Meie saidi YouTube'i kanalile, et olla kursis kõigi uute videotundidega.
Kõigepealt tuletame meelde kraadide põhivalemeid ja nende omadusi.
Arvu korrutis a juhtub iseendaga n korda, saame selle avaldise kirjutada kujul a a … a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m \u003d a n - m
Võimsus või eksponentsiaalvõrrandid - need on võrrandid, milles muutujad on astmetes (või astendajates) ja alus on arv.
Näited eksponentsiaalvõrranditest:
Selles näites on number 6 alus, see on alati allosas ja muutuja x aste või mõõt.
Toome rohkem näiteid eksponentsiaalvõrrandite kohta.
2 x *5=10
16x-4x-6 = 0
Vaatame nüüd, kuidas eksponentsiaalvõrrandid lahendatakse?
Võtame lihtsa võrrandi:
2 x = 2 3
Sellist näidet saab lahendada isegi mõttes. On näha, et x=3. Ju siis nii, et vasak ja parem osa olid võrdsed, tuleb x asemel panna arv 3.
Nüüd vaatame, kuidas see otsus tuleks teha:
2 x = 2 3
x = 3
Selle võrrandi lahendamiseks eemaldasime samadel alustel(ehk deuces) ja kirjutas üles, mis järele jäi, need on kraadid. Saime vastuse, mida otsisime.
Nüüd teeme oma lahenduse kokkuvõtte.
Algoritm eksponentsiaalvõrrandi lahendamiseks:
1. Vaja kontrollida sama kas võrrandi alused paremal ja vasakul. Kui põhjused pole samad, otsime selle näite lahendamise võimalusi.
2. Kui alused on samad, võrdsustama kraadi ja lahendage saadud uus võrrand.
Nüüd lahendame mõned näited:
Alustame lihtsast.
Vasakul ja paremal küljel olevad alused on võrdsed arvuga 2, mis tähendab, et saame aluse kõrvale jätta ja nende kraadid võrdsustada.
x+2=4 Selgunud on kõige lihtsam võrrand.
x = 4–2
x=2
Vastus: x=2
Järgmises näites näete, et alused on erinevad, need on 3 ja 9.
3 3x - 9 x + 8 = 0
Alustuseks viime üheksa paremale küljele, saame:
Nüüd peate tegema samad alused. Teame, et 9=3 2 . Kasutame astme valemit (a n) m = a nm .
3 3x \u003d (3 2) x + 8
Saame 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16
3 3x \u003d 3 2x + 16 nüüd on selge, et vasakul ja paremal küljel olevad alused on samad ja võrdsed kolmega, mis tähendab, et saame need ära visata ja kraadid võrdsustada.
3x=2x+16 sai kõige lihtsama võrrandi
3x-2x=16
x=16
Vastus: x=16.
Vaatame järgmist näidet:
2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4
Kõigepealt vaatame aluseid, alused on erinevad kaks ja neli. Ja me peame olema samad. Teisendame neliku vastavalt valemile (a n) m = a nm .
4 x = (2 2) x = 2 2x
Ja me kasutame ka ühte valemit a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Lisa võrrandile:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Samadel põhjustel tõime näite. Aga meid segavad teised numbrid 10 ja 24. Mida nendega peale hakata? Kui vaatate tähelepanelikult, näete, et vasakul pool kordame 2 2x, siin on vastus - saame sulgudest välja panna 2 2x:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Arvutame sulgudes oleva avaldise:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Jagame kogu võrrandi 6-ga:
Kujutage ette 4 = 2 2:
2 2x \u003d 2 2 alust on samad, visake need ära ja võrdsustage kraadid.
2x \u003d 2 osutus lihtsaimaks võrrandiks. Jagame selle 2-ga, saame
x = 1
Vastus: x = 1.
