Eelmises peatükis käsitleti üksikasjalikult üht levinumat funktsioonide lähendamise meetodit, interpolatsiooni. Kuid see viis pole ainus. Erinevate rakendusülesannete lahendamisel ja arvutusahelate koostamisel kasutatakse sageli muid meetodeid. Selles peatükis vaatleme viise, kuidas saada ruutkeskmise lähendusi. Lähenduste nimetus on seotud meetriliste ruumidega, milles vaadeldakse funktsiooni lähendamise probleemi. Peatükis 1 tutvustasime mõisteid "meetriline lineaarne normruum" ja "meetriline eukleidiline ruum" ning nägime, et lähendusvea määrab selle ruumi meetrika, milles aproksimeerimisprobleemi käsitletakse. Erinevates ruumides on vea mõistel erinev tähendus. Arvestades interpolatsiooniviga, me sellele ei keskendunud. Ja selles peatükis peame seda küsimust üksikasjalikumalt käsitlema.

5.1. Lähendused trigonomeetriliste polünoomide ja Legendre polünoomide järgi Ruum l2

Mõelge funktsioonide komplektile, mis on Lebesgue'i ruudukujuliselt lõimitavad
, see tähendab, et integraal peab olemas olema
.

Kuna ilmne ebavõrdsus kehtib, funktsioonide ruudu integreeritavusest
ja
peavad järgima ka nende lineaarsete kombinatsioonide ruudu integreeritavust
, (kus
ja
 kõik reaalarvud), samuti toote integreeritavus
.

Tutvustame funktsioonide komplekti, mis on Lebesgue ruuduga integreeritavad intervalliga
, punkttoote toiming

. (5.1.1)

Integraali omadustest järeldub, et sisse viidud skalaarkorrutisel on peaaegu kõik Eukleidilise ruumi skalaarkorrutise omadused (vt lõik 1.10, lk 57):

Ainult esimene vara pole täielikult teostatud, see tähendab, et tingimus ei ole täidetud.

Tõepoolest, kui
, siis sellest ei järeldu
segmendil
. Selleks, et sisestatud toimingul oleks see omadus, nõustume järgnevalt funktsioone mitte eristama (vastavateks pidama)
ja
, milleks

.

Viimast märkust silmas pidades nägime, et Lebesgue'i ruudu integreeritavate funktsioonide hulk (täpsemalt ekvivalentsete funktsioonide klasside hulk) moodustab eukleidilise ruumi, milles skalaarkorrutise tehte defineeritakse valemiga (5.1.1). Seda ruumi nimetatakse Lebesgue ruumiks ja see on tähistatud
või lühem .

Kuna iga eukleidiline ruum on automaatselt nii normitud kui ka meetriline, on ruum
on ka normitud ja meetriline ruum. Norm (elemendi suurus) ja mõõdik (elementidevaheline kaugus) sisestatakse sellesse tavaliselt standardsel viisil:

(5.1.2)

(5.1.3)

Normi ​​ja meetrika omadused (aksioomid) on toodud punktis 1.10. Ruumielemendid
ei ole funktsioonid, vaid samaväärsete funktsioonide klassid. Samasse klassi kuuluvatel funktsioonidel võivad mis tahes piiratud või isegi loendatava alamhulga puhul olla erinevad väärtused
. Seega lähendused ruumis
on määratletud mitmetähenduslikult. See ruumi ebameeldiv omadus
maksis ära skalaarkorrutise kasutamise mugavus.

Võtame poolruudukujulise koordinaatide süsteemi. See on selline koordinaatsüsteem, milles skaala on abstsissil ruutkeskmine, st jagamise väärtused on joonistatud vastavalt avaldisele, siin m- mõõtkava mõnes pikkuseühikus, näiteks cm-des.

