Pythagoras sats Pythagoras byxor. Professor Stewarts otroliga siffror

Nästan lika 12 stolar Club Nästan lika IRONISK PROSA Döden kom till en fattig man. Och han var döv. Så normalt, men lite döv... Och han såg dåligt. Jag såg nästan ingenting. – Åh, vi har gäster! Vänligen passera. Döden säger: - Vänta med att glädjas,

Potentialen för kreativitet tillskrivs vanligtvis humaniora, vilket lämnar den naturvetenskapliga analysen, det praktiska förhållningssättet och det torra språket av formler och siffror. Matematik kan inte klassas som ett humanistiskt ämne. Men utan kreativitet i "drottningen av alla vetenskaper" kommer du inte långt - folk har vetat om detta länge. Sedan Pythagoras tid till exempel.

Skolböcker brukar tyvärr inte förklara att det i matematik är viktigt att inte bara proppa satser, axiom och formler. Det är viktigt att förstå och känna dess grundläggande principer. Och samtidigt försöka befria ditt sinne från klichéer och sanningar– endast under sådana förhållanden föds alla stora upptäckter.

Sådana upptäckter inkluderar den som vi idag känner som Pythagoras sats. Med dess hjälp ska vi försöka visa att matematik inte bara kan, utan också ska vara roligt. Och att detta äventyr passar inte bara för nördar i tjocka glas, utan för alla som är starka i sinnet och starka i själen.

Ur frågans historia

Strängt taget, även om satsen kallas "Pythagoras sats", upptäckte inte Pythagoras själv den. Den räta triangeln och dess speciella egenskaper har studerats långt innan den. Det finns två polära punkter perspektiv på denna fråga. Enligt en version var Pythagoras den förste som hittade ett fullständigt bevis för satsen. Enligt en annan tillhör inte beviset Pythagoras författarskap.

Idag kan man inte längre kontrollera vem som har rätt och vem som har fel. Det är bara känt att beviset för Pythagoras, om det någonsin funnits, inte har överlevt. Det finns dock förslag på att det berömda beviset från Euklids element kan tillhöra Pythagoras, och Euklid skrev bara det.

Det är också känt idag att problem med en rätvinklig triangel finns i egyptiska källor från farao Amenemhet I:s tid, på babyloniska lertavlor från kung Hammurabis regeringstid, i den antika indiska avhandlingen Sulva Sutra och det antika kinesiska verket Zhou -bi suan jin.

Som du kan se har Pythagoras sats sysselsatt matematikernas sinnen sedan antiken. Cirka 367 olika bevis som finns idag fungerar som bekräftelse. Inget annat teorem kan konkurrera med det i detta avseende. Anmärkningsvärda bevisförfattare inkluderar Leonardo da Vinci och USA:s 20:e president, James Garfield. Allt detta talar om den extrema betydelsen av denna sats för matematik: de flesta av geometrins satser är härledda från den eller på ett eller annat sätt kopplade till den.

Bevis för Pythagoras sats

PÅ skolböcker ger främst algebraiska bevis. Men kärnan i satsen ligger i geometrin, så låt oss först och främst överväga de bevis för den berömda satsen som är baserade på denna vetenskap.

Bevis 1

För de flesta enkelt bevis Pythagoras sats för en rätvinklig triangel måste du ställa in idealiska förhållanden: låt triangeln inte bara vara rätvinklig, utan också likbent. Det finns anledning att tro att det var en sådan triangel som ursprungligen ansågs av forntida matematiker.

Påstående "en kvadrat byggd på hypotenusan i en rätvinklig triangel är lika med summan av kvadraterna byggda på dess ben" kan illustreras med följande ritning:

Titta på den likbenta räta triangeln ABC: På hypotenusan AC kan du bygga en kvadrat som består av fyra trianglar lika med den ursprungliga ABC. Och på benen AB och BC byggda på en kvadrat, som var och en innehåller två liknande trianglar.

