Standardkuju $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, milles vasak pool on mingi funktsiooni $F summaarne diferentsiaal \left(x,y\right)$ nimetatakse võrrandiks in summaarsed erinevused.
Kogu diferentsiaalvõrrandi saab alati ümber kirjutada kujul $dF\left(x,y\right)=0$, kus $F\left(x,y\right)$ on selline funktsioon, et $dF\left(x, y \right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.
Integreerime võrrandi $dF\left(x,y\right)=0$ mõlemad pooled: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; nulli parempoolse külje integraal on võrdne suvalise konstandiga $C$. Seega on selle võrrandi kaudsel kujul üldlahend kujul $F\left(x,y\right)=C$.
Et antud diferentsiaalvõrrand oleks summaarsete diferentsiaalide võrrand, on vajalik ja piisav, et tingimus $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ on täidetud . Kui see tingimus on täidetud, siis on olemas funktsioon $F\left(x,y\right)$, millele saame kirjutada: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\frac( \partial F)(\partial y) \cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, millest saame kaks seost: $\ frac(\ partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ ja $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$.
Integreerime esimese seose $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ üle $x$ ja saame $F\left(x,y\right)=\int P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, kus $U\left(y\right)$ on väärtuse $y$ suvaline funktsioon.
Valime selle nii, et teine seos $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ on täidetud. Selleks eristame saadud seose $F\left(x,y\right)$ suhtes $y$ ja võrdsustame tulemuse $Q\left(x,y\right)$. Saame: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left ( x,y\paremale)$.
Järgmine lahendus on:
- viimasest võrdsusest leiame $U"\left(y\right)$;
- integreerida $U"\left(y\right)$ ja leida $U\left(y\right)$;
- asendage $U\left(y\right)$ väärtusega $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$ ja lõpuks saame funktsiooni $F\left(x,y\right)$.
Leiame erinevuse:
Integreerime $U"\left(y\right)$ $y$ kohale ja leiame $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.
Leidke tulemus: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.
Kirjutame üldlahenduse kujul $F\left(x,y\right)=C$, nimelt:
Leia konkreetne lahendus $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, kus $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:
Konkreetne lahendus on kujul: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.
Selles teemas käsitleme meetodit funktsiooni taastamiseks selle kogudiferentsiaalist, toome näiteid probleemidest koos lahenduse täieliku analüüsiga.
Juhtub, et diferentsiaalvõrrandid (DE) kujul P (x, y) d x + Q (x, y) d y \u003d 0 võivad vasakpoolsetes osades sisaldada mõne funktsiooni summaarseid diferentsiaale. Siis leiame DE üldise integraali, kui taastame esmalt funktsiooni selle kogudiferentsiaalist.
Näide 1
Vaatleme võrrandit P (x , y) d x + Q (x , y) d y = 0 . Selle vasaku külje kirje sisaldab mõne funktsiooni diferentsiaali U(x, y) = 0. Selleks peab olema täidetud tingimus ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x.
Funktsiooni U (x, y) = 0 summaarne diferentsiaal on kujul d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y . Võttes arvesse tingimust ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x, saame:
P (x, y) d x + Q (x, y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y
∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)
Teisendades saadud võrrandisüsteemist esimese võrrandi, saame:
U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)
Funktsiooni φ (y) leiame eelnevalt saadud süsteemi teisest võrrandist:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) dx ∂ y + φ y "(y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x , y) dx ∂ ydy
Nii leidsime soovitud funktsiooni U (x, y) = 0.
Näide 2
Leidke DE (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0 jaoks üldlahend.
Lahendus
P (x, y) \u003d x 2 - y 2, Q (x, y) \u003d - 2 x y
Kontrollime, kas tingimus ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x on täidetud:
∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y
Meie tingimus on täidetud.
Arvutuste põhjal saame järeldada, et algse DE vasak pool on mingi funktsiooni U (x , y) = 0 summaarne diferentsiaal. Peame selle funktsiooni leidma.