Vastavalt avaldisele joonistatakse piki y-telge lineaarne skaala

Panime sellesse koordinaatsüsteemi katsepunktid. Kui selle graafiku punktid asuvad ligikaudu sirgel, siis see kinnitab meie oletust, et sõltuvus y alates x on hästi väljendatud vormi funktsiooniga (4.4). Koefitsientide leidmiseks a ja b nüüd saate rakendada üht ülalkirjeldatud meetoditest: venitatud niidi meetodit, valitud punktide meetodit või keskmise meetodit.

Tihe keerme meetod kehtib samamoodi nagu lineaarfunktsiooni puhul.

Valitud punktide meetod saame taotleda nii. Sirgjoonelisel graafikul võtke kaks punkti (üksteisest kaugel). Tähistame nende punktide koordinaate ja ( x, y). Siis saame kirjutada

Kahe võrrandi taandatud süsteemist leiame a ja b ja asendada need valemiga (4.4) ning saada empiirilise valemi lõplik vorm.

Sirggraafikut ei saa koostada, vaid võtta numbreid, ( x,y) otse tabelist. Selle punktide valikuga saadud valem on aga vähem täpne.

Kõvera graafiku sirgjooneks teisendamist nimetatakse lamendamiseks.

Keskmine meetod. Seda rakendatakse samamoodi nagu lineaarse sõltuvuse korral. Jagame katsepunktid kahte rühma, kus igas rühmas on sama (või peaaegu sama) punktide arv. Võrdsuse (4.4) saab ümber kirjutada kui

Leiame esimese rühma punktide jääkide summa ja võrdume nulliga. Sama teeme ka teise grupi punktide puhul. Saame kaks võrrandit tundmatutega a ja b. Lahendades võrrandisüsteemi, leiame a ja b.

Pange tähele, et selle meetodi rakendamisel ei ole vaja ligikaudset sirget ehitada. Hajudiagramm poolruutarvulises koordinaatsüsteemis on vajalik vaid selleks, et kontrollida, kas vormi (4.4) funktsioon sobib empiirilise valemi jaoks.

Näide. Uurides temperatuuri mõju kronomeetri kursile, saadi järgmised tulemused:

z	-20	-15,4	-9,0	-5,4	-0,6	+4,8	+9,4
	2,6	2,01	1,34	1,08	0,94	1,06	1,25

Sel juhul ei huvita meid mitte temperatuur ise, vaid selle kõrvalekalle . Seetõttu võtame argumendina , kus t- temperatuur tavalise skaala Celsiuse kraadides.

Olles joonestanud vastavad punktid Descartes'i koordinaatsüsteemile, märkame, et y-teljega paralleelse teljega parabooli saab võtta ligikaudseks kõveraks (joonis 4). Võtame poolruudukujulise koordinaatide süsteemi ja joonistame sellele katsepunktid. Näeme, et need punktid sobivad sirgele piisavalt hästi. Seega empiiriline valem

saab otsida kujul (4.4).

Määratleme koefitsiendid a ja b keskmise meetodiga. Selleks jagame katsepunktid kahte rühma: esimeses rühmas - kolm esimest punkti, teises - ülejäänud neli punkti. Võrdsuse (4.5) abil leiame iga rühma jääkide summa ja võrdsustame iga summa nulliga.

Olgu tabelis toodud funktsiooni väärtused, mis on saadud näiteks katsest, st mõõdetuna veaga. Seejärel ligikaudne meetod, kasutades interpolatsiooniaparaat , mis põhineb interpolatsioonisõlmede polünoomi väärtuste võrdsustamisel tabeli väärtustega, ebapraktiline.

Selle probleemi sõnastuse korral tuleks teha keskmise ligikaudne väärtus, st kirjeldada tabelina antud funktsioon mingi üsna lihtne analüütiline sõltuvus väikese arvu parameetritega. Nende parameetrite optimaalne valik võimaldab meil teostada tabelis esitatud funktsiooni ruutkeskmise lähenduse.

