Funktsiooni tuletis. Tuletise geomeetriline tähendus

Funktsiooni tuletis on üks keerulisemaid teemasid kooli õppekava. Mitte iga lõpetaja ei vasta küsimusele, mis on tuletis.

See artikkel selgitab lihtsalt ja selgelt, mis on tuletis ja miks seda vaja on.. Me ei püüdle nüüd esitluse matemaatilise ranguse poole. Kõige tähtsam on mõista tähendust.

Meenutagem määratlust:

Tuletis on funktsiooni muutumise kiirus.

Joonisel on kujutatud kolme funktsiooni graafikud. Milline neist kasvab teie arvates kõige kiiremini?

Vastus on ilmne – kolmas. Sellel on suurim muutusmäär, st suurim tuletis.

Siin on veel üks näide.

Kostja, Griša ja Matvey said samal ajal tööd. Vaatame, kuidas nende sissetulek aasta jooksul muutus:

Näete graafikul kõike kohe, eks? Kostja sissetulek on kuue kuuga enam kui kahekordistunud. Ja Grisha sissetulek ka kasvas, kuid ainult natuke. Ja Matthew sissetulek vähenes nulli. Algtingimused on samad, kuid funktsiooni muutumise kiirus, s.o. tuletis, - erinev. Mis puutub Matveysse, siis tema tulu tuletis on üldiselt negatiivne.

Intuitiivselt saame hõlpsasti hinnata funktsiooni muutumise kiirust. Aga kuidas me seda teeme?

Me tegelikult vaatame seda, kui järsult funktsiooni graafik üles (või alla) läheb. Teisisõnu, kui kiiresti y muutub x-iga. Ilmselgelt võib sama funktsioon erinevates punktides omada erinevat tuletise väärtust – see tähendab, et see võib muutuda kiiremini või aeglasemalt.

Funktsiooni tuletist tähistatakse .

Näitame, kuidas graafiku abil leida.

Joonistatakse mingi funktsiooni graafik. Võtke sellel abstsissiga punkt. Joonistage selles punktis funktsiooni graafikule puutuja. Tahame hinnata, kui järsult funktsiooni graafik tõuseb. Selle jaoks on mugav väärtus puutuja kalde puutuja.

Funktsiooni tuletis punktis on võrdne selles punktis funktsiooni graafikule tõmmatud puutuja kalde puutujaga.

Pange tähele - puutuja kaldenurgana võtame puutuja ja telje positiivse suuna vahelise nurga.

Mõnikord küsivad õpilased, mis on funktsiooni graafiku puutuja. See on sirgjoon, millel on ainus ühine punkt selles jaotises oleva graafikuga, nagu on näidatud meie joonisel. See näeb välja nagu ringi puutuja.

Otsime üles. Mäletame, et teravnurga puutuja in täisnurkne kolmnurk võrdne vastasjala ja külgneva jala suhtega. Kolmnurgast:

Leidsime tuletise graafiku abil, teadmata isegi funktsiooni valemit. Selliseid ülesandeid leidub matemaatika eksamil sageli numbri all.

On veel üks oluline seos. Tuletame meelde, et sirge annab võrrand

Selles võrrandis olevat suurust nimetatakse sirgjoone kalle. See on võrdne sirge telje kaldenurga puutujaga.

.

Me saame sellest aru

Meenutagem seda valemit. See väljendab tuletise geomeetrilist tähendust.

Funktsiooni tuletis punktis on võrdne selles punktis funktsiooni graafikule tõmmatud puutuja kaldega.

Teisisõnu, tuletis on võrdne puutuja kalde puutujaga.

Oleme juba öelnud, et samal funktsioonil võivad erinevates punktides olla erinevad tuletised. Vaatame, kuidas tuletis on seotud funktsiooni käitumisega.

Joonistame mõne funktsiooni graafiku. Las see funktsioon mõnes piirkonnas suureneb ja teistes väheneb erineva kiirusega. Ja olgu sellel funktsioonil maksimum- ja miinimumpunktid.

Ühel hetkel funktsioon suureneb. Punkti tõmmatud graafiku puutuja moodustab telje positiivse suunaga teravnurga. Seega on tuletis punktis positiivne.

Hetkel meie funktsioon väheneb. Selles punktis olev puutuja moodustab telje positiivse suunaga nürinurga. Kuna nürinurga puutuja on negatiivne, on tuletis punktis negatiivne.

See juhtub järgmiselt.

Kui funktsioon kasvab, on selle tuletis positiivne.

Kui see väheneb, on selle tuletis negatiivne.

Ja mis saab maksimum- ja miinimumpunktides? Näeme, et (maksimumipunktis) ja (minimaalses punktis) puutuja on horisontaalne. Seetõttu on puutuja kalde puutuja nendes punktides null ja tuletis on samuti null.

Punkt on maksimumpunkt. Siinkohal asendub funktsiooni suurenemine vähenemisega. Järelikult muutub tuletise märk punktis "plussist" "miinusseks".

