza sobą i jedynką. Przykłady liczb pierwszych: 2, 7, 11, 97 itd.
Liczba n nazywana jest złożoną, jeśli ma dzielniki inne niż ona sama i jeden.

Każdą liczbę naturalną można rozłożyć na iloczyn liczb pierwszych, a rozkład ten jest unikalny, aż do rzędu czynników. Na przykład: 36=2 2 3 3 = 2 3 2 3 = 3 2 3 2 - wszystkie te rozszerzenia różnią się tylko kolejnością czynników.

Największy wspólny dzielnik dwóch liczb m i n jest największą liczbą naturalną, która jest dzielnikiem zarówno m, jak i dzielnika n. Na przykład dla liczb 34 i 85 największym wspólnym dzielnikiem jest 17.

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb m i n jest najmniejszą liczbą naturalną, która jest wielokrotnością zarówno m, jak i n. Na przykład dla liczb 15 i 4 najmniejszą wspólną wielokrotnością będzie 60.

Liczba naturalna podzielna przez dwie liczby pierwsze jest również podzielna przez ich iloczyn. Na przykład, jeśli liczba jest podzielna przez 2 i 3, to jest również podzielna przez 6 = 23, jeśli przez 11 i 7, to przez 77.

Przykład: liczba 6930 jest podzielna przez 11 - 6930: 11 \u003d 630 i jest podzielna przez 7 - 6930: 7 \u003d 990. Możemy śmiało powiedzieć, że ta liczba jest również podzielna przez 77. Sprawdźmy: 6930: 77 \ u003d 90.

Algorytm rozkładania liczby n na czynniki pierwsze:

1. Znajdź najmniejszy dzielnik liczby pierwszej n (inny niż 1) - a1.
2. Podziel liczbę n przez a1, oznacz iloraz przez n1.
3. n=a1 n1.
4. Wykonujemy tę samą operację z n1, aż otrzymamy liczbę pierwszą.

Przykład: Rozkład liczby 17.136 na czynniki pierwsze

1. Najmniejszy dzielnik pierwszy inny niż 1 to 2.

2. 17 136: 2 = 8 568;

3. 17 136 = 8 568 2.

4. Najmniejszy dzielnik liczby pierwszych 8568 to 2.

5. 8 568: 2 = 4284;

6. 17 136 = 4284 2 2.

7. Najmniejszy dzielnik liczby pierwszych 4284 to 2.

8. 4284: 2 = 2142;

9. 17 136 = 2142 2 2 2.

10. Najmniejszy pierwszy dzielnik liczby 2142 to 2.

11. 2142: 2 = 1071;

12. 17 136 = 1071 2 2 2 2.

13. Najmniejszy pierwszy dzielnik 1071 to 3.

14. 1071: 3 = 357;

15. 17 136 = 357 3 2 2 2 2.

16. Najmniejszy pierwszy dzielnik 357 to 3.

17. 357: 3 = 119;

18. 17 136 = 119 3 3 2 2 2 2.

19. Najmniejszy pierwszy dzielnik liczby 119 to 7.

20. 119: 7 = 17;

21. 17 jest liczbą pierwszą, więc 17 136 = 17 7 3 3 2 2 2 2.

Otrzymaliśmy rozkład liczby 17.136 na czynniki pierwsze.

wspólna wielokrotność liczb naturalnychaIbto liczba będąca wielokrotnością każdej z podanych liczb.

Najmniejsza liczba wszystkich wspólnych wielokrotności ale I b nazywa się najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb.

Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb ale I b oznaczmy K( ale, b).

Na przykład dwie liczby 12 i 18 są wspólnymi wielokrotnościami: 36, 72, 108, 144, 180 itd. Liczba 36 jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 12 i 18. Możesz napisać: K (12, 18) \u003d 36.