Analüütilise sõltuvuse tüübi valimine tuleks alustada tabeliandmete lisamisega koordinaattasand- nii moodustub katsepunktide väli. Läbi nende punktide välja tõmmatakse sujuv kõver, nii et mõned punktid asuvad sellel kõveral, mõned punktid on kõrgemad ja mõned punktid on joonistatud kõverast madalamal. Selle kõvera kuju järgi tuleks määrata analüütilise sõltuvuse tüüp – kas see on lineaarne, eksponentsiaalne, hüperboolne või mõni muu.

Graafiku järgi on aga väga raske silma järgi valida analüütilise sõltuvuse tüüpi. Seetõttu tehti ettepanek ligikaudse hindamise meetod ja analüütilise sõltuvuse tüübi valik. See meetod on tõesti ligikaudne ja ebatäpne, kuna läbi katsepunktide välja saab kõverat joonistada erineval viisil ja tabelist saab arvutamiseks võtta erinevaid võrdluspunkte ning pakutud tehnika täpsus pole teada. Samal ajal võib seda pidada ligikaudseks viisiks sõltuvuse tüübi valimisel.

Pakutakse välja järgmine toimingute algoritm.

1. Lähtetabelis valige kaks punkti koordinaatidega (x 1, y 1) ja (x n, y n) - võrdluspunktid, mis asuvad üksteisest kaugel, ja arvutage iga koordinaatide paari jaoks aritmeetiline keskmine, geomeetriline keskmine ja harmooniline keskmine.

2. Otsige läbi katsepunktide välja joonistatud kõveralt kolm ordinaati, mis vastavad leitud abstsissidele x ar, x geom, x harmm:

3. Tehke kõveralt leitud võrdlus arvutatuga arvutades järgmised erinevuste moodulid:

4. Leitud väärtuste hulgast valitakse miinimum:

5. Kokkuvõtted: kui see osutus minimaalseks

Lineaarne sõltuvus

Sõltuvus on näitlik

Sõltuvus murdosaline-lineaarne

Sõltuvus on logaritmiline

Sõltuvus võimsusest

Hüperboolne sõltuvus

Fraktsionaalne-ratsionaalne sõltuvus

Mistahes neist sõltuvustest saab taandada lineaarseks, sooritades koordinaatide teisenduse või nn. andmete joondamine.
Seega lõpeb esimene etapp analüütilise sõltuvuse tüübi valikuga, mille parameetreid pole määratletud.

Teine faas seisneb valitud analüütilise sõltuvuse koefitsientide parimate väärtuste määramises. Selleks matemaatika vähimruutude meetod.

Meetod põhineb antud tabeliväärtuste () ruutude kõrvalekallete summa minimeerimisel teoreetilise sõltuvuse () alusel arvutatud väärtustest: .

Olgu valitud sõltuvus sirgjoon: . Funktsionaalsuse asendamine: . Siis on funktsionaalsus minimeeritud:

Koefitsientide parimate väärtuste leidmiseks ja on vaja leida osatuletised ja võrdsustada need nulliga:

Pärast teisendusi saab võrrandisüsteem järgmise kuju:

Selle süsteemi lahendus lineaarvõrrandid võimaldab leida parimad koefitsientide väärtused ja lineaarne sõltuvus.

Kui valitud sõltuvus on ruutparabool:

siis funktsionaalsus on minimeeritud: .

Paraboolil on kolm muutuvat koefitsienti - , mille parimad väärtused tuleks leida, võrdsustades nulliga minimeeritud funktsiooni osatuletised soovitud koefitsientide suhtes. See võimaldab meil saada koefitsientide leidmiseks järgmise kolme lineaarse võrrandi süsteemi:

Näide 1 Määrake järgmises tabelis toodud sõltuvuse tüüp.

X
Y	0,55	0,64	0,78	0,85	0,95	0,98	1,06	1,11

Otsus.

Tabelis toodud punktid tuleks rakendada koordinaattasandile - a eksperimentaalsete andmete valdkond. Läbi selle välja sile kõver.

