Igas reaalkoefitsiendiga kuupvõrrandis on olemas vähemaltüks pärisjuur, ülejäänud kaks on samuti reaalsed või on keerulised konjugaadid.
Alustame ülevaadet kõige lihtsamate juhtumitega - binoom ja tagastatav võrrandid. Seejärel pöördume ratsionaalsete juurte leidmise poole (kui neid on). Lõpetame näitega kuupvõrrandi juurte leidmise kohta kasutades Cardano valemüldise juhtumi jaoks.
Leheküljel navigeerimine.
Kaheliikmelise kuupvõrrandi lahendus.
Kaheliikmelisel kuupvõrrandil on vorm .
See võrrand taandatakse kujule, jagades koefitsiendiga A, mis erineb nullist. Järgmisena rakendatakse kuubikute summa lühendatud korrutamise valemit: 
Esimesest sulust leiame , ja ruudu kolmiku 
on ainult keerulised juured.
Näide.
Leidke kuupvõrrandi tegelikud juured.
Otsus.
Kasutame kuubikute erinevuse lühendatud korrutamise valemit: 
Esimesest sulust, mille leiame, pole teises sulus oleval ruuttrinoomil tegelikke juuri, kuna selle diskriminant on negatiivne.
Vastus:
Vastastikuse kuupvõrrandi lahendus.
Vastastikune kuupvõrrand on kujul , kus A ja B on koefitsiendid.
Rühmitame:
Ilmselt on x \u003d -1 sellise võrrandi juur ja saadud ruutkolminoomi juur 
on kergesti leitavad diskriminandi kaudu.
Näide.
Lahendage kuupvõrrand 
.
Otsus.
See võrrand on vastastikune. Rühmitame: 
Ilmselt on x = -1 võrrandi juur.
Ruuttrinoomi juurte leidmine: 
Vastus:
Ratsionaaljuurtega kuupvõrrandite lahendamine.
Alustame kõige lihtsamast juhtumist, kui x=0 on kuupvõrrandi juur.
Sel juhul on vaba liige D võrdne nulliga, see tähendab, et võrrandil on vorm 
.
Kui võtta sulgudest x välja, siis jääb sulgudesse ruuttrinoom, mille juuri on lihtne leida kas diskriminandi või Vieta teoreemi abil 
.
Näide.
Leidke võrrandi tegelikud juured 
.
Otsus.
x=0 on võrrandi juur. Leiame ruudukujulise trinoomi juured.
Kuna selle diskriminant on nullist väiksem, pole trinoomil tegelikke juuri.
Vastus:
x=0.
Kui kuupvõrrandi koefitsiendid on täisarvud, võivad võrrandil olla ratsionaalsed juured.
Korrutame võrrandi mõlemad pooled arvuga ja muudame muutujaid y = Ax: 
Jõudsime ülaltoodud kuupvõrrandini. Sellel võivad olla täisarvu juured, mis on vaba termini jagajad. Seega kirjutame välja kõik jagajad ja hakkame neid saadud võrrandisse asendama, kuni saadakse identne võrdsus. Jagaja, millega identsus saadakse, on võrrandi juur. Seetõttu on algse võrrandi juur .
Näide.
Leia kuupvõrrandi juured.
Otsus.
Teisendame võrrandi antud võrrandiks: korrutame mõlema osaga ja muudame muutujat y = 2x . 
Vabaliige on 36 . Paneme kirja kõik selle jagajad: .
Asendage need ükshaaval võrdsusega 
enne identiteedi saamist: 
Seega y = -1 on juur. See sobib temaga.
Jagame 
kasutamise kohta:
Saame 
Jääb leida ruudukujulise trinoomi juured.
See on ilmne 
st selle mitmejuur on x=3 .
Vastus:
.
kommenteerida.
Seda algoritmi saab kasutada vastastikuste võrrandite lahendamiseks. Kuna -1 on iga korduva kuupvõrrandi juur, saame algse võrrandi vasaku poole jagada x + 1-ga ja leida saadud ruuttrinoomi juured.
Juhul, kui kuupvõrrandil pole ratsionaalseid juuri, kasutatakse muid lahendusviise, näiteks spetsiifilisi meetodeid.
Kuupvõrrandite lahendamine Cardano valemiga.
Üldjuhul leitakse kuupvõrrandi juured Cardano valemi abil.
Kuupvõrrandi jaoks leitakse väärtused 
. Järgmisena leiame 
ja 
.