Kuna (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y on funktsiooni U (x, y) = 0 summaarne diferentsiaal, siis
∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y
Integreerime süsteemi esimese võrrandi x suhtes:
U (x, y) \u003d ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) \u003d x 3 3 - x y 2 + φ (y)
Nüüd eristame tulemust y suhtes:
∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y "(y)
Teisendades süsteemi teist võrrandit, saame: ∂ U ∂ y = - 2 x y . See tähendab et
- 2 x y + φ y "(y) = - 2 x y φ y" (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C
kus C on suvaline konstant.
Saame: U (x, y) \u003d x 3 3 - x y 2 + φ (y) \u003d x 3 3 - x y 2 + C. Algvõrrandi üldintegraal on x 3 3 - x y 2 + C = 0 .
Analüüsime teist meetodit funktsiooni leidmiseks teadaolevast kogudiferentsiaalist. See hõlmab kõverjoonelise integraali rakendamist fikseeritud punktist (x 0, y 0) muutuvate koordinaatidega punkti (x, y):
U (x, y) = ∫ (x 0, y 0) (x, y) P (x, y) d x + Q (x, y) d y + C
Sellistel juhtudel ei sõltu integraali väärtus kuidagi lõimumisteest. Integratsiooniteeks võime võtta katkendjoone, mille lülid on paralleelsed koordinaatide telgedega.
Näide 3
Leidke diferentsiaalvõrrandi (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0 üldlahend.
Lahendus
Kontrollime, kas tingimus ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x on täidetud:
∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y
Selgub, et diferentsiaalvõrrandi vasak pool on esindatud mõne funktsiooni U (x, y) = 0 kogudiferentsiaaliga. Selle funktsiooni leidmiseks on vaja arvutada punktist kõverjooneline integraal (1 ; 1) enne (x, y). Võtame lõimimisteeks katkendjoone, mille lõigud lähevad mööda sirget y=1 punktist (1, 1) punktini (x, 1) ja seejärel punktist (x, 1) punktini (x, y):
∫ (1, 1) (x, y) y - y 2 dx + (x - 2 xy) dy = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) dx + (x - 2 xy) ) dy + + ∫ (x, 1) (x, y) (y - y 2) dx + (x - 2 xy) dy = = ∫ 1 x (1 - 1 2) dx + ∫ 1 y (x - 2) xy) dy \u003d (xy - xy 2) y 1 \u003d \u003d xy - xy 2 - (x 1 - x 1 2) \u003d xy - xy 2
Oleme saanud diferentsiaalvõrrandi kujul x y - x y 2 + C = 0 üldlahenduse.
Näide 4
Määrake diferentsiaalvõrrandi y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 üldlahend.
Lahendus
Kontrollime, kas tingimus ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x on täidetud.
Kuna ∂ (y cos x) ∂ y = cos x, ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x cos x, siis tingimus ei ole täidetud. See tähendab, et diferentsiaalvõrrandi vasak pool ei ole funktsiooni kogudiferentsiaal. See on eraldatav diferentsiaalvõrrand ja selle lahendamiseks sobivad muud lahendused.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Näitab, kuidas tuvastada diferentsiaalvõrrandit kogudiferentsiaalides. Selle lahendamise meetodid on toodud. Siin on näide summaarsete diferentsiaalide võrrandi lahendamisest kahel viisil.
SisuSissejuhatus
Esimest järku diferentsiaalvõrrand kogudiferentsiaalides on võrrand järgmisel kujul:(1) ,
kus võrrandi vasak pool on mingi funktsiooni U kogudiferentsiaal (x, y) muutujatel x, y :
.
Kus .
Kui selline funktsioon U (x, y), siis võtab võrrand järgmise kuju:
dU (x, y) = 0.
Selle üldine integraal:
U (x, y) = C,
kus C on konstant.