Lahendame võrrandi:
9 x - 12 x 3 x +27 = 0
Muutame:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Saame võrrandi:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
Meie alused on samad, võrdsed kolmega. Selles näites on selge, et esimesel kolmikul on kraad kaks korda (2x) kui teisel (ainult x). Sel juhul saate ise otsustada asendusmeetod. Väikseima astmega number asendatakse järgmisega:
Siis 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2
Asendame kõik kraadid x-idega võrrandis t-ga:
t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Saame ruutvõrrand. Lahendame diskriminandi kaudu, saame:
D = 144-108 = 36
t1 = 9
t2 = 3
Tagasi muutuja juurde x.
Võtame t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x
See on,
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
Leiti üks juur. Otsime teist, alates t 2:
t 2 \u003d 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Vastus: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.
Saidil saate jaotises AITA OTSUSTADA esitada huvipakkuvaid küsimusi, me vastame teile kindlasti.
Liituge grupiga
Descartes-Euleri lahendus
Pärast asendust saame võrrandi järgmisel kujul (seda nimetatakse "mittetäielikuks"):
y 4 + lky 2 + qy + r = 0 .Juured y 1 , y 2 , y 3 , y Sellise võrrandi 4 on võrdsed ühega järgmistest avaldistest:
mille puhul valitakse märkide kombinatsioonid nii, et on täidetud järgmine seos:
,
ja z 1 , z 2 ja z 3 on kuupvõrrandi juured
Ferrari otsus
Peamine artikkel: Ferrari meetod
Neljanda astme võrrandit esitame kujul:
Ax 4 + Bx 3 + Cx 2 + Dx + E = 0,Selle lahenduse võib leida järgmistest väljenditest:
kui β = 0 otsustades u 4+α u 2 + γ = 0 ja asendust tehes 
, leia juured: . 
, (ükskõik milline märk ruutjuur sobiv) , (kolm keerulist juurt, millest üks sobib) 
Kahel ± s-l peab olema sama märk, ± t on sõltumatud. Kõigi juurte leidmiseks peame märgiga kombinatsioonide jaoks leidma x ± s ,± t = +,+ +,− jaoks −,+ jaoks −,−. Topeltjuured ilmuvad kaks korda, kolmikjuured kolm korda ja neljandat järku juured neli korda. Juurte järjekord sõltub sellest, milline kuupjuurtest U valitud. Vaata ka
- Lihtsalt lahendatavad 4. astme võrrandite tüübid: bikvadraatvõrrand, neljanda astme pöördvõrrand
Kirjandus
- Korn G., Korn T. (1974) Matemaatika käsiraamat.
Lingid
- Ferrari otsus
Wikimedia sihtasutus. 2010 .
Vaadake, mis on "neljanda astme võrrand" teistes sõnaraamatutes:
kvartsvõrrand- - [L.G. Sumenko. Inglise vene infotehnoloogia sõnaraamat. M.: GP TsNIIS, 2003.] Teemad infotehnoloogiaüldiselt EN kvartsvõrrand … Tehnilise tõlkija käsiraamat
Nelja juure ja kolme kriitilise punktiga 4. astme polünoomi graafik. Neljanda astme võrrand matemaatikas on algebraline võrrand kujul: Neljas aste algebraliste võrrandite jaoks on kõrgeim, mille juures ... ... Wikipedia
Võrrandit kujul: anxn + an − 1xn − 1 + ... + a1x + a0 = 0 nimetatakse pöördvõrdeliseks, kui selle koefitsiendid sümmeetrilistes positsioonides on võrdsed, st kui an − k = ak, kui k = 0, 1, …, n. Sisu 1 Neljanda astme võrrand ... Wikipedia
Milles tundmatu termin on neljandas astmes. Täielik sõnastik võõrsõnad mis on kasutusele võetud vene keeles. Popov M., 1907. BIKUADRAATIVÕRDEST lat. bis, kaks korda ja quadratum, ruut. Võrrand, milles kõrgeim aste ... ... Vene keele võõrsõnade sõnastik