Punktis - miinimumpunktis - on tuletis samuti võrdne nulliga, kuid selle märk muutub "miinusest" "plussiks".

Järeldus: tuletise abil saate funktsiooni käitumise kohta teada kõike, mis meid huvitab.

Kui tuletis on positiivne, siis funktsioon kasvab.

Kui tuletis on negatiivne, siis funktsioon on kahanev.

Maksimaalses punktis on tuletis null ja muudab märgi plussist miinusesse.

Miinimumpunktis on tuletis samuti null ja muudab märgi miinusest plussiks.

Kirjutame need leiud tabeli kujul:

	suureneb	maksimaalne punkt	väheneb	miinimumpunkt	suureneb
+	0	-	0	+

Teeme kaks väikest täpsustust. Ühte neist läheb sul vaja eksamiülesannete lahendamisel. Teine - esimesel aastal, funktsioonide ja tuletisi tõsisema uurimisega.

Võimalik on juhtum, kui funktsiooni tuletis on mingil hetkel võrdne nulliga, kuid funktsioonil pole selles punktis ei maksimumi ega miinimumi. See nn :

Punktis on graafiku puutuja horisontaalne ja tuletis null. Kuid enne punkti funktsioon suurenes – ja pärast punkti jätkab suurenemist. Tuletise märk ei muutu - see on jäänud positiivseks, nagu ta oli.

Samuti juhtub, et maksimumi või miinimumi punktis tuletist ei eksisteeri. Graafikul vastab see järsule katkestusele, kui antud punktis pole puutujat võimalik joonistada.

Kuidas aga leida tuletist, kui funktsioon on antud mitte graafiku, vaid valemiga? Sel juhul kehtib see

Esmalt proovige leida funktsiooni ulatus:

Kas said hakkama? Võrdleme vastuseid:

Hästi? Hästi tehtud!

Nüüd proovime leida funktsiooni vahemikku:

Leitud? Võrdlema:

Kas see nõustus? Hästi tehtud!

Töötame uuesti graafikutega, ainult et nüüd on see veidi keerulisem - leida nii funktsiooni domeeni kui ka funktsiooni vahemikku.

Kuidas leida funktsiooni domeen ja ulatus (täpsem)

See juhtus järgmiselt.

Graafika puhul arvan, et said sellest aru. Nüüd proovime leida funktsiooni domeeni vastavalt valemitele (kui te ei tea, kuidas seda teha, lugege jaotist selle kohta):

Kas said hakkama? Kontrollimine vastuseid:

1. , kuna juuravaldis peab olema suurem kui null või sellega võrdne.
2. , kuna nulliga jagamine on võimatu ja radikaalavaldis ei saa olla negatiivne.
3. , kuna vastavalt kõigile.
4. sest nulliga jagada ei saa.

Siiski on meil veel üks hetk, mis pole lahendatud ...

Lubage mul korrata määratlust ja keskenduda sellele:

Märkasid? Sõna "ainult" on meie määratluse väga-väga oluline element. Püüan teile näpuga seletada.

Oletame, et meil on sirgjoonega antud funktsioon. . Millal, asendame selle väärtuse oma "reegliga" ja saame selle. Üks väärtus vastab ühele väärtusele. Selle kontrollimiseks saame isegi koostada erinevate väärtuste tabeli ja joonistada antud funktsiooni.

"Vaata! - sa ütled, - "" kohtub kaks korda!" Ehk siis parabool polegi funktsioon? Ei on küll!

Asjaolu, et "" esineb kaks korda, pole kaugeltki põhjus süüdistada parabooli mitmetähenduslikkuses!

Fakt on see, et arvestuses saime ühe mängu. Ja -ga arvutades saime ühe mängu. Nii et see on õige, parabool on funktsioon. Vaata diagrammi:

Sain aru? Kui ei, siis siin on teile näide elust, matemaatikast kaugel!

Oletame, et meil on dokumentide esitamisel kohtunud taotlejate rühm, kellest igaüks rääkis vestluses, kus ta elab:

Nõus, on üsna reaalne, et samas linnas elab mitu meest, kuid ühel inimesel on võimatu elada korraga mitmes linnas. See on justkui meie "parabooli" loogiline esitus - Mitmed erinevad x-id vastavad samale y-le.

Toome nüüd näite, kus sõltuvus ei ole funktsioon. Oletame, et samad poisid rääkisid, millistele erialadele nad kandideerisid:

Siin on olukord täiesti erinev: üks inimene saab hõlpsasti taotleda ühte või mitut suunda. St üks element komplektid pannakse kirjavahetusse mitu elementi komplektid. vastavalt see ei ole funktsioon.

Paneme teie teadmised praktikas proovile.

Tehke piltide põhjal kindlaks, mis on funktsioon ja mis mitte:

Sain aru? Ja siin on vastuseid:

• Funktsioon on - B,E.
• Pole funktsioon – A, B, D, D.

Küsite, miks? Jah, siin on põhjus:

Kõigil joonistel v.a IN) Ja E) neid on mitu ühe jaoks!

