Jak znaleźć długość odcinka w przestrzeni. Znajdowanie współrzędnych środka odcinka, przykłady, rozwiązania

Podam szczegółowy przykład, w jaki sposób można określić długość odcinka według podanych współrzędnych za pomocą usługi online na stronie Test Ru.

Powiedzmy, że musisz znaleźć długość odcinka na płaszczyźnie

(w przestrzeni można obliczyć analogicznie, wystarczy zmienić punkt na wymiar trzy)

Odcinek AB ma końce o współrzędnych A (1, 2) i B (3, 4).

Aby obliczyć długość odcinka AB, wykonaj następujące czynności:

1. Przejdź do strony serwisowej, aby znaleźć odległość między dwoma punktami online:

Możemy to wykorzystać, ponieważ długość odcinka wzdłuż współrzędnej. jest dokładnie równa odległości między punktami A i B.

Aby ustawić prawidłowy wymiar punktu A, przeciągnij dolną prawą krawędź w lewo, jak pokazano na rys.

Po wpisaniu współrzędnych pierwszego punktu A (1, 2), naciśnij przycisk

3. W drugim kroku zobaczysz formularz do wpisania drugiego punktu B, wprowadź jego współrzędne, jak na rys. poniżej:

Punkty a i b są wpisane! Rozwiązanie:

Otrzymane punkty a =

I b=

Znajdź odległość między punktami (s)

W tym artykule porozmawiamy o znalezieniu współrzędnych środka segmentu na podstawie współrzędnych jego końców. Najpierw podamy niezbędne pojęcia, następnie otrzymamy wzory na znalezienie współrzędnych środka segmentu, a na koniec rozważymy rozwiązania typowych przykładów i problemów.

Nawigacja po stronach.

Pojęcie środka segmentu.

Aby wprowadzić pojęcie środka odcinka, potrzebujemy definicji odcinka i jego długości.

Pojęcie odcinka jest podawane na lekcjach matematyki w piątej klasie liceum w następujący sposób: jeśli weźmiemy dwa dowolne nie pokrywające się punkty A i B, przymocuj do nich linijkę i narysuj linię od A do B (lub od B do A), to otrzymujemy odcinek AB(lub segment B A). Punkty A i B są nazywane końce segmentu. Należy pamiętać, że odcinek AB i odcinek BA to ten sam odcinek.

Jeśli odcinek AB jest nieskończenie rozciągnięty w obu kierunkach od końców, to otrzymujemy prosta AB(lub bezpośredni VA). Odcinek AB to część prostej AB zawarta między punktami A i B. Odcinek AB jest więc sumą punktów A, B i zbioru wszystkich punktów prostej ABpołożonej między punktami A i B. Jeśli weźmiemy dowolny punkt M prostej AB znajdującej się między punktami A i B, to mówią, że punkt M kłamstwa na odcinku AB.

Długość segmentu AB to odległość między punktami A i B w danej skali (segment długości jednostkowej). Długość odcinka AB będzie oznaczona jako .

Definicja.

Kropka C nazywa się środek segmentu AB, jeśli leży na odcinku AB i znajduje się w tej samej odległości od jego końców.

Oznacza to, że jeśli punkt C jest środkiem odcinka AB, to leży na nim i.

Ponadto naszym zadaniem będzie znalezienie współrzędnych środka odcinka ABjeśli współrzędne punktów A i B podane są na linii współrzędnych lub w prostokątnym układzie współrzędnych.

Współrzędna punktu środkowego segmentu na linii współrzędnych.

Dajmy nam współrzędną Ox i dwa nie pokrywające się na niej punkty A i B, które odpowiadają liczbom rzeczywistym i . Niech punkt C będzie środkiem odcinka AB. Znajdźmy współrzędną punktu C.

Ponieważ punkt C jest środkiem odcinka AB, to równość jest prawdziwa. W części poświęconej odległości od punktu do punktu na linii współrzędnych pokazaliśmy, że odległość między punktami jest równa modułowi różnicy między ich współrzędnymi, a więc . Następnie lub . Od równości znajdź współrzędną punktu środkowego odcinka AB na linii współrzędnych: - jest równy połowie sumy współrzędnych końców segmentu. Od drugiej równości otrzymujemy , co jest niemożliwe, ponieważ przyjęliśmy nie zbiegające się punkty A i B.

Więc, wzór na znalezienie współrzędnej środka odcinka AB z końcami i ma postać .

Współrzędne punktu środkowego odcinka linii.