Dla najmniejszej wspólnej wielokrotności prawdziwe są następujące stwierdzenia:

1. Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb ale I b

2. Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb ale I b nie mniej niż większa z podanych liczb, tj. Jeśli >b, następnie K( ale, b) ≥ ale.

3. Dowolna wspólna wielokrotność liczb ale I b jest podzielna przez najmniejszą wspólną wielokrotność.

Największy wspólny dzielnik

Wspólny dzielnik liczb naturalnych a ibto liczba będąca dzielnikiem każdej z podanych liczb.

Największa liczba wszystkich wspólnych dzielników liczb ale I b nazywana jest największym wspólnym dzielnikiem podanych liczb.

Największy wspólny dzielnik liczb ale I b oznaczmy D( ale, b).

Na przykład dla liczb 12 i 18 wspólnymi dzielnikami są liczby: 1, 2, 3, 6. Liczba 6 to 12 i 18. Możesz napisać: D(12, 18) = 6.

Liczba 1 jest wspólnym dzielnikiem dowolnych dwóch liczb naturalnych a I b. Jeśli te liczby nie mają innych wspólnych dzielników, to D( ale, b) = 1, a liczby ale I b nazywa się pierwotna.

Na przykład liczby 14 i 15 są względnie pierwsze, ponieważ D(14,15) = 1.

W przypadku największego wspólnego dzielnika prawdziwe są następujące stwierdzenia:

1. Największy wspólny dzielnik liczb a I b zawsze istnieje i jest wyjątkowy.

2. Największy wspólny dzielnik liczb ale I b nie przekracza najmniejszej z podanych liczb, tj. Jeśli a< b, następnie D(a, b) ≤ a.

3. Największy wspólny dzielnik liczb a I b jest podzielna przez dowolny wspólny dzielnik tych liczb.

Największa wspólna wielokrotność liczb ale I b a ich największy wspólny dzielnik jest powiązany: iloczyn najmniejszej wspólnej wielokrotności i największego wspólnego dzielnika liczb ale I b jest równy iloczynowi tych liczb, tj. K( a, b)D( a, b) = a· b.

Z tego stwierdzenia wynikają konsekwencje:

a) Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb względnie pierwszych jest równa iloczynowi tych liczb, tj. D( a, b) = 1 => K( a, b) = a· b;

Na przykład, aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 14 i 15, wystarczy je pomnożyć, ponieważ D(14,15) = 1.

b) ale podzielna przez iloczyn liczb względnie pierwszych m I n, konieczne i wystarczające jest, aby była podzielna przez m i dalej n.

To stwierdzenie jest oznaką podzielności przez liczby, którą można przedstawić jako iloczyn dwóch liczb względnie pierwszych.

c) Ilorazy otrzymane przez podzielenie dwóch danych liczb przez ich największy wspólny dzielnik są liczbami względnie pierwszymi.

Ta właściwość może być wykorzystana podczas sprawdzania poprawności znalezionego największego wspólnego dzielnika danych liczb. Na przykład sprawdźmy, czy liczba 12 jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 24 i 36. Aby to zrobić, zgodnie z ostatnim stwierdzeniem, dzielimy 24 i 36 przez 12. Otrzymujemy odpowiednio liczby 2 i 3, które są względnie pierwsze. Zatem D(24,36)=12.

Zadanie 32. Sformułuj i udowodnij test na podzielność przez 6.

Rozwiązanie x jest podzielna przez 6, konieczne i wystarczające jest, aby była podzielna przez 2 i 3.

Niech liczba x jest podzielna przez 6. Wtedy z tego, że x 6 i 62, wynika z tego, że x 2. I z faktu, że x 6 i 63, wynika z tego, że x 3. Udowodniliśmy, że aby liczba była podzielna przez 6, musi być podzielna przez 2 i 3.

Pokażmy wystarczalność tego warunku. Dlatego x 2 i x 3, to x- wspólna wielokrotność liczb 2 i 3. Dowolna wspólna wielokrotność liczb jest podzielna przez ich najmniejszą wielokrotność, co oznacza x K(2;3).