Förresten, denna teckning utgjorde grunden för många anekdoter och tecknade serier tillägnade Pythagoras sats. Den kanske mest kända är "Pythagoreiska byxor är lika i alla riktningar":

Bevis 2

Denna metod kombinerar algebra och geometri och kan ses som en variant av matematikern Bhaskaris gamla indiska bevis.

Konstruera en rätvinklig triangel med sidor a, b och c(Figur 1). Bygg sedan två rutor med sidor lika med summan av längden på de två benen - (a+b). Gör konstruktioner i var och en av rutorna, som i figurerna 2 och 3.

I den första kvadraten bygger du fyra av samma trianglar som i figur 1. Som ett resultat erhålls två kvadrater: en med sida a, den andra med sida b.

I den andra kvadraten bildar fyra konstruerade analoga trianglar en kvadrat med sidor lika med hypotenusan c.

Summan av ytorna för de konstruerade kvadraterna i fig. 2 är lika med arean av kvadraten vi konstruerade med sidan c i fig. 3. Detta kan enkelt verifieras genom att beräkna arean av kvadraterna i fig. 2 enligt formeln. Och arean av den inskrivna kvadraten i figur 3. genom att subtrahera arean av fyra lika rätvinkliga trianglar inskrivna i kvadraten från arean av en stor kvadrat med en sida (a+b).

Lägger vi ner allt detta har vi: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Utöka parenteserna, gör alla nödvändiga algebraiska beräkningar och få det a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Samtidigt, området för det inskrivna i Fig.3. kvadrat kan också beräknas med den traditionella formeln S=c2. De där. a2+b2=c2 Du har bevisat Pythagoras sats.

Bevis 3

Samma forntida indiska bevis beskrivs på 1100-talet i avhandlingen "Kunskapens krona" ("Siddhanta Shiromani"), och som huvudargument använder författaren en vädjan riktad till elevers och elevers matematiska talanger och observationsförmåga. följare: "Titta!".

Men vi kommer att analysera detta bevis mer i detalj:

Inuti kvadraten bygger du fyra rätvinkliga trianglar som visas på ritningen. Sidan av den stora kvadraten, som också är hypotenusan, betecknas med. Låt oss kalla benen på triangeln a och b. Enligt ritningen är sidan av den inre kvadraten (a-b).

Använd formeln för kvadratyta S=c2 för att beräkna arean av den yttre kvadraten. Och beräkna samtidigt samma värde genom att lägga till arean av den inre kvadraten och områdena för alla fyra räta trianglar: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Du kan använda båda alternativen för att beräkna arean av en kvadrat för att se till att de ger samma resultat. Och det ger dig rätt att skriva ner det c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Som ett resultat av lösningen får du formeln för Pythagoras sats c2=a2+b2. Teoremet har bevisats.

Bevis 4

Detta märkliga gamla kinesiska bevis kallas "Brudens stol" - på grund av den stolliknande figuren som är resultatet av alla konstruktioner:

Den använder ritningen som vi redan har sett i figur 3 i det andra beviset. Och den inre kvadraten med sidan c är konstruerad på samma sätt som i det gamla indiska beviset som ges ovan.

Om du mentalt skär av två gröna rätvinkliga trianglar från ritningen i Fig. 1, överför dem till motsatta sidor av kvadraten med sidan c och fäster hypotenuserna vid syrentrianglarnas hypotenuser, får du en figur som kallas "brudens stol” (bild 2). För tydlighetens skull kan du göra samma sak med pappersrutor och trianglar. Du kommer att se att "brudstolen" bildas av två rutor: små med en sida b och stor med en sida a.

Dessa konstruktioner gjorde det möjligt för de gamla kinesiska matematikerna och oss efter dem att komma till slutsatsen att c2=a2+b2.

Bevis 5

Detta är ett annat sätt att hitta en lösning på Pythagoras sats baserat på geometri. Det kallas för Garfield-metoden.