Saadud p ja q asendame Cardano valemiga: 
Vormel Cardano
Sild
Odessa
Vaidlused keskajal on alati olnud huvitav vaatemäng, mis tõmbab ligi jõude seisvaid linlasi, nii noori kui vanu. Arutelude teemad olid mitmekesised, kuid tingimata teaduslikud. Samas tähendas teadus seda, mis nn seitsme vaba kunsti hulka arvati, oli loomulikult teoloogia. Teoloogilised vaidlused olid kõige sagedasemad. Nad vaidlesid kõige üle. Näiteks selle kohta, kas kinnitada hiir Püha Vaimu külge, kui ta sakramenti sööb, kas Cuma Sibyl võiks ennustada Jeesuse Kristuse sündi, miks Päästja vendi ja õdesid ei kuulutatud pühakuks jne.
Vaidluse kohta, mis pidi aset leidma kuulsa matemaatiku ja mitte vähem kuulsa arsti vahel, avaldati ainult kõige üldisemaid oletusi, kuna keegi ei teadnud tegelikult midagi. Räägiti, et üks pettis teist (kes täpselt ja keda täpselt pole teada). Peaaegu kõigil platsile kogunutel olid matemaatikast kõige ebamäärasemad ettekujutused, kuid kõik ootasid põnevusega vaidluse algust. Alati oli huvitav, kaotaja üle sai naerda, olenemata sellest, kas tal oli õigus või vale.
Kui raekoja kell lõi viis, avanesid väravad pärani ja rahvas tormas katedraali sisse. Mõlemal pool altari sissepääsu ühendavat keskjoont püstitati kaks külgsammast kõrged toolid mõeldud väitlejatele. Kohalviibijad tegid kõva lärmi, pööramata tähelepanu sellele, et nad olid kirikus. Lõpuks ilmus ikonostaasi ülejäänud kesklöövist eraldava raudresti ette musta ja lilla mantliga linnahüüdja, kes kuulutas: „Auväärsed Milano linna kodanikud! Nüüd räägib teie ees kuulus matemaatik Niccolò Tartaglia Breniast. Tema vastaseks pidi saama matemaatik ja arst Geronimo Cardano. Niccolo Tartaglia süüdistab Cardanot selles, et ta avaldas oma raamatus "Ars magna" viimasena meetodi talle, Tartagliale, kuuluva 3. astme võrrandi lahendamiseks. Cardano ise aga vaidlusele tulla ei saanud ja saatis seetõttu oma õpilase Luige Ferrari. Niisiis kuulutatakse arutelu avatuks, selle osalejad kutsutakse toolidele. Sissepääsust vasakule kantslisse ronis kohmetu konksu nina ja lokkis habemega mees ning vastaspoolsesse kantslisse tõusis kena, enesekindla näoga paarikümnendates eluaastates noormees. Kogu tema käitumine näitas täielikku kindlustunnet, et iga tema žest ja iga sõna võetakse rõõmuga vastu.
Tartaglia algas.
Daamid ja härrad! Teate, et 13 aastat tagasi õnnestus mul leida viis 3. astme võrrandi lahendamiseks ja siis võitsin seda meetodit kasutades vaidluse Fioriga. Minu meetod äratas teie kaaskodaniku Cardano tähelepanu ja ta kasutas kogu oma kavalat kunsti, et minult saladus välja tõmmata. Ta ei piirdunud pettuse ega otsese võltsimisega. Teate ka seda, et 3 aastat tagasi ilmus Nürnbergis Cardano raamat algebra reeglitest, kus minu nii häbematult varastatud meetod kõigile kättesaadavaks tehti. Kutsusin Cardano ja tema õpilase matšile. Pakkusin 31 ülesande lahendamist, sama palju pakkusid mulle ka vastased. Probleemide lahendamise tähtaeg oli 15 päeva. Sain 7 päevaga hakkama enamus need probleemid, mille koostasid Cardano ja Ferrari. Printisin need välja ja saatsin kulleriga Milanosse. Pidin aga ootama tervelt viis kuud, kuni sain oma probleemidele vastused. Need ei olnud õiged. See andis mulle põhjuse esitada mõlemad avalikule arutelule.
Tartaglia vaikis. Õnnetut Tartagliat vaadates ütles noormees:
Daamid ja härrad! Minu väärikas vastane lubas endale juba oma kõne esimestes sõnades nii palju laimu minu ja mu õpetaja vastu avaldada, tema argument oli nii alusetu, et vaevalt võtan vaevaks esimese ümberlükkamine ja teise ebakõla näitamine. Esiteks, millisest pettusest saab rääkida, kui Niccolo Tartaglia jagas oma meetodit täiesti vabatahtlikult meie mõlemaga? Ja siin on see, kuidas Geronimo Cardano kirjutab minu vastase rollist algebralise reegli avastamisel. Ta ütleb, et mitte temale, Cardanole, „vaid mu sõbrale Tartagliale ei kuulu au avastada nii kaunis ja hämmastav asi, mis ületab inimliku vaimukuse ja kõik inimvaimu anded. See avastus on tõesti taevane kingitus, nii suurepärane tõend seda mõistnud mõistuse jõust, et midagi ei saa pidada selle jaoks kättesaamatuks.