Tabeli järgi valitakse kaks kinnituspunkti koordinaatidega (3; 0,55) ja (10; 1,11) ning iga abstsisside ja ordinaatide paari jaoks arvutatakse aritmeetiline, geomeetriline ja harmooniline keskmine:

Kolme arvutatud abstsissi jaoks, mis on piki katsepunktide välja tõmmatud kõverat, määratakse kolm vastavat ordinaati:

Märge arvutuste orientatsiooni kohta. Järgmisena määratletakse seitse erinevuse moodulit:

Saadakse kolm minimaalset üksteisele lähedast väärtust

Teises etapis on vaja vähimruutude meetodi abil määrata iga sõltuvuse koefitsientide parimad väärtused ja seejärel arvutada standardhälve antud tabeliväärtustest.

Analüütilise sõltuvuse lõplik valik tehakse standardhälbe minimaalse väärtuse järgi.

Näide 2 Tabel näitab tulemusi eksperimentaalsed uuringud, mida saab ligikaudselt hinnata sirgjoonega. Leia joone koefitsientide parimad väärtused, kasutades vähimruutude meetodit.

Otsus.

k	X k	Y k	X k Y k	X k 2	Y k teooria	Y k -Y k teooria	(Y k -Y k teooria) 2
		66,7			67,50	0,20	0,0400
		71,0	284,0		70,98	0,02	0,0004
		76,3	763,0		76,20	0,10	0,0100
		80,6	1209,0		80,55	0,05	0,0025
		85,7	1799,7		85,77	- 0,07	0,0049
		92,9	2694,1		92,73	0,17	0,0289
		99,4	3578,4		98,82	0,58	0,3364
		113,6	5793,6		111,87	1,73	2,9929
		125,1	8506,8		126,66	- 1,56	2,4336
summad		811,3	24628,6				5,8496

Sirge üldvõrrand: .

Lineaarvõrrandisüsteem, millest vähimruutude meetodil juhindudes tuleks määrata koefitsientide parimad väärtused, on järgmine:

Asendame tabeli viimase rea 2., 3., 4. ja 5. veerust arvutatud summad võrrandisüsteemi:

Kust määratakse lineaarse sõltuvuse koefitsiendid? Seega on teoreetilise sirge võrrand järgmine:

. (*)

Tabeli kuues veerg näitab funktsiooni väärtusi, mis on arvutatud argumendi antud väärtuste teoreetilise võrrandi abil. Tabeli seitsmes veerg näitab funktsiooni antud väärtuste (3. veerg) ja võrrandiga (*) arvutatud teoreetiliste väärtuste (6. veerg) erinevusi.

Kaheksas veerg näitab teoreetiliste väärtuste ruudus hälbeid katseväärtustest ja määratakse hälvete ruudu summa. Nüüd leiate

Näide 3 Olgu tabelis toodud katseandmed ligikaudsed ruutparabooliga: Vähimruutude meetodi abil saate leida parabooli koefitsientide parimad väärtused.

Otsus.

k	X k	Y k	X k 2	X k 3	X k 4	X k Y k	X k 2 Y k	Y k teooria	Y k -Y k teooria
		29,8						29,28	0,52	0,2704
		22,9				45,8	91,6	22,22	0,68	0,4624
		17,1				68,4	273,6	17,60	-0,50	0,2500
		15,1				75,5	377,5	15,56	-0,46	0,2116
		10,7				85,6	684,8	11,53	-0,83	0,6889
		10,1				101,0	1010,0	10,60	-0,50	0,2500
		10,6				127,2	1526,4	11,06	-0,46	0,2116
		15,2				228,0	3420,0	14,38	0,82	0,6724
Sumy		122,5				731,5	7383,9			3,0173

Lineaarvõrrandisüsteem parabooli koefitsientide määramiseks on järgmine:

Tabeli viimaselt realt asendatakse vastavad summad võrrandisüsteemi:

Võrrandisüsteemi lahendus võimaldab teil määrata koefitsientide väärtused:

Niisiis, tabeli antud sõltuvus segmendist on lähendatud ruutparabooliga:

Arvutamine antud valemi järgi argumendi antud väärtuste jaoks võimaldab moodustada funktsiooni teoreetilisi väärtusi sisaldava tabeli üheksanda veeru.