Konstruera en rätvinklig triangel ABC. Det måste vi bevisa BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

För att göra detta, fortsätt benet AC och bygga ett segment CD, som är lika med benet AB. Nedre vinkelrät AD linjesegmentet ED. Segment ED och ACär jämlika. koppla ihop prickarna E och PÅ, såväl som E och Med och få en ritning som bilden nedan:

För att bevisa tornet tillgriper vi återigen metoden vi redan har testat: vi hittar området för den resulterande figuren på två sätt och likställer uttrycken med varandra.

Hitta arean av en polygon EN SÄNG kan göras genom att lägga till ytorna av de tre trianglarna som bildar den. Och en av dem ERU, är inte bara rektangulär, utan också likbent. Låt oss inte heller glömma det AB=CD, AC=ED och BC=CE- Detta gör att vi kan förenkla inspelningen och inte överbelasta den. Så, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

Samtidigt är det uppenbart att EN SÄNGär en trapets. Därför beräknar vi dess area med formeln: SABED=(DE+AB)*1/2AD. För våra beräkningar är det bekvämare och tydligare att representera segmentet AD som summan av segmenten AC och CD.

Låt oss skriva båda sätten att beräkna arean av en figur genom att sätta ett likhetstecken mellan dem: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Vi använder jämlikheten av segment som redan är kända för oss och som beskrivs ovan för att förenkla den högra sidan av notationen: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Och nu öppnar vi parentesen och förvandlar jämställdheten: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Efter att ha avslutat alla omvandlingar får vi exakt vad vi behöver: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Vi har bevisat satsen.

Naturligtvis är denna lista med bevis långt ifrån komplett. Pythagoras sats kan också bevisas med hjälp av vektorer, komplexa tal, differentialekvationer, stereometri osv. Och även fysiker: om till exempel vätska hälls i kvadratiska och triangulära volymer liknande de som visas på ritningarna. Genom att hälla vätska är det möjligt att bevisa jämlikheten mellan områden och själva satsen som ett resultat.

Några ord om pythagoras trillingar

Denna fråga studeras lite eller inte i skolans läroplan. Samtidigt är det väldigt intressant och har stor betydelse i geometrin. Pythagoras trippel används för att lösa många matteproblem. Idén om dem kan vara användbar för dig i vidareutbildning.

Så vad är Pythagoras trillingar? Det är vad de kallar heltal, samlat i treor, summan av kvadraterna av två av vilka är lika med det tredje talet i kvadraten.

Pythagoras trippel kan vara:

• primitiv (alla tre talen är relativt primtal);
• icke-primitiv (om varje tal i en trippel multipliceras med samma tal får du en ny trippel som inte är primitiv).

Redan före vår tideräkning var de forntida egyptierna fascinerade av manin för antalet pytagoreiska trillingar: i uppgifter ansåg de en rätvinklig triangel med sidor på 3,4 och 5 enheter. Förresten, varje triangel vars sidor är lika med siffrorna från Pythagoras trippel är som standard rektangulär.

Exempel på pythagoras trippel: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) osv.

Praktisk tillämpning av satsen

Pythagoras sats finner tillämpning inte bara i matematik, utan också i arkitektur och konstruktion, astronomi och till och med litteratur.

För det första om konstruktion: Pythagoras sats används i stor utsträckning i problem med olika komplexitetsnivåer. Titta till exempel på det romanska fönstret:

Låt oss beteckna fönstrets bredd som b, då kan radien för den stora halvcirkeln betecknas som R och uttrycka genom b: R=b/2. Radien för mindre halvcirklar kan också uttryckas i termer av b: r=b/4. I det här problemet är vi intresserade av radien för fönstrets inre cirkel (låt oss kalla det sid).

Pythagoras sats är bara praktisk att beräkna R. För att göra detta använder vi en rätvinklig triangel, som indikeras av en prickad linje i figuren. Hypotenusan i en triangel består av två radier: b/4+p. Ett ben är en radie b/4, annan b/2-p. Med hjälp av Pythagoras sats skriver vi: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Därefter öppnar vi fästena och hämtar b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Låt oss omvandla detta uttryck till bp/2=b2/4-bp. Och så delar vi in ​​alla termer i b, vi ger liknande att få 3/2*p=b/4. Och till slut finner vi det p=b/6- vilket är vad vi behövde.