Mu vastane süüdistas mind ja mu õpetajat väidetavalt tema probleemidele vale lahenduse leidmises. Aga kuidas saab võrrandi juur olla vale, kui selle võrrandisse asendades ja kõiki selles võrrandis ette nähtud toiminguid sooritades jõuame identiteedile? Ja juba siis, kui Senor Tartaglia tahab olla järjekindel, siis pidi ta vastama märkusele, miks meie, kes varastasime, aga tema sõnul tema leiutis ja selle väljapakutud probleemide lahendamisel kasutasime vale lahenduse. Meie – minu õpetaja ja mina – ei pea aga signor Tartaglia leiutist tähtsusetuks. See leiutis on imeline. Pealegi leidsin talle tugevalt toetudes võimaluse lahendada 4. astme võrrand ja "Ars magnas" räägib sellest mu õpetaja. Mida Senor Tartaglia meilt tahab? Mida ta vaidlemisega saavutada püüab?
Härrased, härrased, - hüüdis Tartaglia, - ma palun teil mind kuulata! Ma ei salga, et mu noor vastane on loogiliselt ja sõnaosavuselt väga tugev. Kuid see ei saa asendada tõelist matemaatilist tõestust. Ülesanded, mis ma Cardanole ja Ferrarile andsin, pole õigesti lahendatud, kuid ma tõestan seda. Tõepoolest, võtame näiteks võrrandi nende hulgast, kes on selle lahendanud. On teada...
Kirikus tekkis kujuteldamatu müra, mis neelas õnnetu matemaatiku alustatud lause lõpu täielikult alla. Tal ei lastud jätkata. Rahvas nõudis, et ta vait jääks ja pööre antaks Ferrarile. Tartaglia, nähes, et vaidluse jätkamine on täiesti kasutu, laskus kähku kantslist alla ja läks põhjapoolse veranda kaudu väljakule. Publik rõõmustas debati "võitjat" Luigi Ferrarit.
... Nii lõppes see vaidlus, mis tekitab üha uusi vaidlusi ka praegu. Kellele tegelikult kuulub 3. astme võrrandi lahendamise viis? Me räägime praegu - Niccolo Tartaglia. Ta avastas ja Cardano meelitas selle avastuse temast välja. Ja kui nüüd nimetada valemit, mis esindab 3. astme võrrandi juuri oma koefitsientide kaudu, Cardano valemiks, siis on see ajalooline ebaõiglus. Siiski, kas see on ebaõiglane? Kuidas arvutada iga matemaatiku avastamisel osalemise mõõt? Võib-olla suudab keegi aja jooksul sellele küsimusele kindlasti vastata või võib-olla jääb see saladuseks ...
Vormel Cardano
Kui kasutada nüüdisaegset matemaatilist keelt ja kaasaegset sümboolikat, siis Cardano valemi tuletise saab leida järgmiselt. kõrgeim aste elementaarsed kaalutlused:
Olgu meile antud 3. astme üldvõrrand:
ax 3 +3bx 2 +3cx+d=0 (1)
Kui paneme
, siis anname võrrandi (1) mõistusele
(2) , .Tutvustame uut tundmatut U kasutades võrdsust
.Tuuestades selle väljendi sisse (2) , saame
(3) ,seega
Kui teise liikme lugeja ja nimetaja korrutada avaldisega
ja võta arvesse saadud avaldist u osutub sümmeetriliseks märkide "+" ja "-" suhtes, siis saame lõpuks .(Kuupradikaalide korrutis viimases võrduses peab olema võrdne lk).
See on kuulus Cardano valem. Kui te lähete y tagasi x, siis saame valemi, mis määrab 3. astme üldvõrrandi juure.
Tartagliasse nii halastamatult suhtunud noormees mõistis matemaatikat sama kergesti kui pretensioonitu mõistatuse õigusi. Ferrari leiab võimaluse 4. astme võrrandi lahendamiseks. Cardano lisas selle meetodi oma raamatusse. Mis see meetod on?