Ponieważ D(2, 3)=1, to K(2, 3)=2 3=6. W konsekwencji, x 6.

Zadanie 33. Formułować w wieku 12, 15 i 60 lat.

Rozwiązanie. Aby uzyskać liczbę naturalną x jest podzielna przez 12, konieczne i wystarczające jest, aby była podzielna przez 3 i 4.

Aby uzyskać liczbę naturalną x jest podzielna przez 15, konieczne i wystarczające jest, aby była podzielna przez 3 i 5.

Aby uzyskać liczbę naturalną x jest podzielna przez 60, konieczne i wystarczające jest, aby była podzielna przez 4, 3 i 5.

Zadanie 34. Znajdź liczby a I b, jeśli K( a, b)=75, a· b=375.

Rozwiązanie. Używając wzoru K( a, b)D( a, b)=a· b, znajdujemy największy wspólny dzielnik pożądanych liczb ale I b:

D( a, b) === 5.

Następnie żądane liczby można przedstawić jako ale= 5r, b= 5Q, gdzie P I Q P i 5 Q w równość a b= 275. Zdobądź 5 P·pięć Q=375 lub P· Q=15. Otrzymane równanie z dwiema zmiennymi rozwiązujemy przez dobór: znajdujemy pary liczb względnie pierwszych, których iloczyn jest równy 15. Są dwie takie pary: (3, 5) i (1, 15). Dlatego pożądane liczby ale I b są to: 15 i 25 lub 5 i 75.

Zadanie 35. Znajdź liczby ale I b, jeśli wiadomo, że D( a, b) = 7 i a· b= 1470.

Rozwiązanie. Od D( a, b) = 7, to żądane liczby można przedstawić jako ale= 7r, b= 7Q, gdzie P I Q są liczbami względnie pierwszymi. Wyrażenia zastępcze 5 r i 5 Q w równość a b = 1470. Potem 7 P 7 Q= 1470 lub P· Q= 30. Otrzymane równanie z dwiema zmiennymi rozwiązujemy przez dobór: znajdujemy pary liczb względnie pierwszych, których iloczyn jest równy 30. Są cztery takie pary: (1, 30), (2, 15), (3, 10) , (5, 6). Dlatego pożądane liczby ale I b są to: 7 i 210, 14 i 105, 21 i 70, 35 i 42.

Zadanie 36. Znajdź liczby ale I b, jeśli wiadomo, że D( a, b) = 3 i ale:b= 17:14.

Rozwiązanie. Dlatego a:b= 17:14, więc ale= 17r I b= 14P, gdzie r- największy wspólny dzielnik liczb ale I b. W konsekwencji, ale= 17 3 = 51, b= 14 3 = 42.

Problem 37. Znajdź liczby ale I b, jeśli wiadomo, że K( a, b) = 180, a:b= 4:5.

Rozwiązanie. Dlatego a: b=4:5, to ale=4r I b=5r, gdzie r- największy wspólny dzielnik liczb a I b. Następnie r 180=4 r·pięć r. Gdzie r=9. W konsekwencji, a= 36 i b=45.

Problem 38. Znajdź liczby ale I b, jeśli wiadomo, że D( a, b)=5, K( a, b)=105.

Rozwiązanie. Od D( a, b) K( a, b) = a· b, następnie a· b= 5 105 = 525. Ponadto żądane liczby można przedstawić jako ale= 5r I b= 5Q, gdzie P I Q są liczbami względnie pierwszymi. Wyrażenia zastępcze 5 r i 5 Q w równość ale· b= 525. Wtedy 5 P·pięć Q=525 lub P· Q=21. Znajdujemy pary liczb względnie pierwszych, których iloczyn jest równy 21. Istnieją dwie takie pary: (1, 21) i (3,7). Dlatego pożądane liczby ale I b są to: 5 i 105, 15 i 35.