Wprowadźmy na płaszczyźnie prostokątny kartezjański układ współrzędnych Оxyz. Daj nam dwa punkty i wiemy, że punkt C jest środkiem odcinka AB. Znajdźmy współrzędne i punkty C.

Z konstrukcji, proste równoległe i równoległe linie , zatem przez Twierdzenie Talesa z równości odcinków AC i CB wynika równość odcinków i , a także odcinków i . Dlatego punkt jest środkiem segmentu i środkiem segmentu. Następnie, na mocy poprzedniego akapitu tego artykułu I .

Korzystając z tych wzorów można również obliczyć współrzędne środka odcinka AB w przypadkach, gdy punkty A i B leżą na jednej z osi współrzędnych lub na linii prostej prostopadłej do jednej z osi współrzędnych. Zostawmy te przypadki bez komentarza i dajmy ilustracje graficzne.

W ten sposób, środek odcinka AB na płaszczyźnie z końcami w punktach i ma współrzędne .

Współrzędne środka segmentu w przestrzeni.

Niech prostokątny układ współrzędnych Oxyz zostanie wprowadzony w przestrzeni trójwymiarowej i dwóch punktach I . Otrzymujemy wzory na znalezienie współrzędnych punktu C, który jest środkiem odcinka AB.

Rozważmy przypadek ogólny.

Niech i będą rzutami punktów A, B i C odpowiednio na osie współrzędnych Ox, Oy i Oz.

Zgodnie z twierdzeniem Talesa punkty są więc środkami odcinków odpowiednio. Następnie (patrz pierwszy akapit tego artykułu). Więc mamy wzory do obliczania współrzędnych środka odcinka ze współrzędnych jego końców w przestrzeni.

Wzory te mogą być również stosowane w przypadkach, gdy punkty A i B leżą na jednej z osi współrzędnych lub na linii prostej prostopadłej do jednej z osi współrzędnych, a także jeśli punkty A i B leżą w jednej z płaszczyzn współrzędnych lub w płaszczyzna równoległa do jednej z osi współrzędnych płaszczyzny.

Współrzędne środka segmentu poprzez współrzędne wektorów promienia jego końców.

Wzory na znalezienie współrzędnych środka odcinka można łatwo uzyskać, odwołując się do algebry wektorów.

Niech na płaszczyźnie będzie dany prostokątny kartezjański układ współrzędnych Oxy, a punkt C będzie środkiem odcinka AB , oraz i .

Zgodnie z geometryczną definicją operacji na wektorach, równość (punkt C jest punktem przecięcia przekątnych równoległoboku zbudowanego na wektorach a , czyli punkt C jest środkiem przekątnej równoległoboku). W artykule współrzędne wektora w prostokątnym układzie współrzędnych dowiedzieliśmy się, że współrzędne wektora promienia punktu są równe współrzędnym tego punktu, dlatego . Następnie po wykonaniu odpowiednich operacji na wektorach we współrzędnych mamy . Jak możemy wywnioskować, że punkt C ma współrzędne .

Zupełnie podobnie współrzędne środka odcinka AB można znaleźć poprzez współrzędne jego końców w przestrzeni. W tym przypadku, jeśli C jest środkiem odcinka AB i , to mamy .

Znajdowanie współrzędnych środka odcinka, przykłady, rozwiązania.

W wielu problemach musisz użyć formuł, aby znaleźć współrzędne punktu środkowego odcinka. Rozważmy rozwiązania najbardziej charakterystycznych przykładów.

Zacznijmy od przykładu, w którym wystarczy zastosować formułę.

Przykład.

Na płaszczyźnie podane są współrzędne dwóch punktów . Znajdź współrzędne punktu środkowego odcinka AB.

Rozwiązanie.

Niech punkt C będzie środkiem odcinka AB. Jego współrzędne są równe połówkowym sumom odpowiednich współrzędnych punktów A i B:

Zatem punkt środkowy odcinka AB ma współrzędne.

Długość, jak już wspomniano, jest oznaczona znakiem modułu.

Jeżeli podane są dwa punkty płaszczyzny i, to długość odcinka można obliczyć ze wzoru

Jeżeli dane są dwa punkty w przestrzeni i, to długość odcinka można obliczyć ze wzoru

Notatka: Formuły pozostaną poprawne, jeśli odpowiednie współrzędne zostaną zmienione: I , ale pierwsza opcja jest bardziej standardowa

Przykład 3

Rozwiązanie: zgodnie z odpowiednią formułą:

Odpowiedź:

Dla jasności zrobię rysunek

Sekcja - to nie jest wektor i oczywiście nie można go nigdzie przenieść. Dodatkowo jeśli uzupełnisz rysunek w skali: 1 jednostka. \u003d 1 cm (dwie komórki tetrad), odpowiedź można sprawdzić za pomocą zwykłej linijki, bezpośrednio mierząc długość segmentu.