(1)– 4. astme üldvõrrand.(2)
kus p,q,r on mõned koefitsiendid, mis sõltuvad a,b,c,d,e. On lihtne näha, et selle võrrandi saab kirjutada järgmisel kujul:
(3)Tõepoolest, piisab, kui avada sulgud, seejärel kõik sisaldavad liikmed t, tühistavad üksteist ja me pöördume tagasi võrrandi juurde (2) .
Valime parameetri t nii et parem osa võrrandid (3) suhtes oli täiuslik ruut y. Teatavasti on selleks vajalikuks ja piisavaks tingimuseks diskriminandi kadumine trinoomi kordajatest (seoses y) paremal.
kuupvõrrand nimetatakse vormi võrrandiks
- ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, (1)
- kus a, b, c, d - konstantsed koefitsiendid, ja x on muutuja.
Vaatleme juhtumit, kui koefitsiendid on reaalarvud.
Kuupvõrrandi juured. Kuupvõrrandi juurte (lahenduse) leidmine.
Numbrit x kutsutakse kuupvõrrandi juur(1) kui võrrand (1) muutub selle asendamisel õigeks võrduseks.
Kuupvõrrandil pole rohkem kui kolm juurt (keerulise välja kohal on alati kolm juurt, võttes arvesse paljusust). Ja alati on vähemalt 1 (päris) juur. Märgi abil saab hõlpsasti kindlaks teha kõik võimalikud juure koostise juhtumid kuupvõrrandi diskriminant st:
Δ = -4 b 3 d + b 2 c 2 - 4ac 3 + 18abcd - 27a 2 d 2 (Jah, see on kuupvõrrandi diskriminant)
Seega on ainult 3 võimalikku juhtumit:
- Δ > 0 - siis on võrrandil 3 erinevat juurt. (Edasijõudnutele – kolm erinevat pärisjuurt)
- Δ < 0 - уравнение имеет лишь 1 корень. (1 päris ja paar keerulisi konjugeeritud juuri)
- Δ = 0 - vähemalt 2 võrrandi juurt langevad kokku. Need. tegemist on võrrandiga, millel on 2 langevat juurt ja veel üks neist erinev, või võrrandiga, millel on 3 langevat juurt. (Igal juhul on kõik juured reaalsed. Ja võrrandil on 3 kattuvat juurt siis ja ainult siis, kui tema ja tema teine tuletis on võrdne nulliga)
Cardano valem kuupvõrrandite lahendamiseks (juurte leidmiseks).
See on valem kuupvõrrandi kanoonilise vormi juurte leidmiseks. (Üle kompleksarvude välja).
Kanooniline vorm kuupvõrrandit nimetatakse vormi võrrandiks
y 3 + py + q = 0 (2)
Vormi (1) mis tahes kuupvõrrandi saab taandada sellele kujule, kasutades järgmist asendust:
Niisiis, alustame juurte arvutamist. Leiame järgmised kogused:
Võrrandi (2) diskriminant on sel juhul võrdne
Algse võrrandi (1) diskriminandil on sama märk mis ülaltoodud diskriminandil. Võrrandi (2) juured on väljendatud järgmiselt:
Seega, kui Q>0, on võrrandites (2) ja (1) ainult 1 (päris) juur, y 1 . Asendage see punktiga (3) ja leidke võrrandi (1) jaoks x. (kui teid huvitavad ka imaginaarsed juured, siis lihtsalt arvutage ka y 2 , y 3 ja asendage need (3).
Kui Q<0, то уравнение (2), как и уравнение (1) имеет три различных вещественных корня, но для их вычисления нужно уметь извлекать квадратный корень из отрицательного числа. Если вы это умеете, то проделайте расчеты, получите три корня y 1 , y 2 , y 3 и подставьте их в (3).
Kui Q =0, siis on kõik võrrandite (1) ja (2) juured reaalsed ning kummagi võrrandi vähemalt 2 juurt langevad kokku. Samas on meil
- α = β ja
- y 1 \u003d 2α,
- y 2 \u003d y 3 \u003d - α.
Samamoodi asendame (3) ja saame vastuse.
Vieta trigonomeetriline valem kuupvõrrandite lahendamiseks (juurte leidmiseks).
See valem leiab lahendusi vähendatud kuupvõrrand, see tähendab vormi võrrandid
x 3 + ax 2 + bx + c = 0 (4)
Ilmselgelt saab mis tahes vormi (1) võrrandi taandada vormiks (4), jagades selle lihtsalt koefitsiendiga a.
Niisiis, selle valemi rakendamise algoritm:
1. Arvutage
2. Arvutage
3. a) Kui S>0, siis arvutame
φ=(arccos(R/Q 3/2))/3
Ja meie võrrandil on 3 juurt (päris):
b) Kui S<0, то заменим тригонометрические функции гиперболическими.