Olen kindel, et nüüd saate hõlpsasti eristada funktsiooni mittefunktsioonist, öelda, mis on argument ja mis on sõltuv muutuja, ning määrata ka argumendi ulatuse ja funktsiooni ulatuse. Liigume edasi järgmise jaotise juurde – kuidas funktsiooni defineerida?

Funktsiooni seadistamise viisid

Mida need sõnad teie arvates tähendavad "seadista funktsioon"? Täpselt nii, see tähendab kõigile selgitamist, mis funktsioonist me antud juhul räägime. Pealegi selgita nii, et kõik sinust õigesti aru saaksid ja sinu selgituse järgi inimeste joonistatud funktsioonide graafikud oleksid samad.

Kuidas ma seda teha saan? Kuidas funktsiooni seadistada? Lihtsaim viis, mida on selles artiklis juba mitu korda kasutatud - kasutades valemit. Kirjutame valemi ja sellesse väärtuse asendades arvutame väärtuse. Ja nagu mäletate, on valem seadus, reegel, mille järgi saab meile ja teisele inimesele selgeks, kuidas X muutub Y-ks.

Tavaliselt nad just seda teevadki - ülesannetes näeme valemitega määratletud valmisfunktsioone, kuid funktsiooni seadistamiseks on ka teisi viise, mille kõik unustavad ja seetõttu tekib küsimus "kuidas muidu saate funktsiooni määrata?" ajab segadusse. Vaatame kõike järjekorras ja alustame analüüsimeetodist.

Funktsiooni defineerimise analüütiline viis

Analüütiline meetod on funktsiooni ülesanne valemit kasutades. See on kõige universaalsem, kõikehõlmavam ja ühemõttelisem viis. Kui teil on valem, siis teate funktsiooni kohta absoluutselt kõike - saate selle peale teha väärtuste tabeli, saate koostada graafiku, määrata, kus funktsioon suureneb ja kus see väheneb, üldiselt uurida seda täielikult.

Vaatleme funktsiooni. Mis see loeb?

"Mida see tähendab?" - te küsite. Ma selgitan nüüd.

Tuletan meelde, et tähistuses nimetatakse sulgudes olevat avaldist argumendiks. Ja see argument võib olla mis tahes väljend, mitte tingimata lihtne. Sellest lähtuvalt, olenemata argumentist (avaldis sulgudes), kirjutame selle avaldisesse.

Meie näites näeb see välja järgmine:

Mõelge veel ühele ülesandele, mis on seotud teie eksamil kasutatava funktsiooni määramise analüütilise meetodiga.

Leidke avaldise väärtus at.

Olen kindel, et alguses ehmatasite sellist väljendit nähes, kuid selles pole absoluutselt midagi hirmutavat!

Kõik on sama, mis eelmises näites: olenemata argumentist (avaldis sulgudes), kirjutame selle asemel avaldisesse. Näiteks funktsiooni jaoks.

Mida tuleks meie näites teha? Selle asemel peate kirjutama ja - asemel:

lühendage saadud avaldist:

See on kõik!

Iseseisev töö

Proovige nüüd ise leida järgmiste väljendite tähendus:

1. , kui
2. , kui

Kas said hakkama? Võrdleme oma vastuseid: oleme harjunud, et funktsioonil on vorm

Isegi oma näidetes defineerime funktsiooni nii, kuid analüütiliselt on võimalik funktsiooni defineerida näiteks kaudselt.

Proovige seda funktsiooni ise luua.

Kas said hakkama?

Siin on, kuidas ma selle ehitasin.

Millise võrrandini me lõpuks jõudsime?

Õige! Lineaarne, mis tähendab, et graafik on sirgjoon. Teeme tabeli, et määrata, millised punktid meie reale kuuluvad:

Just sellest me rääkisime ... Üks vastab mitmele.

Proovime juhtunut joonistada:

Kas see, mis meil on, on funktsioon?

Täpselt nii, ei! Miks? Proovige sellele küsimusele vastata pildiga. Mis sa said?

"Sest üks väärtus vastab mitmele väärtusele!"

Millise järelduse saame sellest teha?

See on õige, funktsiooni ei saa alati selgelt väljendada ja see, mis on funktsiooniks "maskeeritud", ei ole alati funktsioon!

Tabelikujuline funktsiooni defineerimise viis

Nagu nimigi ütleb, on see meetod lihtne plaat. Jah Jah. Nagu see, mille me juba tegime. Näiteks:

Siin märkasite kohe mustrit - Y on kolm korda suurem kui X. Ja nüüd ülesanne “mõtle väga hästi”: kas arvate, et tabeli kujul antud funktsioon on samaväärne funktsiooniga?

Ärme räägime pikalt, vaid joonistame!

Niisiis. Joonistame mõlemal viisil antud funktsiooni:

Kas näete erinevust? Asi pole märgitud punktides! Vaata lähemalt:

Kas sa oled seda nüüd näinud? Funktsiooni tabelina seadmisel kajastame graafikul ainult neid punkte, mis meil tabelis on ja joon (nagu meie puhul) läbib ainult neid. Kui defineerime funktsiooni analüütiliselt, võime võtta mis tahes punkte ja meie funktsioon ei piirdu nendega. Siin on selline funktsioon. Pea meeles!

