Heterogeensete süsteemide klassifikatsioon. §6

Lineaaralgebravõrrandisüsteemide (SLAE) lahendamine on kahtlemata lineaaralgebra kursuse kõige olulisem teema. Suur hulk matemaatika kõigist harudest pärit ülesandeid taandatakse süsteemide lahendamisele lineaarvõrrandid. Need tegurid selgitavad selle artikli loomise põhjust. Artikli materjal on valitud ja struktureeritud nii, et selle abiga saate

• valida oma lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamiseks optimaalne meetod,
• uurida valitud meetodi teooriat,
• lahendage oma lineaarvõrrandisüsteem, olles üksikasjalikult kaalunud tüüpiliste näidete ja ülesannete lahendusi.

Artikli materjali lühikirjeldus.

Esiteks anname kõik vajalikud definitsioonid, mõisted ja tutvustame mõningaid tähistusi.

Järgmisena käsitleme meetodeid lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks, milles võrrandite arv on võrdne tundmatute muutujate arvuga ja millel on kordumatu lahendus. Esiteks keskendume Crameri meetodile, teiseks näitame maatriksmeetodit selliste võrrandisüsteemide lahendamiseks ja kolmandaks analüüsime Gaussi meetodit (tundmatute muutujate järjestikuse kõrvaldamise meetod). Teooria kinnistamiseks lahendame kindlasti mitu SLAE-d erineval viisil.

Seejärel asume lahendama üldkuju lineaarsete algebraliste võrrandite süsteeme, milles võrrandite arv ei kattu tundmatute muutujate arvuga või on süsteemi põhimaatriks degenereerunud. Sõnastame Kroneckeri-Capelli teoreemi, mis võimaldab kindlaks teha SLAE-de ühilduvuse. Analüüsime süsteemide lahendust (nende ühilduvuse korral) maatriksi alusmolli mõistet kasutades. Vaatleme ka Gaussi meetodit ja kirjeldame üksikasjalikult näidete lahendusi.

Peatuge kindlasti lineaarsete algebraliste võrrandite homogeensete ja mittehomogeensete süsteemide üldlahenduse struktuuril. Toome välja fundamentaallahenduste süsteemi mõiste ja näitame, kuidas SLAE üldlahendus kirjutatakse, kasutades põhilahenduste süsteemi vektoreid. Parema mõistmise huvides vaatame mõnda näidet.

Kokkuvõtteks vaatleme nii lineaarseteks taandatud võrrandisüsteeme kui ka erinevaid probleeme, mille lahendamisel tekivad SLAE-d.

Leheküljel navigeerimine.

Definitsioonid, mõisted, tähistused.

Vaatleme p lineaarsete algebraliste võrrandite süsteeme n tundmatu muutujaga (p võib olla võrdne n ) kujul

Tundmatud muutujad, - koefitsiendid (mõned reaal- või kompleksarvud), - vabaliikmed (ka reaal- või kompleksarvud).

Seda SLAE vormi nimetatakse koordineerida.

IN maatriksvorm sellel võrrandisüsteemil on vorm ,
kus - süsteemi põhimaatriks, - tundmatute muutujate maatriks-veerg, - vabaliikmete maatriks-veerg.

Kui liita maatriksile A (n + 1)-ndaks veeruks vabade liikmete maatriks-veerg, siis saame nn. laiendatud maatriks lineaarvõrrandisüsteemid. Tavaliselt tähistatakse suurendatud maatriksit tähega T ja vabade liikmete veerg eraldatakse ülejäänud veergudest vertikaalse joonega, st

Lahendades lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi Seda nimetatakse tundmatute muutujate väärtuste kogumiks, mis muudab kõik süsteemi võrrandid identiteetideks. Tundmatute muutujate antud väärtuste maatriksvõrrand muutub samuti identiteediks.

Kui võrrandisüsteemil on vähemalt üks lahend, siis seda nimetatakse liigend.

Kui võrrandisüsteemil pole lahendeid, siis nimetatakse seda Sobimatu.

Kui SLAE-l on ainulaadne lahendus, nimetatakse seda teatud; kui lahendusi on rohkem kui üks, siis - ebakindel.

Kui süsteemi kõigi võrrandite vabaliikmed on võrdsed nulliga , siis kutsutakse süsteem välja homogeenne, muidu - heterogeenne.

Lineaaralgebralise võrrandi elementaarsüsteemide lahendus.

Kui süsteemivõrrandite arv on võrdne tundmatute muutujate arvuga ja selle põhimaatriksi determinant ei ole võrdne nulliga, siis kutsume selliseid SLAE-sid. elementaarne. Sellistel võrrandisüsteemidel on ainulaadne lahendus ja homogeense süsteemi korral on kõik tundmatud muutujad võrdsed nulliga.

Hakkasime selliseid SLAEsid uurima aastal Keskkool. Nende lahendamisel võtsime ühe võrrandi, väljendasime ühe tundmatu muutuja teistega ja asendasime selle ülejäänud võrranditega, seejärel võtsime järgmise võrrandi, väljendasime järgmise tundmatu muutuja ja asendasime selle teiste võrranditega jne. Või kasutasid nad liitmismeetodit, st lisasid kaks või enam võrrandit, et kõrvaldada mõned tundmatud muutujad. Me ei peatu nendel meetoditel üksikasjalikult, kuna need on sisuliselt Gaussi meetodi modifikatsioonid.

Lineaarvõrrandi elementaarsüsteemide lahendamise peamised meetodid on Crameri meetod, maatriksmeetod ja Gaussi meetod. Sorteerime need ära.

Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine Crameri meetodil.

Peame lahendama lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi

milles võrrandite arv on võrdne tundmatute muutujate arvuga ja süsteemi põhimaatriksi determinant erineb nullist ehk .

Laskma olema süsteemi põhimaatriksi determinant ja on maatriksite determinandid, mis saadakse A-st asendamise teel 1., 2., …, n veerg vastavalt vabade liikmete veergu:

Sellise tähise korral arvutatakse tundmatud muutujad Crameri meetodi valemitega as . Nii leitakse Crameri meetodil lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendus.

Näide.

Crameri meetod .

Lahendus.

Süsteemi põhimaatriksil on vorm . Arvutage selle determinant (vajadusel vaadake artiklit):

Kuna süsteemi põhimaatriksi determinant erineb nullist, on süsteemil ainulaadne lahendus, mille saab leida Crameri meetodil.

Koostage ja arvutage vajalikud determinandid (determinant saadakse maatriksi A esimese veeru asendamisel vabaliikmete veeruga, determinant - teise veeru asendamisel vabaliikmete veeruga, - maatriksi A kolmanda veeru asendamisega vabaliikmete veeruga ):

Tundmatute muutujate leidmine valemite abil :

Vastus:

Crameri meetodi peamiseks puuduseks (kui seda võib nimetada puuduseks) on determinantide arvutamise keerukus, kui süsteemivõrrandite arv on suurem kui kolm.

Lineaaralgebralise võrrandi süsteemide lahendamine maatriksmeetodil (pöördmaatriksi abil).

Olgu lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem antud maatriksi kujul , kus maatriksi A mõõtmed on n korda n ja selle determinant on nullist erinev.

Kuna , siis on maatriks A inverteeritav, see tähendab, et on olemas pöördmaatriks. Kui korrutada mõlemad võrdsuse osad vasakul olevaga, siis saame valemi tundmatute muutujate veerumaatriksi leidmiseks. Seega saime lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahenduse maatriksmeetodil.

Näide.

Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine maatriks meetod.

Lahendus.

Kirjutame võrrandisüsteemi ümber maatriksi kujul:

Sest

siis saab SLAE-d lahendada maatriksmeetodiga. Kasutades pöördmaatriksit, saab selle süsteemi lahenduse leida järgmiselt .