Tak, rozwiązanie jest krótkie, ale jest w nim kilka ważnych punktów, które chciałbym wyjaśnić:

Najpierw w odpowiedzi ustalamy wymiar: „jednostki”. Warunek nie mówi CO to jest, milimetry, centymetry, metry czy kilometry. Dlatego ogólne sformułowanie będzie matematycznie kompetentnym rozwiązaniem: „jednostki” - w skrócie „jednostki”.

Po drugie, powtórzmy materiał szkolny, co jest przydatne nie tylko w przypadku rozważanego problemu:

Zwróć uwagę na ważna sztuczka techniczna – wyjęcie mnożnika spod korzenia. W wyniku obliczeń otrzymaliśmy wynik, a dobry styl matematyczny polega na wyjęciu czynnika spod pierwiastka (jeśli to możliwe). Bardziej szczegółowo proces wygląda tak: . Oczywiście pozostawienie odpowiedzi w formularzu nie będzie błędem - ale na pewno jest to wada i ważki argument za czepianiem się ze strony nauczyciela.

Oto inne typowe przypadki:

Często na przykład pod korzeniem uzyskuje się wystarczająco dużą liczbę. Jak być w takich przypadkach? Na kalkulatorze sprawdzamy, czy liczba jest podzielna przez 4:. Tak, podziel całkowicie, a więc: . A może tę liczbę można znów podzielić przez 4? . W ten sposób: . Ostatnia cyfra liczby jest nieparzysta, więc dzielenie przez 4 po raz trzeci jest oczywiście niemożliwe. Próba dzielenia przez dziewięć: . W rezultacie:
Gotowy.

Wyjście: jeśli pod pierwiastkiem otrzymamy liczbę całkowitą, której nie da się wydobyć, to próbujemy wyciągnąć czynnik spod pierwiastka - na kalkulatorze sprawdzamy, czy liczba jest podzielna przez: 4, 9, 16, 25, 36, 49 itp.

W trakcie rozwiązywania różnych problemów często znajdują się korzenie, zawsze staraj się wydobyć czynniki spod korzenia, aby uniknąć niższego wyniku i niepotrzebnych kłopotów z finalizacją swoich rozwiązań zgodnie z uwagą nauczyciela.

Powtórzmy jednocześnie kwadraturę korzeni i innych potęg:

Zasady postępowania ze stopniami w formie ogólnej można znaleźć w podręczniku szkolnym do algebry, ale myślę, że wszystko lub prawie wszystko jest już jasne z podanych przykładów.

Zadanie samodzielnego rozwiązania z segmentem w przestrzeni:

Przykład 4

Podane punkty i . Znajdź długość segmentu.

Rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Istnieją trzy główne układy współrzędnych używane w geometrii, mechanice teoretycznej i innych gałęziach fizyki: kartezjański, biegunowy i sferyczny. W tych układach współrzędnych każdy punkt ma trzy współrzędne. Znając współrzędne dwóch punktów, możesz określić odległość między tymi dwoma punktami.

Będziesz potrzebować

• Współrzędne kartezjańskie, biegunowe i sferyczne końców odcinka

Instrukcja

Zacznijmy od prostokątnego kartezjańskiego układu współrzędnych. Położenie punktu w przestrzeni w tym układzie współrzędnych jest określone przez współrzędne x, y i z. Wektor promienia jest rysowany od początku współrzędnych do punktu. Rzuty tego wektora promienia na osie współrzędnych będą współrzędne ten punkt.
Załóżmy, że masz teraz dwa punkty z współrzędne odpowiednio x1,y1,z1 i x2,y2 i z2. Niech r1 i r2 będą wektorami promienia odpowiednio pierwszego i drugiego punktu. Oczywiście odległość między tymi dwoma punktami będzie równa modułowi wektora r = r1-r2, gdzie (r1-r2) jest różnicą wektora.
Współrzędne wektora r będą oczywiście następujące: x1-x2, y1-y2, z1-z2. Wtedy moduł wektora r lub odległość między dwoma punktami będzie wynosić: r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((z1-z2)^2)) .

