Koordinater för mitten av vektorn i rymden. Vektorer för dummies

Äntligen fick jag tag på detta stora och efterlängtade ämne. analytisk geometri. Först, lite om den här delen av högre matematik... Nu minns du säkert en skolgeometrikurs med många satser, deras bevis, ritningar osv. Vad man ska dölja, ett oälskat och ofta obskyrt ämne för en betydande del av eleverna. Analytisk geometri kan konstigt nog verka mer intressant och tillgänglig. Vad betyder adjektivet "analytisk"? Två klyschiga matematiska fraser dyker genast upp: "grafisk lösningsmetod" och "analytisk lösningsmetod." Grafisk metod, naturligtvis, förknippas med konstruktionen av grafer och ritningar. Analytisk eller metod handlar om att lösa problem huvudsakligen genom algebraiska operationer. I detta avseende är algoritmen för att lösa nästan alla problem med analytisk geometri enkel och transparent; ofta räcker det att noggrant tillämpa de nödvändiga formlerna - och svaret är klart! Nej, naturligtvis kommer vi inte att kunna göra detta utan ritningar alls, och dessutom, för en bättre förståelse av materialet, kommer jag att försöka citera dem bortom nödvändigt.

Den nyöppnade kursen med lektioner om geometri låtsas inte vara teoretiskt komplett, den är inriktad på att lösa praktiska problem. Jag kommer att ta med i mina föreläsningar endast det som ur min synvinkel är viktigt rent praktiskt. Om du behöver mer fullständig hjälp med något underavsnitt rekommenderar jag följande lättillgängliga litteratur:

1) En sak som, utan skämt, flera generationer är bekanta med: Skolan lärobok i geometri, författare - L.S. Atanasyan och Company. Denna skolkläddshängare har redan gått igenom 20 (!) nytryck, vilket naturligtvis inte är gränsen.

2) Geometri i 2 volymer. Författare L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Detta är litteratur för gymnasium, du kommer behöva första volymen. Sällan påträffade uppgifter kan falla ur min syn, och handledning kommer att ge ovärderlig hjälp.

Båda böckerna kan laddas ner gratis online. Dessutom kan du använda mitt arkiv med färdiga lösningar, som finns på sidan Ladda ner exempel i högre matematik.

Bland verktygen föreslår jag återigen min egen utveckling - mjukvarupaket i analytisk geometri, vilket avsevärt kommer att förenkla livet och spara mycket tid.

Det förutsätts att läsaren är bekant med grundläggande geometriska begrepp och figurer: punkt, linje, plan, triangel, parallellogram, parallellepiped, kub, etc. Det är tillrådligt att komma ihåg några satser, åtminstone Pythagoras sats, hej till repeaters)

Och nu kommer vi att överväga sekventiellt: konceptet med en vektor, åtgärder med vektorer, vektorkoordinater. Jag rekommenderar att läsa vidare den viktigaste artikeln Punktprodukt av vektorer, och även Vektor och blandad produkt av vektorer. En lokal uppgift - Uppdelning av ett segment i detta avseende - kommer inte heller att vara överflödigt. Baserat på ovanstående information kan du bemästra ekvation för en linje i ett plan Med enklaste exempel på lösningar, vilket kommer att tillåta lära sig att lösa geometriproblem. Följande artiklar är också användbara: Ekvation för ett plan i rymden, Ekvationer för en linje i rymden, Grundläggande problem på en rät linje och ett plan, andra delar av analytisk geometri. Naturligtvis kommer standarduppgifter att övervägas längs vägen.

Vektor koncept. Gratis vektor

Låt oss först upprepa skoldefinitionen av en vektor. Vektor kallad riktad ett segment för vilket dess början och slut anges:

I det här fallet är början av segmentet punkten, slutet av segmentet är punkten. Vektorn i sig betecknas med . Riktningär viktigt, om du flyttar pilen till andra änden av segmentet får du en vektor, och det är det redan helt annan vektor. Begreppet vektor identifieras bekvämt med rörelse fysiska kroppen: Håller med, att gå in genom institutets dörrar eller lämna dörrarna till institutet är helt andra saker.

Det är bekvämt att betrakta enskilda punkter i ett plan eller utrymme som den så kallade noll vektor. För en sådan vektor sammanfaller slutet och början.

!!! Notera: Här och vidare kan man anta att vektorerna ligger i samma plan eller så kan man anta att de är placerade i rymden - essensen av det presenterade materialet gäller både för planet och rymden.

Beteckningar: Många märkte genast pinnen utan pil i beteckningen och sa, det finns också en pil överst! Visserligen kan du skriva det med en pil: , men det är också möjligt posten som jag kommer att använda i framtiden. Varför? Tydligen utvecklades denna vana av praktiska skäl, mina skyttar på skolan och universitetet visade sig vara för olika stora och lurviga. I utbildningslitteratur ibland bryr de sig inte alls om kilskrift, utan markerar bokstäverna i fet stil: , vilket antyder att detta är en vektor.

Det var stilistik, och nu om sätt att skriva vektorer:

1) Vektorer kan skrivas med två latinska versaler:
och så vidare. I det här fallet den första bokstaven Nödvändigtvis anger vektorns början och den andra bokstaven anger vektorns slutpunkt.

2) Vektorer skrivs också med små latinska bokstäver:
I synnerhet kan vår vektor omdesignas för korthetens skull med en liten latinsk bokstav.

Längd eller modul en vektor som inte är noll kallas segmentets längd. Längden på nollvektorn är noll. Logisk.

Vektorns längd indikeras av modultecknet: ,

Vi kommer att lära oss hur man hittar längden på en vektor (eller så upprepar vi den, beroende på vem) lite senare.

Detta var grundläggande information om vektorer, bekant för alla skolbarn. Inom analytisk geometri, den s.k gratis vektor.

För att uttrycka sig enkelt - vektorn kan plottas från vilken punkt som helst:

Vi är vana vid att kalla sådana vektorer lika (definitionen av lika vektorer kommer att ges nedan), men ur en rent matematisk synvinkel är de SAMMA VEKTOR eller gratis vektor. Varför gratis? För när du löser problem kan du "fästa" den eller den "skolvektorn" till ALLA punkt på planet eller utrymmet du behöver. Detta är en väldigt cool funktion! Föreställ dig ett riktat segment med godtycklig längd och riktning - det kan "klonas" ett oändligt antal gånger och när som helst i rymden existerar det faktiskt ÖVERALLT. Det finns ett sådant studentordspråk: Varje föreläsare bryr sig om vektorn. När allt kommer omkring är det inte bara ett kvickt rim, allt är nästan korrekt - ett regisserat segment kan läggas till där också. Men skynda dig inte att glädjas, det är eleverna själva som ofta lider =)

Så, gratis vektor- Det här ett gäng identiska riktade segment. Skoldefinitionen av en vektor, som ges i början av stycket: "Ett riktat segment kallas en vektor..." innebär specifik ett riktat segment taget från en given uppsättning, som är knuten till en specifik punkt i planet eller rymden.

Det bör noteras att ur fysikens synvinkel är konceptet med en fri vektor i allmänhet felaktigt, och tillämpningspunkten spelar roll. Faktum är att ett direkt slag av samma kraft på näsan eller pannan, tillräckligt för att utveckla mitt dumma exempel, medför andra konsekvenser. Dock, ofri vektorer finns också under vyshmat (gå inte dit :)).

Åtgärder med vektorer. Kolinearitet av vektorer

En skolgeometrikurs täcker ett antal åtgärder och regler med vektorer: addition enligt triangelregeln, addition enligt parallellogramregeln, vektordifferensregel, multiplikation av en vektor med ett tal, skalärprodukt av vektorer osv. Låt oss som utgångspunkt upprepa två regler som är särskilt relevanta för att lösa problem med analytisk geometri.

Regeln för att lägga till vektorer med hjälp av triangelregeln

Betrakta två godtyckliga icke-nollvektorer och:

Du måste hitta summan av dessa vektorer. På grund av det faktum att alla vektorer anses vara fria kommer vi att avsätta vektorn från slutet vektor:

Summan av vektorer är vektorn. För en bättre förståelse av regeln är det lämpligt att inkludera fysisk mening: låt någon kropp resa längs en vektor och sedan längs en vektor. Sedan är summan av vektorer vektorn för den resulterande banan med början vid avgångspunkten och slutet vid ankomstpunkten. En liknande regel formuleras för summan av ett valfritt antal vektorer. Som de säger, kroppen kan gå sin väg mycket magert längs en sicksack, eller kanske på autopilot - längs den resulterande vektorn av summan.

Förresten, om vektorn skjuts upp från satte igång vektor, då får vi motsvarande parallellogramregel tillägg av vektorer.

Först om vektorers kollinearitet. De två vektorerna kallas kolinjär, om de ligger på samma linje eller på parallella linjer. Grovt sett talar vi om parallella vektorer. Men i förhållande till dem används alltid adjektivet "collinear".

Föreställ dig två kolinjär vektor. Om pilarna för dessa vektorer är riktade i samma riktning, anropas sådana vektorer samregisserad. Om pilarna pekar i olika riktningar, kommer vektorerna att vara det motsatta riktningar.

Beteckningar: collinearitet av vektorer skrivs med den vanliga parallellitetssymbolen: , medan detaljering är möjlig: (vektorer är samriktade) eller (vektorer är motsatt riktade).

Arbetet en vektor som inte är noll på ett tal är en vektor vars längd är lika med , och vektorerna och är samriktade mot och motsatt riktade mot .

Regeln för att multiplicera en vektor med ett tal är lättare att förstå med hjälp av en bild:

Låt oss titta på det mer detaljerat:

en riktning. Om multiplikatorn är negativ, då vektorn ändrar riktning till motsatsen.

2) Längd. Om multiplikatorn finns inom eller , då längden på vektorn minskar. Så, längden på vektorn är halva längden på vektorn. Om multiplikatorns modul är större än en, då längden på vektorn ökar i tid.

3) Observera att alla vektorer är kolinjära, medan en vektor uttrycks genom en annan, till exempel . Det omvända är också sant: om en vektor kan uttryckas genom en annan, så är sådana vektorer nödvändigtvis kolinjära. Således: om vi multiplicerar en vektor med ett tal får vi kolinjär(i förhållande till originalet) vektor.

4) Vektorerna är samriktade. Vektorer och är också samregisserade. Vilken vektor som helst i den första gruppen är motsatt riktad med avseende på vilken vektor som helst i den andra gruppen.

Vilka vektorer är lika?

Två vektorer är lika om de är i samma riktning och har samma längd. Observera att codirectionality innebär kollinearitet av vektorer. Definitionen skulle vara felaktig (redundant) om vi sa: "Två vektorer är lika om de är kolinjära, samriktade och har samma längd."

Med tanke på begreppet en fri vektor är lika vektorer samma vektor, som diskuterats i föregående stycke.

Vektorkoordinater på planet och i rymden

Den första punkten är att överväga vektorer på planet. Låt oss representera den kartesiska rektangulärt system koordinater och från ursprunget till koordinater skjuter vi upp enda vektorer och:

Vektorer och ortogonal. Ortogonal = vinkelrät. Jag rekommenderar att du långsamt vänjer dig vid termerna: istället för parallellitet och vinkelräthet använder vi orden resp. kolinearitet Och ortogonalitet.

Beteckning: Ortogonaliteten hos vektorer skrivs med den vanliga vinkelräta symbolen, till exempel: .

Vektorerna som övervägs kallas koordinatvektorer eller orts. Dessa vektorer bildas grund på ytan. Vad en grund är tror jag är intuitivt klart för många, mer detaljerad information finns i artikeln Linjärt (icke) beroende av vektorer. Grund för vektorer Med enkla ord definierar grunden och ursprunget för koordinater hela systemet - detta är en slags grund på vilken ett fullt och rikt geometriskt liv kokar.

Ibland kallas den konstruerade basen ortonormala grund av planet: "orto" - eftersom koordinatvektorerna är ortogonala betyder adjektivet "normaliserad" enhet, dvs. längden på basvektorerna är lika med en.

Beteckning: grunden skrivs vanligtvis inom parentes, inom vilken i strikt ordning basvektorer listas, till exempel: . Koordinatvektorer det är förbjudet ordna om.

Några plan vektor det enda sättet uttryckt som:
, Var - tal som kallas vektorkoordinater på denna grund. Och själva uttrycket kallad vektor nedbrytningpå grundval .

Middag serveras:

Låt oss börja med den första bokstaven i alfabetet: . Ritningen visar tydligt att när en vektor sönderdelas till en bas, används de som just diskuterats:
1) regeln för att multiplicera en vektor med ett tal: och ;
2) addition av vektorer enligt triangelregeln: .