Koostame pöördmaatriksi maatriksi A elementide algebraliste täiendite maatriksi abil (vajadusel vaata artiklit):

Jääb üle arvutada - tundmatute muutujate maatriks pöördmaatriksi korrutamisega vabaliikmete maatriks-veerul (vajadusel vaata artiklit):

Vastus:

või mõnes muus tähises x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Lineaaralgebravõrrandisüsteemidele maatriksmeetodil lahenduste leidmisel on põhiprobleemiks pöördmaatriksi leidmise keerukus, eriti kolmandast kõrgema järgu ruutmaatriksite puhul.

Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine Gaussi meetodil.

Oletame, et peame leidma lahenduse n lineaarse võrrandi süsteemile n tundmatu muutujaga
mille põhimaatriksi determinant erineb nullist.

Gaussi meetodi olemus seisneb tundmatute muutujate järjestikuses välistamises: esiteks jäetakse süsteemi kõigist võrranditest välja x 1, alustades teisest, seejärel jäetakse x 2 kõigist võrranditest välja, alustades kolmandast ja nii edasi, kuni ainult tundmatu muutujani. xn jääb viimasesse võrrandisse. Sellist süsteemi võrrandite teisendamise protsessi tundmatute muutujate järjestikuseks elimineerimiseks nimetatakse otsene Gaussi meetod. Pärast Gaussi meetodi edasikäigu lõppu leitakse x n viimasest võrrandist, x n-1 arvutatakse seda väärtust kasutades eelviimasest võrrandist ja nii edasi, x 1 leitakse esimesest võrrandist. Tundmatute muutujate arvutamise protsessi süsteemi viimaselt võrrandilt esimesele liikumisel nimetatakse vastupidine Gaussi meetod.

Kirjeldame lühidalt tundmatute muutujate kõrvaldamise algoritmi.

Eeldame, et , kuna me saame seda alati saavutada süsteemi võrrandite ümberkorraldamisega. Tundmatu muutuja x 1 jätame süsteemi kõikidest võrranditest välja, alates teisest. Selleks liida esimene võrrand korrutatuna süsteemi teisele võrrandile, liida esimene korrutatud võrrand kolmandale võrrandile ja nii edasi, liida esimene korrutatud n-ndale võrrandile. Võrrandisüsteem pärast selliseid teisendusi võtab kuju

kus , a .

Sama tulemuseni jõuaksime, kui väljendaksime x 1 süsteemi esimeses võrrandis teiste tundmatute muutujate kaudu ja asendaksime saadud avaldise kõigi teiste võrranditega. Seega jäetakse muutuja x 1 kõigist võrranditest välja, alates teisest.

Järgmisena toimime sarnaselt, kuid ainult saadud süsteemi osaga, mis on joonisel märgitud

Selleks liida süsteemi kolmandale võrrandile teine ​​võrrand korrutatuna, neljandale võrrandile liidetakse teine ​​korrutatud ja nii edasi, n-ndale võrrandile liidetakse teine ​​korrutatud võrrand. Võrrandisüsteem pärast selliseid teisendusi võtab kuju

kus , a . Seega jäetakse muutuja x 2 kõigist võrranditest välja, alates kolmandast.

Järgmisena jätkame tundmatu x 3 kõrvaldamist, toimides samamoodi joonisel märgitud süsteemiosaga

Seega jätkame Gaussi meetodi otsest kulgu, kuni süsteem võtab kuju

Sellest hetkest alustame Gaussi meetodi vastupidist kulgu: arvutame xn viimasest võrrandist kui , kasutades saadud xn väärtust, leiame eelviimasest võrrandist x n-1 ja nii edasi, leiame x 1 esimene võrrand.

Näide.

Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine Gaussi meetod.

Lahendus.

Jätame süsteemi teisest ja kolmandast võrrandist välja tundmatu muutuja x 1. Selleks lisame teise ja kolmanda võrrandi mõlemale osale esimese võrrandi vastavad osad, korrutatuna vastavalt ja arvuga:

Nüüd eemaldame x 2 kolmandast võrrandist, lisades selle vasakule ja õiged osad teise võrrandi vasak ja parem külg, korrutatuna järgmisega:

Sellega on Gaussi meetodi edasiliikumine lõpetatud, alustame vastupidist kurssi.

Saadud võrrandisüsteemi viimasest võrrandist leiame x 3:

Teisest võrrandist saame .

Esimesest võrrandist leiame ülejäänud tundmatu muutuja ja see lõpetab Gaussi meetodi vastupidise käigu.

Vastus:

X 1 \u003d 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Üldkujuliste lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamine.

Üldjuhul ei lange süsteemi p võrrandite arv kokku tundmatute muutujate arvuga n:

Sellistel SLAE-del ei pruugi olla lahendusi, neil võib olla üks lahendus või lõpmatult palju lahendusi. See väide kehtib ka võrrandisüsteemide kohta, mille põhimaatriks on ruut ja degenereerunud.

Kroneckeri-Capelli teoreem.

Enne lineaarvõrrandisüsteemi lahenduse leidmist on vaja kindlaks teha selle ühilduvus. Vastus küsimusele, millal SLAE ühildub ja millal mitte, annab vastuse Kronecker-Capelli teoreem:
n tundmatuga võrrandite süsteemi p (p võib olla võrdne n ) järjepidevuse tagamiseks on vajalik ja piisav, et süsteemi põhimaatriksi auaste on võrdne laiendatud maatriksi astmega, st Rank( A)=Aste(T) .

Vaatleme näiteks Kroneckeri-Cappelli teoreemi rakendamist lineaarvõrrandisüsteemi ühilduvuse määramiseks.

Näide.

Uurige, kas lineaarvõrrandisüsteemil on lahendusi.

Lahendus.

. Kasutagem alaealiste piiritlemise meetodit. Teise järgu alaealine nullist erinev. Vaatame seda ümbritsevaid kolmanda järgu alaealisi:

Kuna kõik piirnevad kolmanda järgu alaealised on võrdsed nulliga, on põhimaatriksi auaste kaks.

Omakorda suurendatud maatriksi auaste on võrdne kolmega, kuna kolmanda järgu moll

nullist erinev.

Sellel viisil, Vahemik(A) , seega võime Kroneckeri-Capelli teoreemi järgi järeldada, et algne lineaarvõrrandisüsteem on vastuolus.

Vastus:

Lahendussüsteemi ei ole.

Niisiis, oleme õppinud tuvastama süsteemi ebakõla Kroneckeri-Capelli teoreemi abil.

Aga kuidas leida SLAE lahendus, kui selle ühilduvus on kindlaks tehtud?

Selleks vajame maatriksi põhimolli mõistet ja maatriksi järgu teoreemi.

Alaealine kõrgeim järjekord nimetatakse maatriksit A, mis on nullist erinev põhilised.

Põhimolli definitsioonist järeldub, et selle järjekord on võrdne maatriksi auastmega. Nullist erineva maatriksi A korral võib olla mitu põhimolli, alati on üks põhimoll.

Mõelge näiteks maatriksile .

Kõik selle maatriksi kolmandat järku minoorsed väärtused on võrdsed nulliga, kuna selle maatriksi kolmanda rea ​​elemendid on esimese ja teise rea vastavate elementide summa.

Järgmised teist järku alaealised on põhilised, kuna need on nullist erinevad

Alaealised ei ole põhilised, kuna need on võrdsed nulliga.

Maatriksjärgu teoreem.

Kui maatriksi järku p järgi n on r, siis kõik maatriksi ridade (ja veergude) elemendid, mis ei moodusta valitud põhimolli, väljendatakse lineaarselt ridade (ja veergude) vastavate elementidena. ), mis on aluseks minoorsele.

Mida annab meile maatriksi auaste teoreem?

Kui oleme Kroneckeri-Capelli teoreemiga tuvastanud süsteemi ühilduvuse, siis valime süsteemi põhimaatriksist suvalise põhimolli (selle järjekord on võrdne r-ga) ja jätame süsteemist välja kõik võrrandid, mis ei moodustada valitud põhimoll. Sel viisil saadud SLAE on samaväärne esialgsega, kuna kõrvale jäetud võrrandid on endiselt üleliigsed (maatriksi järgu teoreemi järgi on need ülejäänud võrrandite lineaarne kombinatsioon).