Graafiline viis funktsiooni loomiseks

Funktsiooni graafiline koostamise viis pole vähem mugav. Joonistame oma funktsiooni ja teine ​​huviline leiab, millega y on võrdne teatud x juures jne. Graafilised ja analüütilised meetodid on ühed levinumad.

Siinkohal tuleb aga meeles pidada, millest me alguses rääkisime - mitte iga koordinaatsüsteemi joonistatud “sabin” ei ole funktsioon! Mäletasid? Igaks juhuks kopeerin siia funktsiooni definitsiooni:

Reeglina nimetavad inimesed tavaliselt täpselt neid kolme funktsiooni määramise viisi, mida oleme analüüsinud - analüütiline (valemi abil), tabel ja graafiline, unustades täielikult, et funktsiooni saab kirjeldada ka verbaalselt. Nagu nii? Jah, väga lihtne!

Funktsiooni sõnaline kirjeldus

Kuidas funktsiooni verbaalselt kirjeldada? Võtame meie hiljutise näite – . See funktsioon võib kirjeldada kui "iga x tegelik väärtus vastab selle kolmikväärtusele". See on kõik. Ei midagi keerulist. Muidugi vaidlete vastu - "seal on nii keerulisi funktsioone, mida on lihtsalt võimatu verbaalselt seadistada!" Jah, mõned on, kuid on funktsioone, mida on lihtsam sõnaliselt kirjeldada kui valemiga seada. Näiteks: "iga x-i naturaalväärtus vastab numbrite erinevusele, millest see koosneb, samas kui numbri sisestuses sisalduvat suurimat numbrit võetakse minuendiks." Nüüd mõelge, kuidas meie sõnaline kirjeldus Funktsioone rakendatakse praktikas:

Suurim näitaja aastal antud number- vastavalt, - vähendatud, siis:

Peamised funktsioonide tüübid

Liigume nüüd edasi kõige huvitavama juurde - kaalume peamisi funktsioonitüüpe, millega te kooli- ja instituudi matemaatika käigus töötasite / töötate ja töötate, see tähendab, et me õpime neid nii-öelda tundma ja anna neile lühikirjeldus. Lisateavet iga funktsiooni kohta leiate vastavast jaotisest.

Lineaarne funktsioon

Vormi funktsioon, kus on reaalarvud.

Selle funktsiooni graafik on sirgjoon, seega taandatakse lineaarfunktsiooni konstrueerimine kahe punkti koordinaatide leidmiseks.

Otsene asend sisse lülitatud koordinaattasand oleneb kaldetegurist.

Funktsiooni ulatus (teise nimega argumentide vahemik) - .

Väärtuste vahemik on.

ruutfunktsioon

Vormi funktsioon, kus

Funktsiooni graafik on parabool, kui parabooli harud on suunatud alla, millal - üles.

Paljud ruutfunktsiooni omadused sõltuvad diskriminandi väärtusest. Diskriminant arvutatakse valemiga

Parabooli asukoht koordinaattasandil väärtuse ja koefitsiendi suhtes on näidatud joonisel:

Domeen

Väärtuste vahemik sõltub antud funktsiooni ekstreemumist (parabooli tipp) ja koefitsiendist (parabooli harude suunast)

Pöördvõrdelisus

Valemiga antud funktsioon, kus

Arvu nimetatakse pöördproportsionaalsuse teguriks. Sõltuvalt väärtusest on hüperbooli harud erinevates ruutudes:

Domeen – .

Väärtuste vahemik on.

KOKKUVÕTE JA PÕHIVALEM

1. Funktsioon on reegel, mille järgi igale hulga elemendile omistatakse hulga kordumatu element.

• - see on valem, mis tähistab funktsiooni, st ühe muutuja sõltuvust teisest;
• - muutuja ehk argument;
• - sõltuv väärtus - muutub argumendi muutumisel ehk mingi kindla valemi järgi, mis peegeldab ühe väärtuse sõltuvust teisest.

2. Kehtivad argumendi väärtused, ehk funktsiooni ulatus, on see, mis on seotud võimalikuga, mille alusel funktsioon on mõttekas.

3. Funktsiooni väärtuste vahemik- need on kehtivad väärtused.

4. Funktsiooni seadistamiseks on 4 võimalust:

• analüütiline (valemite kasutamine);
• tabelikujuline;
• graafiline
• sõnaline kirjeldus.

5. Peamised funktsioonide tüübid:

• : , kus on reaalarvud;
• : , kus;
• : , kus.

Funktsiooni $y = f(x)$ tuletis antud punktis $x_0$ on funktsiooni juurdekasvu ja selle argumendi vastava juurdekasvu suhte piir, eeldusel, et viimane kaldub nulli:

$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$

Diferentseerimine on tuletise leidmise operatsioon.