Kui esimest järku diferentsiaalvõrrand on kirjutatud tuletise kaudu:
,
siis on seda lihtne vormi viia (1)
. Selleks korrutage võrrand dx-ga. Siis . Selle tulemusena saame võrrandi, mis on väljendatud diferentsiaalidena:
(1)
.
Diferentsiaalvõrrandi omadus summaarsetes diferentsiaalides
Selleks, et võrrand (1)
on summaarsete diferentsiaalide võrrand, siis on vajalik ja piisav, et oleks täidetud järgmine seos:
(2)
.
Tõestus
Lisaks eeldame, et kõik tõestuses kasutatud funktsioonid on defineeritud ja neil on vastavad tuletised teatud vahemikus x ja y. punkt x 0, y0 kuulub samuti sellesse piirkonda.
Tõestame tingimuse (2) vajalikkust.
Laske võrrandi vasak pool (1)
on mõne funktsiooni U diferentsiaal (x, y):
.
Siis
;
.
Kuna teine tuletis ei sõltu diferentseerumisjärjekorrast, siis
;
.
Sellest järeldub, et. Vajaduse tingimus (2)
tõestatud.
Tõestame tingimuse (2) piisavust.
Lase tingimusel (2)
:
(2)
.
Näitame, et sellist funktsiooni U on võimalik leida (x, y) et selle erinevus on:
.
See tähendab, et on olemas selline funktsioon U (x, y), mis vastab võrranditele:
(3)
;
(4)
.
Leiame sellise funktsiooni. Integreerime võrrandi (3)
x võrra x-st 0
kuni x , eeldades, et y on konstant:
;
;
(5)
.
Eristage y suhtes, eeldades, et x on konstant, ja rakendage (2)
:
.
Võrrand (4)
hukatakse, kui
.
Integreerimine üle y y-st 0
y-le:
;
;
.
Asendus sisse (5)
:
(6)
.
Seega oleme leidnud funktsiooni, mille diferentsiaal on
.
Piisavus on tõestatud.
Valemis (6) , U (x0, y0) on konstant – funktsiooni U väärtus (x, y) punktis x 0, y0. Sellele saab omistada mis tahes väärtuse.
Kuidas ära tunda diferentsiaalvõrrandit kogudiferentsiaalides
Mõelge diferentsiaalvõrrandile:
(1)
.
Et teha kindlaks, kas see võrrand on täisdiferentsiaalides, peate kontrollima tingimust (2)
:
(2)
.
Kui see kehtib, on see võrrand kogudiferentsiaalides. Kui ei, siis see ei ole summaarsete diferentsiaalide võrrand.
Näide
Kontrollige, kas võrrand on kogudiferentsiaalides:
.
Siin
,
.
Eristage y suhtes, eeldades, et x on konstantne:
.
Eristav
.
Niivõrd kui:
,
siis on antud võrrand summaarsetes diferentsiaalides.
Diferentsiaalvõrrandite lahendamise meetodid summaarsetes diferentsiaalides
Järjestikuse diferentsiaalse ekstraheerimise meetod
Enamik lihtne meetod võrrandi lahendamine summaarsetes diferentsiaalides on diferentsiaali järjestikuse eraldamise meetod. Selleks kasutame diferentsiaalvormis kirjutatud diferentseerimisvalemeid:
du ± dv = d (u±v);
v du + u dv = d (uv);
;
.
Nendes valemites on u ja v suvalised avaldised, mis koosnevad mis tahes muutujate kombinatsioonist.
Näide 1
Lahenda võrrand:
.
Varem leidsime, et see võrrand on kogudiferentsiaalides. Muudame selle:
(P1) .
Lahendame võrrandi diferentsiaali järjestikuse esiletõstmisega.
;
;
;
;
.
Asendus sisse (P1):
;
.
Järjestikuse integreerimise meetod
Selle meetodi puhul otsime funktsiooni U (x, y), mis rahuldab võrrandid:
(3)
;
(4)
.