Plotta nu vektorn mentalt från vilken annan punkt som helst på planet. Det är ganska uppenbart att hans förfall kommer att "följa honom obevekligt". Här är det, vektorns frihet - vektorn "bär allt med sig." Denna egenskap är naturligtvis sann för alla vektorer. Det är roligt att själva grundvektorerna (fria) inte behöver plottas från origo, den ena kan ritas till exempel längst ner till vänster och den andra längst upp till höger, och ingenting kommer att förändras! Det är sant att du inte behöver göra detta, eftersom läraren också kommer att visa originalitet och dra dig en "kredit" på en oväntad plats.

Vektorer illustrerar exakt regeln för att multiplicera en vektor med ett tal, vektorn är samriktad med basvektorn, vektorn är riktad motsatt basvektorn. För dessa vektorer är en av koordinaterna lika med noll; du kan noggrant skriva det så här:

Och grundvektorerna, förresten, är så här: (i själva verket uttrycks de genom sig själva).

Och slutligen: , . Förresten, vad är vektorsubtraktion, och varför pratade jag inte om subtraktionsregeln? Någonstans i linjär algebra kommer jag inte ihåg var, jag noterade att subtraktion är specialfall tillägg. Således skrivs expansionerna av vektorerna "de" och "e" lätt som en summa: , . Följ ritningen för att se hur tydligt den gamla goda additionen av vektorer enligt triangelregeln fungerar i dessa situationer.

Formens övervägda sönderdelning kallas ibland vektornedbrytning i ortsystemet(dvs i ett system av enhetsvektorer). Men detta är inte det enda sättet att skriva en vektor; följande alternativ är vanligt:

Eller med ett likhetstecken:

Själva basvektorerna skrivs enligt följande: och

Det vill säga att vektorns koordinater anges inom parentes. I praktiska problem Alla tre inspelningsalternativen används.

Jag tvivlade på om jag skulle tala, men jag säger det ändå: vektorkoordinater kan inte ordnas om. Strängt på första plats vi skriver ner koordinaten som motsvarar enhetsvektorn, strikt på andra plats vi skriver ner koordinaten som motsvarar enhetsvektorn. Det är faktiskt två olika vektorer.

Vi räknade ut koordinaterna på planet. Låt oss nu titta på vektorer i tredimensionell rymd, nästan allt är sig likt här! Det kommer bara att lägga till ytterligare en koordinat. Det är svårt att göra tredimensionella ritningar, så jag begränsar mig till en vektor, som jag för enkelhetens skull avsätter ursprunget:

Några 3D rymdvektor det enda sättet expandera på ortonormal basis:
, var är koordinaterna för vektorn (talet) i denna bas.

Exempel från bilden: . Låt oss se hur vektorreglerna fungerar här. Först, multiplicera vektorn med ett tal: (röd pil), (grön pil) och (hallonpil). För det andra, här är ett exempel på att lägga till flera, i detta fall tre, vektorer: . Sumvektorn börjar vid den initiala utgångspunkten (början av vektorn) och slutar vid den sista ankomstpunkten (slutet av vektorn).

Alla vektorer av tredimensionellt rymd är naturligtvis också fria; försök att mentalt avsätta vektorn från vilken annan punkt som helst, och du kommer att förstå att dess nedbrytning "kommer att förbli med den."

Liknar det platta fallet, förutom att skriva versioner med konsoler används ofta: antingen .

Om en (eller två) koordinatvektorer saknas i expansionen, så sätts nollor i deras ställe. Exempel:
vektor (noggrannt ) - låt oss skriva ;
vektor (noggrannt ) - låt oss skriva ;
vektor (noggrannt ) - låt oss skriva .

Basvektorerna skrivs enligt följande:

Detta är kanske all den minsta teoretiska kunskap som krävs för att lösa problem med analytisk geometri. Det kan finnas många termer och definitioner, så jag rekommenderar att dummies läser och förstår igen denna informationen igen. Och det kommer att vara användbart för alla läsare att hänvisa till den grundläggande lektionen då och då för att bättre tillgodogöra sig materialet. Kollinearitet, ortogonalitet, ortonormal bas, vektornedbrytning - dessa och andra begrepp kommer ofta att användas i framtiden. Jag skulle vilja notera att materialen på webbplatsen inte räcker för att klara ett teoretiskt test eller kollokvium i geometri, eftersom jag noggrant krypterar alla satser (och utan bevis) - till nackdel för vetenskaplig stil presentation, men ett plus för din förståelse av ämnet. För att få detaljerad teoretisk information, vänligen böj dig för professor Atanasyan.

Och vi går vidare till den praktiska delen:

De enklaste problemen med analytisk geometri.
Åtgärder med vektorer i koordinater

Det är mycket lämpligt att lära sig hur man löser de uppgifter som kommer att övervägas helt automatiskt, och formlerna memorera, du behöver inte ens komma ihåg det med flit, de kommer ihåg det själva =) Detta är mycket viktigt, eftersom andra problem med analytisk geometri är baserade på de enklaste elementära exemplen, och det kommer att vara irriterande att lägga extra tid på att äta bönder . Det finns ingen anledning att fästa de översta knapparna på din skjorta, många saker är bekanta för dig från skolan.

Presentationen av materialet kommer att följa en parallell kurs – både för planet och för rymden. Av den anledningen att alla formler... du kommer att se själv.

Hur hittar man en vektor från två punkter?

Om två punkter i planet och ges, så har vektorn följande koordinater:

Om två punkter i rymden och ges, så har vektorn följande koordinater:

Det är, från koordinaterna för vektorns ände du måste subtrahera motsvarande koordinater början av vektorn.

Träning: För samma punkter, skriv ner formlerna för att hitta vektorns koordinater. Formler i slutet av lektionen.

Exempel 1

Med tanke på två punkter i planet och . Hitta vektorkoordinater

Lösning: enligt motsvarande formel:

Alternativt kan följande post användas:

Esteter kommer att bestämma detta:

Själv är jag van vid den första versionen av inspelningen.

Svar:

Enligt villkoret var det inte nödvändigt att konstruera en ritning (vilket är typiskt för problem med analytisk geometri), men för att förtydliga några punkter för dummies kommer jag inte att vara lat:

Du måste definitivt förstå skillnaden mellan punktkoordinater och vektorkoordinater:

Punktkoordinater– dessa är vanliga koordinater i ett rektangulärt koordinatsystem. Jag tror att alla vet hur man ritar punkter på ett koordinatplan från 5:e-6:e klass. Varje punkt har en strikt plats på planet, och de kan inte flyttas någonstans.

Koordinaterna för vektorn– detta är dess expansion enligt grunden, i det här fallet. Vilken vektor som helst är gratis, så om så önskas eller behövs kan vi enkelt flytta den bort från någon annan punkt på planet (för att undvika förvirring, omdesigna den, till exempel med ). Det är intressant att för vektorer behöver du inte alls bygga axlar eller ett rektangulärt koordinatsystem; du behöver bara en bas, i detta fall en ortonormal grund för planet.

Posterna för koordinater för punkter och koordinater för vektorer verkar vara likartade: , och betydelsen av koordinater absolut annorlunda, och du bör vara väl medveten om denna skillnad. Denna skillnad gäller förstås även rymden.

Mina damer och herrar, låt oss fylla våra händer:

Exempel 2

a) Poäng och ges. Hitta vektorer och .
b) Poäng ges Och . Hitta vektorer och .
c) Poäng och ges. Hitta vektorer och .
d) Poäng ges. Hitta vektorer .

Kanske räcker det. Detta är exempel för dig att bestämma själv, försök att inte försumma dem, det kommer att löna sig ;-). Det finns ingen anledning att göra ritningar. Lösningar och svar i slutet av lektionen.

Vad är viktigt när man löser analytiska geometriproblem? Det är viktigt att vara EXTREMT FÖRSIKTIG för att undvika att göra det mästerliga misstaget "två plus två är lika med noll". Jag ber genast om ursäkt om jag gjort ett misstag någonstans =)

Hur hittar man längden på ett segment?

Längden, som redan noterats, indikeras av modultecknet.

Om två punkter i planet är givna och , kan längden på segmentet beräknas med hjälp av formeln

Om två punkter i rymden och ges, kan längden på segmentet beräknas med hjälp av formeln

Notera: Formlerna kommer att förbli korrekta om motsvarande koordinater byts ut: och , men det första alternativet är mer standard

Exempel 3

Lösning: enligt motsvarande formel:

Svar:

För tydlighetens skull kommer jag att göra en ritning

Linjesegmentet - detta är inte en vektor, och du kan naturligtvis inte flytta den någonstans. Dessutom, om du ritar i skala: 1 enhet. = 1 cm (två anteckningsbokceller), då kan det resulterande svaret kontrolleras med en vanlig linjal genom att direkt mäta segmentets längd.

Ja, lösningen är kort, men det finns ytterligare ett par viktiga punkter i den som jag skulle vilja förtydliga:

För det första lägger vi i svaret dimensionen: "enheter". Villkoret säger inte VAD det är, millimeter, centimeter, meter eller kilometer. Därför skulle en matematiskt korrekt lösning vara den allmänna formuleringen: "enheter" - förkortat som "enheter."

För det andra, låt oss upprepa skolmaterialet, vilket inte bara är användbart för den aktuella uppgiften:

uppmärksamma Viktig teknisk teknik – ta bort multiplikatorn under roten. Som ett resultat av beräkningarna har vi ett resultat och en bra matematisk stil innebär att man tar bort faktorn under roten (om möjligt). Mer detaljerat ser processen ut så här: . Att låta svaret vara som det är skulle naturligtvis inte vara ett misstag – men det vore säkert en brist och ett tungt vägande argument för att käbbla från lärarens sida.

Här är andra vanliga fall:

Ofta finns det tillräckligt vid roten stort antal, Till exempel . Vad ska man göra i sådana fall? Med hjälp av kalkylatorn kontrollerar vi om talet är delbart med 4: . Ja, det var helt uppdelat, så här: . Eller kanske talet kan delas med 4 igen? . Således: . Den sista siffran i numret är udda, så att dividera med 4 för tredje gången fungerar uppenbarligen inte. Låt oss försöka dividera med nio: . Som ett resultat:
Redo.

Slutsats: om vi under roten får ett tal som inte kan extraheras som en helhet, då försöker vi ta bort faktorn under roten - med hjälp av en kalkylator kontrollerar vi om talet är delbart med: 4, 9, 16, 25, 36, 49 osv.

När man löser olika problem stöter man ofta på rötter, försök alltid ta fram faktorer under roten för att undvika ett lägre betyg och onödiga problem med att slutföra sina lösningar utifrån lärarens kommentarer.

Låt oss också upprepa kvadratrötter och andra krafter:

Regler för verksamhet med examina i allmän form finns i skolbok i algebra, men jag tror att från exemplen som ges är allt eller nästan allt redan klart.

Uppgift för oberoende lösning med ett segment i rymden:

Exempel 4

Poäng och ges. Hitta längden på segmentet.

Lösningen och svaret finns i slutet av lektionen.

Hur hittar man längden på en vektor?

Om en plan vektor anges, beräknas dess längd med formeln.

Om en rymdvektor ges, beräknas dess längd med formeln .

Dessa formler (liksom formlerna för längden på ett segment) härleds lätt med hjälp av den välkända Pythagoras sats.

I den här artikeln kommer vi att börja diskutera en "trollstav" som gör att du kan reducera många geometriproblem till enkel aritmetik. Denna "pinne" kan göra ditt liv mycket lättare, speciellt när du känner dig osäker på att konstruera rumsliga figurer, sektioner etc. Allt detta kräver en viss fantasi och praktiska färdigheter. Metoden som vi kommer att börja överväga här kommer att tillåta dig att nästan helt abstrahera från alla typer av geometriska konstruktioner och resonemang. Metoden kallas "koordinatmetoden". I den här artikeln kommer vi att överväga följande frågor:

Koordinatplan
Punkter och vektorer på planet
Konstruera en vektor från två punkter
Vektorlängd (avstånd mellan två punkter).
Koordinater för mitten av segmentet
Punktprodukt av vektorer
Vinkel mellan två vektorer

Jag tror att du redan har gissat varför koordinatmetoden kallas så? Det stämmer, det fick det här namnet eftersom det inte fungerar med geometriska objekt, utan med deras numeriska egenskaper (koordinater). Och själva transformationen, som gör att vi kan gå från geometri till algebra, består i att införa ett koordinatsystem. Om den ursprungliga figuren var platt är koordinaterna tvådimensionella, och om figuren är tredimensionella är koordinaterna tredimensionella. I den här artikeln kommer vi bara att överväga det tvådimensionella fallet. Och huvudmålet med artikeln är att lära dig hur du använder några grundläggande tekniker för koordinatmetoden (de visar sig ibland vara användbara när du löser problem med planimetri i del B av Unified State Exam). De följande två avsnitten om detta ämne ägnas åt en diskussion om metoder för att lösa problem C2 (problemet med stereometri).