Med hjälp av satsen kan du beräkna längden på takbjälken för ett sadeltak. Bestäm hur högt mobiltornet måste vara för att signalen ska nå en viss lokalitet. Och till och med stadigt installera en julgran på stadens torg. Som du kan se lever denna teorem inte bara på sidorna i läroböcker, utan är ofta användbar i verkliga livet.

När det gäller litteraturen har Pythagoras sats inspirerat författare sedan antiken och fortsätter att göra det idag. Till exempel blev den tyske 1800-talsförfattaren Adelbert von Chamisso inspirerad av henne att skriva en sonett:

Sanningens ljus kommer inte snart att försvinna,
Men efter att ha glänst är det osannolikt att det försvinner
Och som för tusentals år sedan,
Kommer inte att orsaka tvivel och tvister.

Det klokaste när det rör ögat
Sanningens ljus, tacka gudarna;
Och hundra tjurar, knivhuggna, ljuger -
Återgåvan av den lyckliga Pythagoras.

Sedan dess har tjurarna vrålat desperat:
För alltid väckte tjurstammen
händelse som nämns här.

De tycker att det är på tiden
Och återigen kommer de att offras
Något bra teorem.

(översatt av Viktor Toporov)

Och på 1900-talet ägnade den sovjetiske författaren Yevgeny Veltistov i sin bok "The Adventures of Electronics" ett helt kapitel åt bevisen för Pythagoras sats. Och ett halvt kapitel av en berättelse om en tvådimensionell värld som skulle kunna existera om Pythagoras sats blev den grundläggande lagen och till och med religionen för en enda värld. Det skulle vara mycket lättare att leva i det, men också mycket tråkigare: till exempel ingen där förstår innebörden av orden "rund" och "fluffig".

Och i boken "The Adventures of Electronics" säger författaren genom matematikläraren Tarataras mun: "Huvudsaken i matematik är tankens rörelse, nya idéer." Det är denna kreativa tankeflykt som genererar Pythagoras sats - det är inte för inte som den har så många olika bevis. Det hjälper att gå utöver det vanliga och se på bekanta saker på ett nytt sätt.

Slutsats

Den här artikeln har skapats så att du kan se bortom Läroplanen i matematik och lär dig inte bara de bevis för Pythagoras sats som ges i läroböckerna "Geometry 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) och "Geometry 7-11" (A.V. Pogorelov), utan och andra nyfikna sätt att bevisa den berömda satsen. Och se även exempel på hur Pythagoras sats kan tillämpas i vardagen.

För det första gör denna information att du kan kvalificera dig för mer höga poäng i matematiklektioner - information om ämnet från ytterligare källor är alltid mycket uppskattat.

För det andra ville vi hjälpa dig att få en känsla för hur intressant matematik är. Se till att på konkreta exempel att det alltid finns utrymme för kreativitet. Vi hoppas att Pythagoras sats och den här artikeln kommer att inspirera dig att göra din egen forskning och spännande upptäckter inom matematik och andra vetenskaper.

Berätta för oss i kommentarerna om du tyckte att bevisen som presenterades i artikeln var intressanta. Tyckte du att denna information var användbar i dina studier? Låt oss veta vad du tycker om Pythagoras sats och den här artikeln - vi diskuterar gärna allt detta med dig.

webbplats, med hel eller delvis kopiering av materialet, krävs en länk till källan.

”Pythagoreiska byxor är lika på alla sidor.
För att bevisa det är det nödvändigt att ta bort och visa.