Koos aritmeetikaga eksisteerib arvude ja arvude kaudu suurusjärkude teadus üldiselt. Tegelemata mingite kindlate, konkreetsete suuruste omaduste uurimisega, uurivad need mõlemad teadused abstraktsete suuruste omadusi kui selliseid, sõltumata ... ... entsüklopeediline sõnaraamat F. Brockhaus ja I.A. Efron
Rakenduslike teadmiste kogum, mis võimaldab lennuinseneridel õppida aerodünaamika, tugevusprobleemide, mootoriehituse ja lennukite lennudünaamika (st teooria) valdkonnas, et luua uus lennuk või täiustada ... ... Collier Encyclopedia
Kõige iidsem matemaatiline tegevus oli loendamine. Konto oli vajalik kariloomade ja kaubanduse jälgimiseks. Mõned primitiivsed hõimud loendasid objektide arvu, võrreldes nendega erinevaid kehaosi, peamiselt ... ... Collier Encyclopedia
Tehnoloogia ajalugu Ajavahemiku ja piirkonna järgi: neoliitikumirevolutsioon Egiptuse iidne tehnoloogia Teadus ja Vana-India tehnoloogia Teadus ja tehnoloogia iidne Hiina Tehnoloogia Vana-Kreeka Tehnoloogia Vana-Rooma Islamimaailma tehnoloogiad ... ... Wikipedia
Võrrand on matemaatiline seos, mis väljendab kahe võrdsust algebralised avaldised. Kui võrdsus kehtib selles sisalduvate tundmatute mis tahes lubatud väärtuste puhul, nimetatakse seda identiteediks; näiteks liikide vahekord ... ... Collier Encyclopedia
Abel Ruffini teoreem väidab, et astme at üldvõrrand on radikaalides lahendamatu. Sisukord 1 Üksikasjad ... Wikipedia
Üldjuhul lahendatakse neljanda astme võrrand, kasutades võrrandite lahendamise meetodeid. kõrgemad kraadid, näiteks Ferrari meetodil või Horneri skeemi kasutades. Kuid mõnel 4. astme võrrandil on lihtsam lahendus.
Neljanda astme võrrandeid on mitut tüüpi, mille lahendamise kohta saate teada allpool:
- Bikvadraatvõrrand $ax^4+bx^2+c=0$;
- Tagastusvõrrandid kujul $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$;
- Võrrandid kujul $ax^4+b=0$.
Neljanda astme bikvadraatvõrrandite lahendus
Bikvadraatvõrrandid $ax^4+bx^2+c=0$ taandatakse ruutsuurusteks, asendades muutuja $x^2$ uuega, näiteks väärtusega $y$. Pärast asendamist lahendatakse uus saadud võrrand ja seejärel asendatakse leitud muutuja väärtus võrrandisse $x^2=y$. Lahenduse tulemuseks on võrrandi $x^2=y$ juured.
Näide 1
Lahendage võrrand $x(x-1)(x-2)(x-3)=24$:
Laiendame polünoomi sulgusid:
$(x^2-3x)(x^2-3x+2)=24$
Sellisel kujul selgub, et uueks muutujaks saab valida avaldise $y=x^2-3x$, asendame selle:
$y \cdot (y+2) = 24 $
Nüüd lahendame kaks ruutvõrrandit $x^2-3x=-4$ ja $x^2-3x=-6$.
Esimese võrrandi juured on $x_1(1,2)=4;-1$, teisel pole lahendeid.
4. astme pöördvõrrandite lahendus
Need võrrandid kujul $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$ kordavad oma koefitsientidega madalamatel tingimustel koefitsiente kõrgema astmega polünoomide juures. Sellise võrrandi lahendamiseks jagage see kõigepealt $x^2$-ga:
$ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0|:x^2$
$ax^2+bx+c+\frac(b)(x) + \frac(a)(x^2)=0$
$a(x^2+\frac(1)(x^2))+b(x+\frac(1)(x)) + c=0$
Seejärel asenda $(x+\frac(1)(x))$ uue muutujaga, siis $(x^2+\frac(1)(x^2))=y^2-2$, pärast asendamist saame järgmine võrrand ruudus:
$a(y^2-2)+by+c=0$
Pärast seda otsime võrrandite $x+\frac(1)(x)=y_1$ ja $x+\frac(1)(x)=y_2$ juured.