Teoreetiliste väärtuste kõrvalekallete ruudus summa eksperimentaalsetest väärtustest on toodud tabeli 11. veeru viimasel real. See võimaldab teil kindlaks teha standardhälve:

PRAKTIKA nr 3

Teema: Võrrandisüsteemide lahendamise meetodid

Gaussi meetod - tundmatute järjestikuse välistamise meetod - kuulub rühma täpsed meetodid ja kui arvutusviga poleks, saaks täpse lahenduse.

Käsitsi arvutamiseks on soovitatav teha arvutused kontrolltulpa sisaldavas tabelis. Allpool on sellise tabeli üldversioon 4. järku lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks.

				Tasuta liikmed	Kontrollveerg

				Tasuta liikmed	Kontrollveerg

Näide 1 Lahendage Gaussi meetodil 4. järku võrrandisüsteem:

Need juurte ligikaudsed väärtused saab asendada algse võrrandisüsteemiga ja arvutada jäägid - , mis on süsteemi iga võrrandi parema ja vasaku osa erinevused leitud juurte asendamisel vasakpoolse osaga. Siis asendatakse nad jääksüsteemi vabaliikmetena ja saavad muudatused

juured - :

Funktsiooni juur-keskmine-ruutlähendus.

Vaatleme funktsiooni parima keskmise ruutlähenduse probleemi polünoomi abil
süsteemi järgi
.

Definitsioon 1.

M järku üldistatud polünoom süsteemis ( k ) on lineaarne kombinatsioon

kus C k on suvalised reaalkoefitsiendid.

Ülesanne. Leia polünoom
, mis erineb L 2 mõõdiku funktsioonist f kõige vähem, st. tingimusele vastav:

1. teoreem.

Kui süsteem
on lineaarselt sõltumatu, siis on selle süsteemi parima ruutkeskmise lähenduse probleem üheselt lahendatav.

Kirjutame funktsiooni ja polünoomi vahelise kauguse ruudu:

(1)

On ilmne, et väärtus
on muutujate mittenegatiivne kindel ruutfunktsioon
, ja selline funktsioon saavutab oma minimaalse väärtuse. Seega on ruutkeskmise lähendamise ülesande lahendus olemas.

Tõestame lahenduse ainulaadsust.

Kirjutame minimaalseks vajalikud tingimused:

, i=0,…,m.

Arvutades osatuletised avaldise (1) c i suhtes, saame lineaarse võrrandisüsteemi:

(2)

Süsteem (2) kutsutakse tavaline süsteem.

Kirjutame välja selle süsteemi määraja

(3)

Süsteemi (3) determinandiks on nn Grami määraja süsteemid
. On teada, et kui süsteem
on lineaarselt sõltumatu, siis determinant
0 (lihtne tõestada vastuoluga). Vastavalt teoreemi tingimusele
0 ja süsteemil (2) on ainulaadne lahendus.

1.6. Klassikalised ortogonaalsed polünoomid ja nende rakendamine funktsioonide lähendamise probleemides.

Olgu H sisekorrutisega Hilberti ruum ja vastavalt norm
. Sellise ruumi oluline näide on nn ruum
on funktsioonide f(x) ruum, mille integraal on lõplik:

(1)

Siin on h(x) nn kaalu funktsioon, mis vastab järgmistele tingimustele:

Kui =(0,+ ), siis peab olema täidetud järgmine tingimus:

need. kõik kaalufunktsiooni hetked peavad olemas olema.

Definitsioon 1.

Sest
skalaarkorrutis on defineeritud:

(2)

ja vastavalt norm:

vastavalt tingimusele (1).

Kasutades Cauchy-Bunyakovsky-Schwarzi võrratust, saame

Seetõttu on skalaarkorrutis olemas

2. definitsioon.

Elementide f ja g vaheline kaugus määratakse võrdsusega:

.