Integreerime võrrandi (3)
x-is, eeldades, et y on konstantne:
.
Siin φ (y) on y suvaline defineeritav funktsioon. See on integratsiooni konstant. Asendame võrrandisse (4)
:
.
Siit:
.
Integreerides leiame φ (y) ja seega U (x, y).
Näide 2
Lahendage võrrand kogudiferentsiaalides:
.
Varem leidsime, et see võrrand on kogudiferentsiaalides. Tutvustame tähistust:
,
.
Otsin funktsiooni U (x, y), mille diferentsiaal on võrrandi vasak pool:
.
Seejärel:
(3)
;
(4)
.
Integreerime võrrandi (3)
x-is, eeldades, et y on konstantne:
(P2)
.
Eristage y suhtes:
.
Asendus sisse (4)
:
;
.
Integreerime:
.
Asendus sisse (P2):
.
Võrrandi üldine integraal:
U (x, y) = konst.
Ühendame kaks konstanti üheks.
Mööda kõverat integreerimise meetod
Seosega määratletud funktsioon U:
dU=p (x, y) dx + q(x, y) dy,
saab leida, integreerides selle võrrandi piki punkte ühendavat kõverat (x0, y0) Ja (x, y):
(7)
.
Niivõrd kui
(8)
,
siis oleneb integraal ainult initsiaali koordinaatidest (x0, y0) ja lõplik (x, y) punktid ja ei sõltu kõvera kujust. Alates (7)
Ja (8)
leiame:
(9)
.
Siin x 0
ja y 0
- püsiv. Seetõttu U (x0, y0) on ka konstantne.
Sellise U definitsiooni näide saadi tõestuses:
(6)
.
Siin teostatakse integreerimine kõigepealt piki lõiku, mis on punktist paralleelne y-teljega (x 0, y 0) asja juurde (x0, y). Seejärel teostatakse integreerimine piki punktist x-teljega paralleelset lõiku (x0, y) asja juurde (x, y) .
Üldisemal juhul tuleb esitada punkte ühendava kõvera võrrand (x 0, y 0) Ja (x, y) parameetrilisel kujul:
x 1 = s(t1); y 1 = r(t1);
x 0 = s(t0); y 0 = r(t0);
x = s (t); y=r (t);
ja integreerida üle t 1
alates t 0
kuni t.
Lihtsaim integreerimine toimub punkte ühendava lõigu kohal (x 0, y 0) Ja (x, y). Sel juhul:
x 1 \u003d x 0 + (x - x 0) t 1; y 1 \u003d y 0 + (y - y 0) t 1;
t 0 = 0
; t = 1
;
dx 1 \u003d (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
Pärast asendamist saame integraali üle t 0
enne 1
.
See meetod viib aga üsna tülikate arvutusteni.
Viited:
V.V. Stepanov, Diferentsiaalvõrrandite kursus, LKI, 2015.
Diferentsiaal nimetatakse vormi võrrandiks
P(x,y)dx + K(x,y)dy = 0 ,
kus vasak pool on kahe muutuja mõne funktsiooni summaarne diferentsiaal.
Tähistame kahe muutuja tundmatut funktsiooni (see on see, mida peame leidma summaarsete diferentsiaalide võrrandite lahendamisel) F ja tuleme selle juurde varsti tagasi.
Esimene asi, millele peaksite tähelepanu pöörama, on see, et võrrandi paremal küljel peab olema null ja mõlemat terminit ühendav märk vasakul pool peab olema pluss.
Teiseks tuleb jälgida mõningast võrdsust, mis on kinnitus, et antud diferentsiaalvõrrand on võrrand täisdiferentsiaalides. See kontroll on kohustuslik osa Algoritm võrrandite lahendamiseks summaarsetes diferentsiaalides (see on selle õppetüki teises lõigus), seega funktsiooni leidmise protsess Füsna töömahukas ja oluline esialgne etapp veenduge, et me aega ei raiskaks.