Selle tulemusena on pärast süsteemi liigsete võrrandite kõrvalejätmist võimalikud kaks juhtumit.

Kui saadud süsteemis on võrrandite arv r võrdne tundmatute muutujate arvuga, siis on see kindel ja ainsa lahenduse saab leida Crameri meetodil, maatriksmeetodil või Gaussi meetodil.

Näide.

.

Lahendus.

Süsteemi põhimaatriksi aste on võrdne kahega, kuna teist järku moll nullist erinev. Laiendatud maatriksi auaste on samuti võrdne kahega, kuna ainus kolmanda järgu moll on võrdne nulliga

ja eespool vaadeldud teist järku moll erineb nullist. Kroneckeri-Capelli teoreemi põhjal võib väita algse lineaarvõrrandisüsteemi ühilduvust, kuna Rank(A)=Aste(T)=2 .

Aluseks võtame kõrvaleriala . See moodustub esimese ja teise võrrandi koefitsientidest:


Süsteemi kolmas võrrand ei osale põhimolli moodustamises, seega jätame selle maatriksjärgu teoreemi alusel süsteemist välja:


Nii oleme saanud lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi. Lahendame selle Crameri meetodil:


Vastus:

x 1 \u003d 1, x 2 = 2.

Kui saadud SLAE võrrandite arv r on väiksem kui tundmatute muutujate arv n, siis jätame põhimolli moodustavad terminid võrrandite vasakpoolsetesse osadesse ja ülejäänud liikmed kanname võrrandite parempoolsetesse osadesse. süsteem vastupidise märgiga.

Tundmatuid muutujaid (neid on r), mis jäävad võrrandite vasakule poolele, nimetatakse peamine.

Nimetatakse tundmatuid muutujaid (neid on n - r), mis sattusid paremale poole tasuta.

Nüüd eeldame, et vabad tundmatud muutujad võivad võtta suvalisi väärtusi, samas kui r peamist tundmatut muutujat väljendatakse vabade tundmatute muutujatena ainulaadsel viisil. Nende väljenduse saab leida, lahendades saadud SLAE Crameri meetodil, maatriksmeetodil või Gaussi meetodil.

Võtame näite.

Näide.

Lineaaralgebralise võrrandisüsteemi lahendamine .

Lahendus.

Leidke süsteemi põhimaatriksi auaste piirnevate alaealiste meetodil. Võtame 1 1 = 1 kui nullist erinevat esimest järku minoori. Alustame selle molli ümber nullist erineva teist järku molli otsimist:


Seega leidsime teist järku nullist erineva molli. Hakkame otsima kolmandat järku nullist erineva piiriga molli:


Seega on põhimaatriksi auaste kolm. Laiendatud maatriksi auaste on samuti võrdne kolmega, see tähendab, et süsteem on järjekindel.

Põhiliseks võetakse kolmanda järgu leitud nullist erinev moll.

Selguse huvides näitame elemente, mis moodustavad põhialuse:


Jätame põhimollis osalevad terminid süsteemi võrrandite vasakusse serva ja ülejäänu kanname vastasmärkidega paremale poole:


Anname vabadele tundmatutele muutujatele x 2 ja x 5 suvalised väärtused, st võtame , kus on suvalised arvud. Sel juhul võtab SLAE vormi


Saadud lineaarsete algebraliste võrrandite elementaarsüsteemi lahendame Crameri meetodil:


Järelikult,.

Ärge unustage vastuses märkida tasuta tundmatuid muutujaid.

Vastus:

Kus on suvalised arvud.

Tehke kokkuvõte.

Üldkujuga lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamiseks selgitame esmalt välja selle ühilduvuse Kroneckeri-Capelli teoreemi abil. Kui põhimaatriksi auaste ei ole võrdne laiendatud maatriksi auastmega, siis järeldame, et süsteem on vastuolus.

Kui põhimaatriksi auaste on võrdne laiendatud maatriksi auastmega, siis valime põhimolli ja jätame kõrvale süsteemi võrrandid, mis ei osale valitud põhimolli moodustamises.

Kui alusmolli järjekord on võrdne tundmatute muutujate arvuga, siis on SLAE-l unikaalne lahendus, mille saab leida mistahes meile teadaoleva meetodiga.

Kui alusminoori järjekord on väiksem kui tundmatute muutujate arv, siis jätame põhitundmatute muutujatega liikmed süsteemi võrrandite vasakusse serva, ülejäänud liikmed kanname paremale poole ja omistame suvalised väärtused ​vabadele tundmatutele muutujatele. Saadud lineaarvõrrandisüsteemist leiame peamised tundmatud muutujad Crameri meetodil, maatriksmeetodil või Gaussi meetodil.

Gaussi meetod üldkujuliste lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks.

Gaussi meetodit kasutades saab lahendada mis tahes tüüpi lineaarsete algebraliste võrrandite süsteeme ilma nende ühilduvuse eeluuringuta. Tundmatute muutujate järjestikuse kõrvaldamise protsess võimaldab teha järelduse nii SLAE ühilduvuse kui ka ebakõla kohta ning kui lahendus on olemas, võimaldab see selle leida.

Arvutustöö seisukohalt eelistatakse Gaussi meetodit.

Vaata ette Täpsem kirjeldus ja analüüsis näiteid artiklis Gaussi meetod üldkujuliste lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks.

Homogeensete ja mittehomogeensete lineaaralgebrasüsteemide üldlahenduse registreerimine, kasutades põhilahenduste süsteemi vektoreid.

Selles jaotises keskendume lineaarsete algebraliste võrrandite homogeensete ja mittehomogeensete ühissüsteemidele, millel on lõpmatu arv lahendusi.

Kõigepealt käsitleme homogeenseid süsteeme.

Fundamentaalne otsustussüsteem n tundmatu muutujaga p lineaarsest algebralisest võrrandist koosneva homogeense süsteemi puhul on (n – r) selle süsteemi lineaarselt sõltumatute lahendite hulk, kus r on süsteemi põhimaatriksi põhimolli järjekord.

Kui tähistame homogeense SLAE lineaarselt sõltumatuid lahendusi kui X (1) , X (2) , …, X (nr) (X (1) , X (2) , …, X (nr) on n 1 veeru maatriksitega ), siis esitatakse selle homogeense süsteemi üldlahendus põhilahenduste süsteemi vektorite lineaarse kombinatsioonina suvalise konstantsed koefitsiendidС 1 , С 2 , …, С (n-r) , see tähendab .

Mida tähendab mõiste homogeense lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi (oroslau) üldlahend?

Tähendus on lihtne: valem määrab kõik võimalikud lahendused algne SLAE, teisisõnu, võttes suvaliste konstantide С 1 , С 2 , …, С (n-r) väärtuste komplekti, saame valemi järgi ühe algse homogeense SLAE lahendustest.

Seega, kui leiame fundamentaalse lahenduste süsteemi, saame kõik selle homogeense SLAE lahendused seada .

Näitame homogeense SLAE põhilahenduste süsteemi konstrueerimise protsessi.

Valime algse lineaarvõrrandisüsteemi põhimolli, jätame süsteemist välja kõik teised võrrandid ja kanname vastasmärkidega süsteemi võrrandite paremale poolele kõik vabu tundmatuid muutujaid sisaldavad terminid. Anname vabadele tundmatutele muutujatele väärtused 1,0,0,…,0 ja arvutame peamised tundmatud, lahendades saadud lineaarvõrrandi elementaarsüsteemi mis tahes viisil, näiteks Crameri meetodil. Seega saadakse X (1) – põhisüsteemi esimene lahendus. Kui anname vabadele tundmatutele väärtused 0,1,0,0,…,0 ja arvutame peamised tundmatud, siis saame X (2) . Jne. Kui anname vabadele tundmatutele muutujatele väärtused 0,0,…,0,1 ja arvutame peamised tundmatud, siis saame X (n-r) . Nii konstrueeritakse homogeense SLAE põhilahenduste süsteem ja saab kirjutada selle üldlahenduse kujul .