Denna ramsa har varit känd för alla sedan gymnasiet, ända sedan vi studerade den berömda Pythagoras sats i en geometrilektion: kvadraten på längden på hypotenusan i en rätvinklig triangel är lika med summan av kvadraterna på benen. Även om Pythagoras själv aldrig bar byxor - på den tiden bar inte grekerna dem. Vem är Pythagoras?
Pythagoras från Samos från lat. Pythagoras, Pythian TV-sändare (570-490 f.Kr.) - antik grekisk filosof, matematiker och mystiker, skapare av pytagoreernas religiösa och filosofiska skola.
Bland sina lärares motsägelsefulla läror letade Pythagoras efter en levande koppling, en syntes av en enda stor helhet. Han satte sig målet - att hitta vägen som leder till sanningens ljus, det vill säga att känna livet i enhet. För detta ändamål besökte Pythagoras hela antika världen. Han ansåg att han borde vidga sina redan vida vyer genom att studera alla religioner, doktriner och kulter. Han bodde bland rabbinerna och lärde sig mycket om Moses, Israels lagstiftares hemliga traditioner. Sedan besökte han Egypten, där han blev invigd i Adonis mysterier, och efter att ha lyckats ta sig över Eufratdalen stannade han länge hos kaldéerna för att ta till sig deras hemliga visdom. Pythagoras besökte Asien och Afrika, inklusive Hindustan och Babylon. I Babylon studerade han kunskapen om magiker.
Pythagoreernas förtjänst var att lägga fram idén om de kvantitativa lagarna för världens utveckling, vilket bidrog till utvecklingen av matematiska, fysiska, astronomiska och geografiska kunskaper. Kärnan i saker och ting är numret, lärde Pythagoras, att känna till världen betyder att känna till talen som styr den. Genom att studera siffror utvecklade pytagoreerna numeriska samband och fann dem inom alla områden av mänsklig aktivitet. Pythagoras undervisade i hemlighet och lämnade inga skrivna verk efter sig. Pythagoras lade stor vikt vid antalet. Hans filosofiska åsikter beror till stor del på matematiska begrepp. Han sa: "Allt är ett tal", "alla saker är siffror", och lyfte därmed fram en sida i förståelsen av världen, nämligen dess mätbarhet genom numeriska uttryck. Pythagoras trodde att numret äger alla saker, inklusive moraliska och andliga egenskaper. Han lärde (enligt Aristoteles), "Rättvisa ... är ett tal multiplicerat med sig självt." Han trodde att det i varje föremål, förutom dess föränderliga tillstånd, finns en oföränderlig varelse, någon form av oföränderlig substans. Det här är numret. Därav huvudidén med pytagoreanism: antalet är grunden för allt som existerar. Pytagoreerna såg i siffror och i matematiska relationer en förklaring av fenomenens dolda betydelse, naturlagarna. Enligt Pythagoras är tankens föremål mer verkliga än föremålen för sensorisk kunskap, eftersom siffror har en tidlös natur, d.v.s. är eviga. De är en verklighet som är högre än sakers verklighet. Pythagoras säger att alla egenskaper hos ett objekt kan förstöras, eller kan ändras, förutom bara en numerisk egenskap. Den här egenskapen är enhet. Enheten är tingens väsen, oförstörbar och oförstörbar, oföränderlig. Krossa vilket föremål som helst till små partiklar - varje partikel blir en. Med argumentet att numeriskt väsen är det enda oföränderliga väsendet, kom Pythagoras till slutsatsen att alla objekt är kopior av siffror.