Niisiis, leitav tundmatu funktsioon on tähistatud tähisega F. Kõikide sõltumatute muutujate osaerinevuste summa annab kogudiferentsiaali. Seega, kui võrrand on täielik diferentsiaalvõrrand, on võrrandi vasak pool osadiferentsiaalide summa. Siis definitsiooni järgi
dF = P(x,y)dx + K(x,y)dy .
Tuletame meelde valemit kahe muutuja funktsiooni kogudiferentsiaali arvutamiseks:
Lahendades kaks viimast võrdsust, saame kirjutada
.
Esimene võrdsus on diferentseeritav muutuja "y" suhtes, teine - muutuja "x" suhtes:
.
mis on tingimus, et antud diferentsiaalvõrrand on tõepoolest summaarsete diferentsiaalide võrrand.
Algoritm diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks summaarsetes diferentsiaalides
Samm 1. Veenduge, et võrrand oleks summaarsete diferentsiaalide võrrand. Et väljendus 
oli mingi funktsiooni täielik erinevus F(x, y), on vajalik ja piisav, et. Teisisõnu, me peame võtma osatuletise suhtes x ja osatuletis seoses y teine liige ja kui need tuletised on võrdsed, on võrrand summaarsete diferentsiaalide võrrand.
2. samm Kirjutage üles funktsiooni moodustav osadiferentsiaalvõrrandi süsteem F:
3. samm Integreerige süsteemi esimene võrrand – üle x (y F:
,
y.
Alternatiivne võimalus (kui nii on integraali lihtsam leida) on integreerida süsteemi teine võrrand - y (x jääb konstantseks ja võetakse integraalimärgist välja). Seega taastatakse ka funktsioon F:
,
kust pärineb tundmatu funktsioon X.
4. samm 3. sammu tulemust (leitud üldintegraali) eristatakse y(alternatiivselt poolt x) ja võrdub süsteemi teise võrrandiga:
,
ja teise võimalusena süsteemi esimesele võrrandile:
.
Saadud võrrandist määrame (alternatiivses versioonis)
5. samm 4. sammu tulemus integreeritakse ja leitakse (alternatiivina leia ).
6. samm Asendage 5. sammu tulemus 3. toimingu tulemusega - osalise integreerimisega taastatud funktsiooniga F. Suvaline konstant C sagedamini kirjutatakse pärast võrdusmärki - võrrandi paremal küljel. Seega saame diferentsiaalvõrrandi üldlahenduse summaarsetes diferentsiaalides. Sellel, nagu juba mainitud, on vorm F(x, y) = C.
Näited diferentsiaalvõrrandite lahenditest summaarsetes diferentsiaalides
Näide 1
Samm 1. võrrand summaarsetes diferentsiaalides
xüks termin avaldise vasakul küljel
ja osatuletis seoses y teine termin
võrrand summaarsetes diferentsiaalides
.
2. samm F:
3. samm peal x (y jääb konstantseks ja võetakse integraalimärgist välja). Seega taastame funktsiooni F:
kust pärineb tundmatu funktsioon y.
4. samm y
.
.
5. samm
6. samm F. Suvaline konstant C
:
.
Mis on siin kõige tõenäolisem viga? Levinumad vead on võtta osaline integraal üle ühe funktsioonide korrutise tavalise integraali muutujatest ja proovida integreerida osade või asendusmuutuja kaupa ning võtta ka kahe teguri osatuletise tuletis. funktsioonide korrutis ja otsige vastava valemi abil tuletist.