Lineaarsete algebraliste võrrandite ebahomogeensete süsteemide korral esitatakse üldlahend järgmiselt

Vaatame näiteid.

Näide.

Leia põhilahenduste süsteem ja homogeense lineaaralgebralise võrrandisüsteemi üldlahendus .

Lahendus.

Homogeensete lineaarvõrrandisüsteemide põhimaatriksi järg on alati võrdne laiendatud maatriksi astmega. Leiame põhimaatriksi auastme alaealiste ääristamise meetodil. Esimest järku nullist erineva minoorina võtame süsteemi põhimaatriksi elemendi a 1 1 = 9. Leidke teist järku ääristav nullist erinev moll:

Leitakse teist järku moll, mis erineb nullist. Vaatame nullist erinevat otsides läbi sellega piirnevad kolmanda järgu alaealised:

Kõik külgnevad kolmanda järgu alaealised on võrdsed nulliga, seetõttu on põhi- ja laiendatud maatriksi auaste kaks. Võtame põhilise molli. Selguse huvides märgime selle moodustava süsteemi elemendid:

Algse SLAE kolmas võrrand ei osale põhimolli moodustamises, seetõttu võib selle välistada:

Peamisi tundmatuid sisaldavad terminid jätame võrrandite paremale poolele ja vabade tundmatutega terminid kanname paremale poolele:

Koostagem algse homogeense lineaarvõrrandisüsteemi lahenduste põhisüsteem. Selle SLAE põhilahenduste süsteem koosneb kahest lahendusest, kuna algne SLAE sisaldab nelja tundmatut muutujat ja selle põhimollide järjekord on kaks. X (1) leidmiseks anname vabadele tundmatutele muutujatele väärtused x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, seejärel leiame võrrandisüsteemist peamised tundmatud
.

Mõistet "süsteem" kasutatakse erinevates teadustes. vastavalt erinevaid olukordi kasutatakse süsteemi erinevaid definitsioone: filosoofilisest formaalseni. Kursuse jaoks sobib kõige paremini definitsioon: süsteem on elementide kogum, mida ühendavad seosed ja mis toimivad koos eesmärgi saavutamiseks.

Süsteeme iseloomustavad mitmed omadused, millest peamised on jagatud kolme rühma: staatilised, dünaamilised ja sünteetilised.

1.1 Süsteemide staatilised omadused

staatiline omadusi nimetatakse süsteemi mõne oleku tunnusteks. See on see, mis süsteemil on igal kindlal ajahetkel.

Terviklikkus. Iga süsteem toimib millegi ühtse, tervikliku, isoleeritud, kõigest muust erinevana. Seda omadust nimetatakse süsteemi terviklikkuseks. See võimaldab jagada kogu maailma kaheks osaks: süsteem ja keskkond.

avatus. Kõigest muust eristuv isoleeritud süsteem ei ole keskkonnast isoleeritud. Vastupidi, nad on ühendatud ja vahetavad erinevat tüüpi ressursse (aine, energia, teave jne). Seda funktsiooni nimetatakse "avatuseks".

Süsteemi seosed keskkonnaga on suunatud: ühe järgi mõjutab keskkond süsteemi (süsteemi sisendid), teiste järgi süsteem mõjutab keskkonda, teeb keskkonnas midagi, annab keskkonnale midagi (süsteemi väljundid) . Süsteemi sisendite ja väljundite kirjeldust nimetatakse musta kasti mudeliks. Sellel mudelil puudub teave sisemised omadused süsteemid. Vaatamata näilisele lihtsusele piisab sellisest mudelist sageli süsteemiga töötamiseks.

Paljudel juhtudel võimaldab seadmete või inimeste juhtimisel informatsioon ainult süsteemi sisendite ja väljundite kohta eesmärgi edukalt saavutada. Kuid see mudel peab vastama teatud nõuetele. Näiteks võib kasutajal tekkida raskusi, kui ta ei tea, et mõnel telerimudelil ei pea toitenuppu vajutama, vaid välja tõmbama. Seetõttu peab mudel edukaks juhtimiseks sisaldama kogu eesmärgi saavutamiseks vajalikku teavet. Püüdes seda nõuet täita, võivad tekkida nelja tüüpi vead, mis tulenevad sellest, et mudel sisaldab alati piiratud arvu ühendusi, samas kui ühenduste arv reaalses süsteemis on piiramatu.

Esimest tüüpi viga ilmneb siis, kui subjekt peab seost ekslikult oluliseks ja otsustab selle mudelisse kaasata. See toob kaasa mittevajalike, mittevajalike elementide ilmumise mudelisse. Teist tüüpi viga tehakse vastupidi, kui otsustatakse mudelist välja jätta väidetavalt ebaoluline seos, ilma milleta on eesmärgi saavutamine tegelikult keeruline või isegi võimatu.

Vastus küsimusele, milline viga on hullem, sõltub kontekstist, milles seda küsitakse. On selge, et viga sisaldava mudeli kasutamine toob paratamatult kaasa kaotusi. Kaod võivad olla väikesed, vastuvõetavad, talumatud ja vastuvõetamatud. I tüüpi veast põhjustatud kahju on tingitud sellest, et sellega sisestatud teave on üleliigne. Sellise mudeliga töötades peate kulutama ressursse mittevajaliku teabe parandamiseks ja töötlemiseks, näiteks kulutama arvutimälu ja selle töötlemise aega. See ei pruugi mõjutada lahenduse kvaliteeti, kuid kindlasti mõjutab see kulusid ja õigeaegsust. Kahjud teist tüüpi veast - kahju sellest, et eesmärgi täielikuks saavutamiseks pole piisavalt teavet, eesmärki ei ole võimalik täielikult saavutada.

Nüüd on selge, et kõige hullem viga on see, mille kahjud on suuremad ja see sõltub konkreetsetest asjaoludest. Näiteks kui aeg on kriitiline tegur, muutub esimest tüüpi viga palju ohtlikumaks kui teist tüüpi viga: õigel ajal tehtud otsus, isegi kui mitte parim, on eelistatavam optimaalsele, kuid hilinenud otsusele. .

III tüüpi viga peetakse teadmatuse tagajärgedeks. Et hinnata mingi seose olulisust, pead teadma, et see üldse olemas on. Kui see pole teada, pole ühenduse mudelisse lisamise küsimus üldse seda väärt. Kui selline seos on ebaoluline, on praktikas selle olemasolu tegelikkuses ja selle puudumine mudelis märkamatu. Kui suhe on märkimisväärne, tekivad II tüüpi veaga sarnased raskused. Erinevus seisneb selles, et III tüüpi viga on raskem parandada: see nõuab uute teadmiste ammutamist.

Neljandat tüüpi viga ilmneb teadaoleva olulise ühenduse eksliku määramise korral süsteemi sisendite või väljundite arvule. Näiteks on hästi tõestatud, et 19. sajandi Inglismaal ületas silindrite kandvate meeste tervis tunduvalt mütse kandvate meeste oma. Vaevalt sellest järeldub, et peakatte tüüpi saab pidada terviseseisundi ennustamise süsteemi sisendiks.

Süsteemide sisemine heterogeensus, osade eristatus. Kui vaadata "musta kasti" sisse, siis selgub, et süsteem on heterogeenne, mitte monoliitne. Võib avastada, et erinevad kvaliteedid süsteemi eri osades on erinevad. Süsteemi sisemise heterogeensuse kirjeldus taandatakse suhteliselt homogeensete alade eraldamisele, tõmmates nende vahele piirid. Nii ilmneb süsteemi osade mõiste. Lähemal uurimisel selgub, et ka valitud suured osad on ebahomogeensed, mis nõuab veelgi väiksemate osade valimist. Tulemuseks on süsteemi osade hierarhiline kirjeldus, mida nimetatakse kompositsioonimudeliks.