Var skulle det vara logiskt att börja diskutera koordinatmetoden? Förmodligen från begreppet ett koordinatsystem. Kom ihåg när du först träffade henne. Det verkar för mig att i 7:e klass, när du lärde dig om tillvaron linjär funktion, Till exempel. Låt mig påminna dig om att du byggde det punkt för punkt. Kommer du ihåg? Du valde ett godtyckligt tal, ersatte det i formeln och beräknade det på det sättet. Till exempel om, då, om, då, etc. Vad fick du till slut? Och du fick poäng med koordinater: och. Därefter ritade du ett "kors" (koordinatsystem), valde en skala på det (hur många celler du kommer att ha som ett enhetssegment) och markerade de punkter du fick på det, som du sedan kopplade ihop med en rät linje; det resulterande linje är grafen för funktionen.

Det finns några punkter här som bör förklaras lite mer detaljerat för dig:

1. Du väljer ett enskilt segment av bekvämlighetsskäl, så att allt passar vackert och kompakt i ritningen.

2. Det är accepterat att axeln går från vänster till höger, och axeln går från botten till toppen

3. De skär varandra i rät vinkel och skärningspunkten kallas origo. Det anges med en bokstav.

4. När du skriver koordinaterna för en punkt, till exempel, till vänster inom parentes finns koordinaten för punkten längs axeln och till höger längs axeln. I synnerhet betyder det helt enkelt att på den punkten

5. För att ange en punkt på koordinataxeln måste du ange dess koordinater (2 siffror)

6. För varje punkt som ligger på axeln,

7. För varje punkt som ligger på axeln,

8. Axeln kallas x-axeln

9. Axeln kallas y-axeln

Låt oss nu ta nästa steg: markera två punkter. Låt oss koppla dessa två punkter med ett segment. Och vi sätter pilen som om vi ritade ett segment från punkt till punkt: det vill säga vi kommer att göra vårt segment riktat!

Kommer du ihåg vad ett annat riktningssegment kallas? Det stämmer, det kallas vektor!

Så om vi kopplar punkt till punkt, och början kommer att vara punkt A, och slutet kommer att vara punkt B, då får vi en vektor. Du gjorde också den här konstruktionen i 8:an, minns du?

Det visar sig att vektorer, liksom punkter, kan betecknas med två tal: dessa tal kallas vektorkoordinater. Fråga: Tror du att det räcker för oss att känna till koordinaterna för början och slutet av en vektor för att hitta dess koordinater? Det visar sig att ja! Och detta görs väldigt enkelt:

Eftersom punkten i en vektor är början och punkten är slutet, har vektorn följande koordinater:

Till exempel, if, då koordinaterna för vektorn

Låt oss nu göra tvärtom, hitta vektorns koordinater. Vad behöver vi förändra för detta? Ja, du måste byta början och slutet: nu kommer början av vektorn att vara vid punkten och slutet kommer att vara vid punkten. Sedan:

Titta noga, vad är skillnaden mellan vektorer och? Deras enda skillnad är tecknen i koordinaterna. De är motsatser. Detta faktum brukar skrivas så här:

Ibland, om det inte specifikt anges vilken punkt som är början på vektorn och vilken som är slutet, så betecknas vektorer med mer än två med stora bokstäver, och en gemen, till exempel: , etc.

Nu lite öva själv och hitta koordinaterna för följande vektorer:

Undersökning:

Lös nu ett lite svårare problem:

En vektor med början vid en punkt har en co-eller-di-na-du. Hitta abs-cis-su-punkterna.

Det är ändå ganska prosaiskt: Låt vara punktens koordinater. Sedan

Jag sammanställde systemet utifrån definitionen av vad vektorkoordinater är. Då har punkten koordinater. Vi är intresserade av abskissan. Sedan

Svar:

Vad mer kan du göra med vektorer? Ja, nästan allt är detsamma som med vanliga tal (förutom att du inte kan dividera, men du kan multiplicera på två sätt, varav det ena kommer att diskutera här lite senare)

Vektorer kan läggas till varandra
Vektorer kan subtraheras från varandra
Vektorer kan multipliceras (eller divideras) med ett godtyckligt tal som inte är noll
Vektorer kan multipliceras med varandra

Alla dessa operationer har en mycket tydlig geometrisk representation. Till exempel, triangeln (eller parallellogram) regeln för addition och subtraktion:

En vektor sträcker sig eller drar ihop sig eller ändrar riktning när den multipliceras eller divideras med ett tal:

Men här kommer vi att vara intresserade av frågan om vad som händer med koordinaterna.

1. När vi adderar (subtraherar) två vektorer adderar (subtraherar) vi deras koordinater element för element. Det är:

2. När man multiplicerar (dividerar) en vektor med ett tal, multipliceras (divideras) alla dess koordinater med detta tal:

Till exempel:

· Hitta mängden co-or-di-nat århundrade-till-ra.

Låt oss först hitta koordinaterna för var och en av vektorerna. De har båda samma ursprung - ursprungspunkten. Deras mål är olika. Sedan, . Låt oss nu beräkna koordinaterna för vektorn. Då är summan av koordinaterna för den resulterande vektorn lika.

Svar:

Lös nu följande problem själv:

· Hitta summan av vektorkoordinater

Vi kontrollerar:

Låt oss nu överväga följande problem: vi har två punkter på koordinatplanet. Hur hittar man avståndet mellan dem? Låt den första punkten vara och den andra. Låt oss beteckna avståndet mellan dem med. Låt oss göra följande ritning för tydlighetens skull:

Vad jag har gjort? Först och främst kopplade jag upp mig prickar och,a också från en punkt ritade jag en linje parallell med axeln, och från en punkt drog jag en linje parallell med axeln. Korsade de sig vid en punkt och bildade en anmärkningsvärd figur? Vad är så speciellt med henne? Ja, du och jag vet nästan allt om rät triangel. Tja, Pythagoras sats helt klart. Det nödvändiga segmentet är hypotenusan för denna triangel, och segmenten är benen. Vilka är punktens koordinater? Ja, de är lätta att hitta från bilden: Eftersom segmenten är parallella med axlarna och deras längder är lätta att hitta: om vi betecknar segmentens längder med respektive

Låt oss nu använda Pythagoras sats. Vi vet längden på benen, vi hittar hypotenusan:

Således är avståndet mellan två punkter roten av summan av kvadratskillnaderna från koordinaterna. Eller - avståndet mellan två punkter är längden på segmentet som förbinder dem. Det är lätt att se att avståndet mellan punkterna inte beror på riktningen. Sedan:

Härifrån drar vi tre slutsatser:

Låt oss öva lite på att beräkna avståndet mellan två punkter:

Till exempel, if, då är avståndet mellan och lika med

Eller låt oss gå en annan väg: hitta vektorns koordinater

Och hitta längden på vektorn:

Som ni ser är det samma sak!

Träna nu lite själv:

Uppgift: hitta avståndet mellan de angivna punkterna:

Vi kontrollerar:

Här är ett par problem till med samma formel, även om de låter lite annorlunda:

1. Hitta kvadraten på ögonlockets längd.

2. Hitta kvadraten på ögonlockets längd

Jag tror att du hanterade dem utan svårighet? Vi kontrollerar:

1. Och detta är för uppmärksamhet) Vi har redan hittat koordinaterna för vektorerna tidigare: . Då har vektorn koordinater. Kvadraten på dess längd kommer att vara lika med:

2. Hitta vektorns koordinater

Då är kvadraten på dess längd

Inget komplicerat, eller hur? Enkel aritmetik, inget mer.

Följande problem kan inte klassificeras entydigt, de handlar mer om allmän kunskap och förmåga att rita enkla bilder.

1. Hitta vinkelns sinus från snittet, förbind punkten med abskissaxeln.

Och

Hur ska vi gå vidare här? Vi måste hitta sinus för vinkeln mellan och axeln. Var kan vi leta efter sinus? Det stämmer, i en rätvinklig triangel. Så vad behöver vi göra? Bygg den här triangeln!

Eftersom koordinaterna för punkten är och, då segmentet är lika med, och segmentet. Vi måste hitta vinkelns sinus. Låt mig påminna dig om att sinus är förhållandet mellan den motsatta sidan och hypotenusan

Vad återstår för oss att göra? Hitta hypotenusan. Du kan göra detta på två sätt: med Pythagoras sats (benen är kända!) eller med formeln för avståndet mellan två punkter (i själva verket samma sak som den första metoden!). Jag går den andra vägen:

Svar:

Nästa uppgift kommer att verka ännu lättare för dig. Hon är på koordinaterna för punkten.

Uppgift 2. Från punkten sänks per-pen-di-ku-lyar ner på abcissaxeln. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Låt oss göra en ritning:

Basen på en vinkelrät är punkten där den skär x-axeln (axeln), för mig är detta en punkt. Figuren visar att den har koordinater: . Vi är intresserade av abskissan - det vill säga "x" -komponenten. Hon är jämställd.

Svar: .

Uppgift 3. I villkoren för det föregående problemet, hitta summan av avstånden från punkten till koordinataxlarna.

Uppgiften är generellt sett elementär om du vet vad avståndet från en punkt till axlarna är. Du vet? Jag hoppas, men jag kommer ändå att påminna dig:

Så, i min ritning precis ovan, har jag redan ritat en sådan vinkelrät? Vilken axel sitter den på? Till axeln. Och hur lång är den då? Hon är jämställd. Rita nu själv en vinkelrät mot axeln och hitta dess längd. Det blir lika, eller hur? Då är deras summa lika.

Svar: .

Uppgift 4. I villkoren för uppgift 2, hitta ordinatan för en punkt som är symmetrisk med punkten i förhållande till abskissaxeln.

Jag tror att det är intuitivt klart för dig vad symmetri är? Många föremål har det: många byggnader, bord, flygplan, många geometriska figurer: kula, cylinder, kvadrat, romb etc. Grovt sett kan symmetri förstås på följande sätt: en figur består av två (eller flera) identiska halvor. Denna symmetri kallas axiell symmetri. Vad är då en axel? Detta är exakt den linje längs vilken figuren relativt sett kan "skäras" i lika halvor (i den här bilden är symmetriaxeln rak):

Låt oss nu gå tillbaka till vår uppgift. Vi vet att vi letar efter en punkt som är symmetrisk kring axeln. Då är denna axel symmetriaxeln. Det betyder att vi måste markera en punkt så att axeln skär segmentet i två lika delar. Försök själv markera en sådan punkt. Jämför nu med min lösning:

Funkade det på samma sätt för dig? Bra! Vi är intresserade av ordinatan för den hittade punkten. Det är lika

Svar:

Berätta nu för mig, efter att ha funderat i några sekunder, vad blir abskissan för en punkt som är symmetrisk till punkten A relativt ordinatan? Vad är ditt svar? Rätt svar: .

I allmänhet kan regeln skrivas så här:

En punkt som är symmetrisk till en punkt relativt abskissaxeln har koordinaterna:

En punkt som är symmetrisk till en punkt i förhållande till ordinataaxeln har koordinater:

Nåväl, nu är det helt läskigt uppgift: hitta koordinaterna för en punkt som är symmetrisk till punkten i förhållande till origo. Du tänker först själv och tittar sedan på min teckning!

Svar:

Nu parallellogram problem:

Uppgift 5: Punkterna visas ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Hitta eller-di-på-den punkten.

Du kan lösa detta problem på två sätt: logik och koordinatmetoden. Jag ska använda koordinatmetoden först, och sedan ska jag berätta hur du kan lösa det annorlunda.

Det är helt klart att punktens abskiss är lika. (den ligger på vinkelrät draget från punkten till abskissaxeln). Vi måste hitta ordinatan. Låt oss dra fördel av det faktum att vår figur är ett parallellogram, det betyder det. Låt oss hitta längden på segmentet med hjälp av formeln för avståndet mellan två punkter:

Vi sänker den vinkelräta som förbinder punkten med axeln. Jag kommer att beteckna skärningspunkten med en bokstav.

Längden på segmentet är lika. (hitta problemet själv där vi diskuterade den här punkten), då kommer vi att hitta längden på segmentet med hjälp av Pythagoras sats:

Längden på ett segment sammanfaller exakt med dess ordinata.

Svar: .

En annan lösning (jag ska bara ge en bild som illustrerar det)

Lösningens framsteg:

1. Uppförande

2. Hitta koordinaterna för punkten och längden

3. Bevisa det.

En till segmentlängdsproblem:

Punkterna visas på toppen av triangeln. Hitta längden på dess mittlinje, parallell.

Kommer du ihåg vad det är mittlinje triangel? Då är denna uppgift grundläggande för dig. Om du inte kommer ihåg, ska jag påminna dig: mittlinjen i en triangel är den linje som förbinder mittpunkterna på motsatta sidor. Den är parallell med basen och lika med hälften av den.

Basen är ett segment. Vi var tvungna att leta efter dess längd tidigare, den är lika. Då är längden på mittlinjen hälften så stor och lika stor.

Svar: .

Kommentar: detta problem kan lösas på ett annat sätt, vilket vi kommer att vända oss till lite senare.

Under tiden kommer här några problem för dig, träna på dem, de är väldigt enkla, men de hjälper dig att bli bättre på att använda koordinatmetoden!