Mõne elementaarfunktsiooni tuletise tabel

Funktsioon	Tuletis
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n$	$nx^(n-1)$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$√x$	$(1)/(2√x)$
$e^x$	$e^x$
$lnx$	$(1)/(x)$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$

Eristamise põhireeglid

1. Summa (erinevuse) tuletis võrdub tuletiste summaga (erinevus)

$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$

Leia funktsiooni $f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$ tuletis

Summa tuletis (erinevus) võrdub tuletiste summaga (vahega).

$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$

2. Toote tuletis

$(f(x) g(x))"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$

Leidke tuletis $f(x)=4x cosx$

$f"(x)=(4x)" cosx+4x (cosx)"=4 cosx-4x sinx$

3. Jagatise tuletis

$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $

Leidke tuletis $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)" e^x-5x^5 (e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4 e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$

4. Kompleksfunktsiooni tuletis võrdub välisfunktsiooni tuletise ja sisefunktsiooni tuletise korrutisega

$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$

$f"(x)=cos"(5x) (5x)"=-sin(5x) 5= -5sin(5x)$

Tuletise füüsikaline tähendus

Kui materiaalne punkt liigub sirgjooneliselt ja selle koordinaat muutub sõltuvalt ajast vastavalt seadusele $x(t)$, siis on selle punkti hetkekiirus võrdne funktsiooni tuletisega.

Punkt liigub mööda koordinaatjoont vastavalt seadusele $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$, kus $x(t)$ on koordinaat ajahetkel $t$. Millisel ajahetkel võrdub punkti kiirus 12 dollariga?

1. Kiirus on $x(t)$ tuletis, seega leiame antud funktsiooni tuletise

$v(t) = x"(t) = 1,5 2t -3 = 3t -3 $

2. Et leida, millisel ajahetkel $t$ oli kiirus võrdne $12$, koostame ja lahendame võrrandi:

Tuletise geomeetriline tähendus

Tuletame meelde, et koordinaattelgedega mitteparalleelse sirge võrrandi saab kirjutada kujul $y = kx + b$, kus $k$ on sirge kalle. Koefitsient $k$ võrdub sirge ja $Ox$ telje positiivse suuna vahelise kalde puutujaga.

Funktsiooni $f(x)$ tuletis punktis $x_0$ on võrdne antud punktis graafiku puutuja kaldega $k$:

Seetõttu saame teha üldise võrdsuse:

$f"(x_0) = k = tgα$

Joonisel funktsiooni $f(x)$ puutuja kasvab, sellest ka koefitsient $k > 0$. Kuna $k > 0$, siis $f"(x_0) = tgα > 0$. Nurk $α$ puutuja ja positiivse suuna $Ox$ vahel on terav.

Joonisel funktsiooni $f(x)$ puutuja väheneb, seega koefitsient $k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

Joonisel on funktsiooni $f(x)$ puutuja paralleelne teljega $Ох$, seega koefitsient $k = 0$, seega $f"(x_0) = tg α = 0$. Punkt $ x_0$, kus $f "(x_0) = 0$, kutsutakse äärmus.

Joonisel on kujutatud funktsiooni $y=f(x)$ graafik ja selle graafiku puutuja, mis on tõmmatud punktis, mille abstsiss on $x_0$. Leia funktsiooni $f(x)$ tuletise väärtus punktis $x_0$.

Graafiku puutuja suureneb seega $f"(x_0) = tg α > 0$

$f"(x_0)$ leidmiseks leiame puutuja ja $Ox$ telje positiivse suuna vahelise kalde puutuja. Selleks lõpetame kolmnurga $ABC$ puutuja.

Leia nurga $BAC$ puutuja. (Täisnurkse kolmnurga teravnurga puutuja on vastasjala ja külgneva jala suhe.)

$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12) = (1)/(4) = 0,25 $

$f"(x_0) = tg TEIE = 0,25 $

Vastus: 0,25 dollarit

Tuletist kasutatakse ka suurenevate ja kahanevate funktsioonide intervallide leidmiseks:

Kui $f"(x) > 0$ intervallil, siis funktsioon $f(x)$ kasvab sellel intervallil.

Kui $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

Joonisel on kujutatud funktsiooni $y = f(x)$ graafik. Leia punktide $х_1,х_2,х_3…х_7$ hulgast need punktid, kus funktsiooni tuletis on negatiivne.

Vastuseks kirjutage üles andmepunktide arv.

Munitsipaal haridusasutus

"Saltykovskaja keskkool

Saratovi oblasti Rtištševski rajoon

Matemaatika meistriklass

11. klassis

sellel teemal

"DERIVATIIVFUNKTSIOON

KASUTAMISE ÜLESANNETES"

Juhtis matemaatikaõpetaja

Beloglazova L.S.

2012-2013 õppeaasta

Meistriklassi eesmärk : arendada õpilaste oskusi rakendada teoreetilisi teadmisi teemal "Funktsiooni tuletis" üheainsa ülesannete lahendamiseks. riigieksam.