Süsteemiga töötamiseks saab kasutada teavet süsteemi koostise kohta. Süsteemiga suhtlemise eesmärgid võivad olla erinevad ja seetõttu võivad erineda ka sama süsteemi koostise mudelid. Esmapilgul pole süsteemi osade eristamine keeruline, need on "tormavad". Mõnes süsteemis tekivad osad suvaliselt, loomuliku kasvu ja arengu käigus (organismid, ühiskonnad jne). Kunstlikud süsteemid pannakse teadlikult kokku varem tuntud osadest (mehhanismid, ehitised jne). On olemas ka segatüüpi süsteeme, nagu reservid, põllumajandussüsteemid. Seevastu rektori, üliõpilase, raamatupidaja ja ärijuhi seisukohalt koosneb ülikool erinevatest osadest. Lennuk koosneb piloodi, stjuardessi, reisija vaatenurgast erinevatest osadest. Kompositsioonimudeli loomise raskusi saab kirjeldada kolme sättega.

Esiteks saab terviku erineval viisil osadeks jagada. Sel juhul määrab jagamise meetodi eesmärk. Näiteks auto koostist esitletakse erineval moel algajatele autojuhtidele, tulevastele elukutselistele autojuhtidele, autoteeninduskeskusesse tööle valmistuvatele mehaanikutele ja autoesinduste müügimeestele. On loomulik küsida, kas süsteemi osad on "päriselt" olemas? Vastus sisaldub kõnealuse omaduse sõnastuses: me räägime eristatavusest, mitte osade eraldatavusest. Eesmärgi saavutamiseks vajalikke süsteemi osi saab eristada, kuid ei saa neid eraldada.

Teiseks sõltub osade arv kompositsioonimudelis ka sellest, millisel tasemel süsteemi killustatus peatatakse. Saadud hierarhilise puu otstes olevaid tükke nimetatakse elementideks. Erinevatel asjaoludel lõpetatakse lagunemine erinevatel tasanditel. Näiteks tuleb eelseisva töö kirjeldamisel anda kogenud töötajale ja algajale erineva detailsusega juhiseid. Seega oleneb kompositsioonimudel sellest, mida peetakse elementaarseks. On juhtumeid, kui elemendil on loomulik, absoluutne iseloom (rakk, indiviid, foneem, elektron).

Kolmandaks on iga süsteem osa suurem süsteem ja mõnikord mitu süsteemi korraga. Sellist metasüsteemi saab ka erinevalt alamsüsteemideks jagada. See tähendab, et süsteemi välispiiril on suhteline, tingimuslik iseloom. Süsteemi piiride määratlemisel võetakse arvesse süsteemimudelit kasutama hakkava subjekti eesmärke.

Struktureeritud. Struktureerituse omadus seisneb selles, et süsteemi osad ei ole isoleeritud, ei ole üksteisest sõltumatud; nad on omavahel seotud ja suhtlevad üksteisega. Samas sõltuvad süsteemi omadused sisuliselt sellest, kuidas täpselt selle osad omavahel suhtlevad. Seetõttu on nii oluline teave süsteemi elementide ühenduste kohta. Süsteemi elementide vaheliste oluliste seoste loendit nimetatakse süsteemi struktuurimudeliks. Mis tahes süsteemi teatud struktuuriga varustamist nimetatakse struktureerituks.

Struktureerimise kontseptsioon süvendab veelgi ideed süsteemi terviklikkusest: ühendused justkui hoiavad osi koos, hoiavad neid tervikuna. Terviklikkus, mida varem mainiti välise omadusena, saab tugevdava selgituse süsteemi seest – läbi struktuuri.

Konstruktsiooni mudeli ehitamisel tuleb ette ka teatud raskusi. Esimene neist on seotud asjaoluga, et struktuurimudel määratakse pärast kompositsioonimudeli valimist ja sõltub sellest, milline on täpselt süsteemi koostis. Kuid isegi fikseeritud koostise korral on struktuurimudel muutuv. Selle põhjuseks on võimalus suhete olulisuse kindlaksmääramiseks erinevatel viisidel. Näiteks kaasaegsel juhil soovitatakse oma organisatsiooni formaalse struktuuri kõrval arvestada ka töötajatevaheliste mitteformaalsete suhete olemasolu, mis mõjutavad ka organisatsiooni toimimist. Teine raskus tuleneb asjaolust, et süsteemi iga element on omakorda "väike must kast". Seega on iga struktuurimudelis sisalduva elemendi sisendite ja väljundite määramisel võimalikud kõik neli tüüpi vead.

1.2 SÜSTEEMIDE DÜNAAMILISED OMADUSED

Kui vaadelda süsteemi olekut uuel ajahetkel, siis jällegi leiame kõik neli staatilist omadust. Kui aga asetada süsteemi “fotod” erinevatel ajahetkedel üksteise peale, siis selgub, et need erinevad detailide poolest: kahe vaatluspunkti vahelise aja jooksul toimus süsteemis ja selle süsteemis mõningaid muutusi. keskkond. Sellised muudatused võivad süsteemiga töötamisel olla olulised ning seetõttu peaksid need kajastuma süsteemi kirjeldustes ja sellega töötamisel arvesse võtma. Süsteemi sees ja väljaspool seda aja jooksul toimuvate muutuste tunnuseid nimetatakse süsteemi dünaamilisteks omadusteks. Tavaliselt on neid neli dünaamilised omadused süsteemid.

Funktsionaalsus. Protsessid Y(t), mis toimuvad süsteemi väljunditel, loetakse selle funktsioonideks. Süsteemi funktsioonid on tema käitumine väliskeskkonnas, tegevuse tulemused, süsteemi poolt toodetud tooted.

Väljundite paljususest tuleneb funktsioonide paljusus, millest igaüht saab keegi ja millekski kasutada. Seetõttu võib sama süsteem teenida erinevaid eesmärke. Süsteemi oma eesmärkidel kasutav subjekt hindab loomulikult selle funktsioone ja korraldab neid vastavalt oma vajadustele. Nii tekivad mõisted põhi-, sekundaarne, neutraalne, ebasoovitav, üleliigne funktsioon jne.

Stimuleeritavus. Teatud protsessid toimuvad ka süsteemi sisendites. X(t), mis mõjutab süsteemi ja muutub pärast mitmeid süsteemis toimunud teisendusi Y(t). Mõju X(t) nimetatakse stiimuliteks ja mis tahes süsteemi vastuvõtlikkust välismõjudele ja selle käitumise muutumist nende mõjude mõjul kutsutakse stimulatsiooniks.

Süsteemi varieeruvus ajas. Igas süsteemis on muudatusi, millega tuleb arvestada. Süsteemimudeli osas võime öelda, et sisemiste muutujate (parameetrite) väärtused võivad muutuda Z(t), süsteemi koostis ja struktuur ning nende kombinatsioon. Nende muutuste olemus võib samuti olla erinev. Seetõttu võib kaaluda muudatuste edasist liigitamist.

Kõige ilmsem on klassifikatsioon muutuse kiiruse järgi (aeglane, kiire. Muutuse kiirust mõõdetakse mõne standardina võetud kiiruse suhtes. Võib kasutusele võtta suure hulga määrade gradatsioone. Samuti on võimalik klassifitseerida trende muutused süsteemis selle struktuuri ja koostise osas.

Võib rääkida sellistest muudatustest, mis ei mõjuta süsteemi struktuuri: osad elemendid asendatakse teistega, samaväärsetega; parameetrid Z(t) saab muutuda ilma struktuuri muutmata. Seda tüüpi süsteemi dünaamikat nimetatakse selle toimimiseks. Muutused võivad olla kvantitatiivsed: toimub süsteemi koostise tõus ja kuigi automaatselt muutub ka selle struktuur, ei mõjuta see süsteemi omadusi kuni teatud hetkeni (näiteks prügimäe laienemine). Selliseid muutusi nimetatakse süsteemi kasvuks. Kvalitatiivsete muutustega süsteemis muutuvad selle olulised omadused. Kui sellised muutused on positiivses suunas, nimetatakse neid arenguks. Samade ressurssidega saavutab arendatud süsteem paremaid tulemusi, võib ilmneda uusi positiivseid omadusi (funktsioone). Selle põhjuseks on järjepidevuse ja süsteemi organiseerituse taseme tõus.