Seda tuleb meeles pidada: osaintegraali arvutamisel ühe muutuja suhtes on teine konstant ja võetakse integraalimärgist välja ning osatuletise arvutamisel ühe muutuja suhtes on ka teine konstant ja avaldise tuletis leitakse "toimiva" muutuja tuletis, mis on korrutatud konstandiga.
hulgas võrrandid summaarsetes diferentsiaalides ei ole haruldane - näited eksponendiga. See on järgmine näide. Märkimisväärne on see ka selle poolest, et selle lahenduses kasutatakse alternatiivset võimalust.
Näide 2 Lahendage diferentsiaalvõrrand
.
Samm 1. Veenduge, et võrrand on võrrand summaarsetes diferentsiaalides
. Selleks leiame osatuletise suhtes xüks termin avaldise vasakul küljel 
ja osatuletis seoses y teine termin
. Need tuletised on võrdsed, seega on võrrand võrrand summaarsetes diferentsiaalides
.
2. samm Kirjutame üles funktsiooni moodustava osadiferentsiaalvõrrandi süsteemi F:
3. samm Integreerime süsteemi teise võrrandi – üle y (x jääb konstantseks ja võetakse integraalimärgist välja). Seega taastame funktsiooni F:
kust pärineb tundmatu funktsioon X.
4. samm 3. sammu tulemus (leitud üldine integraal) on diferentseeritav X
ja võrdub süsteemi esimese võrrandiga:
Saadud võrrandist määrame:
.
5. samm Integreerime 4. sammu tulemuse ja leiame: 
.
6. samm Asendame 5. sammu tulemuse sammu 3 tulemusega – osalise integreerimisega taastatud funktsiooniga F. Suvaline konstant C kirjuta võrdusmärgi järele. Nii saame kindrali diferentsiaalvõrrandi lahendus summaarsetes diferentsiaalides
:
.
Järgmises näites pöördume tagasi alternatiivne peamise juurde.
Näide 3 Lahendage diferentsiaalvõrrand
Samm 1. Veenduge, et võrrand on võrrand summaarsetes diferentsiaalides
. Selleks leiame osatuletise suhtes yüks termin avaldise vasakul küljel
ja osatuletis seoses x teine termin 
. Need tuletised on võrdsed, seega on võrrand võrrand summaarsetes diferentsiaalides
.
2. samm Kirjutame üles funktsiooni moodustava osadiferentsiaalvõrrandi süsteemi F:
3. samm Integreerime süsteemi esimese võrrandi - 
peal x (y jääb konstantseks ja võetakse integraalimärgist välja). Seega taastame funktsiooni F:
kust pärineb tundmatu funktsioon y.
4. samm 3. sammu tulemus (leitud üldine integraal) on diferentseeritav y
ja võrdsustage süsteemi teise võrrandiga:
Saadud võrrandist määrame:
.
5. samm Integreerime 4. sammu tulemuse ja leiame: 
6. samm Asendame 5. sammu tulemuse sammu 3 tulemusega – osalise integreerimisega taastatud funktsiooniga F. Suvaline konstant C kirjuta võrdusmärgi järele. Nii saame kindrali diferentsiaalvõrrandi lahendus summaarsetes diferentsiaalides
:
.
Näide 4 Lahendage diferentsiaalvõrrand
Samm 1. Veenduge, et võrrand on võrrand summaarsetes diferentsiaalides
. Selleks leiame osatuletise suhtes yüks termin avaldise vasakul küljel
ja osatuletis seoses x teine termin
. Need tuletised on võrdsed, mis tähendab, et võrrand on summaarsete diferentsiaalide võrrand.
2. samm Kirjutame üles funktsiooni moodustava osadiferentsiaalvõrrandi süsteemi F:
3. samm Integreerime süsteemi esimese võrrandi - 
peal x (y jääb konstantseks ja võetakse integraalimärgist välja). Seega taastame funktsiooni F:
kust pärineb tundmatu funktsioon y.
4. samm 3. sammu tulemus (leitud üldine integraal) on diferentseeritav y
ja võrdsustage süsteemi teise võrrandiga:
Saadud võrrandist määrame:
.