Rozważmy teraz układ współrzędnych biegunowych, w którym współrzędna punktu będzie dana przez współrzędną promieniową r (wektor promienia w płaszczyźnie XY), współrzędną kątową? (kąt między wektorem r a osią X) oraz współrzędną z, która jest podobna do współrzędnej z w układzie kartezjańskim. Współrzędne biegunowe punktu można przekonwertować na kartezjańskie w następujący sposób: x = r*cos?, y = r*sin?, z = z. Następnie odległość między dwoma punktami z współrzędne r1, ?1 ,z1 i r2, ?2, z2 będą równe R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+((r1*sin?1-r2*sin?2 )^2)+((z1-z2)^2)) = sqrt((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2) +((z1-z2)^2))

Rozważmy teraz sferyczny układ współrzędnych. W nim położenie punktu jest podane przez trzy współrzędne r, ? I?. r - odległość od początku do punktu, ? I? są odpowiednio kątami azymutu i zenitu. Zastrzyk? podobny do kąta o tym samym oznaczeniu w układzie współrzędnych biegunowych, co? - kąt między wektorem promienia r i osią Z oraz współrzędnymi 0 r1, ?1, ?1 i r2, ?2 i ?2 będą równe R = sqrt(((r1*sin?1*cos? 1-r2*sin? 2*cos?2)^2)+((r1*sin?1*sin?1-r2*sin?2*sin?2)^2)+((r1*cos?1- r2*cos?2) ^2)) = (((r1*sin?1)^2)+((r2*sin?2)^2)-2r1*r2*sin?1*sin?2*(cos ?1*cos?2 +sin?1*sin?2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2))

Niech odcinek będzie podany przez dwa punkty na płaszczyźnie współrzędnych, wtedy możesz obliczyć jego długość za pomocą twierdzenia Pitagorasa.

Instrukcja

Niech podane zostaną współrzędne końców odcinka (x1-y1) i (x2-y2). Narysuj segment linii w układzie współrzędnych.

Opuść prostopadłe od końców segmentu na osiach X i Y. Segmenty zaznaczone na rysunku kolorem czerwonym są rzutami oryginalnego segmentu na osie współrzędnych.

Jeśli wykonasz równoległe przeniesienie rzutów segmentów na końce segmentów, otrzymasz trójkąt prostokątny. Nogi tego trójkąta będą przeniesionymi rzutami, a przeciwprostokątna będzie samym segmentem AB.

Długości projekcji są łatwe do obliczenia. Długość rzutu na oś Y wyniesie y2-y1, a długość rzutu na oś X wyniesie x2-x1. Następnie przez twierdzenie Pitagorasa |AB|²- = (y2 - y1)²- + (x2 - x1)²-, gdzie |AB| - długość segmentu.

Po przedstawieniu tego schematu znajdowania długości odcinka w ogólnym przypadku łatwo jest obliczyć długość odcinka bez konstruowania odcinka. Obliczmy długość odcinka, którego współrzędne końców to (1-3) i (2-5). Wtedy |AB|²- = (2 - 1)²- + (5 - 3)²- = 1 + 4 = 5, więc długość wymaganego odcinka wynosi 5^1/2.

Zmierzyć linię oznacza znaleźć jej długość. Długość cięcia to odległość między jego końcami.

Segmenty są mierzone przez porównanie tego segmentu z innym segmentem przyjętym jako jednostka miary. Segment przyjęty jako jednostka miary nazywa się pojedynczy segment.

Jeśli centymetr jest traktowany jako pojedynczy segment, to aby określić długość tego segmentu, musisz dowiedzieć się, ile razy centymetr jest umieszczony w tym segmencie. W takim przypadku wygodnie jest zmierzyć za pomocą centymetrowej linijki.

Narysujmy odcinek AB i zmierz jego długość. Zastosuj skalę linijki centymetrowej do segmentu AB aby jego punkt zerowy (0) pokrywał się z punktem A:

Jeśli okaże się, że punkt b pokrywa się z pewnym podziałem skali - na przykład 5, wtedy mówią: długość odcinka AB równy 5 cm i napisz: AB= 5 cm.

Właściwości pomiaru linii

Kiedy punkt dzieli odcinek na dwie części (dwa odcinki), długość całego odcinka jest równa sumie długości tych dwóch odcinków.

Rozważ segment AB:

Kropka C dzieli go na dwa segmenty: AC I CB. Widzimy to AC= 3 cm, CB= 4 cm i AB= 7 cm. Tak więc AC + CB = AB.

Każdy segment ma określoną długość większą od zera.