Ett är ett absolut nummer Ett har evighet. Enheten behöver inte stå i någon relation till något annat. Den existerar på egen hand. Två är bara förhållandet mellan en till en. Alla nummer är endast
numeriska relationer Enheter, dess modifieringar. Och alla former av vara är bara vissa sidor av oändligheten, och därav enheten. Den ursprungliga innehåller alla siffror och innehåller därför hela världens element. Objekt är verkliga manifestationer av abstrakt vara. Pythagoras var den förste som betecknade kosmos, med allt som finns i det, som en ordning som fastställs genom nummer. Denna ordning är tillgänglig för sinnet, den realiseras av den, vilket gör att du kan se världen på ett helt nytt sätt.
Processen att känna till världen, enligt Pythagoras, är processen att känna till siffrorna som styr den. Kosmos efter Pythagoras började betraktas som ordnat efter universums nummer.
Pythagoras lärde ut att den mänskliga själen är odödlig. Han äger idén om själars migration. Han trodde att allt som händer i världen upprepas om och om igen efter vissa tidsperioder, och de dödas själar, efter en tid, bebor andra. Själen, som ett tal, representerar Enheten, dvs. själen är perfekt i grunden. Men varje perfektion, i den mån den kommer i rörelse, förvandlas till ofullkomlighet, fastän den strävar efter att återta sitt tidigare perfekta tillstånd. Pythagoras kallade ofullkomligheten avvikelsen från enheten; därför ansågs två vara ett förbannat nummer. Själen i människan är i ett tillstånd av jämförande ofullkomlighet. Den består av tre element: sinne, intelligens, passion. Men om djur också har sinne och passioner, så är bara människan utrustad med förnuft (förnuft). Någon av dessa tre partier kan råda i en person, och då blir personen till övervägande del antingen rationell, eller sansad eller sensuell. Följaktligen visar han sig vara antingen en filosof eller en vanlig människa eller ett djur.
Men tillbaka till siffrorna. Siffror är faktiskt en abstrakt manifestation av universums huvudsakliga filosofiska lag - motsatsernas enhet.
Notera. Abstraktionen utgör grunden för processerna för generalisering och begreppsbildning. Hon är - nödvändigt tillstånd kategorisering. Den bildar generaliserade bilder av verkligheten, som gör det möjligt att peka ut sambanden och relationerna mellan objekt som är betydelsefulla för en viss aktivitet.
Universums motsatsers enhet består av form och innehåll, form är en kvantitativ kategori och innehåll är en kvalitativ kategori. Naturligtvis uttrycker siffror kvantitativa och kvalitativa kategorier i abstraktion. Därför är addition (subtraktion) av tal den kvantitativa komponenten i Formabstraktionen, och multiplikationen (divisionen) är den kvalitativa komponenten av innehållsabstraktionen. Antalet abstraktioner av former och innehåll är oupplösligt sammanlänkade av motsatsernas enhet.
Låt oss försöka utföra matematiska operationer och skapa en oskiljaktig koppling mellan form och innehåll över siffror.