5. samm Integreerime 4. sammu tulemuse ja leiame: 
6. samm Asendame 5. sammu tulemuse sammu 3 tulemusega – osalise integreerimisega taastatud funktsiooniga F. Suvaline konstant C kirjuta võrdusmärgi järele. Nii saame kindrali diferentsiaalvõrrandi lahendus summaarsetes diferentsiaalides
:
.
Näide 5 Lahendage diferentsiaalvõrrand
.
Samm 1. Veenduge, et võrrand on võrrand summaarsetes diferentsiaalides
. Selleks leiame osatuletise suhtes yüks termin avaldise vasakul küljel 
ja osatuletis seoses x teine termin 
. Need tuletised on võrdsed, seega on võrrand võrrand summaarsetes diferentsiaalides
.
Võib juhtuda, et diferentsiaalvõrrandi vasak pool
on mõne funktsiooni summaarne erinevus:
ja seega võtab võrrand (7) kuju .
Kui funktsioon on võrrandi (7) lahendus, siis , ja seetõttu
kus on konstant ja vastupidi, kui mõni funktsioon muudab lõppvõrrandi (8) identiteediks, siis saadud identiteedi diferentseerimisel saame , ja seetõttu , kus on suvaline konstant, on funktsiooni üldine integraal algne võrrand.
Kui algväärtused on antud, määratakse konstant punktidest (8) ja
on soovitud osaline integraal. Kui punktis , siis defineerib võrrand (9) funktsiooni kaudse funktsioonina.
Selleks, et võrrandi (7) vasak pool oleks mingi funktsiooni kogudiferentsiaal, on vajalik ja piisav, et
Kui see Euleri poolt näidatud tingimus on täidetud, on võrrand (7) hõlpsasti integreeritav. Tõesti,. Teiselt poolt, . Järelikult
Integraali arvutamisel loetakse väärtust konstandiks, seega on see suvaline funktsioon. Funktsiooni määramiseks eristame leitud funktsiooni vastavalt ja kuna , saame
Sellest võrrandist määrame ja integreerides leiame .
Nagu kursuselt teada matemaatiline analüüs, on veelgi lihtsam määratleda funktsiooni selle kogudiferentsiaali järgi, võttes kõverjoonelise integraali mõne fikseeritud punkti ja muutuvate koordinaatidega punkti vahel mis tahes teekonnal:
Kõige sagedamini on integratsiooniteena mugav võtta katkendlik joon, mis koosneb kahest koordinaattelgedega paralleelsest lingist; sel juhul
Näide. .
Võrrandi vasak pool on mõne funktsiooni kogudiferentsiaal, kuna
Seetõttu on üldintegraalil vorm
Funktsiooni määratlemiseks saate kasutada teist meetodit:
Lähtepunktiks valime integratsiooniteeks näiteks koordinaatide alguspunkti - katkendjoone. Siis
ja üldintegraalil on vorm
Mis langeb kokku eelmise tulemusega, mis viib ühise nimetajani.
Mõnel juhul, kui võrrandi (7) vasak pool ei ole summaarne diferentsiaal, on pärast korrutamist lihtne leida funktsioon , millega võrrandi (7) vasak pool muutub kogudiferentsiaaliks . Sellist funktsiooni nimetatakse integreeriv tegur. Pange tähele, et korrutamine integreeriva teguriga võib põhjustada täiendavate konkreetsete lahenduste ilmumist, mis muudavad selle teguri nulliks.
Näide. .
Ilmselgelt muutub vasak pool pärast teguriga korrutamist kogudiferentsiaaliks. Tõepoolest, pärast korrutamist saame
või integreerides . Korrutades 2-ga ja võimendades saame .