1. Punkterna är toppen av tra-pe-tionerna. Hitta längden på dess mittlinje.

2. Punkter och framträdanden ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Hitta eller-di-på-den punkten.

3. Hitta längden från snittet, koppla ihop spetsen och

4. Hitta området bakom den färgade figuren på koordinatplanet.

5. En cirkel med centrum i na-cha-le ko-or-di-nat passerar genom punkten. Hitta hennes ra-di-us.

6. Hitta-di-te ra-di-us av cirkeln, beskriv-san-noy om den räta vinkeln-no-ka, toppen av något har en med-eller -di-na-du är så ansvarig

Lösningar:

1. Det är känt att mittlinjen för en trapets är lika med halva summan av dess baser. Basen är lika, och basen. Sedan

Svar:

2. Det enklaste sättet att lösa detta problem är att notera det (parallelogramregeln). Att beräkna koordinaterna för vektorer är inte svårt: . När vektorer läggs till läggs koordinaterna till. Har sedan koordinater. Punkten har också dessa koordinater, eftersom vektorns ursprung är punkten med koordinaterna. Vi är intresserade av ordinaten. Hon är jämställd.

Svar:

3. Vi agerar omedelbart enligt formeln för avståndet mellan två punkter:

Svar:

4. Titta på bilden och säg vilka två figurer som det skuggade området är "inklämt" mellan? Det är inklämt mellan två rutor. Då är arean för den önskade figuren lika med arean av den stora kvadraten minus arean av den lilla. Sidan på en liten kvadrat är ett segment som förbinder punkterna och dess längd är

Då är det lilla torgets yta

Vi gör samma sak med en stor kvadrat: dess sida är ett segment som förbinder punkterna och dess längd är

Då är det stora torgets yta

Vi hittar arean av den önskade figuren med formeln:

Svar:

5. Om en cirkel har origo som centrum och passerar genom en punkt, så kommer dess radie att vara exakt lika med längden på segmentet (gör en ritning så förstår du varför detta är uppenbart). Låt oss hitta längden på detta segment:

Svar:

6. Det är känt att radien för en cirkel omskriven kring en rektangel är lika med halva dess diagonal. Låt oss hitta längden på någon av de två diagonalerna (i en rektangel är de trots allt lika!)

Svar:

Tja, klarade du allt? Det var väl inte särskilt svårt att lista ut det? Det finns bara en regel här - kunna göra en visuell bild och helt enkelt "läsa" all data från den.

Vi har väldigt lite kvar. Det finns bokstavligen två punkter till som jag skulle vilja diskutera.

Låt oss försöka lösa detta enkla problem. Låt två poäng och ges. Hitta koordinaterna för segmentets mittpunkt. Lösningen på detta problem är följande: låt punkten vara den önskade mitten, då har den koordinater:

Det är: koordinater för mitten av segmentet = det aritmetiska medelvärdet av motsvarande koordinater för segmentets ändar.

Denna regel är mycket enkel och orsakar vanligtvis inte svårigheter för eleverna. Låt oss se i vilka problem och hur det används:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-ny from-cut, connect-the-point and

2. Poängen verkar vara i toppen av världen. Hitta-di-te eller-di-na-tu poäng per-re-se-che-niya av hans dia-go-na-ley.

3. Hitta-di-te abs-cis-su mitten av cirkeln, beskriv-san-noy om den rektangulära-no-ka, toppen av något har co-eller-di-na-du så-ansvarigt-men.

Lösningar:

1. Det första problemet är helt enkelt en klassiker. Vi fortsätter omedelbart för att bestämma mitten av segmentet. Den har koordinater. Ordinatan är lika.

Svar:

2. Det är lätt att se att denna fyrhörning är ett parallellogram (även en romb!). Du kan själv bevisa detta genom att beräkna längderna på sidorna och jämföra dem med varandra. Vad vet jag om parallellogram? Dess diagonaler delas på mitten av skärningspunkten! Ja! Så vad är skärningspunkten mellan diagonalerna? Detta är mitten av någon av diagonalerna! Jag kommer att välja i synnerhet diagonalen. Då har punkten koordinater. Ordinatan för punkten är lika med.

Svar:

3. Vad sammanfaller mitten av cirkeln omskriven kring rektangeln med? Den sammanfaller med skärningspunkten för dess diagonaler. Vad vet du om diagonalerna i en rektangel? De är lika och skärningspunkten delar dem på mitten. Uppgiften reducerades till den föregående. Låt oss ta till exempel diagonalen. Sedan om är mitten av den omslutna cirkeln, då är mittpunkten. Jag letar efter koordinater: Abskissan är lika.

Svar:

Träna nu lite på egen hand, jag ska bara ge svaren på varje problem så att du kan testa dig själv.

1. Hitta-di-te ra-di-us av cirkeln, beskriv-san-noy om tri-angle-no-ka, toppen av något har en co-eller-di -no misters

2. Hitta-di-te eller-di-på-den där mitten av cirkeln, beskriv-san-noy om triangeln-no-ka, vars toppar har koordinater

3. Vilken typ av ra-di-u-sa ska det finnas en cirkel med ett centrum i en punkt så att den nuddar ab-cissaxeln?

4. Hitta-di-de eller-di-på-den punkten för åter-se-se-ce-tion av axeln och från-cut, koppla ihop-punkten och

Svar:

Var allt lyckat? Jag hoppas verkligen på det! Nu - sista trycket. Var nu extra försiktig. Materialet som jag nu ska förklara är direkt relaterat inte bara till enkla problem på koordinatmetoden från del B, utan finns också överallt i uppgift C2.

Vilka av mina löften har jag ännu inte hållit? Kommer du ihåg vilka operationer på vektorer jag lovade att introducera och vilka jag till slut introducerade? Är du säker på att jag inte har glömt något? Glömde! Jag glömde förklara vad vektormultiplikation betyder.

Det finns två sätt att multiplicera en vektor med en vektor. Beroende på den valda metoden kommer vi att få föremål av olika karaktär:

Korsprodukten görs ganska smart. Vi kommer att diskutera hur man gör det och varför det behövs i nästa artikel. Och i den här kommer vi att fokusera på den skalära produkten.

Det finns två sätt som låter oss beräkna det:

Som du gissat borde resultatet bli detsamma! Så låt oss först titta på den första metoden:

Punktera produkten via koordinater

Hitta: - allmänt accepterad notation för skalär produkt

Formeln för beräkning är följande:

Det vill säga skalärprodukten = summan av produkterna av vektorkoordinater!

Exempel:

Hitta-di-te

Lösning:

Låt oss hitta koordinaterna för var och en av vektorerna:

Vi beräknar skalärprodukten med formeln:

Svar:

Se, absolut inget komplicerat!

Nåväl, prova själv:

· Hitta en skalär pro-iz-ve-de-nie av århundraden och

Klarade du dig? Kanske märkte du en liten hake? Låt oss kolla:

Vektorkoordinater, som i föregående problem! Svar: .

Förutom koordinaten finns det ett annat sätt att beräkna skalärprodukten, nämligen genom längden på vektorerna och cosinus för vinkeln mellan dem:

Betecknar vinkeln mellan vektorerna och.

Det vill säga den skalära produkten är lika med produkten av vektorernas längder och cosinus för vinkeln mellan dem.

Varför behöver vi denna andra formel om vi har den första, som är mycket enklare, den innehåller minst det finns inga kosiner. Och det behövs så att du och jag utifrån den första och andra formeln kan härleda hur man hittar vinkeln mellan vektorer!

Låt sedan komma ihåg formeln för längden på vektorn!

Om jag sedan ersätter denna data i skalärproduktformeln får jag:

Men på annat sätt:

Så vad fick du och jag? Vi har nu en formel som gör att vi kan beräkna vinkeln mellan två vektorer! Ibland skrivs det också så här för korthetens skull:

Det vill säga, algoritmen för att beräkna vinkeln mellan vektorer är som följer:

Beräkna den skalära produkten genom koordinater
Hitta längden på vektorerna och multiplicera dem
Dividera resultatet av punkt 1 med resultatet av punkt 2

Låt oss öva med exempel:

1. Hitta vinkeln mellan ögonlocken och. Ge svaret i grad-du-sah.

2. I villkoren för föregående uppgift, hitta cosinus mellan vektorerna

Låt oss göra så här: Jag hjälper dig att lösa det första problemet och försöker göra det andra själv! Hålla med? Då börjar vi!

1. Dessa vektorer är våra gamla vänner. Vi har redan beräknat deras skalära produkt och den var lika. Deras koordinater är: , . Sedan hittar vi deras längder:

Sedan letar vi efter cosinus mellan vektorerna:

Vad är cosinus för vinkeln? Det här är hörnet.

Svar:

Nåväl, lös nu det andra problemet själv och jämför sedan! Jag kommer bara ge en mycket kort lösning:

2. har koordinater, har koordinater.

Låt vara vinkeln mellan vektorerna och då

Svar:

Det bör noteras att problemen direkt på vektorer och koordinatmetoden i del B tentamen mycket sällsynt. De allra flesta C2-problem kan dock enkelt lösas genom att införa ett koordinatsystem. Så du kan betrakta den här artikeln som grunden på grundval av vilken vi kommer att göra ganska smarta konstruktioner som vi behöver för att lösa komplexa problem.

KOORDINATER OCH VEKTORER. GENOMSNITTLIG NIVÅ

Du och jag fortsätter att studera koordinatmetoden. I den sista delen härledde vi ett antal viktiga formler som låter dig:

Hitta vektorkoordinater
Hitta längden på en vektor (alternativt: avståndet mellan två punkter)
Addera och subtrahera vektorer. Multiplicera dem med ett reellt tal
Hitta mittpunkten i ett segment
Beräkna punktprodukt av vektorer
Hitta vinkeln mellan vektorer

Hela koordinatmetoden passar förstås inte in i dessa 6 punkter. Det ligger till grund för en sådan vetenskap som analytisk geometri, som du kommer att bli bekant med på universitetet. Jag vill bara bygga en grund som gör att du kan lösa problem i ett enda tillstånd. examen. Vi har tagit itu med uppgifterna i del B. Nu är det dags att gå till en helt ny nivå! Denna artikel kommer att ägnas åt en metod för att lösa de C2-problem där det skulle vara rimligt att byta till koordinatmetoden. Denna rimlighet avgörs av vad som krävs för att finnas i problemet och vilken siffra som anges. Så jag skulle använda koordinatmetoden om frågorna är:

Hitta vinkeln mellan två plan
Hitta vinkeln mellan en rät linje och ett plan
Hitta vinkeln mellan två raka linjer
Hitta avståndet från en punkt till ett plan
Hitta avståndet från en punkt till en linje
Hitta avståndet från en rak linje till ett plan
Hitta avståndet mellan två linjer

Om siffran i problemformuleringen är en rotationskropp (kula, cylinder, kon...)

Lämpliga siffror för koordinatmetoden är:

Rektangulär parallellepiped
Pyramid (triangulär, fyrkantig, hexagonal)

Även av min erfarenhet det är olämpligt att använda koordinatmetoden för:

Hitta tvärsnittsareor
Beräkning av volymer av kroppar

Det bör dock omedelbart noteras att de tre ”ogynnsamma” situationerna för koordinatmetoden är ganska sällsynta i praktiken. I de flesta uppgifter kan den bli din räddare, speciellt om du inte är särskilt bra på tredimensionella konstruktioner (vilket ibland kan vara ganska intrikat).

Vilka är alla siffror jag listade ovan? De är inte längre platta, som till exempel en kvadrat, en triangel, en cirkel, utan voluminösa! Följaktligen behöver vi inte överväga ett tvådimensionellt, utan ett tredimensionellt koordinatsystem. Det är ganska lätt att konstruera: bara utöver abskissan och ordinataxeln kommer vi att introducera en annan axel, applikataxeln. Figuren visar schematiskt deras relativa position:

Alla är ömsesidigt vinkelräta och skär varandra i en punkt, som vi kommer att kalla koordinaternas ursprung. Som tidigare kommer vi att beteckna abskissaxeln, ordinataaxeln - och den införda applikaaxeln - .

Om varje punkt på planet tidigare kännetecknades av två siffror - abskissan och ordinatan, är varje punkt i rymden redan beskriven av tre siffror - abskissan, ordinatan och applikationen. Till exempel:

Följaktligen är abskissan för en punkt lika, ordinatan är , och applikatet är .

Ibland kallas abskissan för en punkt också för projektion av en punkt på abskissaxeln, ordinatan - projektionen av en punkt på ordinatans axel, och applikatet - projektionen av en punkt på applikataxeln. Följaktligen, om en punkt ges, då en punkt med koordinater:

kallas projektion av en punkt på ett plan

En naturlig fråga uppstår: är alla formler härledda för det tvådimensionella fallet giltiga i rymden? Svaret är ja, de är rättvisa och har samma utseende. För en liten detalj. Jag tror att du redan har gissat vilken det är. I alla formler måste vi lägga till ytterligare en term som är ansvarig för applikationsaxeln. Nämligen.