Ülesanded

Hariduslik: üldistada ja süstematiseerida õpilaste teadmisi antud teemal

"Funktsiooni tuletis", et kaaluda selleteemaliste USE probleemide prototüüpe, anda õpilastele võimalus oma teadmisi proovile panna iseseisvalt ülesandeid lahendades.

Arendamine: edendada mälu, tähelepanu, enesehinnangu ja enesekontrollioskuste arengut; põhilised põhipädevused(võrdlus, võrdlemine, objektide klassifitseerimine, sobivate lahendusmeetodite määramine õppeülesanne etteantud algoritmide alusel oskus ebakindluse olukorras iseseisvalt tegutseda, oma tegevust kontrollida ja hinnata, raskuste põhjuseid leida ja kõrvaldada).

Hariduslik: reklaamida:

õpilaste vastutustundliku õpihoiaku kujundamine;

jätkusuutliku matemaatikahuvi arendamine;

positiivse sisemise motivatsiooni loomine matemaatika õppimiseks.

Tehnoloogia: individuaalselt diferentseeritud õpe, IKT.

Õppemeetodid: verbaalne, visuaalne, praktiline, problemaatiline.

Töö vormid: individuaalne, eesmine, paaris.

Tunni varustus ja materjalid: projektor, ekraan, arvuti igale õpilasele, simulaator (lisa nr 1), esitlus tunni jaoks (lisa nr 2), individuaalselt - diferentseeritud kaardid iseseisev töö paarides (lisa nr 3), Interneti-saitide loend, individuaalselt eristatud kodutöö (lisa nr 4).

Meistriklassi selgitus. See meistriklass toimub 11. klassis, et valmistuda eksamiks. Suunatud teema "Funktsiooni tuletis" teoreetilise materjali rakendamisele eksamiülesannete lahendamisel.

Meistriklassi kestus- 30 minutit.

Meistriklassi ülesehitus

I. Korraldusmoment -1 min.

II Teema kommunikatsioon, meistriklassi eesmärgid, õppetegevuse motivatsioon-1 min.

III. Esitöö. Koolitus "Ülesanded B8 KASUTAMINE". Simulaatoriga töö analüüs - 6 min.

IV.Individuaalselt - diferentseeritud töö paaristööna. Iseseisev probleemide lahendamine B14. Vastastikune kontroll - 7 min.

V. Individuaalsete kodutööde kontrollimine. Ülesanne parameetriga C5 USE

3 min.

VI .On-line testimine. Testitulemuste analüüs - 9 min.

VII. Individuaalselt diferentseeritud kodutöö -1 min.

VIII Tunni hinded - 1 min.

IX Tunni kokkuvõte. Peegeldus -1 min.

Meistriklassi edusammud

ma .Aja korraldamine.

II .Teema kommunikatsioon, meistriklassi eesmärgid, õppetegevuse motiveerimine.

(Slaidid 1-2, lisa nr 2)

Meie tunni teemaks on "Funktsiooni tuletis eksami ülesannetes". Kõik teavad ütlust "Spool on väike ja kallis." Üks neist matemaatika "poolidest" on tuletis. Tuletist kasutatakse paljude lahendamisel praktilisi ülesandeid matemaatika, füüsika, keemia, majandus ja muud teadusharud. See võimaldab probleeme lihtsalt, kaunilt, huvitavalt lahendada.

Teema "Tuletis" esitatakse ühtse riigieksami B-osa (B8, B14) ülesannetes. Mõningaid C5 ülesandeid saab lahendada ka tuletise abil. Kuid nende ülesannete lahendamiseks on vaja head matemaatilist ettevalmistust ja ebastandardset mõtlemist.

Olete töötanud ühtse matemaatika riigieksami 2013 kontrollmõõtematerjalide ülesehitust ja sisu reguleerivate dokumentidega. Järeldage, etmilliseid teadmisi ja oskusi on vaja, et edukalt lahendada eksami ülesandeid teemal "Tuletis".

(Slaidid 3-4, lisa nr 2)

Meie uurinud"Kodifitseerija sisuelemendid MATEMAATIKAS kontrollmõõtematerjalide koostamiseks ühtse riigieksami läbiviimiseks”,

"Lõpetajate koolitustaseme nõuete kodifitseerija","Spetsifikatsioon kontrollmõõtematerjalid","Demoversioon"ühtse riigieksami 2013 kontrollmõõtematerjalid "javälja nuputama milliseid teadmisi ja oskusi funktsiooni ja selle tuletise kohta on vaja, et edukalt lahendada ülesandeid teemal "Tuletis".

Vajalik

• TEADA

P tuletisinstrumentide arvutamise reeglid;

põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised;

tuletise geomeetriline ja füüsikaline tähendus;
funktsiooni graafiku puutuja võrrand;
funktsiooni uurimine tuletise abil.

SUUDA

sooritada funktsioonidega toiminguid (kirjeldada graafiku järgi funktsiooni käitumist ja omadusi, leida selle maksimum- ja miinimumväärtused).

KASUTADA

omandatud teadmisi ja oskusi praktilises tegevuses ja igapäevaelus.