Så låt oss ta en titt på siffrorna.
1,2,3,4,5,6,7,8,9. 1+2= 3 (3) 4+5=9 (9)... (6) 7+8=15 -1+5=6 (9). Ytterligare 10 - (1+0) + 11 (1+1) = (1+2= 3) - 12 - (1+2=3) (3) 13-(1+3= 4) + 14 - (1) +4=5) = (4+5= 9) (9) …15 –(1+5=6) (6) … 16- (1+6=7) + 17 – (1+7 =8) ( 7+8=15) – (1+5= 6) … (18) – (1+8=9) (9). 19 - (1+9= 10) (1) -20 - (2+0=2) (1+2=3) 21 - (2+1=3) (3) - 22- (2+2= 4 ) 23-(2+3=5) (4+5=9) (9) 24- (2+4=6) 25 – (2+5=7) 26 – (2+6= 8) – 7+ 8= 15 (1+5=6) (6) Etc.
Härifrån observerar vi den cykliska transformationen av Former, som motsvarar cykeln av innehåll - den första cykeln - 3-9-6 - 6-9-3 2:a cykeln - 3-9-6 -6-9-3, etc.
6
9 9
3

Cyklerna representerar eversionen av universums torus, där motsatserna till antalet abstraktion av former och innehåll är 3 och 6, där 3 bestämmer kompression och 6 - Stretching. Kompromissen för deras interaktion är siffran 9.
Nästa 1,2,3,4,5,6,7,8,9. 1x2=2 (3) 4x5=20 (2+0=2) (6) 7x8=56 (5+6=11 1+1= 2) (9) osv.
Slingan ser ut så här 2-(3)-2-(6)- 2-(9)... där 2 är det ingående elementet i 3-6-9-slingan.
Här är multiplikationstabellen:
2x1=2
2x2=4
(2+4=6)
2x3=6
2x4=8
2x5=10
(8+1+0 = 9)
2x6=12
(1+2=3)
2x7=14
2x8=16
(1+4+1+6=12;1+2=3)
2x9=18
(1+8=9)
Cykel -6.6-9-3.3 - 9.
3x1=3
3x2=6
3x3=9
3x4=12 (1+2=3)
3x5=15 (1+5=6)
3x6=18 (1+8=9)
3x7=21 (2+1=3)
3x8=24 (2+4=6)
3x9=27 (2+7=9)
Cykel 3-6-9; 3-6-9; 3-6-9.
4x1=4
4x2=8 (4+8=12 1+2=3)
4x3=12 (1+2=3)
4x4=16
4x5=20 (1+6+2+0= 9)
4x6=24 (2+4=6)
4x7=28
4x8= 32 (2+8+3+2= 15 1+5=6)
4x9=36 (3+6=9)
Cykel 3.3 - 9 - 6.6 - 9.
5x1=5
5x2=10 (5+1+0=6)
5x3=15 (1+5=6)
5x4=20
5x5=25 (2+0+2+5=9)
5x6=30 (3+0=3)
5x7=35
5x8=40 (3+5+4+0= 12 1+2=3)
5x9=45 (4+5=9)
Cykel -6,6 - 9 - 3,3 - 9.
6x1= 6
6x2=12 (1+2=3)
6x3=18 (1+8=9)
6x4=24 (2+4=6)
6x5=30 (3+0=3)
6x6=36 (3+6=9)
6x7=42 (4+2=6)
6x8=48 (4+8=12 1+2=3)
6x9=54 (5+4=9)
Cykel - 3-9-6; 3-9-6; 3-9.
7x1=7
7x2=14 (7+1+4= 12 1+2=3)
7x3=21 (2+1=3)
7x4=28
7x5=35 (2+8+3+5=18 1+8=9)
7x6=42 (4+2=6)
7x7=49
7x8=56 (4+9+5+6=24 2+4=6)
7x9=63 (6+3=9)
Cykel - 3.3 - 9 - 6.6 - 9.
8x1= 8
8x2=16 (8+1+6= 15 1+5=6.
8x3=24 (2+4=6)
8x4=32
8x5=40 (3+2+4+0=9)
8x6=48 (4+8=12 1+2=3)
8x7=56
8x8=64 (5+6+6+4= 21 2+1=3)
8x9=72 (7+2=9)
Cykel -6,6 - 9 - 3,3 - 9.
9x1=9
9x2= 18 (1+8=9)
9x3= 27 (2+7=9)
9x4=36 (3+6=9)
9x5=45 (4+5= 9)
9x6=54 (5+4=9)
9x7=63 (6+3=9)
9x8=72 (7+2=9)
9x9=81 (8+1=9).
Cykeln är 9-9-9-9-9-9-9-9-9.

Siffrorna för den kvalitativa kategorin innehåll - 3-6-9, indikerar kärnan i en atom med ett annat antal neutroner, och den kvantitativa kategorin indikerar antalet elektroner i atomen. Kemiska grundämnen är kärnor vars massor är multiplar av 9, och multiplar av 3 och 6 är isotoper.
Notera. Isotop (från grekiskan "lika", "samma" och "plats") - sorter av atomer och kärnor av samma kemiskt element med olika antal neutroner i kärnan. Ett grundämne är en samling atomer med samma kärnladdning. Isotoper är varianter av atomer av ett kemiskt element med samma kärnladdning men olika massatal.

Alla verkliga saker består av atomer, och atomer definieras av siffror.
Därför är det naturligt att Pythagoras var övertygad om att siffror är verkliga objekt, och inte bara symboler. Tal är ett visst tillstånd av materiella föremål, essensen av en sak. Och i detta hade Pythagoras rätt.