1. Om två poäng ges: , då:

Vektorkoordinater:
Avstånd mellan två punkter (eller vektorlängd)
Segmentets mittpunkt har koordinater

2. Om två vektorer ges: och, då:

Deras skalära produkt är lika med:
Cosinus för vinkeln mellan vektorerna är lika med:

Utrymmet är dock inte så enkelt. Som du förstår introducerar en tillsats av ytterligare en koordinat betydande mångfald i spektrumet av figurer som "lever" i detta utrymme. Och för ytterligare berättelse kommer jag att behöva introducera någon, grovt sett, "generalisering" av den raka linjen. Denna "generalisering" kommer att vara ett plan. Vad vet du om flygplan? Försök att svara på frågan, vad är ett plan? Det är väldigt svårt att säga. Men vi föreställer oss alla intuitivt hur det ser ut:

Grovt sett är detta ett slags oändligt "ark" som har fastnat i rymden. "Oändlighet" bör förstås att planet sträcker sig i alla riktningar, det vill säga dess yta är lika med oändligheten. Denna "praktiska" förklaring ger dock inte den minsta uppfattning om planets struktur. Och det är hon som kommer att vara intresserad av oss.

Låt oss komma ihåg ett av geometrins grundläggande axiom:

en rät linje går genom två olika punkter på ett plan, och bara en:

Eller dess analog i rymden:

Naturligtvis kommer du ihåg hur man härleder ekvationen för en linje från två givna punkter; det är inte alls svårt: om den första punkten har koordinater: och den andra, kommer linjens ekvation att vara som följer:

Du tog det här i sjuan. I rymden ser en linjes ekvation ut så här: låt oss ges två punkter med koordinater: , då har ekvationen för linjen som går genom dem formen:

Till exempel går en linje genom punkter:

Hur ska detta förstås? Detta bör förstås på följande sätt: en punkt ligger på en linje om dess koordinater uppfyller följande system:

Vi kommer inte att vara särskilt intresserade av en linjes ekvation, men vi måste vara uppmärksamma på det mycket viktiga konceptet med riktningsvektorn för en linje. - varje vektor som inte är noll som ligger på en given linje eller parallell med den.

Till exempel är båda vektorerna riktningsvektorer för en rät linje. Låt vara en punkt som ligger på en linje och låt vara dess riktningsvektor. Sedan kan linjens ekvation skrivas i följande form:

Återigen kommer jag inte att vara särskilt intresserad av ekvationen för en rät linje, men jag behöver verkligen att du kommer ihåg vad en riktningsvektor är! Igen: detta är vilken vektor som inte är noll som ligger på en linje eller parallell med den.

Dra tillbaka ekvation för ett plan baserat på tre givna punkterär inte längre så trivialt, och frågan tas vanligtvis inte upp på gymnasiekurser. Men förgäves! Denna teknik är avgörande när vi tar till koordinatmetoden för att lösa komplexa problem. Jag antar dock att du är sugen på att lära dig något nytt? Dessutom kommer du att kunna imponera på din lärare på universitetet när det visar sig att du redan vet hur man använder en teknik som vanligtvis studeras i en analytisk geometrikurs. Så låt oss börja.

Ekvationen för ett plan skiljer sig inte alltför från ekvationen för en rät linje på ett plan, den har nämligen formen:

vissa tal (inte alla lika med noll), men variabler, till exempel: etc. Som du kan se skiljer sig ett plans ekvation inte mycket från ekvationen för en rät linje (linjär funktion). Men minns du vad du och jag bråkade om? Vi sa att om vi har tre punkter som inte ligger på samma linje, så kan planets ekvation unikt rekonstrueras från dem. Men hur? Jag ska försöka förklara det för dig.

Eftersom ekvationen för planet är:

Och punkterna tillhör detta plan, då när vi ersätter koordinaterna för varje punkt i ekvationen för planet bör vi få den korrekta identiteten:

Det finns alltså ett behov av att lösa tre ekvationer med okända! Dilemma! Du kan dock alltid anta det (för att göra detta måste du dividera med). Således får vi tre ekvationer med tre okända:

Vi kommer dock inte att lösa ett sådant system, utan kommer att skriva ut det mystiska uttrycket som följer av det:

Ekvation för ett plan som passerar genom tre givna punkter

\[\vänster| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \right| = 0\]

Sluta! Vad är detta? Någon väldigt ovanlig modul! Objektet som du ser framför dig har dock inget med modulen att göra. Detta objekt kallas en tredje ordningens determinant. Från och med nu, när du hanterar metoden för koordinater på ett plan, kommer du mycket ofta att stöta på samma determinanter. Vad är en tredje ordningens determinant? Konstigt nog är det bara en siffra. Det återstår att förstå vilket specifikt nummer vi kommer att jämföra med determinanten.

Låt oss först skriva tredje ordningens determinant i en mer allmän form:

Var finns några siffror. Med det första indexet menar vi dessutom radnumret, och med indexet menar vi kolumnnumret. Det betyder till exempel det givet nummer står i skärningspunkten mellan den andra raden och den tredje kolumnen. Låt oss ställa följande fråga: exakt hur kommer vi att beräkna en sådan determinant? Det vill säga, vilket specifikt antal kommer vi att jämföra med det? För tredje ordningens determinant finns det en heuristisk (visuell) triangelregel, den ser ut så här:

Produkten av elementen i huvuddiagonalen (från det övre vänstra hörnet till det nedre högra hörnet) produkten av elementen som bildar den första triangeln "vinkelrät" mot huvuddiagonalen produkten av elementen som bildar den andra triangeln "vinkelrätt" mot huvuddiagonal
Produkten av elementen i den sekundära diagonalen (från det övre högra hörnet till det nedre vänstra) produkten av elementen som bildar den första triangeln "vinkelrät" mot den sekundära diagonalen produkten av elementen som bildar den andra triangeln "vinkelrätt" mot sekundär diagonal
Då är determinanten lika med skillnaden mellan värdena som erhålls vid steget och

Om vi skriver ner allt detta i siffror får vi följande uttryck:

Du behöver dock inte komma ihåg beräkningsmetoden i det här formuläret; det räcker att bara ha trianglarna i huvudet och själva idén om vad som summerar till vad och vad som sedan subtraheras från vad).

Låt oss illustrera triangelmetoden med ett exempel:

1. Beräkna determinanten:

Låt oss ta reda på vad vi lägger till och vad vi subtraherar:

Villkor som kommer med ett plus:

Detta är huvuddiagonalen: produkten av elementen är lika med

Den första triangeln, "vinkelrät mot huvuddiagonalen: produkten av elementen är lika med

Andra triangeln, "vinkelrät mot huvuddiagonalen: produkten av elementen är lika med

Lägg ihop tre siffror:

Termer som kommer med ett minus

Detta är en sidodiagonal: produkten av elementen är lika med

Den första triangeln, "vinkelrätt mot den sekundära diagonalen: produkten av elementen är lika med

Den andra triangeln, "vinkelrät mot den sekundära diagonalen: produkten av elementen är lika med

Lägg ihop tre siffror:

Allt som återstår att göra är att subtrahera summan av "plus" termerna från summan av "minus" termer:

Således,

Som du kan se finns det inget komplicerat eller övernaturligt i att beräkna tredje ordningens determinanter. Det är bara viktigt att komma ihåg om trianglar och inte göra aritmetiska fel. Försök nu att räkna ut det själv:

Vi kontrollerar:

Den första triangeln vinkelrät mot huvuddiagonalen:
Andra triangeln vinkelrät mot huvuddiagonalen:
Summan av termer med plus:
Den första triangeln vinkelrät mot den sekundära diagonalen:
Andra triangeln vinkelrät mot sidodiagonalen:
Summan av termer med minus:
Summan av termerna med plus minus summan av termerna med minus:

Här är ytterligare ett par bestämningsfaktorer, beräkna deras värden själv och jämför dem med svaren:

Svar:

Nåväl, sammanföll allt? Bra, då kan du gå vidare! Om det finns svårigheter är mitt råd detta: på Internet finns det många program för att beräkna determinanten online. Allt du behöver är att komma på din egen determinant, räkna ut den själv och sedan jämföra den med vad programmet beräknar. Och så vidare tills resultaten börjar sammanfalla. Jag är säker på att det här ögonblicket inte kommer att ta lång tid att komma!

Låt oss nu gå tillbaka till determinanten som jag skrev ut när jag talade om ekvationen för ett plan som passerar genom tre givna poäng:

Allt du behöver är att beräkna dess värde direkt (med hjälp av triangelmetoden) och ställa in resultatet till noll. Naturligtvis, eftersom dessa är variabler, kommer du att få ett uttryck som beror på dem. Det är detta uttryck som kommer att vara ekvationen för ett plan som passerar genom tre givna punkter som inte ligger på samma räta linje!

Låt oss illustrera detta med ett enkelt exempel:

1. Konstruera ekvationen för ett plan som passerar genom punkterna

Vi sammanställer en determinant för dessa tre punkter:

Låt oss förenkla:

Nu beräknar vi det direkt med hjälp av triangelregeln:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ höger| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Således är ekvationen för planet som passerar genom punkterna:

Försök nu att lösa ett problem själv, och sedan kommer vi att diskutera det:

2. Hitta ekvationen för planet som passerar genom punkterna

Nåväl, låt oss nu diskutera lösningen:

Låt oss skapa en determinant:

Och beräkna dess värde:

Då har planets ekvation formen:

Eller, för att minska med, får vi:

Nu två uppgifter för självkontroll:

Konstruera ekvationen för ett plan som går genom tre punkter:

Svar:

Sammanföll allt? Återigen, om det finns vissa svårigheter, är mitt råd detta: ta tre punkter från ditt huvud (med en hög grad av sannolikhet kommer de inte att ligga på samma räta linje), bygg ett plan baserat på dem. Och så kollar du dig själv på nätet. Till exempel på webbplatsen:

Men med hjälp av determinanter kommer vi inte bara att konstruera planets ekvation. Kom ihåg att jag sa till dig att inte bara punktprodukt definieras för vektorer. Det finns också en vektorprodukt, såväl som en blandad produkt. Och om den skalära produkten av två vektorer är ett tal, kommer vektorprodukten av två vektorer att vara en vektor, och denna vektor kommer att vara vinkelrät mot de givna:

Dessutom kommer dess modul att vara lika med arean av ett parallellogram byggt på vektorerna och. Vi kommer att behöva denna vektor för att beräkna avståndet från en punkt till en linje. Hur kan vi beräkna vektorprodukten av vektorer och, om deras koordinater är givna? Den tredje ordningens bestämningsfaktor kommer till vår hjälp igen. Men innan jag går vidare till algoritmen för att beräkna vektorprodukten måste jag göra en liten utvikning.

Denna utvikning gäller basvektorer.

De visas schematiskt i figuren:

Varför tror du att de kallas basic? Faktum är att :

Eller på bilden:

Giltigheten av denna formel är uppenbar, eftersom:

Vektor konstverk

Nu kan jag börja introducera cross-produkten:

Vektorprodukten av två vektorer är en vektor, som beräknas enligt följande regel:

Låt oss nu ge några exempel på beräkning av korsprodukten:

Exempel 1: Hitta korsprodukten av vektorer:

Lösning: Jag skapar en determinant:

Och jag räknar ut det:

Nu från att skriva genom basvektorer, kommer jag att återgå till den vanliga vektornotationen:

Således:

Prova nu.

Redo? Vi kontrollerar:

Och traditionellt två uppgifter för kontroll:

Hitta vektorprodukten av följande vektorer:
Hitta vektorprodukten av följande vektorer:

Svar:

Blandad produkt av tre vektorer

Den sista konstruktionen jag behöver är den blandade produkten av tre vektorer. Det är, som en skalär, en siffra. Det finns två sätt att beräkna det. - genom en determinant, - genom en blandad produkt.

Låt oss nämligen ges tre vektorer:

Sedan kan den blandade produkten av tre vektorer, betecknade med, beräknas som:

1. - det vill säga den blandade produkten är skalärprodukten av en vektor och vektorprodukten av två andra vektorer

Till exempel är den blandade produkten av tre vektorer:

Försök att beräkna det själv med hjälp av vektorprodukten och se till att resultaten matchar!

Och återigen, två exempel på oberoende lösningar:

Svar:

Välja ett koordinatsystem

Nåväl, nu har vi all nödvändig kunskapsgrund för att lösa komplexa stereometriska geometriproblem. Men innan jag går direkt vidare till exempel och algoritmer för att lösa dem tror jag att det kommer att vara användbart att uppehålla sig vid följande fråga: hur exakt välj ett koordinatsystem för en viss figur. Det är trots allt valet av koordinatsystemets relativa position och figuren i rymden som i slutändan kommer att avgöra hur krångliga beräkningarna blir.