Sul on teoreetilised teadmised teemal "Tuletis". Täna teemeÕPIGE KASUTUSPROBLEEMIDE LAHENDAMISEKS RAKENDAMA TULETUSFUNKTSIOONI KOHTA TEADMISI. ( Slaid 4, rakenduse number 2)

Lõppude lõpuks, mitte ilma põhjuseta Aristoteles ütles seda „INtelligentsus MITTE AINULT TEADMISES, VAID KA TEADMISE PRAKTIKAS RAKENDAMISE VÕIMES”( Slaid 5, rakenduse number 2)

Tunni lõpus pöördume tagasi oma tunni eesmärgi juurde ja uurime, kas oleme selle saavutanud?

III . Esitöö. Koolitus "Ülesanded B8 USE" (Lisa nr 1) . Simulaatoriga töö analüüs.

Vali neljast antud vastusest õige.

Mis on teie arvates ülesande B8 täitmise raskus?

Millised on teie arvates tüüpilised vead, mida lõpetajad eksamil selle probleemi lahendamisel teevad?

Ülesande B8 küsimustele vastates peaksite suutma kirjeldada funktsiooni käitumist ja omadusi tuletise graafikul ning funktsiooni graafikul funktsiooni tuletise käitumist ja omadusi. Ja selleks on vaja häid teoreetilisi teadmisi järgmistel teemadel: „Tuletise geomeetriline ja mehaaniline tähendus. Funktsiooni graafiku puutuja. Tuletise rakendamine funktsioonide uurimisel.

Analüüsige, millised ülesanded teile raskusi valmistasid?

Milliseid teoreetilisi küsimusi peate teadma?

IV. Individuaalselt – diferentseeritud töö paaristööna. Iseseisev probleemide lahendamine B14. Vastastikune kontrollimine. (Lisa nr 3)

Tuletage meelde ülesannete lahendamise algoritmi (B14 USE) äärmuspunktide, funktsiooni äärmuste, funktsiooni suurimate ja väiksemate väärtuste leidmiseks intervallil, kasutades tuletist.

Lahendage ülesandeid tuletise abil.

Õpilastelt esitati järgmine probleem:

"Mõelge sellele, kas mõnda B14 probleemi saab lahendada teistmoodi, ilma tuletisi kasutamata?"

1 paar(Lukyanova D., Gavryushina D.)

1)B14. Leia funktsiooni y \u003d 10x-ln (x + 9) + 6 miinimumpunkt

2) B14.Leia funktsiooni suurim väärtusy =

- Proovige teist probleemi lahendada kahel viisil.

2 paari(Saninskaja T., Sazanov A.)

1)B14.Leia funktsiooni y=(x-10) väikseim väärtus segmendil

2) B14. Leia funktsiooni y maksimaalne punkt \u003d -

(Õpilased kaitsevad oma lahendust, kirjutades tahvlile üles ülesannete lahendamise põhietapid. 1 paari õpilased (Lukyanova D., Gavryushina D.) pakkuda kaks võimalust probleemi nr 2 lahendamiseks).

Probleemi lahendus. Järeldused, mida õpilased teevad:

"Mõned B14 USE probleemid funktsiooni väikseimate ja suurimate väärtuste leidmisel saab lahendada ilma tuletist kasutamata, lähtudes funktsioonide omadustest."

Analüüsige, millise vea te ülesandes tegite?

Milliseid teoreetilisi küsimusi peate kordama?

V. Individuaalsete kodutööde kontrollimine. Ülesanne parameetriga C5(USE) ( Slaidid 7-8, Lisa nr 2)

Lukjanova K. sai individuaalse kodutöö: valida eksamiks valmistumise juhenditest ülesanne parameetriga (C5) ja lahendada see tuletise abil.

(Õpilane annab ülesandele lahenduse, tuginedes funktsionaal-graafilisele meetodile, kui ühe meetodi ülesannete lahendamiseks C5 USE ja annab lühike selgitus see meetod).

Milliseid teadmisi funktsiooni ja selle tuletise kohta on vaja ülesannete C5 USE lahendamisel?

V I. On-line testimine ülesannete B8, B14 jaoks. Katsetulemuste analüüs.

Tunnis testimise sait:

Kes ei teinud vigu?

Kellel oli testimisel raskusi? Miks?

Millised ülesanded on valed?

Lõpetage, milliseid teoreetilisi küsimusi peate teadma?

VI ma Individuaalselt diferentseeritud kodutöö

(Slaid 9, rakenduse number 2), (lisa nr 4).

Olen koostanud nimekirja Interneti-saitidest, et valmistuda eksamiks. Saate neid saite ka sirvidan – ridatestimine. Järgmise õppetunni jaoks peate: 1) kordama teoreetiline materjal teemal "Funktsiooni tuletis";

2) saidil "Matemaatika ülesannete avatud pank" ( ) leida ülesannete B8 ja B14 prototüübid ning lahendada vähemalt 10 ülesannet;

3) Lukyanova K., Gavryushina D. lahendavad parameetritega seotud ülesandeid. Ülejäänud õpilased lahendavad ülesandeid 1-8 (variant 1).