Arvutama
φ=(Arch(|R|/|Q| 3/2)/3
Siis ainus juur (päris): x 1 = -2sgn(R)*|Q| 1/2 *ch(φ) - a/3
Neile, keda huvitavad ka väljamõeldud juured:
- x 2 = sgn(R)*|Q| 1/2 *ch(φ) - a/3 +(3|Q|) 1/2 sh(φ)i
- x 3 = sgn(R)*|Q| 1/2 *ch(φ) - a/3 -(3|Q|) 1/2 sh(φ)i
KUS:
- ch(x)=(e x +e -x)/2
- Arch(x) = ln(x + (x 2 -1) 1/2)
- sh(x)=(e x -e -x)/2
- sgn(x) - x-i märk
c) Kui S=0, siis on võrrandil vähem kui kolm erinevat lahendit:
Õppige lahendama kuupvõrrandeid. Vaadeldakse juhust, kui üks juur on teada. Täisarvude ja ratsionaalsete juurte leidmise meetodid. Cardano ja Vieta valemite kasutamine mis tahes kuupvõrrandi lahendamiseks.
SisuSiin vaatleme vormi kuupvõrrandite lahendust
(1)
.
Lisaks eeldame, et need on reaalarvud.
(2)
,
siis jagades selle arvuga, saame võrrandi kujul (1) koefitsientidega
.
Võrrandil (1) on kolm juurt: , ja . Üks juurtest on alati tõeline. Tähistame tegelikku juurt kui . Juured ja võivad olla kas päris- või komplekskonjugaat. Tõelised juured võivad olla mitu. Näiteks kui , siis ja on topeltjuured (või 2. kordsuse juured) ja on lihtjuur.
Kui on teada ainult üks juur
Teatage meile kuupvõrrandi (1) üks juur. Tähistame tuntud juurt kui . Seejärel jagades võrrandi (1) -ga, saame ruutvõrrandi. Ruutvõrrandi lahendamisel leiame veel kaks juurt ja .
Tõestuseks kasutame asjaolu, et kuuppolünoomi saab esitada järgmiselt:
.
Seejärel jagades (1) arvuga , saame ruutvõrrandi.
Polünoomide jagamise näited on toodud lehel
“Polünoomi jagamine ja korrutamine polünoomiga nurga ja veeruga”.
Ruutvõrrandite lahendust käsitletakse lehel
"Ruutvõrrandi juured".
Kui üks juurtest on
Kui algne võrrand on:
(2)
,
ja selle koefitsiendid , , , on täisarvud, siis võite proovida leida täisarvu juurt. Kui sellel võrrandil on täisarvu juur, siis on see koefitsiendi jagaja. Täisarvu juurte otsimise meetod on see, et leiame kõik arvu jagajad ja kontrollime, kas võrrand (2) kehtib nende kohta. Kui võrrand (2) on täidetud, siis oleme leidnud selle juure. Tähistame seda kui . Järgmisena jagame võrrandi (2) . Saame ruutvõrrandi. Seda lahendades leiame veel kaks juurt.
Täisarvu juurte määratlemise näited on toodud lehel
Näiteid polünoomide faktoriseerimisest > > > .
Ratsionaalsete juurte leidmine
Kui võrrandis (2) , , , on täisarvud ja , ning täisarvujuuri pole, siis võite proovida leida ratsionaalseid juuri, st vormi , kus ja on täisarvud.
Selleks korrutame võrrandi (2) arvuga ja teeme asendused:
;
(3)
.
Järgmisena otsime vaba liikme jagajate hulgast võrrandi (3) täisarvu juuri.
Kui oleme leidnud võrrandi (3) täisarvu juure, siis muutuja juurde naastes saame võrrandi (2) ratsionaalse juure:
.
Cardano ja Vieta valemid kuupvõrrandi lahendamiseks
Kui me ei tea ühtki juurt ja täisarvujuuri pole, siis saame Cardano valemite abil leida kuupvõrrandi juured.
Mõelge kuupvõrrandile:
(1)
.
Teeme asendused:
.
Pärast seda taandatakse võrrand mittetäielikule või taandatud kujule:
(4)
,
kus
(5)
;
.
Viited:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Matemaatika käsiraamat inseneridele ja kõrgkoolide üliõpilastele, Lan, 2009.
G. Korn, Matemaatika käsiraamat teadlastele ja inseneridele, 2012.
- Kokkupuutel 0
- Google Plus 0
- Okei 0
- Facebook 0