Låt mig påminna dig om att vi i det här avsnittet överväger följande siffror:

Rektangulär parallellepiped
Raka prisma (triangulärt, sexkantigt...)
Pyramid (triangulär, fyrkantig)
Tetraeder (samma som triangulär pyramid)

För en rektangulär parallellepiped eller kub rekommenderar jag följande konstruktion:

Det vill säga, jag kommer att placera figuren "i hörnet". Kuben och parallellepipeden är mycket bra siffror. För dem kan du alltid enkelt hitta koordinaterna för dess hörn. Till exempel, om (som visas i figuren)

då är koordinaterna för hörnen som följer:

Naturligtvis behöver du inte komma ihåg detta, men kom ihåg hur du bäst placerar kuben eller kubisk- önskvärt.

Raka prisma

Prismat är en mer skadlig figur. Den kan placeras i rymden på olika sätt. Följande alternativ verkar dock vara det mest acceptabla:

Trekantsprisma:

Det vill säga, vi placerar en av triangelns sidor helt på axeln, och en av hörnen sammanfaller med koordinaternas ursprung.

Hexagonalt prisma:

Det vill säga, en av hörnen sammanfaller med ursprunget, och en av sidorna ligger på axeln.

Fyrkantig och sexkantig pyramid:

Situationen liknar en kub: vi riktar in två sidor av basen med koordinataxlarna och riktar in en av hörnen med koordinaternas ursprung. Den enda lilla svårigheten kommer att vara att beräkna punktens koordinater.

För en hexagonal pyramid - samma som för ett hexagonalt prisma. Huvuduppgiften blir återigen att hitta koordinaterna för vertexet.

Tetraeder (triangulär pyramid)

Situationen är mycket lik den jag gav för ett triangulärt prisma: en vertex sammanfaller med origo, en sida ligger på koordinataxeln.

Nåväl, nu är du och jag äntligen nära att börja lösa problem. Av det jag sa i början av artikeln skulle du kunna dra följande slutsats: de flesta C2-problem är indelade i 2 kategorier: vinkelproblem och avståndsproblem. Först ska vi titta på problemen med att hitta en vinkel. De är i sin tur indelade i följande kategorier (i takt med att komplexiteten ökar):

Problem med att hitta vinklar

Hitta vinkeln mellan två raka linjer
Hitta vinkeln mellan två plan

Låt oss titta på dessa problem sekventiellt: låt oss börja med att hitta vinkeln mellan två raka linjer. Tja, kom ihåg, bestämde inte du och jag? liknande exempel tidigare? Kommer du ihåg att vi redan hade något liknande... Vi letade efter vinkeln mellan två vektorer. Låt mig påminna dig om att om två vektorer ges: och då hittas vinkeln mellan dem från relationen:

Nu är vårt mål att hitta vinkeln mellan två raka linjer. Låt oss titta på den "platta bilden":

Hur många vinklar fick vi när två räta linjer korsade varandra? Bara några saker. Det är sant att bara två av dem inte är lika, medan de andra är vertikala till dem (och därför sammanfaller med dem). Så vilken vinkel ska vi betrakta vinkeln mellan två räta linjer: eller? Här är regeln: vinkeln mellan två räta linjer är alltid inte mer än grader. Det vill säga, från två vinklar kommer vi alltid att välja vinkeln med minsta gradmått. Det vill säga i den här bilden är vinkeln mellan två raka linjer lika stor. För att inte bry sig varje gång med att hitta den minsta av två vinklar föreslog listiga matematiker att man skulle använda en modul. Således bestäms vinkeln mellan två räta linjer av formeln:

Du, som en uppmärksam läsare, borde ha haft en fråga: exakt var får vi dessa siffror som vi behöver för att beräkna cosinus för en vinkel? Svar: vi tar dem från linjernas riktningsvektorer! Algoritmen för att hitta vinkeln mellan två räta linjer är alltså följande:

Vi tillämpar formel 1.

Eller mer detaljerat:

Vi letar efter koordinaterna för riktningsvektorn för den första räta linjen
Vi letar efter koordinaterna för riktningsvektorn för den andra räta linjen
Vi beräknar modulen för deras skalära produkt
Vi letar efter längden på den första vektorn
Vi letar efter längden på den andra vektorn
Multiplicera resultatet av punkt 4 med resultatet av punkt 5
Vi dividerar resultatet av punkt 3 med resultatet av punkt 6. Vi får cosinus för vinkeln mellan linjerna
Om detta resultat tillåter oss att exakt beräkna vinkeln letar vi efter den
Annars skriver vi genom bågekosinus

Nåväl, nu är det dags att gå vidare till problemen: jag kommer att visa lösningen på de två första i detalj, jag kommer att presentera lösningen för en annan i i korthet, och för de två sista problemen kommer jag bara att ge svar, du måste själv utföra alla beräkningar för dem.

Uppgifter:

1. I den högra tet-ra-ed-re, hitta vinkeln mellan höjden på tet-ra-ed-ra och mittsidan.

2. I den högra sexhörniga pi-ra-mi-de, de hundra os-no-va-niyas är lika, och sidokanterna är lika, hitta vinkeln mellan linjerna och.

3. Längderna på alla kanterna på den högra fyrkols pi-ra-mi-dy är lika med varandra. Hitta vinkeln mellan de raka linjerna och om från snittet - du är med den givna pi-ra-mi-dy, är punkten se-re-di-på dess bo-co- andra revben

4. På kanten av kuben finns en punkt så att Hitta vinkeln mellan de räta linjerna och

5. Peka - på kubens kanter Hitta vinkeln mellan de raka linjerna och.

Det är ingen slump att jag ordnade uppgifterna i denna ordning. Medan du ännu inte har börjat navigera i koordinatmetoden, kommer jag att analysera de mest "problematiska" figurerna själv, och jag kommer att låta dig ta itu med den enklaste kuben! Gradvis måste du lära dig att arbeta med alla figurer, jag kommer att öka komplexiteten i uppgifterna från ämne till ämne.

Låt oss börja lösa problem:

1. Rita en tetraeder, placera den i koordinatsystemet som jag föreslog tidigare. Eftersom tetraedern är regelbunden är alla dess ytor (inklusive basen) regelbundna trianglar. Eftersom vi inte får längden på sidan kan jag ta det som lika. Jag tror att du förstår att vinkeln faktiskt inte kommer att bero på hur mycket vår tetraeder är "sträckt"?. Jag kommer också att rita höjden och medianen i tetraedern. Längs vägen kommer jag att rita dess bas (det kommer också att vara användbart för oss).

Jag måste hitta vinkeln mellan och. Vad vet vi? Vi känner bara till punktens koordinat. Det betyder att vi måste hitta punkternas koordinater. Nu tänker vi: en punkt är skärningspunkten för triangelns höjder (eller bisektrar eller medianer). Och en punkt är en upphöjd punkt. Punkten är mitten av segmentet. Då måste vi äntligen hitta: punkternas koordinater: .

Låt oss börja med det enklaste: koordinaterna för en punkt. Titta på figuren: Det är tydligt att tillämpningen av en punkt är lika med noll (punkten ligger på planet). Dess ordinata är lika (eftersom det är medianen). Det är svårare att hitta sin abskiss. Detta görs dock enkelt utifrån Pythagoras sats: Betrakta en triangel. Dess hypotenusa är lika, och ett av dess ben är lika. Då:

Äntligen har vi: .

Låt oss nu hitta punktens koordinater. Det är tydligt att dess applikat återigen är lika med noll, och dess ordinata är densamma som punktens, det vill säga. Låt oss hitta dess abskiss. Detta görs ganska trivialt om du kommer ihåg det höjderna av en liksidig triangel vid skärningspunkten delas i proportion, räknat från toppen. Eftersom: , då den nödvändiga abskissan för punkten, lika med längden på segmentet, är lika med: . Sålunda är punktens koordinater:

Låt oss hitta punktens koordinater. Det är tydligt att dess abskissa och ordinata sammanfaller med punktens abskissa och ordinata. Och applikationen är lika med längden på segmentet. - det här är ett av triangelns ben. Hypotenusan i en triangel är ett segment - ett ben. Det söks av skäl som jag har markerat i fetstil:

Punkten är mitten av segmentet. Sedan måste vi komma ihåg formeln för koordinaterna för segmentets mittpunkt:

Det är det, nu kan vi leta efter koordinaterna för riktningsvektorerna:

Tja, allt är klart: vi ersätter all data i formeln:

Således,

Svar:

Du bör inte skrämmas av sådana "läskiga" svar: för C2-uppgifter är detta vanligt. Jag skulle snarare bli förvånad över det "vackra" svaret i den här delen. Dessutom, som du märkte, tog jag praktiskt taget inte till något annat än Pythagoras sats och egenskapen för höjder i en liksidig triangel. Det vill säga, för att lösa det stereometriska problemet använde jag minimalt med stereometri. Vinsten i detta är delvis "släckt" av ganska krångliga beräkningar. Men de är ganska algoritmiska!

2. Låt oss rita rätt sexkantig pyramid tillsammans med koordinatsystemet, såväl som dess bas:

Vi måste hitta vinkeln mellan linjerna och. Vår uppgift handlar alltså om att hitta punkternas koordinater: . Vi kommer att hitta koordinaterna för de tre sista med hjälp av en liten ritning, och vi kommer att hitta koordinaten för vertex genom koordinaten för punkten. Det finns mycket att göra, men vi måste komma igång!

a) Koordinat: det är tydligt att dess applikat och ordinata är lika med noll. Låt oss hitta abskissan. För att göra detta, överväg en rätvinklig triangel. Ack, i den känner vi bara hypotenusan, som är lika. Vi kommer att försöka hitta benet (för det är tydligt att dubbel längd på benet kommer att ge oss abskissan av spetsen). Hur kan vi leta efter det? Låt oss komma ihåg vilken typ av figur vi har vid basen av pyramiden? Detta är en vanlig hexagon. Vad betyder det? Det betyder att alla sidor och alla vinklar är lika. Vi måste hitta en sådan vinkel. Några idéer? Det finns många idéer, men det finns en formel:

Summan av vinklarna för en regelbunden n-gon är .

Således är summan av vinklarna för en vanlig hexagon lika med grader. Då är var och en av vinklarna lika med:

Låt oss titta på bilden igen. Det är tydligt att segmentet är bisektrisen av vinkeln. Då är vinkeln lika med grader. Sedan:

Varifrån då.

Har alltså koordinater

b) Nu kan vi enkelt hitta punktens koordinat: .

c) Hitta punktens koordinater. Eftersom dess abskissa sammanfaller med segmentets längd är den lika. Att hitta ordinatan är inte heller särskilt svårt: om vi kopplar ihop prickarna och anger skärningspunkten för linjen som, säg, . (gör det själv enkel konstruktion). Då är ordinatan för punkt B lika med summan av segmentens längder. Låt oss titta på triangeln igen. Sedan

Sedan sedan Då har punkten koordinater

d) Låt oss nu hitta punktens koordinater. Betrakta rektangeln och bevisa att koordinaterna för punkten är:

e) Det återstår att hitta toppunktens koordinater. Det är tydligt att dess abskissa och ordinata sammanfaller med punktens abskissa och ordinata. Låt oss hitta applikationen. Sedan dess. Tänk på en rätvinklig triangel. Enligt villkoren för problemet, en sidokant. Detta är hypotenusan i min triangel. Då är höjden på pyramiden ett ben.

Då har punkten koordinater:

Tja, det är det, jag har koordinaterna för alla punkter som intresserar mig. Jag letar efter koordinaterna för riktningsvektorerna för räta linjer:

Vi letar efter vinkeln mellan dessa vektorer:

Svar:

Återigen, när jag löste detta problem använde jag inte några sofistikerade tekniker förutom formeln för summan av vinklarna för en regelbunden n-gon, såväl som definitionen av cosinus och sinus för en rätvinklig triangel.

3. Eftersom vi återigen inte får längden på kanterna i pyramiden, kommer jag att betrakta dem lika med en. Alltså, eftersom ALLA kanter, och inte bara sidorna, är lika med varandra, så finns det en kvadrat vid basen av pyramiden och jag, och sidoytorna är regelbundna trianglar. Låt oss rita en sådan pyramid, såväl som dess bas på ett plan, och notera alla data som ges i problemets text:

Vi letar efter vinkeln mellan och. Jag kommer att göra mycket korta beräkningar när jag söker efter punkternas koordinater. Du måste "dechiffrera" dem:

b) - mitten av segmentet. Dess koordinater:

c) Jag kommer att hitta längden på segmentet med hjälp av Pythagoras sats i en triangel. Jag kan hitta det med Pythagoras sats i en triangel.