Tekib küsimus, kuidas mõista nullelementi. Kui norm
, kas sellest järeldub, et f=g? Tutvustatakse terminoloogiat: f=g peaaegu kõikjal, see tähendab, et need võivad erineda lõplike punktide kaupa.

3. määratlus.

f ja g ortogonaalne lõigul kaaluga h(x), kui =0 (varsti kirjutatud
).

Kui Hilberti ruumis võtame mis tahes lineaarselt sõltumatu süsteemi
, i=0,1,2,…, siis saab selle ortogonaliseerida.

Võtame näiteks süsteemi:
Kell
lõplik kogum toitefunktsioonid on lineaarselt sõltumatu, seega saab selle süsteemi alusel konstrueerida ortogonaalseid polünoome. Tuntud on järgmine korduv ortogonaliseerimisprotseduur (Gram-Schmidti protseduur):

(3)

Koefitsiendid b k+1,j määratakse ortogonaalsuse tingimustest:

Korrutades (3) järjestikku
saame

(4)

Näide 1

Olgu h(x)1, =[-1,1].

Koostage kolm esimest ortogonaalset polünoomi vastavalt protseduurile (3) - (4).

Järgmisena on meil:

seega,

Ortogonaalsete polünoomide süsteemi jaoks lõigul [-1,1] kaaluga h(x)=1, kehtib Rodriguesi valem:

(5)

Alates (5) saame järjestikku:

Nii saadud polünoome nimetatakse Legendre polünoomideks.

kommenteerida.

Protseduuri (3) - (4) abil leitud ortogonaalsed polünoomid võivad erineda Rodriguesi selge valemi (5) abil konstrueeritavatest teguritest.

Nende polünoomide normi ruut on:

See tähendab, et need polünoomid ei ole normaliseeritud, kuna

Kõigi klassikaliste polünoomide jaoks on korduv valem. Legendre polünoomide puhul on sellel järgmine vorm:

Las olla
Vaatleme ruutkeskmise lähendust:

kus
- lähenduse ruutkeskmine viga,

- Fourier' rea segment funktsiooni f(x) jaoks ortogonaalsete polünoomide süsteemis (P k (x)).

Legendre polünoomide ortogonaalsuse tõttu muutub normaalvõrrandite süsteem (2) §1.5-st diagonaalseks ja selle lahendus toob kaasa järgmised koefitsientide c k avaldised:

(7)

ehk siis on tagatud normi miinimum L 2-s.

Kirjeldame üksikasjalikult lähendusviga

Teisel pool

ortogonaalsuse tõttu.

Asendades (8), saame

. (9)

Näide 2

Olgu f(x)=|x|.

Ligikaudne f(x) väärtusel [-1,1] teise astme efektiivpolünoomis. Arvutage ruutkeskmine viga.

Kasutame Legendre ortogonaalsüsteemi:

Koefitsiendid c k leitakse valemiga (7), võttes arvesse Legendre polünoomide kuju:

1.7. Mõned ortogonaalsete polünoomide üldised omadused.

Polünoom P n (x) on ortogonaalne iga m-astme M m (x) algebralise polünoomi suhtes

M m (x) saab üheselt esitada Legendre polünoomide lineaarse kombinatsioonina:

Võrdsus (10) on identne, nii et koefitsiendid a k arvutatakse üheselt, võrdsustades koefitsiendid suurematel võimsustel. Korrutades (10) mõlemad osad P n (x)-ga, saame

süsteemi ortogonaalsuse tõttu

Polünoomil P n (x) on lõigul [-1,1] täpselt n reaalset ja erinevat juurt.

Pange tähele, et Gaussi teoreemi kohaselt ei saa polünoomil P n (x) olla rohkem kui n juurt (üldiselt kompleksset). Olgu P n (x) vähem kui n lihtsat reaaljuurt. Tähistagem neid
Nendest punktidest konstrueerime põhipolünoomi

Mõelge polünoomile:
on astme (k+n) polünoom, millel on nullid
isegi paljusus. Nii et uus polünoom
säilitab oma märgi nende nullide läbimisel, st. säilitab märgi [-1,1]. Sellest järeldub

Kuid see on vastuolus omadusega 1, kuna P n (x) peab tingimata olema M k (x) suhtes ortogonaalne.