Kasv toimub peamiselt tänu materiaalsete ressursside tarbimisele, areng – info assimilatsiooni ja kasutamise tõttu. Kasv ja areng võivad toimuda samaaegselt, kuid need ei pruugi olla omavahel seotud. Kasv on alati piiratud (materiaalsete ressursside piiratuse tõttu) ja väljastpoolt tuleva areng pole piiratud, kuna teave väliskeskkonna kohta on ammendamatu. Areng on õppimise tulemus, kuid õppija asemel õppida ei saa. Seetõttu on arengule sisemine piirang. Kui süsteem “ei taha” õppida, siis see ei saa ega arene.

Lisaks kasvu- ja arenguprotsessidele võivad süsteemis toimuda ka pöördprotsessid. Kasvule vastupidiseid muutusi nimetatakse majanduslanguseks, kokkutõmbumiseks, languseks. Muutuse vastupidist arengut nimetatakse kasulike omaduste halvenemiseks, kadumiseks või nõrgenemiseks.

Vaadeldavad muudatused on monotoonsed, see tähendab, et need on suunatud "ühes suunas". Ilmselgelt ei saa monotoonsed muutused kesta igavesti. Iga süsteemi ajaloos võib eristada languse ja tõusu, stabiilsuse ja ebastabiilsuse perioode, mille järjestus moodustab indiviidi eluring süsteemid.

Saate kasutada teisi süsteemis toimuvate protsesside klassifikatsioone: prognoositavuse järgi jagunevad protsessid juhuslikeks ja deterministlikeks; ajasõltuvuse tüübi järgi jagunevad protsessid monotoonseteks, perioodilisteks, harmoonilisteks, impulss- jne.

Eksisteerimine muutuvas keskkonnas. Muutub mitte ainult see süsteem, vaid ka kõik teised. Vaadeldava süsteemi jaoks näib see keskkonna pideva muutumisena. Sellel asjaolul on palju tagajärgi süsteemile endale, mis peab kohanema uute tingimustega, et mitte hukkuda. Konkreetse süsteemi käsitlemisel pööratakse tavaliselt tähelepanu süsteemi konkreetse reaktsiooni tunnustele, näiteks reaktsioonikiirusele. Kui arvestada infot salvestavaid süsteeme (raamatud, magnetkandjad), siis väliskeskkonna muutustele reageerimise kiirus peaks info säilimise tagamiseks olema minimaalne. Teisest küljest peab juhtimissüsteemi reaktsioonikiirus olema kordades suurem kui keskkonna muutumise kiirus, kuna süsteem peab juhttoimingu valima juba enne, kui keskkonnaseisund pöördumatult muutub.

1.3 SÜSTEEMIDE SÜNTEETILISED OMADUSED

Sünteetiliste omaduste hulka kuuluvad üldistavad, integraalsed, kollektiivsed omadused, mis kirjeldavad süsteemi vastasmõju keskkonnaga ja võtavad arvesse terviklikkust kõige üldisemas tähenduses.

Tekkimine. Elementide ühendamine süsteemiks toob kaasa kvalitatiivselt uute omaduste tekkimise, mis ei tulene osade omadustest, mis on omased ainult süsteemile endale ja eksisteerivad vaid seni, kuni süsteem on üks tervik. Selliseid süsteemi omadusi nimetatakse
esilekerkiv (inglise keelest "tekima").

Tekkivate omaduste näiteid võib leida erinevatest valdkondadest. Näiteks ei saa ükski lennuki osa lennata, kuid lennuk lendab ikkagi. Vee omadused, millest paljud pole täielikult mõistetavad, ei tulene vesiniku ja hapniku omadustest.

Olgu kaks musta kasti, millest igaühel on üks sisend, üks väljund ja mis sooritab ühe toimingu – lisab ühe sisendis olevale numbrile. Selliste elementide ühendamisel vastavalt joonisel näidatud skeemile saame süsteemi ilma sisenditeta, kuid kahe väljundiga. Iga töötsükli korral väljastab süsteem rohkem, samas kui ühes sisendis kuvatakse ainult paarisarvud ja teisel ainult paarituid numbreid.

aga	b
Joon.1.1. Süsteemi elementide ühendamine: a) kahe väljundiga süsteem; b) elementide paralleelühendus

Süsteemi esilekerkivad omadused määrab selle struktuur. See tähendab, et elementide erinevad kombinatsioonid annavad erinevaid esilekerkivaid omadusi. Näiteks kui ühendate elemente paralleelselt, siis funktsionaalselt uus süsteem ei erine ühest elemendist. Tekkimine väljendub süsteemi töökindluse suurendamises kahe identse elemendi paralleelse ühendamise tõttu - see tähendab koondamise tõttu.

Tuleb märkida, et oluline juhtum, kui süsteemi elementidel on kõik selle omadused. Selline olukord on tüüpiline süsteemi fraktaalkonstruktsioonile. Samas on osade struktureerimise põhimõtted samad, mis süsteemil tervikuna. Fraktaalsüsteemi näide on organisatsioon, kus juhtimine on üles ehitatud identselt kõigil hierarhia tasanditel.

Osadeks lahutamatus. See omadus on tegelikult tekkimise tagajärg. Seda rõhutatakse eelkõige seetõttu, et selle praktiline tähtsus on suur ja alahindamine on väga levinud.

Kui osa süsteemist eemaldatakse, siis kaks tähtsaid sündmusi. Esiteks muutub süsteemi koostis ja seega ka struktuur. See on erinev süsteem erinevate omadustega. Teiseks hakkab süsteemist eemaldatud element käituma teisiti, kuna selle keskkond muutub. Kõik see viitab sellele, et elemendi kaalumisel ülejäänud süsteemist eraldi tuleks olla ettevaatlik.

Omapära. Süsteem on seda terviklikum (inglise keelest omaselt "olemine millegi osaks"), seda paremini on see koordineeritud, kohandatud keskkond sellega ühilduv. Pärilikkuse aste on erinev ja võib muutuda. Inherentsi kui süsteemi ühe omaduse käsitlemise otstarbekus on seotud sellega, et sellest sõltub valitud funktsiooni süsteemi poolt realiseerimise määr ja kvaliteet. Looduslikes süsteemides suurendab loomulikkust loomulik valik. Tehissüsteemides peaks inherents olema disaineri eriline murekoht.

Paljudel juhtudel tagatakse inherence vahe- ja vahesüsteemide abil. Näiteks on adapterid välismaiste elektriseadmete kasutamiseks koos nõukogude stiilis pistikupesadega; vahevara (nt Windows COM-teenus), mis võimaldab kahel eri tootjate programmil omavahel suhelda.

Otstarbekus. Inimese loodud süsteemides on nii struktuuri kui koostise allutamine eesmärgi saavutamisele nii ilmne, et seda võib ära tunda põhivara mis tahes kunstlik süsteem. Seda omadust nimetatakse otstarbekuseks. Eesmärk, milleks süsteem luuakse, määrab, milline esilekerkiv omadus tagab eesmärgi saavutamise ning see omakorda määrab süsteemi struktuuri ja koostise valiku. Selleks, et otstarbekuse mõistet laiendada looduslikele süsteemidele, on vaja selgitada eesmärgi mõistet. Täpsustus viiakse läbi tehissüsteemi näitel.