Zadanie 39. Udowodnij, że liczba n(2n+ 1)(7n+ 1) jest podzielna przez 6 dla dowolnego naturalnego n.

Rozwiązanie. Liczba 6 jest złożona, można ją przedstawić jako iloczyn dwóch liczb względnie pierwszych: 6 = 2 3. Jeżeli udowodnimy, że dana liczba jest podzielna przez 2 i 3, to na podstawie testu na podzielność przez liczbę złożoną możemy wywnioskować, że jest podzielna przez 6.

Aby udowodnić, że liczba n(2n+ 1)(7n+ 1) jest podzielna przez 2, istnieją dwie możliwości do rozważenia:

1) n jest podzielna przez 2, tj. n= 2k. Następnie produkt n(2n+ 1)(7n+ 1) będzie wyglądać tak: 2 k(4k+ 1)(14k+ 1). Ten produkt jest podzielny przez 2, ponieważ pierwszy czynnik jest podzielny przez 2;

2) n nie jest podzielna przez 2, tj. n= 2k+ 1. Następnie produkt n(2n+ 1 )(7n+ 1) będzie wyglądać tak: (2 k+ 1)(4k+ 3)(14k+ 8). Ten produkt jest podzielny przez 2, ponieważ ostatni czynnik jest podzielny przez 2.

Aby udowodnić, że praca n(2n+ 1)(7n+ 1) jest podzielna przez 3, należy rozważyć trzy możliwości:

1) n jest podzielna przez 3, tj. n= 3k. Następnie produkt n(2n+ 1)(7n+ 1) będzie wyglądać tak: 3 k(6k+ 1)(21k+ 1). Ten produkt jest podzielny przez 3, ponieważ pierwszy czynnik jest podzielny przez 3;

2) n po podzieleniu przez 3 reszta wynosi 1, tj. n= 3k+ 1. Następnie produkt n(2n+ 1)(7n+ 1) będzie wyglądać tak: (3 k+ 1)(6k+ 3)(21k+ 8). Ten produkt jest podzielny przez 3, ponieważ drugi czynnik jest podzielny przez 3;

3) n po podzieleniu przez 3 daje resztę 2, tj. n= 3k+ 2. Następnie produkt n(2n+ 1)(7n+ 1) będzie wyglądać tak: (3 k+ 2)(6k+ 5)(21k+ 15). Ten produkt jest podzielny przez 3, ponieważ ostatni czynnik jest podzielny przez 3.

Udowodniono więc, że produkt n(2n+ 1)(7n+ 1) jest podzielne przez 2 i 3. Czyli jest podzielne przez 6.

Ćwiczenia do samodzielnej pracy

1. Podane są dwie liczby: 50 i 75. Zapisz zestaw:

a) dzielniki liczby 50; b) dzielniki liczby 75; c) wspólne dzielniki tych liczb.

Jaki jest największy wspólny dzielnik 50 i 75?

2. Czy liczba 375 jest wspólną wielokrotnością liczb: a) 125 i 75; b) 85 i 15?

3. Znajdź liczby ale I b, jeśli wiadomo, że K( a, b) = 105, a· b= 525.

4. Znajdź liczby ale I b, jeśli wiadomo, że D( a, b) = 7, a· b= 294.

5. Znajdź liczby ale I b, jeśli wiadomo, że D( a, b) = 5, a:b= 13:8.

6. Znajdź liczby ale I b, jeśli wiadomo, że K( a, b) = 224, a:b= 7:8.

7. Znajdź liczby a I b, jeśli wiadomo, że D( a, b) = 3, K( a; b) = 915.

8. Udowodnij test na podzielność przez 15.

9. Ze zbioru liczb 1032, 2964, 5604, 8910, 7008 wypisz te, które są podzielne przez 12.

10. Sformułuj znaki podzielności przez 18, 36, 45, 75.