VIII. Tunni hinded.

Millise hinde sa endale tunni eest paneksid?

Kas sa arvad, et saaksid tunnis paremini hakkama?

IX. Õppetunni kokkuvõte. Peegeldus

Teeme oma töö kokkuvõtte. Mis oli tunni eesmärk? Kas see on teie arvates saavutatud?

Vaata tahvlit ja ühe lausega, valides fraasi alguse, jätka lauset, mis sulle kõige paremini sobib.

Ma tundsin…

Ma õppisin…

sain hakkama…

Ma suutsin...

Ma proovin …

Mind üllatas see …

Ma tahtsin…

Kas saate öelda, et tunni jooksul toimus teie teadmistepagasi rikastamine?

Nii et sa kordasid teoreetilisi küsimusi funktsiooni tuletise kohta, rakendas oma teadmisi USE ülesannete prototüüpide lahendamisel (B8, B14) ning Lukjanova K. täitis ülesande C5 parameetriga, mis on kõrgendatud keerukusega ülesanne.

Mulle meeldis teiega koos töötada ja Loodan, et suudate matemaatikatundides saadud teadmisi edukalt rakendada mitte ainult eksami sooritamine aga ka edasistes õpingutes.

Tahaksin õppetunni lõpetada ühe itaalia filosoofi sõnadega Thomas Aquino"Teadmised on nii väärtuslik asi, et pole häbi neid hankida ühestki allikast" (Slaid 10, Lisa nr 2).

Soovin edu eksamiks valmistumisel!

KAVAVÄLINE PRAKTILINE TÖÖ 2

Funktsioonide graafikute teisendus.

Sihtmärk

Joonistage funktsioonigraafikud erinevate teisenduste abil, vastake ülesande küsimusele.

Töö lõpetamine

Juhised

Töö on mõeldud 10 variandi jaoks, valiku number ühtib nimekirjas oleva seerianumbri viimase numbriga. Näiteks 1, 11, 21, 31 ... soorita 1 valik, 2,12, 22 ... - 2 varianti jne.

Töö koosneb kahest osast: ülesannete esimene osa 1 - 5, need on ülesanded, mis tuleb sooritada, et saada ainepunkti, kui need ülesanded on tehtud veaga, tuleb need parandada ja töö uuesti kontrollimiseks esitada . Teises osas on ülesanded, mille täitmisega saad lisahinde: põhiosa +2 ülesannet - "4", põhiosa +3 ülesannet - "5".

Ülesanne 1. Lineaarfunktsiooni graafik on sirge, selle koostamiseks piisab kahest punktist. (võtame argumendi x väärtused suvaliselt ja kaalume funktsiooni y väärtuse asendamist valemis).

Kontrollimaks, kas funktsiooni graafik läbib määratud punkti, tuleb x ja y asemel asendada punkti koordinaadid, kui saad õige võrdsuse, siis sirge läbib määratud punkti, muidu ei läbi. .

Ülesanne 2, 3, 4. Näidatud funktsioonide graafikud saadakse funktsioonide graafikutelt , kasutades nihet piki x- või y-telge.

, joonistage esmalt funktsioon või , siis nihutame seda "a" ühiku võrra paremale või vasakule (+ a - vasakule, - a paremale), seejärel nihutame seda "b" ühikute võrra üles või alla (+ sisse - üles, - sisse - alla)

Samamoodi teiste funktsioonidega:

Ülesanne 5 Funktsioonigraafiku joonistamiseks: , peate: 1) koostama funktsiooni graafiku , 2) graafiku see osa, mis asub x-telje kohal, jäetakse muutmata, 3) peegeldatakse seda osa graafikust, mis jääb x-teljest allapoole.

Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks.

Kohustuslik osa

Ülesanne 1. Joonistage lineaarfunktsiooni graafik, määrake, kas funktsiooni graafik läbib määratud punkti:

Ülesanne 2. Joonistage ruutfunktsiooni graafik, märkige selle funktsiooni väärtuste kogum.

Ülesanne 3. Koostage funktsiooni graafik, määrake, kas määratud funktsioon kasvab või väheneb.

Ülesanne 4. Koostage funktsiooni graafik, vastake ülesande küsimusele.

Ülesanne 5. Koostage mooduli märki sisaldava funktsiooni graafik.

Ülesanded lisahindamiseks.

Ülesanne 6. Joonistage osade kaupa antud funktsiooni graafik, määrake, kas sellel funktsioonil on katkestuspunkt:

Ülesanne 7. Määrake, mitu lahendit võrrandisüsteemil on, põhjendage vastust. Tehke järeldused, vastates küsimustele.

Milliseid funktsioonigraafikuid te selles töös koostasite?

Mis on lineaarfunktsiooni graafiku nimi?

Mis on ruutfunktsiooni graafiku nimi?

Milliseid diagrammi teisendusi teate?

Kuidas paikneb paarisfunktsiooni graafik koordinaatsüsteemis? Paaritu funktsiooni graafik?