Sarnasel meetodil lahendatakse korduvad võrrandid kujul $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$.
Näide 2
Lahenda võrrand:
$3x^4-2x^3-9x^2-4x+12=0$
See võrrand on pöördvõrrand kujul $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$. Seetõttu jagame kogu võrrandi $x^2$-ga:
$3x^2-2x-9 \cdot \frac(2 \cdot 2)(x)+3 \cdot (\frac(2)(x))^2=0$
$3(x^2+\frac(4)(x^2))-2(x+\frac(2)(x)-9=0$
Asendame avaldise $x+\frac(2)(x)$: $3(y^2-4)-2y-9=0$
Arvutame selle võrrandi juured, need on võrdsed $y_1=3$ ja $y_2=-\frac(7)(3)$.
Vastavalt sellele on nüüd vaja lahendada kaks võrrandit $x+\frac(2)(x)=3$ ja $x+\frac(2)(x)=-\frac(7)(3)$. Esimese võrrandi lahend on $x_1=1, x_2=2$, teisel võrrandil pole juuri.
Seetõttu on algse võrrandi juurteks $x_1=1, x_2=2$.
Võrrandid kujul $ax^4+b=0$
Seda tüüpi võrrandi juured leitakse lühendatud korrutamise valemite abil.
Varsti pärast seda, kui Cardano avaldas kuupvõrrandi lahendamise meetodi, leidsid tema õpilased ja järgijad viise, kuidas neljanda astme üldvõrrandit kuupvõrrandiks taandada. Esitame lihtsaima meetodi tänu L. Ferrarile.
Meetodi esitamisel on vaja kasutada järgmist elementaarset lemmat.
Lemma. Et ruuttrinoom oleks lineaarse binoomi ruut, on vajalik ja piisav, et selle diskriminant oleks võrdne nulliga.
Tõestus. Vaja. Las olla . Siis Piisavus. Laske siis
Esitatud meetodi idee on esitada võrrandi vasak pool kahe ruudu erinevusena. Siis saab selle lagundada kaheks teise astme teguriks ja võrrandi lahendus viib kahe ruutvõrrandi lahendini. Eesmärgi saavutamiseks on vasak pool kujutatud järgmiselt:
Siin on y abitundmatu, mis tuleb valida nii, et nurksulgudes olev avaldis osutuks lineaarse binoomi ruuduks. Lemma tõttu on selleks vajalik ja piisav, et tingimus
See tingimus on y suhtes kolmanda astme võrrand. Pärast sulgude avamist teisendatakse see vormiks
Laskma olla üks selle võrrandi juurtest. Siis on tingimus täidetud, nii et
mõne k ja I korral. Algvõrrand võtab kuju
Võrdsustades iga teguri nulliga, leiame algse võrrandi neli juurt.
Teeme veel ühe märkuse. Olgu esimese teguri juured ja teise teguri juured. Lisades need võrdsused, saame selle
Seega oleme saanud abikuupvõrrandi juure avaldise neljanda astme algvõrrandi juurte järgi.