Koordinater:

d) - mitten av segmentet. Dess koordinater är

e) Vektorkoordinater

f) Vektorkoordinater

g) Letar du efter vinkeln:

En kub är den enklaste figuren. Jag är säker på att du kommer att lösa det på egen hand. Svaren på problem 4 och 5 är följande:

Hitta vinkeln mellan en rät linje och ett plan

Tja, tiden för enkla pussel är förbi! Nu blir exemplen ännu mer komplicerade. För att hitta vinkeln mellan en linje och ett plan går vi tillväga enligt följande:

Med hjälp av tre punkter konstruerar vi en ekvation för planet
,
med hjälp av en tredje ordningens determinant.
Med hjälp av två punkter letar vi efter koordinaterna för den räta linjens riktningsvektor:
Vi använder formeln för att beräkna vinkeln mellan en rät linje och ett plan:

Som du kan se är denna formel mycket lik den vi använde för att hitta vinklar mellan två raka linjer. Strukturen på höger sida är helt enkelt densamma, och till vänster letar vi nu efter sinus, inte cosinus som tidigare. Nåväl, en otäck åtgärd lades till - att söka efter planets ekvation.

Låt oss inte skjuta upp exempel på lösningar:

1. Huvud-men-va-ni-em direkt prisma-vi är en lika-till-fattig triangel. Hitta vinkeln mellan den räta linjen och planet

2. I en rektangulär par-ral-le-le-pi-pe-de från väst Hitta vinkeln mellan den räta linjen och planet

3. I ett höger sexhörningsprisma är alla kanter lika. Hitta vinkeln mellan den räta linjen och planet.

4. I den högra triangulära pi-ra-mi-de med os-no-va-ni-em av de kända revbenen Hitta ett hörn, ob-ra-zo-van -platt i basen och rakt, som går genom det grå revben och

5. Längden på alla kanter på en rak fyrkantig pi-ra-mi-dy med en vertex är lika med varandra. Hitta vinkeln mellan den räta linjen och planet om punkten är på sidan av pi-ra-mi-dys kant.

Återigen kommer jag att lösa de två första problemen i detalj, det tredje kortfattat, och lämna de två sista för dig att lösa på egen hand. Dessutom har du redan haft att göra med triangulära och fyrkantiga pyramider, men ännu inte med prismor.

Lösningar:

1. Låt oss avbilda ett prisma, såväl som dess bas. Låt oss kombinera det med koordinatsystemet och notera alla data som ges i problemformuleringen:

Jag ber om ursäkt för viss bristande efterlevnad av proportionerna, men för att lösa problemet är detta i själva verket inte så viktigt. Planet är helt enkelt "bakväggen" i mitt prisma. Det räcker att helt enkelt gissa att ekvationen för ett sådant plan har formen:

Detta kan dock visas direkt:

Låt oss välja godtyckliga tre punkter på detta plan: till exempel .

Låt oss skapa ekvationen för planet:

Övning för dig: beräkna denna determinant själv. Lyckades du? Då ser planets ekvation ut så här:

Eller bara

Således,

För att lösa exemplet behöver jag hitta koordinaterna för den räta linjens riktningsvektor. Eftersom punkten sammanfaller med koordinaternas ursprung, kommer vektorns koordinater helt enkelt att sammanfalla med punktens koordinater. För att göra detta hittar vi först punktens koordinater.

För att göra detta, överväg en triangel. Låt oss rita höjden (även känd som medianen och bisektrisen) från vertexet. Eftersom ordinatan för punkten är lika med. För att hitta abskissan för denna punkt måste vi beräkna längden på segmentet. Enligt Pythagoras sats har vi:

Då har punkten koordinater:

En prick är en "upphöjd" prick:

Då är vektorkoordinaterna:

Svar:

Som du kan se är det inget i grunden svårt när man löser sådana problem. Faktum är att processen förenklas lite mer av "rakheten" hos en figur som ett prisma. Låt oss nu gå vidare till nästa exempel:

2. Rita en parallellepiped, rita ett plan och en rät linje i den, och rita också separat dess nedre bas:

Först hittar vi planets ekvation: Koordinaterna för de tre punkterna som ligger i det:

(de två första koordinaterna erhålls på ett självklart sätt, och du kan enkelt hitta den sista koordinaten från bilden från punkten). Sedan komponerar vi planets ekvation:

Vi beräknar:

Vi letar efter koordinaterna för den styrande vektorn: Det är tydligt att dess koordinater sammanfaller med punktens koordinater, eller hur? Hur hittar man koordinater? Dessa är punktens koordinater, upphöjda längs applikationsaxeln med en! . Sedan letar vi efter önskad vinkel:

Svar:

3. Rita en vanlig sexkantig pyramid och rita sedan ett plan och en rak linje i den.

Här är det till och med problematiskt att rita ett plan, för att inte tala om att lösa det här problemet, men koordinatmetoden bryr sig inte! Dess mångsidighet är dess främsta fördel!

Planet passerar genom tre punkter: . Vi letar efter deras koordinater:

1) . Ta reda på koordinaterna för de två sista punkterna själv. Du måste lösa det hexagonala pyramidproblemet för detta!

2) Vi konstruerar ekvationen för planet:

Vi letar efter koordinaterna för vektorn: . (Se problemet med triangulära pyramid igen!)

3) Letar du efter en vinkel:

Svar:

Som du kan se finns det inget övernaturligt svårt i dessa uppgifter. Du behöver bara vara mycket försiktig med rötterna. Jag kommer bara att ge svar på de två sista problemen:

Som du kan se är tekniken för att lösa problem densamma överallt: huvuduppgiften är att hitta koordinaterna för hörn och ersätta dem med vissa formler. Vi måste fortfarande överväga ytterligare en klass av problem för att beräkna vinklar, nämligen:

Beräkna vinklar mellan två plan

Lösningsalgoritmen kommer att vara följande:

Med hjälp av tre punkter letar vi efter ekvationen för det första planet:
Med hjälp av de andra tre punkterna letar vi efter ekvationen för det andra planet:
Vi tillämpar formeln:

Som du kan se är formeln väldigt lik de två tidigare, med hjälp av vilken vi letade efter vinklar mellan räta linjer och mellan en rät linje och ett plan. Så det kommer inte att vara svårt för dig att komma ihåg den här. Låt oss gå vidare till analysen av uppgifterna:

1. Sidan på basen av det högra triangulära prismat är lika, och diagonalen på sidoytan är lika. Hitta vinkeln mellan planet och planet för prismats axel.

2. I den högra fyrhörniga pi-ra-mi-de, vars alla kanter är lika, hitta sinus för vinkeln mellan planet och det plana benet, som går genom punkten per-pen-di-ku- lyar-men rak.

3. I ett vanligt fyrhörningsprisma är basens sidor lika, och sidokanterna lika. Det finns en punkt på kanten from-me-che-on så att. Hitta vinkeln mellan planen och

4. I ett rakt fyrkantigt prisma är basens sidor lika och sidokanterna lika. Det finns en punkt på kanten från punkten så att Hitta vinkeln mellan planen och.

5. I en kub, hitta co-sinus för vinkeln mellan planen och

Problemlösningar:

1. Jag ritar ett regelbundet (en liksidig triangel vid basen) triangulärt prisma och markerar på det planen som visas i problemformuleringen:

Vi måste hitta ekvationerna för två plan: Ekvationen för basen är trivial: du kan komponera motsvarande determinant med hjälp av tre punkter, men jag kommer att komponera ekvationen direkt:

Låt oss nu hitta ekvationen Punkt har koordinater Punkt - Eftersom är triangelns median och höjd är den lätt att hitta med hjälp av Pythagoras sats i triangeln. Då har punkten koordinater: Låt oss hitta punktens applikation. För att göra detta, betrakta en rätvinklig triangel

Då får vi följande koordinater: Vi komponerar ekvationen för planet.

Vi beräknar vinkeln mellan planen:

Svar:

2. Göra en ritning:

Det svåraste är att förstå vilken typ av mystiskt plan detta är, som passerar vinkelrätt genom punkten. Tja, huvudsaken är, vad är det? Huvudsaken är uppmärksamhet! Faktum är att linjen är vinkelrät. Den raka linjen är också vinkelrät. Då kommer planet som passerar genom dessa två linjer att vara vinkelrätt mot linjen och förresten passera genom punkten. Detta plan passerar också genom toppen av pyramiden. Sedan det önskade planet - Och planet har redan getts till oss. Vi letar efter punkternas koordinater.

Vi hittar punktens koordinat genom punkten. Av den lilla bilden är det lätt att sluta sig till att punktens koordinater blir följande: Vad återstår nu att hitta för att hitta koordinaterna för pyramidens topp? Du måste också beräkna dess höjd. Detta görs med samma Pythagoras sats: bevisa först det (trivialt från små trianglar som bildar en kvadrat vid basen). Eftersom vi tillstånd har:

Nu är allt klart: vertexkoordinater:

Vi komponerar ekvationen för planet:

Du är redan expert på att beräkna determinanter. Utan svårighet får du:

Eller på annat sätt (om vi multiplicerar båda sidor med roten av två)

Låt oss nu hitta ekvationen för planet:

(Du har inte glömt hur vi får ekvationen för ett plan, eller hur? Om du inte förstår var den här minusen kom ifrån, gå tillbaka till definitionen av ekvationen för ett plan! Det visade sig alltid innan dess mitt plan tillhörde ursprunget till koordinaterna!)

Vi beräknar determinanten:

(Du kanske märker att ekvationen för planet sammanfaller med ekvationen för linjen som passerar genom punkterna och! Tänk på varför!)

Låt oss nu beräkna vinkeln:

Vi måste hitta sinus:

Svar:

3. Knepig fråga: vad tror du att ett rektangulärt prisma är? Det här är bara en parallellepiped som du känner väl! Låt oss göra en teckning direkt! Du behöver inte ens avbilda basen separat; den är till liten nytta här:

Planet, som vi noterade tidigare, är skrivet i form av en ekvation:

Låt oss nu skapa ett plan

Vi skapar omedelbart ekvationen för planet:

Letar efter en vinkel:

Nu svaren på de två sista problemen:

Nåväl, nu är det dags att ta en liten paus, för du och jag är fantastiska och har gjort ett bra jobb!

Koordinater och vektorer. Avancerad nivå

I den här artikeln kommer vi att diskutera med dig en annan klass av problem som kan lösas med hjälp av koordinatmetoden: avståndsberäkningsproblem. Vi kommer nämligen att överväga följande fall:

Beräkning av avståndet mellan skärande linjer.

Jag har beställt dessa uppdrag i ordning efter ökande svårighetsgrad. Det visar sig vara lättast att hitta avstånd från punkt till plan, och det svåraste är att hitta avståndet mellan korsande linjer. Även om inget är omöjligt såklart! Låt oss inte skjuta upp och omedelbart fortsätta att överväga den första klassen av problem:

Beräkna avståndet från en punkt till ett plan

Vad behöver vi för att lösa detta problem?

1. Punktkoordinater

Så, så snart vi får all nödvändig information, tillämpar vi formeln:

Du borde redan veta hur vi konstruerar ekvationen för ett plan från de tidigare problemen som jag diskuterade i den sista delen. Låt oss gå direkt till uppgifterna. Schemat är som följer: 1, 2 - Jag hjälper dig att bestämma, och i detalj, 3, 4 - bara svaret, du utför lösningen själv och jämför. Låt oss börja!

Uppgifter:

1. Givet en kub. Längden på kubens kant är lika. Hitta avståndet från se-re-di-na från snittet till planet

2. Givet rätt fyrkol pi-ra-mi-ja, sidan av sidan är lika med basen. Hitta avståndet från punkten till planet där - se-re-di-på kanterna.

3. I den högra triangulära pi-ra-mi-de med os-no-va-ni-em är sidokanten lika, och hundra-ro-på os-no-vania lika. Hitta avståndet från toppen till planet.

4. I ett rätt hexagonalt prisma är alla kanter lika. Hitta avståndet från en punkt till ett plan.

Lösningar:

1. Rita en kub med enstaka kanter, konstruera ett segment och ett plan, markera mitten av segmentet med en bokstav

Låt oss först börja med det enkla: hitta punktens koordinater. Sedan dess (kom ihåg koordinaterna för mitten av segmentet!)

Nu komponerar vi planets ekvation med hjälp av tre punkter

\[\vänster| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

Nu kan jag börja hitta avståndet:

2. Vi börjar om med en ritning där vi markerar all data!

För en pyramid skulle det vara användbart att rita sin bas separat.

Inte ens det faktum att jag ritar som en kyckling med sin tass kommer inte att hindra oss från att lösa detta problem med lätthet!

Nu är det lätt att hitta koordinaterna för en punkt

Eftersom punktens koordinater alltså

2. Eftersom koordinaterna för punkt a är mitten av segmentet, alltså

Utan några problem kan vi hitta koordinaterna för ytterligare två punkter på planet. Vi skapar en ekvation för planet och förenklar den:

\[\vänster| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

Eftersom punkten har koordinater: , beräknar vi avståndet:

Svar (mycket sällsynt!):

Nåväl, kom du på det? Det verkar för mig att allt här är precis lika tekniskt som i exemplen som vi tittade på i föregående del. Så jag är säker på att om du behärskar det materialet, så kommer det inte att vara svårt för dig att lösa de återstående två problemen. Jag ska bara ge dig svaren:

Beräkna avståndet från en rak linje till ett plan

Det är faktiskt inget nytt här. Hur kan en rät linje och ett plan placeras i förhållande till varandra? De har bara en möjlighet: att skära varandra, eller en rät linje är parallell med planet. Vad tror du är avståndet från en rät linje till det plan som denna räta linje skär? Det förefaller mig som att det är tydligt här att ett sådant avstånd är lika med noll. Inget intressant fall.