Iga tehissüsteemi ajalugu algab mingil ajahetkel 0, mil olekuvektori Y 0 olemasolev väärtus osutub mitterahuldavaks ehk tekib probleemne olukord. Isik pole selle tingimusega rahul ja soovib seda muuta. Olgu ta olekuvektori Y* väärtustega rahul. See on eesmärgi esimene määratlus. Lisaks selgub, et Y* ei eksisteeri praegu ja seda ei ole võimalik mitmel põhjusel lähitulevikus saavutada. Teine samm eesmärgi määratlemisel on tunnistada see soovitavaks tulevikuseisundiks. Kohe saab selgeks, et tulevik pole piiratud. Kolmas samm eesmärgi mõiste täpsustamisel on hinnata aega T*, mil soovitud oleku Y* saab antud tingimustes. Nüüd muutub sihtmärk kahemõõtmeliseks, see on punkt (T*, Y*) graafikul. Ülesandeks on liikuda punktist (0, Y 0) punkti (T*, Y*). Kuid selgub, et seda teed saab kulgeda mööda erinevaid trajektoore ja realiseerida saab neist ainult ühte. Valik langes trajektoorile Y*( t). Seega ei mõisteta eesmärki nüüd mitte ainult lõppolekuna (T*, Y*), vaid ka kogu trajektoori Y*( t) (“vaheeesmärgid”, “plaan”). Seega on eesmärgiks soovitud tuleviku olekud Y*( t).

Pärast aja möödumist T* muutub olek Y* reaalseks. Seetõttu saab võimalikuks defineerida eesmärki tulevase reaalse seisundina. See võimaldab väita, et looduslikel süsteemidel on ka otstarbekuse omadus, mis võimaldab läheneda mis tahes laadi süsteemide kirjeldamisele ühtselt positsioonilt. Peamine erinevus looduslike ja tehissüsteemide vahel seisneb selles, et looduslikud süsteemid, järgides loodusseadusi, realiseerivad objektiivseid eesmärke ja kunstlikud süsteemid loodud subjektiivsete eesmärkide elluviimiseks.

Enamik ühine omadus mis tahes ebahomogeenne süsteem - kahe olemasolu ( või enam) faasid, mis on üksteisest eraldatud väljendunud liidesega. Selle tunnuse poolest erinevad heterogeensed süsteemid lahustest, mis koosnevad samuti mitmest komponendist, mis moodustavad homogeense segu. Ühte faasi, pidevat, nimetatakse hajutatud faasiks ja teist, peeneks jaotatud ja jaotatud esimeses, nimetatakse hajutatud faasiks. Sõltuvalt dispersioonikeskkonna tüübist eristatakse heterogeenseid segusid, vedelaid ja gaasilisi. Tabelis. 5.1 on ebahomogeensete süsteemide klassifikatsioon hajutatud ja hajutatud faaside tüübi järgi.

Tabel 5.1

Heterogeensete süsteemide klassifikatsioon

Heterogeensete süsteemide klassifikatsioon ja omadused

heterogeenne süsteem peetakse süsteemiks, mis koosneb kahest või enamast faasist. Igal faasil on oma liides ja seda saab teisest mehaaniliselt eraldada.

Ebahomogeenne süsteem koosneb sisemisest (dispergeeritud) faasist ja välisest faasist (dispersioonikeskkond), mis sisaldavad hajutatud faasi osakesi. Süsteeme, milles vedelikud on välisfaas, nimetatakse ebahomogeenseteks vedelikusüsteemideks ja kui gaase nimetatakse ebahomogeenseteks gaasisüsteemideks . Heterogeensed süsteemid nimetatakse heterogeenseks ja homogeenseks - homogeenseks. Homogeense vedelikusüsteemi all mõistetakse puhast vedelikku või selles sisalduvate ainete lahust. Ebahomogeenne või heterogeenne vedel süsteem on vedelik, milles on lahustumata aineid väikeste osakeste kujul. Heterogeenseid süsteeme nimetatakse sageli hajutatud.

Eristatakse järgmist tüüpi heterogeenseid süsteeme: suspensioonid, emulsioonid, vahud, tolmud, aurud, udud.

Vedrustus on süsteem, mis koosneb pidevast vedelfaasist, milles on suspendeeritud tahked osakesed. Näiteks kastmed jahuga, tärklisega piim, melass suhkrukristallidega.

Suspensioonid jagunevad olenevalt osakeste suurusest jämedaks (osakeste suurus üle 100 mikroni), peeneks (0,1-100 mikronit) ja kolloidsed lahused mis sisaldavad tahkeid osakesi suurusega 0,1 µm või vähem.

Emulsioon- see on süsteem, mis koosneb vedelikust ja sellesse jaotatud teise vedeliku tilkadest, mis esimeses ei lahustunud. See on näiteks piim, taimeõli ja vee segu. On gaasiemulsioone, milles dispersioonikeskkond on vedelik ja dispergeeritud faas on gaas.

Vaht on süsteem, mis koosneb selles jaotunud vedelikust ja gaasimullidest. Näiteks kreemid ja muud vahustatud tooted. Vahud on oma omadustelt lähedased emulsioonidele.

Emulsioone ja vahtu iseloomustab võimalus dispergeeritud faasi üleminekuks dispersioonikeskkonnaks ja vastupidi. Seda üleminekut, mis on võimalik faaside teatud massisuhte juures, nimetatakse faasiinversiooniks või lihtsalt inversiooniks.

Aerosoolid nimetatakse dispergeeritud süsteemiks gaasilise dispersioonikeskkonna ja tahke või vedela dispergeeritud faasiga, mis koosneb kvaasimolekulaarsest kuni mikroskoopilise suurusega osakestest, millel on omadus olla suspensioonis enam-vähem pikka aega. See kontseptsioon ühendab endas tolmu, suitsu, udu. Näiteks teravilja jahvatamisel, sõelumisel, jahu transportimisel tekkiv jahutolm; suhkru kuivatamisel tekkiv suhkrutolm jne Suits tekib tahkete kütuste põlemisel, udu - auru kondenseerumisel.

Aerosoolides on dispersioonikeskkonnaks gaas või õhk, tolmus ja suitsus dispergeeritud faas on tahked ained, udus aga vedel.

Tolm ja suits- süsteemid, mis koosnevad gaasist ja neis jaotunud tahketest osakestest, mille suurus on vastavalt 5-50 mikronit ja 0,3-5 mikronit. Udu on süsteem, mis koosneb selles jaotunud gaasi- ja vedelikupiiskadest, mille suurus on 0,3-3 mikronit, mis on tekkinud kondenseerumise tulemusena.

Aerosooliosakeste suuruse ühtlust iseloomustav kvalitatiivne näitaja on dispersiooniaste. Aerosooli nimetatakse monodispersseks, kui selle koostisosad on ühesuurused, ja polüdispersseks, kui see sisaldab erineva suurusega osakesi. Monodispersseid aerosoole looduses praktiliselt ei eksisteeri. On ainult mõned aerosoolid, mis osakeste suuruse poolest lähenevad ainult monodisperssetele süsteemidele (seente hüüfid, spetsiaalselt saadud udud jne).

Hajus või heterogeenne süsteemid võivad olenevalt hajutatud faaside arvust olla ühe- ja mitmekomponendilised. Näiteks piim on mitmekomponentne süsteem (selles on kaks hajutatud faasi: rasv ja valk); kastmed (hajunud faasid on jahu, rasv jne).

Eraldamise meetodid heterogeensed süsteemid klassifitseeritakse sõltuvalt dispergeeritud faasi hõljuvate osakeste suurusest, dispergeeritud ja pideva faasi tiheduse erinevusest, samuti pideva faasi viskoossusest. Kasutatakse järgmisi peamisi eraldamismeetodeid: settimine, filtreerimine, tsentrifuugimine, märgeraldus, elektropuhastus.

sademed on eraldusprotsess, mille käigus vedelikus või gaasis suspendeeritud dispergeeritud faasi tahked või vedelad osakesed eraldatakse pidevast faasist gravitatsiooni, tsentrifugaal- või elektrostaatilise toimega. Gravitatsiooni mõjul settimist nimetatakse settimiseks.