Näide. Lahenda võrrand. Vastavalt ülaltoodud meetodile teisendame vasaku külje:
Nüüd paneme. Pärast moodustisi saame võrrandi
On lihtne mõista, et üks selle võrrandi juurtest on arv . Asendades selle algse võrrandi teisendatud vasakpoolsesse külge, saame:
Võrdsustades tegurid nulliga, saame
Mis puudutab neljandast astmest kõrgemaid võrrandeid, siis olid teada mõned suhteliselt spetsiifilise kujuga võrrandite klassid, mis lubavad algebralisi lahendusi radikaalides, st aritmeetiliste toimingute ja juure eraldamise tulemuste kujul. Katsed anda lahendus viienda astme ja kõrgematele üldvõrranditele olid aga ebaõnnestunud, kuni lõpuks 19. sajandi alguses. Ruffini ja Abel ei tõestanud, et sedalaadi lahendus neljandast astmest kõrgemate üldvõrrandite jaoks on võimatu. Lõpuks, 1830. aastal, õnnestus geniaalsel prantsuse matemaatikul E. Galois'l leida vajalikud ja piisavad tingimused (üsna raskesti kontrollitavad) konkreetse võrrandi radikaalides lahendatavusele. Samal ajal lõi Galois ja kasutas permutatsioonirühmade teooriat, mis oli tema aja jaoks uus.
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = 0
Kõigepealt peate ühe juure leidmiseks kasutama valikumeetodit. Tavaliselt on see vaba termini jagaja. Sel juhul arvu jagajad 12 on ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Alustame nende asendamist:
1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ arv 1
-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ arv -1 ei ole polünoomi juur
2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ arv 2 on polünoomi juur
Oleme leidnud polünoomi 1 juurtest. Polünoomi juur on 2, mis tähendab, et algne polünoom peab olema jagatav x - 2. Polünoomide jagamiseks kasutame Horneri skeemi:
| 2 | 5 | -11 | -20 | 12 | |
| 2 |
Ülemine rida sisaldab algse polünoomi koefitsiente. Teise rea esimesse lahtrisse panime leitud juure 2. Teisele reale kirjutatakse polünoomi koefitsiendid, mis saadakse jagamise tulemusena. Neid loetakse järgmiselt:
| Kirjutage number teise rea teise lahtrisse 2, lihtsalt liigutades seda esimese rea vastavast lahtrist. | ||||||||||||
| 2 ∙ 2 + 5 = 9 | ||||||||||||
| 2 ∙ 9 - 11 = 7 | ||||||||||||
| 2 ∙ 7 - 20 = -6 | ||||||||||||
| 2 ∙ (-6) + 12 = 0 |
Viimane number on jaotuse ülejäänud osa. Kui see on 0, siis lugesime kõik õigesti.
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2) (2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)
Kuid see pole veel lõpp. Võite proovida polünoomi samal viisil laiendada 2x 3 + 9x 2 + 7x - 6.
Jällegi otsime juurt vaba termini jagajate hulgast. Numbrijagajad -6 on ±1, ±2, ±3, ±6.
1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ arv 1 ei ole polünoomi juur
-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ arv -1 ei ole polünoomi juur
2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ arv 2 ei ole polünoomi juur
-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 = 0 ⇒ arv -2 on polünoomi juur
Kirjutame leitud juure oma Horneri skeemi ja alustame tühjade lahtrite täitmist:
| Kirjutage number kolmanda rea teise lahtrisse 2, lihtsalt teisaldades selle teise rea vastavast lahtrist. | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ 2 + 9 = 5 | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ 5 + 7 = -3 | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ (-3) - 6 = 0 |
Seega arvestasime algse polünoomiga:
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2) (x + 2) (2x 2 + 5x - 3)
Polünoom 2x 2 + 5x - 3 saab ka arvesse võtta. Selleks saab ruutvõrrandi lahendada läbi diskriminandi või otsida arvu jagajate hulgast juurt -3. Ühel või teisel viisil jõuame järeldusele, et selle polünoomi juur on arv -3
| Kirjutage number neljanda rea teise lahtrisse 2, lihtsalt teisaldades selle kolmanda rea vastavast lahtrist. | ||||||||||||||||||||||||
| -3 ∙ 2 + 5 = -1 | ||||||||||||||||||||||||
| -3 ∙ (-1) - 3 = 0 |
Seega jagasime algse polünoomi lineaarseteks teguriteks.
- Kokkupuutel 0
- Google Plus 0
- Okei 0
- Facebook 0