Det andra fallet är svårare: här är avståndet redan från noll. Men eftersom linjen är parallell med planet, är varje punkt på linjen på samma avstånd från detta plan:

Således:

Det betyder att min uppgift har reducerats till den föregående: vi letar efter koordinaterna för vilken punkt som helst på en rät linje, letar efter ekvationen för planet och beräknar avståndet från punkten till planet. I själva verket är sådana uppgifter extremt sällsynta i Unified State Examination. Jag lyckades hitta bara ett problem, och uppgifterna i det var sådana att koordinatmetoden inte var särskilt tillämplig på det!

Låt oss nu gå vidare till en annan, mycket viktigare klass av problem:

Beräkna avståndet från en punkt till en linje

Vad behöver vi?

1. Koordinater för den punkt från vilken vi letar efter avståndet:

2. Koordinater för en punkt som ligger på en linje

3. Koordinater för den räta linjens riktningsvektor

Vilken formel använder vi?

Vad nämnaren för detta bråk betyder bör vara klart för dig: detta är längden på den räta linjens riktande vektor. Detta är en väldigt knepig räkneapparat! Uttrycket betyder modulen (längden) för vektorprodukten av vektorer och Hur man beräknar vektorprodukten, studerade vi i föregående del av arbetet. Uppdatera dina kunskaper, vi kommer att behöva det väldigt mycket nu!

Således kommer algoritmen för att lösa problem vara följande:

1. Vi letar efter koordinaterna för den punkt från vilken vi letar efter avståndet:

2. Vi letar efter koordinaterna för valfri punkt på linjen till vilken vi letar efter avståndet:

3. Konstruera en vektor

4. Konstruera en riktningsvektor av en rät linje

5. Beräkna vektorprodukten

6. Vi letar efter längden på den resulterande vektorn:

7. Beräkna avståndet:

Vi har mycket att göra, och exemplen kommer att vara ganska komplexa! Så fokusera nu all din uppmärksamhet!

1. Givet en rät triangulär pi-ra-mi-da med en topp. Hundra-ro-på basis av pi-ra-mi-dy är lika, du är lika. Hitta avståndet från den grå kanten till den raka linjen, där pekar och är de grå kanterna och från veterinär.

2. Längden på revbenen och den raka vinkeln-no-go par-ral-le-le-pi-pe-da är lika i enlighet därmed och Hitta avståndet från toppen till den raka linjen

3. I ett rät hexagonalt prisma är alla kanter lika, hitta avståndet från en punkt till en rät linje

Lösningar:

1. Vi gör en snygg ritning där vi markerar alla data:

Vi har mycket att göra! Först skulle jag vilja beskriva i ord vad vi kommer att leta efter och i vilken ordning:

1. Koordinater för punkter och

2. Punktkoordinater

3. Koordinater för punkter och

4. Koordinater för vektorer och

5. Deras korsprodukt

6. Vektorlängd

7. Längd på vektorprodukten

8. Avstånd från till

Nåväl, vi har mycket arbete framför oss! Låt oss komma till det med uppkavlade ärmar!

1. För att hitta koordinaterna för pyramidens höjd måste vi känna till punktens koordinater. Dess applikat är noll och dess ordinata är lika med abskissan är lika med längden på segmentet. Eftersom är höjden på en liksidig triangel, delas den i förhållandet, räknat från spetsen, härifrån. Till sist fick vi koordinaterna:

Punktkoordinater

2. - mitten av segmentet

3. - mitten av segmentet

Segmentets mittpunkt

4.Koordinater

Vektorkoordinater

5. Beräkna vektorprodukten:

6. Vektorlängd: det enklaste sättet att ersätta är att segmentet är triangelns mittlinje, vilket betyder att det är lika med halva basen. Så.

7. Beräkna längden på vektorprodukten:

8. Slutligen hittar vi avståndet:

Usch, det är det! Jag ska säga dig ärligt: att lösa detta problem med traditionella metoder (genom konstruktion) skulle vara mycket snabbare. Men här reducerade jag allt till en färdig algoritm! Jag tror att lösningsalgoritmen är tydlig för dig? Därför kommer jag att be dig lösa de återstående två problemen själv. Låt oss jämföra svaren?

Återigen, jag upprepar: det är lättare (snabbare) att lösa dessa problem genom konstruktioner, snarare än att tillgripa koordinatmetoden. Jag demonstrerade den här lösningsmetoden bara för att visa dig en universell metod som låter dig "inte bygga färdigt någonting."

Tänk slutligen på den sista klassen av problem:

Beräkna avståndet mellan korsande linjer

Här kommer algoritmen för att lösa problem att likna den föregående. Det vi har:

3. Vilken vektor som helst som förbinder punkterna på den första och andra linjen:

Hur hittar vi avståndet mellan linjerna?

Formeln är följande:

Täljaren är modulen för den blandade produkten (vi introducerade den i föregående del), och nämnaren är, som i föregående formel (modulen för vektorprodukten av riktningsvektorerna för de räta linjerna, avståndet mellan vilka vi letar efter).

Jag ska påminna dig om det

Sedan formeln för avståndet kan skrivas om som:

Detta är en determinant dividerad med en determinant! Även om jag ärligt talat inte har tid för skämt här! Denna formel är i själva verket mycket besvärlig och leder till ganska komplicerade beräkningar. Om jag var du skulle jag bara ta till det som en sista utväg!

Låt oss försöka lösa några problem med metoden ovan:

1. I ett rätvinkligt triangulärt prisma, vars alla kanter är lika, hitta avståndet mellan de räta linjerna och.

2. Givet ett rätvinkligt triangulärt prisma är alla kanter på basen lika med sektionen som passerar genom kroppsribban och se-re-di-well revben är en kvadrat. Hitta avståndet mellan de raka linjerna och

Jag bestämmer det första, och utifrån det bestämmer du det andra!

1. Jag ritar ett prisma och markerar raka linjer och

Koordinater för punkt C: då

Punktkoordinater

Vektorkoordinater

Punktkoordinater

Vektorkoordinater

\[\left((B,\överhögerpil (A(A_1)) \överhögerpil (B(C_1)) ) \höger) = \vänster| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Vi beräknar vektorprodukten mellan vektorer och

\[\överhögerpil (A(A_1)) \cdot \överhögerpil (B(C_1)) = \vänster| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\överhögerpil k + \frac(1)(2)\överhögerpil i \]

Nu beräknar vi dess längd:

Svar:

Försök nu att slutföra den andra uppgiften noggrant. Svaret på det blir: .

Koordinater och vektorer. Kort beskrivning och grundläggande formler

En vektor är ett riktat segment. - början av vektorn, - slutet av vektorn.
En vektor betecknas med eller.

Absolutvärde vektor - längden på segmentet som representerar vektorn. Betecknas som.

Vektorkoordinater:

,
var är ändarna på vektorn \displaystyle a .

Summan av vektorer: .

Produkt av vektorer:

Punktprodukt av vektorer:

Den skalära produkten av vektorer är lika med produkten av deras absoluta värden och cosinus för vinkeln mellan dem:

DE ÅTERSTÅENDE 2/3 ARTIKLAR ÄR ENDAST TILLGÄNGLIGA FÖR DINA STUDENTER!

Bli en YouClever-student,

Förbered dig för Unified State Exam eller Unified State Exam i matematik till priset av "en kopp kaffe per månad",

Och få även obegränsad tillgång till "YouClever"-läroboken, "100gia"-förberedelseprogrammet (lösarbok), ett obegränsat prov på Unified State Exam och Unified State Exam, 6000 problem med analys av lösningar och andra YouClever- och 100gia-tjänster.

En vektor är en storhet som kännetecknas av dess numeriska värde och riktning. Med andra ord är en vektor ett riktat segment. Placera vektor AB i rymden ges av koordinaterna för ursprungspunkten vektor A och slutpunkter vektor B. Låt oss titta på hur man bestämmer koordinaterna för mittpunkten vektor.

Instruktioner

Låt oss först definiera början och slutbeteckningarna. vektor. Om vektorn skrivs som AB, är punkt A origo vektor, och punkt B är slutet. Och vice versa, för vektor BA punkt B är början vektor, och punkt A är slutet. Låt oss ges en vektor AB med koordinaterna för origo vektor A = (a1, a2, a3) och slut vektor B = (bl, b2, b3). Sedan koordinaterna vektor AB blir som följer: AB = (b1 – a1, b2 – a2, b3 – a3), d.v.s. från ändkoordinaten vektor det är nödvändigt att subtrahera motsvarande ursprungskoordinat vektor. Längd vektor AB (eller dess modul) beräknas som kvadratroten av summan av kvadraterna av dess koordinater: |AB| = ?((b1 – a1)^2 + (b2 – a2)^2 + (b3 – a3)^2).

Hitta koordinaterna för punkten som är mitten vektor. Låt oss beteckna det med bokstaven O = (o1, o2, o3). Koordinaterna för mitten hittas vektor samma som koordinaterna för mitten av ett regelbundet segment, enligt följande formler: o1 = (a1 + b1)/2, o2 = (a2 + b2)/2, o3 = (a3 + b3)/2. Låt oss hitta koordinaterna vektor AO: AO = (o1 – a1, o2 – a2, o3 – a3) = ((b1 – a1)/2, (b2 – a2)/2, (b3 – a3)/2).

Låt oss titta på ett exempel. Låt vektorn AB ges med koordinaterna för origo vektor A = (1, 3, 5) och slut vektor B = (3, 5, 7). Sedan koordinaterna vektor AB kan skrivas som AB = (3 – 1, 5 – 3, 7 – 5) = (2, 2, 2). Låt oss hitta modulen vektor AB: |AB| = ?(4 + 4 + 4) = 2 * ?3. Angivet längdvärde vektor kommer att hjälpa oss att ytterligare verifiera riktigheten av koordinaterna för mitten vektor. Därefter hittar vi koordinaterna för punkt O: O = ((1 + 3)/2, (3 + 5)/2, (5 + 7)/2) = (2, 4, 6). Sedan koordinaterna vektor AO beräknas som AO = (2 – 1, 4 – 3, 6 – 5) = (1, 1, 1).

Låt oss kolla. Längd vektor AO = A(1 + 1 + 1) = A3. Kom ihåg att längden på originalet vektorär lika med 2 * ?3, dvs. halv vektor verkligen lika med halva längden av originalet vektor. Låt oss nu beräkna koordinaterna vektor OB: OB = (3 – 2, 5 – 4, 7 – 6) = (1, 1, 1). Låt oss hitta summan av vektorerna AO och OB: AO + OB = (1 + 1, 1 + 1, 1 + 1) = (2, 2, 2) = AB. Därför koordinaterna för mitten vektor hittades korrekt.

Användbara råd

Efter att ha beräknat koordinaterna för mitten av vektorn, se till att utföra åtminstone den enklaste kontrollen - beräkna längden på vektorn och jämför den med längden på den givna vektorn.

Total:0
I kontakt med 0
Google+ 0
OK 0
Facebook 0

Koordinater för mitten av vektorn i rymden. Vektorer för dummies

Vektor koncept. Gratis vektor

Åtgärder med vektorer. Kolinearitet av vektorer

Regeln för att lägga till vektorer med hjälp av triangelregeln

Vilka vektorer är lika?

Vektorkoordinater på planet och i rymden

De enklaste problemen med analytisk geometri.Åtgärder med vektorer i koordinater

Hur hittar man en vektor från två punkter?

Hur hittar man längden på ett segment?

Hur hittar man längden på en vektor?

KOORDINATER OCH VEKTORER. GENOMSNITTLIG NIVÅ

Ekvation för ett plan som passerar genom tre givna punkter

Vektor konstverk

Blandad produkt av tre vektorer

Välja ett koordinatsystem

Raka prisma

Trekantsprisma:

Hexagonalt prisma:

Fyrkantig och sexkantig pyramid:

Tetraeder (triangulär pyramid)

Hitta vinkeln mellan en rät linje och ett plan

Beräkna vinklar mellan två plan

Koordinater och vektorer. Avancerad nivå

Beräkna avståndet från en punkt till ett plan

Beräkna avståndet från en rak linje till ett plan

Beräkna avståndet från en punkt till en linje

Beräkna avståndet mellan korsande linjer

Koordinater och vektorer. Kort beskrivning och grundläggande formler

DE ÅTERSTÅENDE 2/3 ARTIKLAR ÄR ENDAST TILLGÄNGLIGA FÖR DINA STUDENTER!

Instruktioner

De enklaste problemen med analytisk geometri.
Åtgärder med vektorer i koordinater