Filtreerimine – protsess eraldamine poorse vaheseina abil, mis on võimeline läbima vedelikku või gaasi ja säilitama keskkonnas hõljuvaid tahkeid osakesi. Filtreerimine toimub survejõudude toimel ja seda kasutatakse suspensiooni ja tolmu peenemaks eraldamiseks kui sademete ajal.

tsentrifuugimine- suspensioonide ja emulsioonide eraldamise protsess tsentrifugaaljõu toimel.

Märg eraldamine- gaasis hõljuvate osakeste kinnipüüdmise protsess vedeliku abil.

Elektropuhastus- gaaside puhastamine elektrijõudude mõjul.

Vedelate ja heterogeensete gaasisüsteemide eraldamise meetodid põhinevad samadel põhimõtetel, kuid kasutatavatel seadmetel on mitmeid funktsioone.

2.4.1. Definitsioon. Olgu antud ebahomogeenne lineaarvõrrandisüsteem

Mõelge homogeensele süsteemile

mille puhul koefitsientide maatriks langeb kokku süsteemi (2.4.1) koefitsientide maatriksiga. Seejärel kutsutakse süsteem (2.4.2). vähendatud homogeenne süsteem (2.4.1).

2.4.2. Teoreem. Ebahomogeense süsteemi üldlahend on võrdne ebahomogeense süsteemi mõne konkreetse lahenduse ja redutseeritud homogeense süsteemi üldlahenduse summaga.

Seega, et leida ebahomogeense süsteemi (2.4.1) üldlahendus, piisab:

1) Kontrollige selle ühilduvust. Ühilduvuse korral:

2) Leidke selle homogeense süsteemi üldlahendus.

3) Leidke algsele (mittehomogeensele) lahendusele mõni konkreetne lahendus.

4) Olles lisanud leitud konkreetse lahenduse ja antud lahenduse üldlahenduse, leidke algse süsteemi üldlahendus.

2.4.3. Harjutus. Uurige süsteemi ühilduvust ja ühilduvuse korral leidke selle üldlahend jagatise ja redutseeritud üldsumma kujul.

Lahendus. a) Probleemi lahendamiseks kasutame ülaltoodud skeemi:

1) Uurime süsteemi ühilduvust (alamooride ääristamise meetodil): Põhimaatriksi auaste on 3 (vt harjutuse 2.2.5 lahendust a) ja maksimaalse järgu nullist erinev moll koosneb 1. , 2., 4. rida ja 1., 3., 4. veerg. Laiendatud maatriksi auastme leidmiseks ääristame selle laiendatud maatriksi 3. rea ja 6. veeruga: =0. Tähendab, rg A =rg=3 ja süsteem on ühilduv. Eelkõige on see samaväärne süsteemiga

2) Leia üldine lahendus X 0 vähenenud selle süsteemi homogeensus

X 0 ={(-2a - b ; a ; b ; b ; b ) | a , b Î R}

(vt ülesande 2.2.5 lahendus a)).

3) Leidke algse süsteemi konkreetne lahendus x h . Selleks süsteemis (2.4.3), mis on samaväärne algse süsteemiga, vabad tundmatud x 2 ja x Seadsime 5 võrdseks näiteks nulliga (need on kõige mugavamad andmed):

ja lahendage saadud süsteem: x 1 =- , x 3 =- , x 4=-5. Seega (- ; 0; - ; -5; 0) ¾ on süsteemi konkreetne lahendus.

4) Leiame algsüsteemi üldlahenduse X n :

X n={x h }+X 0 ={(- ; 0; - ; -5; 0)} + {(-2a - b ; a ; b ; b ; b )}=

={(- -2a - b ; a ; - + b ; -5+b ; b )}.

kommenteerida. Võrrelge oma vastust teise vastusega näites 1.2.1 c). Esimesel kujul vastuse saamiseks 1.2.1 c) jaoks võtame põhitundmatuteks x 1 , x 3 , x 5 (mille moll ei ole samuti võrdne nulliga) ja vabana ¾ x 2 ja x 4 .

§3. Mõned rakendused.

3.1. Maatriksvõrrandite küsimusest. Meenutame teile seda maatriksvõrrand üle põllu F on võrrand, milles mingi maatriks üle välja toimib tundmatuna F .

Lihtsamad maatriksvõrrandid on vormi võrrandid

AX=B , XA =B (2.5.1)

kus A , B ¾ antud (tuntud) maatriksid üle välja F , aga X ¾ sellised maatriksid, mille asendamisel võrrandid (2.5.1) muutuvad tõelisteks maatriksvõrrateks. Eelkõige taandatakse teatud süsteemide maatriksmeetod maatriksvõrrandi lahendamisele.

Kui maatriksid A võrrandites (2.5.1) on mittemandunud, neil on vastavalt lahendid X =A B Ja X =BA .

Juhul kui vähemalt üks võrrandite (2.5.1) vasakpoolsetest maatriksitest on degenereerunud, ei ole see meetod enam sobiv, kuna vastav pöördmaatriks A ei eksisteeri. Sel juhul taandub lahenduste leidmine võrranditele (2.5.1) süsteemide lahendamiseks.

Kuid kõigepealt tutvustame mõnda mõistet.

Süsteemi kõigi lahenduste hulka nimetatakse ühine lahendus . Määramatu süsteemi individuaalne lahendus, nimetagem seda eraotsus .

3.1.1. Näide. Lahendage maatriksvõrrand üle välja R.

aga) X = ; b) X = ; sisse) X = .

Lahendus. a) Kuna \u003d 0, siis valem X =A B ei sobi selle võrrandi lahendamiseks. Kui töös XA =B maatriks A on 2 rida, siis maatriks X on 2 veergu. Ridade arv X peab vastama ridade arvule B . Sellepärast X on 2 rida. Sellel viisil, X ¾ on teist järku ruutmaatriks: X = . Asendaja X algsesse võrrandisse:

Korrutades (2.5.2) vasakpoolsed maatriksid, jõuame võrdsuseni

Kaks maatriksit on võrdsed siis ja ainult siis, kui neil on samad mõõtmed ja nende vastavad elemendid on võrdsed. Seetõttu on (2.5.3) samaväärne süsteemiga

See süsteem on süsteemiga samaväärne

Lahendades seda näiteks Gaussi meetodil, jõuame lahenduste komplektini (5-2 b , b , -2d , d ), kus b , d jooksevad üksteisest sõltumatult R. Sellel viisil, X = .

b) Sarnaselt punktiga a) on meil X = ja.

See süsteem on ebajärjekindel (kontrollige seda!). Seetõttu pole sellel maatriksvõrrandil lahendusi.

c) Tähistage seda võrrandit AX =B . Sest A on 3 veergu ja B on siis 2 veergu X ¾ mingi 3´2 maatriks: X = . Seetõttu on meil järgmine ekvivalentsuste ahel:

Viimase süsteemi lahendame Gaussi meetodil (jätame kommentaarid välja)

Seega jõuame süsteemini

mille lahendus on (11+8 z , 14+10z , z , -49+8w , -58+10w ,w ) kus z , w jooksevad üksteisest sõltumatult R.

Vastus: a) X = , b , d Î R.

b) Lahendusi pole.

sisse) X = z , w Î R.

3.2. Maatriksite permutatavuse küsimusest.Üldiselt on maatriksite korrutis mittepermuteeriv, st kui A Ja B selline, et AB Ja BA määratletud, siis üldiselt öeldes AB ¹ BA . Aga identiteedimaatriksi näide E näitab, et võimalik on ka ümbervahetamine AE =EA mis tahes maatriksi jaoks A , kui ainult AE Ja EA olid kindlaks määratud.

Selles alapeatükis käsitleme kõigi antud maatriksite hulga leidmise probleeme, mis kommuteerivad antud maatriksiga. Sellel viisil,

Tundmatu x 1 , y 2 ja z 3 võib võtta mis tahes väärtuse: x 1 =a , y 2 =b , z 3 =g . Siis

Sellel viisil, X = .

Vastus. aga) X d ¾ mis tahes arv.

b) X ¾ vormi maatriksite hulk , kus a , b Ja g ¾ suvalised numbrid.