Muidugi ei valita integreerivat tegurit alati nii lihtsalt. Üldjuhul on integreeriva teguri leidmiseks vaja valida vähemalt üks konkreetne võrrandi lahend osatuletistes, mis ei ole identselt null, või laiendatud kujul
mis pärast pooltega jagamist ja mõne termini ülekandmist võrdsuse teise ossa taandatakse vormiks
Üldjuhul ei ole selle osadiferentsiaalvõrrandi integreerimine sugugi lihtsam ülesanne kui algse võrrandi integreerimine, kuid mõnel juhul pole võrrandi (11) konkreetse lahendi valimine keeruline.
Lisaks, eeldades, et integreeriv tegur on ainult ühe argumendi funktsioon (näiteks on see ainult või ainult funktsioon või ainult , või ainult funktsioon jne), saame võrrandi (11) hõlpsasti integreerida ja näitavad tingimused, mille korral eksisteerib vaadeldava vormi integreeriv tegur. Seega eristatakse võrrandiklassid, mille jaoks on integreeriv tegur hõlpsasti leitav.
Näiteks leiame tingimused, mille korral võrrandil on integreeriv tegur, mis sõltub ainult st, s.t. . Sel juhul on võrrand (11) lihtsustatud ja võtab kuju , kust, eeldades, et see on pidev funktsioon, saame
Kui on funktsioon ainult , siis ainult -st sõltuv integreeriv tegur on olemas ja võrdub (12), vastasel juhul vormi integreerivat tegurit ei eksisteeri.
Ainult sellest sõltuva integreeriva teguri olemasolu tingimus on täidetud näiteks jaoks lineaarvõrrand või . Tõepoolest ja seetõttu . Üsna sarnaselt võib leida tingimusi vormi jms integreerivate tegurite olemasoluks.
Näide. Kas võrrandil on vormi integreeriv tegur?
Tähistame . Võrrand (11) at võtab kuju , kust või
Antud kujuga integreeriva teguri olemasoluks on vajalik ja järjepidevuse eeldusel piisab sellest, et ainult . Seega on sel juhul integreeriv tegur olemas ja võrdub (13). Kui saame. Korrutades algse võrrandi , toome selle vormile
Integreerides saame , ja pärast võimendamist on meil , või sisse polaarkoordinaadid- logaritmiliste spiraalide perekond.
Näide. Leia selline peegli kuju, mis peegeldab antud suunaga paralleelselt kõiki antud punktist väljuvaid kiiri.
Asetame koordinaatide alguspunkti aadressile antud punkt ja suunata abstsisstellje paralleelselt ülesande tingimustes määratud suunaga. Laske talal langeda punktis peeglile. Vaatleme peegli lõiku tasapinnaga, mis läbib abstsisstellge ja punkti . Joonistame peegelpinna vaadeldava lõigu puutuja punktis . Kuna valgusvihu langemisnurk võrdne nurgaga peegeldus, siis on kolmnurk võrdhaarne. Järelikult
Saadud homogeenne võrrand saab hõlpsasti integreerida muutujate muutmisega, kuid veelgi lihtsam, vabanedes nimetaja irratsionaalsusest, kirjutage see ümber kujul . Sellel võrrandil on ilmne integreeriv tegur , , , (paraboolide perekond).
Seda ülesannet on veelgi lihtsam lahendada koordinaatides ja kus , samas kui soovitud pindade lõike võrrand võtab kuju .
Integreeriva teguri olemasolu või, mis on sama, osadiferentsiaalvõrrandi (11) nullist erineva lahendi olemasolu on võimalik tõestada mõnes valdkonnas, kui funktsioonidel ja on pidevad tuletised ja mis on samad. vähemaltüks neist funktsioonidest ei kao kuhugi. Seetõttu võib integreeriva teguri meetodit pidada üldmeetodiks vormi võrrandite integreerimiseks, kuid integreeriva teguri leidmise raskuse tõttu kasutatakse seda meetodit kõige sagedamini juhtudel, kui integreeriv tegur on ilmne.
- Kokkupuutel 0
- Google+ 0
- Okei 0
- Facebook 0