Polünoomi P n (x) kahe kõrvuti asetseva nulli vahel asub polünoomi P n-1 (x) täpselt üks null.

Seda tõestatakse induktsiooniga korduva seose (6) abil.

N-paarisarvu korral on polünoom P n (x) x paarisfunktsioon, n-paaritu korral on P n (x) x paaritu funktsioon.

Koos Legendre polünoomidega nimetatakse klassikalisteks ortogonaalseteks polünoomideks järgmisi polünoomide süsteeme (edaspidi (a,b) on ortogonaalsusintervall, r(x) kaalufunktsioon).

1) Jacobi polünoomid {R P (l,m) ( X)) - kell a = -1, b= 1 r( X) = (1-X) l (1 + x) m , l> -1, m > -1. Jacobi polünoomide erijuhtumid vastavad järgmistele l ja m väärtustele: l= m- ultrasfäärilised polünoomid (neid nimetatakse mõnikord Gegenbaueri polünoomideks); l\u003d m \u003d - 1/2, s.o. -polünoomid Tšebõšev 1. liik T n (x); l= m = 1/2, s.o. - polünoomid Tšebõšev 2. liik U n (x);

2) Polünoomid Laguerre L n (x) - kell a = 0, b= + ∞ ja r( X) = e -X(neid nimetatakse ka Chebyshev-Laguerre'i polünoomideks) ja üldistatud Laguerre'i polünoomideks - at . 3) Mjalad Ermiit H n (X) - kell a = -∞, b= + ∞ ja (neid nimetatakse ka Tšebõševi-Hermiidi polünoomideks).

Sageli interpoleeritud funktsiooni väärtused u, u2 , ..., yn on katsest määratud mõningate vigadega, mistõttu on ebamõistlik kasutada interpolatsioonisõlmedes täpset lähendust. Sel juhul on loomulikum lähendada funktsiooni mitte punktide, vaid järgi keskmine, st ühes L p normidest.

Ruum 1 p - funktsioonide kogum d(x), segmendil määratletud [a,b] ja modulo integreeritav p-nda kraad, kui norm on määratletud

Sellise normi lähenemist nimetatakse konvergentsiks keskmine. Ruumi 1,2 nimetatakse Hilberti ruumiks ja konvergentsi selles nimetatakse rms.

Olgu antud mingist lineaarsest normruumist funktsioon Ax) ja funktsioonide hulk φ(x). Interpolatsiooni, lähenduse ja lähendamise probleemi kontekstis saab sõnastada järgmised kaks ülesannet.

Esimene ülesanne on ligikaudne väärtus etteantud täpsusega, st vastavalt etteantule e leida selline φ(x), et võrratus |[Ax) - φ(x)|| G..

Teine ülesanne on otsing parim lähendus st funktsiooni φ*(x) otsimine, mis rahuldab seost:

Defineerime ilma tõestuseta piisava tingimuse parima lähenduse olemasoluks. Selleks valime funktsioonide lineaarruumis avaldisega parametriseeritud hulga

kus funktsioonide hulk φ[(x), ..., φn(x) on lineaarselt sõltumatu.

Võib näidata, et igas lineaarse lähendusega (2.16) normruumis eksisteerib parim lähendus, kuigi see on ainulaadne igas lineaarruumis.

Vaatleme reaalsete ruudukujuliste integreeritavate funktsioonide Hilberti ruumi LzCp), mille kaal p(x) > 0 punktil [ , kus skalaarkorrutis ( g,h) kindlaks määratud millegi poolt

valem:

Asendades lineaarse kombinatsiooni (2.16) parima lähenduse tingimusega, leiame

Koefitsientide tuletised (D, k= 1, ..., П, saame lineaarvõrrandisüsteemi

Võrrandisüsteemi (2.17) determinanti nimetatakse Grami determinandiks. Grami determinant on nullist erinev, kuna eeldatakse, et funktsioonide süsteem φ[(x), ..., φn(x) on lineaarselt sõltumatu.

Seega on parim lähendus olemas ja ainulaadne. Selle saamiseks on vaja lahendada võrrandisüsteem (2.17). Kui funktsioonide süsteem φ1(x), ..., φn(x) on ortogonaliseeritud, st (φ/, φ,) = sy, kus SCH,ij = 1, ..., P, siis võrrandisüsteemi saab lahendada kujul:

Vastavalt (2.18) leitud koefitsiendid Q, ..., th lk nimetatakse üldistatud Fourier' rea koefitsientideks.

Kui funktsioonide hulk φ t (X), ..., φ "(x), ... moodustab tervikliku süsteemi, siis Parsevali võrdsuse alusel Π jaoks -» veanormiga väheneb lõputult. See tähendab, et parim lähendus koondub efektiivväärtuse väärtuseks Dx) mis tahes etteantud täpsusega.

Märgime, et parima lähenduse kordajate otsimine võrrandisüsteemi (2.17) lahendamisega on praktiliselt teostamatu, kuna Grami maatriksi järjekorra kasvades kipub selle determinant kiiresti nulli ja maatriks muutub halvasti tingituks. Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine sellise maatriksiga toob kaasa olulise täpsuse vähenemise. Vaatame üle.

Olgu funktsioonide süsteemiks φ„ i =1, ..., П valitud kraadid, st φ* = X 1", 1 = 1, ..., P, siis, eeldades segmenti ligikaudse segmendina, leiame Grami maatriksi

Vormi (2.19) Grami maatriksit nimetatakse ka Hilberti maatriksiks. See on klassikaline näide nn halvasti konditsioneeritud maatriksist.

MATLAB-i abil arvutame mõne esimese väärtuse jaoks Hilberti maatriksi determinandi kujul (2.19) P. Nimekiri 2.5 näitab vastava programmi koodi.

Nimekiri 23

% Arvutage Hilberti maatriksite determinant % tühjendage tööruum Kustuta kõik;

vali maksimaalne väärtus Hilberti maatriksi järjekord ptah = 6;

looge tsükkel Hilberti maatriksite genereerimiseks ja nende determinantide arvutamiseks

kui n = 1: nmax d(n)=det(hi I b(n)); lõpp

Näitab Hilberti maatriksite determinantide väärtusi

f o g ta t lühike ots

Pärast koodi väljatöötamist loendis 2.5 peaksid MATLAB-i käsuaknas ilmuma Hilberti maatriksi määravad väärtused esimese kuue maatriksi jaoks. Allolevas tabelis on näidatud maatriksi järjekordade (n) ja nende determinantide (d) vastavad arvväärtused. Tabelis on selgelt näha, kui kiiresti kipub Hilberti maatriksi determinant järjestuse kasvades nulli minema ning alates järjekorrast 5 ja 6 muutub lubamatult väikeseks.

Hilberti maatriksite determinandi väärtuste tabel

Funktsioonide süsteemi φ, i = 1, ..., Π numbriline ortogonaliseerimine toob kaasa ka märgatava täpsuse kaotuse, seetõttu on laienduses (2.16) vaja arvestada suure hulga liikmetega. kas teostada ortogonaliseerimist analüütiliselt, s.t täpselt, või kasutada valmis ortogonaalfunktsioonide süsteemi.

Kui interpoleerimisel kasutatakse põhifunktsioonide süsteemina tavaliselt kraadi, siis aproksimeerimisel valitakse baasfunktsioonideks keskmiselt polünoomid, mis on antud kaaluga ortogonaalsed. Levinuimad neist on Jacobi polünoomid, mille erijuhuks on Legendre ja Chebyshev polünoomid. Kasutatakse ka polünoome Lagsrr ja Hermite. Lisateavet nende polünoomide kohta leiate näiteks lisast Ortogonaalsed polünoomid raamatuid.